1 Analisi spettrale nel dominio delle frequenze Modelli e strumenti per lanalisi delle caratteristiche dei segnali elettrici informativi e dei sistemi.

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Analisi spettrale nel dominio delle frequenze

“Modelli e strumenti

per l’analisi delle caratteristiche

dei segnali elettrici informativi e

dei sistemi elettronici di elaborazione dell’informazione”

Prima di continuare, rifletti attentamente sulle parole

chiave evidenziate!!! A quali concetti fisici e matematici ti

rimandano

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Perché ?… non accontentarsi dell’analisi nel dominio del tempo

(usando strumenti quali ampiezza, periodo, forma d’onda, funzione matematica del tempo, frequenza, valor medio, Thevenin, Kirchhof…)?

Qualsiasi informazione ha carattere aleatorio, cioè variabile nel tempo in modo non facilmente predicibile a priori.

Quindi i segnali elettrici associati all’informazione, pure variabili nel tempo in modo altrettanto impredicibile, analizzati nel dominio del tempo sono di difficile comprensione (cioè non è sempre possibile pre-determinare un modello matematico – funzione nel dominio del tempo - che descriva il segnale elettrico).

Come posso allora studiare i meccanismi di elaborazione di un segnale informativo, da parte di un qualsiasi sistema elettronico noto o in fase di progettazione, se non posso formalmente descrivere le caratteristiche stesse del segnale da elaborare?

Altresì l’analisi nel dominio delle frequenze dei segnali informativi permette deduzioni difficilmente ricavabili da una analisi nel dominio del tempo.

Anche lo studio del comportamento dei sistemi di elaborazione dell’informazione è semplificato se operato nel dominio delle frequenze.

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Concetti preliminari

Cosa si intende per Segnale elettrico informativo? Cosa è un Quadripolo elettrico? Quando un quadripolo si dice lineare? Cosa afferma il principio della Sovrapposizione degli effetti? Quale è la sua utilità? Ricordi il significato dei termini ampiezza, pulsazione e fase di un segnale

sinusoidale? Sai usare i numeri complessi? Ricordi come si studia un circuito elettrico in Regime Alternato Sinusoidale? Cosa scatena nella tua mente il termine Fasore?

Insisto!

Prima di continuare devi aver chiari in testa i concetti

preliminari sopra elencati !!!

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Sono sconvolto !!!

Ho bisogno di riflettere un po’ su tutte queste domande !!!

Mi ci vorrà una vita!?

Mah vedremo alla prossima!

FINE PRIMA PUNTATA

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Serie ed Integrale di FOURIER

)2cos()(0

n

n

nn tfAts

dfefAts ftj 2)()(

Un generico segnale s(t), periodico, sotto ipotesi facilmente verificabili, è scrivibile come una somma infinita di sinusoidi, ciascuna di opportuna ampiezza, frequenza e fase:

Se il segnale s(t) non è periodico la sommatoria di cui sopra prende i connotati di un integrale:

Fermi tutti !!!

E’ solo una formula matematica che Fourier ha già provveduto a

dimostrare!!!

Cerchiamo solo di carpirne i significati. Ecco un esempio

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Esempio di "Scomposizione Armonica"

Grafico tridimensionale che illustra la scomposizione di un segnale ad onda quadra:

Asse x tempo

Asse y ampiezze

Asse z frequenza

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alcune definizioni:

Spettri delle ampiezze … An è l’ampiezza della n-esima componete sinusoidale (detta anche armonica) del

segnale s(t). φn è la fase della n-esima componete sinusoidale (o armonica) del segnale s(t).

-----s(t) è periodico di periodo T; fo = 1/T è la frequenza del segnale s(t) ed è anche detta frequenza o armonica

fondamentale di s(t).

fn è la frequenza della n-esima componete sinusoidale (o armonica) del segnale s(t) che è n volte multipla della frequenza fondamentale di s(t).

-----

An e φn sono funzioni dell’indice n ma anche della variabile fn così definita: fn=n*fo. Il loro valore dipende dalla “forma” di s(t).

Le funzioni An(fn) e φn(fn) definiscono rispettivamente lo spettro delle ampiezze e lo spettro delle fasi del segnale s(t). Esse sono funzioni discrete nel dominio di f, cioè non sono definite per tutti i valori di f ma solo per i valori fn multipli della fondamentale fo.

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… e delle fasi

Se il segnale s(t) non è periodico esso è ancora esprimibile come una “somma” di componenti armoniche a frequenza variabile.

Tuttavia la somma non è più discreta ma continua sul dominio delle frequenze:

Si ricordi la formula valida nell’insieme dei numeri complessi:

A(f) è una funzione complessa della frequenza e dipende dalla “forma” del segnale s(t).

Il modulo di A(f) definisce una funzione reale della frequenza detta spettro delle ampiezze di s(t).

L’argomento di A(f) definisce una funzione reale della frequenza detta spettro delle fasi di s(t).

sincos jje

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In conclusione !!! Esiste una relazione bi-univoca che mette in relazione il dominio del tempo con il dominio delle

frequenze.

Il generico segnale s(t) nel dominio del tempo è univocamente identificabile con le sue funzioni spettro delle ampiezze e delle fasi nel dominio delle frequenze (discreto o continuo) e viceversa.

Dominio del tempo

s(t)Dominio delle frequenze

A(f)

OK resta sempre la domanda fondamentale!

Che vantaggio ne ricavo?

Tanto aleatoria è s(t) tanto lo è A(f) direte voi!

Proviamo a fare alcune osservazioni

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Sono sempre più sconvolto !!!

Vado a distrarre un po’ la mente con un bel giro in Scooter e magari approfitto

della iper-ossigenazione da velocità e ci rifletto un po’ sopra!

Speriamo che qualche autotreno non mi riduca ad una fis-armonica !!!

FINE SECONDA PUNTATA

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Esempio Si supponga s(t) un segnale periodico: un onda quadra di periodo T, duty cicle pari a α/T,

positiva con valore minimo 0 e valore massimo 1/α.

Lo spettro delle ampiezze del segnale s(t) sarà una funzione positiva e discreta nel dominio delle frequenze. Essa è rappresentata nel grafico di seguito riportato.

La differenza in ascissa fra punti attigui della funzione spettro vale 1/T (Hz).

L’ascissa dei punti di zero della curva di interpolazione vale 1/α, 2/α, 3/α, 4/ α, … (Hz).

OK! Proviamo a riassumere gli ultimi concetti con un esempio concreto!!

Vi ricordo, carissimi che il nostro obiettivo non è matematico (imparare a memoria il teorema di Fourier e

saperlo dimostrare), ma capire come utilizzare gli strumenti matematici offertici da Fourier stesso per

semplificare il nostro lavoro di analisi dei segnali elettrici informativi

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Spettro delle ampiezze del segnale "Onda quadra"

00,20,40,60,8

11,2

0 5 10 15 20 25 30

frequenza

ampi

ezza

(NB nel grafico la funzione è stata rappresentata con continuità sul dominio delle frequenze ma questa è una semplificazione puramente estetica: la linea continua deve essere interpretata come l’interpolazione dei punti del piano che definiscono la funzione stessa).

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Osservazioni Lo spettro mostra una componente armonica a “frequenza nulla” corrispondente

all’indice n=0: essa rende conto del valor medio nel tempo dell’onda quadra, che nel caso specifico vale 1.

L’ampiezza delle armoniche con indice n crescente sembra tendere asintoticamente a 0.

Se così fosse potremmo affermare che il contributo alla composizione del segnale dato dalle singole armoniche, diventa sempre più trascurabile al crescere della frequenza dell’armonica stessa.

Accettando un errore di approssimazione piccolo a piacere sarebbe possibile approssimare lo spettro delle ampiezze ad una funzione nulla al di fuori di un certo intervallo di frequenze, ovvero affermare che le armoniche componenti esistono solo in un intervallo di frequenze limitato.

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Potenza del segnale La potenza media del segnale informativo, per resistenza unitaria vale:

Sfruttando l’equivalenza dimostrata da Fourier la stessa potenza può essere calcolata come segue:

Wattdttstt

Pt

t

tm

2

1

)(1

lim 2

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WattA

APn

nm

1

220

2Ve lo avevo detto di ripassare il RAS !!!

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Ma la potenza del segnale non può essere infinita!!!

La potenza di un segnale informativo non può, ragionevolmente parlando, essere infinita.

Essendo esprimibile come una somma infinita di termini positivi, perché Pm sia finita, deve essere limitato l’insieme degli addendi diversi da zero nella sommatoria.

Allora si può dedurre che qualsiasi segnale informativo realistico, abbia uno spettro delle ampiezze che tende asintoticamente a zero al di fuori di un certo intervallo di frequenze.

Calma ragazzi con le domande: uno alla volta!!!

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Sto sclerando, me lo sento !!!

Il mio volto e pieno di bruffoli da ipertensione!!!

Di notte non dormo più!!! Devo tenere la luce accesa per non vedere gli spettri …

delle fasi e delle ampiezze!!!

La mia ragazza mi ha fatto una romanzina dell’ n-esimo ordine e le facoltà celebrali

tendono asintoticamente a zero!!!

FINE TERZA PUNTATA

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Banda del segnale

Si definisce BANDA del segnale informativo, quell’intervallo finito di frequenze al di fuori del quale è approssimabile a zero lo spettro delle ampiezze del segnale stesso.

Qualsiasi segnale informativo in natura, è esprimibile attraverso la somma di componenti armoniche, ciascuna di opportuna ampiezza e fase, di frequenze comprese in un intervallo limitato di valori detto banda del segnale.

Per analizzare il comportamento dei sistemi di elaborazione dell’informazione è sufficiente conoscerne il comportamento in presenza di semplici segnali di tipo sinusoidale, al variare della frequenza di questi ultimi.

Infatti sfruttando la linearità del sistema e la sovrapponibilità degli effetti, il comportamento del sistema può essere caratterizzato come “comportamento in frequenza” per segnali armonici, svincolandoci dalle specificità del segnale informativo di volta in volta applicato al sistema.

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Sistemi di Elaborazione Lineari

Di seguito è riportata la schematizzazione funzionale di un particolare sistema di elaborazione di segnali informativi: un sistema di telecomunicazioni.

CODIFICAdi

SORGENTE

CODIFICAdi

CANALE

CODIFICAdi

LINEA

DECODIFICAdi

CANALE

DECODIFICAdi

SORGENTE

DECODIFICAdi

LINEA

Canale di comunicazione

Sorgentedell’Informazione

Destinazione dell’informazione

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Quadripoli

L’elaborazione dell’informazione nel suo complesso è ottenuta dalla cascata di più blocchi funzionali, ciascuno dei quali riceve in ingresso un segnale informativo, lo elabora secondo le proprie specifiche e lo restituisce in uscita per il blocco successivo.

Quando il blocco funzionale è un sottosistema elettrico esso può essere rappresentato matematicamente come un quadripolo elettrico.

Il quadripolo è caratterizzato da una coppia di morsetti di ingresso ai quali è applicato il segnale informativo di ingresso e da una coppia di morsetti di uscita dai quali è prelevato il segnale elaborato.

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Caratteristiche dei Quadripoli

Si considerano i quadripoli lineari.

Per essi è applicabile il principio di Sovrapposizione degli effetti.

Se il segnale elettrico di ingresso è sinusoidale, allora anche quello di uscita dovrà essere tale, alla stessa frequenza di quello di ingresso, ma con differente ampiezza e fase.

QuadripoloSi(t) So(t)

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Deduzioni

Secondo Fourier il segnale di ingresso è scomponibile come somma di segnali sinusoidali ciascuno di opportuna ampiezza, frequenza e fase.

Il quadripolo elettrico formato da bipoli reattivi, cioè la cui impedenza varia al variare della frequenza delle grandezze elettriche in gioco, modifica ciascuna componente armonica di ingresso in ampiezza e fase, in funzione della frequenza dell’armonica di ingresso stessa.

Il segnale di uscita può essere determinato attraverso la sovrapposizione degli effetti sulle singole componenti armoniche di ingresso, essendo il quadripolo lineare.

…

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)2cos()(0

n

n

nni tfAts

)2cos()()( )(

0

fn

n

nno tfAfGts

Il quadripolo modifica lo spettro delle ampiezze e delle fasi del segnale di ingresso, cioè modifica in funzione della frequenza, ampiezza e fase delle armoniche del segnale informativo di ingresso.

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Funzione di Trasferimento

DEFINIZIONE

“Il rapporto fra la trasformata di Fourier del segnale di uscita So(t) e la trasformata di Fourier del segnale di ingresso Si(t) è una funzione complessa, indipendente dalla forma dei segnali Si(t) ed So(t), caratteristica del quadripolo, detta Funzione di Trasferimento.”

Nota la FdT di un quadripolo e la trasformata di Fourier del segnale Si(t) è possibile risalire alla trasformata di Fourier del segnale So(t).

La FdT di un quadripolo rende conto delle modifiche degli spettri del segnale Si(t), che determinano gli spettri del segnale So(t).

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Modulo e fase della FdT“Le funzioni G(f) e θ(f) rappresentano la variazione in ampiezza e fase rispettivamente, introdotte dal quadripolo sul segnale si ingresso.”

VALE:

Si ricordi che dato il numero complesso Z=a+jb vale:

FdTfG )(

)()( FdTf

22 baZ

a

barctgZ

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Banda di un Quadripolo

DEFINIZIONE

“Si definisce banda di un quadripolo, l’intervallo di frequenze entro il quale rimane costante il modulo della FdT (G(f)) del quadripolo stesso.”

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Tutto chiaro adesso?

Non rispondete, avete perso la favella?

Il risultato di questa chiaccherata è semplice:

1. Ogni segnale informativo può essere decritto equivalentemente nel dominio del tempo o nel dominio delle frequenze

2. Tuttavia non mi interessa più conoscere a priori la forma del segnale informativo per sapere come sarà elaborato dal mio sistema elettronico

3. Potrò invece studiare il funzionamento del sistema di elaborazione con ingressi informativi “sinusoidali”, sempre che il sistema sia lineare

4. Mi basta conoscere quindi la funzione di trasferimento del sistema la quale non dipende dal segnale informativo ma solo dalle caratteristiche dei componenti con cui è realizzato il sistema di elaborazione

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Fourier, Fourier, Fourier …….. Fourier, Fourier, Fourier , Fourier, Fourier, Fourier , Fourier, Fourier, Fourier ,……… Fourier,

Fourier, Fourier , Fourier, Fourier, Fourier ,…..