1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Página 1 - 1.- CONJUNTOS DE NÚMEROS. APROXIMACIONES Repaso: conjuntos de números Enteros positivos o números naturales (). Enteros negativos. Ejemplo : - 7 N Ejemplo : 2 El número 0 . Ejemplo : 2,75 . Ej Números enteros (Z) Decimales exactos Periódicos puros Decimales periódicos Racionales (Q) Números reales (R) emplo : 5,333... 5, 3 . Ejemplo : 7, 4666... 7, 4 6 . Ejemplo : 3,1010010001.... (I) Periódicos mixtos Irracionales (decimales no periódicos) Los números que son racionales o irracionales, o sea todos, se llaman números reales. El conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ. R = Q U I N Z Q Número entero: a a , pues a : 1 a 1 Decimal exacto: sin 4 4 , 1 0000 número coma cifras ceros abcdef ab cdef Periódico puro: 3 3 , 999 cifras nueves abcde ab ab cde Periódico mixto: 4 3 3 4 , cdef 999 0000 cifras cifras nueves ceros abcdefghi abcdef ab ghi Repaso: aproximaciones y errores Para redondear un número a una determinada cifra Si la cifra que le sigue es menor que 5, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando Si es mayor o igual que 5, le sumamos 1. Después sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen Para redondear con la calculadora científica, puedes usar la función Fix. Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona del 0 al 9 según el número de cifras decimales a las que quieras redondear, por ejemplo, si queremos todos los resultados redondeados con 2 cifras decimales teclearemos 2. Algunas veces, en lugar del redondeo se usa el truncamiento que consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada. El error absoluto (E A ) es la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor exacto o real (V R ) y el valor aproximado (V A ): A R A E =V V El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real, tomado en valor absoluto R R E E = |V |
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1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I – UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
1.- CONJUNTOS DE NÚMEROS. APROXIMACIONES Repaso: conjuntos de números
Enteros positivos o números naturales ( ).
Enteros negativos. Ejemplo:-7
N Ejemplo : 2
El número 0
. Ejemplo : 2,75
. Ej
Números enteros (Z)
Decimales exactos
Periódicos puros
Decimales periódicos
Racionales (Q)
Números reales (R)�
�
emplo : 5,333... 5, 3
. Ejemplo : 7,4666... 7, 4 6
. Ejemplo : 3,1010010001....(I)
Periódicos mixtos
Irracionales (decimales no periódicos)
Los números que son racionales o irracionales, o sea todos, se llaman números reales. El conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ.
R = Q U I N Z Q
Número entero: a
a , pues a : 1 a1
Decimal exacto: ��
sin
44
,1 0000
���número coma
cifrasceros
abcdefab cdef
Periódico puro: ��
�3
3
,999cifras
nueves
abcde abab cde
Periódico mixto: � �
�
��4 33 4
, cdef999 0000cifras cifrasnueves ceros
abcdefghi abcdefab ghi
Repaso: aproximaciones y errores
Para redondear un número a una determinada cifra Si la cifra que le sigue es menor que 5, dejamos igual la cifra por la que estamos redondeando Si es mayor o igual que 5, le sumamos 1. Después sustituimos por ceros todas las cifras que le siguen Para redondear con la calculadora científica, puedes usar la función Fix. Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona del 0 al 9 según el número de cifras decimales a las que quieras redondear, por ejemplo, si queremos todos los resultados redondeados con 2 cifras decimales teclearemos 2.
Algunas veces, en lugar del redondeo se usa el truncamiento que consiste en sustituir por ceros las cifras a partir de una dada.
El error absoluto (EA) es la diferencia (tomada en valor absoluto) entre el valor exacto o real (VR) y el valor aproximado (VA): A R AE = V V
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real, tomado en valor absoluto
RR
EE =|V |
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Cota de error absoluto Una cota de error absoluto que es el mayor error que se puede cometer cuando se redondea el número a un cierto orden y siempre coincide con la mitad del orden de la cifra a la que se esté redondeando. Por ejemplo, si el redondeo es a las décimas una cota de error absoluto es 0,1:2 = 0,05, si es a las centésimas sería 0,01:2 = 0,005 ; etc Si el redondeo es a las unidades una cota de error es 1:2 = 0,5, si es a las decenas sería 10:2 = 5 ; si es a las centenas sería 100:2 = 50, etc Si al realizar una medida cuyo valor real es VR con precisión “p” hemos obtenido como valor
aproximado VA significa que VA – p < VR < VA + p – p < VR – VA < p | VR – VA |< p
Es decir, el error absoluto, EA , es menor que p.
Luego, la precisión de la medida siempre es una cota de error absoluto. Por ejemplo, si una cinta métrica tiene una precisión de 5 mm y medimos una barra de hierro y obtenemos 70 cm, la longitud de la barra estará entre 70 cm – 0,5 cm y 70 cm + 0,5 cm . O sea, entre 69,5 cm y 70,5 cm. Una cota de error absoluto es 0,5 cm Puedes observar cómo se propagan los errores cuando se trabaja con aproximaciones en la suma y producto , en la resta y en la división.
ACTIVIDADES 1.- Indica qué tipo de número es cada uno de los siguientes (natural, entero negativo, decimal exacto, decimal periódico puro, decimal periódico mixto o irracional). Para los que sean racionales halla la fracción generatriz irreducible:
a) 2,3555…. b) – 5 c) 3,030030003... d) 2 e) 162 f) 12
g) 1,34555…. h) 9 i) 2 j) 1,25 k) 2,454545….. 2.-
3.- Halla una cota de error absoluto cometido al dar las siguientes aproximaciones: a) Asistentes a un concierto: 12 000 personas b) Distancia entre dos localidades: 65,6 km c) Precio de una moto: 8 900 € d) Número de habitantes de una ciudad: 5 millones e) Longitud de una varilla: 2,3 m
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2.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES. INTERVALOS Y ENTORNOS
Repaso: representación de números reales - Representación de fracciones:
316
31 6 31 6.5 1 31 1
31 6.5 1 51 5 6 6 6 6 6
- Representación de números decimales:
- Representación exacta de raíces cuadradas
Si sólo queremos hacer la representación gráfica aproximada de un número tomamos una aproximación y representamos el valor aproximado. Esto se suele hacer cuando el decimal tiene más de dos cifras decimales o cuando queramos representar de forma aproximada un número irracional. Fíjate en la representación aproximada del número π
Repaso: intervalos de la recta real
Un intervalo de la recta es un segmento o una semirrecta. Los segmentos corresponden a los números reales comprendidos entre otros dos. Las semirrectas son todos los números reales mayores o menores que un número dado.
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Los signos ≤ y ≥ nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los signos < y > nos indican que no está incluido (intervalo abierto) Los signos corchetes nos indican que el extremo está incluido (intervalo cerrado) y los paréntesis nos indican que no está incluido (intervalo abierto)
Unión de intervalos Es el conjunto formado por todos los puntos de ambos intervalos. La unión de dos intervalos A y B se representa por A U B y se lee “A unión con B”
Ejemplo: Si A = [–5 , –1 ] , B = [–3 , 2 )
A U B = [–5 , 2 )
Intersección de intervalos
Es el conjunto formado por los puntos comunes a los intervalos. La intersección de dos intervalos A y B se representa por A ∩ B y se lee “A intersección con B”
Ejemplo: Si C = ( – , 1 ], D = (0 , ) C ∩ D = ( 0 , 1 ]
Intervalos en forma de valor absoluto
1er tipo: |x| < a: Empecemos con un ejemplo: ¿Cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es menor que 5?
Observamos que son todos los números comprendidos entre – 5 y 5:
x 5 5 x 5 ( 5, 5) En general, x a a x a ( a, a)
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2º tipo: |x| > a: Veamos ahora: ¿cuáles son los números reales cuyo valor absoluto es mayor que 5? Lógicamente, serían los que no están entre – 5 y 5. Es decir, los mayores que 5 o menores que – 5
x 5
x 5 ó ( , 5) (5, )
x 5
∪ . En general,
∪
x a
x a ó ( , a) (a , )
x a
Entorno de un punto
Veamos primero cómo se calcula la distancia entre dos números a y b, que se escribe d(a, b): d(a, b) = |a − b|
Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es d(−5, 4) = |−5 − 4| = |−9| = 9 unidades
Sea un intervalo (a , b) , a b
m su punto medio2
y d(a,b) b a
r su radio2 2
Se llama entorno de centro m y radio r y se representa por E(m, r) al intervalo (m – r, m + r)
Ejemplo: E(1, 2) = (1 – 2, 1 + 2) = (– 1, 3)
ACTIVIDADES
1 Sean A = { x R / | x | 5 } B = { x R / 3 x < 7 } C: (– , 1 ] D = E(3; 7) E = { x R / x > 0 } a) Represéntalos en la recta numérica y exprésalos de todas las formas posibles b) Determina A U B y C ∩ D 2 Expresa en forma de unión de intervalos { x R / |x| > 4 }
3
4 Escribe en forma de entorno los siguientes intervalos: a) (2,75 ; 7,25) b) (–4 , 9)
3.- OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Repaso: uso de fracciones en la calculadora Se puede introducir una fracción en la calculadora científica CASIO usando la tecla a b/c El proceso es: numerador a b/c denominador.
Por ejemplo, para introducir 34
es: 3 a b/c 4. Aparecerá en la pantalla 3 ┘4 , que significa 34
Se puede simplificar una fracción directamente con la calculadora científica. Antes prepara la calculadora para simplificar fracciones: Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Disp, selecciona esta función pulsando 1. Luego selecciona d/c pulsando 2 Para obtener la fracción irreducible directamente usando la calculadora científica CASIO introduces la fracción original en la calculadora y pulsas la tecla
Ejemplo: 9945
6435: 9945 a b/c 6435 =. Obtendrás 17 ┘11, que significa que
17
11es la fracción irreducible
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Cualquier potencia se puede hallar con la calculadora científica CASIO. El proceso es: base exponente . Por ejemplo, 215 se calcula así 2 15 . Da 32 768
Ejercicios resueltos:
1) � �21 70,5 0,333... 5 : 0,16 1,36
4 35
= 1 1 21 7 1 41 1 1 1 7 1 41 1 1 6 41 15 : :
2 3 4 35 6 30 2 3 4 35 6 30 2 12 5 30 4
2)
223
5( 2)1 3.( 2) : =
25
2( 2) ( 2)
1 3 25 3 25 8 3 25 14 71 3. 1 1
8 8 4 8 8 8 8 8 8 4: :
3)
46 5
6 6
16 9
2
3 2
=
4 56 1 2 6 6 4 10 4 22 4
6 6 6 6 6 6
(2 . 3) 2 3 2 3 2 3 3 2 1 163 2 . 16
9 93 2 3 2 3 2
4)
32 2
42 3 10
x y
x y y
6 26 8 2 12 10 14 0 14
8 12 10x y
x y x y xx y y
Repaso: soluciones de un radical: Dependiendo del índice, si es par o impar y del radicando, si es positivo o negativo, un radical puede tener 2, 1 o ninguna solución:
Índice par Índice impar
Radicando positivo 2 soluciones opuestas.
Por ejemplo, 4 81 3
1 solución positiva.
Por ejemplo, 3 125 5
Radicando negativo Ninguna solución.
Por ejemplo, 4 no existe
1 solución negativa.
Por ejemplo, 3 8 2
Repaso: radicales con la calculadora científica CASIO Para cualquier radical el proceso es: índice SHIFT radicando
Ejemplo: 5 100 5 SHIFT 100 Nos da 2.511886432.
Para raíces cuadradas el proceso es: radicando .
Ejemplo: 7 7 Nos da 2.645751311.
Para raíces cúbicas el proceso es: SHIFT 3x radicando .
Ejemplo: 3 40 SHIFT 3x 40 Nos da 3.419951893.
Repaso: radical y su relación con las potencias mn m na a
m n mna a
Repaso: Simplificación de radicales: n:dn m m:da a
siendo d un divisor común.
Ejemplo: 312 12 48 8 4 2 35 5 5 25
: :
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Repaso: Reducción de radicales a mínimo común índice Para reducir radicales a mínimo común índice se toma como índice común el mcm de los índices. El común índice se divide entre cada índice y el resultado se multiplica por el exponente del
Repaso: Producto y cociente de radicales: n n na b ab n
nn
a abb
.
Ejemplos: 3 3 3 32 5 2.5 10
7 733
Si no tuviesen el mismo índice se reducen a común índice y se aplican las reglas anteriores
Repaso: Potencia de un radical: m nn mA A . Por ejemplo, 3 55 32 2 .
En particular, n nn nA A A . Por ejemplo, 7 77 73 3 3
Repaso: Raíz de un radical: m n mnA A . Por ejemplo, 3 65 5
Repaso: Raíz de un producto y de un cociente: n n nab a b n
nn
a ab b
.
Ejemplos: 33 32.5 2 5
7 73 3
Repaso: Extracción e introducción de factores en la raíz: - Para extraer factores de la raíz se factoriza el radicando y se expresa, si es posible, como potencia de exponente el índice de la raíz los factores de la descomposición. Después se usa la siguiente regla
- Para introducir un factor en la raíz se eleva el factor al índice de la raíz:
nn n n n nn n na b a b a b a b a b Ejemplo: 3 3 332 5 2 5 40
Repaso: Suma y resta de radicales: para poder sumar o restar términos con raíces, todos los términos deben llevar la misma raíz. Para realizar las sumas y restas se saca factor común el radical
La regla es: n n nM A N A (M N) A . Por ejemplo, 3 3 3 3 35 7 7 2 7 (5 1 2) 7 6 7 Algunas veces es necesario extraer factores del radical para poder realizar las sumas/restas.
Ejercicios resueltos
1)
3 3 3 9 3 9 324 24 8
6 6 108 72 177 593 94 33 933 9
8 8 8
4 18
a b a a
b b b b. bb . bb . b
a b a b a b
b
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Racionalización de fracciones con radicales Racionalizar una fracción radical con alguna raíz en el denominador es transformarla en otra fracción equivalente pero que NO tenga ninguna raíz en el denominador.
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4.- Racionaliza y simplifica: a) 2 72 - 3 50 4 32 2 98
54 25
25 2
b)
a
abba
c) 84 cba
bc
d)
6
2 3 18 e)
2236
1923
f)
18283
3262
g) 33548
243722
4.- REPASO: LOGARITMOS
Concepto de logaritmo: La solución de la ecuación 2x = 6 es el número al que hay que elevar el “2” para obtener el “6”. Se llama el logaritmo en base 2 de 6 y se escribe así: log
2 6.
En general, si a > 0 , a ≠ 1 , loga N = x ax = N
Si la base es 10, entonces log
10 N se escribe simplemente como log N y se llama logaritmo decimal
de N o de Briggs. Si la base es el número “e”, entonces log
e N se escribe simplemente como ln N ó L n y se llama
logaritmo neperiano o logaritmo natural de N . El número e = 2,718281828…. es un número irracional y tiene gran importancia en Matemáticas.
Ejemplos:
225 55 5
23 3 3 3
1 1 2log log log 3 log 3
9 53
3 4
1log
8 3
xx 2 2xx 3 2 3 33 3 334
1 1 1 2x 9log x 4 2 2 2 2 2 3 x
8 8 3 22
x 3x
0,4 0,4
2 8 2log 0,064 log 0,064 x 0,4 0,064 x 3
5 125 5
Cálculo de logaritmos con la calculadora: La calculadora científica CASIO nos permite calcular tanto logaritmos decimales como neperianos usando las teclas log y ln , respectivamente.
Ejemplos: log 3 log 3 . Nos da 0,477121254… ln 20 ln 20 . Nos da 2,995732274…
Está demostrado que todos los logaritmos que no den un resultado exacto (número entero o decimal exacto o periódico) son números irracionales.
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7) ¿Cuántos años estuvo impuesto un capital de 20000 € en un Banco si colocado al 0,5% de interés compuesto anual produjo unos intereses de 1553,65 €? El capital final es Cf = 20000 + 1553,65 = 21553,65 €
t t tf ff
fSustituyendo
C CC C(1 i) (1 i) log log(1 i) t log(1 i)
C CC 21553,65 21553,65
log log logC 20000 20000Luego, t 15 años
log(1 i) log(1 0,005) log(1,005)
ACTIVIDADES 1.- Halla usando la definición del logaritmo y sin usar las teclas log y ln de la calculadora científica:
a) 2log 2 2 2 b) ln 2
3
e1e
c)
38 16
2log d) 3
2 3 5
1
2532log log 81 log
2.- Usando que loga x = 7, log
a y = 3 y las propiedades de los logaritmos calcula
7
a 3y x
logax
3.- Desarrollar usando propiedades de los logaritmos:
a) 3
310log
ab
ba b)
35 2 5
5 123 3
x y blog
x a b c)
54
3
(xy)log
100 xy d)
3 xlog(100x) log
1000
4.-
5.-
6.- Usando logaritmos decimales calcula 23 11
54
300 49
10dando el resultado en notación científica:
7.- La siguiente fórmula calcula la cantidad de energía liberada por un seísmo en la escala de Richter log 1,5 11,8E R ; donde: E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del seísmo, en grados de la escala de Richter. a) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007, en el fiordo de Aysén, fue de 6,3 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo? b) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillán, ocurrido en 1939, sabiendo que liberó una energía de 7,079.1016. 8.- Se invierten 4 500 € al 2,15% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener 5 000 €?