Page 1
1
แผนการจดการเรยนรท 1 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง สมบตของ√ เมอ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. อธบายเกยวกบกรณฑทสองได จดประสงคการเรยนร
1. นกเรยนสามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได สาระส าคญ สมบตของ √ เมอ
1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสองแลวได
และถา รากทสองของ คอ 2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนสญลกษณ
√ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √ 3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √
4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ 5. เมอ และ แลว √ √ √
6. เมอ และ แลว √
√ √
สาระการเรยนร ดานความร
สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได คณลกษณะอนพงประสงค
1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
Page 2
2
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครทบทวบความหมายของรากทสองและการใชเครองหมายกรณฑ โดยการถามตอบและยกตวอยางประกอบ เพอน านกเรยนเขาสบทเรยนเรอง สมบตของ √ เมอ ดงน
ตวอยางท 1
2 เปนรากทสองของ 4 เพราะ 22 4
2 เปนรากทสองของ 4 เพราะ 22 4
เปนรากทสองของ
เพราะ (
)
เปนรากทสองของ
เพราะ (
)
กจกรรมพฒนาผเรยน
2. เมอนกเรยนเขาใจตวอยางท 1 แลว ครใหนกเรยนสงเกต
และ
ซงจะเหนวาจ านวนทงสอง
เปนรากทสองของ
ครจงอธบายวา
ตวอยางท 2 รากทสองของ มสองรากคอ √ และ √ หรอ และ
1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสองแลวได
และถา รากทสองของ คอ
2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนดวยสญลกษณ √ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √
Page 3
3
รากทสองของ
มสองรากคอ √
และ √
หรอ
และ
รากทสองของ มสองรากคอ √ และ √ ซงทงสองรากน เปนจ านวนอตรรกยะ
ตวอยางท 3 (√ )
( √ )
(√
)
( √ )
3. ครอธบายโดยสรปวา เนองจาก เมอ เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ รากทสองของ คอจ านวนจรง ทยกก าลงสองแลวได และ √ และ √ ดงนน รากทสองของ คอ √
4. ครทบทวนความรเกยวกบ คาสมบรณของจ านวนจรง ดงน
ครยกตวอยางเพอตรวจสอบความเขาใจ ตวอยางท 4
| | เพราะ | | เพราะ
3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √
คาสมบรณของจ านวนจรง 1. | | เมอ 2. | | เมอ 3. | | เมอ
4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ
Page 4
4
ตวอยางท 5 จงหาคาของ √ วธท า เนองจาก √ √ | |
ดงนน √
ตวอยางท 6 จงหาคาของ √ วธท า เนองจาก √ √ √
| |
ดงนน √ ตวอยางท 7 √ √
วธท า เนองจาก √ √ √
√
√
√
ดงนน √ √
ตวอยางท 8 √
√
เนองจาก √
√ √
√
√
ดงนน √
√
กจกรรมรวบยอด 5. คร และนกเรยนรวมกนสรปสมบตของ √ เมอ ดงน
5. √𝑎√𝑏 √𝑎𝑏 เมอ 𝑎 , 𝑏
6. √𝑎
√𝑏 √
𝑎
𝑏 เมอ 𝑎 , 𝑏
Page 5
5
6. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.1 และ Exersice1 (Chapter 7) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและประเมนผล
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได
- แบบฝกหด 1.1 - Exersice1 (Chapter 7)
- แบบฝกหด 1.1 - Exersice1 (Chapter 7)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 1.1 - Exersice1 (Chapter 7)
- แบบฝกหด 1.1 - Exersice1 (Chapter 7)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
สมบตของ √𝐚 เมอ 𝐚 𝟎 1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสอง
แลวได และถา รากทสองของ คอ 2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซง
แทนสญลกษณ √ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √ 3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √
4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ 5. เมอ และ แลว √ √ √
6. เมอ และ แลว √
√ √
Page 6
6
แผนการจดการเรยนรท 2 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
แสดงการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ
จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถบวก ลบ คณ และหารจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองทก าหนดใหได
สาระส าคญ
การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง
การบวก และการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ มสมบตดงน
สมบตการสลบทส าหรบการบวก
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก
√ √ √ √ √ √
สมบตการสลบทส าหรบการคณ
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการคณ
√ √ √ √ √ √
สมบตการแจกแจง
√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )
สาระการเรยนร ดานความร
สามารถบวก ลบ คณ และหารจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองทก าหนดใหได
Page 7
7
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ
1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน 1. ครทบทวนเรอง สมบตของรากทสองของจ านวนจรงท เรยนในคาบทแลว โดยยกตวอยางเปน การทบทวน กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครอธบายใหนกเรยนฟงวา การด าเนนการของจ านวนจรงทอยในรปกรณฑทสอง เราจะใชสมบตของ √ เมอ และใชสมบตการสลบท การเปลยนหมและการแจกแจงมาชวยในการหาค าตอบได
√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )
การบวก และการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ มสมบตดงน
สมบตการสลบทส าหรบการบวก
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก
√ √ √ √ √ √
สมบตการสลบทส าหรบการคณ
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการคณ
√ √ √ √ √ √
สมบตการแจกแจง
Page 8
8
𝑎√𝑥 𝑏√𝑥 𝑎 𝑏 √𝑥
𝑎√𝑥 𝑏√𝑥 𝑎 𝑏 √𝑥
3. ครอธบายหลกการบวกและการลบจ านวนจรงทอยในรปกรณฑทสอง ดงน การบวกและการลบ
***หลกการ*** ตองเปนกรณฑเดยวกน แลวน าสมประสทธมาบวกหรอลบกน
4. ครยกตวอยางโจทยการบวกจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 1-2 โดยในตวอยางท 2 ครเนนย าวาในกรณทหาคาเปนจ านวนจรงได ใหหาคาออกมาเสยกอนแลวน าจ านวนจรงทคณ √ มาบวกกน ตวอยางท 1 จงหาผลบวก √ √ วธท า เนองจาก √ √ √
√ ดงนน √ √ √
5. ครยกตวอยางโจทยการลบจ านวนจรงอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 3-4 ตวอยางท 2 จงหาผลลบ √ √ วธท า เนองจาก √ √ √ √
( √ ) √ √ √ √ √
ดงนน √ √ √ 6. ครยกตวอยางโจทยการหาผลบวกและผลลบของจ านวนจรงทอย ในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 6-7 ตวอยางท 3 จงหาผลลพธ √ √ √ วธท า เนองจาก √ √ √
√ √ √ √ ( √ ) √ √ √ √ √ √
Page 9
9
ดงนน √ √ √ √ 7. ครยกตวอยางโจทยการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ โดยใชสมบตของการคณในการหาผลลพธใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 8 ตวอยางท 4 จงหาผลคณ √ √
วธท า เนองจาก √ √ √ √
ดงนน √ √
8. ครยกตวอยางโจทยการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท5
ตวอยางท 5 จงหาผลลพธ √
√
วธท า เนองจาก √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
ดงนน √
√
√
9. ครอธบายวาในการหาผลลพธของตวอยางท 6 นกเรยนจะตองใชสมบตการแจกแจงโดยแจกแจง √ เขาไปในวงเลบแลวจงหาค าตอบของตวอยางท 6 ตวอยางท 6 จงหาผลลพธ √ √ √ วธท า เนองจาก √ ( √ √ ) ( √ √ ) √ √
√ √
Page 10
10
√
ดงนน √ √ √
ตวอยางท 7 จงหาคาของ √
√
วธท า เนองจาก √
√ √
√
√
√
√
√
√
√
ดงนน √
√
√
10. ครใหขอสงเกตวา การท าใหตวสวนทอยในรปกรณฑเปนจ านวนเตม ชวยใหการค านวณสะดวกขน เนองจากการหารจ านวนใด ๆ ดวยจ านวนเตมท าไดสะดวกกวาการหารดวยทศนยมทเปนคาประมาณของจ านวนทอยในรปกรณฑ กจกรรมรวบยอด
11. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.2 และ Exersice3 (Chapter 7) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
การคณดวย √
√ เปนการคณดวย 1
จงไมท าใหคาของ
√ เปลยนไป
Page 11
11
การวดและประเมนผล
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได
- แบบฝกหด 1.2 Exersice3 (Chapter 7)
- แบบฝกหด 1.2 - Exersice3 (Chapter 7)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 1.2 - Exersice3 (Chapter 7)
- แบบฝกหด 1.2 - Exersice3 (Chapter 7)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 12
12
แผนการจดการเรยนรท 3 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง การน าไปใชวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
ใชความรเกยวกบกรณฑทสองในการแกปญหาในชวตประจ าวน
จดประสงคการเรยนร
1.นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบกรณฑทสองไปใชในการแกปญหาได
2. นกเรยนตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได
สาระส าคญ
สมบตของ √ เมอ
1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสองแลวได
และถา รากทสองของ คอ
2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนสญลกษณ
√ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √
3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √
4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ
5. เมอ และ แลว √ √ √
6. เมอ และ แลว √
√ √
การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง
Page 13
13
การบวก และการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ มสมบตดงน
สมบตการสลบทส าหรบการบวก
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก
√ √ √ √ √ √
สมบตการสลบทส าหรบการคณ
√ √ √ √
สมบตการเปลยนหมส าหรบการคณ
√ √ √ √ √ √
สมบตการแจกแจง
√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )
สาระการเรยนร ดานความร
1. สามารถน าความรเกยวกบกรณฑทสองไปใชในการแกปญหาได
2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได คณลกษณะอนพงประสงค
1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล
3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครและนกเรยนรวมกนสนทนาทบทวนความรเกยวกบสมบตของรากทสอง และการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ
2. ครตงค าถามกระตนความคดของนกเรยนเกยวกบการน าความรเรองกรณฑทสองมาประยกตใชแกปญหา ดงน
Page 14
14
นกเรยนคดวา นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบเรองกรณฑทสองไปแกปญหาในเรองใดบาง (ตามประสบการณการเรยนรของนกเรยน) เพอน านกเรยนเขาสบทเรยนเรอง การน าไปใช กจกรรมพฒนาผเรยน
3. ครยกตวอยางการน าความรเรองกรณฑทสองไปใช ดงน ตวอยางท 1 บนไดอนหนงวางพาดขอบหนาตางพอด ระยะทางจากโคนบนไดถงตกเทากบ 20 เมตร และบนไดอยสงจากพน 12 เมตร จงหาวาบนไดยาวกเมตร ก าหนดให AB 12 เมตร BC 20 เมตร หา AC วธท า ให เปนรปสามเหลยมมมฉาก ม เปนมมฉาก จากทฤษฎบทของพทาโกรส AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 202 = 144 + 400
= 544 ดงนน AC = √ เนองจาก √ = √ = √ √
= 4√ ดงนน บนไดยาว 4√ เมตร ตวอยางท 2
กลองทรงลกบาศกใบหนงมแตละดานยาว 12 นว ดงรป จงหา AC ยาวเทาใด
12
12
12
A
D C
B
Page 15
15
วธท า จากรป เปนรปสามเหลยมม เปนมมฉาก
เปนรปสามเหลยมม เปนมมฉาก และ นว เนองจาก BC2 = BD2 + DC2 = 122 + 122 = 144 + 144 = 288 เนองจาก AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 288 = 144 + 288 = 432
ดงนน AC = √ เนองจาก √ = √ = √ √
= 12√ ดงนน AC ยาว 12√ นว ตวอยางท 3 ลานกฬากลางแจงรปวงกลมสองแหง ส าหรบผใหญและเดกมพนท 200 ตารางเมตร และ 50 ตารางเมตรตามล าดบ จงหาวารศมของลานกฬาส าหรบผใหญยาวกวาเดกกเมตร วธท า ก าหนดให รศมลานกฬาส าหรบผใหญเปน 1r เมตร รศมลานกฬาส าหรบเดกเปน 2r เมตร จะได พนทวงกลมลานกฬาส าหรบผใหญ 200 เมตร 2
1r 200 เมตร 2
1r 200 เมตร
1r 200 210 จะได พนทวงกลมลานกฬาส าหรบเดก 50 เมตร
Page 16
16
2
2r 50 เมตร
2
2r 50 เมตร
2r 50 25
ดงนนรศมลานกฬาของผใหญยาวกวารศมลานกฬาของเดก 21 rr
25210 25 นนคอ รศมลานกฬาของผใหญยาวกวารศมลานกฬาของเดก 25 เมตร กจกรรมรวบยอด
6. ใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.3 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3
การวดและประเมนผล เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ - สามารถน าความรเกยวกบกรณฑ
ทสองไปใชในการแกปญหาได
- ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได
แบบฝกหด 1.3 แบบฝกหด 1.3 ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
แบบฝกหด 1.3 แบบฝกหด 1.3 ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 17
17
แผนการจดการเรยนรท 4 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
แยกตวประกอบของพหนามดกรสอง
จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได
สาระส าคญ
การแยกตวประกอบพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง สามารถแสดงไดดงน เมอ และ เปนพหนาม สาระการเรยนร ดานความร สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร
Page 18
18
กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครทบทวนเรอง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปผลตางกาลงสอง สามารถใชสตรการแยก ตวประกอบไดดงน เมอ และ เปนพหนาม
หรอ (พจนหนา)2 – (พจนหลง)2 = (พจนหนา – พจนหลง)(พจนหนา + พจนหลง) 2. ครยกตวอยาง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปผลตางกาลงสอง ดงน
3. ครทบทวน สมบตบางประการของจ านวนจรง ดงน เชน 5 = √ กจกรรมพฒนาผเรยน
3. ครเขยนตวอยางบนกระดานพรอมทงใหนกเรยนพจารณาตวอยางการแยกตวประกอบของ พหนามดกรสองทเปนผลตางก าลงสอง
ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ
วธท า √ √
√ √
ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ
วธท า (√ ) (√ )
ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ
วธท า (√ )
√
√ เมอ
Page 19
19
√ √
√ √ กจกรรมรวบยอด
4. คร และนกเรยนรวมกนสรป เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง ดงน
ในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ถาตวประกอบทไดเปนพหนามดกรหนงทมพจนหนาและพจนหลงเหมอนกน แตมเครองหมายระหวางพจนตางกน จะเรยกพหนามดกรสองทมลกษณะนวา พหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง หรออาจกลาวไดวา ถาให แทนพจนหนา และ แทนพจนหลง สามารถสรปเปนสตรของการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรปของผลตางก าลงสองไดดงน
5. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.1 และ Exersice1 (Chapter 8) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
Page 20
20
การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ สามารถแยกตวประกอบของ พหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได
- แบบฝกหด 2.1 - Exersice1 (Chapter 8)
- แบบฝกหด 2.1 - Exersice1 (Chapter 8)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 2.1 - Exersice1 (Chapter 8)
- แบบฝกหด 2.1 - Exersice1 (Chapter 8)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 21
21
แผนการจดการเรยนรท 5 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ สาระส าคญ
การแยกตวประกอบพหนามดกรสองทอยในรปก าลงสองสมบรณ สามารถแสดงไดดงน เมอ และ เปนพหนาม
สาระการเรยนร
ดานความร
สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา
2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร
Page 22
22
กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครทบทวนเรอง การแยกตวประกอบของพหนามทเปนก าลงสองสมบรณ สามารถใชสตรการแยกตวประกอบไดดงน
2. ครยกตวอยาง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปก าลงสองสมบรณ ดงน
กจกรรมพฒนาผเรยน
3. ครยกตวอยาง ใหนกเรยนพจารณาดงน นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของ ไดดงน
เนองจาก ดงนนเมอตองการเขยน ใหมบางสวนเปนก าลงสองสมบรณ จะตองจดเปน จากนนเพมพจน เขาไป และเพอใหไดพจนเทาเดม กหกออกดวยพจน ดงน
]-
ดงนน แยกตวประกอบของ ไดดงน ]-
การแยกตวประกอบดวยวธขางตนนเรยกวา วธก าลงสองสมบรณ 4. ครอธบายวา การแยกตวประกอบโดยวธกาลงสองสมบรณ ใชแยกตวประกอบของพหนามดกรสองบางพหนามทไมสามารถแยกโดยวธปกตได ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ
Page 23
23
วธท า
√
√ √
( √ ) √
ดงนน ( √ ) √ ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ
วธท า ( )
(
) (
) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(√ )
( )
(√
)
( ( )
√
) ( ( )
√
)
( √
) (
√
)
ดงนน ( √
) (
√
)
5. ครอธบายวา ในการแยกตวประกอบของพหนาม เมอ ท า ไดโดยวธ ก าลงสองสมบรณ ส าหรบในกรณท และ เราสามารถใชวธนในการแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสมบตการแจกแจงท าใหสมประสทธของ ใหเปน 1 กอน ดงตวอยาง ตอไปน
Page 24
24
ตวอยางท 3
จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ
วธท า *
+
*( )
+
[ ( ) (
)
] ( )
[( )
]
[( )
(
)]
[( )
(
)]
[( )
(
)]
[( )
(
)
]
*( )
+ *( )
+
(
) (
)
( )
ดงนน
Page 25
25
ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ
วธท า *
+
[ –
(
)
] (
)
[(
)
(
) ]
[(
)
(
)]
[(
)
( )
]
*(
) (
)+
–
– –
ดงนน – –
Page 26
26
กจกรรมรวบยอด
6. คร และนกเรยนรวมกนสรป เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง บางครงเราไมสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธการปกตได จงตองแยกตวประกอบโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ โดยการใหพจนท 1 และ 2 อยในรปก าลงสองสมบรณและน าครงหนงของสมประสทธของตวแปรยกก าลงหนงบวกเขาและลบออก และใชความสมพนธของสตรผลตางก าลงสองทวา
A2- B
2 = (A + B)(A - B)
7. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.2 และ Exersice2 (Chapter 8) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได
- แบบฝกหด 2.2 - Exersice2 (Chapter 8)
- แบบฝกหด 2.2 - Exersice2 (Chapter 8)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 2.2 - Exersice2 (Chapter 8)
- แบบฝกหด 2.2 - Exersice2 (Chapter 8)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 27
27
แผนการจดการเรยนรท 6 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม จดประสงคการเรยนร
นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตมได สาระส าคญ
การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม สามารถด าเนนการแยกตวประกอบพหนามไดโดยใชสตรผลตางก าลงสอง หรอผลตางและผลบวกก าลงสาม ดงน ผลตางก าลงสอง
A2 – B2 = (A – B)(A + B) ผลบวกก าลงสาม
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) ผลตางก าลงสาม
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) สาระการเรยนร
ดานความร
สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
Page 28
28
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา
2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครทบทวน เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเรยนมาแลวโดยการถาม-ตอบ กจกรรมพฒนาผเรยน
2. ใหนกเรยนพจารณาการหาผลคณของพหนามดงตอไปน
3. ครใหนกเรยนพจารณาผลทไดจากการหาผลคณของพหนามขางตน ดงน
4. ครอธบายวา
พหนามทอยในรป A3 + B3 เรยกวา ผลบวกของก าลงสาม เชน x3 + 53
พหนามทอยในรป A3 – B3 เรยกวา ผลตางของก าลงสาม เชน (2x)3 – 33
ซงจากการพจารณาขางตน สรปไดวาอยางไร จนไดขอสรปดงน
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Page 29
29
5. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดศกษาวธการแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสองโดยใชผลตางก าลงสาม และผลบวกก าลงสาม ดงน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบ 27x3 + 1
วธท า 27x3 + 1 = (3x)3 + 13
= (3x + 1)[ (3x)2 – (3x)(1) + 12 ]
= (3x + 1)(9x2 – 3x + 1 )
ดงนน 27x3 + 1 = (3x + 1)(9x2 – 3x + 1 )
ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบ 8x3 – 125
วธท า 8x3 – 125 = (2x)3 – 53
= (2x – 5)[ (2x)2 + (2x)(5) + 52 ]
= (2x – 5)((2x)2 + 10x + 52 )
= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25 )
ดงนน 8x3 – 125 = (2x – 5)(4x2 + 10x + 25 )
6. ครอธบายวา การแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสอง บางครงอาจท าไดโดยการจด พหนามนนใหอยในรปก าลงสองสมบรณ ผลตางของก าลงสอง ผลบวกของก าลงสาม หรอผลตางของก าลงสาม
7. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดศกษาวธการแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสอง ดงน ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบ 16x4 – 81
วธท า 16x4 – 81 = (4x2)2 – 92
= (4x2 + 9)( 4x2 – 9)
= (4x2 + 9) [ (2x)2 – 32 ]
= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
ดงนน 16x4 – 81 = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)
ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบ x4 + x2 +1 วธท า x4 + x2 +1 = [ (x2)2 + 2(x2)(1) + 12 ] – x2
Page 30
30
= (x2 + 1)2 – x2 = [(x2 + 1) + x] [(x2 + 1) – x] = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
ดงนน x4 + x2 +1 = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบ x6 – 64
วธท า x6 – 64 = (x3)2 – 82 = (x3 + 8) (x3 – 8) = [(x + 2)(x2 – 2x + 1)] [(x – 2)(x2 + 2x + 1)] = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1)
ดงนน x6 – 64 = = (x + 2)(x – 2)(x2 – x + 1)(x2 + 2x + 1) กจกรรมรวบยอด
8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.3 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3
การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม
แบบฝกหด 2.3 แบบฝกหด 2.3 ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
แบบฝกหด 2.3 แบบฝกหด 2.3 ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 31
31
แผนการจดการเรยนรท 7 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
แยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ
จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอได
สาระส าคญ ทฤษฎบทเศษเหลอ
ถาหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลวจะไดเศษเหลอเปน P(c) ในกรณทหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลว P(c) = 0
กลาวคอ (x - c) จะเปนตวประกอบหนงของ P(x) สาระการเรยนร
ดานความร สามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใช
ทฤษฎบทเศษเหลอได คณลกษณะอนพงประสงค
1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา
Page 32
32
2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน
1. ครทบทวนเรอง การหารพหนาม โดยพจารณาจากการหารพหนาม ดวยพหนาม ดงน
พจารณาการหารสงเคราะห
จากการหารขางตน จะเหนวาเมอหารพหนาม ดวยพหนาม จะไดเศษเปน 6 ให เมอแทน x ดวย 2 จะได
กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครอธบายวา ในกรณทวไป เมอหารพหนาม ใดๆ ดวยพหนาม ท เปนคาคงตว จะไดเศษ ซงตอไปนจะเรยกวา เศษเหลอ ดงทฤษฎบทตอไปน 3. ครยกตวอยางการใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทไดจากการหาร ดวย ใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม – ตอบ ประกอบการอธบายตวอยางท 1 โดยถามนกเรยนดงน ตวอยางท 1 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอทไดจากการหาร P(x) ดวย x – a ท a เปนคาคงตว
ทฤษฎเศษเหลอ ถาหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม x – a ท a เปนคาคงตว แลวจะไดเศษเหลอเปน P(a)
Page 33
33
หารดวย
วธท า ให
จากทฤษฎบทเศษเหลอ เปนเศษเหลอทไดจากการหาร ดวย
ดงนน เศษเหลอเทากบ - พหนามทเปนตวตงคอพหนามใด ( แนวค าตอบ )
- พหนามทเปนตวหารคอพหนามใด ( แนวค าตอบ )
จากนนครจงอธบายการหาคา โดยใหนกเรยนเขยนพหนามทเปนตวหาร ใหเทากบ 0 แลวแกสมการหาคา x ดงน
ซงคา จะเทากบ ครอธบายตอวาใหนกเรยนน าคา ทไดไปแทนใน นนกคอ ต าแหนงใดเปนตวแปร x ใหนกเรยนแทนคาเปน แลวค านวณผลลพธออกมา ผลลพธทไดกจะคอ เศษเหลอ ซงเทากบ 9 4. ครยกตวอยางการใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทไดจากการหารนาม ดวย โดยใชการถาม – ตอบกบนกเรยนแลวรวมกนแสดงวธท าตวอยางท 2 โดยครเขยนขนตอนและวธท า บนกระดาน แลวเดนสงเกตและคอยใหค าปรกษากบนกเรยนในระหวางการแสดงวธท าตวอยางท 2 ตวอยางท 2 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอทไดจากการหารพหนาม ดวย
วธท า ให
จากทฤษฎบทเศษเหลอ เปนเศษเหลอทไดจากการหาร ดวย
Page 34
34
ดงนน เศษเหลอเทากบ จากตวอยางท 2 จะเหนวาเมอหาร ดวย จะไดเศษเหลอเปน 0 แสดงวา หาร ไดลงตว ดงนน จะไดวา เปนตวประกอบของ
5. ครอธบายวา ในกรณทหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลว P(c) = 0
กลาวคอ (x - c) จะเปนตวประกอบหนงของ P(x) 6. ครอธบายวา การแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบท
เศษเหลอ มขนตอนดงน 1) หาจ านวนเตมทงหมดทหารพจนทเปนคาคงตวของพหนาม P(x) ไดลงตว 2) จากจ านวนเตมทหาไดในขอท 1 เลอกจ านวนเตม c ทท าให P(c) = 0 จะไดวา x – c เปนตว
ประกอบของ P(x) 3) น า x – c ทไดในขอท 2 ไปหารพหนาม P(x) ไดผลหารเปนพหนามใหมทไมซ ากบพหนาม
P(x) จะใหผลหารนเปนพหนาม Q(x) ซงดกรของพหนาม Q(x) จะนอยกวาดกรของพหนาม P(x) อย 1 และ P(x) = (x – c) Q(x)
4) ถาพหนาม Q(x) ทไดในขอ 3 เปนพหนามทมดกรสงกวาสองและสามารถแยกตวประกอบตอไปไดอกกแยกตวประกอบของพหนาม Q(x) โดยใชวธตามขนตอนในขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 หรอใชวธตามทไดเรยนมาในคาบกอนหนาน
7. ครยกตวอยางใหนกเรยนศกษาเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ ดงน ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ วธท า ให
พจนทเปนคาคงตวของ คอ จ านวนเตมทหาร 12 ไดลงตว คอ 1, -1, 2, -2, 3, -3 ,4, -4, 6, -6, 12 และ -12 พจารณา
แสดงวา เปนตวประกอบของ น า ไปหาร ไดผลหารเปน
ดงนน
Page 35
35
ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ วธท า ให พจนทเปนคาคงตวของ คอ
จ านวนเตมทหาร 24 ไดลงตว คอ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24 และ -24
พจารณา
แสดงวา เปนตวประกอบของ น า ไปหาร ไดผลหารเปน
ดงนน
กจกรรมรวบยอด 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า สอการเรยนร
1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3
Page 36
36
การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอได
แบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข
แบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข
ตรวจสอบความถกตอง และ
ความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค
- ใฝเรยนร
- มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และ
การท างาน
- เขาเรยน
- มสวนรวมใน
กจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา
- เมอครถาม นกเรยนมความ
กระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา
- การใหเหตผล
- ความสามารถในการ
สอสาร การสอความหมาย
แบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข
แบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข
ตรวจสอบความถกตอง และ
ความเขาใจ
Page 37
37
แผนการจดการเรยนรท 8 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง ทบทวนสมการก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยการแยกตวประกอบ
จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได สาระส าคญ สมการก าลงสองตวแปรเดยว
สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0
ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0
สาระการเรยนร ดานความร
แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน สมรรถนะส าคญ
Page 38
38
1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. ครทบทวนเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว ดงน สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c
เปนคาคงตว และ a 0 2. ครยกตวอยางสมการ แลวใหนกเรยนพจารณาวาสมการทก าหนด เปนก าลงสองตวแปรเดยวหรอไม
ดงน x + 8 = 20 (ไมเปนสมการก าลงสอง) x2 – 5x + 9 = 0 (เปนสมการก าลงสอง) 500a + 90 = 0 (ไมเปนสมการก าลงสอง) x2 + 10x + 20 = 0 (เปนสมการก าลงสอง)
3. ครอธบายวา ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปน จ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0
4. ครอธบายวา การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวทนกเรยนทราบมาแลวนนเปนวธทค าตอบของสมการเปนจ านวนตรรกยะ ซงเปนพนฐานความรทจ าเปนตอการเรยนรในบทน โดยในบทนจะใชการแยกตวประกอบโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณและผลตางก าลงสอง เพอขยายความรวาค าตอบของสมการก าลงสองตวแปรเดยวสามารถเปนจ านวนทอยนรปกรณฑได กจกรรมพฒนาผเรยน 5. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว ทมค าตอบของสมการเปนจ านวนตรรกยะ ตวอยางท 1 จงแกสมการ x2 + 3x + 2 = 0 วธท า x2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
ดงนน x + 1 = 0 หรอ x + 2 = 0 x = –1 หรอ x = –2
ตวอยางท 2
Page 39
39
จงแกสมการ 3x2 – 7x + 2 = 0 วธท า 3x2 – 7x + 2 = 0
(3x – 1)(x – 2) = 0
ดงนน 3x – 1 = 0 หรอ x – 2 = 0
x =
หรอ x = 2
6. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ และผลตางก าลง
สอง ตวอยางท 3 จงแกสมการ 4x2 – 3 = 0 วธท า 4x2 – 3 = 0
(2x)2 – √ = 0
(2x + √ ) (2x – √ ) = 0 ดงนน 2x + √ = 0 หรอ 2x – √ = 0
x = –√
หรอ x =
√
ตวอยางท 4 จงแกสมการ
วธท า =
= =
=
=
√
=
√ √ =
( √ ) √ =
ดงนน √ = หรอ √ = = √ หรอ = √
Page 40
40
กจกรรมรวบยอด 7. ครและนกเรยนรวมกนสรปวา สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน
ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกน
ของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0
8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 3.1 และ Exersice1 (Chapter 9) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได
- แบบฝกหด 3.1 - Exersice1 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.1 - Exersice1 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 3.1 - Exersice1 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.1 - Exersice1 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 41
41
แผนการจดการเรยนรท 9 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง การแกสมการก าลงสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแกสมการก าลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดย
วธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร x = √
สาระส าคญ
การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร
สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว
x = √
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ √
ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง
สาระการเรยนร ดานความร แกสมการก าลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลง
สองสมบรณ หรอใชสตร x = √
Page 42
42
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. คร และนกเรยนรวมกนหาค าตอบของสมการก าลงสอง โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ตวอยางท 1 จงแกสมการ x2 + 4x – 2 = 0
วธท า x2 + 4x – 2 = 0 [ x2 + 2(2)(x) + 22 ] – 22 – 2 = 0 ( x + 2 )2 – 4 – 2 = 0 ( x + 2 )2 – 6 = 0 ( x + 2 )2 – (√ )
= 0
[( x + 2 ) – √ ] [( x + 2 ) + √ ] = 0 ( x + 2 – √ ) ( x + 2 + √ ) = 0
ดงนน x + 2 – √ = 0 หรอ x + 2 + √ = 0 จะได x = – 2 + √ หรอ x = – 2 – √
2. ครใหนกเรยนระบวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ทก าหนดใหมคา a, b และ c เปนเทาใด x2 – 5x + 9 = 0 (a = 1, b = –5 และ c = 9)
x2 + 10x + 20 = 0 (a = 1, b = 10 และ c = 20) 3x2 + – 2 = 0 (a = 3, b = 0 และ c = –2)
4x2 – 5x = 0 (a = 4, b = –5 และ c = 0) x2 – 3x – 12 = 0 (a = 1, b = –3 และ c = –12)
3. ครอธบายวา ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวนน นอกจากหาไดโดยการแยกตวประกอบของ ax2
+ bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n
Page 43
43
เปน จ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0 ยงมอกวธทสะดวกและรวดเรวกวา โดยวธการดงกลาวไดมาจากการแยกตวประกอบ ax2 + bx + c โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ กจกรรมพฒนาผเรยน
5. ครอธบายวา สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว
x = √
เรยก วา ดสครมแนนตของสมการ โดย
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ √
ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง 6. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยใชสตร ดงน
ตวอยางท 1 จงแกสมการ 2x2 – 5x + 9 = 0 วธท า เนองจาก 2x2 – 5x + 9 = 0 มคา a = 2, b = –5 และ c = 9 พจารณา = (–5)2 – 4(2)(9) = 25 – 72 = –47 ซง –47 0 ดงนน สมการ x2 – 5x + 9 = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง ตวอยางท 2 จงแกสมการ x2 + 10x + 20 = 0 วธท า เนองจาก x2 + 10x + 20 = 0 มคา a = 1, b = 10 และ c = 20 พจารณา = 102 – 4(1)(20) = 100 – 80 = 20 ซง 20 0 ดงนน สมการ x2 + 10x + 20 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ
จาก x = √
แทนคา a = 1, b = 10, c = 20 และ = 20
จะได x = √
= √
Page 44
44
= –5 √ ดงนน สมการ x2 + 10x + 20 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ –5 √ และ –5 √ ตวอยางท 3 จงแกสมการ x2 – 10x + 25 = 0 วธท า เนองจาก x2 – 10x + 25 = 0 มคา a = 1, b = –10 และ c = 25 พจารณา = (–10)2 – 4(1)(25) = 100 – 100 = 0
ดงนน สมการ x2 – 10x + 25 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ
=
= 5
หรออาจแทนคา a = 1, b = –10, c = 25 และ = 0 ในสตร x = √
จะได x = √
=
= 5 ซงจะเห นวาไดคาของค าตอบเทากน กจกรรมรวบยอด
7. ครและนกเรยนรวมกนสรปวา 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 3.2 และ Exersice1 (Chapter 9) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมคร
เปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร
การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยการใชสตร สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปรมรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ
c เปนคาคงตว และ a 0 แลว
x = √
เรยก วา ดสครมแนนตของสมการ โดย
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ
คอ √
ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ
คอ
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง
Page 45
45
1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
แก ส มกา รก า ล ง ส อ ง ใน ร ป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร
x = √
- แบบฝกหด 3.2 - Exersice1 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.2 - Exersice1 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 3.2 - Exersice1 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.2 - Exersice1 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 46
46
แผนการจดการเรยนรท 10 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง โจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
1. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได
จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยวได
2. นกเรยนสามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได สาระส าคญ
สมการก าลงสองตวแปรเดยว
สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0
ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0 การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร
สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว
x = √
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ √
Page 47
47
ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ
ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง สาระการเรยนร
ดานความร 1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยวได 2. นกเรยนสามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได คณลกษณะอนพงประสงค
1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. ครทบทวนเรองการแกสมการก าลงสองทใชวธตางๆ ในการหาค าตอบโดยการถาม - ตอบ กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครสนทนากบนกเรยนเกยวกบเรองของการแกสมการก าลงสองวาสามารถน าไปใช โดยครใชค าถามและใหขอแนะน าจนสรปไดวา การประยกตสมการก าลงสองสามารถน าไปใชในเรองการแกปญหา รปสามเหลยมมมฉากหรอหาพนทผวของพระมดฐานสเหลยมมมฉาก และสถานการณอน ๆ ได
3. ครยกตวอยางโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง ดงน ตวอยางท 1 รปสามเหลยมมมฉากมดานตรงขามมมฉากยาว 7 เซนตเมตร ดานประกอบมมฉากอกดานหนงยาว 4 เซนตเมตร จงหาความยาวของดานประกอบมมฉากอกดานหนง
Page 48
48
วธท า พจารณา
ให ดานประกอบมมฉากของดานทเหลอยาว x เซนตเมตร โดยทฤษฎบทของพทาโกรส
จะได x2 = 72 – 42 x2 = 72 – 42 x2 = 49 – 16 x2 = 33 x2 – 33 = 0
x2 – √ 2 = 0
(x + √ )(x – √ ) = 0 ดงนน x = √
แตเนองจากความยาวของดานของรปสามเหลยมเปนบวก ดงนน ความยาวของดานประกอบมมฉากทเหลอยาว √ เซนตเมตร ตวอยางท 2 ทรงสเหลยมมมฉากซงมความยาวของดานยาวเปนสองเทาของความยาวของดานกวาง และความสงเทากบความยาวของดานกวางลบดวย 3 เซนตเมตร ทรงสเหลยมมมฉากมพนทผว 1,224 ตารางเซนตเมตร จงหาความกวางและความสงของทรงสเหลยมมมฉาก และตรวจสอบค าตอบ
วธท า ใหความกวางของทรงสเหลยมมมฉากเทากบ x เซนตเมตร ดงนน ความยาวของทรงสเหลยมมมฉากเทากบ 2x เซนตเมตร ความสงของทรงสเหลยมมมฉากเปน x - 3 เซนตเมตร จากสตร พนทผว = (พนทฐาน 2) + (ความยาวเสนรอบฐาน สง)
1,224 = [ x(2x)(2) ] + [ (x + x + 2x + 2x)(x – 3) ]
7 x
4
Page 49
49
1,224 = 4x2 + 6x(x – 3) 1,224 = 4x2 + 6x2 – 18x
1,224 = 10x2 – 18x 612 = 5x2 – 9x 5x2 – 9x – 612 = 0 แยกตวประกอบไดดงน (5x + 51)(x – 12) = 0 ดงนน 5x + 51 = 0 หรอ x – 12 = 0
x = 515
หรอ x = 12
หรอหาคา x จากสตร x = √
เมอ a = 5, b = 9 และ c = 61
จะได x = 12 หรอ x =515
เชนกน
เนองจากความยาวของดานตางๆ ของทรงสเหลยมมมฉากมคามากกวาศนย ดงนน ทรงสเหลยมมมฉากมความกวาง 12 เซนตเมตร ความยาว 2(12) = 24 เซนตเมตร ความสง 12 – 3 = 9 เซนตเมตร ตรวจสอบค าตอบ พนทผว = (พนทฐาน 2) + (ความยาวเสนรอบฐาน สง) 1,224 = [ (12)(24)(2) ] + [ (12 + 12 + 24 + 24)(9) ] 1,224 = 576 + 648 1,224 = 1,224 ดงนน ค าตอบทไดถกตอง นนคอ ทรงสเหลยมมมฉากมความกวาง 12 เซนตเมตร ความยาว 24 เซนตเมตร และ ความสง 9 เซนตเมตร ตวอยางท 3 One number is the square of another. The sum is 132. Find the two numbers.
Solve Let x and y be the two numbers: Then y = x2 and x2 + x = 132
Page 50
50
x2 + x = 132 x2 + x – 132 = 0
(x – 11) (x + 12) = 0 Hence, x = 11 or x = –12
If x = 11, then y = x2 = 121 and if x = –12, then y = x2 = 144
Therefore, we have two solutions, namely x = 11, y = 121 and x = –12, y = 144 ตวอยางท 4 The area of a rectangle is 560 square inches. The length is 3 inches more than twice the width. Find the length and the width.
Solve Let x and y the length and width of the rectangle, respectively Then, xy = 560 and x = 2y + 3. By substitution we obtain (2y + 3)y = 560 Hence, 2y2 + 3y – 560 = 0
2y2 + 3y – 560 = 0 (2y + 35) (y – 16) = 0 it follows that y = 16
Therefore, the length and the width of the rectangle are 35 (2(16) + 3) inches and 16 inches, respectively. กจกรรมรวบยอด
4. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 3.3 และ Exersice2 (Chapter 9) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
- สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง ตวแปรเดยวได
- แบบฝกหด 3.3 - Exersice2 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.3 - Exersice2 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 51
51
- สามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได
คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และการท างาน
- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา - การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
- แบบฝกหด 3.3 - Exersice2 (Chapter 9)
- แบบฝกหด 3.3 - Exersice2 (Chapter 9)
ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ
Page 52
52
แผนการจดการเรยนรท 11 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง สมการของพาราโบลาวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง 1. บอกไดวาสมการทก าหนดใหเปน หรอไมเปนสมการของพาราโบลา
2. พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0
จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถบอกไดวาสมการทก าหนดใหเปนหรอไมเปนสมการของพาราโบลา
2. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 3. บอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 4. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 5. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 และ a 0 ได
สาระส าคญ
สมการของพาราโบลา สมการ y = ax2 + bx + c เมอ x, y เปนตวแปร a, b, c เปนคาคงตว และ a 0 เรยกวา สมการของ
พาราโบลา พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0
สมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c เมอ a 0 เมอก าหนดให a 0 , b = 0 , c = 0 จะได y = ax2 เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยอดอยทจด (0, 0) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 0 หรอ แกน Y คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 0
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย
Page 53
53
กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
สาระการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกไดวาสมการทก าหนดใหเปนหรอไมเปนสมการของพาราโบลา 2. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 3. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 4. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 5. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 และ a 0 ได
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลา วาเมอสงเกตสงแวดลอมรอบตวเรา จะพบเหนสงกอสรางวสด หรออปกรณบางอยางทมสวนประกอบมลกษณะเปนเสนโคงทางเรขาคณต เชน สะพานแขวนทมสายเคเบลโยงดานบนระหวางเสาสะพานลกษณะเปนเสนโคงหงายขน เสนทางการเคลอนทของสายน าของน าพในชวงเวลาตาง ๆ กนมลกษณะเปนเสนโคงคว าดงรป
2. ครอธบายวา ในทางคณตศาสตร เรยกเสนโคงทมลกษณะดงกลาวนวา พาราโบลา
Page 54
54
X 0
X 0
สมการทอยในรป เมอ และ เปนตวแปร , , เปนคาคงตว และ
3. ครใชค าถามเพอกระตนความคดนกเรยนวา กราฟเสนตรง เปนกราฟของสมการเชงเสนสองตวแปรทอยในรป y = ax + b แลวนกเรยนคดวา กราฟพาราโบลา เปนกราฟของสมการรปแบบใด กจกรรมพฒนาผเรยน
4. ครอธบายวา สมการ y = ax2 + bx + c เมอ x, y เปนตวแปร a, b, c เปนคาคงตว และ a 0 เรยกวา สมการของพาราโบลา 5. ครยกตวอยางสมการ พรอมใหนกเรยนระบวาสมการทก าหนดให สมการใดเปนสมการของพาราโบลา ดงน y = 2x2 + 5x + 1 เปนสมการของพาราโบลา y = x2 – 5x เปนสมการของพาราโบลา y = x – 8 ไมเปนสมการของพาราโบลา y = –4x 2 เปนสมการของพาราโบลา
6. ครใหนกเรยนพจารณาสมการตอไปน y = ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0, b = 0 และ c = 0 วา จะมสมการใหมในรปแบบใด ซงจะไดวาสมการจดอยในรป y = ax2 7. ครอธบายการเขยนกราฟของสมการ y = 3x2 และ y = -3x2 โดยเรมจากการก าหนดคา x บางคา แลวใหนกเรยนชวยกนหาคา y และเขยนสรปลงในตาราง จากนนใหชวยกนลงจดและเขยนกราฟบนกระดาน ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = 3x2 วธท า ก าหนดคา x บางคา และหาคา y ไดดงน
พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว า
Page 55
55
เขยนกราฟไดดงน
ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = -3x2 วธท า ก าหนดคา x บางคา และหาคา y ไดดงน
เขยนกราฟไดดงน
Page 56
56
3. ใหนกเรยนรวมกนพจารณาวากราฟทไดจากตวอยางท 1 และตวอยางท 2 วามลกษณะเปนอยางไร และไดขอสงเกตจากการเขยนกราฟวาอยางไร ซงจะไดวากราฟจะเปนพาราโบลาหงาย และในการเขยนกราฟเราจะตองมการก าหนดคาตวแปรกอน
4. ครและนกเรยนรวมกนอภปรายถงขอสรปทได ซงจะไดดงน จากสมการ y = 3x2 ซงมาจากสมการรปทวไปของพาราโบลาคอ y = ax2 เมอ a ≠ 0 ม a = 3 ซง
a มคามากกวาศนย จะไดกราฟเปนพาราโบลาหงาย และมจดต าสดอยท (0, 0) จากสมการ y = -3x2 มาจากสมการรปทวไปของพาราโบลาคอ y = ax2 เมอ a ≠ 0 ม a = -3 ซงมคานอยกวาศนย จะไดกราฟเปนพาราโบลาคว า และมจดสงสดอยท (0, 0) กจกรรมรวบยอด 7. ครใหนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบกราฟของพาราโบลาทก าหนดให และไดขอสรปดงน
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย และ กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
| | ยงมคามาขน ความกวางของกราฟ y = ax2 จะนอยลง 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.1,4.2 และ Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
Page 57
57
การวดและการประเมน
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
สมการของพาราโบลา
- แบบฝกหด 4.1,4.2
- Exersice1
(Chapter 10)
- แบบฝกหด 4.1,4.2
- Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค
- ใฝเรยนร
- มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และ
การท างาน
- เขาเรยน
- มสวนรวมใน
กจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา
- เมอครถาม นกเรยนม
ความกระตอรอรนใน
การตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา
- การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร
การสอความหมาย
- แบบฝกหด 4.1,4.2
- Exersice1
(Chapter 10)
- แบบฝกหด 4.1,4.2
- Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ
Page 58
58
แผนการจดการเรยนรท 12 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2+ k เมอ a 0วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได
2. นกเรยนสามารถบอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได
3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได สาระส าคญ พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0
สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได
Page 59
59
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ
1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลาทอยในรป y = ax2 เมอ a 0 วา y = ax2 เมอ a 0 เปนสมการของกราฟพาราโบลาทม
– จดยอดอยทจด (0, 0) – แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 0 หรอ แกน Y – คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 0
กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครถามนกเรยนวา จากตวอยางทผานมา หากไมวาดกราฟ นกเรยนสามารถบอกพกดของจดยอด แกน
สมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของสมการดงกลาวไดหรอไม 3. คร และนกเรยนรวมกนสรปวา สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a
0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
4. ครยกตวอยาง การหาสวนประกอบตาง ๆของกราฟพาราโบลาทมสมการในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ดงน ตวอยางท 1 จงหาจดยอด แกนสมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของพาราโบลาทมสมการ y = (x – 2)2+7
วธท า จาก y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม
Page 60
60
จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k จะได y = (x – 2)2+7 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (2, 7) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 2 คาต าสดของ y คอ 7
ตวอยางท 2 จงหาจดยอด แกนสมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของพาราโบลาทมสมการ y = –3(x + 4)2 – 5 พรอมทงวาดกราฟของสมการดงกลาว
วธท า จาก y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k จะได y = –3(x + 4)2 – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (–4, –5) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = –4 คาสงสดของ y คอ –5
พจารณา x –6 –5 –4 –3 –2 y –17 –8 –5 –8 –17
Page 61
61
น าขอมลจากตารางมาวาดกราฟไดดงน
ตวอยางท 3 จงหาสมการของพาราโบลาทมพกดของจดยอดเปน (1, –8) และพาราโบลานผานจดก าเนด วธท า จากโจทย (h, k) = (1, –8) นนคอ h = 1 และ k = –8 แทนคา h = 1 และ k = –8 ในสมการ y = a(x – h)2 + k จะได y = a(x – 1)2 – 8 เนองจากกราฟพาราโบลาผานจดก าเนดทมพกด (0,0) แทนคา x = 0 และ y = 0 ในสมการ y = a(x – 1)2 – 8 จะได 0 = a(0 – 1)2 – 8 ดงนน a = 8 นนคอ สมการของพาราโบลาทมจดยอดเปน (1, –8) และผานจดก าเนด คอ y = 8(x – 1)2 – 8
5. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน
y = –3(x + 4)2 – 5
(–4, –5)
(–3, –8)
(–5, –8)
(–2, –17)
(–6, –17)
Page 62
62
สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า กจกรรมรวบยอด
6. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.4ข และ Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ
y = a(x – h)2+ k เมอ a 0
- แบบฝกหด 4.3
- Exersice1
(Chapter 10)
- แบบฝกหด 4.3
- Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง และ
ความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค
- ใฝเรยนร
- มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และ
การท างาน
- เขาเรยน
- มสวนรวมในกจกรรม
การเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา
- เมอครถาม นกเรยนมความ
กระตอรอรนในการตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา
- การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร
การสอความหมาย
- แบบฝกหด 4.3
- Exersice1
(Chapter 10)
- แบบฝกหด 4.3
- Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง และ
ความเขาใจ
Page 63
63
แผนการจดการเรยนรท 13 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0
จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
2. นกเรยนสามารถบอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได สาระส าคญ
ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ
สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
Page 64
64
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลาทอยในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
2. ครใชค าถามกระตนความคดนกเรยนวา นกเรยนมวธการใดในการหาพกดของจดยอดของพาราโบลาทมสมการเปน y = ax2 + bx + c เมอ a 0 กจกรรมพฒนาผเรยน
3. ครอธบายวา ในการเขยนกราฟหรอหาพกดของจดยอดของสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว เมอ a 0 นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ
4. ครยกตวอยางการจดรปสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ตวอยางท 1 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y
วธท า y
Page 65
65
ดงนน y = 2x2 + 3x + 5 มกราฟเปนพาราโบลาหงาย มจดต าสดอยท ( , )
ตวอยางท 2 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y = 2x2 + 3x + 5
วธท า y = 2x2 + 3x + 5
y = 2 3 52 x x
2 2
= 2 2
2 3 3 3 52 x x
2 4 4 2
= 23 9 40
2 x4 16 16
= 23 31
2 x4 8
ดงนน y = 2x2 + 3x + 5 มกราฟเปนพาราโบลาหงาย มจดต าสดอยท 3 31,4 8
7. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ กจกรรมรวบยอด
8. ครใหนกเรยนท า Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
Page 66
66
การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ
y = ax2 + bx + c เมอ a 0
Exersice1
(Chapter 10)
Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค
- ใฝเรยนร
- มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และ
การท างาน
- เขาเรยน
- มสวนรวมใน
กจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา
- เมอครถาม นกเรยนม
ความกระตอรอรนใน
การตอบ
เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สมรรถนะ
- การแกปญหา
- การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร
การสอความหมาย
Exersice1
(Chapter 10)
Exersice1
(Chapter 10)
ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ
Page 67
67
แผนการจดการเรยนรท 14 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ
ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0
จดประสงคการเรยนร
1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. น ก เ ร ยนสามารถบอกจ ดส งส ดหร อจ ดต า ส ด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ
y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
สาระส าคญ พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0
สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลาทม
จดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
แกนสมมาตรคอเสนตรง x = b2a
คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า
Page 68
68
สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได
คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน
สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย
กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน
1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาวา ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ
2. ครใชค าถามกระตนความคดนกเรยนวา จากตวอยางในคาบทผานมานกเรยนจะพบวาวธการจดรป
พาราโบลาทมสมการเปน y = ax2 + bx + c เมอ a 0โดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ นนคอนขางเสยเวลาและมโอกาสผดพลาดสง นกเรยนคดวาเราจะใชความรจากทไดเรยนมา ในการหาพกดของจดยอดของพาราโบลาโดยไมตองจดรปไดหรอไม กจกรรมพฒนาผเรยน
3. ครอธบายวา ในการเขยนกราฟหรอหาพกดของจดยอดของสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว เมอ a 0 สามารถหาไดโดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน
y = 2 b ca x x
a a
y = 2 2
2 b b c ba x x
a 2a a 2a
Page 69
69
y = 2 2
2 2
b 4ac ba x
2a 4a 4a
y = 2 2b 4ac b
a x2a 4a
ซงจะเหนวาสมการดงกลาวอยในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0
ดงนน y = 2 2b 4ac b
a x2a 4a
เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
แกนสมมาตรคอเสนตรง x = b2a
คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย
กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า 4. ครยกตวอยางการหาสวนประกอบตาง ๆ ของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c ดงน
ตวอยางท 1 จงหาจดยอดของพาราโบลาทมสมการ y = 2x2 + x – 5
วธท า จาก y = ax2 + bx + c เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
พจารณา y = 2x2 + x – 5 มคา a = 2 , b = 1 และ c = –5 ดงนน y = 2x2 + x – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด
(
,
) = (
,
)
นนคอ y = 2x2 + x – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด (
,
)
ตวอยางท 2 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y = 4x2 – 25
วธท า จาก y = ax2 + bx + c เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
Page 70
70
พจารณา y = 4x2 – 25 มคา a = 4 , b = 0 และ c = –25 ดงนน y = 4x2 – 25 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด
(
,
) = ( , )
นนคอ y = 4x2 – 25 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดต าสดอยทจด ( , )
ตวอยางท 3 จงหาสวนประกอบตาง ๆของพาราโบลาสมการ y = –x2 +10x – 24 พรอมทงวาดกราฟ
วธท า จาก y = 2 2b 4ac b
a x2a 4a
เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
แกนสมมาตรคอเสนตรง x = b2a
คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ พจารณา y = –x2 +10x – 24 มคา a = –1 , b = 10 และ c = –24 ดงนน y = –x2 +10x – 24 เปนสมการของพาราโบลา ทม
จดยออยทจด (
– ,
(– )
– ) = ( , )
แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 5 คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 1 นนคอ y = –x2 +10x – 24 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด ( , )
แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 5 และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 1 พจารณา
x 3 4 5 6 7 y –3 0 1 0 –3
Page 71
71
น าขอมลจากตารางมาวาดกราฟไดดงน
7. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c
เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b
,2a 4a
แกนสมมาตรคอเสนตรง
x = b2a
และ คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ
ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า กจกรรมรวบยอด
8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.5 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า
สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook
y = –x2 +10x – 24
(5,1) (6,0) (4,0)
(7, –3) (3, –3)
Page 72
72
การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน
สาระส าคญ
พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ
y = ax2 + bx + c เมอ a 0
แบบฝกหด 4.5 แบบฝกหด 4.5 ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ
คณลกษณะอนพงประสงค
- ใฝเรยนร
- มงมนในการท างาน
การเขาเรยน และ
การท างาน
- เขาเรยน
- มสวนรวมใน
กจกรรมการเรยน
- เขาเรยนตรงเวลา
- เมอครถาม นกเรยนม
ความกระตอรอรนใน
การตอบ
สมรรถนะ
- การแกปญหา
- การใหเหตผล
- ความสามารถในการสอสาร
การสอความหมาย
แบบฝกหด 4.5 แบบฝกหด 4.5 ตรวจสอบความถกตอง
และความเขาใจ