1 -Apostila Função(2)

Função Afim

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x R. A lei que define ∈função afim é:

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

Domínio: D = RImagem: Im = R

São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.

Função linear

Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a R ∈tal que f(x) = ax para todo x R. A lei que define uma função linear é a seguinte:∈

O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

Domínio: D = RImagem: Im = R

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Função constante

Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x R. A lei que define uma função constante é:∈

O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

Coeficientes numéricos

Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.

• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.

Quando a > 0, a função é crescente.Quando a < 0, a função é decrescente.

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• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).

Função Módulo

Inicialmente definimos módulo de um número real como |x| , ou valor absoluto de x.

Entende-se módulo como: , assim o significado destas sentenças é:

i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.

Exemplo:

|1| = 1 , |–3| = 3 , |+5| = 5, – | – 1| = –1.

Conseqüências importantes:

Função Modular é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|

Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:

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Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.

Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau ,

sendo f(x) = |x2 – 4| , assim : , assim temos o gráfico:

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Dado um conjunto X = {a, b, c, d ,e} e Y = { A, B, C , D , E}, definida como a função (f) que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo.

Assim temos uma função bijetora do tipo:f = { (a,A) , (b,B) , (c,C) , (d,D) , (e,E) }

Onde o domínio de f é: Dom(f) = X eImagem de f é: Im(f) = Y.

Agora iremos definir uma função f -1 como sendo a função que associa cada letra maiúscula ao seu correspondente em minúsculo.

Assim temos uma função bijetora do tipo:f = { (A.a) , (B,b) , (C,c) , (D,d) , (E,e) }

Onde o domínio de f é: Dom(f-1) = Y eImagem de f é: Im(f-1) = X.

Definindo função inversa, se f é uma função bijetora assim para cada x tem-se um y correspondente, assim a inversa de f é a função f-1 que define que para cada y teremos um correspondente x.

Assim sempre teremos que o domínio de f será a imagem de f-1 , e a imagem de f será o domínio de f-1.

Regra prática: Sendo uma função bijetora f(x) = y teremos que a inversa de f, que será representada por f-1, será f(y) = x, ou seja f-1(x) = y.

Exemplo prático:

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Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6, teremos que a inversa de f(x), ou seja f-1(x), será

, pois y = 3x + 6 → para a inversa x = 3y + 6 , então .

Calcular f(3) temos f(3) = 3.3 + 6 = 15.

Agora ao calcularmos f-1(15) = (15-6)/3 = 3 . Assim percebe-se a relação entre a função e a sua inversa.

Conseqüência gráfica para este exemplo. (que pode ser generalizada)

Inequação do 1º grau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b ≥ 0;ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0x – 10 ≤ 02x + 5 ≤ 012 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

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Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:-2x > -7Multiplicando por (-1)

2x < 7x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x - 6 < 0.

Solução:2x < 6x < 6/2x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:-2x + 7 > 0-2x + 7 = 0x = 7/2

Exemplo 2:2x – 6 < 02x - 6 = 0x = 3

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Inequação do 2º grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax² + bx + c > 0;ax² + bx + c < 0;ax² + bx + c ≥ 0;ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

a > 0 a < 0

Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.

Solução:-x² + 4 = 0.x² – 4 = 0.

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x1 = 2x2 = -2

Função Seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função seno à função que associa a cada x R o número (sen∈ x) R. Indicamos essa função por:∈

f(x) = sen(x)

O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:- Domínio: R- Imagem: [-1;1]- Período: 2πrad

Função Co-seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função que associa a cada x R o número (cos∈ x) R. Indicamos essa função por:∈

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f(x) = cos(x)

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:- Domínio: R- Imagem: [-1;1]- Período: 2πrad

Função Tangente

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função tangente à função que associa a cada x R/x ≠ π/2+kπ o número (tg∈ x) R. Indicamos essa função∈ por:

f(x) = tg(x)

O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Observe o gráfico da função f: R → R abaixo:

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Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo:

Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem:

Se uma função é so crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é injetora.

Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.

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Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B

Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B

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Exercícios

01- Dada a função F(x) = 7x-3 , com R em R obtenha : a) f ( 2) d) f ( -1 ) h) f ( 1/3 )

b) f ( 6 ) e ) f ( ) g) f ( a+ b)

c) f ( 0 ) f ) ( )

02 – Dada a função f ( x ) = 2x -3 . a) f ( 3 ) b) o valor de x tal que f( x) = 49 c) o valor de x tal que f(x) = -10 c) f ( -4 )

03- Seja a função dada pela sentença f(x) = 2x sendo o domínio A { 1,2,3,4,5,6} Determine a imagem de A em R .

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04- Dada a função f(x) = x2 , obtenha f (x0) e f( x0 + h )

05- Dada a função f(x) = x2 -4x +10 , obtenha os valores de x cuja imagem é 7 .

06- Dada a função f (x) = m x +3 , determine m sabendo que f( 1 ) = 6

07 – Faça o gráfico da função f(x) = 2x+1 , com D= { 0,1,2,3,4}.

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08-Faça o gráfico de f(x) = x2 +1 , sendo D={ -3,-2,-1,0,1,2,3} , Qual é o seu conjunto imagem ?

09-Qual é o gráfico da função f(x) = 3 , sendo R em R

10- Esboce o gráfico da função f , de domínio R dada por :

f(x) =

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11-Uma livraria vende uma revista por $ 5,00 a unidade . Seja x a quantidade vendida .a) Obtenha a função receita R(x)

b) Calcule R ( 40)

c ) A quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a $ 700,00 ?

12- O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100+2x .

a) Qual é o custo de fabricação de 10 unidades ?

b) Qual é custo de fabricação de 15 unidades ?

Resolva o exercício acima considerando a função custo

C =

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