1 22202 4 2 2561 1elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/137/course/summary/เเผนการ... · ครูให นักเรียนทําแบบฝ กหัด

แผนการจัดการเรียนรูท่ี 1

หนวยการเรียนรูท่ี 1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

วิชา ค22202 คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร

ช้ัน มัธยมศึกษาปท่ี 2 ภาคเรียนท่ี 2 ปการศึกษา 2561 เวลา 1 ช่ัวโมง

ผูสอน อาจารยน้ําผึ้ง ชูเลิศ

ผลการเรียนรู

แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองได

จุดประสงคการเรียนรู

นักเรียนสามารถ

1. สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสมบัติการแจงแจงได

สาระสําคัญ

การเขียนพหุนามท่ีกําหนดให ในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรีต่ํากวาตั้งแตสองพหุนามข้ึนไป

เรียกวา การแยกตัวประกอบของพหุนาม (Factoring of polynomials)

สมบัติการแจกแจง (Distributive property) กลาววา

ถา a , b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ แลว

( )a b c ab ac+ = +

หรือ ( )b c a ba ca+ = + อาจเขียนสมบัติการแจกแจงใหมไดดังนี้

( )ab ac a b c+ = +

หรือ ( )ba ca b c a+ = + ถา a , b และ c เปนพหุนาม สามารถใชสมบัติการแจกแจงขางตนได

และเรียก a วา ตัวประกอบรวม (Common factor) ของ ab และ ac หรือ ตัวประกอบรวม ของ ba

และ ca

สาระการเรียนรู

ดานความรู

1. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสมบัติการแจงแจง

คุณลักษณะอันพึงประสงค

1. ใฝเรียนรู

2. มีวินัย

สมรรถนะสําคัญ

1. การแกปญหา

2. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ

กิจกรรมการเรียนรู

กิจกรรมนําเขาสูบทเรียน

1. ครูแจงจุดประสงคการเรียนรู ขอตกลงในหองเรียน รวมท้ังเวลาในการสงงาน

2. ครูทบทวนเรื่องตัวประกอบรวมของจํานวนนับ ดังนี้

จํานวนนับท่ีสามารถหารจํานวนนับท่ีกําหนดใหตั้งแต 2 จํานวนลงตัว เรียกวา ตัวประกอบรวม

(Common factor) เชน

จงหาตัวประกอบรวมของ 8 และ 12

ตัวประกอบของ 8 คือ 1, 2, 4, 8

ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12

ดังนั้น ตัวประกอบรวมของ 8 และ 12 คือ 1, 2, 4

3. ครูทบทวนเรื่องสมบัติการแจกแจงของจํานวนเต็ม ดังนี้

สมบัติการแจกแจง (Distributive property) กลาววา

ถา a , b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ แลว

( )a b c ab ac+ = +

หรือ ( )b c a ba ca+ = + อาจเขียนสมบัติการแจกแจงใหมไดดังนี้

( )ab ac a b c+ = +

หรือ ( )ba ca b c a+ = +

4. ครูใหนักเรียนพิจารณาการคูณของพหุนาม ดังนี้

2 102x x+ 2 ( 5)x x= +

6 3 273 2x x x+ − 3 (2 9)2x x x= + −

7 102x x+ + ( 2)( 5)x x= + +

9 12 42x x− + (3 2)2x= −

โดยครูไดสรุปรวมกับนักเรียนดังนี้“การเขียนพหุนามท่ีกําหนดให ในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรี

ต่ํากวาตั้งแตสองพหุนามข้ึนไป เรียกวา การแยกตัวประกอบของพหุนาม (Factoring of polynomials)”

กิจกรรมพัฒนาผูเรียน

5. ครูชี้แจงกับนักเรียนวา ถา a , b และ c เปนพหุนาม สามารถใชสมบัติการแจกแจงในการแยก

ตัวประกอบไดดังนี้

23 6 (3 )( ) (3 )(2)x x x x x− = −

3 ( 2)x x= −

หลักการคือ พิจารณาวาพหุนามท่ีกําหนดมีก่ีพจน และแตละพจนมีสิ่งใดเปนตัวประกอบรวม ซ่ึงใน

ท่ีนี้ 23x กับ 6x มี 3x เปนตัวประกอบรวม ก็ใชการตั้ง 3x ไวขางหนาวงเล็บ สวนในวงเล็บก็เปนตัว

ประกอบท่ีเหลือของแตละพจน

ตัวอยางท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 7 14x −

วิธีทํา 7 14x − = 7( 2)x −

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 25 20y y+

วิธีทํา 25 20y y+ = (5 )( ) (5 )(4)y y y+

= 5 ( 4)y y +

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 3 3 2 3 330 36 6x y x y x y+ −

วิธีทํา 2 3 3 2 3 330 36 6x y x y x y+ − = 2 2 2 2 2 2(6 )(5 ) (6 )(6 ) (6 )( )x y y x y x x y xy+ −

= 2 26 (5 6 )x y y x xy+ −

สรุปไดวา ในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสมบัติการแจกแจง จะใชวิธีการดังนี้

1. หา ห.ร.ม. ของแตละพจนในพหุนาม

2. ใชสมบัติการแจกแจง โดยนํา ห.ร.ม. ออกมาไวหนาวงเล็บ สวนท่ีเหลือในวงเล็บจะเปนผลลัพธ

จากการนํา ห.ร.ม. ไปหารแตละพจนนั้นๆ

ในบางครั้งตัวประกอบรวมอาจอยูในรูปของผลบวกหรือผลตางของพหุนามก็ได ซ่ึงการแยกตัว

ประกอบก็ยังใชหลักการเดิม คือ ดึงตัวรวม แตอาจจะมีการแบงกลุมดึงตัวรวม 2 ครั้งก็ได ดังตัวอยาง

ตัวอยางท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 2 ( 3) 5( 3)m n n+ + +

วิธีทํา 2 ( 3) 5( 3)m n n+ + + = ( 3)(2 5)n m+ +

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 3 22 14 7x x x− + −

วิธีทํา 3 22 14 7x x x− + − = 3 2(2 ) (14 7)x x x− + −

= 2 2(2 1) 7(2 1)x x x− + −

= 2(2 1)( 7)x x− +

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 2 2 28 6 4 3ax ay bx by+ − −

วิธีทํา 2 2 2 28 6 4 3ax ay bx by+ − − = 2 2 2 2(8 6 ) (4 3 )ax ay bx by+ − +

= 2 2 2 22 (4 3 ) (4 3 )a x y b x y+ − +

= 2 2(4 3 )(2 )x y a b+ −

กิจกรรมรวบยอด

6. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความรูท่ีเรียนในชั่วโมงนี้

7. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.1 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแยกตัวประกอบของ

พหุนามดีกรีสอง

ส่ือการเรียนรู

1. เอกสารประกอบการเรียนเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

2. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรเพ่ิมเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 เลม

2 ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 กระทรวงศึกษาธิการ โรงพิมพ สกสค.

ลาดพราว

การวัดและการประเมิน

เปาหมาย หลักฐาน เครื่องมือวัด เกณฑการประเมิน


- การแยกตัวประกอบของ

พหุนามโดยใชสมบัติ

การแจงแจง

แบบฝกหัด 1.1 แบบฝกหัด 1.1 ตรวจสอบความถูกตอง

และความเขาใจ


- ใฝเรียนรู

- มีวินัย

- การเขาเรียน และการ

ทํางาน

- เขาเรียน

- มีสวนรวมในกิจกรรม

การเรียน

- เขาเรียนตรงเวลา

- เม่ือครูถาม นักเรียนมี

ความกระตือรือรนใน

การตอบ

สมรรถนะ

- การแกปญหา

- การสื่อสาร การสื่อ

ความหมาย และการ

นําเสนอ





เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว








1. สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวท่ีมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปน

จํานวนเต็ม และมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนในพหุนามตัวประกอบเปนจํานวนเต็มได


พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (Quadratic polynomial with one variable) คือ พหุนามท่ี

เขียนไดในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ a , b และ c เปนคาคงตัว (Constant) ท่ี 0a ≠ และ x เปนตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เม่ือ

1. a , b เปนจํานวนเต็ม และ 0c =

ในกรณีท่ี 0c = การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว โดยใชสมบัติการแจกแจง

(Distributive property) ดังนี้

( )2ax bx c x ax b+ + = + เม่ือ x เปนตัวประกอบรวม

2. 1a = ; b และ c เปนจํานวนเต็ม และ 0c ≠

พิจารณาการคูณพหุนามตอไปนี้

( )( )x p x q+ + 2x px qx pq= + + +

( )2x p q x pq= + + +

เม่ือเทียบกับรูป 2ax bx c+ + พบวา b p q= + และ c pq=

นั่นคือ 2ax bx c+ + สามารถแยกตัวประกอบไดเปน ( )( )x p x q+ + โดยท่ี p q b+ = และ

pq c=

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เม่ือ a , b , c เปนจํานวนเต็ม และ 0a ≠ ,

1a ≠ , 0c ≠ ทําไดดังนี้

ข้ันท่ี 1 หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามท่ีคูณกันแลวไดพจนหนา โดยเขียนสองพหุนามนั้น เปนพจน

หนาในวงเล็บสองวงเล็บ

ข้ันท่ี 2 หาจํานวนเต็มสองจํานวนท่ีคูณกันแลวไดพจนหลัง แลวเขียนจํานวนท้ังสองนี้เปนพจนหลัง

ของพหุนามแตละวงเล็บท่ีไดจากข้ันท่ี 1 ซ่ึงอาจเกิดไดหลายกรณีท่ีตองพิจารณา

ข้ันท่ี 3 นําผลท่ีไดจากข้ันท่ี 2 มาหาพจนกลางทีละกรณี จนกวาจะไดพจนกลางเปนไปตามโจทยท่ี

กําหนด



1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว









1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบโดยใชสมบัติการแจกแจงท่ีเรียนในชั่วโมงท่ีแลว โดยการถามตอบ

นักเรียน และครูไดแนะนําพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวท่ีเขียนอยูในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ a , b และ c เปน

คาคงตัว ท่ี 0a ≠ และ x เปนตัวแปร

2. ครูใหนักเรียน แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เม่ือ a , b เปนจํานวนเต็ม และ

0c = โดยใหนักเรียนรวมกันอภิปราย จนไดขอสรุปรวมกันวา “ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ตัวแปรเดียวนั้น เม่ือ a , b เปนจํานวนเต็ม และ 0c = สามารถใชสมบัติการแจกแจง และมีตัวประกอบรวม

เปนเอกนาม”


3. ครูใหนักเรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ในรูป 2ax bx c+ +

เม่ือ 1a = ; b และ c เปนจํานวนเต็ม และ 0c ≠ ซ่ึงอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม ดังนี้

( )( )x p x q+ + 2x px qx pq= + + +

( )2x p q x pq= + + +

เม่ือเทียบกับรูป 2x bx c+ + จะพบวา b p q= + และ c pq=

นั่นคือ พหุนาม 2x bx c+ + จะสามารถแยกตัวประกอบไดเปน ( )( )x p x q+ + เม่ือ p q b+ =

และ pq c=

ตัวอยาง เชน พหุนาม 2 5 6x x+ +

5p q+ = และ 6pq =

เพ่ือท่ีจะแยกตัวประกอบของ 2 5 6x x+ + ตองหาใหไดวา 2 ตัวใดเปน p และ q ท่ีมีผลบวก

เทากับ 5 และผลคูณเทากับ 6

2 5 6x x+ + = ( ............)( ............)x x

แยกตัวประกอบของ 6 หาผลบวกของตัวประกอบ

2, 3 5

พบวาตัวเลข 2 ตัวท่ีคูณกันได 6 บวกกันได 5 คือ 2 และ 3

ดังนั้น 2 5 6x x+ + = ( 2)( 3)x x+ +

ขอสังเกต ถาพหุนามดีกรีสองมีท้ังสามพจนเปนบวก ตัวประกอบท่ีแยกออกมาก็จะเปนบวกท้ังหมด

นั่นคือ + + = (……+…..)(…..+…..)

ตัวอยางท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 2 3 18x x− −

วิธีทํา 2 3 18x x− − = ( ............)( ............)x x (แยกตัวประกอบของ 2x เปน x กับ x )

หาตัวประกอบของ -18 มา 2 ตัวท่ีมีผลบวกเปน -3

ตัวประกอบของ -18 ผลบวกของตัวประกอบ

3, -6 -3

จํานวน 2 จํานวนท่ีบวกกันได -3 และคูณกันได -18 คือ 3 และ -6

ดังนั้น 2 3 18x x− − = ( 6)( 3)x x− +

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 6 72y y+ −

วิธีทํา 2 6 72y y+ − = ( ............)( ............)y y (แยกตัวประกอบของ 2y เปน y กับ y )

หาตัวประกอบของ -72 มา 2 ตัวท่ีมีผลบวกเปน 6

ตัวประกอบของ -72 ผลบวกของตัวประกอบ

-6, 12 6

จํานวน 2 จํานวนท่ีบวกกันได 6 และคูณกันได -72 คือ 12 และ -6

ดังนั้น 2 6 72y y+ − = ( 6)( 12)y y− +

ขอสังเกต ถาพหุนามดีกรีสองท่ีมีพจนท่ีสามเปนลบ จะไดการแยกตัวประกอบออกมาเปน 2 พหุนามท่ีมี

วงเล็บหนึ่งเปนบวกและอีกวงเล็บหนึ่งเปนลบ

- - = (……+…..)(…..-…..)

+ - = (……+…..)(…..-…..)

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 10 21x x− +

วิธีทํา 2 10 21x x− + = ( ............)( ............)x x (แยกตัวประกอบของ 2x เปน x กับ x )

หาตัวประกอบของ 21 มา 2 ตัวท่ีมีผลบวกเปน -10

ตัวประกอบของ 21 ผลบวกของตัวประกอบ

-3 , -7 -10

จํานวน 2 จํานวนท่ีบวกกันได -10 และคูณกันได 21 คือ -3 และ -7

ดังนั้น 2 10 21x x− + = ( 3)( 7)x x− −

ขอสังเกต ถาพหุนามดีกรีสองมีพจนท่ีสองเปนลบ และพจนท่ีเปนคาคงท่ีเปนบวก แลวจะแยกตัวประกอบ

ไดสองวงเล็บท่ีเปนลบท้ังคู

- + = (……-…..)(…..-…..)



5. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.2 ขอ 1–2 ในเอกสารประกอบการเรียน

เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง












แบบฝกหัด 1.2 ขอ 1–2 แบบฝกหัด 1.2 ขอ 1–2 ตรวจสอบความถูกตอง






ทํางาน







การตอบ










เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว








1. สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวท่ีมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปน

จํานวนเต็ม และมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนในพหุนามตัวประกอบเปนจํานวนเต็มได


พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (Quadratic polynomial with one variable) คือ พหุนามท่ี

เขียนไดในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ a , b และ c เปนคาคงตัว (Constant) ท่ี 0a ≠ และ x เปนตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เม่ือ

1. a , b เปนจํานวนเต็ม และ 0c =

ในกรณีท่ี 0c = การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว โดยใชสมบัติการแจกแจง

(Distributive property) ดังนี้

( )2ax bx c x ax b+ + = + เม่ือ x เปนตัวประกอบรวม

2. 1a = ; b และ c เปนจํานวนเต็ม และ 0c ≠

พิจารณาการคูณพหุนามตอไปนี้

( )( )x p x q+ + 2x px qx pq= + + +

( )2x p q x pq= + + +

เม่ือเทียบกับรูป 2ax bx c+ + พบวา b p q= + และ c pq=

นั่นคือ 2ax bx c+ + สามารถแยกตัวประกอบไดเปน ( )( )x p x q+ + โดยท่ี p q b+ = และ

pq c=

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เม่ือ a , b , c เปนจํานวนเต็ม และ 0a ≠ ,

1a ≠ , 0c ≠ ทําไดดังนี้

ข้ันท่ี 1 หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามท่ีคูณกันแลวไดพจนหนา โดยเขียนสองพหุนามนั้น เปนพจน

หนาในวงเล็บสองวงเล็บ

ข้ันท่ี 2 หาจํานวนเต็มสองจํานวนท่ีคูณกันแลวไดพจนหลัง แลวเขียนจํานวนท้ังสองนี้เปนพจนหลัง

ของพหุนามแตละวงเล็บท่ีไดจากข้ันท่ี 1 ซ่ึงอาจเกิดไดหลายกรณีท่ีตองพิจารณา

ข้ันท่ี 3 นําผลท่ีไดจากข้ันท่ี 2 มาหาพจนกลางทีละกรณี จนกวาจะไดพจนกลางเปนไปตามโจทยท่ี

กําหนด



1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว









1.ครูและนักเรียนทบทวนการคูณพหุนามดวยพหุนามและการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองใน

รูป 2ax bx c+ + เม่ือ 1a = และ b , c ปนจํานวนเต็ม และ 0c ≠


2. ครูกําหนดพหุนาม 22 7 6x x+ + บนกระดานดําแลวใหนักเรียนชวยกันแยกตัวประกอบ จากนั้น

ครูถามนักเรียนวา นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบตามท่ีเคยเรียนมาจากคาบท่ีแลวไดหรือไม อยางไร

3. ครูยกตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ ,a ,b c เปน

จํานวนเต็มท่ี 0,1a ≠ และ 0c ≠ จากโจทยดังกลาวขางตนตามวิธี ดังนี้

วิธีทํา 1. หาพหุนามสองพหุนามท่ีคูณกันแลวไดพจนหนา คือ 22x ซ่ึงตัวประกอบของ 2 คือ 1, 2

นั่นคือ x กับ 2x เขียนสองพหุนามนั้นเปนพจนหนาของพหุนามในวงเล็บสองวงเล็บดังนี้

( .......)(2 ......)x x 2. จากนั้นพิจารณาหาจํานวนสองจํานวนท่ีคูณกันแลวไดเทากับพจนหลัง คือ 6 ซ่ึงอาจเปน 1

กับ 6 หรือ 2 กับ 3 หรือ -1 กับ -6 หรือ -2 กับ -3 แลวเขียนจํานวนท้ังสองนี้เปนพจนหลังของ

พหุนามในแตละวงเล็บท่ีไดในขอท่ี 1ดังนี้

( 1)(2 6)( 1)(2 6)( 6)(2 1)( 6)(2 1)

x xx xx xx x

+ +− −+ +− −

( 2)(2 3)( 2)(2 3)( 3)(2 2)( 3)(2 2)

x xx xx xx x

+ +− −+ +− −

3. จากนั้นนําผลท่ีไดจากขอ 2 มาตรวจสอบหาพจนกลาง โดยนําพจนท่ีใกลกันคูณกัน แลว

บวกดวยพจนท่ีไกลกันคูณกัน (ใกล×ใกล + ไกล×ไกล) หากตรวจสอบแลวพบวามีผลบวกเทากับพจน

คือ 7x แสดงวาแยกตัวประกอบถูกตอง ( 3)(2 2)x x+ + ไดพจนกลางเปน 2 6 8x x x+ =

( 2)(2 3)x x+ + ไดพจนกลางเปน 3 4 7x x x+ = ถูกตอง

ดังนั้น การแยกตัวประกอบของ 22 7 6x x+ + ( 2)(2 3)x x= + +

ตัวอยางท่ี 1 พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม 22 7 6x x+ + โดยพหุนามนี้จะสามารถแยกออก

ไดเปน 2 วงเล็บ ดังแผนภาพ

ตัวประกอบของ 2

(....... .......)(....... ......)x x+ +

ตัวประกอบของ 6

ตัวประกอบของ 2 คือ 1, 2

ตัวประกอบของ 6 คือ 1, 6 และ 2, 3

แสดงวา สามารถแยกได 4 รูปแบบคือ

( 1)(2 6)( 6)(2 1)( 2)(2 3)( 3)(2 2)

x xx xx xx x

+ ++ ++ ++ +

รูปแบบท่ีจะเปนการแยกตัวประกอบท่ีถูกตองคือ ผลคูณระหวางพจนใกลกับใกล และ พจนไกลกับไกล

ตองรวมกันไดเทากับ 7x

ดังนั้น 22 7 6x x+ + ( 2)(2 3)x x= + +

นอกจากวิธีดังกลาวนี้แลว การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีอยูในรูปนี้ยังสามารถใชการจัดรูปโดย

การแยกพจนกลางออกมา แลวแยกตัวประกอบดวยวิธีการใชสมบัติการแจกแจงไดดังตัวอยางตอไปนี้


วิธีทํา 25 16 3x x− + = 25 15 3x x x− − +

= 2(5 ) (15 3)x x x− − −

= (5 1) 3(5 1)x x x− − −

= (5 1)( 3)x x− −

นอกจากนี้การแยกตัวประกอบท่ีกลาวมาอาจจะนําไปใชในกรณีท่ีมี 2 ตัวแปรไดดวย ดังตัวอยาง

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 24 12 9x xy y− +

วิธีทํา 2 24 12 9x xy y− + = (2 3 )(2 3 )x y x y− −



5. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.2 ขอ 3–4 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแยกตัวประกอบ

ของพหุนามดีกรีสอง


















ทํางาน







การตอบ










เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนกําลังสองสมบูรณ







นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนกําลังสองสมบูรณและเขียนอยูในรูป

2 22A AB B+ + และ 2 22A AB B− + เม่ือ A และ B แทนพหุนามได


พหุนามดีกรีสอง เม่ือแยกตัวประกอบแลวจะไดตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีหนึ่งท่ีซํ้ากัน เรียกพหุนาม

ดีกรีสองท่ีมีลักษณะเชนนี้วา กําลังสองสมบูรณ (Perfect square)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนกําลังสองสมบูรณ มีดังนี้

2 2 22 ( )A AB B A B+ + = + หรือ (หนา) 2 2 + หนาหลัง + (หลัง) 2 = (หนา + หลัง) 2

2 2 22 ( )A AB B A B− + = − หรือ (หนา) 2 2 − หนาหลัง + (หลัง) 2 = (หนา − หลัง) 2



1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนกําลังสองสมบูรณ









1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวท่ีเรียนในชั่วโมงท่ีแลว โดยให

นักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ พรอมท้ังพิจารณาคําตอบท่ีได

1) 2 12x x+ + ( 1)( 1)x x= + +

2) 6 92x x− + ( 3)( 3)x x= − −

3) 4 12 92x x+ + (2 3)(2 3)x x= + +

4) 9 30 252x x− − (3 5)(3 5)x x= − −

ครูและนักเรียนรวมกันอภิปราย จนไดขอสรุปรวมกันวา

(พจนหนา) 2 2 + (พจนหนา)(พจนหลัง) + (พจนหลัง) 2 = (พจนหนา + พจนหลัง) 2

(พจนหนา) 2 2 − (พจนหนา)(พจนหลัง) + (พจนหลัง) 2 = (พจนหนา − พจนหลัง) 2

2. ครูไดชี้แจงเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลัง จะแยกตัว

ประกอบพหุนามดีกรีสองท่ีเปนกําลังสองสมบูรณไดตามสูตร ดังนี้

2 2 22 ( )A AB B A B+ + = +

2 2 22 ( )A AB B A B− + = −


3. ครูใหนักเรียนพิจารณาแนวทางในการหาคําตอบ โดยการถามตอบไปพรอมกับนักเรียน จาก

ตัวอยางตอไปนี้


วิธีทํา 2 34 289x x− + = 2 22(17)( ) (17)x x− +

= 2( 17)x −

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 24 36 81x x+ +

วิธีทํา 24 36 81x x+ + = 2 2(2 ) 2(2 )(9) (9)x x− +

= 2(2 9)x +

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 264 176 121x xy y+ +

วิธีทํา 2 264 176 121x xy y+ + = 2 2(8 ) 2(8 )(11 ) (11 )x x y y− +

= 2(8 11 )x y+

ตัวอยางท่ี 4 จงแยกตัวประกอบของ 2( 2) 12( 2) 36x x− + − +

วิธีทํา 2( 2) 12( 2) 36x x− + − + = 2 2( 2) 2(6)( 2) 6x x− + − +

= 2[( 2) 6]x − +

= 2( 2 6)x − +

= 2( 4)x +



6. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.3 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแยกตัวประกอบของ










- การแยกตัวประกอบของพหุ

นามโดยใชสมบัติ







- การเขาเรียน

และการทํางาน







การตอบ




ความหมาย และการนําเสนอ





เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง







นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง ซ่ึงเขียนอยูในรูป

2 2A B− เม่ือ A และ B เปนพหุนามได


พหุนามดีกรีสองท่ีสามารถแยกตัวประกอบ จะไดตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีหนึ่ง ท่ีมีพจนเหมือนกัน

แตมีเครื่องหมายระหวางพจนตางกัน เขียนไดในรูป 2 2A B− เม่ือ A และ B เปนพหุนามได เรียกพหุนาม

ดีกรีสองนี้วา ผลตางของกําลังสอง (Difference of two squares)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง มีดังนี้

2 2 ( )( )A B A B A B− = + − หรือ (หนา) 2 − (หลัง) 2 = (หนา + หลัง)(หนา − หลัง)



1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง









1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว โดยใหนักเรียนแยกตัวประกอบ

ของพหุนามตอไปนี้ พรอมท้ังพิจารณาคําตอบท่ีได

1) 12x − (หรือ 0 12x x+ − ) ( 1)( 1)x x= + −

2) 642x − (หรือ 0 642x x+ − ) ( 8)( 8)x x= + −

3) 4 252x − (หรือ 4 0 252x x+ − ) (2 5)(2 5)x x= + −

4) 9 1212x − (หรือ9 0 1212x x+ − ) (3 11)(3 11)x x= + −

ครูและนักเรียนรวมกันอภิปราย จนไดขอสรุปรวมกันวา

(พจนหนา) 2 − (พจนหลัง) 2 = (พจนหนา + พจนหลัง)(พจนหนา − พจนหลัง)

2. ครูไดชี้แจงเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลัง จะแยก

ตัวประกอบพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสองไดตามสูตร ดังนี้

2 2 ( )( )A B A B A B− = + −


3. ครูใหนักเรียนพิจารณาแนวทางในการหาคําตอบ โดยการถามตอบไปพรอมกับนักเรียนจากตัวอยาง

ตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 2 4a −

วิธีทํา 2 4a − = 2 22a −

= ( 2)( 2)a a− +

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 29 ( )a b c− +

วิธีทํา 2 29 ( )a b c− + = 2 2(3 ) 4x −

= (3 4)(3 4)x x− +

ตัวอยางท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 2 2( 8) ( 5)x x− − +

วิธีทํา 2 2( 8) ( 5)x x− − + = [( 8) ( 5)][( 8) ( 5)]x x x x− − + − + +

= ( 8 5)( 8 5)x x x x− − − − + +

= ( 13)(2 3)x− −



6. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.4 ขอ 1 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแยกตัวประกอบของ










- การแยกตัวประกอบ

ของพหุนามโดยใชสมบัติ


แบบฝกหัด 1.4 ขอ 1 แบบฝกหัด 1.4 ขอ 1 ตรวจสอบความถูกตอง


คุณลักษณะอันพึง

ประสงค




ทํางาน







การตอบ










เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง







นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง ซ่ึงเขียนอยูในรูป

2 2A B− เม่ือ A และ B เปนพหุนามได


พหุนามดีกรีสองท่ีสามารถแยกตัวประกอบ จะไดตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีหนึ่ง ท่ีมีพจนเหมือนกัน

แตมีเครื่องหมายระหวางพจนตางกัน เขียนไดในรูป 2 2A B− เม่ือ A และ B เปนพหุนามได เรียกพหุนาม

ดีกรีสองนี้วา ผลตางของกําลังสอง (Difference of two squares)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง มีดังนี้

2 2 ( )( )A B A B A B− = + − หรือ (หนา) 2 − (หลัง) 2 = (หนา + หลัง)(หนา − หลัง)



1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสอง









1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรท่ีเปนผลตางของกําลังสอง ซ่ึงเขียนอยู

ในรูป 2 2A B− เม่ือ A และ B เปนพหุนาม

2. ครูไดชี้แจงเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลัง จะแยก

ตัวประกอบพหุนามดีกรีสองท่ีเปนผลตางของกําลังสองไดตามสูตร ดังนี้

2 2 ( )( )A B A B A B− = + −


3. ครูใหนักเรียนพิจารณาแนวทางในการหาคําตอบ โดยการถามตอบไปพรอมกับนักเรียนจากตัวอยาง

ตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ 2 2( 10 25) 64x x x+ + −

วิธีทํา 2 2( 10 25) 64x x x+ + − = 2 2( 5) (8 )x x+ −

= [ ][ ]( 5) 8 ( 5) 8x x x x+ + + −

= ( 5 8 )( 5 8 )x x x x+ + + −

= (9 5)(5 7 )x x+ −

ตัวอยางท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 2121 ( 12 36)x x x− − +

วิธีทํา 2 2121 ( 12 36)x x x− − + = 2 2(11 ) ( 6)x x− −

= [ ][ ]11 ( 6) 11 ( 6)x x x x+ − − −

= (11 6)(11 6)x x x x+ − − −

= (12 6)(10 6)x x− −

= 6(2 1)2(5 3)x x− −

= 12(2 1)(5 3)x x− −

ตัวอยางท่ี 3 กําหนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมท่ีมี AD ตั้งฉากกับ BC ท่ีจุด D ถา AB = 13 หนวย

AC = 20 หนวย และ BC = 21 หนวย จงหาความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC

วิธีทํา สมมติให ,BD x AD h= = จะได 21DC x= −

จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จะได 2 2h x+ = 213 (1)

2 2(21 )h x+ − = 220 (2)

2 2(1) (2); (21 )x x− − − = 2 213 20−

[ (21 )][ (21 )]x x x x− − + − = (13 20)(13 20)− +

(21 21)(21)x − = 7(33)−

2 21x − = 11−

2x = 10

x = 5

แทนคา 5x = ใน (1) จะได

2 2 25 13h + =

2 2 213 5 (13 5)(13 5)h = − = − +

8 18 144= × =

นั่นคือ 12h =

ดังนั้น ความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับ 2 หนวย



6. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.4 ขอ 2 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแยกตัวประกอบของ
















ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 2 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว เรื่อง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว





1) แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได

2) แกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได



1. สามารถบอกไดวาสมการใดเปนสมการยกกําลังสองตัวแปรเดียว

2. สามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแทนคาได

3. สามารถแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแยกตัวประกอบได


สมการซ่ึงมี x เปนตัวแปร และมีรูปท่ัวไปเปน 2ax bx c+ + เม่ือ a , b , c เปนคาคงตัว และ

0a ≠ เรียกวา สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (Quadratic equation with one variable)

ในการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว จะตองใชความรูเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามเขามา

ชวย ดังนี ้

1. ( )ab ac a b c+ = + 2. 2 ( )( )x bx c x p x q+ + = + + เม่ือ p q b+ = และ pq c=

3. 2 ( )( )ax bx c mx p nx q+ + = + + เม่ือ ( ) ( )mx q nx p bx× + × =

4. 2 2 22 ( )a ab b a b+ + = + 5. 2 2 22 ( )a ab b a b− + = − 6. 2 2 ( )( )a b a b a b− = + −

สมบัติของจํานวนจริง ท่ีกลาววา “ถามีจํานวนจริงสองจํานวนคูณกันเทากับศูนย แลวอยางนอยหนึ่ง

จํานวนเทากับศูนย”

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว คือ จํานวนจริงซ่ึงเม่ือแทนคาตัวแปรในสมการแลวทําให

สมการเปนจริง



1. สมการยกกําลังสองตัวแปรเดียว









1. ครูไดทบทวน เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยการถามตอบกับนักเรียน


2. ครูใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ

a , b และ c เปนคาคงตัว และ 1a ≠ โดยถามตอบไปพรอมกับนักเรียน ดังนี้

ตัวอยาง

22 3 4x x+ + = 0 เปนสมการท่ีมี 2,a = 3,b = 4c =

2 2 5x x− + = 0 เปนสมการท่ีมี 1,a = 2,b = − 5c =

2 2x x− + = 0 เปนสมการท่ีมี 1,a = − 2,b = 0c =

21 52

x − = 0 เปนสมการท่ีมี 1 ,2

a = 0,b = 5c = −

21.5x = 0 เปนสมการท่ีมี 1.5,a = 0,b = 0c =

ในบางครั้งสมการท่ีพบเห็นโดยท่ัวไปอาจจะไมอยูในรูปท่ัวไป แตเราสามารถใชสมบัติการเทากันมา

ชวยในการจัดรูป แลวพิจารณาวาอยูในรูปท่ัวไปและเขาเง่ือนไขของสมการกําลังสองหรือไม เชน

( 6) 2y y − =

จัดรูปเปน 2 6y y− = 2

2 6 2y y− − = 0 ; 1,a = 6,b = − 2c = −

22 3x x− + = 22x x−

จัดรูปเปน 2 22 3 2x x x x− + − + = 0

2x = 0 ; 0,a = 2,b = 0c =

ดังนั้น ( 6) 2y y − = เปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

แต 22 3x x− + = 22x x− ไมเปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เพราะ 0a =

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว คือ จํานวนจริงซ่ึงเม่ือแทนตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการ

เปนจริง

คําตอบของสมการกําลังสองมีไดไมเกินสองคําตอบ และวิธีการหาคําตอบอาจจะใชการทดลองแทนคา

หรือจะใชการแกสมการมาชวยในการหาคําตอบก็ได ซ่ึงการแกสมการกําลังสองจะใชการแยกตัวประกอบ และ

ใชสมบัติของจํานวนจริงท่ีกลาววา ถามีจํานวนจริงสองจํานวนคูณกันไดเทากับศูนยแลว จํานวนอยางนอย

หนึ่งจํานวนตองเทากับศูนย

นั่นคือ ถา ,a b เปนจํานวนจริง และ 0ab = แลว 0a = หรือ 0b =

ตัวอยางท่ี 1 จงแกสมการ 2x = 7x−

วิธีทํา จาก 2x = 7x−

จะได 2 7x x+ = 0

( 7)x x − = 0

ดังนั้น 0x = หรือ 7 0x + =

นั่นคือ 0x = หรอื 7x = −

ตรวจคําตอบ แทนคา 0x = ในสมการ 2x = 7x−

จะได 2(0) 7(0)= −

0 0= เปนจริง

แทนคา 7x = − ในสมการ 2x = 7x−

จะได 2( 7) 7( 7)− = − −


ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 0 และ -7

ตัวอยางท่ี 2 จงแกสมการ 2( 14)y − = 0

วิธีทํา จาก 2( 14)y − = 0

จะได ( 14)( 14)y y− − = 0

ดังนั้น 14 0y − =

14y =

ตรวจคําตอบ แทนคา 14y = ในสมการ 2( 14)y − = 0

จะได 2(14 14)− = 0


ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 14

ตัวอยางท่ี 3 จงแกสมการ 2 6 5x x+ + = 0

วิธีทํา จาก 2 6 5x x+ + = 0

จะได ( 5)( 1)x x+ + = 0

ดังนั้น 5 0x + = หรือ 1 0x + =

นั่นคือ 5x = − หรือ 1x = −

ตรวจคําตอบ แทนคา 5x = − ในสมการ 2 6 5x x+ + = 0

จะได 2( 5) 6( 5) 5− + − + = 0


แทนคา 1x = − ในสมการ 2 6 5x x+ + = 0

จะได 2( 1) 6( 1) 5− + − + = 0


ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ -5 และ -1



4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 2.1 ขอ 1 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง สมการกําลังสองตัวแปร

เดียว


1. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว













ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 2 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว เรื่อง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว





1) แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได

2) แกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได



1. สามารถบอกไดวาสมการใดเปนสมการยกกําลังสองตัวแปรเดียว

2. สามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแทนคาได

3. สามารถแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยการแยกตัวประกอบได


สมการซ่ึงมี x เปนตัวแปร และมีรูปท่ัวไปเปน 2ax bx c+ + เม่ือ a , b , c เปนคาคงตัว และ

0a ≠ เรียกวา สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (Quadratic equation with one variable)

ในการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว จะตองใชความรูเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามเขามา

ชวย ดังนี ้

1. ( )ab ac a b c+ = + 2. 2 ( )( )x bx c x p x q+ + = + + เม่ือ p q b+ = และ pq c=

3. 2 ( )( )ax bx c mx p nx q+ + = + + เม่ือ ( ) ( )mx q nx p bx× + × =

4. 2 2 22 ( )a ab b a b+ + = + 5. 2 2 22 ( )a ab b a b− + = − 6. 2 2 ( )( )a b a b a b− = + −

สมบัติของจํานวนจริง ท่ีกลาววา “ถามีจํานวนจริงสองจํานวนคูณกันเทากับศูนย แลวอยางนอยหนึ่ง

จํานวนเทากับศูนย”

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว คือ จํานวนจริงซ่ึงเม่ือแทนคาตัวแปรในสมการแลวทําให

สมการเปนจริง



1. สมการยกกําลังสองตัวแปรเดียว









1. ครูไดทบทวน เรื่อง การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว โดยการถามตอบกับนักเรียน


2. ครูใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ในรูป 2ax bx c+ + เม่ือ

a , b และ c เปนคาคงตัว และ 1a ≠ โดยถามตอบไปพรอมกับนักเรียน ดังนี้

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว คือ จํานวนจริงซ่ึงเม่ือแทนตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการ


คําตอบของสมการกําลังสองมีไดไมเกินสองคําตอบ และวิธีการหาคําตอบอาจจะใชการทดลองแทนคา

หรือจะใชการแกสมการมาชวยในการหาคําตอบก็ได ซ่ึงการแกสมการกําลังสองจะใชการแยกตัวประกอบ และ

ใชสมบัติของจํานวนจริงท่ีกลาววา ถามีจํานวนจริงสองจํานวนคูณกันไดเทากับศูนยแลว จํานวนอยางนอย

หนึ่งจํานวนตองเทากับศูนย

นั่นคือ ถา ,a b เปนจํานวนจริง และ 0ab = แลว 0a = หรือ 0b =

ตัวอยางท่ี 1 จงแกสมการ 25 45x − = 0

วิธีทํา จาก 25 45x − = 0

นํา 5 หารตลอด จะได

2 9x − = 0

( 3)( 3)x x− + = 0

ดังนั้น 3 0x − = หรือ 3 0x + =

นั่นคือ 3x = หรือ 3x = −

ตรวจคําตอบ แทนคา 3x = ในสมการ 25 45x − = 0

จะได 25(3) 45− = 0

45 45− = 0 เปนจริง

แทนคา 3x = − ในสมการ 25 45x − = 0

จะได 25( 3) 45− − = 0

45 45− = 0 เปนจริง

ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 3 และ -3

ตัวอยางท่ี 2 จงแกสมการ 24a = 10 3a−

วิธีทํา จาก 24a = 10 3a−

จะได 24 3 10a a+ − = 0

(4 5)( 2)a a− + = 0

ดังนั้น 4 5 0a − = หรือ 2 0a + =

นั่นคือ 54

a = หรือ 2a = −

ตรวจคําตอบ แทนคา 54

a = ในสมการ 24a = 10 3a−

จะได 254

4

= 510 34

−

254

= 254


แทนคา 2a = − ในสมการ 24a = 10 3a−

จะได 24( 2)− = 10 3( 2)− −

16 = 16 เปนจริง

ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 54

และ 2−




เดียว



2. หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตรเพ่ิมเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2

เลม 2 ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 กระทรวงศึกษาธิการ โรงพิมพ สกสค.











ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 2 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว

เรื่อง โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว





1. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได

2. แกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได



1. สามารถแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวได

2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได


การแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการ มีข้ันตอนและแนวคิดดังนี้

1) อานและวิเคราะหโจทย

2) กําหนดตัวแปรแทนสิ่งท่ียังไมทราบคา

3) วิเคราะหเง่ือนไขในโจทยและเขียนสมการ

4) แกสมการ

5) ตรวจสอบคําตอบของสมการตามเง่ือนไขในโจทย



1. โจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว









1. ครูใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาเก่ียวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวท่ีอาจหาคําตอบไดโดยอาศัยแบบ

รูปตามตัวอยางในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 2 หนาท่ี 51 – 52

เพ่ือใหนักเรียนเห็นวา เม่ือตองการแกปญหาในทํานองเดียวกันแตใชกับจํานวนท่ีมีคามากกวา การหาคําตอบ

โดยอาศัยแบบรูปจะไมสะดวก จําเปนตองใชสมการมาชวยในการหาคําตอบ

2. ครูชี้แจงกับนักเรียนวา โจทยปญหาในคณิตศาสตรบางเรื่องสามารถแกโดยใชสมการกําลังสองตัวแปรเดียว

เชน ปญหาเก่ียวกับจํานวน ความยาว พ้ืนท่ี และปริมาตร

3. ครูอธิบายข้ันตอนของแนวคิดและวิธีทําในการแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการ ดังนี้







4. ครูใหนักเรียน พิจารณาโจทยปญหาของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว และแนวทางในการหา

คําตอบ โดยการถามตอบไปพรอมกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 ใหผลคูณของจํานวนคูจํานวนหนึ่งกับจํานวนคูอีกจํานวนหนึ่งท่ีอยูถัดไปเปน 168

จงหาจํานวนคูท้ังสองจํานวนนั้น

วิธีทํา ให x แทนจํานวนคูท่ีเปนจํานวนท่ีนอยกวา

ให 2x + แทนจํานวนคูท่ีถัดข้ึนไป

เนื่องจากผลคูณของสองจํานวนคือ 168

จะไดสมการ ( 2)x x + = 168

2 2 168x x+ − = 0

( 14)( 12)x x+ − = 0

ดังนั้น 14x + = 0 หรือ 12x − = 0

จะได x = 14− หรือ x = 12

ตรวจสอบ 1) ถาให 12 เปนจํานวนคูบวกท่ีนอยกวา จะไดจํานวนคูบวกท่ีถัดข้ึนไปเปน 12 2 14+ =

ผลคูณของ 12และ 14 เปน 12 14 168× = เปนจริง

2) ถาให 14− เปนจํานวนคูบวกท่ีนอยกวา จะไดจํานวนคูบวกท่ีถัดข้ึนไปเปน

( 14) 2 12− + = − ผลคูณของ 14− และ 12− เปน ( 14)( 12) 168− − = เปนจริง

ตัวอยางท่ี 2 จงหาจํานวนค่ีบวกสองจํานวนท่ีผลบวกของกําลังสองของแตละจํานวนมีคาเทากับ 130

วิธีทํา กําหนดใหจํานวนแรกเปน x อีกจํานวนเปน 2x +

จะได 2 2( 2)x x+ + = 130

2 2 4 4x x x+ + + = 130

22 4 126x x+ − = 0

( 7)( 9)x x− + = 0

∴ 7x = หรือ 9x = −

ถา 7x = อีกจํานวนคือ 7 2 9+ =

9x = − ไมใชคําตอบท่ีตองการเพราะเปนจํานวนลบ

ดังนั้น จํานวนค่ีบวกท่ีเปนคําตอบคือ 7 และ 9

ตรวจสอบ 2 27 9 49 81 130+ = + =




เดียว















ประสงค




ทํางาน







การตอบ







































1. ครูกับนักเรียนรวมกันทบทวนเก่ียวกับข้ันตอนของแนวคิดและวิธีทําในการแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการ

ดังนี้









ตัวอยางท่ี 1 ชายคนหนึ่งมีอายุปจจุบันเปน 5 เทาของบุตรชาย เม่ือสี่ปท่ีแลวผลคูณของอายุของคนท้ังสอง

เทากับ 52 จงหาอายุปจจุบันของคนท้ังสอง

วิธีทํา สมมติใหปจจุบันบุตรชายมีอายุ x ป

∴ ชายคนนี้มีอายุ 5x ป

เม่ือ 4 ปท่ีแลว บุตรชายมีอายุ 4x − ป ชายคนนี้อายุ 5 4x − ป

จะได ( 4)(5 4)x x− − = 52

25 24 16x x− + = 52

25 24 36x x− + = 0

(5 6)( 6)x x+ − = 0

65

x = − หรือ 6x =

เนื่องจากคา 65

− ใชไมได ดังนั้น บุตรชายตองมีอายุ 6 ป ชายคนนี้อายุ 30 ป

ตรวจสอบ เม่ือ 4 ปท่ีแลวบุตรมีอายุ 2 ป บิดามีอายุ 26 ป

ผลคูณ 2 26 52× = เปนจริง

ตัวอยางท่ี 2 พ่ีนองสองคน มีอายุตางกัน 6 ป 3 เทาของกําลังสองของอายุของพ่ีมากกวากําลังสองของ

ผลบวกของอายุของท้ังสองคนอยู 44 จงหาอายุของพ่ีนองคูนี้

วิธีทํา กําหนดใหนองมีอายุ x ป

ดังนั้นพ่ีมีอายุ 6x + ป

3 เทาของกําลังสองของอายุพ่ีคือ 23( 6)x +

กําลังสองของผลบวกของอายุของท้ังสองคนคือ 2( 6)x x+ +

ดังนั้น 2 23( 6) ( 6) 44x x x+ − + + =

2 23( 12 36) (4 24 36) 44x x x x+ + − + + =

2 23 36 108 4 24 36 44x x x x+ + − − − =

2 12 28 0x x− − =

( 2)( 14) 0x x+ − =

2,14x = −

แสดงวานองอายุ 14 ป และพ่ีอายุ 20 ป

ตอบ นองอายุ 14 ป และพ่ีอายุ 20 ป




เดียว


1. เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง สมการกําลังสองตัวแปรเดียว













ประสงค




ทํางาน







การตอบ




































x

x+713




1. ครูกับนักเรียนรวมกันทบทวนเก่ียวกับข้ันตอนของแนวคิดและวิธีทําในการแกโจทยปญหาเก่ียวกับสมการ

ดังนี้









ตัวอยางท่ี 4 รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีดานตรงขามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร ความยาวของดาน

ประกอบมุมฉากตางกัน 7 เซนติเมตร จงหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้

วิธีทํา ใหดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งเปน x เซนติเมตร

ความยาวของดานประกอบมุมฉากอีกดานหนึ่งเปน 7x + เซนติเมตร

เนื่องจากดานตรงขามมุมฉากมีความยาว 13 เซนติเมตร

จากสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะไดสมการเปน

2 2( 7)x x+ + = 213

2 2 14 49x x x+ + + = 169

22 14 120x x+ − = 0

2 7 60x x+ − = 0

( 5)( 12)x x− + = 0

ดังนั้น 5x − = 0 หรือ 12x + = 0

จะได x = 5 หรือ x = 12−

ตรวจสอบ เนื่องจาก x แทนความยาวของดานซ่ึงจะเปนจํานวนบวก

ดังนั้น 12− จึงไมใชความยาวของดาน

ถาใหความยาวของดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งเปน 5 เซนติเมตร

ความยาวดานประกอบมุมฉากอีกดานหนึ่งจะเปน 5 + 7 = 12 เซนติเมตร

จะไดผลบวกของกําลังสองของความยาวของดานประกอบมุมฉากเปน

2 25 12 169+ = เปนจริง

ดังนั้น พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม 12

= × ฐาน × สูง

1 5 122

= × ×

30= ตารางเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 สวนสาธารณะแหงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 14 เมตร ยาว 24 เมตร เม่ือทําทางเดิน

ภายในรอบสวนใหมีความกวางเทากันโดยตลอดแลว จะเหลือบริเวณสวนท่ีไมรวมทางเดินคิดเปนพ้ืนท่ี 200

ตารางเมตร จงหาความกวางของทางเดินรอบสวนนี้

ดังนั้น ทางเดินของสวนกวาง 2 เมตร

วิธีทํา ใหทางเดินกวาง x เมตร

บริเวณท่ีเหลือ กวาง 14 – 2x เมตร

ยาว 24 – 2x เมตร

จะไดสมการเปน (14 2 )(24 2 ) 200x x− − =

2 19 34 0x x− + =

( 2)( 17) 0x x− − = จะได x = 12 หรือ x = 17

เนื่องจากเม่ือแทนคาดวย 17 จะหาคําตอบไมได

ดังนั้นทางเดินของสวนกวาง 2 เมตร




เดียว














ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 3 การแปรผัน เรื่อง การแปรผกผัน





1. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางปริมาณตางๆท่ีแปรผันตอกันได

2. แกปญหาหรือสถานการณท่ีกําหนดโดยใชความรูเก่ียวกับการแปรผันได



1. บอกไดวาปริมาณสองปริมาณท่ีกําหนดใหแปรผันตรงตอกันหรือไม เม่ือกําหนดความสัมพันธระหวาง

สองปริมาณนั้นให

2. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางสองปริมาณใดๆ ท่ีแปรผันตรงตอกันได

3. แกโจทยปญหาหรือสถานการณเก่ียวกับการแปรผันตรงได



บทนิยาม

ให x และ y แทนปริมาณใดๆ y แปรผันตรงกับ x เม่ือ y kx= โดยท่ี k เปนคาคงตัว และ 0k ≠

สมการ y kx= โดยท่ี k เปนคาคงตัว และ 0k ≠ เรียกวา สมการแสดงการแปรผันของการแปรผัน

ตรง เรียก k วา คาคงตัวของการแปรผัน และเขียนแทน y แปรผันตรงกับ x ดวย y x∝



1. การแปรผันตรง









1. ครูสนทนากับนักเรียนเรื่องสถานการณในชีวิตประจําวัน ท่ีแสดงความสัมพันธของปริมาณสอง

ปริมาณ โดยใหนักเรียนยกตัวอยางวามีอะไรบาง

2. ครูใหนักเรียนพิจารณาสถานการณตอไปนี้ จากตารางแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณจํานวน

แอปเปลและจํานวนเงินท่ีจาย ดังนี้

ปริมาณจํานวนแอปเปล (ลูก) จํานวนเงินท่ีจาย (บาท)

0123456

.

.

.

05

1015202530

.

.

.

3. ครูชี้แจงกับนักเรียนวา

ให x แทนปริมาณจํานวนแอปเปลเปนลูก

y แทนจํานวนเงินท่ีจายเปนบาท

โดยจากแบบรูปในตาราง สามารถเขียนความสัมพันธระหวาง x และ y ไดเปน 5y x= นั่นคือ

เม่ือปริมาณจํานวนแอปเปล x เพ่ิมข้ึน จํานวนเงินท่ีจาย y ก็จะสูงข้ึนตาม ในอัตราท่ีคงตัวคือ 5 บาทตอ

กิโลกรัม


4. ครูเขียนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณจํานวนแอปเปล และจํานวนเงินท่ีจาย ดังรูป

จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายจนไดขอสรุปรวมกัน ดังนี้ กราฟท่ีไดเปนกราฟแสดง

ความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ เม่ือปริมาณหนึ่งเพ่ิม อีกปริมาณก็เพ่ิมข้ึนดวย หรือเม่ือปริมาณหนึ่ง

ลดลง อีกปริมาณหนึ่งก็ลดลงตามไปดวย อยางเปนสัดสวน โดยครูเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา ความสัมพันธใน

ลักษณะดังกลาว เปนการแปรผันตรง

5. ครูอธิบายถึงนิยามของการแปรผันตรง ดังนี้

บทนิยาม ให x และ y แทนปริมาณใดๆ y แปรผันตรงกับ x เม่ือ y kx= โดยท่ี k เปนคาคงตัว

และ 0k ≠

สมการ y kx= โดยท่ี x เปนคาคงตัว และ 0k ≠ เรียกวา สมการแสดงการแปรผันของการแปรผันตรง

เรียก k วา คาคงตัวของการแปรผัน และเขียนแทน y แปรผันตรงกับ x ดวย y x∝ ซ่ึง y x∝ สามารถ

เขียนเปน , 0 y k kx= ≠

6. ครูใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางความสัมพันธ

ตัวอยางท่ี 1 จากตารางแสดงความเก่ียวของระหวาง x และ y ตอไปนี้ จงหาวา y แปรผันตรงกับ x

หรือไม ถา y แปรผันตรงกับ x ใหหาคาคงตัวของการแปรผันและเขียนสมการการแปรผัน

1)

x 2 3 4 5 6

y 10 15 20 25 30

x -2 -4 -6 -8 -10

X (จํานวนแอปเปลเปนลูก)

Y (จํานวนเงินท่ีจายเปนบาท)

2)

วิธีทํา 1) หาคาของ yx

ในแตละคูไดดังนี้

x 2 3 4 5 6

y 10 15 20 25 30

yx

5 5 5 5 5

เนื่องจาก yx

ทุกคูเทากับ 5 ดังนั้น y α x โดยมี 5 เปนคาคงตัวของการแปรผัน

สมการการแปรผัน คือ 5y x=

2) หาคาของ yx

ในแตละคูไดดังนี้

x -2 -4 -6 -8 -10

y 1 2 3 4 5

yx

12

− 12

− 12

− 12

− 12

−

เนื่องจาก yx

ทุกคูเทากับ 12

− ดังนั้น y α x โดยมี 12

− เปนคาคงตัวของการแปรผัน

สมการการแปรผัน คือ 12

y x= −

นอกจากจะมี y α x แลว y อาจจะแปนผันตรงกับปริมาณอ่ืนๆ ท่ีเก่ียวของกับ x เชน y α 2x

และ y α x เชน

จะไดวา

y 1 2 3 4 5

x 5 10 15 20 25

y 5 20 45 80 125

x 5 10 15 20 25

y 5 20 45 80 125

yx

1 2 3 4 5

จากตางรางจะเห็นวา yx

ไมเทากันทุกคู แสดงวา y ไมแปรผันตรงกับ x

ถาพิจารณา y α 2x จะไดวา

จากตาราง 2

yx

ทุกคูเทากับ 15

ดังนั้น y α 2x โดยมี 15

เปนคาคงตัวของการแปรผัน

สมการการแปรผัน คือ 215

y x=

ตัวอยางท่ี 2 ถา y แปรผันตรงกับ x และ 8y = เม่ือ 5x = จงหา

1) สมการแสดงความสัมพันธระหวาง x กับ y

2) คาของ y เม่ือ 10x =

วิธีทํา 1) y α x

ดังนั้น y kx= ; เม่ือ k = คาคงตัวของการแปรผัน

แทนคา 5x = , 8y = ในสมการ

จะได 8 (5)k=

∴ 85

k =

ดังนั้น สมการแสดงความสัมพันธ คือ 85

y x=

ตัวอยางท่ี 3 ถา y แปรผันตรงกําลังสองกับ x และ 16y = เม่ือ 2x = จงหาคาของ y เม่ือ 5x =

วิธีทํา y α 2x

ดังนั้น 2y kx= ; เม่ือ k = คาคงตัวของการแปรผัน

แทนคา 16y = , 2x = ในสมการ

x 5 10 15 20 25

y 5 20 45 80 125

x 5 10 15 20 25

y 2x

5

25

20

100

45

225

80

400

125

625

yx

15

15

15

15

15

จะได 16 44

k = =

∴ 24y x=

เม่ือ 5x = จะได 24(5)y =

100=

ตัวอยางท่ี 4 คาใชจายในการจัดเลี้ยงครั้งหนึ่งแปรผันตรงกับจํานวนคนท่ีมาในงาน ถามีคนมางาน 40 คน เสีย

คาใชจาย 3,200 บาท จงหาวาถามีคนมางาน 120 คน จะเสียคาใชจายเทาไร

วิธีทํา สมมติใหคาใชจาย = P , จํานวนคน = N

ดังนั้น P α N

จะได P = kN เม่ือ k = คาคงตัวของการแปรผัน

แทนคา 40N = , 3,200P = ในสมการ

จะได 3,200 = (40)k

k = 3,200 8040

=

สมการการแปรผัน คือ P = 80N

แทนคา 120N = ในสมการการแปรผัน

จะได 80(120) 9,600P = =

ดังนั้น ถามีคนมารวมงาน 120 คน ตองเสียคาใชจาย 9,600 บาท



8. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 3.1 ในเอกสารประกอบการเรียน เรื่องการแปรผัน


1. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เรื่องการแปรผัน













ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 3 การแปรผัน เรื่อง การแปรผกผัน









1. บอกไดวาปริมาณสองปริมาณท่ีกําหนดใหแปรผกผันตอกันหรือไม เม่ือกําหนดความสัมพันธ

ระหวางสองปริมาณนั้นให

2. เขียนสมการแสดงการแปรผันระหวางสองปริมาณใดๆ ท่ีแปรผกผันตอกันได

3. แกโจทยปญหาหรือสถานการณเก่ียวกับการแปรผันตรงได




ให x และ y แทนปริมาณใดๆ ท่ีไมใชศูนย y แปรผกผันกับ x เม่ือ 1y xk

= × โดยท่ี k เปนคา

คงตัว และ 0k ≠

สมการ 1y xk

= × โดยท่ี k เปนคาคงตัว และ 0k ≠ เรียกวา สมการแสดงการแปรผันของการ

แปรผกผัน เรียก k วา คาคงตัวของการแปรผัน และเขียนแทน y แปรผกผันกับ x ดวย 1yx

∝



1. การแปลผกผัน









1. ครูทบทวนการเขียนแสดงความสัมพันธของปริมาณสองปริมาณท่ีเปนการแปรผันตรง โดยการถาม

ตอบกับนักเรียน


2. ครูใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาการแปรผกผัน และแนวทางในการหาคําตอบ โดยการถามตอบ

ไปพรอมกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงพิจารณาวา ตารางท่ีแสดงความเก่ียวของของ x และ y

ตารางใดเปนการแสดงวา y แปรผกผันกับ x

1)

2)

วิธีทํา 1) หาคาของ xy ในแตละคูไดดังนี้

x 1 2 3 4 5

y 12 6 4 3 2.4

xy 12 12 12 12 12

จากตารางจะเห็นวา xy เทากับ 12 ทุกคู

x 1 2 3 4 5

y 12 6 4 3 2.4

x 3 2 1 12

14

y 12

34

32

3 6

แสดงวา y α 1x

สมการการแปรผัน คือ 12yx

=

2) หาคาของ xy ในแตละคูไดดังนี้

จากตารางจะเห็นวา xy เทากับ 32

ทุกคู

แสดงวา y α 1x

โดยมี 32

เปนคาคงตัวของการแปรผัน

ตัวอยางท่ี 2 เม่ือ y แปรผกผันกับ x และ 5y = เม่ือ 16x = จงหา

1) y เม่ือ 100x =

2) x เม่ือ 60y =

3) y จะเปนก่ีเทาของปริมาณเดิม เม่ือ x เปน 14

เทาของปริมาณเดิม

วิธีทํา 1) y α 1x

kyx

= เม่ือ k = คาคงตัว

แทนคา 5y = , 16x = ในสมการ

จะได 5 = 16k

k = 5 4 20× =

∴ สมการการแปรผันคือ 20yx

=

แทนคา 100x = ในสมการ

จะได 20 20 210100

y = = =

2) แทนคา 60y = ในสมการ

จะได 60 = 20x

x 3 2 1 12

14

y 12

34

32

3 6

xy 32

32

32

32

32

x = 2060

= 13

x = 19

3) ถา x ลดลงเปน 14

เทาของปริมาณเดิม

จะได 2 2

4 2

k k k kyx x x x

= = = =

ดังนั้น y จะเปน 2 เทาของปริมาณเดิม

ตัวอยางท่ี 3 บริษัทรับเหมากอสรางจางคนงาน 30 คน ซอมถนนสายหนึ่ง คนงานท้ังหมดชวยกันซอมไปได

ครึ่งหนึ่งใชเวลา 16 วัน ถากําหนดใหเวลาทํางานแลวเสร็จแปรผกผันกับจํานวนคนงาน จงหาวาบริษัทรับเหมา

จะตองเพ่ิมคนงานอีกก่ีคนจึงจะทําใหงานท่ีเหลือเสร็จภายในเวลา 12 คน

วิธีทํา ใหจํานวนคนงามเปน ,N จํานวนวันท่ีทํางานเปน T

เนื่องจาก T α 1N

∴ T = kN

เม่ือ k = คาคงตัว

คนงาน 30 คน ซอมถนนครึ่งหนึ่งใชเวลา 16 วัน

แทนคา ; 16 = 30k

จะได k = 16 30 480× =

∴ T = 480N

ตองการใหงานอีกครึ่งหนึ่งใชเวลา 16 วัน

แทนคา; 12 = 480N

จะได N = 480 4012

=

∴ ตองใชคนงานท้ังหมด 40 คน

ดังนั้น ตองเพ่ิมคนงานอีก 40 – 30 = 10 คนถ


















ประสงค




ทํางาน







การตอบ









หนวยการเรียนรูท่ี 3 การแปรผัน เรื่อง การแปรผันเกี่ยวเนื่อง









1. เขียนสมการแสดงการแปรผันเก่ียวเนื่องระหวางปริมาณตางๆ ได

2. นําความรูไปใชแกโจทยปญหาหรือสถานการณเก่ียวกับการแปรผันเก่ียวเนื่องได

3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบได



ให y , , , ,...,1 2 3x x x xn แทนปริมาณใดๆ

y แปรผันเก่ียวเนื่องกับ , , ,...,1 2 3x x x xn เม่ือ y แปรผันตรงกับผลคูณของ , , ,...,1 2 3x x x xn

y แปรผันเก่ียวเนื่องกับ , , ,...,1 2 3x x x xn เขียนแทนดวยสัญลักษณ , , ,...,1 2 3y x x x xnα



1. การแปรผันเก่ียวเนื่อง









1. ครูทบทวนการเขียนแสดงความสัมพันธของปริมาณสองปริมาณท่ีเปนการแปรผันตรง และ

แปรผกผัน โดยการถามตอบกับนักเรียน พรอมท้ังใหนักเรียนสรุปความสัมพันธรวมกัน ดังนี้

y แปรผันตรงกับ x เม่ือ y kx= โดยท่ี k เปนคาคงตัวและ 0k ≠

y แปรผกผันกับ x เม่ือ 1y kx

= × โดยท่ี k เปนคาคงตัวและ 0k ≠


2. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับชีวิตประจําวันท่ีเก่ียวกับความสัมพันธระหวางปริมาณตั้งแตสอง

ปริมาณข้ึนไป โดยถามนักเรียนวา การเดินทางสัญจรตางๆ นักเรียนเดินทางไปอยางไร ไปกันก่ีวัน และในการ

เดินทางนี้โรงเรียนจะตองเสียคาใชจายอะไรบาง นั่นคือ คารถ

3. ครูถามนักเรียนวา คารถท่ีตองจายข้ึนอยูกับอะไรบาง นั่นคือ จํานวนวัน จํานวนคน ครูถามนักเรียน

วา ถาไปหลายวัน คนไปจํานวนมาก คารถท่ีตองจายจะตองจายมากหรือจายนอย นั่นคือ จํานวนคนมาก ไป

หลายวัน คารถตองจายมาก ถาคนไปจํานวนนอยลง จํานวนวันก็ลดลง คารถท่ีตองจายจะตองจายมากหรือ

จายนอย นั่นคือ คนไปจํานวนนอยลง จํานวนวันก็ลดลง คารถท่ีตองจายจะตองจายนอยลง

4. ครูใหนักเรียนสรุปความสัมพันธของปริมาณตางๆ นั่นคือ จํานวนคารถท่ีตองจาย แปรผันเก่ียวเนื่อง

กับจํานวนคนและจํานวนวัน

5. ครูใหบทนิยามของการแปรผันเก่ียวเนื่อง ดังนี้


ให y , , , ,...,1 2 3x x x xn แทนปริมาณใดๆ

y แปรผันเก่ียวเนื่องกับ , , ,...,1 2 3x x x xn เม่ือ y แปรผันตรงกับผลคูณของ , , ,...,1 2 3x x x xn

y แปรผันเก่ียวเนื่องกับ , , ,...,1 2 3x x x xn เขียนแทนดวยสัญลักษณ , , ,...,1 2 3y x x x xnα

6. ครูยกตัวอยางใหนักเรียนเขียนสมการจากความสัมพันธของปริมาณตางๆ

ตัวอยางท่ี 1 p แปรผันเก่ียวเนื่องกับ ,a b และ 1c

ถา a เพ่ิมข้ึน 50% b ลดลง 50% และ c เพ่ิมข้ึน

20% แลว p จะเพ่ิมข้ึนหรือลดลงก่ีเปอรเซ็นต

วิธีทํา p α 1( )( )a bc

p = kabc

; เม่ือ k = คาคงตัว

ถา a เพ่ิมข้ึน 50% เปน 150 3100 2

a a=

b ลดลง 50% เปน 50100 2

b b=

c เพ่ิมข้ึน 20% เปน 120 6100 5

c c=

∴

32 265

a bkp

c

=

58

abp kc

=

แสดงวา p ลดลง = 58

kab kabc c

−

= 38

kabc

= 37.5%

ตัวอยางท่ี 2 y แปรผันเก่ียวเนื่องกับ ,a b และ 1c

เม่ือ 25,a = 2b = และ 1c = จะได 100y =

จงหา 1) คา y เม่ือ 12,a = 5b = และ 4c =

2) คา a เม่ือ 36,y = 3b = และ 2c =

วิธีทํา y α 1( )( )a bc

∴ y = kabc

; เม่ือ k = คาคงตัว

แทนคา 25,a = 2b = , 1c = และ 100y =

จะได 100 = (25)(2)1

k

k = 100 250

=

∴ สมการคือ 2abyc

=

1) หาคา y เม่ือ 12,a = 5b = และ 4c =

แทนคา; y = 2(12)(5)4

= 60

2) หาคา a เม่ือ 36,y = 3b = และ 2c =

แทนคา; 36 = 2 (3)2

a

a = 36 26

= 6 2

ตัวอยางท่ี 3 คาใชจายในการลางอัดรูปครั้งแรกประกอบดวย คาลางฟลมและคาอัดรูป โดยคาลางฟลมแปร

ผันตรงกับจํานวนฟลมท่ีลาง คาอัดรูปแปรผันตรงกับจํานวนรูปท้ังหมดท่ีอัด ถาชายคนหนึ่งนําฟลมไปลาง 2

มวน คาลางมวนละ 30 บาท และอัดรูปออกมาท้ังหมด 73 รูป เสียคาใชจาย 352 บาท จงหา

1) ราคาในการอัดรูป 1 รูป

2) ถานําฟลมไปลาง 3 มวน รูปท่ีอัดมี 112 รูป จะเสียคาจางในการลางอัดรูปท้ังหมดเทาไร

วิธีทํา ใหคาลางอัดรูป = P

จํานวนฟลม = F

จํานวนรูป = N

∴ P kF mN= + เม่ือ ,k m เปนคาคงตัว

ถาลางฟลม 2 มวน คาลางมวนละ 30 บาท อัดรูป 73 รูป เสียคาใชจาย 352 บาท

∴ 352 = 30 2 (73)m× +

352 = 60 73m+

73m = 292

m = 4

∴ สมการความสัมพันธคือ 30 4P F N= +

1) ราคาในการอัดรูป 1 รูป = 1 บาท

2) ถานําฟลมไปลาง 3 มวน รูปท่ีอัดมี 112 รูป จะได

3, 112F N= = จะได

30(3) 4(112)P = +

538=

ดังนั้น เสียคาลางอัดรูป 538 บาท


















ประสงค




ทํางาน







การตอบ








1 22202 4 2 2561 1elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/137/course/summary/เเผนการ... · ครูให นักเรียนทําแบบฝ กหัด

Documents