1. Cálculo de límites para funciones de dos variables Los límites de funciones de dos variables exigen, en general, un proceso de cálculo difícil. En el presente apartado se hará un análisis sobre los siguientes aspectos: 1.-Límites según subconjuntos. 2.-Límites reiterados. 3.-Desarrollo de estrategias a partir de las gráficas para la determinación de la existencia o no, del límite. 4.- Aproximaciones numéricas. 5.- Cálculo de límites pasando a coordenadas polares. Se acaba el apartado haciendo ejercicios en los que se utilizan todos los métodos explicados en los distintos subapartados. ü 1.1. Límites según subconjuntos A continuación se desarrolla un procedimiento para hallar límites según subconjuntos, de forma muy general. La idea es encontrar un algoritmo que calcule lim f H x, yL y->fHxL x->a para curvas y= f(x) generales y que pasen por el punto (a,f(a)). Es decir, si se trabaja en el punto (a,b) debe cumplirse que f(a)= b. En el caso en que los subconjuntos sean rectas, los límites se denominan límites direccionales. En este caso: y =f(x) = b + m (x - a) El límite de la función f (x,y) en el punto (a,b) según el subconjunto elegido se puede calcular a través de la siguiente instrucción, que utiliza el comando de Mathematica Limit, y que será de utilidad en todo este epígrafe: lim@a_, φ_D := Limit@f@x, yD ê. 8y -> φ@xD<,x -> aD NOTA: La función f[x] que describe el conjunto elegido debe ser declarada previamente. NOTA: La función f[x,y] debe siempre denotarse con la letra f para que el procedimiento funcione. La no existencia del límite doble puede demostrarse encontrando dos subconjuntos para los cuales el límite según esos subconjuntos sea distinto. Ejemplo 1.1.1 .- Hallar los límites direccionales en el origen de coordenadas de la función f Hx, yL = x y x 2 + y 2 . Solución. Para resolver el problema se define la función f@x_,y_D := x y x 2 + y 2 Luego se introduce la familia de subconjuntos, que en este caso es la familia de rectas y = m x. φ@x_D := mx Se ejecuta entonces la instrucción que proporciona el límite según dichos subconjuntos en a = 0.
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1. Cálculo de límites para funciones de dos
variables
Los límites de funciones de dos variables exigen, en general, un proceso de cálculo difícil.
En el presente apartado se hará un análisis sobre los siguientes aspectos:
1.-Límites según subconjuntos.
2.-Límites reiterados.
3.-Desarrollo de estrategias a partir de las gráficas para la determinación de la existencia o no, del límite.
4.- Aproximaciones numéricas.
5.- Cálculo de límites pasando a coordenadas polares.
Se acaba el apartado haciendo ejercicios en los que se utilizan todos los métodos explicados en los distintos subapartados.
ü 1.1. Límites según subconjuntos
A continuación se desarrolla un procedimiento para hallar límites según subconjuntos, de forma muy general.
La idea es encontrar un algoritmo que calcule lim f Hx, yLy->fHxL
x->a
para curvas y= f(x) generales y que pasen por el punto (a,f(a)).
Es decir, si se trabaja en el punto (a,b) debe cumplirse que f(a)= b.
En el caso en que los subconjuntos sean rectas, los límites se denominan límites direccionales. En este caso:
y =f(x) = b + m (x - a)
El límite de la función f (x,y) en el punto (a,b) según el subconjunto elegido se puede calcular a través de la siguiente
instrucción, que utiliza el comando de Mathematica Limit, y que será de utilidad en todo este epígrafe:
lim@a_, φ_D := Limit@f@x, yD ê. 8y −> φ@xD<, x −> aD
NOTA: La función f[x] que describe el conjunto elegido debe ser declarada previamente.
NOTA: La función f[x,y] debe siempre denotarse con la letra f para que el procedimiento funcione.
La no existencia del límite doble puede demostrarse encontrando dos subconjuntos para los cuales el límite según esos
subconjuntos sea distinto.
Ejemplo 1.1.1 .-
Hallar los límites direccionales en el origen de coordenadas de la función f Hx, yL = x y
x2+y2 .
Solución.
Para resolver el problema se define la función
f@x_, y_D :=x y
x2 + y2
Luego se introduce la familia de subconjuntos, que en este caso es la familia de rectas y = m x.
φ@x_D := m x
Se ejecuta entonces la instrucción que proporciona el límite según dichos subconjuntos en a = 0.
g@m_D = lim@0, φDm
1 + m2
Así, por ejemplo, si m = 2 y m = 5, se obtiene:
g@2D
2
5
g@5D
5
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Como el límite depende de la pendiente m, los límites direccionales son distintos. NO existe límite de la función en el
origen de coordenadas.
Ejemplo 1.1.2 .-
Hallar el límite de la función f (x,y) = x2 y
x4+y2 en el punto (0,0), mediante rectas y parábolas cuyo eje es el eje OY y que
pasen por el origen de coordenadas.
Solución.
Se procede como antes. Se introduce la función
f@x_, y_D :=x2 y
x4 + y2
Se introduce la familia de rectas y = m x que pasan por el origen:
φ@x_D := m x
Ahora ejecutamos la instrucción general para calcular el límite direccional:
lim@a, φDa m
a2 + m2
Se evalúa en a= 0:
lim@0, φD
0
Observamos entonces que los límites direccionales son todos iguales, pues el límite no depende de m. Este hecho, sin
embargo, no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble.
NOTA: El límite direccional según la dirección del eje OY cuya ecuación es x =0, corresponde al valor m = ¶. Mathemat-
ica no tiene en cuenta esta peculiaridad aunque, en sentido estricto se debería calcular para hallar dicho límite direccional.
Limit@f@x, yD ê. 8x → 0<, y → 0D
0
Se introduce ahora la familia de parábolas cuyo eje es el eje OY, que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación
es y = m x2
φ@x_D := m x2
2 Untitled-1
Se evalúa el límite, para a = 0, según estos subconjuntos, que será, en general, una función de m.
g@m_D = lim@0, φDm
1 + m2
Si m=1 se obtiene:
g@1D
1
2
Y si m=2
g@2D
2
5
Como el límite depende de m no todos los límites son iguales. Por tanto, podemos afirmar que el límite doble en el origen
de coordenadas NO existe.
ü 1.2. Límites reiterados.
Los límites reiterados, iterados o sucesivos de la función f Hx, yL en el punto (a,b) se definen como:
limx->a(limy->b f Hx, yL ) y limy->b(limx->a f Hx, yL ) . Si ambos límites son distintos, dado que el límite, si existe, debe ser
único, se concluye que no existe el límite doble (véase página 44 ).
A continuación se desarrollará un algoritmo para calcular los límites reiterados de cualquier función f Hx, yL en el punto
(a,b).
Un límite reiterado es, de acuerdo con la definición:
limre1@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, x −> aD, y −> bD
El otro límite reiterado se obtiene cambiando el orden de las variables.
limre2@a_, b_D := Limit@Limit@f@x, yD, y −> bD, x −> aD
Y ahora no habrá más que comparar los dos límites anteriores en cualquier punto.
NOTA: La función siempre deberá ser definida previamente como f [x_,y_].
Ejemplo 1.2.1 .-
Hallar los límites reiterados de la función f(x,y)=x y
x2+y2 en el origen de coordenadas.(Es la función del ejemplo 1.1.1)
Solución.
Se define la función:
f@x_, y_D :=x y
x2 + y2
Untitled-1 3
Se calcula un límite reiterado en el origen.
limre1@0, 0D
0
El otro límite reiterado será:
limre2@0, 0D
0
Los límites reiterados son iguales. Sin embargo, este hecho no basta para afirmar la existencia del límite doble. De hecho,
dicho límite no existe como se ha visto en el ejemplo 1.1.1 anterior.
Ejemplo 1.2.2 .-
Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)=x y -x + y
x + y en el origen de coordenadas .
Solución.
Se declara la función
f@x_, y_D :=x y − x + y
x + y
Se calcula un límite reiterado en el origen.
limre1@0, 0D
1
El otro límite será:
limre2@0, 0D
−1
Como los límites reiterados son distintos, podemos afirmar que no existe el límite doble.
Ejemplo 1.2.3 .-
Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)=e2 x y -x - y-1
x + y-2 en el punto (1,1).
Solución.
Se declara la función
f@x_, y_D :=�2 x y−x−y − 1
x + y − 2
Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (1,1).
limre1@1, 1D
1
El otro límite será:
limre2@1, 1D
1
A pesar de que los límites reiterados son iguales, no se puede garantizar la existencia de límite doble.
4 Untitled-1
Ejemplo 1.2.4 .-
Estudiar la existencia de límite de la funciones:
a) f(x,y)=x2-y2
x2+y2 en el origen de coordenadas
b) g(x,y)=x2 y2
x2+y2 en el origen de coordenadas
c) f(x,y) = eIxy-x+yM
x yen el punto (1,-1).
Solución.
Apartado a):
f@x_, y_D :=x^2 − y^2
x^2 + y^2
Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (0,0).
limre1@0, 0D
−1
El otro límite será:
limre2@0, 0D
1
Como son distintos, se puede garantizar la NO existencia de límite doble.
Apartado b):
f@x_, y_D :=x^2 y^2
x^2 + y^2
Llamamos a la función f, aunque en el enunciado aparezca como g, para posibilitar la aplicación de nuestro algoritmo.
Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (0,0).
limre1@0, 0D
0
El otro límite será:
limre2@0, 0D
0
La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Hay que seguir apli-
cando otras técnicas. No es difícil, sin embargo, comprobar, utilizando la técnica del paso a coordenadas polares, que
dicho límite existe y vale 0 (véase el ejemplo 1.5.2)
Apartado c):
f@x_, y_D :=Exp@x y − x + yD
x y
Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (1,-1).
Untitled-1 5
limre1@1, −1D
−1
�3
El otro límite será:
limre2@1, −1D
−1
�3
La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Pero es fácil comprobar
que el límite doble existe y coincide con este valor común, porque la función no tiene ninguna indeterminación en dicho
punto.
Ejemplo 1.2.5 .-
Estudiar la existencia de límite y de los límites reiterados de la función f(x,y)=x sen(1
xy) en el origen de coordenadas
Solución.
Se declara la función
f@x_, y_D := x SinB1
x yF
Se calcula un límite reiterado en el origen
limre1@0, 0D
LimitBLimitBx SinB1
x yF, x → 0F, y → 0F
El otro límite será:
limre2@0, 0D
LimitBLimitBx SinB1
x yF, y → 0F, x → 0F
En ambos casos Mathematica devuelve resultados extraños. No sabe hacer esos límites.
Probamos mediante subconjuntos, como en el apartado anterior, utilizando el procedimiento lim sobre las rectas que pasan
por el origen de coordenadas
φ@x_D := m x
lim@0, φD
LimitBx SinB1
m x2F, x → 0F
Y Mathematica tampoco lo sabe resolver.
Sin embargo, es fácil ver que limre1[0,0] es 0 y el otro no existe. Como alguno de los límites laterales no existe no se
puede garantizar la existecia de límite doble. Sin embargo, podemos decidir sobre la existencia de límite utilizando el
siguiente argumento:
Como »sen(1
xy)» § 1, es decir, está acotado, la función f(x,y)=x sen(
1
xy) verifica que -x§f(x,y)§x , y, por tanto, el límite
pedido es cero, lo que corroboran las siguiente gráficas, en las que se representa la función en cuadrados de lados cada vez
menores :
6 Untitled-1
Plot3DBx SinB1
x yF, 8x, −.5, .5<, 8y, −.5, .5<F;
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Plot3DBx SinB1
x yF, 8x, −.1, .1<, 8y, −.1, .1<F;
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
-0.1
-0.05
0
0.05
ü 1.3. Desarrollando estrategias a partir de las gráficas
Las gráficas asociadas a una función de dos variables, ya sea de la propia función o de sus curvas de nivel pueden ser de
gran utilidad para analizar su comportamiento en un punto.
Una posibilidad es analizar el comportamiento de la función "cerca" del punto, representándola en un rectángulo de lados
cada vez menores, que contengan al punto. Es como analizar el comportamiento de la función a través de un zoom.
Otra posibilidad es representar las curvas de nivel de la función, ya que su forma, discontinuidades, intensidad, etc. puede
permitir deducir características de la función.
Ejemplo 1.3.1 .-
"Comprobar gráficamente" que la función f(x,y)=x y
x2+y2 no tiene límite en el origen. Para ello representar la función y
hallar sus curvas de nivel en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 respectivamente.(Es la función del ejemplo 1.1.1.)
Untitled-1 7
Solución.
La representación de la función, utilizando el comando Plot3D, en dos cuadrados de lados 1 y 0.1 es:
En el cuadrado de lado 1:
Plot3DBx y
x2 + y2, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<F;
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
En el cuadrado de lado 0.1:
Plot3DBx y
x2 + y2, 8x, −.05, .05<, 8y, −0.05, 0.05<F;
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
La salida es "aparentemente" la misma aunque la segunda gráfica corresponde a un cuadrado de lado menor. La función
"oscila" entre -0.5 y 0.5, lo cual "corrobora" la no existencia de límite.
Se representan ahora sus curvas de nivel mediante el comando ContourPlot.
En el cuadrado de lado 1:
8 Untitled-1
ContourPlotBx y
x2 + y2, 8x, −0.5, 0.5<, 8y, −0.5, 0.5<F;
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
En el cuadrado de lado 0.1:
ContourPlotBx y
x2 + y2, 8x, −.05, .05<, 8y, −.05, .05<F;
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
De nuevo la gráfica es la misma, lo cual no es sorprendente ya que la función es constante a lo largo de rectas.
Es posible representar ambas gráficas en una sola celda de modo que se facilite el estudio de la gráfica. Una posibilidad es
usar el comando GraphicsArray empleado de la siguiente forma:
Primero se define la función y el origen de coordenadas:
z@x_, y_D =x y
x2 + y2; xo = 0; yo = 0;
Las siguientes instrucciones permitirán representar la función en el cuadrado de lados [xo- e, xo+e] x [yo-e,yo+e] , así como
sus curvas de nivel.
Untitled-1 9
graf@ε_D :=
Plot3D@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<, DisplayFunction → IdentityD;cniv@ε_D := ContourPlot@z@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<,
Representamos, la función y sus curvas de nivel para "corroborar" gráficamente lo deducido, siguiendo el proceso descrito
en el ejemplo 1.3.1:
f@x_, y_D :=x3 SinAy2 − 4EHy + 2L Sin@xD
; xo = 0; yo = −2;
graf@ε_D :=
Plot3D@f@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<, DisplayFunction → IdentityD;cniv@ε_D := ContourPlot@f@x, yD, 8x, xo − ε, xo + ε<, 8y, yo − ε, yo + ε<,