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Unidade 1 – Matrizes: Revisão de Conceitos Básicos
Álgebra Linear
Revisão De Alguns Conceitos Básicos
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Conceitos
• Escalar • Vector• Matriz
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
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Conceitos: Vector e Escalar
• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal que:– Está definida uma adição em E que goza das
propriedades associativa, comutativa, existência de um só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.
– Está definida uma multiplicação de K por E que goza das propriedades de distribuição relativamente às adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I).
Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os elementos de E designam-se por vectores e os de K por escalares.
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Exemplificação
• Vectores
• Escalar – kn
n
2
1
n
2
1
u
u
u
U;
v
v
v
V
(V+U)+T = V+(U+T)
V+U = U + V
V + 0 = V
V + (-V) = 0
k1(V+U)= k1 V+ k1 U
(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V
k1 (k2 U)=(k1 k2 )U
1.V=V
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
ij2i1i
j22221
j11211
bbb
bbb
bbb
B
j...,3,2,1n
i...,3,2,1m
mnmn ;ba BA
9
ijj2j1
2i2212
1i2111
T
aaa
aaa
aaa
'AA
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
ji se só e Se
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
nn
22
11
a00
0a0
00a
A
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
a,
a00
0a0
00a
E
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
100
010
001
I
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
jiij
nn2n1n
n22221
n11211
aa se,
aaa
aaa
aaa
A
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
000
000
000
N
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Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
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ijij2i2i1i1i
j2j222222121
j1j112121111
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
Adição de Matrizes
18
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Multiplicação de Matrizes por um escalar
19
mj2nmn222m121m
1nn121121111
njnj2n1n
j22221
j11211
mnmn2m1m
n22221
n11211
...ba...baba...
......
......ba...baba
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
Multiplicação de Matrizes
20
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
Traço de uma matriz
nn332211 a...aaa)A(tr
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