Transformação de tensões Círculo de Mohr Estados de tensão plana Tensões em reservatórios de parede fina Critérios de falha Tensões devidas a Esforços Combinados Tradução e adaptação: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7) Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education. Mecânica dos Materiais 7,8
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Transformação de tensões
Círculo de Mohr
Estados de tensão plana
Tensões em reservatórios de parede fina
Critérios de falha
Tensões devidas a Esforços Combinados
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7)
Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.
Mecânica dos Materiais
7,8
Estado de tensões num ponto (caso geral)
• Como vimos, o estado de tensão num pontopode ser representado, no caso geral, por 6 componentes independentes:
• O mesmo estado de tensão pode ser representado por um conjunto diferente de valores das componentes de tensão se o sistema de eixos sofrer uma rotação de x-y-z
para x’-y’-z’.
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx
τ=ττ=ττ=τ
τττ
σσσ
,, :com
corte de tensões,,
normais tensões,,
Estado de Tensão Plana
• Tensão Plana - estado de tensão em que duasdas faces do elemento infinitésimal cúbico têmtensões nulas:
Exemplo:
.0,, xy =τ=τ=στσσ zyzxzyx
Transformação de tensões em Tensão Plana
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) θθτθθσ
θθτθθστ
θθτθθσ
θθτθθσσ
sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx
∆+∆−
∆−∆+∆==∑
∆−∆−
∆−∆−∆==∑
′′′
′′
• Considere-se o equilibrio estático do elementoprismático representado na figura:
θτθσσ
τ
θτθσσσσ
σ
θτθσσσσ
σ
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos22
xyyx
yx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
+−
−=
−−
−+
=
+−
++
=
′′
′
′
• As equações podem ser escritas por forma a obter-se:
Conceito de Tensões Principais
• As equações anteriores podem ser combinadasresultando a equação paramétrica de um círculo:
( )
2
2
222
22
onde
xy
yxyx
med
yxmedx
R
R
τ+
σ−σ=
σ+σ=σ
=τ+σ−σ ′′′
• As tensões principais ocorrem nos planos
principais de tensão onde as tensões de cortesão zero – pontos B e A:
yx
xy
p
xy
yxyx
σ−σ
τ=θ
τ+
σ−σ±
σ+σ=σ
22tan
222
2
minmax,
med
Tensão de corte máxima
A tensão de corte máxima ocorre para os pontosD ou E, quando a tensão normal é dada por:
2
22tan
22
2
max
yx
med
xy
yx
s
xy
yxR
σσσσ
τ
σσθ
τσσ
τ
+==′
−−=
+
−==med
medx σ=σ ′
pS θθ de 45º separado está ângulo o :Nota
Exemplo 7.01
Para o estado de tensão planailustrado, determinar:
(a) A orientação do plano das tensões principais, (b) As tensõesprincipais, (c) a tensão de cortemáxima e a correspondente tensãonormal.
• Calcular a orientação das tensões principais:
yx
xyp
σσ
τθ
−=
22tan
• Calcular as tensões principais:
22
minmax, 22 xyyxyx
τσσσσ
σ +
−±
+=
• Calcular a tensão de corte máxima:
• e a tensão normal correspondente:
22
max 2 xyyx
τσσ
τ +
−=
2yx σσ
σ+
=′
Exemplo 7.01
• Orientação das tensões principais:
( )( )
°°=
=−−
+=
−=
1.233,1.532
333.11050
40222tan
p
yx
xyp
θ
σσ
τθ
°°= 6.116,6.26pθ
• Tensões principais:
( ) ( )22
22
minmax,
403020
22
+±=
+
−±
+= xy
yxyxτ
σσσσσ
MPa30
MPa70
min
max
−=
=
σ
σ
MPa10
MPa40MPa50
−=
+=+=
x
xyx
σ
τσ
Exemplo 7.01
MPa10
MPa40MPa50
−=
+=+=
x
xyx
σ
τσ
2
1050
2
−=
σ+σ=σ=σ′ yx
med
• Tensão normal correspondente:
MPa20=′σ
• Tensão de corte máxima:
( ) ( )22
22
max
4030
2
+=
+
−= xy
yxτ
σστ
MPa50max =τ
º45−θ=θ ps
°°−= 6.71,4.18sθ
Angulo onde ocorre a tensão de corte máxima, desfasado 45º relativamente à orientação das tensões principais max e min.
Círculo de Mohr para Tensão Plana
• Para um estado de tensão planaconhecido, marcar os pontos X e Y e construír o círculo centrado em C: (uma tensão de corte é positiva se
provoca rotação no sentido horário e
negativa se provoca rotação anti-horária)
xyyx τσσ ,,
2
2
22 xy
yxyx
med R τ+
σ−σ=
σ+σ=σ
• As tensões principais sãoobtidas nos pontos A e B.
yx
xy
p
med R
σ−σ
τ=θ
±σ=σ
22tan
minmax,
Círculo de Mohr para Tensão Plana
• Com o Circulo de Mohr traçado, o estado de tensão em qualquer outraorientação pode ser facilmente obtidograficamente.
• Para o estado de tensão num plano queforma um ângulo θ em relação aoseixos xy, constrói-se uma nova linhadiametral X’Y’ com um ângulo 2θ emrelação a XY.
• As tensões normal e de corte sãoobtidas através das coordenadas de X’Y’.
Exemplo 7.02
Para o estado de tensão planailustrado, (a) desenhar o círculo deMohr, determinar (b) os planosprincipais, (c) as tensões principais,(d) a tensão de corte máxima e acorrespondente tensão normal.
( ) ( )
( ) ( ) MPa504030
MPa40MPa302050
MPa202
1050
2
22=+==
==−=
=−+
=σ+σ
=σ
CXR
FXCF
yx
med
Exemplo 7.02
• Tensões principais:
5020max +=+== CAOCOAσ
MPa70max =σ
5020max −=−== BCOCOBσ
MPa30max −=σ
°=θ
==θ
1.53230
402tan
p
pCF
FX
°= 6.26pθ
Exemplo 7.02
• Tensão de corte máxima
°+= 45ps θθ
°= 6.71sθ
R=maxτ
MPa 50max =τ
medσ=σ′
MPa 20 =′σ
med
Orientação da tensão de corte máxima
Orientação das tensões principais
Círculo de Mohr (cont.)
• Círculo de Mohr para tracção uniaxial:
0, === xyyxA
Pτσσ
A
Pxyyx 2
=== τσσ
• Círculo de Mohr para Torção:
J
Tcxyyx === τσσ 0 0=== xyyx
J
Tcτσσ
3 - 16
Falha por torção (revisão)
• Os materiais dúcteis normalmente sofrem falha por tensões de corte. Os materiais frágeis são menos resistentes em tracção que em corte.
• Quando sujeito a torção, um provete de um material dúctil, rompe ao longo de um plano de tensões de corte máximas, ie. num plano perpendicular ao eixo do veio.
• Quando sujeito a torção, um provete de um material frágil, rompe ao longo de planos perpendiculares à direcção na qual a tensão normal de tracção é máxima, ie. ao longo das superfícies que fazem 45o com o eixo longitudinal do veio.
Exemplo – tracção uniaxial
Cont.
Exemplo - torção
Problema 7.2
Para o estado de tensõesrepresentado, determinar:
a) as tensões principais e respectiva orientação,
b) as componentes de tensãoexercidas num elemento obtidorodando 30º no sentido anti-horário o elemento dado. ( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820
MPa802
60100
22222
=+=+=
=+
=σ+σ
=σ
FXCFR
yx
med
med
Problema 7.2
• Tensões principais:
°=
===
4.672
4.220
482tan
p
pCF
XF
θ
θ
horário sentido7.33 °=θp
5280max
+=
+== CAOCOAσ
5280max
−=
−== BCOCOAσ
MPa132max +=σ MPa28min +=σ
med
Problema 7.2
°=′=
°+=+==
°−=−==
°=°−°−°=
′′
′
′
6.52sin52
6.52cos5280
6.52cos5280
6.524.6760180
XK
CLOCOL
KCOCOK
yx
y
x
τ
σ
σ
φ
Tensões no elemento infinitésimalrodado de 30º em relação a XY:
Os pontos X’ e Y’ no círculo de Mohr que correspondem às tensões no elemento rodado de 30º, são obtidasrodando XY no sentido anti-horário: °= 602θ
Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas
Reservatórios cilíndricos de paredes finas (cont.)
• Os pontos A e B correspondem às tensõescircunferenciais, σ1, e longitudinais, σ2
• Tensão de corte máxima no plano da virola(in-plane), (rotação das tensões no plano, ie. circulo AB no circulo de Mohr), ocorre numadirecção a 45º com as tensões principais:
t
pr
42
12)planeinmax( ==− στ
• A tensão de corte máxima “fora do plano da virola” (out-of-plane) corresponde a umarotação de 45º do elemento em tensão planaem torno de um eixo longitudinal do cilindro (ie. plano OA no circulo de Mohr), e o correspondente valor é:
t
pr
22max == στ
Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas
Tensões no reservatório esféricosob pressão:
t
pr
221 == σσ
Reservatórios esféricos de paredes finas (cont.)
t
pr
221 == σσ
Circulo de Mohr
0
constant
plane)-max(in
21
=
===
τ
σσσ
• Tensão de corte máxima (out-of-plane)
t
pr
4121
max =σ=τ
• Tensão de corte máxima (in-plane)
Exemplo
Considere o reservatório cilíndrico em aço, com um raio interior de 1 m e uma espessura de virola e fundos de 5 mm, representado na figura. Admita que os fundos hemisféricos são ligados às virolas cilíndricas utilizando 126 rebites em cada um.A pressão de serviço é de 10 bar.
Calcular:
a) Tensões nas virolas.b) Tensões nos fundos, desprezando os efeitos da ligação dos fundos às virolas.c) Admitindo que se usavam rebites com 10 mm de diâmetro, na ligação dos fundos à virola como se ilustra na figura, verificar a segurança ao corte dos rebites para a pressão de serviço ( τadm = 150 MPa).
e
e
• O estado de tensão no ponto Q é definido por
zxyzxyzyx τττσσσ ,,,,,
Estado de tensão geral
Transformação de tensões resultante da rotação do elemento infinitésimal:
• Considerando o tetraedro com a face perpendicular à linha QN com cosenos directores: zyx λλλ ,,
• Impondo o equilibrio estático obtém-se∑ = 0nF
xzzxzyyzyxxy
zzyyxxn
λλτλλτλλτ
λσλσλσσ
222
222
+++
++=
• É possível encontrar uma orientação para o elementoinfinitésimal por forma que:
222ccbbaan λσλσλσσ ++=
estes são os eixos principais e os planos principais e as tensões normais são tensões principais.
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional
• Os 3 círculos representam as tensõesnormais e de corte para rotações emtorno de cada eixo principal.
• Eixos principais a, b,c
• Os pontos A, B, e C representam as tensões principais nos planos principais(com tensões de corte nulas) minmaxmax 2
1σστ −=
• O raio do circulo maior corresponde à tensão de corte máxima
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional (cont.)
• Caso em que as tensões principais são:
(tensão plana)
a) A tensão de corte máxima é igual à tensão de corte máxima no planoa,b dada pelo raio do circulo AB
• Os pontos A e B (representando os planosprincipais) estão em lados opostos emrelação à origem, então:
b) O plano da tensão de cortemáxima faz 45o com os planosprincipais AB.
0;0;0 =σ<σ>σ zba
Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado
de tensão tridimensional (cont.)
• Então A e B estão do mesmo lado da origem (i.e. têm o mesmo sinal), então:
c) Os planos da tensão de corte máximafazem 45º com o plano AZ.
b) A tensão de corte máxima para o elemento infinitésimal é:
a) O círculo que define σmax, σmin, τmax
para o elemento infinitésimal não é o circulo AB mas sim o círculo AZ
• Caso em que as tensões principais são:
(tensão plana) 0;0;0 =σ>σ>σ zba
2max
max
σ=τ
Exemplo – estado de tensão plana
Reservatório cilindrico sujeito às tensões principais indicadas.
Representação no círculo de Mohr:
MPa16max =τ
Critérios de falha para materiais dúcteis
• A falha de um componente sujeito a tensão uniaxial pode ser prevista atravésdas propriedades mecânicas obtidasatravés do ensaio de tracção uniaxial.
• Para o caso de um componente sujeito a tensão plana, é conveniente determinaras tensões principais e utilizar um critério de falha baseado no estado de tensão biaxial correspondente.
• Os critérios de falha são baseados nosmecanismos de fractura e permitem a comparação dos estados de tensãobiaxiais com as propriedades mecânicasconhecidas através dos ensaios de tracção uniaxiais.
Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana
Critério da tensão de corte máxima:
O componente estrutural está em segurançase a tensão de corte máxima é inferior à tensão de corte máxima correspondente aoensaio de tracção uniaxial no pontocorrespondente ao limite elástico:
22.0
elastico limitemaxeσ
ττ =<
Para σa e σb com o mesmo sinal,
22ou
22.0
maxeba
σ<
σσ=τ
Para σa e σb com sinais opostos,
222.0
maxeba
σ<
σ−σ=τ
2.0eY σ≡σ
Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana
Critério da Máxima Energia de Distorção:
O componente estrutural está em segurançase a energia de distorção por unidade de volume é inferior à energia de distorção porunidade de volume correspondente aoensaio de tracção uniaxial no limiteelástico:
( ) ( )
2.0
2.0
22
222
222
2222 006
1
6
1
ebbaa
ebbaa
Ybbaa
YYbbaa
Yd
ou
ou
GG
uu
σ<σ+σσ−σ
σ<σ+σσ−σ
σ<σ+σσ−σ
+×σ−σ<σ+σσ−σ
<
2.0eY σ≡σ
Tensão equivalente (Von-Mises Huber Hencky)
No caso mais geral, quando num dado ponto se combinam efeitos produzidos por várias solicitações é corrente, no caso de solicitações estáticas e materiais dúcteis, recorrer à Tensão equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky
(correspondente ao critério de energia de distorção), para comparar o respectivo estado de tensão com o estado de tensão uniaxial produzido por um ensaio clássico de tracção:
2.0)(3 222222
exzyzxyxzzyyxzyxeq σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ=σ
Para o caso de tensão plana, temos , logo: 0=== xzyzz ττσ
2.0
222 3 exyyxyxeq σ<τ+σσ−σ+σ=σ
Se tivermos as tensões principais, será:
2.02122
21 eeq σ<σσ−σ+σ=σ
Critério de falha para materiais frágeis em tensão plana
Critério da tensão normal máxima:
O componente estrutural está em segurança se a tensão normal máxima for inferior à tensãode ruptura do provete num ensaio de tracçãouniaxial:
rb
ra
σ<σ
σ<σ
Os materiais frágeis falham porque se atinge a tensão de ruptura, ou por fractura, semdeformação plástica significativa no ensaio de tracção uniaxial. A condição para o critério de falha é a tensão última, ou tensão de ruptura, σU = σr
rU σ≡σ
Esforços combinados – veios de transmissão
Um veio de transmissão como o ilustrado na figura, fica sujeito a esforços de torção e esforços transversos.
As tensões de corte originadas pelos esforços de corte
transversal, são normalmente muito inferiores às tensões de
corte devidas ao momento torçor
e como tal podem ser desprezadas na presente análise.As tensões normais de flexão
devidas às forças transversais
podem ser muito elevadas e têm de ser combinadas com as tensões de corte devidas à torção.
Veios de transmissão sujeitos a esforços combinados
• Numa secção qualquer:
J
Tc
MMMI
Mc
m
zym
=τ
+==σ 222com
• Tensão de corte máxima:
( )
22max
222
2
max
2 ,ou tubularcircular secção uma para
22
TMJ
c
JI
J
Tc
I
Mcm
m
+=
=
+
=+
=
τ
τσ
τ
• Condição de resistência mecânica para o veio:
adm
TM
c
J
τ
+
=
max
22
min
Exemplo 8.3 - veios de transmissão
O veio de transmissão de secção circular sólida, roda a 480 rpm e transmite umapotência de 30 kW do motor àsengrenagens G e H; A engrenagem G
absorve uma potência de 20 kW e a engrenagem H absorve 10 kW. Sabendoque σadm = 50 MPa, determinar o menordiametro admissivel para o veio.
Resolução:
• Determinar os momentostorçores e as correspondenteforças tangenciais nasengrenagens.
• Calcular as reacções em A e B.
• Identificar a secção crítica a partir dos diagramas de momentos torçores e de momentos flectores.
• Calcular o menor diametroadmissivel para o veio.
Exemplo 8.3
• Determinar os momentos torçores T e as correspondentes forças tangenciais F nasengrenagens:
( )
( )
( )kN49.2mN199
Hz802
kW10
kN63.6mN398Hz802
kW20
kN73.3m0.16
mN597
mN597Hz802
kW30
2
=⋅==
=⋅==
=⋅
==
⋅===
DD
CC
E
EE
E
FT
FT
r
TF
f
PT
π
π
ππ
• Reacções em A e B
kN90.2kN80.2
kN22.6kN932.0
==
==
zy
zy
BB
AA
Exemplo 8.3
• Identificar a secção crítica do veio, a partir dos diagramas de momentostorçores e dos momentos flectores:
Exemplo 8.3
• Calcular o diâmetro mínimo admíssivel do veio:
m25.85m02585.0
m1014.272
maciça,cicular secção uma Para
m1014.27MPa50
mN 1357
363
3622
==
×=π
=
×=⋅
=τ
+=
−
−
c
cc
J
TM
c
J
adm
mm 7.512 == cd
( )
mN1357
5973731160 222
max
22
⋅=
++=
+ TM
• Para a secção D (identificada como crítica):
Tensões devidas a esforços combinados
• Imaginemos que se pretende determinaras tensões na secção assinalada, de um elemento estrutural sujeito a carregamento arbitrário.
• Faz-se passar uma secção através do ponto de interesse. Impõe-se o equilibrio estático, para determinar as forças e os momentos necessáros paramanter o equilibrio.
• O sistema de forças internas, assimobtido, consiste em 3 componentes de forças e 3 componentes de momentos.
• Em seguida, podemos determinar a distribuíção de tensões, aplicando o principio da sobreposição.
• A força axial e os momentos no plano transversal, contribuem paraa distribuição de tensões normaisna secção.
• As componentes da força de cortee do momento torçor contribuempara a distribuíção de tensões de corte na secção.
Tensões devidas a esforços combinados
=
Exemplo 1 – esforços combinados
Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças P1 e P2 indicadas. O elemento cilíndrico BD tem um raio da secção transversal c = 20mm.Determinar:a) Tensões normais e tensões de corte no ponto K do elemento BD.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto H do elemento BD.
Nota: Para simplificar, desprezar as tensões de corte devidas ao esforço transverso.
Exemplo 1 - cont.
Exemplo 2 – esforços combinados
Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas. Sabendo que a secção transversal do corpo vertical é um rectângulo 40 mm x 140 mm.Determinar:a) Tensões normais no ponto H.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto F.
Exemplo 2 - esforços combinados (cont.)
Exemplo 3 – esforços combinados
Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas.
Determinar:
a) Tensões normais e tensões de corte no ponto H.
b) Tensões normais e tensões de corte no ponto K.
Exemplo 4 – esforços combinados
Para o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas, determinar:a) Tensões normais e tensões de corte no ponto a.