Questions à réponses courtes (sujet page 163) Annales 2014 COPIRELEM Page 199 QUESTIONS À RÉPONSES COURTES PARTIE 1 : DOUZE AFFIRMATIONS : VRAI‐FAUX ? JUSTIFIER ! 1) ABCD est un rectangle de longueur a cm et de largeur b cm. Les nombres a et b sont deux entiers strictement supérieurs à 1. Affirmation 1 : la mesure de l’aire du rectangle, l’unité d’aire étant le cm², n’est jamais un nombre premier. VRAI Justification : La mesure de l’aire du rectangle vaut ൈ . Comme les nombres a et b sont strictement supérieurs à 1, les nombres 1, a et ab sont distincts. Le nombre ൈ a donc au moins trois diviseurs distincts, par conséquent ce n’est pas un nombre premier. 2) Le chien mange un tiers de sa pâtée. Le chat lui mange alors la moitié de ce qui reste dans la gamelle. Affirmation : il reste ଵ de la pâtée dans la gamelle. FAUX Justification Par le calcul : Le chien mange un tiers de sa pâtée, donc après son passage il en reste les deux tiers. Après le passage du chat, il reste la moitié de ces deux tiers, soit ଵ ଶ ൈ ଶ ଷ ൌ ଵ ଷ de la pâtée. Par le schéma : Pâtée Part du chien Part du chat Le schéma montre que la part restante représente un tiers de la pâtée. 3) Les nombres p et q sont des nombres entiers strictement positifs. Affirmation 3 : le nombre ଵହସ ହ ଶ est toujours un nombre décimal non entier. FAUX Justification : Il suffit d’exhiber un contre‐exemple, c'est‐à‐dire de proposer deux valeurs de p et q entiers strictement positifs qui donnent un nombre décimal entier : Si p = q =1, le nombre est égal à 10548 qui est un entier. 4) ABCD est un rectangle de longueur a cm et de largeur b cm. Les nombres a et b sont deux entiers strictement supérieurs à 1. Affirmation 4 : la mesure de la diagonale du rectangle, avec le cm comme unité de longueur, est toujours un nombre rationnel. FAUX
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Lamesuredel’airedurectanglevaut .Commelesnombresaetbsontstrictementsupérieursà1,lesnombres 1, a et ab sont distincts. Le nombre a donc au moins trois diviseurs distincts, parconséquentcen’estpasunnombrepremier.
4) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdeuxentiersstrictementsupérieursà1.Affirmation4: lamesurede la diagonale du rectangle, avec le cm commeunité de longueur, esttoujoursunnombrerationnel.
FAUX
Questionsàréponsescourtes(sujetpage163)
Annales2014COPIRELEM Page200
Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple,c'est‐à‐diredeproposerdeuxnombresdeaetbentiersstrictementsupérieursà1quidonnentunnombrenonrationnel(irrationnel):sia=3etb=2,d'aprèslethéorèmedePythagore,lecarrédelamesuredelalongueurdeladiagonaledurectangle est 32+22 = 13. Or, 13 n'est pas un carré parfait donc lamesure de la diagonale,√13 est unnombreirrationnel(eneffet,onsaitquelaracinecarréed’unentiernaturelnestunentiernaturelsietseulementsinestuncarréparfait,etquesinon,c’estunnombreirrationnel).
5) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdesnombresréelspositifstelsquea+b=7.Affirmation5: lamesurede l’airedurectangle, l’unitéd’aireétant le cm²,est toujours inférieureà10.
FAUX
Justification:
Il suffit d’exhiber un contre‐exemple, c'est‐à‐dire deproposerdeuxnombresde a et b entiers vérifianta+b=7ettelsquelamesuredel’airedurectangleencm²soitsupérieureouégaleà10:Sia=4etb=3,onabiena+b=7maislamesuredel'airedurectanglevauta×b=3×4=12,cequiestsupérieurà10.
Tout quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est unparallélogramme. Si de plus ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange. Enfin, si sesdiagonalessontaussidemêmelongueur,alorsc’estuncarré.
7) Affirmation7: en traçant lesdiagonalesd’unquadrilatère convexe, onpartage celui‐ci enquatrepartiesd’aireségales.
FAUX
Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemplecommeci‐dessous:
8) On considère un parallélogramme ABCD, de centre O. On appelle M le milieu de [AB] et Rl’intersectionde[DM]et[AC].Affirmation8:RC=2AR.
9) Affirmation 9: la mesure du volume d’un cube, l’unité de volume étant le cm3, est toujours unnombresupérieuràlamesuredel’aired’unefacedececube,l’unitéd’aireétantlecm2.
On indique ensuite deuxméthodes permettant de déterminer ce que la balance affiche quand on verse 7verresd’eaupleins(cequin’étaitpasnécessairepourrépondreàlaquestionposéedanscevrai/faux,maisquipourraitfairel’objetd’unautreexercice).
Notons lamesure en gramme de lamasse de l’eau contenue dans un verre plein, et lamesure engrammedelamassedusaladier.Lerésultatdesdeuxpeséessetraduitselonlesystèmesuivant:
Notonsnunnombrepossible.810 54 15,donc54est lePGCDde810etnsi,etseulementsi,d’unepart n est un multiple de 54, et d’autre part 15 et sont premiers entre eux (c’est‐à‐dire qu’ils nepossèdentpasdediviseurcommunautreque1).
3) ABCDestuncarré.LespointsI,J,K,L,M,N,O,Psonttelsque:I ∈ AB , J ∈ AB , K ∈ BC , L ∈ BC ,M ∈ CD , N ∈ CD , O ∈ DA , P ∈ DA ettelsque:AI=IJ=JB;BK=KL=LC;CM=MN=ND;DO=OP=PA.ParmilesaffirmationssuivanteslesquellessontFAUSSES?
A:l’octogoneIJKLMNOPestrégulier;B:lequadrilatèreIJOPestuntrapèze;C:lequadrilatèreJKNOestunrectangle;D:lequadrilatèreIKMOestuncarré;E : le quadrilatère BLDP est un parallélogramme.
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L’affirmationAestfausse.
Justification:
LetriangleBJKest isocèleenB.CetriangleestégalementrectangleenBdonc il n’est pas équilatéral. Par conséquent KJ≠BJ. Comme BJ=IJ, on aaussiKJ≠IJ.L’octogone IJKLMNOPn’estpas régulier car ses côtés [KJ] et [IJ]ne sontpasdemêmelongueur.
L’affirmationBestvraie.
Justification:
AI=IJetIappartientà[AJ],doncIestlemilieude[AJ].Demême,AP=POetPappartientà[AO]doncPestlemilieude[AO].DansletriangleAJO,ladroite(IP)passeparlesmilieuxdedeuxcôtés,elleest donc parallèle au troisième côté [OJ]. Le quadrilatère IJOP est untrapèzecarsescôtés[IP]et[OJ]sontparallèles.
L’affirmationCestvraie.
Justification:
AppelonsElecentredesymétrieducarréABCD.Cherchonsl’imageJ’deJpar la symétrie de centre E. Par cette symétrie, l’image de B est D etl’imageducôté[AB]est[CD].CommeJestsur[AB], J’estsur[CD]. J’estdonclepointde[CD]telque[BJ]et[DJ’]sontdemêmelongueur:c’estN.Parunraisonnementanalogue,onmontrequelesymétriquedeKestO.Le quadrilatère JKNO possède un centre de symétrie, c’est donc unparallélogramme.LestrianglesBJKetAJOsontrectanglesetisocèles,respectivementenAetenB.Parconséquent,lesangles et sontégauxà45°.CommelespointsA,JetBsontalignés,l’angle mesure180°.Onadonc: 180° 45° 45° 90°LeparallélogrammeJKNOpossèdeunangledroit,parconséquentc’estunrectangle.
L’affirmationDestvraie.
Justification:
De la même manière que pour l’affirmation C, on montre que lequadrilatèreIKMOestunrectangle.Considérons maintenant les triangles IBK et OAI. Ils sont rectanglesrespectivement en B et en A, leurs côtés [BK] et [AI] d’une part, [IB] et[OA] d’autre part, sont de même longueur. Par conséquent, ils sontsuperposables,etleurscôtés[IK]et[IO]sontdemêmelongueur.LerectangleIKMOasescôtésconsécutifs[IK]et[IO]demêmelongueur,c’estdoncuncarré.
L’affirmationEestvraie.
Justification:
Notonsclamesuredelalongueurducôtéducarré.
OnaBL=DP= .
Lescôtés[BC]et[AD]ducarrésontparallèles.CommeLestsur[BC]etPestsur[AD],lescôtés[BL]et[DP]duquadrilatèreBLDPsontparallèles.Ce quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et demêmelongueur,parconséquentc’estunparallélogramme.
6) OnposeN=63042.Parmilesaffirmationsci‐dessousindiquezcelle(s)quiest(sont)exacte(s):A:Nestdivisiblepar7.B:Nestunmultiplede4.C : 9 est un diviseur de N. D : N est divisible par 6.
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L’affirmationAestvraie.
Justification:
63042 63 1000 42 7 9 1000 6 7 9006 N est bien divisible par 7.
L’affirmationBestfausse.
Justification:
Méthode1:
63042 63 1000 42. 1000 est bien divisible par 4 mais 42 ne l'est pas donc 63042n'est pas divisible par 4.
Méthode2:
63042 2 31521 ; or 31 521 n'est pas divisible par2 donc N n'est pas divisible par 4.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar4.
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est. Ici 42 n'est pas divisible par 4 donc N n'est pas divisible par 4.
L’affirmationCestfausse.
Justification:
Méthode1:
63042 63 1000 42. 63 est divisible par 9 mais 42 ne l'est pas donc N n'est pas divisible par 9.
Méthode2:
On décompose Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N n'est pas divisible par 9.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar9.
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9. Ici 6 + 3 + 4 + 2 = 15 et 15 n'est pas divisible par 9 donc N n'est pas divisible par 9.
L’affirmationDestvraie.
Justification:
Méthode1:
63042 60000 3000 42 60 000, 3 000 et 42 sont divisibles par 6 donc N est divisible par 6.
Méthode2:
On reprend la décomposition de Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N est divisible par 2 3 donc par 6.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar6.
Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible à la fois par deux et par trois. Il est divisible par 2 car son dernier chiffre est pair. Il est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 15 lui-même divisible par 3.
Quelle que soit la valeur de �, 2 3 2 3 2 3 2 3 . Pour les autres expressions, on peut vérifier que par exemple pour 2 elles ne sont pas égales à la valeur prise par 2 3 , à savoir 8 + 24 = 32. A vaut 40, B vaut 160, et C vaut 192.
foisplusgrande),ilfautavoirdeuxrésultatsmultiplesde17(unautre17ouun34).On peut donc par exemple remplacer la boulemarquée 7 dans l’urne 1 par une boulemarquée 6, onobtiendraainsiunetunseulnouveaurésultat17lorsqu’elleseraassociéeaveclaboulemarquée11(lesautresrésultatsinduitsnesontpasdesmultiplesde17).
Cen’estpaspossible.Sixrésultatssontmultiplesde3:3,15(obtenudeuxfois),18,24et27.Ilssontrépartissuraumoinsdeuxlignesoudeuxcolonnes.Enmodifiantuneseuleboule,onn’agitquesur une seule ligne ou une seule colonne. Il est donc impossible de n’avoir aucunmultiple de 3 en nechangeantquelavaleurd’uneseuleboule.
Pour ranger les équipes, on compare les nombres de jetons verts obtenus, puis, en cas d’égalité, oncomparelesnombresdejetonsbleus,puisrouges,puisjaunes.
Lechoixdesinconnues (pourNoir)et (pourBlanc)aulieude et n’estpasanodin.Ilestplusaisédetraduirel’énoncéetdere‐contextualiserlasolutionlorsquelesinconnuessontenliendirectaveclecontextedel’énoncé.
Méthode3:Techniquedeséchanges
Lebadgenuméro1estconstituéde3trianglesnoirset5trianglesblancs,lebadgenuméro2estconstituéde4trianglesnoirset4trianglesblancs.Pourpasserdubadgenuméro1aubadgenuméro2onsubstitueun triangleblancparuntrianglenoir.Lecoûtdiminuede1,5euro.Pourpasserdubadgenuméro2aubadgenuméro3, on effectue lamême transformation (on échangeun triangle blanc contreun trianglenoir), le coût du badge numéro 3 diminuera de 1,5 euro par rapport au prix du badge numéro 2. Or16 1,5 14,5,donclebadgenuméro3revientà14,5euros.
Latechniqueparempruntestunesoustractionposéeencolonne.On soustrait les chiffres colonne par colonne. Lorsque, pour une colonne, le calcul est impossible, on«emprunte» une unité au rang supérieur dans le nombre du haut. Le chiffre de la colonne de rangsupérieurdunombreduhautsevoitdoncdiminuéd’uneunité.Celarevientdoncàtransformerlenombreduhautdansuneécriturenonconventionnellecar12856devient(12)milliers(7)centaines(14)dizaines(16)unitéscequipermetainsid'effectuerlasoustractionsanspasserparles«retenues».
1) c) Lessavoir‐fairemathématiquesqueStevinsupposeconnusdeseslecteurs
Stévin suppose ses lecteurs familiers des fractions décimales, de leur addition et de leur simplification
(parexemple =1).
2) a) « 27 8471000
, , fontensemble[…]
278471000
376751000
8757821000
93923041000
93920001000
3041000
939 23041000
=9413041000
2) b) Lastratégiede« démonstration »deStevin
Stévin cherche à vérifier la techniquede calcul posédes trois nombresqu’il propose en revenant à uncalculsur les fractionsdécimales.Cela luipermetderetrouver lerésultatde l’addition,cequiconstituepourluiunepreuvedelavaliditédelatechniqueproposée.Ausensactuel,lavérificationàpartird’unexempleneconstituepasune«démonstration».Aujourd’hui,pourdémontrer lavaliditéducalculposédans lecasgénéral il seraitnécessaired’utiliserdesécrituresalgébriques.
Remarque:
Onpeutmême remarquer que Stévinn’utilisepas explicitement l’exemplepour justifier les étapesde soncalculposé–auquelcasonauraitunedémarchede justificationd’unalgorithmesurunexempleàvaleurgénérique–maisseulementpourvérifierlaréponse.Parexemple,ilnejustifiepaslesretenueseffectuéesàchaqueétapeducalculen s’appuyant sur les relationsentreunités:7③5③2③=14③=1②4③justifielaretenuede1aurangdescentièmes(②).
3) a) Calculduproduitde3,07par0,102.
⓪ ① ② 3 0 7 1 0 2 ③ Ce③designe ledernierordred’unite (millième)du
multiplicateur. 6 1 4
0 0 0 3 0 7
3 1 3 1 4
① ② ③ ④ ⑤
3) b) Justificationparlecalculalgébrique
Danscetalgorithmedecalculduproduit,lesnombrescercléssontadditionnésetnonmultipliés.Danslecalcul ci‐dessus, on ajoute② (dernier ordred’unité dumultiplicande) et③(dernier ordred’unite dumultiplicateurpourobtenir⑤quiestledernierordred’uniteduproduitobtenu.Lesautresordress’endéduisentdeprocheenproche.OnpeutjustifierAvec nos notations actuelles, on peut écrire: 7 10 2 10 14 10 14 101 10 4 10 . On retrouve sous le chiffre 4 obtenu au dernier rang du produit le ⑤ quicorrespondà10 .Celasejustifieparcetterèglegénéralesurlesexposants:pourtoutnombreréelaettoutnombreentiernetm,ona .
Aucunejustificationn’estattendue.Laconfigurationn°1n’estpaslaplusadaptéepourrésoudreleproblèmeréelcarsanscodaged’angledroit,onn’apasleparallélismede(AB)avec(CD).Cecinepermettrapasd’appliquerlethéorèmedeThalèspourtrouverlalongueurdeslames.Delamêmefaçon,laconfiguration2neconvientpascarl’alignementdespointsA,O,D,demêmequeceluideB,O,Cnesontpasvérifiés.La configuration 4 ne convient pas non plus car les égalités de longueursAO=BO etOC=OD ne sont pasvérifiées.Laconfiguration3estdonclaplusadaptée.
cmsoit35,7cmarrondiaumillimètre.Pour que l'écartement de 14 cm des poignées corresponde à une ouverture de 50 cm des lames, lalongueurdeslamesdoitdoncêtreenvironégaleà35,7cm.
On complète la représentation donnée dans l’énoncé entraçantenpointilléslesarêtescachées.On les trace en respectant la convention suivante, liée à lareprésentationenperspectivecavalière:leparallélismeestconservé,autrementditdesarêtesparallèlesdanslaréalitédoiventêtreparallèlessurlareprésentation.
Remarque:
On ne fait pas apparaître d’arête au niveau du recollemententrelabaseduprismedroitetlaface«avant»ducube,carces deux faces sont coplanaires et ne forment donc qu’uneseule facedunouveausolide. Idemauniveaudurecollemententrelabaseduprismeetlaface«arrière»ducube.
Il y a 6 faces pour le cube et 5 faces pour leprismedroitàbase triangulaire, auxquellesonretranche:
‐ les 2 faces carrées (BFGC) suppriméeslorsdurecollement;
‐ 2 faces car les faces GFJ et EFGH d’unepart, et BIC et BCDA d’autre part, neforment qu’une seule face aprèsrecollement(voir laremarquefaitedanslaréponseàlaquestion1).
On peut ensuite compléter avec les deux faces obtenues par recollement d’une face carrée du cube etd’unebasetriangulaireduprisme.Onsaitquecesbasessontdestrianglesisocèlesdontlabasemesure3,etdontlahauteurrelativeàcettebase(etdonclamédiane,puisquelestrianglessontisocèles)mesure2aveclecmpourunitédelongueur:onpeutdoncconstruirecestriangles,enconstruisantleurstroisièmessommetsrespectifsàpartirdeshauteursassociées.
On peut enfin terminer avec les deux faces rectangulaires du prisme droit qui sont intactes après lerecollementdesdeuxsolides.Cesontdesrectanglesdontunedimensionest3cm,etl’autrecorrespondàla longueurdescôtés issusdessommetsprincipauxdestriangles isocèlesprécédemmentconstruits(onreporteleslongueursaucompas).
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
Annales2014COPIRELEM Page218
EXERCICE4
1) NaturedutriangleEGC
Les trois côtésdu triangleEGCsont tousdesdiagonalesd’une facedu cube. Ilsontdonc tous lamêmelongueur.LetriangleEGCestdoncéquilatéral.
Oncommenceparnommerlessommetsdechacundescarrésdupatronducubedonnédansl’énoncé,enprocédantdeprocheenproche.Par exemple, on voit sur la représentation en perspective cavalière que pour le cube, l’arête [AH] estpartagéeparlesfacesAHGBetAHED,doncsurl’amorcedupatronoùlecarréAHEDestdéjàrepéré,onpeut identifier lessommetsducarréquiestadjacentàcecarréauniveaudusegment[AH] :cesont lessommetsGetB(quel’onplacedetellesortequel’ordredeparcoursdessommetsA,H,G,Bsoitpréservé).Onpoursuitainsicarréparcarré,deprocheenproche.
sont pour chacundeux côtés adjacentsde faces carréesdu cube (respectivementBGFC, EFGHetEDCF);
‐ enfin, la seule face qui n’est coplanaire avec aucune des faces du cube initial: la face EGC, qui,commeon l’a vuplushautestun triangleéquilatéraldont lesdiagonales sontdesdiagonalesdefacesducube.
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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On adapte alors le patrondu cubedonnédans l’énoncé en lemodifiant facepar face, et en ajoutant lafaceEGC.Onobtient alorsdansunpremier temps la figureprésentée ci‐dessousà gauche.On constatealorsqueletriangleB3CG2nepartagequ’unsommetaveclerestedelafigure.Onmodifiedoncsaposition,detellesortequ’ilpartageuncôtéavecundesautrespolygonesdéjàtracés.OnobtientalorsunpatrondusolideS,présentéci‐dessousàdroite PatrondusolideS :
Parcommodité,dansceparagraphe, si [AB]estunsegment,ABdésignera lamesuredesa longueurenprenantlemètrecommeunitédelongueur.NommonsABC le triangle rectangle enA. Il possèdeunanglede90° etundeuxièmeanglede45°, sontroisièmeangleestaussiégalà45°(lasommedesanglesdansuntriangleestégaleà180°).LetriangleABCestdoncisocèleetonaBA=AC=150.EnappliquantlethéorèmedePythagoredanscetriangle,onaBC²=AB²+AC²=150²+150²=45000doncBC=√45000≈212,13.Lalongueurdelacordeestapproximativementde212m.
Ilfautêtrevigilantdanscegenredequestionsauxensemblesderéférenceconsidérés. Le pourcentage se calcule en rapport du total avant diminution (254:50400) et non pas après
Remarque:Si le pourcentage était rigoureusement égal sur chaque période, le calcul à effectuer serait 1 282 052 x(1 282 052:1 050 539)x(1 282 052:1 050 539)Cependant, cette recherchedeprécisionn’apasd’intérêt car lesdonnées initialesne sontpas certainesàl’unitéprès,etl’hypothèsedelaconservationdupourcentaged’augmentationestellemêmetrèsfragile.Lerésultatobtenun’adesensqu’entantqu’ordredegrandeur.
3) SuperficiedudépartementdelaLoireAtlantique
Nous montrons ci‐dessous (figure 1)un tracé possible, parmi beaucoup d’autres (voir remarque etfigure2)pourapprocherl’airedelaLoireAtlantiqueàl’aidededeuxtrianglesdemêmebase.Oncalculed’abordl’airesurledessinàpartirdesvaleursmesuréesàlarègledelabaseetdelahauteurcorrespondantedechaquetriangle.(12,3×6,4):2+(12,3×5,2):2=(12,3×11,6):2=12,3×5,8=71,34L’airedelafiguredessinéeestdoncenviron71cm².Uncmreprésentant10km,chaquecentimètrecarréreprésenteuncarréde10kmdecôté,soit100km².LasuperficiedelaLoireAtlantiqueestdoncd’environ7100kilomètrescarrés.(Lasuperficieréelleestd’environ6815km²).
La superficie nécessaire pour couvrir l’ensemble des besoins du département en 2010, calculée enhectaresétaitd’environ1 282052×4,6soitenviron5 900 000ha.Unhectareestlasuperficied’uncarréde100mdecôté,soit1ha=100m×100m=10 000m2.Unkm2équivautà1 000 m × 1 000 m = 1 000 000m2,donc1km2=100ha.Lasuperficienécessaireestdoncd’environ59 000km2.
5) a) RangementdesdensitésdepopulationdescinqdépartementsdesPaysdelaLoireLa densité de la Loire Atlantique est proche de 200 car 200 x 6800 = 1 360 000 (sans calcul, on peuttoutefoisestimerquec’estlaplusfortedensité: lessuperficiessontsensiblementégalesauregarddelapopulationdecedépartementquiestbeaucoupplusimportante).CelleduMaineetLoireestlégèrementsupérieureà100:790343estsupérieurà100×7166maislesdeuxnombressontdel’ordrede700000;c’estladeuxièmedensitélaplusimportantepuisquelesautressontinférieuresà100.LadensitédelaMayenneestvoisinede60car5 000x60=300 000.LaSartheetlaVendéeontdesdensitéscomprisesentre80et100.90×6200=558000, 91×6200=558000+6200=564200. La densité de la Sarthe est donc prochede91.90×6700=603 000.5×6700=33500.95×6700=603000+33500=636500.LadensitédelaVendéeestdoncvoisinede95.
Le pointO est le centrede symétrie duparallélogrammeABCD et du cercle Г de centreO et de rayon√2cm.GestlesymétriquedeEparrapportàO.Eneffet,Eappartientàladroite(AB)etaucercleГ.SonsymétriqueparrapportàOappartientdoncausymétriqueparrapportàOdeladroite(AB)etausymétriqueducercleГ,c’est‐à‐direàladroite(CD)etaucercleГ.LesdeuxpointsGetHvérifientceci.Lasymétriecentraleconservelesdistances.Surlafigureproposée,Eestlepointd’intersectiondeГavec(AB)leplusprochedeA.Doncsonsymétriqueestlepointd’intersectiondeГavec(CD)leplusprochedeC(carCestlesymétriquedeAparrapportàO):c’estdoncG.Demême,HestlesymétriquedeFparrapportàO).DoncEetG(respectivementFetH)sontdespointsdeГdiamétralementopposés.EFGHestunquadrilatèredontlesdiagonalesontdoncmêmelongueuretmêmemilieu,c’estunrectangle.Commel’angle estdroit,ladistanceentreEetHestégaleàladistanceentreAetladroite(CD),doncEH=2cm.Parailleurs, comme le triangleEFHest rectangleenEetqueFH=2√2cm,ona,d’après lethéorèmedePythagore,EF2=FH2–EH2=8–4=4.DoncEF=2cm.LerectangleEFGHadeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,doncEFGHestuncarré.
Secondeméthode:
EFOestuntriangleisocèleenO.Soit I le pied de la hauteur issue de O. (OI) est perpendiculaire à (AB) et O est le centre du
parallélogrammeABCDdoncOI=22=1cm.
D’aprèslethéorèmedePythagoredansletriangleEIOrectangleenI,EI²=EO²‐IO²=√2 –1².DoncEI=1cm.DemêmeIF=1cm,d’oùEF=2cm.Demême, en se plaçant dans le triangleHGO isocèle en O, avec J le pied de la hauteur issue de O, onobtientHG=2cm.Onaégalement(EF)parallèleà(HG).EFGHestdoncunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur,c’estunparallélogramme.Parailleurs, commeEI=HJ=1 cm,EIJHestunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur.EIJHestunparallélogramme.Deplus,comme(OI)perpendiculaireà(EF),(OJ)perpendiculaireà(HG)et(EF)parallèleà(HG),(OI)et(OJ) sont deux droites parallèles qui ont un point commun. Donc I, O et J sont alignés et (IJ) estperpendiculaireà(EF).EIJHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Donc(EF)estperpendiculaireà(EH).EFGHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Parailleurs,comme(EH)estperpendiculaireà(EF),EHestladistancedeAà(CD)doncEH=2cm.NousavonsdéjàmontréqueEF=2cm.EFGHestdoncunrectangleayantdeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,c’estuncarré.
Dans la procédure 1, les élèves ne connaissent pas le nombre de nidsmais seulement le nombre totald’oiseaux.Danslesprocédures2,3et4lesélèvesconnaissentlenombredenidsmaispasnécessairementlenombre total d’oiseaux, néanmoins ils établissent une relation entre le nombre de nids et l’obtention dunombrerequisd’oiseaux.LaprocédurequiconsisteàdénombrerlesnidsetprendreledoubledecenombrerelèveduCP.
b) Bonnombred’oiseauxsanscompterlesnids
Avec laprocédure1, un élève effectue le comptagedunombred’oiseauxdirectement sur lesnids sansgarderenmémoirelenombretotaldenids.
L’objectifde la séquence est la constructiond’une collectiondont le cardinal est ledoubled’uneautre. Ilparaitessentielque lemaîtreconduise lesélèvesàpercevoircettenotiondedoubleen insistantsur le lienentrelenombredenidsinitialetlafaçondontlenombred’oiseauxpeutêtreexprimé.Lasynthèsedoitdonc
L’éloignement des oiseaux: si les nids et les oiseaux sont ensemble dans le champ visuel del’élève,cedernierpeutfairedesallers‐retoursvisuelspourtrouverlebonnombred’oiseausansutiliserledénombrement.
Lesélèvesont‐ilsàallerchercherseullesoiseauxoudoivent‐ilsdonnerunmessageàunautreélève: la formulation d’une commande oblige l’élève à communiquer soit le nombre d’oiseaudésiré(parexemple«12oiseaux»,soitlafaçond’avoirlenombred’oiseaudésiré(parexemple«6oiseauxetencore6oiseaux»).
Ondésigneainsilesprocéduresdanslesquelleschaqueenfantsesertsanstenircomptedesonvisàvis,maisoùleduocomparelescollectionsentreelles.Ils’agitdesgroupes6et7.Pourcesdeuxgroupes,lemoyendecontrôledel’équipotencedescollectionsestspatial(représentationdans l’espaced’une correspondancepaquets à paquets: paquets dedeuxpour le groupe7, paquets detrois pour le groupe 6). La contrainte de place amène le groupe 7 à substituer à cette représentation,l’égalitédeshauteurs.
c)Procéduresduellessynchrones
Nousdésignonsainsilesprocéduresoùlesenfantss’assurentdel’équipotencedescollectionsenutilisantla synchronisation de leurs gestes. Il s’agit des groupes 2 (placement des objets), 3 et 5 (pour lecomptage).
d)Procéduresduellesalternées
Ondésigneainsilesprocéduresoùlesenfantsseserventàtourderôle.Ils’agitdesgroupes2,4et5.Lesgroupes2 et 5 effectuent unedistributionun à un, alors que le groupe4 effectueunedistributionparpaquetsde2.
2) Moyensdecontrôle
Les enfants s’assurent de l’équipotence des collections obtenues lors du partage soit par unereprésentationtemporelle(simultanéitéoualternance),soitparunereprésentationspatiale(paquetsouobjetsmisfaceàface).Seullegroupe1n’utiliseaucunedecesreprésentationsetn’aainsiaucunmoyendecontrôle.Enoutre,legroupe5s’assuredel’équipotenceparcomptage(simultané).Enrevanche,mêmesi legroupe4utilisecommemoyendecontrôle lareprésentationspatialedessouscollections,cemoyennesemblepasavoirdesenspourlui,puisqu’ilnel’utilisepaspour«interroger»sontravail.
3) Analysedurésultatdugroupe4.
Les enfants appliquent la procédure rappelée lors du bilan, en procédant chacun à leur tour, mais enprenant deux objets à la fois. Le nombre de paires d’objets n’étant pasmultiple de deux (15paires entout),unepaired’objetsestattribuéeenplusàl’undesdeuxalignements.Onpeutsupposerquechaquealignement représente respectivement laquantité attribuée auxpetits et aux grands, lepartageobtenun’estpaséquitable.Le travails’arrêteà lamiseen lignedespairesd’objets,sansaller jusqu’àcontrôlerl’équipotencedesdeuxcollections.
godets est trop grande (relativement à leur nombre) que les enfants sont obligés d’avoir recours àl’empilement.
• Une troisièmevariabledidactique, nonnégligeable, est lanaturedunombred’objets (bien entendu,nombre pair). Si ce nombre n’est ni multiple de 3, ni multiple de 4, ni de 5, les procédures derépartitionparpaquetspeuventêtremisesendéfautcommelemontrel’exempledugroupe4.
5) Lasituationdesgommettes1
Remarque:
On suppose que les gommettes sont données en vrac, et non pas sur des planches de gommettes déjàorganisées.
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeux collections. Pour cela il peut compter le nombre de gommettes de chaque côté et comparer lesnombresobtenus(comptineoubandenumérique)
Procédure1bis:
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutfaireunecorrespondancetermeàtermeenorganisantspatialementlesgommettesdechaquecollection.
Procédure1ter:
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutorganiserchacunedescollectionssousformedeconstellation.
L’élève place le fil de façon perceptive, puis dénombre par comptage chacune des deux collections. Ilcomparelesdeuxnombresobtenus(comptine,filenumérique,etc.).Silesdeuxnombressontégaux,ilafini.Sinon,ildéplacelaficelleetrecommenceàdénombrer…
Procédure2:
L’élèvedénombreparcomptage lacollectioncomplète,puis ils’appuiesursaconnaissancedesdoublespourdéterminer lenombredegommettesdechaquecôtédu fil. Il comptecenombredegommettesetplacelefil.
L’élève estime lenombre correspondant à lamoitiédes gommettes, par exemple4. Il compte, avec sesdeuxindex,4gommettesdechaquecôtédelacarte.S’ilrestedesgommettesnoncomptées,ilajustesonestimationinitialeàlahausse,etilrecommence.S’iln’yapasassezdegommettespourcompter4,ilajusteàlabaisse,etilrecommence.Sinon,ilplacelefil.
Chaque élève du binôme émetteur peut être en activité lors de la phase de recherche d’un découpagepossible.Quandilssesontmisd’accordsurunpartage,uneseulebandeestdécoupée.
a) Descriptiondelasecondetechniquedemultiplication(celleemployéeaumilieuparNoradansl’annexe1)
Chaquechiffreestmultipliépar41,pourlechiffredesunités,onobtientunnombred’unités(quipourracomporterdeuxchiffres);pourlechiffredesdizaines,onobtientunnombrededizaines;etc.Ladiagonaledechaquecarréséparelechiffredesunitésetceluidesdizainesdurésultat(16unitésc’est1dizaineet6unités,demême,5×4donne20séparéesen2et0,etc.).Pour finir il suffit d’ajouter les unités demême rang ensemble (en suivant les diagonales). En effet ladispositionproposée fait apparaîtreque5dizaines×4donne20dizaines soit 2 centaines et0dizaine(chiffresquisetrouventdanslesdemi‐casesendiagonale).
b) Comparaisondestroistechniquesproposées
Ilyad’unepartdeuxtechniquesposées(annexe2)etunetechniqueenligne(annexe3).Il faut comprendre le rôle des différents signes présents: diagonales, tracés, flèches, cases et ronds, etfaire le lien entre le matériel de numération représenté (valises, boites, jetons) et les écrituresdécomposéesdesnombres.
Similitudes:
Au niveau de la justification de la technique: les trois techniques s’appuient sur la propriété de ladistributivitéde lamultiplicationparrapportà l’additionetconsistentàeffectuer lamultiplicationd’unnombredécomposésuivantlespuissancesde10:(1000+3×100+5×10+4)×4danslesdeuxpremierscaset(100+6×10+8)×4dansletroisième.Au niveau des supports pour la mise en œuvre de la technique: dans les deux premiers cas, des«retenues» apparaissent placées à des endroits bien précis: dans la partie gauche de chaque casepartagéeparunediagonalepourNora,danslesrondsau‐dessusdel’opérationposéepourMax.
Différences:Auniveaude lamiseenœuvrede la technique:Norapeut faire lesmultiplicationsdans l’ordrequ’elleveut car les additions sont gérées après que toutes lesmultiplications ont été effectuées.Max doit leseffectuerdedroiteàgauche, tandisque la techniqueen ligneamèneàeffectuer les calculsdegaucheàdroite , en commençant par multiplier les centaines ,puis les dizaines, puis les unités.. De ce fait, latechniqueen ligneconduità calculer l’addition400+240+32sanscalculde retenuesaucontrairedesautrestechniques.
c) Lesraisonsduchoixdesauteursde« J’apprendslesmaths »
Onpeutvoirdeuxraisonsàcechoix:lelienentrecalculenligneetcalculposé,l’importanceaccordéeaucalculmentalparlesauteursdecemanuel.Il s’agit d’unemultiplication d’un nombre entier de trois chiffres par un nombre à un chiffre. Elle esteffectuéeendécomposant lepremiernombreencentaines,dizaines,unités,décompositionreprésentéepar le matériel. Chaque unité de numération est multipliée séparément et les résultats obtenus sontajoutés.Misàpartlefaitquelescalculss’effectuentdegaucheàdroite,cetteméthodeestsimilaireàcelledelamultiplicationposéeetpeutaideràencomprendrelasignification.Pour les auteurs, cette méthode est importante car c’est celle qui est privilégiée en calcul mental. Ilconvientdoncdel’exposerauxélèves.1Cetteexpressionestunabusdelangage.Ilfaudraitdire:«chaquenombredésignéparlechiffreestmultipliépar4»carunchiffreestunsymbolepermettantd’écriredesnombresetlesopérationsportentsurlesnombres.
Introductiondelamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresparunnombreàunchiffre(37×5).Les auteurs donnent deux supports pour obtenir le résultat de la multiplication; ils amènent lamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresà l’aideducalculde l’aired’unrectangle(dans lesensd’unemesure‐produit)découpéendeuxrectanglesbienchoisis(dontlesairessontplusfacilesàcalculer)oududénombrementdecarrésdansunrectangle,doncendécomposant«37»en«30et7».Laprésentationdans la seconde colonnede lamêmemultiplication cette fois‐ci posée estdonnée sanscommentaireparticulierhormis:«jefaiscommePaco».L’élève doit identifier le lien entre les calculs qui apparaissent dans la multiplication posée et ceuxprésentsdanslerectangle.L’ordredescalculsn’estpaslemêmeetladispositiondesnombresdansuncalculdiffère(30×5et7×5danslesrectangleset5×7et5×30.Unequestionsurlamiseenévidencedelacommutativitéestproposée:«quelestlerésultatde5×37?».Laréponsenepouvants’obtenirqu’enobservantlerectangleplutôtqu’àl’aidedelamultiplicationposée.
Annexe4:(livredumaitre):Un contexte présenté dans une histoire permet de renforcer le sens de lamultiplication (en lien avecl’addition réitérée) et d’inciter à utiliser la décomposition des nombres puisque le contenu chaqueenveloppeestprésentéen séparantdizainesetunités. Ilpermetd’aborderdifférentesprocédurespourtrouver«combiendeperlesdansletrésor?»correspondantàlamultiplication87×5.Ensuiteuneprésentationdelamultiplicationposéeestamenéeparleprofesseurens’appuyantd’abordsurl’additionitérée.Laverbalisationpermetdevoirquel’onestamenéàcalculer7+7+7+7+7cequirevientà«faire5fois7».L’appuisurlanumérationetladécompositionenpuissancede10intervientpourcomprendrelerôledelaboiteàretenue.Oncalculelenombrededizainesentenantcomptedesdizainesdéjàretenues.
LemanuelEuroMathss’appuiesuruneconfigurationrectangulaire, ilprésentelamultiplicationdanslesensmesureproduit sur un quadrillage 37x5; elle apparait comme l’outil permettant de calculer lamesuredel’aired’unrectanglede37sur5(nombredecarrésparlignemultipliéparlenombredecarrésparcolonne)sommedesairesdedeuxrectanglesde30sur5etde7sur5.Lacommutativitéesticimiseenévidenceàdifférentsmoments.
LemanuelCAPMathss’appuiesurunproblèmedeproportionnalitésimple:onconnaitlavaleurd’uneunité (1 enveloppe contient 87 perles) et on cherche la valeur de 5 unités. Lamultiplication apparaitcomme une addition réitérée 87+87+87+87+87. Il est plus difficile de mettre en évidence lacommutativitédanscecontexte.
• Lamiseen évidence delacommutativitén’estpas «évidente» pour concevoir qu’il y aautant de billes dans 58 paquets de 3 billesquedans3paquetsde58billes.
Savoir multiplier par 10, 100, 1000: puisque la décomposition d’un des facteurs est celle quicorrespond à la décomposition polynomiale du nombre (parfois désignée par désignationcanonique)selonlespuissancesde10.Danslesproduits intermédiaires,cesfacteursserontdoncprésents.
Connaitrelestablesdemultiplication(aumoinslespremières)ouêtrecapabledelesreconstruirerapidement: puisque dans la mise en œuvre de la technique de la multiplication, ce sont desproduitsd’unnombreàunchiffreparunnombreàunchiffrequiserontutilisés.
Avoir des connaissances en numération: connaitre la valeur des chiffres dans l’écriture desnombres et savoir qu’un groupementdedix unités donneunedizaine, qu’un groupementdedixdizainesdonneunecentaine.
Laprocéduren'estpasrecevableetlaréponsedonnéeestfausse.L'élèveeffectue la sommedesdeuxdonnéesnumériquesde l'énoncé : il ajoute lesheuresdedépart etd'arrivée,enlesinterprétantdemanièreerronéecommedesdurées.
Élève2
Laprocéduren'estpasrecevablemaislaréponsedonnéeestnumériquementcorrecte.L'élèvecalculeunedifférenceentredeuxinstants.Ilsaitprobablementqu'il"doitcalculerunedifférenceentredeuxheures" («l'heured'arrivéemoins l'heurededépart»), et il estpossiblequ'enpratique, il aiteffectuéladifférenceentre"laplusgrandeheureetlapluspetite",soit19h‐7h.Lechoixdesvariablesnumériquesdansl'énoncé(heuresdedépartetd'arrivée)faitquecetélève,avecunmauvaisraisonnement,donneuneréponsecorrecte.Celan'auraitpasétélecas,parexemple,silebateauétaitarrivéà6h.
Cetélèven’aréponduqu’àunepartiedelaconsignequiluidemandede"convertir".Ils’estcontentédecompléterletableauaveclesunitéssansyindiquerlesnombresattendus.Onpeutsedemanders’ils’enest servi pour effectuer les conversions, il peut l’avoir utilisé mentalement ou avoir utilisé une autretechniquedeconversion.Dans lamesureoù le tableaudevaitêtrecomplété,onpeutpenserque lemaîtresouhaitaitnotammentvérifierlacapacitédesélèvesàrempliruntableaudeconversion.Toutefois,letravaildeconversionaété
c)L’élèveplacecorrectement700cmdansletableaumaisdonnelerésultatenmillimètresaulieudedonnerenmètres.L’élèvesemblevouloir«remplir»letableaujusqu’àladernièrecolonne(mm).Lefaitdeplacercorrectement700dansletableaupeutavoirplusieursorigines:plusgrandefamiliaritésavec lescmou impossibilitédeplacer leszérosdans le tableausi le7estplacédans lacolonnedesdécimètres.
e)Commepourlaquestionb),l’élèvedoitplacerunnombreàdeuxchiffresdansletableau,ilécritlechiffreleplusàgauchedanslacolonnedesunitéscorrespondantes.Cetteerreurpeutêtredueaufaitde respecter la chronologie de l’écriture du nombre (on écrit d’abord 6 puis 2) et par conséquentl’élèvefaitcorrespondrelepremierchiffreàécrireàl’unitéassociée.Illuiestdoncdifficilederompreavecl’ordreusueld’écritureoudel’adapteràlasituation.
Pour la question c), l’élève inscrit 700 dans une seule et même colonne puis complète les colonnesjusqu’auxmillimètresavecdeszéros.
La réponse à la question e) est erronée, l’erreur est due aumauvais placement des chiffres de 62m,comme l’élèveprécédent, il écrit lepremierchiffreàgauchedans la colonnede l’unité correspondante.L’erreurprécédentedeplacementdeplusieurschiffresdanslamêmecolonnen’estpasrépétée.
Élève3
Une première remarque préalable: les unités n’ont pas été correctement placées dans le tableau(permutationentremètresetdécimètres).
b) Le nombre est correctement inscrit dans les colonnes du tableau et la réponse donnée est correcte.Néanmoins,ilfautremarquerquel’usagedutableauauraitdûentraineruneréponseincorrecte(3600m).Onpeutdoncfairel’hypothèsequel’élèven’apasutiliséletableaupoureffectuercetteconversion.
appliquerlatechniquecorrespondantaucasàtraiteretilyadenombreuxcaspossibles:o celui où la nouvelle unité est une «sous‐unité» de l’unité initiale (dans ce cas on
sous‐cas:«barrer»deszéros(parexemplepour700cmàconvertirenm),ouplacerlavirgule à droite de la colonne de la nouvelle unité (par exemple 12cm en m) etéventuellementcompléterpardeszérosdanslescolonnesaprèslavirgule(parexemple12cmenhm),voirecombinerplusieursdecescas(120mmenhm).
ANALYSEDEMANUELS(longueursauCP)
1) Analysedel’activitépréparatoirep.46
a) procédureplussimplepourcomparerlataillededeuxenfants
Dans l’exercice, lesbâtonssontdessinés sur la feuilledepapier (doncnondéplaçables)etont tousdesorientationsdifférentes.Ilestdoncdifficiledelescomparervisuellement,lesenfantssontdoncconduitsàdescomparaisonsindirectes.
3) Analysedesactivitésp.47
a) Comparerleslongueursdeplusieurstrajetsdanslacour
Dans l’activité préparatoire, la comparaison de plusieurs trajets tracés dans la cour ne peut se fairedirectement:lesenfantsn’ontpasunevisionglobaledestracés.Onnepeutpasrendrelestracés«rectilignes»commeonleferaitavecunobjetmatérieldéformable.Onnepossèdepastoujoursdeficelleassezlonguepourpasserparcetintermédiaire.Onpeutfaireappelàunétalon que l’on reporte régulièrement (comme par exemple le report régulier d’un bout de ficelle, d’unbâton, d’un pas : dans ce dernier cas la difficulté à reproduire l'étalon à l'identique peut motiver lanécessitédeconstruireunétalon"fixe"…).
Pour chercher les mesures des longueurs des deux chemins, les élèves vont mesurer la longueur dechaque segment constitutif d’un chemin et faire la sommedesmesures obtenues.Cette procédure estbaséesurl’additivitédelamesure:
mesure(AUB)=mesureA+mesureBsiA∩B=ØIcipour les longueursdesegments,onpeutdirequesi l’onconnaît lesmesuresdes longueursdedeuxsegmentsalorslamesuredelalongueurdusegmentobtenuenmettantlesdeuxsegmentsinitiauxboutàboutestlasommedesdeuxmesures.
Cesvaleursnesontpasdutoutpertinentes,eneffet2alaparticularitéque2+2=2x2etdefaitn’estpaslemeilleurexemplepourmontrerl’utilitédelamultiplication.Par ailleurs, pour l’aire du rectangle, on voit les trois centimètres carrés, aucune opération n’estnécessaire, lesensde lamultiplicationpar1n’estpasdu toutclair.Unrectanglede5cmsur3cmparexempleauraitétépluspertinent.Dans le calcul d'aire d'un rectangle dont les côtés ont des longueurs s'exprimant à l'aide demesuresentières, le dénombrement des unités d'aire permettant de recouvrir le rectangle mobilise lamultiplication.
2) Explicationdelaformule
Ens’appuyant sur l’exempledurectanglede5cmsur3cmproposéà laquestionprécédente, et sur lapropriétéimplicited'additivitédesaires,onpeutfaireobserverauxélèvesquel'airedurectangleestlamêmequecelledes3rangéesde5centimètrescarrés,oucelledes5colonnesde3centimètrescarrés,sonairepeutdoncsecalculerenmultipliantsalargeur3cmparsalongueur5cmpourobtenir15cm².
Lestermesbasesethauteursontemployésdanslaviecouranteavecunsensdifférentdeceluiqu’ilsontenmathématiques: labased’unobjetest sapartie laplusbasse, cellequiestencontactavec le sol, sahauteurestladistance,mesuréeàlaverticale,entrelepointleplushautdel’objetetlasurfacehorizontalesurlaquelleilrepose.Certains élèves auront des difficultés dès que la disposition du triangle obligera à distinguer les sensusuelsetmathématiquesdecestermes,parexemplequandlabaseestdansunepositionverticaleet lahauteurhorizontale.Il pourraêtrepertinentde faireprendreconscienceauxélèvesquepourchaque triangle, il existe troischoixdebasepossibleetqu'àchacundeceschoixcorrespondunehauteurrelativeàcettebase.
Les élèves peuvent avoir déjàmanipulé unmatériel de numération similaire en classe. Dans ce cas, lemaître peut y faire référence et pointer les analogies entre le matériel familier des élèves et lesreprésentationsproposéesdanslemanuel.Siaucunmatérielsimilairen’estutiliséenclasse, lemaîtredoitavoirpréciséquetoutes lesbarressontconstituéesdedixpetitscarreaux,etquelesgrandscarréssontconstituésde100petitscarreauxoudedixbarres.Laconsignepeutaussiposerunproblèmedecompréhension.Lemaîtredoitparailleursavoirpréciséque«ledessinquiluicorrespond»signifie«ledessindanslecadreoùilyaexactementlenombredepetitscarreauxindiqué».Ilpeutaussipréciserquechacundes4cadresdoitêtrereliéàundes4nombres.La difficulté peut résider dans le fait que les représentations des nombres sous forme de collectionsorganisées ou d’écritures chiffrées n’apparaissent pas forcément comme un tout pour les élèves: ilspourraientrelier,parexempleunebarreavecunchiffre«1»présentsdansl’unedesécritures…Onpeutaussiremarquerlasuperpositiondesdeuxplaquesdanslepremiercadre
Parrapportà l’exerciceprécédent,pourlestroisexemples, lemaitredemandedeproduire l’écrituredunombre et non pas de choisir parmi des propositions, ce qui complexifie la tâche et évite certainesréponses trouvées par élimination. L’objectif de l’enseignant est encore demontrer l’importance de lapositiondeschiffresdansnotresystèmedenumération,maisausside fairecomprendre lerôleduzérodansl’écriture.
Par rapport au choix des collections, l’exempleA semble avoir pourbutde rappeler que chaque grandcarrécompte100petitscarreaux.Ilsepeutégalementquel’intentionsoitd’empêcherlecomptageeffectifdescarreaux(celui‐ciestinutilepuisque,pourlaplaque,lenombreestindiquéetlescarreauxsontflous).
L’exempleB,danslequelaucunebarrereprésentant«dix»n’apparaît,permettraaumaitredevérifierlacompréhension du «0» dans l’écriture du nombre. En effet, un élève qui compte «2» et «6», devraensuitetraduireen«206»pourtenircomptedufaitquele«2»estaurangdescentaines«6»aurangdesunitésetqu’unzéroaurangdesdizainesestalorsindispensable.Unélèvepeutaussicompter«cent»,«deux cents», «deux cent un», «deux cent deux»… «deux cent six», et avoir à écrire en chiffres sonrésultat(passagedeladésignationoraleàl’écriturechiffréedunombre).
170est vu comme«un‐sept‐zéro», c’est1 centaine, 7dizaines, 0unité. 720, «sept‐deux‐zéro», c’est7centaines,2dizaines,0unités.Enregroupantlesunitésdechaqueordreontrouve8centaines,9dizaines,0unitéquis’écrit890(«huit‐neuf‐zéro»).Cette procédure est assez proche de la technique de l’addition posée dans laquelle les nombres sont«traités»chiffreparchiffre.
«Cent soixante‐dix» plus «sept cent vingt», on dit: «deux cent soixante‐dix», «trois cent‐soixante‐dix»…«huitcentsoixante‐dix»,«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etonécrit890.
Remarque:
L’élève peut aller plus vite et dire «Cent‐soixante‐dix» plus «sept‐cent», «huit‐cent‐soixante‐dix» plus«vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt‐dix».Ilpeutaussidire«septcentvingt»plus«Centsoixante‐dix»:«septcentvingt»,«huitcentvingt»,«huitcenttrente»,«huitcentquarante»…«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etécrire890.
En utilisant la règle B, il conclura que 6,73 (qui s’écrit avec trois chiffres) est supérieur à 7,2 (deuxchiffres).
b) Utilisationdel’annexe2pourillustrerl’invaliditédecesaffirmationsLadroitegraduéeestunsupportpermettantd’illustrerlespropriétésrelativesàl’ordresurlesnombresdécimaux.L’enseignantpeuttirerdel’annexe2deuxdesexemplesillustrantl’invaliditédesaffirmationsdesélèvesdansledomainedesdécimaux:
pour la règleB, en lisant de gauche à droite sur la droite graduée, on rencontre le nombre2,73avantlenombre2,8donc2,73estinférieurà2,8etpourtantlenombre2,8nes’écritqu’avecdeuxchiffres,alorsquelenombre2,73s’écritavectroischiffres.
4) Additiondesnombresdécimaux
a) Hypothèserelativeàl’originedel’erreurprésentée
L’élève a vraisemblablement additionné séparément les parties décimales (7+5 = 12) et les partiesentières(3+2=5).Celaillustrelareprésentationerronéemaiscouranted’unnombredécimal(enécritureàvirgule)commeétantlajuxtapositiondedeuxnombresentiersindépendants.
L’aideproposéedoitdoncamener l’élèveà revenir àun calcul sur les fractionsdécimales.Cecipeut sefaire enutilisant les écritures fractionnaires commeci‐dessusmais aussi à l’oral en appui sur lesmots«unité»et«dixième»etlesrelationsquileslient(«dixdixièmeségalentuneunité»).
Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Rémi): sont donnés l’état initial:j[Rémi]’ai27voituresetlatransformationpositive:je[Jeanne]tedonne3voitures.
Situation2:
Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Jeanne): sont donnés l’état initial:Jeannea37billesetlatransformationnégative:elleendonne6.
Situation3:
Composition d’états avec recherche d’un des états composés: sont donnés la composé des deux états(Rémia14avions)etl’autreétat(onenvoit7).
La présence dumot inducteur «donne» peut être à l’origine de cette erreur, ce terme signifiant pourl’élèvequel’opérationàfaireestuneaddition.Ilpeutaussis’agirdelaproximitéàlafoisducontexteetduchampnumériqueavecl’énoncéprécédentpourlequelils’agissaitbiend’uneprocédureadditiveaveclemêmeverbed’action«donner».Unelecturerapidepeutmeneràconfondrelesdeuxsituations.
Aidespossibles:
Ilestimportantderevenirsurlasémantiquedel’énoncépourpermettreauxélèvesdechoisirl’opérationadaptée avant de faire le calcul. Ici il faut conduire les élèves à bien distinguer les expressions «tudonnes»,«elletedonne»quiamènentàopérerdefaçondifférente.Pourcelaonpeutparexemple:a)Fairevivredifférentessituationsdansdeschampsnumériquesplusrestreintavecprésenceduverbe«donner»maisquicorrespondentsoitàunajout,soitàunretrait:
Représentation schématique des 14 avions, puis réalisation de la partition: la collection des 9 déjàprésents,etlesautres.Dénombrementensuitedelasecondecollection.
Procédure2:
L’élève peut compter les 9 avions représentés puis surcompter à partir de 9 jusqu’à 14 et doublecomptagesoitenutilisantlesdoigts(celanécessiteradesesouvenirquelesdeuxmainsaurontdéjàétésollicitéespourdire14(10et4)),soitengardant latracedechaquenombreénoncé(entre9et14)enfaisantunpetittraitaufuretàmesuresurunefeuille.