1. Deducción Natural

REGLAS Y LEYES LÓGICAS

Pruebas de deducción natural

Reglas lógicas

Las reglas lógicas son modelos de razonamientos válidos.

Se expresan mediante metavariables (variables de variables). Así, en el siguiente ejemplo:

A v B

A y B pueden reemplazarse por cualquier fórmula:

p v q ( p ─ q ) v r p v ─ ( q r )

A B A B A B

Modus Ponens (MP)

Modus Ponendo Ponens

A B

A

BEjemplos

p q p ( q r ) ─ ( p v q ) r

p p ─ ( p v q )

q q r r

Prueba de deducción natural

p q 1. p q q r 2. q r p se expresa 3. p r r

1. p q Ejemplo 2. q r 3. p r 4. q de 1 y 3 por MP 5. r de 2 y 4 por MP

Ejercitación de la regla anterior

Ahora resuelva:

1. p ( ─ q r )

2. ─ q

3. p r

4. ─ q r de 1 y 3, MP

5. r de 4 y 2, MP

Modus Tollens (MT)

Modus Tollendo Tollens

A B

─ B

─ AEjemplos

p q p ─ ( q v r ) ─ ( p v q ) r

─ q ─ ─ ( q v r ) ─ r

─ p ─ p ( p v q ) Estamos presuponiendo: ─ ─ A A

Ejercitación de reglas anteriores

Ejemplo

1. p ( ─ q r )

2. p

3. ─ r q

4. ─ q r de 1 y 2 por MP

5. q de 4 y 3 por MT

Resuelva:

1. ─ ( p q ) r

2. p

3. ─ r q

4. p q de 1 y 3, MT

5. q de 4 y 2, MP

Simplificación (S)

Simplificación

A BA

O también

A BB

¿En cuáles de las siguientes expresiones se puede aplicar esta regla?

1. ─ ( p q )

2. p ( q r )3. ( p v ─ q ) r

Respuesta: sólo en 3.

( p v ─ q ) r r


Ejemplo

1. p ( q ─ r ) 2. p q 3. q ─ r de 1 y 2, MP 4. q de 3, S

Resuelva:

1. p (─ q r ) 2. p ─ r q 3. p de 2, S 4. ─ q r de 1 y 3, MP 5. ─ r de 2, S 6. q de 4 y 5, MT

Silogismo hipotético (SH)

Silogismo hipotético

A B

B C

A C

Ejemplo

p ─ r

t p

t ─ r

Resuelva

1. p ─ q

2. r s

3. ─ q r p s

4. p r de 1 y 3, SH

5. p s de 4 y 2, SH

Silogismo disyuntivo (SD)

Silogismo disyuntivo

A v B A v B

─ A ─ B

B A

Ejemplo

( p ─ q ) v r

─ ( p ─ q )

r

Resuelva

1. p ( q v ─ r )

2. p r q

3. p de 2, S

4. q v ─ r de 1 y 3, MP

5. r de 2, S

6. q de 4 y 5, SD

Conjunción (C)

Conjunción

A

B

A B

Ejemplo

p

p q

p ( p q )

Resuelva

1. ( p q ) ─ r

2. p ─ t

3. ─ q t ─ r

4. p de 2, S

5. ─ t de 2, S

6. q de 3 y 5, MT

7. p q de 4 y 6, C

8. ─ r de 1 y 7, MP

Adición (A)

Adición A A v B

Ejemplo p p v ─ ( q r )

Resuelva:

1. ( p v q ) ─ r 2. p ─ r 3. p v q de 2, A 4. ─ r de 1 y 3, MP 1. ( p q ) v r 2. ─ q ─ r 3. ─ q ─ p v ─ t 4. ─ r de 2 y 3, MP 5. p q de 1 y 4, SD 6. ─ p de 5 y 3, MT 7. ─ p v ─ t de 6, A

Leyes lógicas

Las leyes lógicas expresan equivalencias entre pares de fórmulas.

Se usan como reglas de inferencia y permiten, en cualquier paso de la demostración, reemplazar una expresión por otra equivalente. Así:

2 + 3 = 2 + (3 x 1)

Análogamente:

p ─ ( q v r ) p (─ q ─ r )

Teoremas de De Morgan (DM)

Teoremas de De Morgan

─ ( A v B ) ( ─ A ─ B )

─ ( A B) ( ─ A v ─ B )

Se pueden aplicar dentro de un paréntesis

Ejemplos

1. p ─ ( q v r )

2. p ─ q

3. p ( ─ q ─ r ) de 1, DM

4. ─ q ─ r de 2 y 3, MP

5. ─ q de 4, S

O también

3. ─ ( q v r ) de 1 y 2, MP

4. ─ q ─ r de 3, DM

5. ─ q de 4, S


1. ─ ( p v ─ q )

2. ( r q ) p ─ r

3. ─ p q de 1, DM

4. ─ p de 3, S

5. ─ ( r q ) de 2 y 4, MT

6. ─ r v ─ q de 5, DM

7. q de 3, S

8. ─ r de 6 y 7, SD

1. ─ [p v ( q v r )]

2. s ( q v r ) ─ ( p v s )

3. ─ p ─ ( q v r ) de 1, DM

4. ─ ( q v r ) de 3, S

5. ─ s de 2 y 4, MT

6. ─ p de 3, S

7. ─ p ─ s de 6 y 5, C

8. ─ ( p v s ) de 7, DM

Definición del condicional (DC)

Definición de condicional

( A B ) ( ─ A v B )

Ejemplo

( p v q ) ( ─ p q )

Resuelva

1. ─ ( p q ) p

2. ─ ( ─ p v q ) de 1, DC

3. p ─ q de 2, DM

4. p de 3, S

Transposición (T)

Transposición

( A B ) ( ─ B ─ A )

Ejemplo

( p ─ q ) ( q ─ p)

Resuelva

1. p v q

2. r ─ q r p

3. ─ p q de 1, DC

4. ─ q p de 3, T

5. r p de 2 y 4, SH

Más leyes lógicas

Ley de doble negación A ─ ─ A

Conmutación ( A B ) ( B A ) ( A v B ) ( B v A )

Asociación [( A B) C ] [ A (B C )] [( A v B) v C ] [A v (B v C )]

Exportación[( A B ) C] [A ( B C)]

Definición del bicondicional( A B ) [(A B) ( B A)]

Distribución[A v ( B C )] [(A v B) (A v C)][A (B v C)] [(A B ) v (A C)]

Idempotencia A ( A v A ) A (A A)

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