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Captulo 1Conceptos bsicos
Introduccin
las matemticas financieras son una rama de las matemticas
aplicadas cuyo objeti-vo es estudiar el valor del dinero en el
tiempo, para lo cual emplea tcnicas, mtodos y modelos a fin de
adoptar la mejor decisin financiera, ya sea en la valuacin de
empre-sas, en los proyec tos de inversin, en los mercados de deuda
y en general en la planea-cin financiera.
el objetivo de este captulo es conocer y definir los trminos,
variables y herra-mientas que permitirn comprender y aplicar las
tcnicas, mtodos y modelos que se presentan a partir del captulo
2.
se presentarn los supuestos bsicos bajo los cuales se acumula el
dinero y se mos-trar la representacin grfica de las obligaciones
del acreedor y del deudor. con esta representacin, conocida como
diagrama de tiempo y valor, se logran identificar tales
obligaciones y medir el tiempo en el que se vuelven exigibles para
aplicar la fuerza que hace que el dinero crezca: la tasa efectiva
de inters.
1.1 Supuestos utilizados en las matemticas financieras
la teora del inters se refiere a los diversos mtodos para el
clculo del inters y la forma en que tanto el capital como el inters
se devuelven al prestamista. el inters es la cantidad que se paga
por el uso, durante cierto tiempo, de un capital ajeno; para
calcularlo se considera el capital objeto de la inversin financiera
y la longitud de tiempo que corresponde desde el inicio de la
transaccin hasta el momento en que se devuelve el capital junto con
los intereses. a esta longitud de tiempo se le llama tam-bin plazo
o trmino de la operacin. la acumulacin del capital, derivada del
pago de inters, se realiza por medio de funciones llamadas de
acumulacin; en este texto se vern dos de las que se emplean en la
prctica.
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M a t e M t i c a s f i n a n c i e r a s
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supuestos de la teora del inters:
a) el capital (C) y el inters (I) se expresan en trminos
monetarios.b) el capital siempre est productivo, es decir, el
dinero siempre se incrementa en
trminos absolutos a travs del tiempo (t). el valor cronolgico
del dinero im-plica que para t2 > t1, el capital C2 en el
momento t2 es mayor que el capital C1 en el momento t1 para t2 >
t1 C2 > C1. esto implica que no se consideran los efectos de la
inflacin: C2 siempre es mejor que C1.
c) existe una fuerza que hace que el dinero crezca a travs del
tiempo; a esta fuer-za se le conoce como tasa de inters.
d) el tiempo durante el cual se pagan efectivamente los
intereses (o periodo en el que se paga la tasa de inters). este
tiempo se refiere a la unidad de tiempo con la cual se paga la tasa
de inters realmente, que puede o no coincidir con el plazo de la
operacin. entre las unidades de tiempo ms frecuentes se mencionan
las de 7, 14, 28, 91, 182 y 360 das; as, una tasa de inters se
acompaa de la unidad de tiempo con la cual se paga. es importante
sealar que para efectos de clculo conviene expresar el plazo en
unidades de tiempo, es decir, el tiempo que se con-sidere como
plazo debe referirse al nmero de unidades o fracciones de unidad;
si bien esto facilita los clculos, no tiene carcter
obligatorio.
1.2 Diagrama de tiempo. Concepto y representacin
en toda transaccin financiera se identifica a la parte duea de
los recursos quien los presta y a la parte que solicita en calidad
de prstamo tales recursos; ambas par-tes tienen derechos y
obligaciones (a le presta a B un cierto capital C durante un
de-terminado tiempo y le cobra una cantidad por ello; B se obliga a
devolver ese capital C, junto con una cantidad adicional). para
representar grficamente esta operacin de prstamo se emplea una
recta sobre la cual se construye una escala que muestra los egresos
o gastos y los ingresos obtenidos durante los periodos de tiempo
que com-prenden una operacin; se representan slo obligaciones de a
y B porque el derecho de una de ellas es la obligacin de la otra;
as, se habla nicamente de obligaciones y no de derechos y
obligaciones. la escala se inicia en el momento cero, el momento en
que se efecta la operacin financiera.
en esta escala, las unidades de tiempo (t) son periodos de
inters, por ejemplo, si el inters que se paga por una inversin es
semestral, entonces la longitud de los interva-los es semestral. si
los intereses se pagan trimestralmente entonces la longitud
corres-ponde a tres meses y la unidad de tiempo es el trimestre. en
una escala de tiempo se usan las siguientes convenciones:
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c o n c e p t o s B s i c o s
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a) el nmero de periodos de inters o la fecha, si se prefiere
utilizar fechas, se escri-ben bajo la escala de tiempo.
b) el nmero 0 en la escala indica siempre la fecha de inicio de
la operacin.c) el final de un periodo marca el inicio del siguiente
periodo.d) los ingresos o cantidades de dinero que una inversin
produce en un periodo
determinado (derechos) se indican sobre la escala.e) los
egresos, gastos o salidas de dinero que una inversin requiere en
cada perio-
do (obligaciones) se indican en la parte inferior de la escala.f
) el periodo de pago de la tasa de inters y el ltimo periodo en la
escala indican
al inversionista la unidad de tiempo empleada (meses,
trimestres, semestres, aos) y la duracin de la inversin.
g) en una escala de tiempo, las cantidades de dinero que se
indican en cada periodo (ingresos o desembolsos del inversionista)
pueden ubicarse al inicio o al final de cada periodo; en el primer
caso se habla de pagos anticipados y en el segundo de pagos
vencidos.
para mostrar el uso de estas convenciones en la elaboracin de un
diagrama de tiempo, considere el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
se solicita un prstamo de $2 000 que conviene liquidar mediante
una serie de pagos mensuales de $100 que incluyen una parte del
capital prestado y los intereses respec-tivos. la duracin de la
serie de pagos ser hasta el fin de la deuda.1
identifique las obligaciones del deudor y del acreedor en un
diagrama de tiempo.
Solucin
la unidad de tiempo, o longitud de cada intervalo, es el mes,
pues corresponde a la frecuencia del pago de inters.
en toda transaccin financiera se identifican, ms que derechos,
obligaciones; en este caso, la obligacin del inversionista o
prestamista es el desembolso de manera in-mediata de $2 000,
mientras que la del prestatario es la de pagar $100 al final de
cada mes hasta la extincin total de la deuda.
la escala de tiempo en que se ubican las obligaciones del
prestatario (obligacin a) y del inversionista (obligacin B) es la
siguiente:
0 1 2 ... n meses obligacin B$2 000
100 100 ... 100 obligacin a
1 en este momento es irrelevante expresar la composicin del pago
mensual de $100 en capital e intereses.
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en el documento se hablar de pagos o flujos de efectivo para
denotar depsitos o retiros, indistintamente: los primeros se
consideran como pagos positivos y los segundos negativos si no hay
lugar a confusin; no obstante, el signo negativo de los egresos no
aparece en el planteamiento porque al identificar las obligaciones
de las partes se vincu-lan con una ecuacin, es decir, slo se
relacionan pagos propiamente dichos.2
De manera general, si se deposita una cantidad C en el momento
presente para tener derecho a percibir una serie de pagos o flujos
de efectivo f al final de cada periodo du-rante t periodos, se
pueden ubicar tales obligaciones en la escala de tiempo
siguiente:
0 1 2 ... t (periodos)
C
obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C
f1 f2 ... ft obligaciones: efectuar t flujos f
si los flujos de efectivo f se realizan al principio de cada
periodo:
f0 f1 f2 ... ft 1 obligaciones: efectuar t flujos f 0 1 2 ... t
1 t
C
obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C
Debe observarse que en este caso se termina la obligacin de
pagar (los flujos f) un periodo antes del ltimo; sin embargo,
siguen siendo t flujos de efectivo porque se inici el pago un
periodo antes (al inicio del primer periodo).
en general, en toda transaccin financiera se identifican los
siguientes elementos:
1. el capital objeto de la transaccin.2. el tiempo durante el
cual se usa el capital hasta que se devuelve junto con su in-
ters. tambin se le conoce como plazo o trmino de la operacin.3.
el tiempo durante el cual se paga inters.4. el inters que se paga
peridicamente.
2 el trmino flujos de efectivo se emplear como entradas y
salidas de dinero sin anteponer ningn sig-no algebraico.
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5. la fuerza que hace que el dinero aumente, es decir, la tasa
de inters. se expre-sa como razn de un tanto de cada unidad de
capital prestado, por ejemplo: $10 por cada $100 prestado, es decir
= 0.10 o tasa del 10%, indica que por cada $100 prestados se
devolvern $10 de inters en el lapso de una unidad de tiempo.
la definicin formal de tasa efectiva de inters se har en la
seccin 1.4 de este captulo.
1.3 Cmo se acumula el capital
la funcin de acumulacin del capital se define con base en una
progresin aritmti-ca (crecimiento lineal o simple) o geomtrica
(crecimiento exponencial o compuesto).
el crecimiento del capital se debe al efecto de una tasa de
inters y al transcurso del tiempo. en trminos prcticos, la
acumulacin de un capital se efecta bajo un rgi-men de inters simple
(los intereses son generados slo y nicamente por el capital
original, llamado tambin principal) o bajo un rgimen de
capitalizacin (los intereses generados se reincorporan al capital
para producir a su vez nuevos intereses). el rgi-men de
capitalizacin es el que predomina en el mercado financiero, y su
sustento es una funcin de crecimiento exponencial, de tal forma que
la variable independiente es el tiempo.
el capital crece en intervalos finitos, de tal manera que
durante todo el intervalo se posee el mismo capital que al
principio y slo aumenta al final del intervalo; vase en la grfica
1.1 la acumulacin discreta del capital, que es la que se registra
para efectos prcticos.
Grfica 1.1Acumulacin discreta de capital
valor acumualdo (S )
capital inicial
t0 t1 t2 . . . tn 1 tn
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obsrvese en la grfica que si un capital C se acumula en el
intervalo [tj, tj + 1] (para j = 0, 1, 2, ... , n 1) a una cierta
tasa de inters, habr la misma cantidad C a lo largo del intervalo
[tj, tj + 1] y slo se habr incrementado el capital C (por
acumula-cin de intereses) en el tiempo t = tj + 1.
para ilustrar lo anterior, en la grfica se utiliz el crculo
negro para denotar el valor del capital al inicio del intervalo y
el crculo blanco para indicar que al final del inter-valo se
acreditan los intereses y la nueva cantidad ya aparece registrada
al inicio del si-guiente. lo anterior significa que las entidades
financieras acreditan el inters slo en el aniversario del
contrato.
en teora, tal incremento no se da en forma escalonada; puede
intuirse que existe una fuerza que hace que el capital se
incremente continuamente en el intervalo refe-rido, a saber:3
Grfica 1.2 Valor acumulado (S) del capital
funcin lineal del valor acumulado del capital
(rgimen de inters simple) (a)
funcin exponencial del valor acumulado del capital
(rgimen de inters compuesto) (b)
capitalcapital
t t
obsrvese que ambas lneas son suaves, es decir, son continuas en
el tiempo.aunque existen otras funciones de acumulacin, no son de
relevancia para efectos
prcticos. De las dos funciones, (a) y (b), la exponencial es la
que representa el proce-so de reincorporacin continua del inters al
capital para generar nuevos intere-ses. en este proceso de
acumulacin opera una tasa de inters continua.
3 la acumulacin del capital se origina de la incorporacin de
intereses al capital; la distincin entre inters simple y compuesto
obedece al hecho de que se calcula el nuevo inters en cada periodo
a partir del capital original o del acumulado, respectivamente.
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en este libro se estudiarn slo dos funciones de acumulacin del
capital: la del in-ters simple (o crecimiento aritmtico) y la del
inters compuesto (o crecimiento geomtrico).
en el captulo 1 se ver el rgimen de inters simple y a partir del
captulo 2 el de capitalizacin.
1.4 La medida del inters
para medir el inters se consideran los tres elementos que se
mencionaron en la sec-cin 1.1: capital, inters y tiempo. sin
embargo, la medida fundamental del inters es la tasa efectiva de
inters.
La tasa efectiva de inters
supngase que una unidad monetaria se invierte durante una unidad
de tiempo (por ejemplo, un da, mes, ao, etc.) a una tasa de inters
i pagadera precisamente durante esa misma unidad de tiempo. el
siguiente diagrama ilustra la operacin del inters ge-nerado y su
incorporacin al capital original.
se observa as que el inters se paga atendiendo al capital objeto
de la transaccin y al tiempo durante el cual la tasa de inters se
paga4 efectivamente.
4 se dice que una tasa de inters es pagadera o que se paga al
final del periodo unitario de tiempo, cuando el prestamista o
inversionista recibe una cantidad fija de dinero, el inters pactado
en la transac-cin financiera, por el uso del capital durante ese
periodo.
0 t = 1 (una unidad de tiempo) Momento en que se Momento en que
se paga realiza la operacin la tasa de inters
capital + inters $1 $1 + $1 i 1 = $1 (1 + i)
valor acumulado del capital
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el inters que se pag por unidad de capital prestado y por unidad
de tiempo es:
con base en esta relacin, las definiciones de tasa efectiva de
inters son las siguientes: El cociente que resulta de dividir la
cantidad del inters ganado durante un periodo por
el capital invertido al inicio del periodo.La cantidad que se
paga al final de un intervalo unitario de tiempo por cada
unidad
de capital prestado (o invertido) al inicio del mismo.la tasa
efectiva de inters se puede calcular para cualquier unidad de
tiempo: da,
semana, mes, semestre, entre otros.
sea: C el capital objeto de la transaccin financiera. I el
inters ganado en la operacin. i la tasa de inters efectiva pagadera
por unidad de tiempo. t el plazo expresado en unidades de tiempo.
la unidad de tiempo. corresponde al periodo con el cual se paga la
tasa de inters. S el valor acumulado (valor futuro o monto) del
capital.
la tasa efectiva de inters, i, por unidad de tiempo se obtiene
de acuerdo con la definicin arriba sealada:
[1.1]
as, se puede definir a la tasa efectiva de inters como:
inters ganadoi = (capital prestado) (unidad de tiempo)
valor acumulado del capital capital prestadoi = (capital
prestado) (unidad de tiempo)
Ii = C t
Lamedidadelinterspagadoalfinaldelperiodo.Lacantidaddedineroqueunaunidadmonetariainvertidaalinicio
de un periodo de tiempo ganara durante el
periodo.Elcocientequeresultadedividirlacantidaddedineroganadadurante
el periodo por la cantidad invertida al inicio del
periodo.Elincrementoporunidaddecapitalbajoelefectodeunafuerza
de inters durante un periodo de
tiempo.Lacantidadquesepagaenunintervalodetiempoporcadaunidad
de capital invertido.
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la relacin [1.1] se emplea para calcular el inters (I)
ganado
I = C i t [1.2]
De las definiciones [1.1] y [1.2] debe observarse que:
el inters ganado en una operacin es una cantidad en dinero,
mientras que la tasa de inters es un cociente expresado por regla
general como porcentaje.
esta definicin implica que el inters se paga al final del
periodo de inversin y slo una vez durante el mismo; la tasa
efectiva se refiere al pago de inters por periodo de inversin; a
este periodo se le conoce como periodo unitario de tiempo y durante
l la tasa efectiva y el capital permanecen constantes.
Definicin de inters: cantidad de dinero que se paga por usar el
dinero ajeno.
Ejemplos que muestran cmo influye la unidad de tiempo en el
clculo de la tasa efectiva
Ejemplo 2
si por una inversin de $10 000 durante seis meses se pagan
intereses de $800, cul es la tasa de inters efectiva
a) ...anual?b) ...semestral?c) ...mensual?
Solucin
a) conviene tomar como unidad de tiempo5 al ao; as el plazo se
expresa como de la unidad de tiempo:
0 t = ao $10 000
capital + inters = valor acumulado 10 000 + 800 = valor
acumulado C + I = va
5 la unidad de tiempo corresponde al periodo en el que se paga
la tasa de inters.
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la tasa de inters efectiva anual es de 16%.
b) tmese como unidad de tiempo el semestre; el plazo representa
entonces una unidad, 1, de tiempo:
la tasa de inters efectiva semestral es de 8%.
c) considrese como unidad de tiempo el mes, el plazo representa
entonces 6 uni-dades de tiempo:
la tasa de inters efectiva semestral es de aproximadamente
1.33%.
el cuadro 1.1 resume lo anterior:
Cuadro 1.1La unidad de tiempo y la tasa de inters
plazo capital intereses valor acumulado tasa % tasa efectiva
6 meses $10 000 $800 $10 800 16.0% anual
6 meses $10 000 $800 $10 800 8.0% semestral
6 meses $10 000 $800 $10 800 1.333% mensual
Valor acumulado Capitali = = Capital
t
I C t 800
i = 10 000 ()
0 t = 1 semestre $10 000
10 000 + 800
800i = 10 000 (1)
0 t = 6 meses $10 000
10 000 + 800
800i = 10 000 (6)
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aun cuando el plazo sigue siendo el mismo, el periodo o
frecuencia del pago de la tasa puede variar, sin embargo debe
observarse que en todos los casos produce el mis-mo inters sobre el
mismo capital; a las tasas de inters que poseen esta caracterstica
se les conoce como tasas equivalentes. as, la penltima columna del
cuadro corres-ponde a tasas efectivas equivalentes.
lo anterior se puede verificar mediante un clculo directo del
valor acumulado (S) utilizando la expresin [1.2] para calcular los
intereses y despus incorporarlos al capital.
S = C + I [1.3]
a) S = 10 000 + 10 000(0.16)( ) = $10 800
b) S = 10 000 + 10 000(0.08)(1) = $10 800
c) S = 10 000 + 10 000(0.0133)(6) = $10 800
Del presente ejemplo se desprende que una tasa efectiva de
inters debe acompaar-se de la indicacin del periodo de su pago
(como en la ltima columna del cuadro 1.1).
Ejemplo 3
Una deuda de $9 000 vence dentro de dos meses y el importe de
los intereses es de $165. cul es la tasa de inters que se paga por
el prstamo? supngase que la opera-cin se pact el 6 de mayo.
Solucin
como la tasa de inters solicitada no expresa la frecuencia con
la cual se paga, aqu se tomara como unidad de tiempo el ao.
0 t = 60 das $9 000 fecha de vencimiento
$9 000 + $165
la longitud del ao en das puede ser de 360 o de 365 das; si se
considera como de 360 y meses de 30 das, se dice que el inters es
ordinario; si es de 365 (y por lo tanto nmero exacto de das del mes
referido), se dice que el inters es exacto.
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a) si se emplea el inters ordinario: se sabe de la expresin
[1.3] que: S = C + I
Y a partir de la expresin [1.2]: S = C + Cit
S = C (1 + it) [1.4]
como esta expresin ya involucra a la variable I, se puede
emplear para responder:
$9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 60
360
$9 165 = $9 000 (1 + (i) 60 ) 360
0.11 = i
la tasa efectiva anual del prstamo es de 11% si se considera el
inters ordinario.
b) si se emplea el inters exacto:
$9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 61
360
$9 165 = $9 000 (1 + (i) 61 ) 360
0.109699 = i
la tasa efectiva anual del prstamo es de 10.97% si se considera
el inters exacto (ao de 365 das y nmero exacto de das del mes).
en ambos casos, la fecha de vencimiento es el 6 de julio.
Reglas para medir el tiempo que hay entre dos fechas
Tiempo exacto:se considera al ao de 365 das y el nmero exacto de
das del mes o meses referidos; el tipo de inters es exacto.
Tiempo ordinariose considera el ao de 360 das y cualquier mes
como de 30 das; se dice que el tipo de inters es ordinario o
simple.
Regla comercialse considera el ao de 360 das y el nmero exacto
de das del mes o meses referidos; se dice que el tipo de inters es
comercial o bancario.
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Ejemplo 4
Del ejercicio anterior cul es la tasa de inters efectiva
pagadera cada 60 das?
Solucin
considrese como unidad de tiempo el periodo de 60 das, es decir,
la frecuencia del pago de la tasa. as, el plazo representa una
unidad de tiempo.
0 t = 1 $9 000
$9 000 + $165
De la expresin [2] se despeja la tasa efectiva de inters.
la tasa efectiva bimestral es de 1.833%.el lector puede
verificar que esta tasa es equivalente a 11% anual.
los siguientes ejercicios se realizan bajo la suposicin de que
el ao es de 360 das.cuando no se especifica si el inters es
ordinario o exacto debe entenderse que se
refiere al primero: ao de 360 das y meses de 30 das.
Ejemplo 5
Del ejemplo 3, cul es la tasa de inters efectiva semestral?
Solucin
considrese como unidad de tiempo el periodo del pago de la tasa,
6 meses, el plazo ser unidades de tiempo.
0 t = 60 Unidades $9 000 180 de tiempo
$9 000 + $165
si se emplea la expresin:
i = I = $165 C t 9 000 (1)
i = 0.0183
S = C + Cit $9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 60 180
i = 0.055
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la tasa efectiva semestral es de 5.5%. el lector puede verificar
que es equivalente a 11% anual y a 1.833% mensual.
Ejemplo 6
se solicita un prstamo de $530 por el cual se cobra un inters de
$26. si la tasa de inters es de 9%, cul fue la duracin del
prstamo?
Solucin
como no se especifica la frecuencia del pago de la tasa de
inters, se da por sentado que es anual. conviene tomar como unidad
de tiempo el ao. el diagrama es el siguiente:
0 t = ? $530
$530 + $26
si despeja a la variable t de la expresin [1.4]
la duracin del prstamo es de 6 meses con 16 das,
aproximadamente.
Ejemplo 7
a qu tasa debera invertirse un capital para triplicar su valor
en 18 meses?
Solucin
si se toma como unidad de tiempo al ao de 360 das:
0 t = 540 Unidades C 360 de tiempo
3C
una tasa de inters efectiva anual de 133.33% permite triplicar
cualquier capital si se invierte durante 18 meses.
S = C (1 + it) $556 = 530 [1+ 0.09 (t)] t = 0.545073
S = C (1 + it)3C = 530 [1+ i ( 540 )] 360 3 = [1 + i ( 540 )]
360
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Ejemplo 8
hallar el valor acumulado de:
a) $1 500 pagaderos en 10 aos a 5% efectivo anual.b) $5 000
pagaderos en 6 meses a 4.8% efectivo trimestral.c) $4 000 pagaderos
en 5 aos 6 meses a 6% efectivo semestral.
Solucin
a) la unidad de tiempo es el ao y las obligaciones se ubican en
el siguiente diagra-ma de tiempo.
0 1 2 ... 10 aos S = ?
$1 500
el valor acumulado del capital es:
b) la unidad de tiempo es el trimestre
0 1 2 $5 000 t = 2 trimestres S = ?
el valor acumulado del capital es:
c) la unidad de tiempo es el semestre.
S = C + I S = C + Cit S = $1 500 + $1 500 (0.05) (10) S = $2
250
S = C + I S = C + Cit S = $5 000 + $5 000 (0.048) (2) S = $5
480
0 1 2 3 ... 11 $4 000 t = 11 semestres S = ?
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el valor acumulado es:
Ejemplo 9
Un empleado solicit un prstamo de $150 a liquidar en dos meses y
pag $9 por concepto de inters. cul fue la tasa de inters anual?
Solucin
si la unidad de tiempo seleccionada es el ao:
la tasa de inters anual es de 36%.
Ejemplo 10
se solicita un prstamo de $125 y un mes despus se liquida
mediante el pago de $128.75. Qu tasa de inters anual se pag?
Solucin
se considera como unidad de tiempo el ao.
la tasa de inters pagada fue de 36 % anual.
Ejemplo 11
si una persona presta $3 000 a 10%, cunto tiempo necesitar para
obtener $75 de inters?
S = C + I S = C + Cit S = $4 000 + $4 000 (0.06) (11) S = $6
640
I = Cit $9 000 = $150 (i) ( 2 ) 12 i = 0.36
S = C (1 + it) 128.75 = 125 [1+ i ( 1 )] 12 i = 0.36
0 1 2 ... t = 12 meses $125
$128.75
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Solucin
tmese como unidad de tiempo el ao.
0 1 2 3 ... t = ao o fraccin de ao $3 000
$3 000 + $75
si la unidad de tiempo es el ao, el clculo de los intereses es
el siguiente:
para ganar $75 por intereses con un capital de $3 000 a 10%, se
necesita invertirlo durante tres meses.
obsrvese que tambin puede emplearse la expresin [1.4].
Conclusiones importantes de los ejemplos resueltos
el ejemplo 2 nos permite observar que los resultados varan segn
se emplee determi-nada regla para medir el tiempo.
Inters ordinario y regla bancaria
si el ao se considera de 360 das y los meses de 30, se dice que
los intereses se han calculado con el tipo de inters ordinario.
si el ao se considera de 360 das y los meses segn el nmero
exacto de das que corresponda al mes referido, se dice que los
intereses se han calculado mediante la regla bancaria.
el ejemplo 3 nos permiti concluir que aun cuando la tasa de
inters estaba referi-da a diferentes periodos de pago (diferentes
unidades de tiempo), produca los mis-mos intereses sobre el mismo
capital durante el mismo plazo (vase cuadro 1.1), es decir, se
proporcionaron tasas de inters equivalentes.
se dice que dos tasas son equivalentes si producen los mismos
intereses sobre el mismo capital durante el mismo plazo.
I = C it $75 = $3 000 (0.10) t t = 0.25 aos
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presentamos a continuacin un ejemplo en el que se emplea el
modelo de acumu-lacin del capital S = C (1 + it) para calcular
tasas de variacin, especficamente tasas de crecimiento; el modelo
funciona para aumento o disminucin.
Ejemplo 12
clculo de tasas de crecimiento las utilidades anuales por ventas
de cierta empresa son:
Ao 2004 2005 2006 2007
ventas(miles de pesos) 350 410 560 730
a) cul es la tasa anual de crecimiento de las utilidades por
ventas?b) cul es la tasa de crecimiento global de las utilidades
por ventas en el periodo
de referencia?
Solucin
aunque este ejemplo no se refiere a inversiones, puede
responderse a partir del clculo de la tasa de inters antes vista,
es decir, del modelo de acumulacin S = C (1 + it), el cual puede
convertirse en un modelo donde las utilidades del ao actual se
obtienen a partir de las utilidades del ao anterior.
si i es la tasa de incremento de las utilidades por ventas:
Utilidadt = Utilidadt 1 (1 + i)
Utilidadt 1 = i Utilidadt 1
as, para la informacin proporcionada se puede graficar el
diagrama de tiempo:
0 1 2 3 2004 2005 2006 2007
$350 $410 $560 $730
a) la tasa anual de crecimiento de las utilidades se obtiene
para el primer ao (de 2004 a 2005)
410 = 350 (1 + i)
410 1 = i 350
-
c o n c e p t o s B s i c o s
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i = 17.14% tasa anual de crecimiento de las utilidades por
ventas del 2004.
al efectuar los dos clculos siguientes se obtienen las tasas
anuales de crecimiento de las utilidades por ventas para el periodo
(2005-2007):
AoTasa anual de crecimiento
de utilidades
2005 17.14%
2006 36.59%
2007 30.36%
b) la tasa de crecimiento global es el cambio porcentual de dos
cantidades en un periodo (en este caso de 2004 a 2007); as, de
acuerdo a lo visto sobre tasa de inters, la unidad de tiempo
representa tres aos:
De donde la tasa global de crecimiento de las utilidades por
ventas en el periodo 2004-2007 es de 108.57%.
Debe observarse que las tasas anuales reflejan mejor el
comportamiento de las utili-dades que la tasa global.
0 1 2004 2007
$350 $730
730 = 350 (1 + i)
730 1 = i 350
-
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Ejercicios propuestos
1. calcular el inters ganado por una inversin de $100 000 a una
tasa de inters simple de 50% anual durante los primeros tres meses
y 6% anual durante los si-guientes dos meses.
sol.: $2 250. 2. por un prstamo otorgado el da de hoy por $12
500, un mes despus se pagar
$128.71 por concepto de inters, qu tasa de inters se pagar?
sol.: 12.36%. 3. Una persona obtuvo un prstamo de $95, seis meses
despus liquid tanto el ca-
pital como el inters con un pago de $100. Qu tasa de inters pag?
sol.: 10.53%. 4. calcular el inters que gana una inversin de $8 888
a una tasa anual de 54% du-
rante 23 das. sol.: $306.64. 5. a qu tasa cuatrimestral equivale
una tasa semestral de 23%? sol.: 15.33%. 6. verifique que en el
ejercicio anterior ambas tasas son equivalentes al suponer que
invierte $50 000 a un plazo de cinco meses. encuentre los
rendimientos ganados al aplicar cada una de las tasas.
sol.: $9 583.3 en cada caso. 7. si la tasa trimestral es de 55%,
en cuntas quincenas se duplica el capital? ayuda: suponga un
capital cualquiera; puede ser de $1. sol.: 10.91 quincenas. 8. en
cuntos das se cuadruplica un capital si la tasa de inters anual es
de 227%? sol.: 475.77 das. 9. en cunto tiempo un capital de $50 000
produce inters de $2 000, si se paga
una tasa de inters de 15% anual? sol.: 96 das.10. si un capital
de $5 000 se invierte durante tres meses, qu importe tendrn los
intereses ganados por el capital si se paga a una tasa efectiva
de: a) 12% trimestral; b) 12% anual; c) 12% semestral?
sol.: a) $600, b) $150, c) $300.
-
c o n c e p t o s B s i c o s
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valor futuro (valor acumulado) o monto
frmula bsica S = C + I
valor futuro cuando se involucran el tiempo y la tasa de
inters
S = C + C i t
frmula bsica S = C (1 + it )
de donde se tiene:
capital
C = I i t
tasa de inters
i = I C t
plazo
t = I C t
Conviene recordar
1. el capital se expresa en trminos monetarios.
2. el capital aumenta de valor (sin considerar la inflacin) en
el tiempo: se de-be preferir la cantidad de dinero del da de hoy a
la cantidad de dinero del da de ayer sin importar cul sea esa
cantidad.
3. para efectos tericos, el capital crece continuamente; sin
embargo, en la prctica crece escalonadamente.
4. Una tasa de inters se expresa en porcentaje y se emplea por
clculos arit-mticos en decimales.
5. el inters es una cantidad de dinero; no confundir la tasa de
inters con el inters.
6. la unidad de tiempo corresponde al periodo en el cual se paga
la tasa de inters.
Nota: se sugiere recordar slo las expresiones de los recuadros
blancos; son bsicas porque las variables se obtienen mediante
sencillos pasos al-gebraicos.
Frmulas financieras