1-2. gyakorlat OPERÁCIÓKUTATÁSold.bgk.uni-obuda.hu/ggyt/targyak/seged/bagtg15nnc/opkut_ea.pdf · Nori&Leets Társaság – Steeltown Légszennyezési probléma megoldása Legjelentősebb

OPERÁCIÓKUTATÁS

Tóth Georgina Nóra

[email protected]

1-2. gyakorlat

mailto:[email protected]







TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS

Ipari forradalom hatása a vállalatokra

II. világháború

Katonai hadműveletek (operációk)

Kutatók alkalmazása

Lendületes fejlődés

Számítástechnika robbanásszerű fejlődése

OPERÁCIÓKUTATÁS CÉLJA,

JELENTŐSÉGE

Forráselosztás

Bonyolultsági és szakosodási problémák

megoldása

Optimalizálási problémák

OPERÁCIÓKUTATÁS JELLEGZETESSÉGEI

Operációkra (műveletekre) vonatkozó kutatás

Vállalaton belüli tevékenységek/műveletek

összehangolására alkalmazzák

Tudományos megközelítés

Vállalattól függetlenül alkalmazható

Folyamat modell kialakítása lényeges vonások

alapján

Optimális megoldás keresése

MÓDSZEREK, SZABVÁNYOS

ESZKÖZÖK

Lineáris programozás

Szimplex módszer (George Dantzig 1947)

Dinamikus programozás

Sorbanállás elmélete

Raktározási problémák elmélete

OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA

A döntéshozás olyan tudományos

megközelítéseként írhatjuk le, amely szervezeti

rendszerek működésével áll kapcsolatban.

„operációkra vonatkozó kutatás”

OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA 2.

Az operációkutatás a valóságos életből eredő

determinisztikus és sztochasztikus rendszerek

modellezésével és ezekre vonatkozó döntések

meghozatalával foglalkozik.

PROBLÉMA MEGFOGALMAZÁSA

Gyakorlati életben zavaros problémák

Fontos tanulmányozni a rendszert

Célok meghatározása

Kényszerfeltételek

Vizsgálandó és egyéb területek közötti kapcsolatok megadása

Lehetséges cselekvéssorok

Időkorlátok

Cél: a probléma egy jól definiált megfogalmazása!

MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE

Probléma átfogalmazása, hogy elemzésre

alkalmas legyen

Idealizált reprezentációk

n összefüggő döntés ->”döntési változók”

x1,x2, ….xn

A hatékonyságot a döntési változók függvényeként

fejezzük ki.

„CÉLFÜGGVÉNY”

MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE

Döntési változókra vonatkozó megszorítások „KÉNYSZERFELTÉTELEK”

CÉLFÜGGVÉNY + KÉNYSZERFELTÉTELEK

ÁLLANDÓI

BEMENETI vagy MODELLPARAMÉTEREK

FELADATTÍPUSOK

Termékek olyan keverékének

meghatározása, amely maximalizálja a

hasznot

A földterület különböző termények vetésére

vonatkozó olyan szétosztása, amely

maximalizálja a nettó visszatérülést

Szennyeződés kiküszöbölésére irányuló

módszerek olyan kombinációja, amelynek

segítségével a levegő minőségére vonatkozó

szabvány a lehető legkisebb költséggel érhető

el

A MODELL MEGOLDÁSÁNAK

LEVEZETÉSE

Cél: a modellből levezetni a probléma egy

megoldását

Szabványos algoritmusok

Programcsomagok

Idealizált modell

Nem biztos, hogy a megoldás a valós problémánál

optimális

A MODELL MEGOLDÁSÁNAK

LEVEZETÉSE

Optimális megoldás -> kielégítő megoldás

(Matematikai modell) (VALÓSÁG)

A MODELL ÉS A BELŐLE SZÁRMAZÓ

MEGOLDÁS KIPRÓBÁLÁSA

Modell helyességének ellenőrzése

(helytelen interpretáció, rossz bemenő

paraméter értékek)

Paraméter értékek megváltoztatása a

hatás figyelemmel kísérése mellett

Visszatekintő ellenőrzés (történeti

adatok+rekonstrukció)

Jelentős-e a javulás?

Hátránya: a múlt hűen reprezentálja a

jövőt?

A MEGOLDÁSRA VONATKOZÓ

ELLENŐRZÉSEK LÉTREHOZÁSA

CÉL: A valóság változásainak követése

Rendszeres eljárások létrehozása

Kritikus paraméterek azonosítása (érzékenység

vizsgálat)

Paraméterek statisztikailag szignifikáns

változásának nyomon követése (folyamat

ellenőrzési táblázatok, szabályozó kártyák)

Cselekvéssor kiigazítása

A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSA

(„ÜZEMBE HELYEZÉS”)

Kritikus fázis

A siker függ a felső vezetés támogatásának

mértékétől

Támogatás mellett a részvétel is fontos

A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSÁNAK

LÉPÉSEI („ÜZEMBE HELYEZÉS”)

Bevezetendő megoldás, változtatás

ismertetése

Felelősség megosztása a bevezetést illetően

Érintett munkavállalók oktatása (operatív

vezetés)

Változtatások elvégzése

Szükség esetén módosítás

Sikeres megoldás esetén periodikus

alkalmazás

LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL

Célfüggvény

Korlátozó

feltételek

LINEÁRIS

A modellben szereplő összes függvény

lineáris!

LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

LEGGYAKORIBB ALKALMAZÁSA

Korlátozottan rendelkezésre álló források optimális elosztása egymással konkuráló célokat szolgáló

tevékenységek között

Pl.: termelőerők elosztása, nemzeti kincsek elosztása, kötvénycsomagok (portfolio)

kiválasztása, logisztikai feladatok, szállítmányozás megszervezése, egészségügy

(besugárzási terápia)

SZIMPLEX MÓDSZER

Hatékony eljárás

Lehetővé teszi óriási méretű lineáris

programozási feladat megoldását

1. PÉLDA – WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ

TÁRSASÁG

Gyártott termékek:

Üvegajtó

Ablak

3 üzemben történik a gyártás:

1. üzem Alumínium keretek, szerelvények

2. üzem Fakeretek

3. üzem Üveg alkatrészek


TÁRSASÁG

Veszteség miatt több termék gyártását

beszűntetik

Felszabadult kapacitás 2 új termék

gyártására fordítják

1. termék 2m magas alumínium keretes ajtó

2. termék Fakeretes dupla ablak (1x1,5m)

Mindkét termék gyártása leköti a 3. sz.

üzem bizonyos kapacitását.


TÁRSASÁG

Milyen arányban keveredjék ennek a két

terméknek a gyártása a legnagyobb profit elérése

érdekében?


TÁRSASÁG

Operációkutató csoport meghatározta:

1. Mindkét új termékre nézve a rendelkezésre álló százalékos kapacitást mind a három üzemben

2. Mindkét új termék esetében az egységnyi termék/perc termeléshez szükséges százalékos arányt

3. Egységnyi profitot mindkét termék esetén


TÁRSASÁG

Üzem Termék Szabad kapacitás

1. termék 2. termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/egység 3€ 5€ -


TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL

MEGFOGALMAZÁSA)

Jelölések:

x1, x2 – 1. ill. a 2. termék percenként termelt

egységeinek száma / döntési változók

Z – percenkénti profithozzájárulás

Célfüggvény: Z=3 x1 +5 x2 max

Üzem Termék Szabad kapacitá

s 1.

termék 2.

termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/ egység

3€ 5€ -



MEGFOGALMAZÁSA)

Megszorítások:

Az 1 termék minden percenként megtermelt

egysége az 1,. Üzem 1% kapacitását venné el a

rendelkezésre álló 4-ből

x1≤4

Hasonlóan a 2. üzemre:

2x2≤12

x2≤6 Üzem Termék Szabad

kapacitás

1. termék

2. termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/ egység

3€ 5€ -



MEGFOGALMAZÁSA)

Hasonlóan a 3. üzemre:

3x1 + 2x2≤18

A termelés nem lehet negatív, tehát:

x1≥0

x2≥0


s 1.

termék 2.

termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/ egység

3€ 5€ -

MATEMATIKAI MODELL

MEGFOGALMAZÁSA

Z=3 x1 +5 x2 max

Feltéve, hogy

x1 ≤4

x2≤6

3x1 + 2x2≤18

x1 ≥0

x2≥0 Üzem Termék Szabad

kapacitás

1. termék

2. termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/ egység

3€ 5€ -

MEGOLDÁSOK KERESÉSE

x1

x2

4

6

9

6

3x1+2x2≤18

Lehetséges

megoldások halmaza

Célfüggvény

Z=3 x1 +5 x2


ÁLTALÁNOSAN

Jelölések:

m db korlátozott forrás (1, 2,…,m)

n db egymással konkuráló tevékenység (1,2,…,n)

Döntési változó xj (j=1,2,…n)

Z –együttes eredményesség megválasztott mértéke

Cj – Z azon növekedése, amely xj egységnyi növelése okozna (j=1,2,…n)

bi – i. forrásból rendelkezésre álló mennyiség (i=1,2,…n)

aij- i-ik forrásnak az egységnyi j-ik tevékenység által felhasznált mennyisége(i=1,2,…m)(j=1,2,…n)


ADATAI

Forrás Tevékenység Szabad forráskapacitás

1 2 ….. n

1 a11 a12 …….. a1n b1

2 a21 a22 ………. a2n b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

……..

.

.

…….

.

.

.

m am1 am

2 amn bm

ΔZ/egységnyi tevékenység

c1 c2 ………. cn

Tevékenység szintje

x1 x2 xn

A MODELL EGY STANDARD ALAKJA

,0x,.....,0x,0x

és

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

hogy,feltéve

maxxc... xcxcZ

n21

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

nn2211

Célfüggvény

Megszorításo

k/

funkcionális

feltételek

Nem-

negatívitási

feltételek

SZIMPLEX MÓDSZER

Kezdő lépés

Iteratív lépés

Optimalitási vizsgálat

Elértük a kívánt eredményt?

Nem

STOP

Igen

SZIMPLEX MÓDSZER

Lehetséges csúcspontmegoldások tulajdonságai: a) ha pontosan egy optimális megoldás létezik,

akkor az szükségszerűen egy lehetséges csúcspontmegoldás

b) ha egyszerre több optimális megoldás létezik, akkor kell lennie közöttük legalább két szomszédos lehetséges csúcspontmegoldásnak

A lehetséges csúcspontmegoldások véges sokan

vannak. Ha egy csúcspontmegoldás legalább olyan jó Z

szempontjából mint a szomszédos lehetséges csúcspontmegoldások, akkor legalább olyan jó vagy jobb, mint az összes többi lehetséges csúcspontmegoldás, azaz optimális megoldás.

MEGOLDÁSOK KERESÉSE

x1

x2

4

6

9

6

3x1+2x2≤18

Lehetséges

megoldások halmaza

Célfüggvény

Z=3 x1 +5 x2


s 1.

termék 2.

termék

1. 1 0 4

2. 0 2 12

3. 3 2 18

Profit/ egység

3€ 5€ -

LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI

Arányosság

Külön-külön minden egyes tevékenységre

N db tevékenységből válasszunk egyet (k.)

xj =0, minden j=1,2,…..,n esetén és (j≠k)

(1) Z kifejezhető ck xk módon

(2) i-ik forrás felhasználása aik xk

Mindkét mennyiség arányos a k. tevékenység szintjével (minden k=1,2,….,n esetén)


Additivitás

Összes tevékenységre együtt vizsgáljuk

Lehetséges kölcsönhatások vizsgálata

Követelmény:

Bármely x1 , x2 ,…., xn ) tevékenységi szintek

mellett mind a hatékonyság mértéke (Z), mind a

források teljes felhasználása a megfelelő

mennyiségek összegeként legyen kifejezhető (ne

legyenek kevert tagok!)


Oszthatóság

Valóságban a döntési változók értéke bizonyos

esetekben csak egész értéket vehetnek fel.

Sokszor az optimális eredményhez kapott számok

nem egész értékek.

Oszthatósági szabály: a tevékenységek egységei

bármilyen arányban oszthatók, a döntési

változók pedig tört értékeket is felvehetnek.


Bizonyosság

Az összes paraméter (aij, bi, cj) mind ismert

konstansok.

Valós problémák esetében ritka

Érzékenységi vizsgálat

TOVÁBBI PÉLDA LÉGSZENNYEZÉS-

SZABÁLYOZÁS

Nori&Leets Társaság – Steeltown

Légszennyezési probléma megoldása

Legjelentősebb légszennyező anyagok

Szennyező Éves kibocsájtás előírt

csökkentése (millió

pound)

Por 60

Kéndioxidok 150

Szénhidrogének 125

LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA)

2 okozója a légszennyezésnek:

1. Olvasztókemencék

2. Nyílt-tüzelésű kohók

Légszennyezés csökkentéséhez lehetőségek:

(1) Kémények magasságának megnövelése

(kétséges)

(2) Szűrő (gázcsapdák) a kéményekben

(3) Különböző hatásfokú tisztító anyagok keverése

a kohók üzemanyagaihoz


Magasabb

kémények

Szűrők Jobb

tüzelőanyagok

Olvasz-

tóke-

mence

Nyílt-

tüzelésű

kohó

Olvasz-

tóke-

mence

Nyílt-

tüzelésű

kohó

Olvasz-

tóke-

mence

Nyílt-

tüzelésű

kohó

Por 12 9 25 20 17 13

Kéndioxid 35 42 18 31 56 49

Szénhidrogé

n

37 53 28 24 29 20

A fenti megoldások az előző táblázatba foglalt határig bármilyen

kapacitással alkalmazhatók. Együttes alkalmazása lehetséges.

2. táblázat Az egyes módszerek korlátai


Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű

kohó

Magasabb kémények 8 10

Szűrők 7 6

Jobb tüzelőanyagok 11 9

3. táblázat Az egyes módszerek éves költségei teljes

kihasználtság mellett (millió $)


Mikor az adatokat megvizsgálták, világossá vált,

önmagában egyik módszer sem elegendő.

Mindhárom módszer teljes kapacitásának

bevetése, több mint elfogadható eredménnyel

járna. (Nagyon magas költségek mellett.)

Kombinációkat kell vizsgálni.



kohó

Magasabb kémény x1 x2

Szűrő x3 x4

Jobb tüzelőanyag x5 x6

Döntési változók


Hat döntési változó: xj (j=1,2,…,6)

Matematikai modell:

Min Z=8 x1 +10 x2 +7 x3 +6 x4 + 11x5 +9 x6

1. Szennyezés csökkentése:

12 x1 +9 x2 +25 x3 +20 x4 + 17 x5 +13 x6 ≥ 60

35 x1 +42 x2 +18 x3 +31 x4 + 56 x5 +49 x6 ≥ 150

37 x1 +53 x2 +28 x3 +24 x4 + 29 x5 +20 x6 ≥ 125


2. Technológia:

xj ≤1 minden (j=1,2,…,6) esetén

3. Nemnegatívitás:

xj ≥0 minden (j=1,2,…,6) esetén



kohó

Magasabb kémény x1 x2

Szűrő x3 x4

Jobb tüzelőanyag x5 x6

Döntési változók

Megoldás:

(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6)= (1, 0.623, 0.343, 1, 0.048, 1)

Érzékenységi vizsgálatot végeztek, majd a programot

megvalósították.

SZÁLLÍTÁSI FELADAT

Speciális lineáris programozási feladat

Gyakori valós problémák

Nagyszámú feltétel

Sok döntési változó

Sok 0 van a változók között (aij többsége)

Speciális szerkezet


Feltételek és együttható

táblázata/mátrixa

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

......

......

......

21

222

.

.21

11211


Nem nulla együtthatók

kitűntetett helyen

szerepelnek

Számítási megtakarítás


MINTAPÉLDA

Borsókonzerv

A termelés 3 konzervgyárban folyik

szállítás tehervonattal

4 értékesítő helyre

Fő kiadás a szállítási költség

Cél: szállítási költség csökkentése


MINTAPÉLDA

Megbecsülték:

A következő szezonra várható termelést

Kihelyezés mennyiségét az adott árukból

Egy tehervagonra eső szállítási költségét

A P&T TÁRSASÁG SZÁLLÍTÁSI ADATAI

Áruház Terme

-lés

1 2 3 4

Kon

zerv

gyár 1 464 513 654 867 75

2 352 416 690 791 125

3 995 682 388 685 100

Kihelyezés 80 65 70 85


MINTAPÉLDA

Z a teljes szállítási költség

Xij (i=1,2,3 ; j=1,2,3,4 ) az i-ik konzervgyárból a j-ik

áruházba szállítandó

Célfüggvény:

min

685388682995791690

416352867654513464

343332312423

222114131211

Z

xxxxxx

xxxxxxZ


MINTAPÉLDA

Feltételek:

=75

=125

=100

=80

=65

=70

=85

14131211 xxxx

24232221 xxxx

34333231 xxxx

11x

12x

13x

14x

21x

22x

23x

24x

31x

34x

33x

32x

Konzerv-

gyár

feltételei

Az

áruház

feltételei


MINTAPÉLDA

Feltételek:

, (i=1,2,3; j=1,2,3,4)

0ijx


MINTAPÉLDA

343332312423222114131211 xxxxxxxxxxxx

111

111

111

111

1111

1111

1111

A


MINTAPÉLDA

A feladat optimális megoldása:

55,0,20,0 14131211 xxxx

0,0,45,80 24232221 xxxx

30,70,0,0 34333231 xxxx

SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE

TERMINOLÓGIA

Mintapélda Általános feladat

Egy vagon borsókonzerv Egységnyi áru

Három konzervgyár m tárolóhely

Négy áruház n felvevőhely

Az i-ik konzervgyár termelése si, az i-ik tárolóhely készlete

A j-ik áruháznak történő

juttatás

dj , a j-ik felvevőhely kereslete

Vagononkénti szállítási

költség az i-ik konzervgyárból

a j-ik áruházba

cij, egységnyi áru szállítási

költsége az i-ik tárolóhelyről a

j-ik felvevőhelyre


Z-a teljes szállítási költség

xij az i-ik tárolóhelyről a j-ik felvevőhelyre

szállítandó egységek mennyisége

re-j és re-iminden 0

és ,,....2,1, ,,....2,1,

, ,

11

1 1

ij

m

ijij

n

jiij

m

i

n

jijij

x

njdxmisx

hogyfeltévexcZ


Felvevőhely Készle

t

1 2 … n

Táro

lóh

ely

1 c11 c12 … c1n S1

2

.

.

.

.

.

.

m

cm1

cm2

… cmn

sm

Kereslet

d1

d2

…

dn


mnmmmnn xxxxxxxxxxxx ......... 32122322211131211

111

111

111

111

1..111

...1..111

1..111

A


Csak akkor létezik megengedett

megoldása a modellnek ha

m

i

n

jij

n

jj

m

ii

n

jj

m

ii

xds

ds

1 111

11

egyenlő és

hogy ik,megkövetel feltételekA

OPERÁCIÓKUTATÁS

OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK

A matematikai (számoló) modell elkészítése Paraméterek elhelyezése

Feltételezett megoldás(ok) elhelyezése

Számoló cellák elkészítése

(Kívánt értékek elhelyezése)

Solver – Megoldáskereső használata – Paraméterek megadása Célcella megadása

Max, Min, vagy konkrét érték

Változó cellák megadása

Korlátozó feltételek

Az eredmény, - ha van, - értékelése, magyarázata

A SOLVER HASZNÁLATA

a megoldás menete, a modellek kialakítása és

leképzése

lineáris egyenletrendszerek megoldása

egyszerű optimalizálási probléma megoldása

1-2. gyakorlat OPERÁCIÓKUTATÁSold.bgk.uni-obuda.hu/ggyt/targyak/seged/bagtg15nnc/opkut_ea.pdf · Nori&Leets Társaság – Steeltown Légszennyezési probléma megoldása Legjelentősebb

Documents