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Linéarité de l’équation de propagation de la lumière dans la plupart des milieux courants (milieux dits linéaires)
Transposition de la théorie des systèmes linéaires :• La réponse à une « entrée » complexe se décompose sous la forme de
réponses à des « entrées élémentaires » : réponses impulsionnelles• Théorème de superposition
Si invariance par translation (isoplanétisme en optique) : • Une seule réponse impulsionnelle décrit complètement le système, • La sortie est la convolution de « l’entrée » par la réponse impulsionnelle • dans l’espace de Fourier : filtrage des fréquences de « l’entrée » par la
fonction de transfert du système
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Propagation optique
Approche scalaire
traiter indépendamment toutes les composantes transverses des champs, valide si :
• taille des objets diffractants est grande devant la longueur d’onde
• observation des champs loin des objets diffractants
Cas des ondes monochromatiques :
- amplitude complexe du champ scalaire au point P
U(P) U(P) exp( i(P))
- en optique, c'est l'intensité I qui nous intéresse, en fait
l'amplitude du vecteur de Poynting : I c
4E H U
2
- équation de propagation d'Helmholtz sans source : 2 k 2 U 0
avec k 2
, laplacien 2 x 2
y 2
z2
- fonction de Green en espace libre : l'onde sphérique G(P) exp(ikr)
r
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Diffraction par une ouverture S
n)diffractio la de(et n propagatio la de linéarité la de expression
),(fonction unepar )( entréeen champdu n pondératio
de points lespar émises"" sphériques ondesd'ion superposit de Intégrale -
dehorsen 0et ouverturel' dans perturbénon incident champ
deplan le dans limitesaux conditions + : hypothèses
)()()( avec
),cos()exp(
)(1
)(
forme la sous Fresnel Huygensd’ Principe -
:plan écran un par n diffractio la de Exemple
100
0
01
21
201
201
20101
0101
0101
PPhPU
S
US)U(P
Sr
zzyyxxr
dsrnr
ikrPU
iPU
S
r01
P1 x x1
z
P0 x
n
y0
x0
y1
S
Plan d’observation
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Diffraction de Fresnel
Dimensions transverses petites devant distance de propagation z z1 z0 :
cos(n ,
r 01) 1 et r01 z
Alors U(P1) 1
iz U(P0)exp(ikr01)dx0dy0 avec U(P0) 0 si P0 S
Approximation de Fresnel :
r01 z 1 12
x1 x0
z
2
12
y1 y0
z
2
alors
U(x1, y1) exp(ikz)
iz U(x0,y0)exp i
k
2z(x1 x0)2 (y1 y0)2
dx0dy0
U(x1,y1) est maintenant la convolution de U(x0,y0) avec le noyau de Fresnel exp iz
(x 2 y 2)
U(x1,y1) exp(ikz)
izexp i
k
2z(x1
2 y12)
U(x0,y0)exp ik
2z(x0
2 y02)
exp i
2z
(x1x0 y1y0)
dx0dy0
Termes : de déphasages, TF U(x0,y0)exp ik
2z(x0
2 y02)
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Diffraction de Fraunhofer
- Approximation supplémentaire par rapport à Fresnel :
terme de phase quadratique négligeable sur toute l'ouverture S
z (x02 y0
2) d2 4 où d taille de l'ouverture, alors
U(x1, y1) exp(ikz)
izexp i
k
2z(x1
2 y12)
U(x0, y0)exp i2z
(x1x0 y1y0)
dx0dy0
U(x1, y1) exp(ikz)
izexp i
z
(x12 y1
2)
TF U(x0, y0)P(x0, y0)
où U(x0, y0) champ incident sur l'ouverture et P(x0, y0) fonction de tansmission de l'ouverture
- Conditons à 1m et diamètre d'ouverture 1cm : z 100m
pour Fraunhofer on parle de diffraction à l'infini, pour Fresnel de diffraction à courte distance
transition à la distance de Rayleigh tel que: zR d d d'où zR d2 - En fait en optique on ne détecte que l'intensité lumineuse (photons) et non l'amplitude du champ :
I(x1, y1) 1
2z2 TF U(x0, y0)P(x0, y0) 2
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81,22/D
0,0175 0,0042
Diffraction par une ouverture circulaire
Ouverture P(x0, y0) circ2r0
d
de transformée de Fourier
2J1(dr1)
dr1Pour une onde plane incidente, U(x0, y0) 1, alors
I(x1,y1) 2J1(dr1 z)
dr1 z
2
appelé tache d'Airy
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Cas de l’image par une lentille mince
L’optique géométrique nous dit : si lentille parfaite (ou faibles angles), l’image stigmatique de l’objet est la superposition de tous les points imagés de l’objet : linéarité ;dans le plan (focal) d’observation, chaque point image est conjugué d’un point de l’objet ;
Mais en plus en « haute résolution angulaire », contrairement à l’optique géométrique : par la diffraction du diaphragme pupillaire, l’image d’un point n’est pas un point !
Plan d’observation conjugué de l’objet
Plan du diaphragme pupillaire
Objet : points sources à l’infini
Distance focale f
U(x0, y0)
U(x1, y1)
Lentille
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Lentille mince comme élément déphaseur : par son indice et son épaisseur
- A partir du champ incident dans la pupille, on trouve alors le champ dans le plan focale :
U(x1,y1) 1
ifTF U(x0,y0)P(x0,y0) 1
ifTF P(x0,y0) si U(x0,y0) 1 onde plane
c'est la diffraction de Fraunhofer de l'ouverture P(x0,y0) ramenée à distance finie par la lentille
- Donc l'image d'un point source par une lentille mince ayant une pupille circulaire est :
I(x1,y1) 2J1(dr1 f )
dr1 f
2
, c'est la réponse impulsionnelle de la lentille
Cas de l’image par une lentille mince
Système optique limité par la diffraction : l’onde incidente venant d’un point source est parfaitement convertie par le système en une onde sphérique convergente au point conjugué du plan image.
Pour tout écart à l’onde sphérique idéale, le système est dit avoir des aberrations.
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Formation des images
objetl' dans moyenne intensitél' den répartitio ),(),(où
),(),(),(
objetl' de autrel' àpoint un d'et tempsle dans aléatoireest phase ladont champs de moyenne
tsindépendan esélémentair sources pointscar si sauf 0)()(
)()()()()(,),(
: notée temps,le dans moyenne uneest mesurée intensitél'
instantané champ le représente )y, U(xe,incohérent lumièreEn -
pupille la deion transmisslaest ),(où )),((),(
: Fraunhofer den diffractio la de cas le Dans -
),(),(),(
),( de pas dépend ne ),( : queisoplanéti domaineun dans
sourcepoint un pour champdu complexe amplitudel' représente ),(où
),,,(),(),(
:objet plan le dans champdu fonction en écrires'peut imageplan le dans champ le
optiques, systèmes les danset libre espaceen n propagatio la de linéarité la defait Du -
2
0000
00
2
01010011
000*
0
0001*
010*
01
2
1111
11
11
0001010011
0011
11
0001010011
yxUyxO
dydxyyxxhyxOyxI
UU
ddhhUUIyxU),yI(x
yxPyxPTFyxh
dydxyyxxhyxUyxU
yxyxh
yxh
dydxyyxxhyxUyxU
jiji
ijjiji
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Formation des images
- L'équation I(x1,y1) O(x0,y0) h(x1 x0,y1 y0)
2dx0dy0
s'écrit généralement de manière simplifiée sous la forme :
I(x,y) O(x,y) S(x,y) où I(x,y) est le produit de convolution
de l'objet O(x,y) par S(x,y) = h(x,y)2, la réponse impulsionnelle du système
appelée en optique : la fonction d'étalement de point (FEP),
ou point spread function (PSF) en anglais.
- Dans l'espace de Fourier dual, l'équation de formation des images s'écrit :˜ I ( fx, fy ) ˜ O ( fx, fy ) ˜ S ( fx, fy )
˜ I , ˜ O et ˜ S sont les transformées de Fourier (les spectres) de I,O et S
où ˜ S ( fx, fy ) est la fonction de transfert optique (FTO) du système
- Fonction de transfert de modulation : FTM = ˜ S ( fx, fy )
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Fonction de transfert optique
˜ S ( fx, fy ) TF Sx
f,
y
f
=
Sx
f,
y
f
exp i2 fx
x
f fy
y
f
dx
f
dy
f
où ( fx, fy ) définissent une fréquence spatiale angulaire, f focale de l'optique
on note ( x,y ) =x
f,
y
f
et h( x, y )
P(x p , y p )exp i2 x
x p
y
y p
dxpdyp
or S( x,y ) = h( x,y )2
TF P(x p , y p ) 2
- Fonction de transfert optique = fonction d'autocorrélation de la pupille
˜ S ( fx, fy ) 1
S P(x p, y p )P*(x p fx,y p fy )dxpdyp
où S est la surface de la pupille
- Propriétés de la FTO
˜ S (0,0) 1 et ˜ S ( fx, fy ) ˜ S (0,0)
fréquence spatiale maximum d , si fx2 fy
2 d alors ˜ S ( fx, fy ) 0
si système limité par la diffraction : FTO réelle et paire
si aberrations : FTO complexe mais partie réelle paire, imaginaire impaire
fxP(xp,yp)
˜ S (f )
f (d )
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Imagerie = interférométrie
décalageaucun sans franges desion superposit:Airy d' Tache