- 1. 1 La combinatoria trata, ante todo, de contar el nmero de
maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una
determinada forma. Introduccin a la combinatoria Ian Anderson La
tercera prioridad de la campaa es dar la primera prioridad a la
enseanza. Web oficial de George W. Bush 1.Combinatoria El arte de
contar
2. Acuda a nosotros y le prepararemos. En la ltima convocatoria
76 opositores aprobaron con nuestros textos. Quince de ellos
quedaron entre los diez primeros. El baile de anoche en Fuenterraba
estuvo amenizado por un numeroso cuarteto. Antologa de gazapos
radiofnicos El nmero premiado hoy es el cuatrocientos veinticinco.
Repetimos: cinco-nueve-tres. Contar no es tan sencillo... 3. 10 En
1858 el egiptlogo escocs A. Henry Rhind compr en Luxor (Egipto) el
papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes,
encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue
escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el ao 1650 antes de
nuestra era. Comienza con la frase: Clculo exacto para entrar en
conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros
secretos y misterios. El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de
ancho. Representa la mejor fuente de informacin sobre matemtica
egipcia antigua conocida. El papiro Rhind (problema 79) 4. 11
Escrito en hiertico, consta de 87 problemas y su resolucin. Nos da
informacin sobre cuestiones aritmticas bsicas, fracciones, clculo
de reas, volmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de
tres, ecuaciones lineales y trigonometra bsica. El problema 79 es
de combinatoria. Veamos una versin moderna... El papiro Rhind
(problema 79) 5. 12 Segn iba a St. Ives me cruc con un hombre con 7
esposas. Cada esposa tena 7 sacos, cada saco tena 7 gatos, cada
gato tena 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. Cuntos iban a
St. Ives? St. Ives Mother Goose (La mam oca de San Ives) La regla
del producto 6. 13 You are eating at Emiles restaurant and the
waiter informs you that you have (a) two choices for appetizers:
soup or juice; (b) three for the main course: a meat, fish, or
vegetable dish; and (c) two for dessert: ice cream or cake. How
many possible choices do you have for your complete meal? El total
de posibilidades ser: 2 . 3 . 2 = 12 Diagramas en rbol o rboles (un
tipo sencillo de grafos) La solucin es el nmero de ramas finales
del rbol. 7. Principio multiplicativo (ilustracin grfica) 14 El
primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2.
El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer
elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2. El total
de posibilidades ser: 2 . 3 . 2 = 12 c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2
c1 c2 b1 b2 b3 b1 b3b2 a1 a2 8. 15 Alfabeto Braille Cuntos smbolos
distintos pueden representarse? 6364222222 654321 = 9. 16
Musikalisches Wrfelspiel y otras creaciones combinatorias Wolfgang
Amadeus Mozart juego de dados musical. Ahora, el primer comps de
los 16 que formarn el minueto se escoge al azar lanzando dos dados:
el lanzamiento de los dos dados nos da 11 posibilidades, desde que
sumen conjuntamente 2 a que sumen 12. Ese nmero nos dice qu comps
de los 11 posibles del primer grupo podemos escoger. He escogido al
azar este primer comps: Un minueto tiene 16 compases. Mozart dej
escritos 16 grupos de 11 compases, o sea, un total de 176 compases
distintos. Por ejemplo, este es uno de esos compases pre-escritos:
10. Si para tocar cada uno de ellos tardramos 30 s, necesitaramos
unos 1.500 millones de aos para escucharlos todos. Para generar el
segundo tengo tambin 11 posibilidades. Lanzo los dados y me sale 5
+ 2 = 7; o sea, cojo el nmero 7 de los posibles 11 del segundo
grupo. Este comps suena as: Vemos que tenemos 11 x 11 = 121
posibilidades para la combinacin de los dos primeros compases. Y en
total tendremos: Escuchemos un posible resultado: (Ejecutar Mozart
Dice) 16 16 16 104,661.863.572.145.949.729 11111111 == (74)
Musikalisches Wrfelspiel y otras creaciones combinatorias Emitido
en RNE 1 No es un da cualquiera, Los Sonidos de la Ciencia, el 4 de
Marzo de 2007 Locucin: B. Luque Guin: B. Luque y F. Ballesteros 11.
18 De cuntas formas se pueden escoger dos fichas de domin de las 28
que hay, teniendo en cuenta el orden, y de forma que se puedan
aplicar una a la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo
nmero de tantos en ambas fichas)? La regla del producto o principio
multiplicativo Si una eleccin tiene m alternativas posibles y otra
n, entonces la realizacin de ambas tiene m x n. 12. Escojamos la
primera ficha. Esto se puede hacer de 28 maneras: En 7 casos la
ficha elegida ser un doble, es decir, tendr la forma 00, 11, 22,
33, 44, 55, 66. Y en 21 casos ser una ficha con distinto nmero de
tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc. En el primer caso (ficha
doble), la segunda ficha se puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo,
si en el primer paso fue elegida la ficha 11. En el segundo se
puede tomar una de las fichas 10, 12, 13, 14, 15 o 16. 13. En el
segundo caso, la segunda ficha se puede escoger de 12 maneras. Por
ejemplo para la ficha 35 servirn las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50,
51, 52, 54, 55, 56. Segn la regla del producto, en el primer caso
obtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y en el segundo, 21 x 12 = 252. As
que en total tendremos: 42 + 252 = 294 formas. 14. 22 Cuntas
fotografas distintas podemos hacer cambiando a los personajes de
posicin? Cuntas permutaciones son posibles? 1 7 64 5 32
040.51234567 7654321 = 040.5!7 = El espacio, la ltima frontera.
Estos son los viajes de la nave estelar Enterprise, que contina su
misin de exploracin de mundos desconocidos, descubrimiento de
nuevas vidas y de nuevas civilizaciones; hasta alcanzar lugares
donde nadie ha podido llegar. 15. Permutaciones (sin repeticin) 23
Dados n objetos distintos, llamamos permutacin a una ordenacin
particular de los n objetos en una fila. Ejemplo: Hay 6 posibles
permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab,
cba. El nmero de permutaciones de n objetos diferentes tomados
todos a la vez es n! (se lee n factorial o factorial de n). Usando
la regla del producto: hay n posibles objetos para la primera plaza
de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc...
!123)2()1( nnnnPn == 16. 24 Con las letras de la palabra DISCO,
cuntas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar?
120!55 ==P Evidentemente, al tratarse de palabras, el orden
importa. Tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco
elementos: {D, I, S, C, O}, que no estn repetidos. El clculo del
nmero de permutaciones n! se cree que apareci por primera vez en la
India. Se tiene constancia de ejemplos del ao 300 antes de nuestra
era. En el siglo XI la "frmula general" era bien conocida en la
India y los pases rabes. 17. 27 Cul es el nmero de posibles
ordenaciones de una baraja de pker de 52 cartas? El resultado es
52!, aproximadamente 8 1067. Observa que a partir de una simple
baraja obtenemos un enorme nmero, superior, por ejemplo, al
cuadrado del nmero de Avogadro: 6,02 1023. Explosin combinatoria
Frmula de Stirling n n enn + 2 1 2~! A veces, al resolver un
problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximacin
asinttica, formada por funciones cuyo comportamiento es fcil de
comprender, que la solucin exacta, cuyo comportamiento escapa a
nuestra intuicin. 18. 29 Supongamos que los siete personajes de
Star Treck se hacen fotografas en fila en todas las permutaciones
posibles. En cuntos casos Data y Picard aparecen juntos? Pensemos
que Data y Picard son siameses o que van dentro de un saco. El
nmero de posibles fotografas sera entonces de: 6! = 720. Pero
adems, para cada una de esas fotografas, Data puede estar a la
derecha o a la izquierda de Picard. Luego el resultado es: 2 6! =
1440. 19. 30 Cuntas permutaciones pueden formarse con las letras de
la palabra BONDAD? Respuesta: 6!/2! De dnde sale ese 2!? Supn que
para distinguir la D repetida utilizamos una tilde: BONDAD. Ahora
todas las letras son distintas, distinguibles, luego hay 6!
permutaciones posibles. Pero cada par de permutaciones donde la D y
D estn intercambiadas, como por ejemplo: - - - D - D y - - - D- D
en realidad son la misma. Por lo tanto debemos dividir por 2 el
nmero total de configuraciones. Y por qu por 2!? Bueno, 2! = 2,
pero piensa que ocurrira si hubieran tres D's... 20. 31 (1) La
relacin de vecindad se conserva en las permutaciones cclicas y en
caso de una simetra. Varias personas se sientan a una mesa redonda.
Consideraremos que dos formas de sentarse coinciden si cada persona
tiene los mismos vecinos a ambos lados. De cuntos modos diferentes
se pueden sentar 4 personas? Y 7? Y n? En el caso de 4 personas,
tendremos 4 permutaciones cclicas y una simetra especular para cada
una: 2 x 4 = 8 transformaciones que conserven la relacin de
vecindad. As que se fue a la sala de hologramas y organiz una
partida con rplicas computerizadas de Newton, Einstein y Hawking,
papel este ltimo interpretado por ... Stephen W. Hawking. Ttulo
original: The Next Generation #252: Descent I. USA, Junio 1993.
Extracto de la pgina web Epsilones. Un buen da, a Data se le ocurre
la idea de montar una timba de pker un poco especial. Como haba
visto que el jueguecito en cuestin era muy til para explorar los
comportamientos de sus compaeros humanos, pens en hacer lo mismo
con gente de, digamos, ms nivel. 21. 32 Espejo Permutaciones
cclicas Permutaciones simtricas Como el nmero total de
permutaciones de 4 personas es igual a 4! = 24, tendremos 24 / 8 =
3 formas distintas de sentarse. 22. 33 (2) Si hay 7 personas
alrededor de la mesa, tendremos 7! / (7 x 2) = 360 modos. (3) Y, en
general, en el caso de n personas: n! / (n x 2) formas. 23. 34 En
una reunin deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E. De cuntas
maneras se pueden distribuir en la lista de oradores, con la
condicin de que B no debe intervenir antes que A? El nmero total de
posibles listas de oradores distintas es 5!. Podemos asociar a cada
permutacin del tipo: (...A...B...) la misma permutando
(...B...A...). Esta ltima no nos vale. De modo que por cada par hay
slo una manera que satisface la condicin planteada. Tendremos 5! /
2 = 60 maneras. 24. 35 El mismo problema, pero con la condicin de
que A deba intervenir inmediatamente antes que B. Si A interviene
inmediatamente antes que B, podemos considerarlos como si fuesen un
solo orador. Es decir, ahora slo contamos las permutaciones tipo:
(...AB...) Tendremos entonces: 4! = 24 formas. 25. 36 En una
estantera se quieren colocar 4 libros diferentes de matemticas, 6
de fsica y 2 de qumica. De cuntas maneras distintas se pueden
colocar si: a) los libros de cada materia deben quedar juntos, b)
slo los libros de matemticas deben quedar juntos? a) Por un lado,
los libros de matemticas se pueden colocar de 4! maneras, los de
fsica de 6! y los de qumica de 2!. Los tres grupos de libros se
podrn colocar de 3! maneras. Por consiguiente se obtienen: 4!6!2!3!
= 207.360 distintas configuraciones. b) Si consideramos los 4
libros de matemticas como si fuesen uno solo, entonces tenemos 9
"libros", que pueden colocarse de 9! maneras. En todas estas
configuraciones los libros de matemticas estaran juntos. Pero a su
vez, stos se pueden colocar de 4! maneras, por lo que en total se
obtienen: 9!4! = 8.709.120 maneras. 26. 38 Ars Magna Ramon Llull
(c. 1232-1315) De Ars Combinatoria Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) 27. I II III IV Queridos compaeros la realizacin de las
premisas del programa nos obliga a un exhaustivo anlisis de las
condiciones financieras y administrativas existentes. Por otra
parte,y dados los condicionamientos actuales la complejidad de los
estudios de los dirigentes cumple un rol escencial en la formacin
de las directivas de desarrollo para el futuro. Asimismo, el
aumento constante, en cantidad y en extensin, de nuestra actividad
exige la precisin y la determinacin del sistema de participacin
general. Sin embargo no hemos de olvidar que la estructura actual
de la organizacin ayuda a la preparacin y a la realizacin de las
actitudes de los miembros hacia sus deberes ineludibles. De igual
manera, el nuevo modelo de actividad de la organizacin, garantiza
la participacin de un grupo importante en la formacin de las nuevas
proposiciones. La prctica de la vida cotidiana prueba que, el
desarrollo continuo de distintas formas de actividad cumple deberes
importantes en la determinacin de las direcciones educativas en el
sentido del progreso. No es indispensable argumentar el peso y la
significacin de estos problemas ya que, nuestra actividad de
informacin y propaganda facilita la creacin del sistema de formacin
de cuadros que corresponda a las necesidades. Las experiencias
ricas y diversas muestran que, el reforzamiento y desarrollo de las
estructuras obstaculiza la apreciacin de la importancia de las
condiciones de las actividades apropiadas. El afn de organizacin,
pero sobre todo la consulta con los numerosos militantes ofrece un
ensayo interesante de verificacin del modelo de desarrollo. Los
superiores principios ideolgicos, condicionan que el inicio de la
accin general de formacin de las actitudes implica el proceso de
reestructuracin y modernizacin de las formas de accin. Incluso,
bien pudiramos atrevernos a sugerir que un relanzamiento especfico
de todos los sectores implicados habr de significar un autntico y
eficaz punto de partida de las bsicas premisas adoptadas. Es obvio
sealar que, la superacin de experiencias periclitadas permite en
todo caso explicitar las razones fundamentales de toda una
casustica de amplio espectro. Pero pecaramos de insinceros si
soslaysemos que, una aplicacin indiscriminada de los factores
confluyentes asegura, en todo caso, un proceso muy sensible de
inversin de los elementos generadores. Por ltimo, y como definitivo
elemento esclarecedor, cabe aadir que, el proceso consensuado de
unas y otras aplicaciones concurrentes deriva de una indirecta
incidencia superadora de toda una serie de criterios ideolgicamente
sistematizados en un frente comn de actuacin regeneradora.
Discursos polticos, programas electorales... Cuntos discursos
posibles podemos elaborar? 14 28. Cap. 16. Rumores, leyendas y
bromas pesadas entre gentes de ciencia En la primavera de 1996 la
prestigiosa revista Social Text de estudios culturales de
tendencias postmodernas public el artculo: "Transgrediendo las
fronteras: hacia una hermenutica transformadora de la gravedad
cuntica". El autor fue el fsico de la Universidad de New York, Alan
Sokal. Cuando un investigador desea publicar un trabajo en una
revista de prestigio en el rea de su inters, debe seguir una serie
de pasos. Inicialmente enva su trabajo a alguno de los editores de
la revista. Estos le contestan agradeciendo su intencin. En ciertos
casos, los propios editores, despus de evaluar la calidad del
trabajo, deciden aceptarlo tal cual, aceptarlo con retoques o
rechazarlo. Pero la mayor parte de las veces, piden consejo
evaluador a otros investigadores de reconocido prestigio en el rea.
El artculo de Sokal fue aceptado para su publicacin sin mayores
problemas. Cul fue la inocentada? Que cualquier estudiante de fsica
se hubiera dado cuenta de que aquellas 23 pginas eran una chchara
sin sentido. Para inri de los editores, al mismo tiempo que se
publicaba el artculo, Sokal descubra la inocentada en otra
prestigiosa revista francesa: Lingua Franca. Por qu Sokal decidi
ridiculizar a los editores de Social Text? Los motivos se cuentan
con lujo de detalles en el libro Imposturas Intelectuales, que
Sokal escribi con Bricmont poco despus de la tormenta. Resumido en
palabras del filsofo Thomas Nagel, extradas de una resea del libro:
"Los escritores denunciados por Sokal y Bricmont -se refiere a
Lacan, Baudrillard, Irigaray, Kristeva y Deleuze, entre otros-
utilizan trminos tcnicos sin saber lo que significan, aluden a
teoras y frmulas que no comprenden ni lo ms mnimo, e invocan a la
fsica y las matemticas modernas en apoyo de posturas sicolgicas,
sociolgicas, polticas y filosficas con las que no tienen nada que
ver. No siempre es fcil determinar cunto es debido a la estupidez
incurable y cunto al deseo de apabullar al pblico con fraudulentos
despliegues de sofisticacin terica. 29. PACO: Poeta automtico
callejero on-line Creadores: Artista-escultor Carlos Corpa / Ana
Mara Garca- Serrano y su equipo en inteligencia artificial. Usando
una variante del lenguaje de programacin Prolog, que han bautizado
como Ciao, han creado un programa que genera poesas. El programa
distingue categoras como nombre, verbo, adjetivo, determinantes y
adverbios. Escoge aleatoriamente un sujeto, 210.30785 el zoomorfo
es el lpulo siams , y el nade es el ejrcito bonachn el grnulo es el
esprrago ceilans , y el hipotlamo es el sculo santurrn el
estratocmulo es el hrreo cabezn , y el autoengao es el espontanesmo
dulzn el linleo es el alfeique refunfun , y el fricand es el
hidrgeno fardn un verbo y un predicado de modo que concuerden
tiempo verbal, gnero, nmero, etc. y que la frase sea sintcticamente
correcta. Aunque en realidad Paco solo usa el verbo ser, la cosa es
ms compleja de lo que parece. Elige tambin al azar si la rima ser
consonante o asonante, y en funcin de eso el nmero de versos. Text
Generators: The Postmodernism Generator Adolescent Poetry Band
Names Postmodernism Subgenius Brag Time Cube (19) El robot Paco
(Emitido el 22 de Mayo del 2005) Locucin: B. Luque Guin: B. Luque y
F. Ballesteros 30. Generador automtico de novelas de Dan Brown
"Autores vidos de xito, dejad atrs los desvelos por encontrar la
frmula mgica. Qu nos hace falta para crear un best seller?
Simplemente un generador automtico de novelas que, siguiendo los
pasos del autor ms vendido en los ltimos aos, Crea tu propia novela
de Dan Brown. Lo que vamos a obtener son las sinopsis de lo que
podra ser cualquier novela de moda. Pulsando donde nos indica, o
pulsando la tecla F5 todas las veces que queramos, el programa nos
ofrecer una impresionante idea para crear una novela al estilo de
Dan Brown. Adems, podemos personalizar estas creaciones de ttulos
pegadizos aadiendo un nombre, un apellido y un lugar. Incluso
obtendremos las distintas portadas que nos resultarn bastante
familiares. Arcas y tijeras, Templos y ascensores, El crisol de la
crisis, La panacea del mechero, El templo escarlata... son algunos
de los ttulos de probables novelas de Dan Brown". Eva Paris 10 de
diciembre de 2009 Del Blog Papel en Blanco 31. 43 Emparejamientos
Dados 2n objetos distintos, cuntas maneras hay de formar n parejas?
Intentemos agrupar los 2n objetos usando n pares de parntesis: ( ,
) ( , ) ( , ) ... ( , ) Hay 2n espacios vacos y 2n objetos, luego
los podemos colocar de (2n)! maneras distintas. Pero para cada
parntesis tenemos 2! = 2 ordenaciones posibles que han de contarse
como una sola (dan lugar al mismo par), debemos dividir entre 2 2
... 2 = 2n. El orden en que hemos colocado los parntesis tampoco
nos importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada
emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. !2 )!2(
n n n Entonces el nmero de parejas distintas es: 32. 44
Generalicemos el problema: dados mn objetos, cuntas maneras hay de
formar n conjuntos de m objetos? Agrupemos los mn objetos usando n
parntesis: ( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , ) ... (, , ... ,
) Hay mn espacios vacos y mn objetos, luego los podemos colocar de
(mn)! maneras distintas. Pero para cada parntesis tenemos m!
ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar
a la misma m-terna ). Luego hemos de dividir entre m! m! ... m! =
(m!)n. El orden en que hemos colocado los parntesis tampoco nos
importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada
emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces
el nmero de maneras es: !)!( )!( nm nm n 33. 45 Un comentarista
deportivo espaol (o sea, de ftbol) peda en antena que, para
conseguir el equipo ideal de entre sus 20 jugadores, un entrenador
probara todas las posibilidades para dar con el 10 ideal (el
portero lo daba por indiscutible). Le dara tiempo en una liga?
2.800670.442.571121...181920 factores10 = Variaciones (sin
repeticin) 34. Variaciones (sin repeticin) 1121...181920 !10 !20
!)1020( !20 10,20 == =V 46 123...)1()( 123...)2()1( = = rnrn nnn
r)!(n n! Vn,r En el problema anterior: )1(...)2()1(, += rnnnnV rn
Segn la regla del producto, las maneras de escoger r elementos
distintos de entre un total de n (r < n) segn un determinado
orden, ser igual al producto de: Esta expresin se conoce como
variaciones de n elementos tomados de r en r, y se representa por
Vn,r. Habitualmente se expresa como: 35. 47 Cuantos nmeros de tres
cifras distintas y significativas se pueden formar con las nueve
cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Y si
admitimos el 0? 5047893,9 ==V Si admitimos el 0, como primera opcin
seguimos teniendo 9 nmeros, pero ahora como segundo nmero podemos
usar tambin el 0, luego tenemos 9 posibles candidatos...: 641899 =
Al tratarse de nmeros el orden importa y adems nos dice "cifras
distintas" luego no pueden repetirse. 36. 48 De cuntas maneras
posibles se pueden sentar 10 personas en un banco si solamente hay
4 puestos disponibles? El primer puesto libre puede ocuparse de 10
maneras, luego el segundo de 9 maneras, el tercero de 8 y el cuarto
de 7. El nmero de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 a la vez
ser: 5040789104,10 ==V Tenemos 6 alumnos de primer curso, 5 de
segundo, 4 de tercero, 3 de cuarto, 2 de quinto, 1 de sexto, como
candidatos a recibir 5 premios de la Facultad: uno al alumno menos
charlatn, otro al ms atento, otro al que tiene mejor letra, otro al
que asiste ms a tutoras y, por ltimo, al que mejor aparca el coche.
Suponiendo que ningn alumno puede recibir ms de un premio, se pide:
De cuntas maneras se pueden distribuir los premios? Tenemos 21
candidatos a 5 premios. Como ningn alumno puede recibir ms de un
premio (no es posible la repeticin), tenemos 21 posibles candidatos
para el primer premio, 20 para el segundo,... En total: 21 x 20 x
19 x 18 x 17 = 2.441.880 (distribuciones posibles). 37. El ejemplo
ms famosos de hipernovela es Rayuela (1963) del escritor argentino
Julio Cortzar (1914-1984). Hiperficcin explorativa o Hipernovela
"El jardn de senderos que se bifurcan", Jorge Luis Borges
(18991986) 38. Fue Theodor Nelson en 1965 quien acu la expresin
hipertexto, que defini como: La primera novela conocida elaborada
en hipertexto fue Afternoon: a story, publicada en 1989 por el
norte- americano Michael Joyce. El argumento no est dado de
antemano, sino que cada lector construye su propio camino. La
novela empieza con la frase: "Quiero decir que tal vez haya visto a
mi hijo morir esta maana." Pulsar "quiero" nos lleva por un hilo
argumental. Pulsar "morir", por otro... Libros juego: La coleccin
Elige tu propia aventura (Edward Packard y R. A. Montgomery),
editados en la dcada de los 80 y enfocados a un pblico juvenil.
Escritura no secuencial, texto que bifurca, que permite que el
lector elija y que se lee mejor en una pantalla interactiva. Se
refiere a una serie de bloques de texto conectados entre s por
nexos que forman diferentes itinerarios para el usuario. 39.
Variaciones con repeticin r nn...nnn = 52 Segn la regla del
producto, las maneras de escoger r elementos de entre un total de n
segn un determinado orden, y con la posibilidad de repetir los
elementos en cada eleccin, son: Esta expresin se conoce como
variaciones con repeticin y se representa como: r rn nVR =, Se lee:
variaciones con repeticin de n elementos tomados de r en r. 40. 53
Cuantos nmeros de tres cifras significativas se pueden formar con
las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Y
si admitimos el 0? 72993 3,9 ==VR Si admitimos el 0, como primera
opcin seguimos teniendo 9 nmeros. Pero ahora como segundo nmero
podemos usar tambin el 0, luego tenemos 10 posibles candidatos e
dem para el tercero: 90010109 = Al tratarse de nmeros el orden
importa y adems nos dice que las "cifras se pueden repetir: 41. 54
V V 42. Combinaciones (sin repeticin) 59 Cuntas posibles combinados
de dos bebidas podemos hacer con ginebra, vodka y tequila? Si el
orden importara tendramos 3 2 = 6. Pero en realidad: (g, v) = (v,
g), (g, t) = (t, g) y (t, v) = (v, t), porque el orden no importa.
De modo que debemos dividir entre 2: 6 / 2 = 3. Cuntas posibles
combinados de tres bebidas podemos hacer con ginebra, vodka,
tequila y ron? De nuevo, si el orden importara tendramos 4 3 2 =
24. Pero en realidad: (g, v, t) = (g, t, v) = (v, g, t) = etc...,
porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 3!:
24 / 3! = 4. 43. Combinaciones (sin repeticin) 60 Cuntas posibles
configuraciones de r elementos podemos construir desde un conjunto
de n elementos diferentes, sin que importe el orden y no sea
posible la repeticin? Si el orden importara tendramos n (n-1) .....
(n - r + 1) posibilidades. Las podemos partir en clases, de forma
que en cada clase estn aquellas configuraciones que sean la misma
salvo el orden. Como hemos escogido r elementos, cada clase estar
formada por las r! formas distintas de ordenar esos elementos. r rn
P V rnr n r! rnnn , )!(! !)1(....)1( = = + 44. 61 Este nmero se
conoce como las combinaciones de n elementos tomadas de r en r y se
denota por: r rnr n P V rnr n r n rnCC , )!(! ! ),( = = == 506.142
)!530(!5 !30 5 30 )5,30( = = =C Cuntos grupos de 5 alumnos pueden
formarse con los 30 alumnos de una clase? (Un grupo es distinto si
se diferencia por lo menos en un alumno). No importa el orden. No
puede haber dos alumnos iguales (no hay clones) en un grupo, luego
no hay repeticin. 45. 62 De cuntas maneras se puede formar un comit
de 5 personas a partir de un grupo de 9? ( ) 126 )!59(!5 !99 55,9 =
==C Si quiero alquilar tres pelculas, cuntas posibilidades tengo si
en el videoclub slo hay 200 pelculas? ( ) 1.313.400 )!3200(!3
!200200 33,200 = ==C 46. 63 47. 64 48. Cuntas manos distintas
pueden darse a 4 jugadores con 5 cartas cada uno y una baraja de 52
cartas? (Intenta primero una respuesta a ojo). 65 El primer jugador
puede recibir C(52, 5) manos distintas. Una vez el primer jugador
tiene su mano el segundo puede recibir C(47, 5) manos distintas (5
cartas de las 47 restantes). El tercero: C(42, 5) y el cuarto:
C(37, 5). Por la regla del producto tendremos un total de: !32!5
!37 !37!5 !42 !42!5 !47 !47!5 !52 )5,37()5,42()5,47()5,52( =CCCC 24
101.52404.020.034.843.475.641.478.262. !32!5!5!5!5 !52 == 49. 66 A
partir de un grupo de 5 matemticos y 7 fsicos se quiere formar un
comit de 2 matemticos y 3 fsicos. De cuntas maneras se puede hacer
si: a) se puede incluir cualquier matemtico y cualquier fsico, b)
un fsico en particular debe estar en el comit y c) dos matemticos
en particular no pueden pertenecer al comit? a) Se pueden
seleccionar 2 matemticos de 5 de C(5,2) maneras y a los 3 fsicos de
C(7,3) maneras. El nmero total es el producto = 1035 = 350. b)
Anlogamente: los posibles matemticos coinciden con los de antes:
C(5,2); y de los fsicos esta vez se escogen 2 de los 6 que quedan:
C(6,2). Por lo tanto, el total ser: C(5,2) C(6,2) = 1015 = 150. c)
Ahora slo tendremos dos matemticos a escoger entre 3: C(3,2). Los
fsicos sern como en a). En total tendremos: C(3,2) C(7,3) = 335 =
105. 50. 67 Cuntas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales
distintas se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 vocales
diferentes? (No hace falta que tengan sentido) Se pueden
seleccionar 4 consonantes diferentes de C(7,4) maneras y las 3
vocales de C(5,3) maneras. Adems, las 7 letras resultantes (4
consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse entre s de 7! maneras.
Por lo tanto: # de palabras = C(7,4) C(5,3) 7! = 35 10 5040 =
1.764.000 51. Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores: 3
bases, 4 aleros y 5 pvots. Cuntos equipos diferentes puede
presentar el entrenador como quinteto titular? Se recuerda que de
forma simplificada un equipo de baloncesto consta de un base, dos
aleros y dos pvots. 70 SOLUCIN: Hay que elegir 1 base, 2 aleros y 2
pvots de un total de 3 bases, 4 aleros y 5 pivots, donde el orden
no influye en cada uno de los puestos correspondientes sino las
personas en juego. El entrenador puede presentar: 3 6 10 = 180
equipos quintetos titulares. pvotsC alerosC basesC 10 2 5 6 2 4 3 1
3 2,5 2,4 1,3 = = = = = = 52. 71 Ejemplo: para generar el 5
elemento en la fila #7, sumamos el 4 y 5 elemento en la fila #6. El
tringulo de Pascal (o de Tartaglia) 53. 72 Nmeros combinatorios 10
2 5 = Fila 5, posicin 2: 120 7 10 = Fila 10, posicin 7: 54. 73
)!79(!7 !9 )!29(!2 !9 36 7 9 2 9 = = = = rn n r n 55. 74 De cuntas
maneras distintas podemos pintar una tira de cinco casillas,
pintando 2 de rojo y 3 de azul? Respuesta: Combinaciones de 5
elementos tomados de 2 en 2 (tomamos 2 casillas de 5 para pintar de
rojo y no nos importa el orden). O de 5 elementos tomados de 3 en 3
(tomamos 3 casillas de 5 para pintar de azul y no nos importa el
orden): C(5,2) = C(5,3) = 10. 56. 75 Hogar, dulce hogar Cine Cuntos
caminos distintos podemos recorrer desde hogar a cine, donde cada
movimiento debe acercarnos al cine? Cualquier posible recorrido
consiste en 8 movimientos a la derecha (1) y 4 movimientos hacia
arriba (0). La solucin es, por tanto: 495 !4!8 !12 4 12 8 12 == =
011010111110 Codificar 57. 76 21615 5 7 5 6 4 6 =+ = + = + r n r n
r n 1 1 1 Identidad de Pascal 58. 77 ),( 1 1 1 ),1()1,1( rnC r n r
n r n rnCrnC = = + =+ Demostrar la identidad de Pascal:
Demostracin: ( ) ( ) ( ) = + =+ !!1 )!1( !1! )!1( ),1()1,1( rrn n
rrn n rnCrnC ( ) ( ) = + r rn rrn n 1 !1! !)1( ( ) ( ) ( ) ),( !! !
!1! !)1( rnC rrn n r n rrn n = = 59. La suma de fila ensima es el
nmero total de subconjuntos posibles de un conjunto de n elementos
= 2n 78 32215101051 5 ==+++++ ( ) n n r n nnnn rnC 2 210 , 0 = ++ +
+ == Fila 5: 60. 79 Cuntas ensaladas diferentes puedo hacer con
lechuga, tomate, cebolla, aceitunas y atn? 1 Forma: Se pueden
seleccionar 1 de los 5 ingredientes, 2 de los 5, ... hasta coger 5
de los 5. El nmero de ensaladas distintas es: C(5,1) + C(5,2) +
C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31. 2 Forma: Cada
ingrediente se puede escoger o rechazar. Eso, con 5 Ingredientes,
nos proporciona 25 posibilidades. Evitando el caso de no coger
ningn ingrediente, tenemos: Nmero de ensaladas = 25-1 = 31. 61. Un
conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un
conjunto. Por ejemplo, el conjunto potencia de S = {a,b,c} es: P(S)
= { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Cul es
el cardinal del conjunto potencia de un conjunto con n elementos? O
dicho de otra manera, Cuntos subconjuntos podemos formar a partir
de un conjunto de n elementos? abc Subconjunto 0 000 { } 1 001 {c}
2 010 {b} 3 011 {b,c} 4 100 {a} 5 101 {a,c} 6 110 {a,b} 7 111
{a,b,c} ( ) n n r n nnnn rnC 2 210 , 0 = ++ + + == O, codificando
en binario, simplemente: n n 22...22 = Y si hacemos n infinito? 62.
81 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... ....
.... 63. 82 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... 1 2 3 4 5 6 7 8 ....
.... .... .... 64. 84 Imaginemos una bola cayendo por el tringulo
de Pascal. Cada fila que baja puede caer hacia la derecha o hacia
la izquierda. Cuntos posibles caminos nos llevan a la posicin 2 de
la fila 7? 21 )!27(!2 !7 2 7 = = Respuesta: Por qu? Imaginemos que
la bola va siempre a la izquierda, 7 veces a la izquierda.
Acabaremos en la posicin 0 de la fila 7. Si va 5 veces a la
izquierda y 2 a la derecha, independientemente del orden en que lo
haga, acabar en la posicin 2 de la fila 7. 65. La conjetura de
Singmaster En un tringulo de Pascal infinito, a excepcin del 1 (que
aparece infinitas veces) cualquier nmero entero positivo aparece un
nmero finito de veces. Por qu? Muy sencillo: porque un nmero entero
positivo K solamente puede aparecer en las K primeras filas del
tringulo de Pascal (tal y como lo hemos construido), ya que a
partir de la fila K+1 todos los nmeros que aparecen en cualquiera
de ellas (excepto los unos) son mayores que K. Por ejemplo, el
nmero 6 solamente puede aparecer en las primeras 6 filas, y
concretamente aparece 3 veces (una vez en la cuarta fila y dos
veces en la sexta). From: Gaussianos 66. Existe un nmero M tal que
ningn nmero entero positivo aparece ms de M veces en el tringulo de
Pascal. Algunos creen que dicha cota ser precisamente 8 (el nmero
de veces que sale el 3003), aunque el propio Singmaster piensa que
la cota ser 10 12. Hasta que no llegue alguien que le ponga el
cascabel al gato seguiremos con la incertidumbre (y no parece que
esto sea fcil, al menos el gran Paul Erds as lo pensaba, aunque
tambin crea que la conjetura es cierta). Qu pensis vosotros? From
Gaussianos La conjetura de Singmaster: David Singmaster 67. Martin
Gardner (October 21, 1914 May 22, 2010) 68. Recopilaciones de
artculos en Scientific American Nuevos pasatiempos matemticos
(1961) El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos
matemticos (1969) Comunicacin extraterrestre y otros pasatiempos
matemticos (1971) Carnaval matemtico (1975) Festival
mgico-matemtico (1978) Circo matemtico (1979) Ruedas, Vida y otras
diversiones matemticas (1983) Los mgicos nmeros del Dr. Matrix
(1985) Rosquillas anudadas y otras amenidades matemticas (1986)
Miscelnea matemtica (1986) Viajes por el tiempo y otras
perplejidades matemticas (1987) Mosaicos de Penrose y escotillas
cifradas (1989) Las ltimas recreaciones I y II (1997) Fraudes en
las seudociencias La ciencia: lo bueno, lo malo y lo falso
(Alianza) La nueva era (Alianza) Urantia: revelacin divina o
negocio editorial? (Tikal) Tenan ombligo Adn y Eva? (Debolsillo)
Orden y sorpresa (Alianza) James Randi y Martin Gardner 69.
Pasatiempos matemticos y divulgacin cientfica Aj! Paradojas que
hacen pensar (Labor) Aj! Inspiracin (Labor) Mquinas y diagramas
lgicos (Alianza) El ordenador como cientfico (Paids Studio)
Izquierda y derecha en el cosmos (Salvat) La explosin de la
relatividad (Salvat) Otros Alicia anotada (Ediciones Akal, 1984)
The Annotated Snark. (Penguin Books, 1974) Los porqus de un escriba
filosfico (Tusquets) 70. 90 (1) La buena de la seora Evita Gastos
pretenda pasar de largo junto a la mquina de chicles de bola sin
que sus gemelitos se dieran cuenta. Primer gemelo: Mam yo quiero un
chicle! Segundo gemelo: Mam, yo tambin. Y lo quiero del mismo color
que el de Toito! 71. 91 La mquina, tiene chicles de bola de color
rojo y verde. Cada chicle cuesta 1 euro. No hay forma de saber el
color de la prxima bola. Si la Sra. Gastos quiere estar segura de
sacar dos bolas iguales, cuntos euros tiene que estar dispuesta a
gastar? "El peor de los casos posibles." 1 2 3 72. 92 (2)
Supongamos ahora que la mquina contiene 6 bolas rojas, 4 verdes y 5
azules. Cuntas monedas necesita la seora Evita Gastos para estar
segura de conseguir dos bolas iguales? Generaliza a n conjuntos de
bolas, donde cada conjunto es de un color. El peor de los casos
posibles. 1 2 3 4 ....... + 1 1 2 n n+1 73. 93 (3) Ahora pasa por
delante de la mquina la seora Bolsaprieta con sus trillizos. La
mquina contiene ahora 6 bolas rojas, 4 verdes y 1 azul. Cuntas
monedas necesita la seora para estar segura de conseguir tres bolas
iguales? 1 2 3 4 5 6 74. 94 Podramos haber atacado el problema en
forma bruta. Asignando a cada bola una letra y examinando cada una
de las: 800.916.39!11 = posibles extracciones para determinar cul
presenta una secuencia inicial mxima antes de que aparezcan 3 bolas
idnticas. La idea aj! consiste en establecer el caso ms
desfavorable. Aj!, Martin Gardner 75. 95 El principio del palomar
establece que si n palomas se distribuyen en m nidos, y si n >
m, entonces al menos habr un nido con ms de una paloma. Por
ejemplo: si se toman trece personas, al menos dos habrn nacido el
mismo mes. Ms general: si tenemos kn+1 palomas y n nidos, entonces
al menos k+1 de ellas duermen en el mismo nido. El primer enunciado
del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el
nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). Principio
del palomar o de los cajones de Dirichlet En mximo nmero de
cabellos que puede tener una persona es 200.000. Existen dos
personas en Madrid con la misma cantidad de pelos en el coco? Peter
Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859) 76. o A y B se conocen: o A y
B no se conocen: A B Con un botelln de 3 personas no podemos
asegurarlo porque las posibilidades son: A B Teora de grafos y
nmeros de Ramsey Si dos personas (A y B) estn en un botelln: Cul es
el nmero mnimo de personas necesarias para asegurar que: o bien
tres de ellas se conocen, o bien, tres de ellas no se conocen? 77.
Es posible colorear los enlaces de un grafo- botelln de 5 personas
de modo que no haya 3 personas que se conozcan mutuamente, ni que
haya 3 personas que no se conozcan mutuamente. Luego 5, tampoco es
el nmero. Hay 64 posibles grafos-botelln de 4 personas (Por qu?).
Es fcil encontrar un grafo de los 64 donde no existan ni 3 personas
que se conozcan mutuamente, ni tres personas que se desconozcan
mutuamente. Por ejemplo: Nota: Los seis primeros grafos completos
.... Cliques. 78. Sin embargo, en un botelln de 6 personas, seguro
que 3 de ellas se conocen mutuamente o 3 de ellas son desconocidas
entre s. Puesto que de cada nodo salen 5 enlaces o bien 3 son rojos
o bien 3 son azules: Caso 1: Supongamos que A conoce a B, C, D. Por
el principio del palomar, si cualquier pareja entre B, C o D se
conoce, tendremos 3 conocidos mutuos. Si no ocurre esto, tenemos 3
personas que seguro que no se conocen entre s. A D C B A D C B 79.
Caso 2: Supongamos que desconoce a B, C y D. Por el principio del
palomar, si cualquiera pareja de B, C y D no se conocen entre s,
tendremos seguro 3 desconocidos mutuos. Si ninguna pareja es de
desconocidos, seguro que tenemos 3 conocidos mutuos. A D C B A D C
B 80. El nmero de Ramsey R(m, n) proporciona el nmero mnimo de
personas en un botelln para garantizar la existencia de m conocidos
mutuos o n desconocidos mutuos. Hemos demostrado que R(3, 3) = 6.
El teorema de Ramsey garantiza que R(m, n) existe para cualquier m
y n. In the language of graph theory, the Ramsey number is the
minimum number of vertices v = R(m,n), such that all undirected
simple graphs of order v contain a clique of order m or an
independent set of order n . Ramsey theorem states that such a
number exists for all m and n. 81. Frank Plumpton Ramsey
(1903-1930). En 1924, a la edad de 21 aos, Ramsey pas a ser miembro
del claustro del Kings College de Cambridge. Hizo contribuciones
destacadas en matemticas, filosofa y economa. Lamentablemente una
ictericia acab con su vida a la edad de 27 aos. Ramsey theory ask:
How many elements of some structure must there be to guarantee that
a particular property will hold?" Ramsey Theory says that any
structure of a certain type, no matter how disordered, contains a
highly ordered substructure of the same type. Complete disorder is
impossible. 82. m n R(m,n) Reference 3 3 6 Greenwood and Gleason
1955 3 4 9 Greenwood and Gleason 1955 3 9 36 Grinstead and Roberts
1982 3 23 [136, 275] Wang et al. 1994 5 5 [43, 49] Exoo 1989b,
McKay and Radziszowski 1995 6 6 [102, 165] Kalbfleisch 1965, Mackey
1994 19 19 [17885, 9075135299] Luo et al. 2002 It has actually been
known since 1955 that R(4, 4) = 18. We do not know R(5, 5), but we
do know that it lies somewhere between 43 and 49. (Cul es el
problema? Supongamos N = 50). All we really know about R(6, 6) is
that it lies somewhere between 102 and 165. There is a cash prize
for finding either one. 83. El gran matemtico Paul Erds estaba
fascinado por la dificultad para encontrar nmeros de Ramsey. Dijo
al respecto: Imagine an alien force vastly more powerful than us
landing on Earth and demanding the value of R(5, 5) or they will
destroy our planet. In that case, we should marshal all our
computers and all our mathematicians and attempt to find the value.
But suppose, instead, that they ask for R(6, 6). Then we should
attempt to destroy the aliens. 84. Cap. 15: Cmo organizar una
velada perfecta ...con final feliz. 85. 106 Cuntas palabras
distintas (con o sin sentido) podemos construir utilizando todas
las letras de MISSISSIPPI ? S = { 1M, 4I, 4S, 2P } Llenemos las 11
casillas: 86. 107 S = { 1M, 4I, 4S, 2P } M 1 11 # de posibilidades
para M: II I I 4 10 # de posibilidades para I: S S S 4 6 S # de
posibilidades para S: P P 2 2 # de posibilidades para P: 34.650 87.
Permutaciones con repeticin .21 nnnn r =+++ 108 Si n objetos pueden
dividirse en r clases con ni objetos idnticos en cada clase (i = 1,
2, ..., r), es decir, tal que Entonces el nmero de permutaciones
posibles es: nnnn nnn n PR r r nnn n r =+++ = 21 21 ,...,, con !!!
!21 Por qu? 88. ( ) ( ) ( ) = = !)!( )!( !! )!( !! )!( !! ! 1!0 121
121 3321 21 221 1 11 rrr r nnnnnn nnnn nnnnn nnn nnnn nn nnn n 109
= r r n nnnn n nnn n nn n n 121 3 21 2 1 1 Recuerda el problema de
MISSISSIPPI... 89. 110 De cuntas maneras distintas pueden colocarse
en lnea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2
azules? 1260 !2!3!4 !92,3,4 9 ==PR El orden importa por ser de
distinto color, pero hay bolas del mismo color (estn repetidas y
son indistinguibles) y colocamos 9 bolas en lnea y tenemos 9 bolas
para colocar. 90. 111 Ahora ste, te resultar fcil, porque es una
generalizacin del anterior. Cuntas palabras distintas de 7 letras
podemos formar con la palabra CACATUA? La palabra CACATUA consta de
7 letras de las cuales slo hay 4 tipos distinguibles: 2C, 3A, 1T y
1U. Tendremos entonces que repetir elementos dentro de cada tipo.
As que nos piden las permutaciones con repeticin: !1!1!3!2 !77
1,1,3,2 =PR 91. 112 De cuntas maneras se pueden dividir 10 objetos
en dos grupos que contengan 4 y 6 objetos respectivamente? Esto es
lo mismo que el nmero de ordenaciones de 10 objetos, de los cuales
4 son indistinguibles entre s y los otros 6 tambin (Observa que no
nos importa el orden ni en el grupo de 4 ni en el de 6). Se trata
entonces de una permutacin con repeticin: 10!/(4!6!) = 210. El
problema tambin equivale a encontrar el nmero de selecciones de 4
de 10 objetos ( 6 de 10), siendo irrelevante el orden de seleccin.
Se trata por lo tanto de combinaciones sin repeticin: ( ) 210 !6!4
!10 )!410(!4 !1010 44,10 == ==C 92. Calcular el nmero de sucesiones
que se pueden formar con 3 aes, 5 bes y 8 ces. Y si no puede haber
dos bes consecutivas? Y si no hay dos letras iguales consecutivas?
SOLUCIN: A) Cada una de las sucesiones sin condiciones adicionales
es una permutacin de aaabbbbbcccccccc, por lo que su nmero es: Para
que las letras b no aparezcan consecutivas, deben colocarse, entre
dos trminos de una de las sucesiones de aes y ces. Como hay 11
smbolos en esas sucesiones el nmero de huecos donde se pueden
colocar las bes es 12. Debemos elegir 5 de estos 12 huecos. Se
puede hacer de 113 720.720 !8!5!3 !16,8,5,3 16 ==P formas.680.130
!8!3 !11 5 12 :por tantoes,sucesionesdenmeroEl distintas.formas792
5 12 = = 93. c) No se permiten letras iguales consecutivas.
Fijmonos en la colocacin de las ces. El nmero de ces es la suma del
n de aes y bes. 2 opciones: - Si c slo aparece en uno de los
extremos: c-c-c-c-c-c-c-c- eligiendo 3 huecos de los 8 posibles
para colocar las 3 aes, tendremos la sucesin descrita: El n de
sucesiones de este tipo es - Si c aparece en los 2 extremos, una
colocacin ser: c- -c-c-c-c-c-c-c donde en las posiciones podemos
colocar a o b. El doble hueco - - puede aparecer en 7 posiciones y
se puede llenar con ab o con ba, es decir, se presenta 27
posibilidades. Luego hay que elegir dos huecos entre seis para
colocar las restantes aes. En total, el n de sucesiones en este
caso es El n de sucesiones sin letras iguales consecutivas ser
entonces: 3 8 2 2 6 72 114332210112 2 6 14 3 8 2 =+= + 94. 115 El
binomio de Newton (a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles
productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a + b)3 =
(a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa,
aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +
b3. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) =
4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1 95. 116 Teorema del binomio (
) ( ) jjn n j n yxjnCyx = =+ 0 , nnnnn y n n yx n n yx n yx n x n +
++ + + = 11221 1 ... 210 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )k n k kkn n k n
knCknC 1,11,110 00 ==+= = = ( ) ( ) 0,1 0 == knC n k k Demostrar:
96. 117 Generalizacin del binomio de Newton Vamos a encontrar una
frmula similar a la del binomio de Newton para (a + b + c)n.
Aplicando la propiedad distributiva a: (a + b + c)n = (a + b + c)
(a + b + c) ... (a + b + c) tendremos todos los posibles productos
ah bk cm tales que h + k + m = n escogidas sobre: S = {n a, n b, n
c}. De modo que: mkh nmkh mkh n cba mkh n cba =++ =++ ,, !!! ! )(
Coeficientes Multinomiales 97. 118 ADN (cido Desoxirribonucleico)
Cadena de cuatro posibles bases: Timina (T), Citosina (C), Adenina
(A) y Guanina (G) Ejemplo de cadena de ADN: TTCGCAAAAAGAATC ADN y
ARN 98. 119 Alga (P. salina): 6,6x105 bases de longitud. Moho (D.
discoideum): 5,4x107 bases de longitud. Mosca de la fruta (D.
melanogaster): 1,4x108 bases Gallo (G. domesticus): 1,2x109 bases
99. 120 Humanos (H. sapiens): 3,3x109 bases. (Alrededor de 20.500
genes segn las ltimas estimaciones). Cuntas cadenas distintas de
esta longitud son posibles? 98 899 1098,1106,63 106,610106,6103,3
10)10( )2(24 = == 100. 121 ARN es una molcula mensajera. Lee las
bases del ADN y las copia exactamente iguales, excepto para el caso
de la timina (T) que reemplaza por la base uracilo (U). ADN y ARN
101. 122 Algunas enzimas rompen las cadenas de ARN en los lugares
donde detectan una G. Otras enzimas lo hacen para C o U.
Consideremos la cadena: CCGGUCCGAAAG Si aplicamos una G-enzima
romper la cadena en los fragmentos: CCG|G|UCCG|AAAG CCG, G, UCCG,
AAAG Gracias a la G-enzima podemos conocer estos fragmentos, pero
no el orden en que aparecen en la cadena original. Tijeras
moleculares 102. 123 Cada permutacin de todos los fragmentos nos
proporciona una posible cadena. Como por ejemplo, sta (que no es la
original): UCCGGCCGAAAG En este ejemplo concreto, cuntas posibles
cadenas podemos construir con estos cuatro fragmentos? 4 x 3 x 2 x
1 = 4! = 24 posibles cadenas. Volvamos a la cadena original:
CCGGUCCGAAAG Supongamos que aplicamos ahora las enzimas U y C.
Dispondremos de los U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C, GAAAG Cuntas
supuestas cadenas originales podemos formar con estos fragmentos?
Es 6! = 720 la respuesta correcta? 103. 124 Los dos primeros
fragmentos, el cuarto y quinto son el mismo (C), de modo que no
podemos distinguirlos... El nmero de posibles fragmentos no ser 6!
= 720. Tenemos 6 posiciones (hay 6 fragmentos) y asignamos 4
posiciones de tipo C, uno de tipo GGU y uno de tipo GAAAG. El nmero
de posibilidades es: PR(6;4,1,1) = 6!/4!1!1! = 30. Pero el
resultado es incorrecto, aunque no por nuestro argumento
combinatorio... Por qu? Tenamos: C, C, GGU, C, C, GAAAG 104. 125
Observemos que el fragmento GAAAG no acaba en U o C. De modo que
necesariamente es el final. As que tenemos realmente que posicionar
5 fragmentos. El nmero de posibles cadenas con esos 5 fragmentos
es: PR(5;4,1) = 5 Las posibles cadenas son: (1) CCCCGGU, (2)
CCCGGUC, (3) CCGGUCC, (4) CGGUCCC y (5) GGUCCCC a las que hay que
aadir GAAAG al final. De modo que tenemos 24 posibles cadenas a
partir de los G-fragmentos y 5 con los U,C-fragmentos. Pero no
hemos combinado los conocimientos de los G y U,C-fragmentos.
G-fragmentos: CCG, G, UCCG, AAAG U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C,
GAAAG Cules de las 5 cadenas posibles de los U,C-fragmentos estn en
acuerdo con los G-fragmentos? 105. 126 CCCGGUCGAAAG CCGGUCCGAAAG
CGGUCCCGAAAG GGUCCCCGAAAG CCCCGGUGAAAG no, ya que CCCCG es un
G-fragmento y no aparece entre los posibles. Hay ms casos
semejantes? Comparando las 4 posibles cadenas de ARN restantes con
los U,C-fragmentos, solo la tercera: CCGGUCCGAAAG es compatible. Y
hemos recuperado as la cadena inicial. Por cierto, cuntas cadenas
posibles de ARN pueden construirse con las mismas 12 bases: 4 Cs, 4
Gs, 3 As y 1 U? PR(12;4,4,3,1) = 138 600 106. 127 La Estratagema de
fragmentacin que hemos descrito brevemente fue usada por primera
vez por R.W. Holley en Cornell en 1965 para determinar una
secuencia de ARN. El mtodo fue superado casi inmediatamente por
otros mucho ms eficientes. Esto era un ejemplo de secuenciacin de
una cadena de ARN dada su completa digestin por enzimas. No es
siempre posible establecer sin ambigedad la cadena original por
este mtodo. 107. 128 108. 129 Queremos pintar r pelotas con n
colores. Es como agrupar r pelotas en n montones, alguno de los
cuales puede estar vacos. Supongamos r = 5 y n = 4, por ejemplo.
Vamos a codificar el problema para hacerlo tratable. La
configuracin 1 1 0 1 0 1 0 1 significar: hay tantas bolas como 1s y
0 = pasa al siguiente color. Qu significa: 1 1 1 1 1 0 0 0 y 0 0 1
1 1 1 1 0? Siempre habr 5 unos (pelotas) y 3 ceros (cambios de
color). Combinaciones con repeticin 109. En el caso general, si
llamemos a la solucin f(n, r), ser igual al nmero de maneras de
disponer r unos y n-1 ceros en una secuencia que consta de n 1 + r
smbolos en total. f(n, r) = # de maneras de escoger n-1 lugares
entre n + r 1 o f(n, r) = # de maneras de escoger r lugares entre n
+ r 1. Y hemos convertido el problema de combinaciones con
repeticin en combinaciones sin repeticin. De modo que: 110.
Combinaciones con repeticin 131 El nmero de r-combinaciones de un
conjunto con n objetos distintos, cada uno repetido infinitamente,
es: 111. 132 En una confitera hay cinco tipos diferentes de
pasteles. De cuntas formas se pueden elegir cuatro pasteles? No
importa el orden y puede haber dos o ms pasteles repetidos (hasta
cuatro), luego se trata de combinaciones con repeticin: 112.
Ejemplo. (El nmero de soluciones enteras) Cuntas soluciones tiene
la ecuacin diofntica: donde x1, x2 y x3 son enteros no negativos?
133 11321 =++ xxx Solucin: Tenemos que seleccionar un total de 11
objetos (unidades) para formar 3 conjuntos (3 nmeros). Es
equivalente a pintar 11 bolas con 3 colores. En cada seleccin
tenemos x1 elementos en el primer conjunto, x2 elementos en el
segundo conjunto y x3 elementos en el tercero. El nmero de
soluciones posibles es: C(3 + 11 - 1, 11) = 78 113. Ejemplo:
(Iteraciones en un bucle) Cul es el valor de k despus de ejecutar
el siguiente cdigo? 134 k := 0 for i1 := 1 to n for i2 := 1 to i1
... for im := 1 to im-1 k := k + 1 next im ... next i2 next i1 El
valor inicial de k es 0 y le sumamos 1 cada vez que pasamos por la
lnea donde redefinimos k. Observa que los valores de los enteros
i1, i2, , im siempre cumplen: niii mm 11 ...1 El nmero de los
posibles enteros que pueden cumplir todas las desigualdades a la
vez es el nmero de maneras que tenemos de escoger m enteros del
conjunto {1, 2, , n}, con posible repeticin (m bolas con n
colores). De modo que k = C(n + m - 1, m) es la solucin. 114. 135
En una lnea estn acomodadas cinco canicas rojas, dos blancas y tres
azules. Si las canicas del mismo color no pueden diferenciarse
entre s (son indistinguibles), de cuntas maneras diferentes se
pueden ordenar sobre la lnea? De nuevo nos enfrentamos a
permutaciones con repeticin. Pero, por razonar de otra manera,
usemos un astuto truco: Supongamos que la respuesta es N
configuraciones distintas. Observa que dada una de esas
configuraciones, si cambiamos bolas del mismo color entre s, como
son indistinguibles, la configuracin sigue siendo la misma.
Entonces, multiplicando N por el nmero de maneras de colocar las 5
canicas rojas entre ellas, las 2 blancas y las 3 azules, es decir:
N5!2!3!, obtenemos las posibles configuraciones si se diferenciasen
entre s todas las bolas. Pero si todas las bolas fueran diferentes,
el nmero de configuraciones sera: 10!. Entonces: (5!2!3!)N = 10! y
despejando N tendremos la respuesta: N = 10!/(5!2!3!). 115. De
cuntas formas posibles podemos ordenar una baraja de n cartas? f(n)
= n! Cuando encontramos soluciones como estas se denominan frmulas
cerradas (que pueden expresarse como composicin de funciones
sencillas). Hemos visto las permutaciones, variaciones y
combinaciones. Pero en general esta aproximacin no siempre es
posible o prctica. En ese caso podemos encontrar la solucin como
una ecuacin de recurrencia o como una funcin generatriz. Veamos
como funcionaran para las combinaciones con repeticin. Frmulas
cerradas, ecuaciones de recurrencia y funcin generatriz 116. 137
Supongamos que tenemos r pelotas de golf, indistinguibles entre s,
cada una de las cuales debe ser pintada con cualquiera de n colores
disponibles. De cuntas formas las podemos colorear? (Repetimos)
Denotemos como x1 al nmero de pelotas pintadas con el primer color,
como x2 al nmero de pelotas pintadas con el segundo color, etc.
Entonces: x1 + x2 +...+ xn = r. Llamemos a la solucin f(n,r).
Entonces: (a) Si slo dispusiramos de un color (n = 1) las r pelotas
slo podran pintarse de una manera: f(1,r) = 1 para todo r 1. (b) Si
dispusiramos de n colores para una sola pelota, tendramos n formas
de colorear posibles: f(n, 1) = n para todo n 1. Combinaciones con
repeticin 117. 138 (1) Enfoque por recurrencias: Consideremos f(n,
r) y centrmosnos en el n-simo color. Una vez pintadas las r
pelotas, podemos o no haber usado el n-simo color. Si no lo ha
sido, slo han entrado en juego n - 1 colores, y entonces las formas
posibles de colorear en ese caso son: f(n - 1, r). Y si el n-simo
color ha sido utilizado, al menos una de las r bolas habr sido
pintada con l y quedaran r - 1 pelotas que pueden estar coloreadas
con n colores, es decir f(n, r - 1), por lo tanto: f(n, r) = f(n -
1, r) + f(n, r - 1) Solucionar el problema consiste en resolver
esta ecuacin de recurrencia con las condiciones iniciales: f(1,r) =
1 para todo r 1, f(n, 1) = n para todo n 1. 118. + = 1 1'1'' r n r
n r n Recordemos la identidad de Pascal: Supongamos esta solucin.
Cumple las condiciones iniciales: rn r n r C r rn rnCRCR + = + ==
11 ),( rn r rn r rn r CCC + ++ += 2 1 21 f(1,r) = 1 para todo r 1,
f(n, 1) = n para todo n 1. ? que alcanzamos, simplemente haciendo
el cambio de variable: n -1+r n 119. 140 (2) Enfoque por funciones
generatrices: ...)3,()2,()1,()0,( ...)1(......)1(...)1( 32 323232
++++= ++++++++=++++ xnfxnfxnfnf xxxxxxxxx n n Funcin generatriz de
los nmeros f(n, r). nn xxxx x x xxx =++++ = =++++ )1(...)1( )1( 1 1
...1 32 132 120. 144 121. 145 122. 146 123. 147 124. Se distribuyen
100 sillas auxiliares entre 5 aulas de modo que las dos mayores,
reciben, entre las dos, 50 sillas De cuntas formas distintas se
puede hacer el reparto? SOLUCIN: Sean A y B las aulas mayores.
Repartamos 50 sillas en estas dos aulas. Como las sillas son
indistinguibles no importa el orden en esta asignacin y cada
distribucin es una combinacin con repeticin de orden 50 con los
elementos A y B. Anlogamente, las formas de distribuir las otras 50
sillas son: y el reparto se puede efectuar de 511326= 67.626 formas
distintas. 51 50 51 50 1502 50,2 = = + =R C 1326 2 52 50 1503 50,3
= = + =R C 148 125. Consiste en rellenar un tablero de 9 x 9
casillas con nmeros del 1 al 9 sin que se repita ningn nmero en
cada fila y en cada columna. Adems, cada uno de los 9 bloques de 3
x 3 casillas delimitados por lneas gruesas en la imagen, debe
rellenarse con todos los nmeros del 1 al 9 sin repeticiones. Cuntos
sudokus diferentes existen? El resultado exacto fue resuelto de por
Bertram y Frazer en Mayo 2005, ayudados por ordenador. Kevin
Kilfoil lleg a un resultado muy aproximado con un argumento
sencillo. Sudoku J. M. Parrondo Investigacin y Ciencia 126.
Dividimos el sudoku en los nueve bloques marcados con lneas gruesas
a los que denominamos B1, B2,,B9. Podemos ver que el primer bloque
B1 se puede llenar de 9! maneras diferentes: P9 = 9! Si no
tuviramos en cuenta interacciones entre bloques, el nmero de
configuraciones en todo el sudoku ser (9!)9 B1 127. Ahora
analizamos las formas de rellenar B2. Si los nmeros 4,5 y 6 estn en
la misma fila de B1, para B2 debern estar en la fila superior o
Inferior. Tenemos 2 opciones (sin tener en cuenta el orden por
columnas). En cambio, si colocamos 2 elementos arriba y 1 abajo (o
viceversa), por ejemplo: 4 en la fila inferior y 5, 6 en la
superior. Ahora debemos tomar una cifra de {7,8,9} y colocarla
arriba. Y en la inferior dos cifras del conjunto {1,2,3}. Esto se
puede hacer de 9 formas distintas. Hay 6 configuraciones de este
tipo. En total hay 2 + 9 x 6 = 56 formas de colocar B2 sin tener en
cuenta el orden por columnas. Como cada fila de 3 nmeros puede
ordenarse de 6 formas diferentes (P3 = 3! = 6), entonces hay 56 x
63 = 12.096 formas de rellenar B2. 128. Las posibles
configuraciones de B3: La ordenacin por filas queda
totalmentedeterminada por B1 y B2. Las posibles permutaciones
dentro de cada una de sus tres filas nos deja 63 ordenaciones
posibles para B3. Por tanto los bloques B1-B3 se pueden rellenar de
(9!) x 56 x 63 x 63 maneras. Lo mismo ocurre con B4-B6 y B7-B9. Por
tanto con la regla de las filas: El truco de KilFoil fue aplicar lo
mismo para la regla no pueden repetirse nmeros en cada columna. Con
lo que quedara un total de sudokus posibles La solucin exacta de
Bertram y Frazer fue: 6,670,903,752,021,072,936,960 ~ 6.671021
Ambas slo difieren en un 0,2 %! 14 36 9 101,28 )656(9! )(9! =R 21 2
9 10x6,657 )(9! R 129. De cuntas maneras podemos partir un conjunto
de n objetos en k subconjuntos disjuntos? Por ejemplo: Sea S = {1,
2, 3, 4}. De cuntas maneras podemos partir S en dos subconjuntos
disjuntos ninguno vaco? 153 {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1,
2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3}
El nmero de maneras de partir un conjunto de n elementos en k
subconjuntos, ninguno vaco, es igual a S(n, k), donde los S(n, k)
se conocen como los nmeros de Stirling. Y estn definidos como: S(n,
k) = S(n -1, k - 1) + k S(n - 1, k) S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para
todo n 1. 130. El tringulo de los nmeros de Stirling: S(n, k) = S(n
- 1, k - 1) + k S(n - 1, k) con S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para
todo n 1. 154 n S(n,1) S(n,2) S(n,3) S(n,4) S(n,5) S(n,6) S(n,7)
S(n,8) 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1
7 1 63 301 350 140 21 1 8 1 127 966 1701 1050 266 28 1 131. 163
Eugne Charles Catalan (1814-1894), matemtico belga, propuso el
problema en 1838. Nmeros de Catalan Tenemos una cadena de n
smbolos, dados en un orden fijo. Deseamos aadir n-1 parntesis, de
modo que, en el interior de cada par de parntesis izquierdo y
derecho, haya dos "trminos". Estos trminos emparejados pueden ser
dos letras adyacentes cualesquiera, o una letra y un agrupamiento
adyacente encerrado en parntesis, o dos agrupamientos contiguos. De
cuntas formas podemos introducir parntesis en la cadena? 132. 164 n
= 2 nmeros: (12) n = 3 nmeros: (1 (2 3)) ((1 2) 3) n = 4 nmeros: (1
(2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4) (((1 2) 3) 4)
n = 5 nmeros: (1 (2 (3 (4 5)))) (1 (2 ((3 4) 5))) (1 ((2 3) (4 5)))
(1 ((2 (3 4)) 5)) (1 (((2 3) 4) 5)) ((1 2) (3 (4 5))) ((1 2) ((3 4)
5)) ((1 (2 3)) (4 5)) ((1 (2 (3 4))) 5) ((1 ((2 3) 4)) 5) (((1 2)
3) (4 5)) (((1 2) (3 4)) 5) (((1 (2 3)) 4) 5) ((((1 2) 3) 4) 5) En
1961, H. G. Forder demostr una correspondencia biunvoca entre las
triangulaciones de los polgonos y la introduccin de parntesis en
las expresiones. 133. 165 El matemtico britnico Arthur Cayley
demostr que los nmeros de Catalan dan el total de rboles (grafos
conexos sin loops) que son planares (se puede dibujar en el plano
sin que intersequen las aristas), plantados (tiene un tronco en
cuyo extremo se halla la raz) y trivalentes (en cada nodo
exceptuando la raz y los extremos de las ramas, concurren tres
aristas). 2 5 14 42 134. 166 n = 2 Cuntos caminos distintos puede
seguir una torre de ajedrez desde el vrtice superior izquierdo al
inferior derecho, siempre por debajo de la diagonal y con
movimientos posibles al sur y al oeste, en un tablero de lado n? n
= 3 n = 4 2 5 14 135. Explosin combinatoria Contar los posibles
caminos para llegar desde vrtice superior izquierdo hasta el
inferior derecho (A007764 en OEIS). 2 12 184 Curioso video anime
sobre el tema. 136. 168 La Combinatoria es una rama de la matemtica
que estudia colecciones de objetos (normalmente finitos) que
satisfacen ciertos criterios. En particular si se trata de
contarlos estamos frente a la Combinatoria Enumerativa. Nos hemos
centrado casi exclusivamente en ella porque es esencial para
clculos elementales de probabilidad. Pero existen otras ramas bien
desarrolladas: el diseo combinatorio, la teora de matroides, la
combinatoria extremal, la optimizacin combinatoria o el lgebra
combinatoria. 137. Chuletas A, B y C. A1 + B1 = 10 min A2 + C1 = 10
min B2 + C2 = 10 min ----------------------- Total = 30 min Esto es
un problema tpico de optimizacin combinatoria en investigacin
operativa. 138. Con los dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se pueden
formar 362.880 nmeros de 9 cifras son las permutaciones de 9
elementos P(9) = 9! diferentes. Cuntos de ellos son primos? 139.
172 (2) Un pastor tiene que pasar un lobo, un conejo y una col de
una orilla de un ro a la otra orilla. Dispone de una barca en la
que slo caben l y una de las tres cosas anteriores. Si deja solos
al conejo y al lobo, ste se come a aqul; si deja al conejo con la
col, aqul se la come. Cmo debe proceder para llevar las tres cosas
a la orilla opuesta? Un par de problemas clsicos de optimizacin
combinatoria ms: (1) Cmo haras para traer de un ro seis litros de
agua, si no tienes a tu disposicin, para medir el agua, mas que dos
recipientes, uno de cuatro litros y otro de nueve? 140. 174