09. Calcul Integral

8/6/2019 09. Calcul Integral

1/42

CAPITOLUL 9

CALCUL INTEGRAL

9.1. INTEGRALE GENERALIZATE

9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE

BREVIAR TEORETIC

Definiie. Fie Raf ),[: o funcie integrabil pe orice interval

compact acca >],,[ . Dac

c

acdxxf )(lim existi este finit,

spunem c

a

dxxf )( este convergenti vom nota

=

c

aca

dxxfdxxf )(lim)( .

Criteriu de convergen. Fie 0)(,0,),[: >> xfaRaf ,),[ ax . Dac RLxfx

x=

)(lim , atunci:

1) pentru 1> , rezult c a

dxxf )( este convergent.

2)pentru 1

i 0

L , rezult c

a dxxf )( este divergent.


2/42

PROBLEME REZOLVATE

1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor

integrale i n caz de convergen s se determine valoareaacestora:

)a

=a

kxRkdxeI ,1 ; )b dx

xI

+=

0

22 2

1 ;

)c dxxx

I

++=

126

123

; )d Rdxx

I =

,1

1

4;

)e

=0

5 cosxdxxI ; )f dxxx

I

++=

126 65

1 .

Rezolvare:

)a Vom aplica definiia din breviarul teoretic.

Funcia kxexfRaf = )(,),[: este integrabil pe orice

interval compact acca >],,[ . Studiem existena i valoarea limitei:

( ) kcc

kakakc

c

c

a

kx

ce

kk

eee

kdxeL

=== lim

11limlim ,

pentru 0k .

Pentru 0>k avem kakcc

ek

Le

==

10lim , prin urmare

integrala este convergenti ka

a

kxe

kdxe

= 1 .

Pentru 0


3/42

)b Aplicm definiia. Funcia2

1)(,]0,(:

2 +=

xxfRf

este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studialimita:

=

++=

+=

2ln2lnlim

2

1lim

02

0

2 ccccxxdx

x

L

2ln

2

2lnlim2ln2lnlim

2

2 =

++

=

++

cc

cc

cc

,

prin urmare integrala 2I este convergenti 2ln2

10

2=

+

dxx

.

)c Funcia126

1)(,:

2 ++=

xxxfRRf este integrabil pe

orice interval compact 0],,[>

ccc . Vom studia limita:=

+=

++=

++=

33

3

1lim

3)3(

1lim

126

1lim

22

xarctgdx

xdx

xxL

c

c

cc

c

cc

3223

1

3

3

3

3lim

3

1 =

+=

+

+=

carctg

carctg

c, rezult

c integrala 3I este convergenti3126

123 =++=

dxxx

I .

)d Funciax

xfRf1

)(,),1[: = este integrabil pe orice

interval compact 1],,1[ >cc . Studiem existena i valoarea limitei:

=c

cdx

x

L

1

1lim

. Pentru 1 avem:


4/42

+

=

+==

1

1

1

1

lim1

1

1

1

1lim

1lim c

xdx

xL

c

c

c

c

c;

Dac =< L1 , rezult c integrala este divergent. Dac

1

11

=>

L , deci integrala este convergent.

Dac ====

cdxx

Lc

c

c

lnlim1

lim11

, prin urmare

integrala este divergent.

)e Aplicm definiia. Funcia xxxfRf cos)(,]0,(: = este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom

studia limita:=

===

00

00

sinsinlim)'(sinlimcoslimc

ccc

cc

cxdxxxdxxxxdxxL

( ) )(limcos1

sinlimcos1sinlim cfc

c

cccccc

ccc =

+=+= ;

pentru =+= )(lim2 2nnn xfnx

;

pentru ==

)(lim2 '2'

nn

n xfnx , prin urmare nu exist

0

coslimc

cxdxx , deci integrala

=0

5 cosxdxxI este divergent.


5/42

)f Funcia65

1)(,),1[:

2 ++=

xxxfRf este integrabil

pe orice interval compact 1],,1[ > cc . Studiem limita:

=+

=++

=

c

c

c

cdx

xdx

xxL

12

212

25

12 )()(

1lim

65

1lim

2ln2

1ln

3

2lnlim

3

2lnlim

1

=

+

+=

+

+=

c

c

x

x

c

c

c, prin urmare

integrala 6I este convergenti 2ln651

126

=++

=

dxxx

I .

2. Utiliznd criteriul de convergen, s se studieze naturaurmtoarelor integrale, iar n caz de convergen s se afle valoareaacestora:

)a

+=

06

2

1 1dx

xxI ; )b

++=

132 32

43 dxxx

xI ; )c

1

2dx

xarctgx .

Rezolvare:

)a Funcia6

2

1)(,),0[:

x

xxfRf

+= , are proprietatea c

),0[,0)( > xxf . Deoarece 11

lim6

2 =+ xxx

x

, pentru

14 >= rezult, conform criteriului de convergen enunat nbreviarul teoretic, c integrala este convergent.Valoarea integralei este:

==

=

+=

c

c

c

ccarctgcarctgxdx

x

xI

0

3

0

36

2

63

1lim

3

1lim

1lim

.


6/42

)b Funcia3 32

43)(,),1[:

+

+=

xx

xxfRf , are proprietatea

c ),1[,0)( > xxf . Deoarece 33 2

3

32

43lim =+

+

xx

xxx

,

pentru 13

1 ,1,0)( xxf . Deoarece22

lim = x

arctgxx

x

pentru

12 >= rezult, conform criteriului de convergen, c integralaeste convergent. Valoarea integralei este:

( )( )

=

++==

c cc

cxc xx

dxarctgx

xdxarctgxI

1 121

'1

1

1limlim .

( ) ( )=

++=

++=

2

121

41

2221

4 1lim

1

2lim

c

c

c

c tt

dt

xx

xdx

2ln2ln1

lnlim21

421

2

2

21

4+=+

++=

c

c

c.

3. S se studieze natura integralei: Rmdxxx

xIm

+=

,1422

2 .

Rezolvare:

Funcia142

)(,),2[:2 +

=xx

xxfRf

m

, are proprietatea c

),2[,0)( > xxf .


7/42

Avem c2

1

142lim

2=

+

xx

xx

m

x

daci numai dac

mm ==+ 22 . Rezult c:

Pentru 112 = mm , integrala este convergent. Pentru 112 = mm , integrala este divergent.

4. S se determine valorile parametrului Rn pentru care

integrala dxx

xI

n

+=

011 35

12

825este convergent.

Rezolvare:

Funcia11 35

1

825)(,),0[:

2

+=

x

xxfRf

n

, are proprietatea c

),0[,0)( > xxf .

1111 35

12

25

1

825lim =

+

x

xx

n

x

daci numai dac

21146

11351

2

nn==+ .

Ca urmare a aplicrii criteriului de convergen, avem c integrala

este convergent daci numai dac11

701

211

46= n

n .


8/42

PROBLEME PROPUSE

Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i

n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notatI ):1. Radxxe ax

,

0

R: divergent dac 0a ; convergent

dac 0>a i 21a

I = .

2.

+02

42

1

xx

R: convergent,9

32=I .

3.

0

sin xdx R: divergent.

4. dxx

+

0

2 4

1; R: divergent.

5. dxxx

x

++

+

32 34

12 R: divergent.

6. Zdxx

,11

R: divergent pentru 1 , convergent

pentru 1> i( )

=

11 1

I .

7.

dxx sin R: divergent.

8. 0,1

>

adxxax R: convergent pentru ( )1,0a i

a

aaI

2ln

1ln = ; divergent pentru 1a .


9/42

9.

0

2cos xdx R: divergent.

10. dxx

2

2 11 R: divergent.

11. dx

xxe

3ln

1R: convergenti 2=I .

12. dxx

x

+

1

3 1

12 R: convergenti 2ln

9

3+=

I .

13. dxx

+1

14

R: convergenti2

2=I .

14. Radxxeax

,cos

1

R: divergent dac 0a ; convergent

dac 0>

a i 12 +=

a

a

I .

15. dxx

arctgx

+12 1

R: convergenti32

3 2=I .

16. Rdxx

x

,ln

1

R: divergent dac 1 ; convergent

dac 1> i ( )21

1

= I .

Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive, s sestudieze natura integralelor urmtoare i, dac este posibil, s sedetermine valoarea lor.

17.

1

dx

x

arctgx R: divergent.


10/42

18.

+

+

13 65

32dx

xx

x R: divergent.

19.

1

4dx

x

arctgx R: convergenti 2ln61

61

12+= I .

20.

+

1

2 135

1dx

xx

R: convergenti27

34=I .

21.

++

13 5

2

3243 dx

xx

x R: divergent.

22. dxx

23 1

1 R: convergenti 3ln

61

183 = I .

23.

++

+

12

5

42

53dx

xx

x. R: convergent.

S se studieze natura integralelor:

24. Rmdxxx

xm

++

,422

2.

R: convergent dac 1m .


11/42

26. 2,,34)23(

12

1

7

+

mNmdxxx

x

m

R: convergent dac 7


12/42

9.1.2. INTEGRALE DIN FUNCII NEMRGINITE

BREVIAR TEORETIC

Definiie. Fie Rbaf ],(: o funcie integrabil pe orice interval

compact ],(],[ babc i =

)(lim xfax

. Dac dxxfb

a

+

>

)(lim

0

0

existi este finit, vom spune c b

a

dxxf )( este convergenti

vom nota dxxfdxxfb

a

b

a

+

>

=

)(lim)(

00

.

Criteriu de convergen. Fie ],(,0)(,],(: baxxfRbaf > i =

)(lim xf

ax.

1) Dac RAxfax

axax

=

>

)()(lim , pentru 1

, pentru 1 atunci

b

a

dxxf )( este divergent.


13/42

PROBLEME REZOLVATE

1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelorintegrale i n caz de convergen s se determine valoareaacestora:

)a

=0

321 9

1dx

xI ; )b

+=

2

122 86

1dx

xxI ;

)c ( )

Rpdxax

I

b

a

p

= ,

13 ; )d =

e

dxxx

I1

4 ln

1;

Rezolvare:

)a Fie29

1)(,]0,3(:

xxfRf

= . Cum

+=>

233 9

1lim

xxx

,

rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniuluide integrare.Avem c f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

]0,3(]0,[ c .Studiem existena i valoarea limitei:

23

3arcsin0lim

3arcsinlim

x-9

1lim

00

0

300

0

3 200

=

+==

>+>+>

xdx ,

deci integrala este convergenti29

10

321

=

=

dxx

I .

)b Fie86

1)(,)2,1[:

2 +=

xxxfRf . Cum +=

>

>

2

100

2

12

00

2

12

00 2

4ln

2

1lim

1)3(

1lim

86

1lim

x

xdx

xdx

xx

=

+=

> 3

5ln

2lnlim

2

1

00

, deci integrala este divergent.

)c Funcia

( )p

ax

xfRbaf

=1

)(,],(: este nemrginiti

integrabil pe orice interval compact ],(],[ babc . Studiem limita:

( )( ) =

=

=

+

>+

>

b

a

pb

ap

axp

dxax

L

1

00

00

lim1

11lim

( )

=

>

ppabp

1

00

1

lim1

1

, pentru 1p .

Dac 1p avem =L , deci integrala este divergent. pentru 1=p avem

( ) +===

=>+

>

+>

lnlimlnlnlim1

lim00

00

00

abaxdxax

Lb

a

b

a

,

prin urmare integrala este divergent.


15/42

)d Fiexx

xfRefln

1)(,],1(: = . Cum +=

>

)(lim

11

xf

xx

,

rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniuluide integrare.Funcia f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

],1(],[ eec .Studiem existena i valoarea limitei:

=+==

>+

>

+>

))1ln(ln(lim)ln(lnlimln1

lim

001

00

100

ee

xdxxx

, deci

integrala este divergent.

2. Folosind criteriul de convergen pentru funcii pozitive s sestudieze natura urmtoaelor integrale i, dac este posibil, s sedetermine valoarea acestora:

)a

2

024

1dx

x ; )b +

4

13 23

1dx

xx ;

)c badxxbax

b

a

> )2()1(

1lim23

1lim2

113

11 xxxx

xx

xx

. Avem c

]4,1(,0)( > xxf i.

( )1

)2()1(

1lim

2

1

1=

+

>

xx

x

x

x

pentru 12 >= , deci, conform criteriului

de convergen, rezult c integrala este divergent.

)c Fie))((

1)(,),(:

xbaxxfRbaf

= . Scriem

21

))((

1IIdx

xbax

b

a

+=

, unde

=c

a

dx

xbax

I

))((

11 i

=b

c

dxxbax

I))((

12 , bca ))((

1lim

xbaxax

axi ],(,0)( caxxf > ;


17/42

abxbaxax

axax

=

>

1

))((

1)(lim pentru 1

2

1 ;

abxbaxxb

bxbx

=

dtttab

ttab

ab

ab

cossin)(2cossin)(

1lim

arccos

arcsin 22200

===

>

>

ab

ab

ab

ab

tdt arccosarcsin

00

arccos

arcsin00

2lim2lim .


18/42

PROBLEME PROPUSE

Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i

n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notatI

):1.

=

0

1 21

1

1dx

x

I . R: convergenti2=I .

2. +

=3

122 158

1dx

xxI . R: divergent.

3. ( ) RmdxxbI

b

am = ,

13 . R: convergenti

( )m

abI

m

=

1

1dac 1


19/42

S se studieze natura integralelor:

9.

e

dxxx

1

0ln

1. R: divergent.

10.

1

3

2 1

1dx

x

. R: convergenti ( )223ln =I .

Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive s sestudieze natura integralelor, i, n caz de convergen, s sedetermine valoarea lor:

11.( )

+

1

0 3

1dx

xx. R: convergenti

93=I .

12.

3

0 )3(

1dxxx . R: convergenti =I .

13. +

3

22 23

1dx

xx. R: divergent.

S se precizeze mulimea valorilor parametrilor reali pnm ,,pentru care urmtoarele integrale sunt convergente:

14. dxxx

n +1

02

5 4

12 . R:21


20/42

9.1.3. INTEGRALE EULERIENEBREVIAR TEORETIC

Integrala gamma: ( ) >=0

1 0; adxexa xa .

Proprieti:1) ( ) 11 = .2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >= aaaa .3) ( ) ( ) ( ) Nnnn = ,!1 .

4) =

2

1.

Integrala beta: ( ) ( ) >>= 10

11 0,0;1, badxxxba ba

Proprieti:1) ( ) ( ) 0,,,, >= baabba

2) ( )( ) ( )( )

0,,, >+

= ba

ba

baba .

2) ( )

( )

+

+

=

0

1

1

, dxx

xba

ba

a

.

3) Dac 1=+ ba , atunci( )

a

basin

),( = .


21/42

PROBLEME REZOLVATE

S se calculeze urmtoarele integrale:

1. +

+=1

11 dxexI x .

Rezolvare:Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 11 .Intervalul de integrare se modific dup cum rezult din tabelul demai jos:

x 1 t 0

Obinem: dtetI t

=0

21

. Prin identificare cu formula de definiie a

integralei gamma, rezult23

211 == aa , prin urmare

) 21

2

1

2

1

2

3 ===I .

2. + =0

25 dxexI x .

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx21

212 === .

x 0 t 0

Obinem: ( )8

15

2

!56

2

1

2

1

2

1

2 660

56

0

5

====

=

dtetdte

tI tt .

3.

+

= dxexI x26 .


22/42

Rezolvare:Deoarece funcia care trebuie integrat este par, rezult c

+=

0

6 22 dxexI x .

Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21

21

212 === .

x 0 t 0

8

15

2

1

2

1

2

3

2

5

2

72

00

213 2521 =

=

===

+

+ dtetdttetI

tt .

4. xdxxI3

1

0

ln= .

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabil: dtedxextxtt

===lnx 0 1t 0

==0

30

3 23

2 dtetdteteItt t

Facem transformarea: dydtytyt32

32

23 ===

t 0y 0

( ) ( ) ( )27

324

81

16

81

160

0

3323

32 ====

dyeydyeyIyy .


23/42

5. =0

2

dxeI x (integrala Euler-Poisson).

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21

21

212 === .

x 0 t 0

22

1

2

1

0

21

0

21 2

121

=

===

dtetdtteI

tt .

6. 1,ln

1

>

adxx

x

a.

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabil: dtedxextxtt

===ln .x 1 t 0

( )

==0

1

0

dtetdteetItatat .

Folosim schimbarea de

variabil: ( ) dydtytyta aa 11

11

1 === .t 0 y 0

( ) ( )( )

( )222 11

11

01

1 2

===

aa

y

adyeyI .


24/42

7. Integrala dxeI xx

+=1

15,0 2 are formab

ake

2

. S se

determine valorile parametrilor reali k, a i b .

Rezolvare:

Avem c: ===

+ +

11

1 2 1222

21

dxedxeIxxxx

+

+++

==1

2

1

12

3

2

122

23

2

dxeedxe

xxx

. Folosim schimbarea de variabil:

dtdxtxtx

2122

1===

+.

x 1 t 0

=0

22

23

dteeIt . Folosind faptul c

20

2 =

dte t (integrala

Euler-Poisson), obinem c21

23

23

222

==

eeI , prin urmare

valorile cutate ale celor trei parametri sunt:

2

1,

2

3,1 === bak .

S se calculeze urmtoarele integrale:

8.( )

=1

0 3 2 1 xx

dxI .


25/42

Rezolvare:

( )

( ) =

=

1

0

1

0 3 231

32

1

1

dxxx

xx

dxI . Prin identificare cu formula

de definiie a integralei beta, obinem:

31

321 == aa ;

32

311 == bb , prin urmare, avnd n

vedere definiia i proprietatea 3 pentru integrala beta, rezult:

( )3

2

sin,

332

31

===I .

9. ( ) =1

0

38 1 dxxxI .

Rezolvare:

Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 32

31

313 === .

x 0 1t 0 1

( ) ( ) ( )12

1

)5(

)2()3(

3

12,311

1

031

1

0

231

31 3

238

=

====

dtttdttttI .

10. ( ) dxxxI =1

0

5,123 1 .

Rezolvare:

Facem schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21

21

212 === .

x 0

t 0


26/42

Prin urmare, ( ) ( ) === 1

0

1

0

5,12 21

23

61

31

12

11 dttttdxxxI

( ) == 25,3221121

1

0

2

3

3

1

dttt .

11. S se calculeze: a)( )

+=

061

dxx

xI ; b)

+=

061

dxx

xI .

Rezolvare:

a) Prin identificare cu a doua formul de definiie a integralei beta(proprietatea 2), obinem: 211 == aa ; 46 ==+ bba ,

prin urmare ( )( ) ( )

( ) 201

6

424,2 =

== I .

b) Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 65

61

616 === .

x 0

t 0 ( )

===

+=

+=

0 332

31

1

061

93

sin61

,61

161

161 3

2

656

1

t

tdtt

t

tI .

12. Integrala ( ) ( )=

2

0

6,04,1 cossin

dxxxI are forma ),( qpk ,

unde 0,;,, > qpRqpk . S se afle valorile paramertilor qpk ,, .

Rezolvare:

Folosim schimbarea de variabil: dtxdxxtx == cossin2sin2 .x 0

2

t 0 1Transformm funcia care trebuie integrat astfel:


27/42

==

2

0

6,14,0 cossin2)(cos)(sin2

1

xdxxxxI

=2

0

8,022,02 cossin2)(cos)(sin21

xdxxxx . Obinem:

( )2,0;2,12

1)1(

2

1 1

0

8,02,0 == dtttI , deci 2,0;2,1;

2

1=== qpk .

13. S se calculeze integrala:( )( ) +

=3

4 6 534 xx

dxI .

Rezolvare:

Integrala se poate scrie: ( ) ( )

+=3

4

65

61

34 dxxxI .

ncercm s facem schimbarea de variabildtdxtxtx ===+ 44 .

x 4 3t 0 7 Se observ c intervalul de integrare devine ( )7,0 , prin urmare,

pentru a ajunge la intervalul ( )1,0 , vom folosi schimbarea de

variabil dtdxtxtx

747

7

4===

+.

x 4 3 t 0 1

Obinem: ( ) ( ) ( ) ===

1

0

1

0

65

61

65

61

65

61

17777777 dtttdtttI

( ) ( )

2

sin

,,66

5

6

1

6

1

6

5 ==== .


28/42

PROBLEME PROPUSE

S se calculeze valoarea urmtoarelor integrale:

1.

0

36 dxex x R: 24380 2.

0

72

dxex x R: 3;

3. ( ) dxxx 1

0

52 R:2772

14.

+

dxexx

24R:

4

3

5.

1

0

2dxxx R:

8

6.

+

dxe

x 2R:

7. ( )

+1

151 dxex x R: 8. ( ) dxxx

+0

1

32 1 R:601

9.

05

dxexx

R: 120 10.

+0 2 23dx

e

xx

xR: -1

11. ( ) 1

0

6314 1 dxxx R: 69301

12.

( )

1

0 3 2 1

1dx

xx

R:3

32

13. dxxx 2

0

22 4 R: 14.( )

+06

4

1dx

x

xR:

51

15.

( ) dxxx 1

0

42R:

630

116.

( )

1

0 6 5 1

1dx

xx

R:2

17. ( )1

0

5ln dxxx R:8

15 18. 0,

0

222 > adxxaxa

R: 16

4a

19.

+041

1dx

xR:

22

20.

++2

25)2( dxex x R: 120


29/42

21.

( )

1

0 4 3 1

1dx

xx

R: 2 22.

0

2

2

dxe

x

R:2

2

23. 0;0

> ndxe

nxR:

nn

11

24. 0,;0

>

nmdxexnxm

R: ( )n

m

n

11 +

25.

( )

2

27

2 dxexx

R:

!726.

0

dxex

R:

2

27. 2/

0

53 cossin

dxxx R:121

28. +

0

7 5 7dxex

xR: !117

29. dxxx

0

3

24 9 R: 32729

30. +

dxex

22

R: 2 31.( )

+032

10

21dx

x

xR: 2

32. dxx

1

0

1ln R: 2

33.

( ) ( )

+

1

3 6 5 13 xx

dx R: 2

34. Nndxex xn

;

2

R: 0 , dac n impar; ( )( )

22

!!121 n

nn

= + ,

dac n par

35. ( )

++1

131 dxex x R: -3! 36.( )( )

3

1 13dx

xx

dx R:

37.

e

dxxxx1

43 )ln1(ln1

R:280

1 38.

+0 6

4

1dx

x

xR:

3


30/42

39. a

dxxax

0

224R:

32

6a

40. + +

1

422 dxe xx R:32e

41.

+0

242

7

21 dx

xx R:

524

42. dxxx 3

0

25 9 R:35

583243. Nndxex

nxn

;0

2R: ( )

nn

n 13

1

+

44.

0

13dxex

x

R: e6

45. ( ) 0;ln1

0

11 >

pdxp

xR: ( )p 46.

( )

+023

4

21dx

x

xR:

27

23 3

47.

+

1

322 dxe xx R:

2

4 e48. ( ) ( )

1

151 dxexn

x R:1

49. Nndxexxn

;

0

2

R: 50.

+08

3

1dx

x

xR:

8

51. dxxx

0

4

26 16 R: 1280

52. ( ) 10

435 1 dxxx R:901 53. 2/

0

24 cossin dxxx R:

54.( )

+03 1

1dx

xxR:

32

55. ( ) 1

0

438 1 dxxx


31/42

56.

+061

1dx

xR:

3 57.

( )

+023 1

1dx

xx

R:3

58.

( )

+024

2

1dx

x

x R:28

59. Nnmdxxxnm

,;cossin2/

0

1212

R:( ) ( )

( )!12!1!1

+

nm

nm

60.

++dxe

xx 12 2R:

2

89

e61.

*2

;12

1

Nnn

x

n

+

+

62.

++dxe

xx 142 2R:

2

23 e63.

+04

2

1dx

x

xR:

4

2

64.

2

22 dxex x R:2

65.

1

13dxex

xR:16

66. ( ) 1

0

523 1 dxxx R:841

67.

( )

+032

4

21dx

x

xR:

128

23

68. Integrala dxeIxx

+

= 1

563 2

are forma bake , unde

Rbak ,, . S se afle valorile parametrilor bak ,, .

R:21

63 ,8, === bak .

69.Integrala = 2/0

42 cossin

dxxxI are forma ak unde


32/42

Rak , . S se determine valorile parametrilor ki a .

R: 1;321 == ak .

70. Integrala )(0

45,2 3 badxexI x ==

, unde 0;, > bRba . S

se determine valorile parametrilor a i b .

71. Integrala ( ) ==1

0

8,436,3 ),(1 qpkdxxxJ , unde

0,;,, > qpRqpk . S se determine valorile parametrilor qpk ,, .

72. S se calculeze 0,0,)1(

)1()1(1

12

1212 >>+

+=

+

nmdxx

xxT

nm

nm .


33/42

9.2. INTEGRALE DUBLE

BREVIAR TEORETIC

Fie 2RD un domeniu mrginit i RDf : o funcie

integrabil pe D . Calculm ( )=D

dxdyyxfI , .

Reguli de calcul

1. DacD este dreptunghiul [ ] [ ]dcba ,, , atunci:

( )

=

=

d

c

b

aD

b

a

d

c

dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(,

2. Presupunem cD este undomeniu nchis, simplu in raport cuaxa Oy , adic ( ) ( ) ( )xyxbxaRyxD = ,/, 2 , iarfuncia ( )yxfy , este integrabil pe ( ) ( )[ ]xx , . Atunci:

( ) ( )

=

D

b

a

x

x

dxdyyxfdxdyyxf)(

)(

,,

.

3. Presupunem cD este undomeniu nchis, simplu in raport cuaxa Ox , adic ( ) ( ) ( )yxybyaRyxD = ,/, 2 , iarfuncia ( )yxfx , este integrabil pe ( ) ( )[ ]yy , . Atunci:

( ) ( )

=

D

b

a

y

y

dydxyxfdxdyyxf)(

)(

,,

.


34/42

4. Schimbarea de variabiln integrala dubl: trecerea de lacoordonate carteziene la coordonate polare.

Considerm transformarea: sin,cos==

yx , unde[ ] 2,0,0 . Rezult c dac ( )yx, parcurge domeniul D ,

atunci ( ), parcurge domeniul [ ] [ ]2121* ,, = rrD , unde

[ ] [ ) ,0, 21 rr i [ ] [ ] 2,0, 21 . n aceste condiii, rezult c:( ) =

*

sin,cos),(DD

ddfdxdyyxf .

Observaie. DacD este un domeniu nchis i mrginit, atunci ariasuprafeei D este: ( ) =

D

dxdyDAria .

Formule ce vor fi utilizate: ecuaia dreptei ce trece prin punctele ( )11, yxA , ( )22 , yxB

este:011

1

2211

=

yxyx

yx

.

ecuaia cercului cu centrul ( )baA , i raza r este:( ) ( ) 222 rbyax =+ .


35/42

PROBLEME REZOLVATE

1.

Se consider [ ] [ ]0,11,0=

D i ,: RRf

( ) 12, 32 += xyyxyxf . S se calculeze ( )

D

dxdyyxf , .

Rezolvare:

( ) ( ) =

+=

+=

=

=

dxyxyyxdxdyxyyxIy

y

1

0

0

1

44122

1

0

0

1

32 12

( ) .24

191

8

1

3

1

831

1

0

231

0412 =++=

++=++= x

xxdxxx

2. S se calculeze ( ) =D

dxdyyxI 2 , unde

( ) 132;10, 22 += xxyxxRyxD .

Rezolvare:

Deoarece domeniul D este simplu n raport cu axa Oy , obinem:

( )

=

+

1

0

13

2

2 .

2

dxdyyxIxx

x

Avem c:

( )2

32

2

113

2

23422

++=+

xx

x

xxxxdyyx , prin urmare

6071

1

0

234

2

32

2

1=

++= dxxxxxI .


36/42

3. S se calculeze =D

dxdyI , unde

( ){ }2,2, 22 = xxyxyRyxD .Rezolvare:

Considerm funciile RRff :, 21 , 2)(2

1 = xxxf ,

2)(2 =xxf . Determinm punctele de intersecie ale graficelor

celor dou funcii, rezolvnd sistemul

=

=

2

22

xy

xxy i gsim

punctele ( )2,0

A i ( )0,2B . Domeniul D este dat de suprafaahaurat.

Observm cD se mai poate exprima astfel:

( ) 22,20, 22 = xyxxxRyxD , deci D estesimplu n raport cu axa Oy . Prin urmare, integrala devine:

( )34

2

0

22

0

22

2

0

2

2

222

==

=

=

==

dxxxdxydxdyIxy

xxy

x

xx

.

0

y=f1(x)

y=f2(x)

A(0, -2)

B(2, 0) x

y


37/42

4. S se calculeze =

D

xdxdyI , undeD este domeniul din figur.

Rezolvare:

Ecuaia dreptei AC este: 220120

101

1

=+= yx

yx.

Ecuaia cercului de centru ( )1,0 si raz 1 este:( ) ( ) 02110 2222 =+=+ yyxyx .

Coordonatele punctului B se determin rezolvnd sistemul:

==

==

=+

=+

5

2

,5

4

2,0

02

2222

yx

yx

yyx

yx ; obinem ( )2,0A i )52

54 ,B .

Considerm domeniul simplu n raport cu axa Ox . Cu notaiile dinbreviarul teoretic, punctul 2, avem:

2,52 == ba ; ( ) ( ) ( )yyyxyx ===+ 2222

21

21 ;

( ) 2222 2202 yyyyyxyyx +===+ . Rezult:

(0, 0)C(1, 0)

(0, 1)

A(0, 2)

D

B

x

y


38/42

( )7532

41252

22

81

2 222 2

52

52

2

22

52

2

22

=+=

=

=

dyyydyx

dyxdxI

yyyy

yy

.

5. S se calculeze =D

dxdyI , unde domeniulD este dat de

suprafaa haurat.

Rezolvare:

Ecuaia dreptei 1d este: 10

121

110

1

+== xy

yx

.

Ecuaia dreptei 2d este: xy

yx

== 30

112

121

1.

Dorim s integrm pe domenii simple n raport cu Oy . Vom descompune

D n reuniune a dou domenii 21 ,DD care au interioarele disjuncte:

(1, 2)

(2, 1)

2

1

x

y

O


39/42

Pentru 1D avem 1)(,0)(;1;0 +==== xxxba

=

+=+=

==

+

D

x

xxdxxdxdydxdyI

1

0

1

0

1

0

21

01 2

3

2

1

)1( .

Pentru 2D avem xxxba ==== 3)(,0)(;2,1 .

2

33

23)3(

2

1

2

1

2

1

23

02 ===

==

xdxxdxdydxdyI

x

D

.

Rezult c 321 =+= III .

6. S se calculeze +=D

dxdyyxI 22 , unde

( ) 0;94, 222 += yyxRyxD .

Rezolvare:

Folosim trecerea la coordonatele polare:

[ ) [ ]

2,0,,0,

sin

cos

=

=

y

x

+

0

32

0

94 22

y

yx

O x

y

1

(1, 2)

D1D2

(1, 2)

O 1 2 x

y


40/42

Vom avea: = 0,32),( 2* RD i dddxdy = .

3191931 00

3

222

*==

== dddddI

D.

7. S se calculeze aria discului de raz r, unde 0>r .

Rezolvare:

Avem de calculat aria domeniului ( ) 2222 /, ryxRyxD += .Conform observaiei din breviarul teoretic, aria domeniului D esteegal cu

D

dxdy .

Folosim trecerea la coordonatele polare :

[ ) [ ]

2,0,,0,sin

cos

=

=

y

x

( ) [ ] [ ] 2,0,,0, 222 + rryxDyx . Prin urmare,

20,0),( 2* = rRD i dddxdy = . Prinurmare,

22

0

22

0 0 2*rd

rdddddxdy

r

DD

==

==

.

8. S se calculeze +=

D

yxdxdyeI

22

unde

( ) yxyxRyxD += 0,41, 222 .


41/42

Rezolvare:

Folosim trecerea la coordonatele polare:

[ ) [ ]

2,0;,0,

sin

cos

=

=

y

x.

( ) [ ]

+

2,

4,2,10,41, 22

yxyxDyx .

Avem: ( )24

2* ,21, = RD i

dddxdy = . Rezult:

=

== +

2

4*

2222 2

1sincos

ddeddeID

( ) 22222

1

2

1 42

2

4

2

4

2

4

eedeeeeddee ==+=

=

.

PROBLEME PROPUSE

1. S se calculeze +D

dxdyxyyx 725 3 unde

[ ] [ ]2,10,2 =D . R: 10 .

2. S se calculeze

+

D

dxdyx

yx unde

( ) 10,31, 2 = xyxRyxD . R: 3ln21

314 + .

3. S se calculeze ++D

dxdyyx 1

1, unde

( ) 0,0;3,1, 2 += yxyxxyRyxD . R: 2ln2 .


42/42

4. S se calculeze ( ) +D

ydxdyxxy 32

unde ( ) 31;21, 222 ++= xxyxxRyxD . R:154

.

5. S se calculeze

D

dxdyx

y 4 unde

( ) 112,41, 22 += xyxxRyxD . R:9

229.

6. S se calculeze D

dxdyx

y, unde

( ) 22 12,21, xyxxRyxD = . R: 2ln2187 .

7. S se calculeze +

D

yx dxdye )(22

unde unde

( ) 0,0,16, 222 += yxyxRyxD . R:4

1 16 e.

09. Calcul Integral

Documents