-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 1
La palabra matemticas proviene del trmino griego mathematik
ociencia por excelencia, pues los sabios de Grecia opinaban que
todas lasleyes de la vida y del mundo fsico se podan expresar por
medio de losnmeros.
Las matemticas son una ciencia experimental que basa su
desarrollo en laintuicin y la lgica.
Te has preguntado alguna vez por qu la nombramos en plural:
lasmatemticas? Como habrs observado en cursos pasados, esta ciencia
sepuede dividir en varias ramas: geometra, lgebra, etc.
La aritmtica es la ciencia de los nmeros y est fundamentada en
lasrelaciones que se pueden establecer entre ellos mediante
operaciones, y ensus propiedades.
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA2
PPARAARA EMPEZAREMPEZAR
Calcula:a)
b)
c)
d)
e)
Representar los siguientes nmeros en la recta real:0 -4/3 4/3
-2/5 1/3 5/2
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Si una empresa gana 135.000 mensuales netos y le aumentan
lasganancias un 16 %, cunto dinero supone la subida?
Un albail construye 8 m2 de pared en 12 horas de trabajo. Le
falta porlevantar 24 m2. Cunto tiempo tardar si trabaja al mismo
ritmo?
Si una persona cobra un salario neto de 1517 , cul ser su
salario bruto si los descuentossuponen en total un 18 %?
Escribir en forma de potencia:
a) d)b) e)
c) f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
18 3 6 9 : 6 9
12 4 3 1 2 3 3 6
7 4 7 5 4 6 9
2 3 7 5 4 5 3 5
6 2 5 3 4 7 : 2
+ + = + =
= + + =
=
2 13 22 1 23 2 32 1 1 33 2 2 42 1 2 73 5 3 2
3 2 17 5 21 2 4:2 5 52 25 :3 51 1 2 1:2 3 3 2
=
=
+ =
+ =
=
+ =
+ =
=
4 5
4 3
3 2
(-2) (-2) =(-8) (-8) =
3 3: =4 4
1 0 3
7 2
4 3
(-2) (-2) (-2) (-3) :(-3) =
3 3:2 2
=
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 3
PPARAARA RECORDARRECORDAR
1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES.
Como bien sabes las matemticas surgen de la necesidad de contar,
ordenar, comprar o jugar.De esta manera surgieron los nmeros
naturales.
Qu nmeros forman el conjunto de los nmeros naturales? Con qu
letra se designan?
Con los nmeros naturales se pueden realizar las operaciones
aritmticas de sumar, restar, multiplicar,dividir, etc. Si cogemos
dos nmeros naturales cualesquiera y los sumamos el resultado tambin
es unnmero natural. Pero que sucede si los restamos? Podras
encontrar dos nmeros naturales cuya restano lo sea? Por qu crees
que sucede esto?
Los nmeros naturales no son suficientes a la hora de expresar
ciertas cantidades como las deudas, lastemperaturas bajo cero, etc.
Por eso tenemos la necesidad de ampliar este conjunto aadindole
losnmeros negativos. De esta manera obtenemos el conjunto de los
nmeros enteros que estn formados porlos nmeros naturales
(positivos), los nmeros negativos y el cero.
Con qu letra se designa al conjunto de los nmeros enteros?
Con los nmeros enteros se pueden realizar entonces las
operaciones aritmticas de sumar y restar, y qusucede con la
multiplicacin y la divisin? Si multiplicamos dos nmeros enteros
cualesquiera, el resultadoseguir siendo un nmero entero?
Y qu sucede si dividimos dos nmeros enteros?
Al dividir nmeros enteros, nos encontramos con una dificultad
similar a la de la resta de nmeros naturales.Si consideramos por
ejemplo la divisin 4 : 7 su resultado no corresponde con ninguno de
los nmeros queforman el conjunto de los nmeros enteros. Estas
divisiones se dejan indicadas de la forma y reciben elnombre de
fracciones.
El conjunto que resulta de aadir a los nmeros enteros los nmeros
fraccionarios se representa con la letraQ y se llama conjunto de
los nmeros racionales porque se pueden expresar mediante una razn:
.
Los nmeros racionales son, pues, los que se pueden expresar en
forma de fraccin. Intenta expresar enforma de fraccin los
siguientes cocientes de nmeros enteros:
-0'3 3'25 2 -1'5 -5
Crees que puede existir algn nmero fraccionario de la forma ?
Aydate de un ejemplo para razonar turespuesta.
El conjunto de los nmeros naturales es: N = {1, 2, 3, 4,}
El conjunto de los nmeros enteros es el formado por los nmeros
naturales(positivos), los nmeros negativos y el cero: Z = {, -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3,}
El conjunto de los nmeros racionales, es el conjunto de los
nmeros que se puedenexpresar de la forma , donde a y b son nmeros
enteros y .
47
ab
a0
ab
b 0
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA4
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Como ves en este diagrama los nmeros enteros son una parte del
conjunto de los nmeros racionales. Sabras explicar por qu?
Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.
a) Todo nmero natural es entero.
b) Ningn nmero racional es natural.
c) Algn nmero natural es entero.
d) Algn nmero racional es entero.
Cul es el menor nmero natural? Y el menor nmero entero?
Clasifica los siguientes nmeros indicando el conjunto menor al
que pertenecen.
-3, 8/4, -9/2, 13, -27/9, 5/3, 0
Los nmeros naturales, enteros y racionales se representan sobre
una recta numricaeligiendo un punto de origen para el 0. Dibuja una
recta y representa sobre ella los nmeros:
4'33, -8/3, 5/10, -1/4, -3, 5, 2'83Si representamos sobre la
recta numrica todos los nmeros racionales, cuntos puntosquedan sin
cubrir?
8.
PPARAARA RECORDARRECORDAR
2. OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS.
Propiedades de las operaciones:
Las operaciones con nmeros enteros presentan las siguientes
propiedades. Completa la columna de laderecha comprobando cada
propiedad con un ejemplo.
9.
10.
11.
12.
Operacin Propiedad Expresin analtica Ejemplo
Suma (resta)
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Multiplicacin(divisin)
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Distributiva respecto de la suma
( ) ( )a b c a b c+ + = + +a b b a+ = +
a 0 a+ =
( )a a 0+ =( ) ( )a b c a b c =
a b b a =
a 1 a =
( )a b c a b a c + = +
QQ ZZ NN
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 5
3. OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOS.
Propiedades de las operaciones:
Las operaciones con nmeros racionales presentan las siguientes
propiedades. Completa la columna de laderecha comprobando cada
propiedad con un ejemplo.
Operacin Propiedad Expresin analtica Ejemplo
Suma (resta)
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Multiplicacin(divisin)
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Elemento inverso
Distributiva respecto de la suma
a c e a c eb d f b d f
+ + = + +
a c c ab d d b
+ = +
a a0b b
+ =
a a 0b b
+ =
a c e a c eb d f b d f
= a c c ab d d b
=
a a1b b
=
a b 1b a
=
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Calcula:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
13.
[ ][ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ][ ]
5 7 2 (1 9) 3 12 4
1 ( 3 6 1 ) 4 ( 6 3 1 ) 2
6 ( 9 7 1 ) 3 ( 5 4 6) 1
28 21 (12 3) 7
12 14 (6 4) 2
2 3 (2 5):3 (3 5 2) 2 (3 4)
22 4 ( 9 3 2 ) 7 4
8 6 ( 3 7) 6 4
22 4 6 (1 9) 6:2 8
+ + =
+ + + =
+ + + =
=
+ =
+ + =
+ =
+ + =
+ + =
a c e a c a e b d f b d b f
+ = +
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA6
Efecta las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
Calcula:
a)
b)
c)
d)
14.
15.
3 1 3 311 4 11 41 3 1 54 8 4 83 2 3 98 7 8 711 3 3 47 10 10
7
+ =
+ =
+ =
=
4 15 3 9:5 6 2 83 4 4 36 5 12 6
3 4 4 36 5 12 6
4 2 6 723 5 2 3
=
=
=
+ + =
PPARAARA APRENDERAPRENDER
4. EXPRESIN DECIMAL DE UN NMERO RACIONAL.
Clasificacin de las expresiones decimales:
Como hemos visto todo nmero racional se puede expresar de la
forma lo que representa elcociente indicado entre dos nmeros
enteros. El nmero racional que representa tiene una
expresindecimal. Efecta el cociente que se indica en los siguientes
nmeros fraccionarios:
Qu similitudes y diferencias encuentras entre los resultados
obtenidos?
Para obtener la expresin decimal de una fraccin, se efecta la
divisin entre el numeradory el denominador y el cociente puede
ser:
( )a b 0b
6 5 1 1 3 2 6 3
= = = =
Nmero entero El cociente es un nmero entero.
Decimal exacto Nmero finito de cifras decimales.
Decimal peridico
(N infinito decifras decimales)
Puro Una o varias cifras decimales serepiten indefinidamente
(periodo).
Mixto Hay alguna cifra decimal que no formaparte del periodo
(anteperiodo).
18 2442, 1229 2
= =
5 71'25, 1'44 5
= =
2 150'6, 1'363 11
= =
)
17 1052'83, 1'5906 66
= =
)
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 7
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Clasifica las siguientes expresiones decimales:
a) 3'24b) 0'0567c) 5'356356356356d) 8'89898989e)
2'01001000100001f) 5'21323232323
16.
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Expresin decimal de un nmero racional:
Hemos visto que para clasificar los nmeros racionales segn su
expresin decimal tenemos que realizar elcociente que se nos indica.
Pero, podramos saber de antemano, sin hacer la divisin, si la
expresindecimal de un nmero racional es exacta, peridica pura o
peridica mixta? Te damos una serie de pautaspara que puedas
averiguarlo.
1 Simplifica la fraccin.2 Descompn el denominador en factores y
observa los factores que has obtenido:
Factores del denominador Tipo de decimal
Slo aparecen potencias de 2 o de 5. Exacto
No aparece ninguna potencia de 2 o de 5. Peridico puro
Aparecen potencias de 2 o de 5 junto a alguna distinta de 2 o de
5. Peridico mixto
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Indica el conjunto menor al que pertenecen los siguientes nmeros
y en caso de que seanracionales indica sin hacer la divisin si su
expresin decimal es un nmero decimal exacto, peridico puro o
mixto.
a) 0'777... j) 3'54
b) 3 k) 1'279393...
c) -5 l) 2'555...
d) 9'27 m) -2985
e) 8'345345... n) 1034523
f) 3/4 o) 2/5
g) 9/6 p) 25/5
h) 1/9 q) 3/14
i) 1/18 r) 31234...
17.
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA8
PPARAARA APRENDERAPRENDER
5. PASO DE DECIMAL A FRACCIN.
En ocasiones nos interesar obtener la fraccin que nos ha
originado un nmero decimal. A esta fraccin se le llama fraccin
generatriz. A continuacin vamos a ver como se puede hallar.
Paso de decimal exacto a fraccin:
Obtn la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales
exactos:
2'45 0'3 -7'235
Paso de decimal peridico puro a fraccin:
Paso de decimal peridico mixto a fraccin:
Para hallar la fraccin generatriz de un nmero decimal peridico
puro al nmero sincoma se le resta la parte entera y se divide entre
tantos nueves como cifras tiene el periodo.
Obtn la fraccin generatriz de .
(En la prctica basta con hacer la ltima operacin)
Ejemplo:Ejemplo:
3'24
N = 3'242424... 100 N = 324'2424... Res tando:
100 N = 324'2424... N = 3'242424...
99 N = 324 - 3
324 - 3 N = 3'24 = 99
=
32199
fraccin
generatriz
Para hallar la fraccin generatriz de un nmero decimal peridico
mixto al nmero sincoma se le resta lo anterior al periodo y se
divide entre tantos nueves como cifras tiene elperiodo seguidos de
tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo.
Obtn la fraccin generatriz de .
Ejemplo:Ejemplo:
2'456
N = 2'4565656... 1000 N = 2456'5656...
10 N = 24'565656... Res tando : 10 N = 24'565656...
1000 N = 2456'5656...
990 N = 2456 24
2456-24 N = 2'456 = 990
=
2432990
fraccin
generatriz
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 9
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Hallar la fraccin generatriz de:
a) 0'8666... d) 2'22 g) 9'27333...
b) 3'2727... e) 2'222... h) 3'2424...
c) 8'27 f) 2'31222... i) 15'34
18.
PPARAARA RECORDARRECORDAR
6. POTENCIACIN.
Potencias de exponente natural:
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de
varios factores iguales.
- El nmero que se repite (a) se llama base.- El nmero de veces
que se repite la base (n) se llama exponente.- a n es el resultado
y se llama potencia.
n
n veces
a = a a ... a 1442443
a)
b)
c)
Ejemplo:Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
5
3
5 5 5 5 5 5 5
3 3 3 3 3 3
2 2 2 23 3 3 3
=
=
=
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA10
Signo de una potencia:
Operaciones con potencias:
Potencias de exponente cero:
- Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.
- Si la base es negativa,
a)
b)
Ejemplo:Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4
5 5
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
= =
+ +
= =
+ +
suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur
suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur suuur
y el exponente , la potencia es .
y el exponente , la potencia es .
par positivaimpar negativa
a) c)
b) d)
Ejemplo:Ejemplo:
( ) ( ) ( )5 3 2 25 -3 2 2
-4 : -4 = -4 = 4
3 3 3 3- - = - =4 4 4 4
Producto de potenciasde la misma base.
Cociente de potenciasde la misma base.
Potencia de un producto(mismo exponente).
Potencia de un cociente(mismo exponente).
Potencia de una potencia.
Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a0=1
Demostracin:
a) b)
Ejemplo:Ejemplo:2
2 2 2 2 02
31 3 :3 3 33
= = = =
02 17
=
bb b b b 0
b
a1 a :a a aa
= = = =
( ) ( ) ( )7 4 3 334 12 12
-11 : -11 = -11 = -11
-3 -3 3= =2 2 2
m n m+na a = a
m n m-na : a = a
( )m m ma b = a b
( )m m ma : b = a : b
( )nm m na = a
2 3 53 3 = 3 3 3 3 3 = 3 suuur suuuuur
5 3 23 3 3 3 33 : 3 = = 33 3 3
/ / / / / /
3 3 33 4 = 3 3 3 4 4 4 = 3 4 3 4 3 4 =12 suuuuuursuuuuur suuur
suuur suuur
33 3 3 3 3 3 3 3 33 : 4 = = =
4 4 4 4 4 4 4
( ) suuur suuur suuur32 2 2 2 62 = 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 11
Potencias de exponente negativo:
Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad
dividida por esa misma
potencia con exponente positivo:
Demostracin:
a) c)
b)
Ejemplo:Ejemplo:0
2 0 2 0 22 2
44
3 13 3 3 :33 3
1 55
= = = =
=
-nn
1a =a
0n 0 n 0 n
n n
a 1a a a :aa a
= = = =
6 6 63 2 22 3 3
= =
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Calcular:a)
b)
c)
Escribir en forma de una sola potencia:
a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)
Efecta las operaciones siguientes:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Calcula.
a)
b)
c)
d)
e)
19.3
3
-3
2
(-2 )
(-2 )
=
=
=
3
0
83
67
=
=
( )
2
4
26
2
=
=
d)
e)
f)
g)
( ) 4353
6 2
6 4
2
23
3 35 5
3 37 7
=
=
=
=
( ) 4262
3 2
3
2
34
1 14 4
2 57 2
=
=
=
=
( ) 4223
5 3
2 4
3
25
1 1:3 3
4 4:3 3
=
=
=
=
( )( ) ( )
5 7 4
35
5 3
5 7 4
3 3 3
2 2
3 : 3
2 2 2
=
=
=
=
( )( )
3 3 3
5 5
5 5
4 3
2 3 5
8 :2
8 2
2 2
=
=
=
=
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
4 3
3
2
2
2
2 5 1 3 :4 6
2 3 5 5 3 6 : 3 4
7 5 4 1 4
3 2 3 3 2
2 3 5 4 4 6 8 :4
+ =
+ + =
=
+ = + =
20.
21.
22.
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA12
PPARAARA RECORDARRECORDAR
7. RESOLUCIN DE PROBLEMAS.
A continuacin te proponemos una serie de problemas en los que
queremos que utilices lo que hasaprendido hasta ahora de los nmeros
racionales en la resolucin de problemas relacionados consituaciones
cotidianas como porcentajes, proporciones, grifos, etc.
Recuerda que hay una herramienta que facilita la resolucin de
muchos problemas: la regla de tres.
PROBLEMA 1: Qu porcentaje debe subir el sueldo de una persona
que gana 1100 , para que elnuevo sueldo sea 1232 ?
PROBLEMA 2: En una caja, 2 de cada 5 bolas son azules. Hay 12
bolas azules en la caja. Cuntasbolas tiene la caja?
PROBLEMA 3: Un grifo arroja 8 litros de agua por minuto y otro
12 litros. Abiertos simultneamentelos dos grifos sobre un depsito
de 600 litros, cunto tardarn en llenarlo?
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 13
CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS
LA LETRA DEL NIF.
El ministerio de Economa y Hacienda ha establecido para el
clculo del Nmero de Identificacin Fiscal(NIF), un procedimiento
consistente en aadir una letra de control al DNI.
La forma de calcular esta letra es bastante sencilla.Dado un DNI
cualquiera (16234521, por ejemplo), lo primero que hay que hacer es
obtener el resto de sudivisin por 23, cuyo resultado debe estar
comprendido entre 0 y 22. En nuestro ejemplo ese resto es 17.
A continuacin se consulta la tabla siguiente, para obtener
definitivamente la letra de control a aadir al DNI.
El NIF en nuestro ejemplo sera el 16234521V.
Si se produjera un error y se grabara como NIF 16235421V, se
detectara que es incorrecto pues el DNI16235421 tiene 20 como resto
y por tanto la letra debe ser la C, en lugar de la V.
Evitar ese y otros errores usuales es el objetivo que se
persigue con la introduccin del NIF.
a) Comprueba con tu DNI que tu letra de control se corresponde
con la tabla.
b) Es correcto el DNI 12345678D?
Resto obtenido Letra de control Resto obtenido Letra de control0
T 12 N1 R 13 J2 W 14 Z3 A 15 S4 G 16 Q5 M 17 V6 Y 18 H7 F 19 L8 P
20 C9 D 21 K
10 X 22 E11 B
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA14
1. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
2. Calcular:
a) e)
b) d)
3. Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Escribe en forma de porcentaje:a) En una clase de 27 alumnos,
los 2/3 son nias.
b) De 1000 personas encuestadas, 400 prefieren el pan
integral.
c) De cada cuatro habitantes del mundo, uno vive en China.
d) Los mares y ocanos ocupan 361.100.000 kilmetros cuadrados; el
rea total de la superficie del planeta es de 509.880.000 kilmetros
cuadrados.
e) 25 es el ___ % de 75.
5. Si un producto cuesta 12.000 y se le aplica un 6% de IVA, qu
cantidad supone el IVA?
PPARAARA ENTRENARENTRENAR
( ){ }( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
13 7 5 2 5 9
5 4 6 10:2 5 4 6
3 2 4 6 3 8
10 3 2 3 4 1
2 4 2 2 1
= + + =
+ = + =
+ =
111 2
57
2
=
=
53
23
17
8
=
=
5 126 105 10:6 12
=
=
c)
f)
2 2 2210 5 5
1 52 3
3 7 5 26 2 2 7
6 1 3 5 1:2 5 5 4 6
2 3 727 5 6
112
3 2 4 2 3:2 5 7 9 7
3 7 5 35 2 2 7
+
=
+ =
=
+ + =
=
+ + =
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 15
6. Si al salario de un trabajador se le aplica una retencin en
concepto de IRPF del 19%, un descuento del2'5% para la Seguridad
Social y un 0'75% para una mutualidad profesional, cul es su
salario neto sisu salario bruto es de 3100 ?
7. Clasificar los siguientes nmeros en N, Z y Q (indicando si
son decimales exactos, peridicos puros operidicos mixtos cuando
proceda).
a) 0'2301111... d) 565'11111... g) 152'444...
b) 2'2564 e) 152'152 h) 256'023333...
c) 12'0232323... f) 15'454545... i) -25
8. Hallar la fraccin generatriz de:
a) 12'23 c) 65'02444... e) 56'151515...
b) 25'333... d) 45'25 f) 48'25666...
9. Calcular el valor de las siguientes potencias:
a)
b)
10. Expresa como una nica potencia:
a) h) o)
b) i) p)
c) j) q)
d) k) r)
e) l) s)
f) m) t)
g) n) u)
11. El 6 % de los tornillos que hace una mquina son defectuosos.
Un da, fabric48 tornillos defectuosos. Cuntos tornillos fabric ese
da?
( ) ( )( ) ( )
2
22 3
2 2 3
12 7 9
+ + =
+ =
( ) ( ) ( )( )
( )
3 4
53
3 2
72
3
53
34
2 2 2
2
2 25 5
35
2 2:3 3
23
1
=
=
=
=
=
=
=
( ) ( )( )
( ) ( )
3 2
23
4 3
52
7 9
32
6 6
3 3
3
5 5 52 2 2
34
5 5:4 4
53
5 : 5
=
=
=
=
=
= =
( ) ( )( )
( )( ) ( )
6 4
32
3 4
32
12 10
3532
2 6
3 : 3
3
1 12 2
12
8 8:19 19
2
1 : 1
=
=
=
=
=
=
=
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA16
12. Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
13. Expresa en forma general la propiedad asociativa de la suma
de fracciones y demustrala con unejemplo.
14. Calcula:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
32
3
43
3
52
222
23
22 23
0
5 3
8
1 33 5
2 5 3
1 6 53 5
3 5:4 6
3 3:2 4
3 26
2 39
2 33 2
3 3
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 6 5 2 2 6 2 3
2 5 3 5 4 2 5 6 5 4
6 3 4 5 2 3 6 2 5 7 2 3 4
4 6 3 5 7 2 4 2 1 3 6 2
5 6 2 5 3 4 2 3 7 6 3 5 4 3
22 4 ( 9 3 2 ) 7 4
4 (10 2 3) 2 ( 3 15:3) (9 2)
+ + =
+ + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + + =
+ =
+ =
-
15. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
16. Una persona tiene un sueldo bruto mensual de 2400 . Cul ser
su nuevosueldo si el sueldo anterior se incrementa un 4 %?
17. Se adquiere una mercanca cuyo precio es 123.000 . Si dicho
precio debe ser recargado con un 6 %por pago aplazado y un 2 % por
transporte, cul ser el precio final de la mercanca?
18. Una persona ha pagado 1020 por un artculo cuyo precio era
1200 . Qu % de descuento le hanhecho?
19. Calcular:
a)
b)
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 17
( )
2 4 35 7 51 3 33 5 94 6 26 8 51 3 24 6 52 4 25 6 34 5 3 4 3 2:
33 2 7 5 2 6
5 3 1 3 3 2 6 34 5 2 5 6 3 2 6
2 1 7 12 33 3 3 4
+ =
+ =
+ +=
+
+ + =
+ + =
+ =
:
:
:
2
2
2 13 45 53 3
2 1153 3
7 16 7
=
=
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA18
20. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
21. Expresa las siguientes expresiones mediante una nica
potencia:a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)
22. Efecta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
( )
( )( )
2
2 2
3 2
5 6 7
4 3
4 2 1
5 2
323 5
22
23 2
3
25 3 42 81 5
23 3 46 9
3 a b c2 3 a2 4 3 92 8 9 3
a a
a a a
a bb a
=
=
=
=
=
=
:
:
:
2 2
3 3 15 10 2
14311 12 13
415 1157 11 51
5
4 23 5
1 13 5
1 1 23 25 4 7
1 2 2 15 3 3 4
3 124 5
1 26 3
+ +=
+
+ =+
+
+++ =
+
=
+
+ + =
=
( )( )
( )
3
2
925
6
43
2
3
aa
5
=
=
=
=
( )( )( )( )
3
3
326
94
532
1
5
a
a
4
=
=
=
=
( )
( )
2
1
52
1
3
2
13
7
=
=
=
=
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 19
23. Calcula, simplificando cuando sea posible:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
2
1 3 12 4
3 14
3 135 34 623 5
3 2 1 21 35 5 3 9
1 3 1 1 113 4 2 3 4
2 3 1 1 5 13 4 2 6 6 3
2 1 15: 1 3:4 2 4
533533
1 34 57 3
10 41 21 36 5
=
+
=
=
+ + = =
+ =
=
+
=
2
2 1
2
1 13 2
1 1 12: 3: 16 2 2
3 3 17 11 1 38 5 20 3
2 1 2 113 1 : 13 9 3 3
3 3 1 72 4 3 9
5 1 5 3 4 7:7 2 6 5 5 10
1 222
=
+ + =
=
+ =
= + =
( )
43
22 2
12
234
3
1 5 4 15 3 5
1 1 31 3 22 4 5
1 6 22 5
=
=
+ + =
=
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA20
24. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
25. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
26. Si el precio del kilo de pan, que antes costaba 15 , vale
ahora18 , cul es el porcentaje de incremento?
( )
( ) ( )
3
22
23
6
32
3
42
2 3 4
2 2 1
2 5:3 6
5 210
4 32 9
2 42
1 3:2 4
5 7 57 5 71 1 1 1 1:2 3 4 5 61 1 1 1 1:2 3 4 5 6
1 1 1 1 1:2 3 4 5 6
1 1 1 1 1:2 3 4 5 6
=
=
=
=
=
=
+ =
+ =
+ =
+ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
3
48 12 3 5 6 : 3 2
7 4 2 3 5 10: 2
2 6:3 4 5 1 4 3 18: 9
13 2 1 3 15: 3 5 2
2 3 4 18:6 4 5 4
2 2 7 3 4 2 8: 2
+ + =
+ + =
=
+ + =
+ =
+ + =
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 21
1. Halla la fraccin opuesta de -2/5 .
2. Escribe la propiedad distributiva respecto de la suma de
fracciones.
3. Qu clase de decimales son los siguientes nmeros
racionales?
a) 2'533 d) 3'4555 g) 7'05b) 2'515151 e) 345'2 h) 4'521313c)
0'010010001 f) 4'12123123412345
4. Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros
decimales:
a) 123 c) 097626262... e) 3333... b) 760777... d)
32575757...
5. Representa sobre la recta numrica 5/6, -9/4, 7/3, -5/2, -3/5,
-15/4.
6. Un supermercado hace la oferta "pague dos y lleve tres". A qu
descuento equivale esta oferta?
7. Simplifica y calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
8. Halla el valor de:
a)
b)
c)
PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS
( ):
:
: :
:
2 22
2
2
4 2
2 5 3
4
1 4 22 8
1 3 59 2 2
1 3 12 2 3
1 2 93 3 5
1 1 1 15 5 5 25
1 32 2
=
=
=
=
=
:
:
:
:
4 23 2
24 2
13
1 2 3 13 5 2 5
3 5 3 11 24 8 2 3
1 4 3 34 5 5 10
=
=
+ =
+
:
:
:
:
:
:
:
3 1 4 14 2 31 3 52 4 8
3 4 3 322 3 5 2
4 2 23
1 4 33 2 112 3 2 23 22
4
3 5 2 42 14 2 3 5
1 11 2 1 14 2
1 2 1 2 13 7 4 3
3 115 4
+
=
+
+ + =
+
+ + + + =+
+
= +
+ =
+
5 1 133 4 6
23
2 3 3 2: 14 5 8 6
1 11 12 2:3 12 44 4
1 1 3 14 10 :3 2 5 3
1 3 2 4 13 4 3 5
215
1 2 1 3:4 3 3 4
11 5 5 22
114
+=
+ =
+=
+ =
+ =
=
=
33 2 5 2 4
2 2 2
4
2 3 3 4 3:3 4 5 3 2
1 1 3 1 4 31 1 : 2 : 53 2 2 5 3 4
3 8 1 24 : 1 12 3 2 3
=
+ + + + =
+ + 2 22: 2
3
=
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA22
9. Halla la fraccin generatriz de:
a) 0'65 c) 3'222 e) 8'676767b) 3'47888 d) 1'234234234 f)
0'5444
10. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
11. Calcula simplificando siempre que sea posible:
a)
b)
c)
d)
12. Un alumno se lamenta de que en su clase han aprobado 2 de
cada 3. Su amigo le contesta que no sequeje, que en su clase han
aprobado 3 de cada 7. Dnde hay ms suspensos? Por qu?
13. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo
restante. Si le quedan an 120 kg, cuntocosech?
14. Dibuja en la recta numrica los nmeros: 9/2, -3/2, 5/3,
-8/7.
15. En qu porcentaje debe subir el sueldo de una persona para
que sta pase deganar 1500 a cobrar 1750 ?
16. Si un instituto ha pasado de tener 612 alumnos a tener 578,
qu porcentaje de variacin ha sufrido elnmero de alumnos?
17. En un depsito hay 3360 litros de agua. Dos fuentes vierten
16 y 25 litros por minuto, mientras que poruna boca de riego salen
85 litros por minuto. Calcula la cantidad de agua que hay en el
depsito al cabode 1 hora.
( )
( )( )
( )
1
1
2
3 5
3 2 3
32
24 1
7 2
43
1 2
2 25
12 4 3
7 7
2 2 2
a a
x x
8 8
5
=
=
=
=
=
=
=
=
=
( )( )
( )( )( )
35
2
2
3
64
0
5 4
0
2
3
33
44
a
3 2
2 33 2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
( )( )( )
( )( )
1
1
4
1
2
2
8
3
2
2
2
12
23
34
1
a
=
=
=
=
=
=
=
=
( )( )( )
1573
2
1
5
6
5
4
a
a
a
1a
1a
1a
12
=
=
=
=
=
=
=
( )
1 1 5 1 3 1 4 33 43 2 6 4 8 5 7 6
1 1 1 1 1 13 4 3: :3 2 4 5 3 2
3 1 1 3 1 2 51 :5 3 2 4 3 5 3
1 2 1 1 2 5 12 : 42 3 4 4 3 6 4
+ + =
+ =
+ =
+ + + =
2
2
2 3 3 913 2 2 42 3 2 913 2 3 4
3 1 4: 14 2 31 3 52 4 8
3 5 3 1: 1 24 8 2 3
1 4 3 3:4 5 5 10
+ +
= + +
+ =
+
+
=
+
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
e)
f)
g)
-
LOS NMEROS RACIONALESCOLEGIO VIZCAYA 23
18. Calcular aplicando las propiedades de las potencias:
a)
b)
c)
d)
19. Calcula, simplificando:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
20. Sin hacer la divisin, di qu tipo de decimal son los
siguientes cocientes indicados:
21. Dos amigos van de excursin y el primer da recorren 2/5 del
trayecto. El segundoda 1/3, y el tercero, el resto que son 24 km.
Cul es el trayecto de la excursin?
22. De un bidn se saca primero la mitad de su contenido. Despus
se saca la quinta parte, quedando as3 litros. Cul es la capacidad
del bidn?
23. Un grifo arroja 6 litros por minuto y otro 8 litros. Pero
hay un agujero y se escapan 4 litros por minuto.Abiertos los tres
conductos, en cunto tiempo llenarn 500 litros?
24. Simplifica:
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
( )( )
5
5
5
-5
-3
-3
-2
-2
=
=
=
= ( )3
04
2
32
15
3
-3
=
=
=
43 2
27 3
1 12 2
3 3:4 4
=
=
( ) ( )( )
( )
3 5 7 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 2 1
-4 2 1 2
5 3
3 22 2
3
32
4 6 3 2 2
3 2 1 3 2
3 4 5
3 5 3
22 1
5 4
a b a b
a b ca b c
a a aa a a2 4 3 9 3
2 8 3 9
a b ab
ab
xy
x y x x yy y xy y y
6 6 6 56 5 6 5
1 1 31 2 12 3 2
b :b
=
=
=
=
=
= =
=
+ + =
2 1b b b=
( )( )( ) ( )
( )
12 2 3
21 3 4
42 33 3 2 2
3 111 2 1 11 2
23 4
21 4 4
12 1
3 1
x y z
x y z
p q p q
3 62 5 3 2 3 44 3
1 1 12 2 2
1 2 21 13 3 3
y z xz:x y
=
=
+ =
=
+ = ( ) ( )
( ) ( )
13 32
3
2 3 4 5 6
3 2
2 53 2 3 2
42 3
x:y z
a a a : a :a
a a a
3 3 : 3 :3
1 222 3
=
=
=
=
3 27 7 3 5 7 13 9 2 3, , , , , , , , , 4 5 12 16 24 27 36 75 15
36
3
3 2
5
2
4 2
72 72 52 52m
8m n
=
=
=
3 4
2 5
2 5
3
4 2 0
6
3a b2a b6 3
93 3 3
3
=
=
=
5 7
2
2
2
4 2
2
3 33
62 32 4
8
=
=
=
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
-
LOS NMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA24
25. Simplifica:
a) c)
b) d)
26. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
27. Completa las siguientes frases:
a) Los nmeros con infinitas cifras decimales peridicas se llaman
nmeros ...b) Los nmeros que no se pueden expresar por medio de una
fraccin se llaman nmeros ...
c) Los nmeros racionales e irracionales al juntarlos forman el
conjunto de los nmeros ...
28. Cuntas cifras decimales tienen los nmeros racionales
peridicos puros? Y los mixtos?
29. Averigua cules de los siguientes nmeros no son
racionales:
a) 275
b) 38
c) 67134424242...
d) 9021022023024...
30. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas:
a) Los nicos nmeros que se pueden expresar por medio de una
fraccin son los nmeros decimales
exactos y los decimales peridicos.
b) Si un nmero es racional entonces siempre es un decimal
exacto.
c) Los nmeros decimales negativos no pueden ser racionales.
d) Un nmero decimal peridico no puede ser racional.
2 2 3 2
3 2
7
2 2
5 8 5 5 25 4
9 310 27
=
=
5 2 2
3 1
5 3 4
2 1
2 4 32 9
2 10 5128 5 10
=
=
( )
( )
( )
:
:
:
:
32 2 20
12
43 213
2 22
1 1 222 2 3
1 4 71 22 3 6
2 213 3
3 1121 311 2
1 12 4
=
+ =
=
=
+
( )
:32 2 7 3
3445
2 1 13 2 2
1 1 aa aa a 2
=
+ =
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 25
Pitgoras vivi en Grecia hacia el ao 500 a. C. l y sus discpulos
crearonlo que se conoca como la escuela pitagrica con la que
intentaban explicartodos los fenmenos que les rodeaban.
Ellos crean que todo es nmero y quetodas las cosas se podan
expresar connmeros enteros y fraccionarios.
Sin embargo, su famoso teoremacuestion esta concepcin del
mundo.La medida de la hipotenusa de untringulo rectngulo cuando los
catetosmiden 1 es .
El clculo de su expresin decimal nos da lugar a un nmero con
infinitascifras decimales no peridicas.
= 1'4142135623730950488016887242097
Es decir, no es un nmero fraccionario ya que su expresin decimal
no esexacta ni peridica.
2
2
1
1
2 2h = 1 + 1 = 2
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA26
PPARAARA EMPEZAREMPEZAR
Expresa las siguientes races como una potencia de exponente
fraccionario.
a) b) c) d) e)
Expresa en forma de raz:
a) b) c) d) e)
Calcula expresando en forma de potencia:
a) c) d)
b) e)
Calcula por aproximacin con dos decimales:
Calcula las siguientes races:
a)b)
c)
1.
2.
PPARAARA APRENDERAPRENDER
1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES.
El conjunto de los nmeros ms grande que conocemos hasta el
momento es el conjunto de los nmerosracionales que se pueden
escribir como el cociente indicado de nmeros enteros o bien como
unnmero decimal si hacemos el cociente que se nos indica. Adems
habamos observado cmo esecociente poda ser un decimal exacto (n
finito de cifras decimales) o un decimal peridico (infinitas
cifrasdecimales pero peridicas).
Tomemos el siguiente nmero decimal:
1'7320508075688772935274463415059
a) Cuntas cifras decimales tiene?
b) Es un nmero peridico?
Existe un tipo de nmeros que tienen un nmero infinito de cifras
decimales que no son peridicas y que nose pueden expresar mediante
una fraccin, es decir, no podemos calcular la fraccin generatriz de
dichosnmeros como hacamos con los decimales peridicos.
Como los nmeros racionales son los que se pueden expresar por
medio de una fraccin (razn), losnmeros que no se pueden expresar
con una fraccin se llaman nmeros irracionales.
3.
3 42 3 2 52 3 5 7 4= = = = =
1 2 4 3 1 3 3 5 2 22 3 4 5 7= = = = =
5 15
3 9 27 6
2
2 3 5
=
=
8 4
2 16
5 112 3
=
3 12 18
16 204
a :b
x :y
=
=
83, 58'4, 1114.
5.28 2 81
4 4 2 9 3 25 5 49
5 13 9
=
+ =
+ + =
Los nmeros irracionales son aquellos cuya expresin decimal tiene
infinitas cifrasdecimales no peridicas y designa con la letra
I.
El conjunto que resulta de unir el conjunto de los nmeros
racionales (Q) con el de losirracionales (I) se llama conjunto de
los nmeros reales, se denota con la letra R yllenan la recta
numrica si los representamos todos.
a , b 0b
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 27
Los nmeros = 3,1415926535897932384626433832795=
1'4142135623730950488016887242097=
1'7320508075688772935274463415059
y en general todas las races cuadradas, cbicasno exactas de
nmeros enteros sonirracionales.
Las operaciones con nmeros reales son las mismas que con los
nmeros racionales y secumplen las mismas propiedades: asociativa,
conmutativa, elemento neutro, elementoopuesto y distributiva
respecto de la suma.
Ejemplo:Ejemplo:
2
3
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Realiza un dibujo mediante el cual expliques qu conjuntos forman
los nmeros reales y quconjuntos estn incluidos en otros.
Clasificar los siguientes nmeros:
a) 3 g) k) 23'121121112b) -745 h) 23'5666 l) 23'121212c) 2'5 m)
23'1121212d) 3'2727 i) n) -52e) 1'123456 o) 372f) j) p) 8'23
6.
7.
3
4
35
102
PPARAARA APRENDERAPRENDER
2. REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS IRRACIONALES.
Vamos a representar sobre la recta numrica .El nmero = 1'4142135
como es irracional y tiene infinitas cifras decimales es imposible
representarloen la recta numrica con exactitud como hacemos con los
dems nmeros. Sin embargo hay un mtodo quenos permite representarlo
con exactitud.
Sabemos que se corresponde con la hipotenusa de un
tringulorectngulo de cateto 1.
Dibujamos sobre la recta numrica un cuadrado de 1 de lado.
22
2
1
1
2 2h = 1 + 1 = 2
-2 -1 0 1 2
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA28
Ahora basta con trazar con la ayuda de un comps un arco de
circunferencia de centro 0 y radio la diagonal.
Para representar , , construiremos tringulos rectngulos cuya
hipotenusa valga , ,
3. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL.
3 5 2 3
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Representa sobre la recta real el nmero .
Entre dos nmeros enteros, cuntos racionales hay? Y cuntos
irracionales?
Cuntos nmeros irracionales hay comprendidos entre dos
racionales?
Si sobre la recta numrica representamos todos los nmeros reales,
cuntos puntos quedarnsin pintar?
Los lados de un rectngulo miden cm y cm. Su rea es un nmero
irracional?
El lado de un cuadrado mide cm. Su rea es un nmero
irracional?
10.
11.
10
El valor absoluto de un nmero real es la distancia que lo separa
del cero. Siempre espositivo y se representa entre barras .
2 3
2
8.
9.
12.
13.
n
-2 -1 0 1 2
-1 0 1 2 32 3 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3'5 = 3'5 4'75 = 4'75
2
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 29
Calcula:a) c)
b) d)
Razona si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones:a)
e)
b) f)
c) g)
d) h)
Calcula el valor de x que cumple:a) b) c)
14.
15.
16.
8 3
3 8
=
= ( )8 3
8 3
=
=
3 7 3 7
3 7 3 7
3 7 3 7
3 7 3 7
+ = +
=
=
=
5 5
0 7 7
4 8 4 8
12 15 12 15
=
=
=
=
x 10= x 3 5+ = x 3 6 =
PPARAARA APRENDERAPRENDER
4. APROXIMACIN Y ERROR.
Aproximacin:
Como la expresin decimal de muchos nmeros tiene infinitas cifras
decimales, nos resulta imposibleescribirlos al completo. Por esta
razn para realizar operaciones con ellos tomamos un nmero limitado
decifras decimales, es decir, tomamos una aproximacin del nmero
dado.
Por ejemplo, si tomamos el nmero =
3,1415926535897932384626433832795 los nmeros
= 3,1 = 3,14 = 3,142= 3,1416
son aproximaciones de .
Las aproximaciones = 3,1 y = 3,14 son aproximaciones por defecto
(el n aproximado es menor queel exacto) y las aproximaciones =
3,142 y = 3,1416 son aproximaciones por exceso (el n aproximadoes
mayor que el exacto).
A la hora de aproximar un nmero se suelen utilizar normalmente
las tcnicas de truncamiento y redondeo.
Truncamiento: Se eliminan las cifras hasta el orden que se
quiera.
Redondeo: Para redondear un nmero hasta un orden, se ponen las
cifras anteriores a ese orden y la cifradel orden se deja igual si
la que le sigue es < 4 y se le aumenta una unidad si la que le
sigue es 5. El restode cifras se eliminan.
Llamamos aproximacin de un nmero a cualquier otro nmero cercano
a l.
Aproxima el nmero
Ejemplo:Ejemplo:
5 =2'2360679774997896964091736687313...
Truncamiento Redondeo
Hasta las dcimas 22 22
Hasta las centsimas 223 224
Hasta las milsimas 2236 2236
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA30
Error:
Cuando aproximamos un nmero, como no estamos trabajando con el
nmero exacto se cometen errores.El error ser ms pequeo cuanto ms
cifras decimales consideremos.
Si aproximamos = 2'6457513110645905905016157536393 hasta las
milsimas por redondeo:
a) Cul es el error que estamos cometiendo?
b) Puede ser un nmero negativo?
Cuando calculamos el error absoluto, es interesante calcular
tambin lo que se llama error relativo. El error relativo nos indica
cul es el error que se comete por unidad, es decir, no es lo mismo
equivocarseen 1 m cuando medimos el permetro de una moneda que
cuando medimos la circunferencia de un planeta.
Se llama error absoluto de una aproximacin a la distancia que lo
separa delnmero exacto.
Calcula el error absoluto y relativo que se comete al
aproximar:
a)
b)
c)
Ejemplo:Ejemplo:
7
aE = n-aprox.
Se llama error relativo de una aproximacin al error que se
comete por unidad. Se calcula dividiendo el error absoluto entre el
nmero.
:r aE =E n
3,14159... por 3'14.
3'14159... 3 '14=0'00159... : 3'14159...
=
= =
=
a
r
E 0'00159...E 0'000506...
1 0'09 por 0'09.11
1 1 9 100 99 10'0911 11 100 1100 1100
1 1 1= : 0'011100 11 100
=
= = = = =
= = =
a
r
1E1100
E 1%
2 0'6 por 0'67.3
2 2 67 200 201 10'673 3 100 300 3001 2 3 1: 0'005
300 3 600 200
=
= = = = =
= = = = =
)
a
a
1E300
E 0'5%
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 31
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Hallar aproximaciones hasta las centsimas por truncamiento y
redondeo de los siguientesnmeros.
a) 2'3567 d) 93'8003b) 8'2392 e) 57'5432c) 8'521 f)
-105'2352
Halla los errores que se cometen al aproximar:
a) 5/3 por 1'67
b) 4/9 por 0'444
c) 7/9 por 0'77
d) 1/3 por 0'33
e) 4/7 por 0571
f) 5/7 por 1'66
Si el dimetro de una circunferencia mide 28 m, y se aproxima con
la fraccin , cuntomide su longitud? Compara este resultado con el
que se obtiene tomando = 3'1416 y calculalos errores.
17.
18.
19.227
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA32
PPARAARA RECORDARRECORDAR
5. RADICACIN.
Raz de ndice n:
En la unidad anterior hemos trabajado con potencias y hemos
estudiado las propiedades de las operacionescon ellas. Como bien
sabes existe una operacin que es la inversa a la de elevar un nmero
a unapotencia: calcular su raz cuadrada, cbica, cuarta
A las races de ndice n se les suele denominar radicales sin ms,
con el fin de abreviar su nombre.
Teniendo en cuenta la definicin, completa el siguiente
recuadro.
Potencias de exponente fraccionario:
Normalmente trabajamos con potencias de exponente entero, sin
embargo qu podra significar lapotencia 1/2? Y la potencia 2/3?
Intentemos descubrirlo.
Vamos a tomar la siguiente igualdad que todos conocemos:
Ahora elevamos los dos miembros de la igualdad a la potencia
1/2:
Teniendo en cuenta las propiedades que hemos estudiado de las
potencias:
Luego parece ser que tanto como dan como resultado 7.
Hemos encontrado dos formas diferentes de representar la raz
cuadrada.
a) Cmo se representar la raz cbica de un nmero en forma de
exponente fraccionario?
b) Cmo representaremos la potencia 2/3 con una raz?
La raz de ndice n de un n es otro nmero tal que el 2 elevado a
la potencia n da el 1.
porque nn b =a a =b- A b se le llama radicando.- a n se le llama
ndice de la raz.- a es la raz y se llama radical.
Radical ndice Radicando Raz Potencia
43 38b
4 481 b
249=7
( ) ( )11 2 2249 = 7
( ) ( ) 11 1 222 22 2 249 = 7 =7 =7 =7
( )1249 49
Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raz de
ndice el denominadory de radicando una potencia de la misma base
cuyo exponente es el numerador.
( ) porque nb bn b bn na =a a =a
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 33
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Escribir en forma de potencia:a) d) g)
b) e) h)
c) f)
Expresar en forma de raz:
a) c) e)
b) d)
20.
21.
3
5
3
7
8
=
=
=
8 2
3
9
a
b
a
=
=
=
6 7
4 3 2
a
a b c
=
=
12
25
3
10
=
=
14
23
5
a
=
=
72b =
PPARAARA APRENDERAPRENDER
6. OPERACIONES CON RADICALES.
A la hora de operar con radicales lo podemos hacer tanto en
forma de radical como potencia de exponentefraccionario.
Si vamos a trabajar con potencias de exponente fraccionario, las
reglas a seguir son las mismas que hemosvisto para las potencias,
por ejemplo:
a) b) c)
Radicales iguales o equivalentes:
Los radicales tienen todos la misma raz 1'41421
Aunque a simple vista parezcan radicales diferentes todos ellos
son iguales o equivalentes.Para comprobar que los radicales
anteriores son iguales los vamos a expresar en forma de potencia
deexponente fraccionario:
a) Qu puedes decir de las potencias que aparecen en los
exponentes?
Esta propiedad nos permite ampliar radicales (multiplicando) o
simplificar radicales (dividiendo).
Propiedad fundamental de los radicales:
Si se multiplican o dividen por un nmero el exponente del
radicando y el ndice de la raz,el resultado de la raz no varia.
2 1 2 71 3 2 3 623 3 3 3
+
= =
6 104 2 3 53, 3 , 3 , 3
3 51 26 102 43 , 3 , 3 , 3
a) b)
c) d)
Ejemplo:Ejemplo:
6 34 2 12 8
10 5 308 4 24
: 2 4
: 2 6
a a a
x x x
= =
= =
4 2 2 12 6 6
4 2 12
10 5 302 6
2 3
: 2 6
3a 3 a 3 a
x x xy y y
= =
= =
( ) 2 62 3 3 5 55 2 2 2= =1 1 1 1 1 - 2 4 2 4 45 : 5 5 5 = =
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA34
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Calcula por ampliacin tres radicales equivalentes a:
a) b) c)
Completa:
a) b)
Descompn el radicando en factores y simplifica:a) c)
b) d)
22.
24.
a = 3 22 = 4 3b =
9 6 3 6 45a = = = 4 3 4012 24a = = =
15
6
64
1000
=
=
6
24
100
1000000
=
=
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Introduccin y extraccin de radicales:
1) Siempre que el exponente del radicando sea mayor que el ndice
de la raz, se puedenextraer factores de la siguiente forma:
a)
b)
2) Si el exponente del radicando es menor que el ndice de la
raz, entonces descomponemosel radicando en factores:
a)
b)
3) Al igual que hemos extrado factores fuera del radical, tambin
podemos introducirfactores actuando de forma inversa. Seras capaz
de introducir los factores en lossiguientes radicales?
a)
b)
c)
Ejemplo:Ejemplo:
4 4 6 3 4 4 4 2 3 4 2 3
4 8 3 3 3 2 2 23 3 3
2 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5
2 x y 2 x x y y y x y 2 x y
= =
= =
3 3 34 2 3 2 23
34 3 5 4 3 3 2 3 3 23 3 3
144 2 3 2 2 3 2 2 3
32 a y 2 a y 2 2 a a y 2 a y 2 a
= = =
= = =
3 2
2 4
3a 2
2 2 a
5 x 3xy
=
=
=
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Extraer todos los factores posibles de los siguientes
radicales:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
25.
3
3
2
3 5 7
4 5
18
3 48
16
9a
50a b
98a b c
2 75x y
=
=
=
=
=
=
=
3 4
3 7
5 7
5 7
6
3 81x y
1 49x y71 108a b21 27a m =33 125mn =5
=
=
=
h)
i)
j)
k)
l)
23.
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 35
Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se
encuentren fuera de l:
a)b)c)d)
e)
f)
Simplifica y extrae todos los factores que se pueda:
a) c) e)
b) d) f)
26.
3
2 2
3 5
2 3
2 a
5a b
3a 2a1 22
=
=
=
=
=
=
32 2
2
32 2
3 2
4 3
3a a b
5x y 3
ab a b
4m 2m
2a 8ab
=
=
=
=
=
g)
h)
i)
j)
k)
2
6
a
a
=
=
3 6
9
b
a
=
=
15
4 6
b
b
=
=
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Reduccin de radicales a ndice comn (homogeneizar):
Para multiplicar y dividir radicales va a ser necesario que
tengan el mismo ndice, si esto no es as, hay unaserie de pasos muy
sencillos que nos permiten obtener radicales equivalentes que
tengan el mismo ndice.A este proceso se le llama reducir radicales
a ndice comn o homogeneizar radicales.
Vamos a considerar los siguientes radicales:
Primero se halla el m.c.m. de los ndices, que ser el ndice comn
a todos los radicales.
ndices: 2, 4, 6 m.c.m. (2, 4, 6) = 12
Para escribir con ndice 12, dividimos 12 entre el ndice del
radical (12:2 = 6) y lo amplificamos por 6:
Se opera anlogamente con los otros radicales:
Como ves hemos obtenido tres radicales equivalentes a los
primeros pero todos ellos con el mismo ndice.
Si te has dado cuenta, reducir radicales a ndice comn es similar
a escribir fracciones con comn denomi-nador (recuerda que los
radicales se pueden escribir como una potencia de exponente
fraccionario).
64 2 4 32a , 3ax , 5
42a
( )64 4 12 6 24262a 2a 2 a= =
( ) ( )2 36 12 4 12 2 2 2 2 4 3 3 96 2 4 3 3ax 3ax 3 a x 5 5 5 =
= = =
Reducir radicales a ndice comn (homogeneizar) es obtener otros
radicalessemejantes a ellos pero con el mismo ndice.
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Reducir a ndice comn los siguientes radicales:a)
b)
c)
d)
e)
28.34
2 63
62 33
4 23
6 33 2 2
3, 7, 5
3x, 5a , 4m
5x, 4x y, 7a b
2 a, 3 2b, 4 5x
15a x , 2a, 3a b
27.
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA36
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Multiplicacin y divisin de radicales:
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que tengan el
mismo ndice, si no es as, tendremos quereducirlos a ndice comn.
Las reglas a seguir a la hora de multiplicar y dividir radicales
son las siguientes:
=
=
n n n
n n n
a b a b
a: b a:b
a) c)
b) d)
Ejemplo:Ejemplo:
5 55 5
6 63 36 6 6
m.c.m.(2,6) 6
3 7 3 7 21
3 2 3 2 3 2 54
=
= =
= = =
6 6 6 67 2 7 2 5
3 2 4 3 12 8 12 9 12 8 9 12 1 12
m.c.m.(3, 4) 12
a : a a :a a
1a : a a : a a :a aa
=
= =
= = = =
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
29.
3 3
2 3
32 53
4 3 4 7 63 3 3
4 5
3 35
3 4
6 2 33
3 3 4
3 2
4 3
8 5 4 3
3 2
62 53
3 2 2 4 3
62 3 24
5 3
2 34 63 4
32 a x a2
9x y : 81x
2 1x y 2xy 4x y3 4
2x 4x:25y 5y
2 2 2
a ab a b
3 x 2 x 5 x
x 2x
3 2ab 4 8a
a : a
5 2a 4a b
9x y 81x
a b 2 3a b
25x y 125x
2ab : 2ab
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4 52 4
33 2
34m 16m n3 4
3a b : 6a b
=
=
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 37
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Radicales semejantes:
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el
mismo ndice.
Para ver si dos radicales son semejantes tenemos que extraer
fuera del radical todos losfactores posibles y simplificar si se
puede.
a) Los radicales y son semejantes (ndice 3, radicando 2).
b) Los radicales y a simple vista parece que no son semejantes,
sin embargo ase le pueden extraer factores fuera.
Entonces y son semejantes (ndice 2, radicando 2).
c) Los radicales y parece que tampoco son semejantes pero se
puedesimplificar por 2: , as que s son semejantes (ndice 4 y
radicando x).
Ejemplo:Ejemplo:
33 2 35a 2
8 2 8
38 2 2 2= =
8 2 2= 2
43 x 8 2x 8 2x8 2 4x x=
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que sean
homogneos y los que seansemejantes:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
30.
4 6
64
11 184 4
64 2 3
1 1 15 10 5
2 2 3 3 2 3 4
3 2 2 5 3 5
2, 4, 8
2, 9, 27
6 , 36 , 15
a, a , a
5 ,25 , 20
a b , a b, b , a b , a b
2a b , 4a b , 8a b , 32a b
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Suma y resta de radicales:
Para poder sumar y restar radicales, estos tienen que ser
semejantes. Antes de operar hay que extraer todoslos factores que
se pueda y simplificar, despus la forma de actuar a la hora de
operar es similar a la desumar y restar monomios.
a) c)
b)
Ejemplo:Ejemplo:
( )( )3 3 3 3 3
3 2 7 2 5 2 3 7 5 2 5 2
8 x 7 x 3 x 8 7 3 x 4 x
+ = + =
= =
2 3
3 12a 4 3a 5 27a
3 2 3a 4 3a 5 3 a
3 2 3a 4 3a 5 3 3a
6 3a 4 3a 15 3a
17 3a
+ =
+ =
+ =
+ =
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA38
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Sumar los siguientes radicales:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
31.
33 3
3 3 3
3 3 3
33 3 3
3 3 3 3 3
98 18 8
54 24 16
3 27 48
875 448 189
45 80 180 20
40 1029 625
5 75 8 48 3 27
2 8 5 72 7 18 50
1 1 112 27 752 3 53 2 1 528 63 700 4482 3 10 8
3 128 2 2 3 54 5 16
2 8b 18b 4 128b 2 32b 288b
+ + =
=
+ + =
+ + =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ + + =
+ + =
+ =
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Potencia y raz de un radical:
La potencia p de un radical, es otro radical del mismo ndice
cuyo radicando estelevado a la potencia p.
La raz r de un radical es otro radical con el mismo radicando y
cuyo ndice es elproducto de los ndices.
a) b)
Ejemplo:Ejemplo:
( ) porque =p n pn a a
porque r n r na = a
( ) ( )5 5 33 36 6 5 30 10 232a 2a 2 a 2a 2= = = 4 3 2 12 23a
3a=
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Realiza las siguientes operaciones:
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) k)
f)
32.
( )( )
3 4
39
23 4 6
23 3
5 2
12
a
a
a b c
a
a
a
=
=
=
=
=
=
( )( )
( )
4 5
46 7
55 3 2
23 4 3 2
3
a
a
a b c
2a b
a a
=
=
=
=
=
( )p p1n na =a
( )1 1 1n r nra =a
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 39
PPARAARA APRENDERAPRENDER
Racionalizacin:
En las operaciones con radicales y denominadores, para
simplificar algunas expresiones es necesario queen los
denominadores no aparezcan radicales. El proceso por el cual se
obtiene un radical sin races en eldenominador se llama
racionalizacin. Veamos unos ejemplos muy sencillos:
a) b)
Ejemplo:Ejemplo:
3 62 3 46
3 32 33
3 y x 3 y x
x x x
= = =
3 46
3
3 y 3 y xxx2
3 2 3 22 2 2
= = =
3 3 222
PPARAARA PRACTICARPRACTICAR
Qu es racionalizar el denominador de una fraccin?
Racionaliza:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Son iguales y ? Razona tu respuesta
33.
3
3 2
2
3
3 2
3
12
1326 2 7 32 1 9x 5 4a
1 3
3c 9c
6ab 4a b
5 2 6
5 3x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
25
2 55
34.
35.
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA40
CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMTICASTEMTICAS
DOS NMEROS CON NOMBRE.
Hasta el momento has conocido un nmero que aparte de su
importancia en las matemticas, como muchosirracionales, lo
nombramos con una letra porque no se puede escribir con todas sus
cifras, ese nmero es
= 3'14159 y nos relaciona la longitud de la circunferencia con
su dimetro. ( = longitud circunferencia / dimetro).
Este nmero tiene infinitas cifras decimales no peridicas, es
decir, es un nmero irracional como puedescomprobar en el siguiente
desarrollo:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865i328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056827145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930I61753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222...
Hoy en da se han calculado ya ms de un milln de cifras decimales
de .
Pitgoras y el nmero de oro.
Pitgoras, filsofo y matemtico griego, naci en el 582 a. C. en la
isla deSamos, situada en el Mar Egeo y fue instruido entre otros
por Thales deMileto (624 a. C.-547 a. C).
Hacia el 530 a. C. tuvo que exiliarse y se instal en una colonia
enCrotona, al sur de Italia. All aglutin a un crculo cerrado de
discpulosentre los que podan ingresar mujeres (en ese entonces y
durante muchotiempo las mujeres no eran admitidas en las escuelas).
Esta nuevaasociacin se conoce como la escuela pitagrica.
Entre las amplias investigaciones matemticas realizadas por
lospitagricos se encuentran el estudio de los nmeros pares e
impares y delos nmeros primos y de los cuadrados. Desde el punto de
vista de laaritmtica, cultivaron el concepto de nmero, y es as como
llegaron aatribuirles propiedades fsicas e incluso divinas a las
cantidades ymagnitudes. En el campo de la geometra el gran
descubrimiento de laescuela fue el conocido Teorema de
Pitgoras.
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 41
El pentgono estrellado fue el smbolo elegido por los seguidores
de Pitgoras quepensaban que en el mundo slo haba cabida para los
nmeros fraccionarios.
La casualidad hizo que no slo su famoso Teorema diera origen a
los nmerosirracionales si no que en su propio smbolo se encuentra
un nmero irracional: elnmero de oro.
Al trazar las 5 diagonales en un pentgono regular se forma otro
pentgonosemejante a l.
La relacin de semejanza que hay entre los dos pentgonos se
conoce comoproporcin urea y su razn de semejanza es el nmero de oro
que se designa conla letra griega ('fi'):
La relacin que hay entre la diagonal del pentgono y su lado
tambin es el nmerode oro.
El nmero de oro en el arte y en la naturaleza.
El nmero de oro aparece en muchas de las proporciones que
guardan edificios, esculturas, objetos, partesde nuestro cuerpo,
plantas y animales.
A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado la
belleza y armona de la proporcin urea pintan-do y construyendo
grandes cuadros y obras arquitectnicas como el Partenn de Atenas,
la pirmide deKeops, el Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci
El Partenn de Atenas. Las pirmides de Keops.Se puede comprobar
que ancho / altura = La altura de una cara / mitad de la base =
Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci.
En ese dibujo se propone un Hombre perfecto enel que las
relaciones entre las distintas partes delcuerpo son proporciones
ureas. La altura delcuerpo y la longitud entre los extremos de los
bra-zos cuando estn extendidos, la altura del hombrey la distancia
del ombligo a la punta de las manos,las falanges de los dedos, la
longitud de la cabezay su anchura
1 5 1'6180339887498948482045868343656...2
+ = =
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA42
En la naturaleza, tambin aparece la proporcin urea en el
crecimiento de las plantas, pias, girasoles,distribucin de las
hojas en los tallos, dimensiones de insectos y pjaros y la formacin
de caracolas.
1. El Partenn es un edificio que se encuentra en la Acrpolis de
Atenas. Su fachada es un rectngulo quetiene la propiedad de que el
cociente de sus dimensiones es el nmero ureo. Si la altura, que es
el ladomenor, mide 18 m, cunto mide la anchura de la fachada?
Utiliza la aproximacin centesimal de .
2. Las tarjetas de crdito y los documentos de identidad tienen
forma rectangular y el cociente de susdimensiones es el nmero de
oro. Si el lado menor mide 54 mm, cunto mide el lado mayor? Utiliza
la aproximacin hasta las milsimas de .
3. La hoja DIN-A4 tiene dimensiones tales que la longitud es
igual a la anchura por . Si el lado pequeomide 21 cm, cunto mide el
lado mayor? Utiliza la aproximacin centesimal de la raz
cuadrada.
4. El nmero se ha expresado clsicamente por medio de
aproximaciones fraccionarias
(Arqumedes, 230 a. C.), (Liu Hui, 260 d. C.), (Fibonacci, 1220
d. C.).
Compara estos valores con el de = 3'14159 y di cul es el orden
del error cometido.
2
22771
15750
1440458'3
)
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 43
1. Clasifica los siguientes nmeros:
a) 125 d) -422 g) 2'111 j) 2'111b) 1/2 e) 7/3 h) 18/9 k) 5/6c)
2'1212333 f) 5'79215 i)
2. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que
sean homogneos y los que sean semejantes:a)
b)
c)
d)
e)
3. Halla el error absoluto y relativo que se cometen al
aproximar:
a) 4/7 por 0'571
b) 5/3 por 1'66
c) 2/11 por 0'18.
d) 7/3 por 2'33.
e) 8/3 por 2'67.
4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes
radicales:
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) k)
f) l)
5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que
se encuentren fuera de l:
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
PPARAARA ENTRENARENTRENAR
2
3 3 4 5 6 7
4 4 5 6 7
4
5, 20, 125, 6, 24
a b , a b, a b , a b
5a b , 4b, 16a b , 25a b
25, 144, 72, 162
5 7, 4 7, 9a 49
3 7 9
2 73
3
3
2 83
2 83
3 8
2a 44a b c
2 16x y =
4 250a b
1 128 =2
2xy 128x y =
2 27m n3
=
=
=
4
4 5 124
8 14 164
84
7 9 133
6 3 2
9 2
2 243
80a b c
3 5x y z =
3 32mn2
5a 160x y z
27a m n 392b c
=
=
=
=
=
2 3 3 25mn p 2m np
3 3a
2 63
=
=
=
2 3 32a bc 7c
2 7
1 55
=
=
=
2 23
3 5
5xy x y
2a ab b
=
=
=
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA44
6. Reducir a ndice comn los siguientes radicales:a)
b)
c)
d)
e)
f)
7. Sumar los siguientes radicales indicados:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
8. Calcula:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
6 3
63 4
5 2 34
6 92 3 23
64 2 3 5 4
5 3 4 7 210
3, 32, 5
2, 3, 5, 7
3x, 4x , 15x
4ab, 3a b, 9a b
8a x , 3a m
2m, 3 a x , 2 x y
45 27 20
75 147 675 12
175 243 63 2 75
80 2 252 3 405 3 500
2 450 9 12 7 48 3 98
7 450 4 320 3 80 5 800
120 45 2 1253
1 1 180 63 1804 6 9
3 15 50 98 16214 33 12 45 125 1804 2
=
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ + =
=
+ =
=
( )
8 5 4 3
5 3
3 2
33 2
6 5 4
3 2
3 3 4 2
53 2 3 2
93 4 2
3 4 5 2 2 36 4
34 3 2 2
3 534
5 6 634
2
3 47 3 2
a : a
2ab : 2ab
ab : ab
3a b : 6a b
a : a
9x : 3x
8a b : 4a
5m n: m n
3m : 27m
18x y z : 3x y z
33ab a b a ba
1 3abc 2 bc a c3 2
ac a bb c
4 x 5 x 6 x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 45
9. Racionaliza:a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
10. Comprueba pasando a potencia de exponente fraccionario las
igualdades:
a) b)
11. Calcula:
a) h)
b) i)
c) j)
d) k)
e) l)
f) m)
g)
12. Sabiendo que 13 = 32 + 22, representa en la recta real.
13. Cul es el permetro del trapecio de la figura?
14. Calcula:a)
b)
c)
d)
e)
4
4
4 2
3 15
6 3 3 9a x 27x
=
=
=
=
5
4 3
12 6
1 7
33 33
1 5a 25x
=
=
=
=
4 6 33 3= 15 310 2a a=
( )
12
4
43 2 3
4 12 10
53
81
x
64
n n n
x a
165
4
=
=
=
=
=
=
=
5 10
4
4 8
3 42 3
23 4
x
16a
16x b
2x 2x 2x
2 2 2
2x y 3xy:5 2
=
=
=
=
=
=
13
3 3 3
3 2 2 4 964
5 4 4 7 6
18 3 12 5 50 4 27
3 54 16 7 250
1 5 x y z : 4x y z4 22 1 55 45 203 4 6
35 x x a 2 x 255
+ + =
+ =
=
+ =
=
3
27
48
12
-
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA46
1. Simplifica y extrae:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
2. Clasifica los siguientes nmeros:
a) - 6 d) 0'8777... g) 2'7193... j) 2/12b) 15 e) 9'222... h) 3/5
k)c) - 23 f) 3'52 i) 4/9 l) 34'58473972.
3. De los siguientes radicales, agrupa aquellos radicales que
sean homogneos y los que sean semejantes:a) d) g)
b) e) h)
c) f)
4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes
radicales:
a) f) k) p)
b) g) l) q)
c) h) m) r)
d) i) n) s)e) j) o) t)
5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que
se encuentren fuera de l:a) e) h)b) f) i)
c) g) j)
d)
6. Reducir a comn denominador los siguientes radicales:
a) c) e)
b) d)
7. Calcula:
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) k)
f) l)
PPARAARA APRENDER MSAPRENDER MS
5
2
5
3
64b
6 3a2 3
2 27a6 3a
=
=
=
5 7 2
7
3 3
3
128a b c
aa
3 500ab4a
=
=
=
9
5
243a
6a54a
=
=
5 5 5
1 1 12 2 2
4
2, 3, 6
5 , b , (ab)
2 7, 3 7, a 49
4 8
11 184 4
5 10 5
2, 4, 3 16
6 , 36 , 14
3, 6, 6 3
64
31 762 14
3, 6, 27
3 , (ab) , 2
4 10
6 9 13
5 8 2
6 3
3
3
a
a b
a b
ab c
125x96y
=
=
=
=
=
7 38
3 6
3 20
10 8 12
74
5 3
a
a
a
a b
625aba b
=
=
=
=
=
4 5
5 3 10
3
3
4 4 8
16a
64a b
8
1000
32a b c
=
=
=
=
=
5
5 2
3 63
5 2 6 9
10 43
32
324a b c
81x y
16a b c
81x y z
=
=
=
=
=
2 4
2 3
3
33 2 5 3
5a a
7b 3a1 821 a x b 1000a bx
10
=
=
=
=
5 3
33 2 2
32 3 3
5xy x y
20a b 2b1 a m axm
10
=
=
=
3 4
-5 -1 3 -2
-2 3
3n p 2m
a x a x1 a b 4abx2
=
=
=
2 3 23 5 15
3 93 2 76
2mn, 3m p, 5m p
2y , x , 5m
4 2 3
2 2 3 33 4
a b , ab
xy, x y , x y
64 2 2 3 4a, a b , a b
3 3 3
33 3 3
33 12 4 5 10 7 14 12
5 4 2 33
1 1 3 112 18 48 722 3 4 63 2 1 1176 45 320 2754 3 8 5
3 -24 4 -81 -375
2 250 4 24 6 16 2187
1 2a b 3a b c a b c3 3
1 13x y : x yx 3
+ + =
+ + =
=
+ =
=
= ( ) ( )
3 3 3 3
3 2 4
3 4 4 43 6
2 2 5 264
1 1 1 1147 700 28 21877 5 10 31 1 33 27 108 3002 3 5
81 3 375 686 2 648
4a : 2a
1 2x 5 2xy x y2 3
2a 3x y : 6a x y
+ + =
+ =
+ + =
=
=
=
5
-
LOS NMEROS REALESCOLEGIO VIZCAYA 47
8. Razionaliza:
a) c) e) g)
b) d) f) h)
9. Realiza las siguientes operaciones:a) n)
b) o)
c) p)
d) q)
e) r)
f) s)
g) t)
h) u)
i) v)
j) w)
k) x)
l) y)
m) z)
10. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones:
a) g)
b) h)
c) i)
d) j)
e) k)
f) l)
11. Redondea los siguientes nmeros:a) 4'89 hasta las dcimas.b)
5'286 hasta las centsimas.c) 1'1362 hasta las milsimas.d) 4'26177
hasta las diezmilsimas.e) 1'2716251 hasta las millonsimas.
3 4 5 2a 2ax
=
=
5 4
3
1 8a
2x 4y 3y 2x
=
=
6
a b 2 16
=
=
5 2
6 5 6 2
12 8a b
3 a b c
=
=
3 3 3 3
55 9 3 7 2 2 2 4 2 4 310 4
3 3 3 3
5 6 3 4 5 3 49 6
43 2 1 4 39
2 33
3 18 2 8
5 20 2 245 3 5
5 48 3 3645 2 384 4 1715
9 2b x y z a x y z 6 a b x z4 3
1 2 3 124 54 375 1282 3 5 4
1 4 1 8a b z ab c 3 a c z2 3 3 9
24 54 150
1 2a x y : a xz5 3
1 x y z 32
+ =
+ =
+ =
=
+ =
=
+ =
=
5 2 3 6 24
73 34 6 33
3 2 235
5
3 3 3 3
x y z 8xy z
3 2 4 8 32 50
a 2 5a 27 b c a8 3 3
4x y x y 2 :2mzmz
2 8a 3 128a 72a 2 32a
=
+ + =
+ =
=
+ =
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
6 4
3
2
2 48 3 12 75 300
32 18 98
4 -320 10 -40 2 -54 3 -1024
1 13 108 625 1715 4 3210 7
3 3 1 3625 192 1715 1536 5 2 7 8
2 2 2 184 3 18 625 9 3 16
2 8 4 72 7 18
1 12x : 16x2 4
5 3 x36x 9x2 5 4
10 2a
+ + + =
+ =
+ =
+ + =
+
+ =
+ =
=
+ =
2 2 2
3 4 4 2 3 5 25 10
3 37 2 4 23
3 8a 32a 2 18a
4 1 13 4m p m p x 2mp x5 2 6
1 25 2 492 8 3 18
3 a a a 5a a 3a 27a
=
=
=
+ =
( ) ( )
3 42 5 2 3
6 45 4 5
3 5 2
6 4 3
3 2 3
3 5 4
5 4 4 63
7 5
3 2 3
b a a b
7 x 4 x 25 x
25b a b4a b
a bc bca c
32a b 54a c:81c 9b
a a : a a
=
=
=
=
=
=
3 24
3 2 2
3 33
3 2 5 4 3 2 4
3
4 3 6 33
7 4
4 2 3 4
x y : xy
6 a b :3 ab
abc abab
c b a b cac
a b a cc b
15 a b c :3 abc
=
=
=
=
=
=
-
12. Racionaliza el denominador:
a) d) g) j)
b) e) h) k)
c) f) i) l)
13. Calcula:
a) c) e) g)
b) d) f) h)
14. Qu operacin previa es preciso realizar para multiplicar o
dividir radicales de distinto ndice? Cmo se efecta?
15. Qu propiedad se emplea en la simplificacin de radicales?
16. Qu se entiende por radicales semejantes? D si se pueden
transformar en semejantes
17. Son iguales?a) b) c) d)
18. Razona si son ciertas las siguientes igualdades:
a) b) c)
19. Calcula la raz sptima de 1280000000.
20. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
21. Indica si son ciertas las siguientes igualdades razonando tu
respuesta:a) Todo nmero racional es un decimal exacto.b) Todo nmero
irracional es un decimal no peridico.c) Todo nmero real es un
decimal ilimitado peridico o un decimal ilimitado no peridico.
22. Escribe en cada caso, si es posible, un nmero que verifique
las siguientes condiciones:a) No racioanl, real, mayor que 0 y
menor que 1.b) Racional, negativo y peridico puro.c) No real,
entero y menor que 0.d) Racional que no tenga expresin
fraccionaria.
23. Responde razonadamente:a) Puede ser negativo el error
absoluto?b) Es cierto que el redondeo del nmero 09999... a
cualquier cifra es siempre 1?c) Puede suceder que dos nmeros
diferentes tengan el mismo redondeo?d) Es posible que un nmero
tenga dos aproximaciones distintas a un mismo orden de unidad?e)
Cul es el error mximo cometido si se redondea un nmero a las
milsimas?
LOS NMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA48
3 2
3
122
3 2aa
=
=
=
3 2
5 2 3
62b
aa
aab c
=
=
=
3
5
7 4 5 2
5 33
15
3n a b c
=
=
=
6 4
4 2 3
3 27
3mn 27mn
22 3 18x
32x y
=
=
=
3 2
12
b
ab
=
=
4 3 18
24 4
a
32a
=
=
3 4
73 3
a
8
=
=
4 5 3 2 3
123
a bc
abc
=
=
2 5 35x y xy, 9x y .
35 y 25. 59 y 234. 42 y 4. 8 y 2 2.
3 92 8= 214 4 27
= = 49 48 49 48 1 1 = = =
3 2 2
43 4 3
83 2 4 2 4 7 25
x x x x
16x
1 32 m n p m n p m n5 8
3 28 1 2 643434 25 3 5 4
=
=
=
+ =
343 3 2 2
8 4
2 4 3 5 3 25
2 34
a b ab a b
2 4 8
1 2 m n y : 16m n y3 5
3x y : 3xy
=
=
=
=
4
4 4 4
43 4 3
3x : 3x
1 3 532 162 12502 4 4
1 1 427 5 3
16x
=
+ =
=
=
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
-
SUCESIONESCOLEGIO VIZCAYA 49
Una sucesin es un conjunto de nmeros ordenados. Conoces
muchassucesiones, como la de los nmeros naturales 1,2,3,4,5; los
nmerospares 2,4,6,8; o los mltiplos de cinco 5,10,15,20,25En la
evolucin de la matemtica las sucesiones son tan antiguas como
losnmeros naturales y sirven para estudiar, representar y predecir
fenmenosque ocurren en el tiempo de forma intermitente.
Una de las sucesiones ms famosas que existen esla llamada
sucesin de Fibonacci. Esta sucesinsurgi cuando el matemtico
italiano Leonardo dePisa (1180-1250), conocido como Fibonacci
("hijo deBonaccio") plante el siguiente problema en su libroLiber
abaci ("Libro del baco"):
Fibonacci.
"Una pareja de conejos tarda un mes enalcanzar la edad frtil, a
partir de esemomento cada vez engendra una parejade conejos, que a
su vez, tras ser frtilesengendrar cada mes una pareja deconejos.
Cuntos conejos habr alcabo de un determinado nmero demeses?"Si
hacemos un recuento de los conejosque tenemos cada mes obtenemos
lasiguiente sucesin:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
Como puedes observar cada trmino es igual a la sumade los dos
anteriores. Esta sucesin es muy importante yaque aparece con mucha
frecuencia en la naturaleza.Por ejemplo:
- Cualquier variedad de pia presenta siempre un nmero
deespirales que coinciden con dos trminos de la sucesin
deFibonacci.
- Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen
buscandosiempre recibir el mximo de luz para cada una de ellas.
Poreso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
Ladistribucin de las hojas alrededor del tallo de las plantas
seproduce siguiendo secuencias basadas en esta sucesin.
Pares de conejos1
11 mes22 mes
33 mes54 mes85 mes
-
SUCESIONES COLEGIO VIZCAYA50
PPARAARA EMPEZAREMPEZAR
Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) b) c) d)
Calcula el valor numrico de las siguientes expresiones
algebraicas:a) 6 (n - 1) - 5 para n = 8b) - 5n - 2 para n = 10c) 2
3n para n = 4
1.
2.
( )0 4 3
3 7 2 14 32 3 5
= = = =
PPARAARA APRENDERAPRENDER
1. SUCESIONES DE TRMINOS REALES.
Observa las siguientes colecciones de nmeros ordenados, seras
capaz de deducir cules van a ser lossiguientes tres nmeros?
a) 1,2,3,4,5,6, d) 1,4,9,16,25,36,
b) 2,4,6,8,10,12, e) 1,1,2,3,5,8,13,
c) 3,5,7,9,11,13,
A estas colecciones de nmeros que se comportan siempre
cumpliendo un determinado orden, es decir,guardan una regularidad
les llamamos sucesiones. Cada uno de los nmeros que forman la
sucesin sellama trmino y se designan mediante una letra con un
subndice que indica el lugar que ocupa en la sucesin:
a) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 6,
b) a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, a6 = 12,
c) a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 9, a5 = 11, a6 = 13,
d) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, a5 = 25, a6 = 36,
e) a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8,
2. TRMINO GENERAL DE UNA SUCESIN.
Vamos a considerar la sucesin de los nmeros pares 2,4,6,8,10,12,
y vamos a determinar la reglageneral que nos permite calcular todos
sus trminos:
a1 = 2 = 2 1a2 = 4 = 2 2a3 = 6 = 2 3a4 = 8 = 2 4a5 = 10 = 2 5a6
= 12 = 2 6.
an = 2 n Trmino general
Esta ltima expresin se conoce como trmino general de la
sucesin.
Una sucesin de nmeros reales es un conjunto infinito de nmeros
ordenados, cadauno de los