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657
1. La necessità di ampliare l’insieme Q
n L’estrazione di radice non è un’operazione interna in QQ
Abbiamo visto che, partendo dall’insieme dei numeri naturali N, perrendere interna la sottrazione, operazione inversa dell’addizione, è statonecessario introdurre l’insieme dei numeri interi Z.Analogamente, con l’introduzione dell’insieme dei numeri razionali Q, èstato possibile rendere interna la divisione, operazione inversa della molti-plicazione:
N , Z , Q.
Nell’insieme Q è possibile eseguire sempre le quattro operazioni di addi-zione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (esclusa la divisione per 0).
Tuttavia, è necessario ampliare ancora l’insieme Q, perché l’operazioneinversa della potenza, l’estrazione di radice, non è interna in Q.
Infatti abbiamo visto che un qualsiasi numero razionale corrisponde a unnumero decimale finito o periodico e viceversa, mentre in alcuni casil’estrazione di radice ha come risultato numeri decimali illimitati e nonperiodici.
Per semplicità studiamo il problema limitandoci a considerare solo la ra-dice quadrata.
TEORIA
I numeri realie i radicali
Il problema di DeloUna leggenda narra che nell’anno 400 a.C. la città
di Atene fu colpita da una terribile epidemia di
peste. Una delegazione di ateniesi si diresse a Delfi
per consultare l’oracolo, nella speranza che
potesse indicare un modo per porre fine
all’epidemia. Questo fu il responso dell’oracolo:
«Ateniesi, per far cessare la peste, dovete duplicare
l’altare consacrato ad Apollo nell’isola di Delo»…
Nell’insieme dei numeri razionali positivi o nulli, che indichiamo conQ 0
1, la radice quadrata non è un’operazione interna, perché esistononumeri la cui radice quadrata non è un numero razionale.
Dimostriamo, per esempio, che 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale, facendo vedere che non esiste alcun numero razionale che,elevato al quadrato, dia come risultato 2.
Suddividiamo a tale scopo l’insieme dei razionali positivi, compreso lozero, in due sottoinsiemi: uno contenente le sole frazioni apparenti, cioè inumeri naturali, e l’altro contenente tutte le altre frazioni.
Procediamo in questi due insiemi alla ricerca di un numero il cui quadratosia uguale a 2.
1. Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti, associando a ogni natu-rale il suo quadrato, si può vedere che fra i quadrati il numero 2 noncompare.
n 0 1 2 3 4 5 …n 2 0 1 4 9 16 25 …
w }a
b} è una frazione appa-
rente se a è multiplo di b.
Per esempio, }6
2} 5 3 è ap-
parente; }1
2} e }
7
2} non sono
apparenti.
Radice quadrata
La radice quadrata di un numerorazionale positivo o nullo è quelnumero, positivo o nullo, che, ele-vato al quadrato, dà come risultatoil numero dato.
DEFINIZIONE
a b
a b2
√se
(a 0, b 0)
=
=
n La definizione di radice quadrata
Vogliamo definire la radice quadrata come operazione inversa dell’eleva-mento al quadrato; dato un numero a, vogliamo quindi determinare unnumero b che, elevato al quadrato, dia a.Consideriamo, per esempio, 25. È vero che:
(2 5)25 25 e 52
5 25.
Ci sono due numeri, 2 5 e 5, che elevati al quadrato danno 25; tuttavia,affinché la radice quadrata sia un’operazione, dobbiamo associare a 25un solo valore. Per convenzione, scegliamo il valore positivo. Diciamo chela radice quadrata di 25 è 5 e scriviamo:
Ï25w 5 5.
Inoltre, non tutti i numeri razionali hanno la radice quadrata. Per esem-pio, Ï2w 1w6w non esiste perché nessun numero elevato al quadrato dàcome risultato un numero negativo.
Paragrafo 1. La necessità di ampliare l’insieme Q TEORIA
w In una frazione non ap-parente ridotta ai minimitermini il numeratore e ildenominatore sono primifra loro. Se eleviamo alquadrato la frazione, anco-ra numeratore e denomi-natore sono primi fra loro,perché sono dati daglistessi fattori, ripetuti duevolte. Per esempio:
1}5
7}2
2
5 }5
7
2
2} 5 }
5
7
?
?7
5} .
2. Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2. Supponiamo per
assurdo che esista una frazione non apparente }a
b} , ridotta ai minimi ter-
mini, il cui quadrato sia uguale a 2, ossia tale che:
1}a
b}2
2
5 2.
Se }a
b} non è una frazione apparente, significa che a non è multiplo di b.
Ma allora neanche la frazione 1}a
b}2
2
5 }a
b
?
?
a
b} può essere apparente;
pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione 1}a
b}2
2
non
apparente e il numero naturale 2, che è una frazione apparente.
Possiamo concludere che non esiste alcun numero razionale il cui quadratosia uguale a 2; pertanto l’operazione di radice quadrata non è interna in Q0
1.
n Punti di una retta e numeri razionali
Nella rappresentazione dei numeri razionali su una retta, a ogni numerorazionale corrisponde un punto della retta. Viceversa, è vero che a ognipunto della retta corrisponde un numero razionale?
Possiamo rispondere che non è vero con un esempio.
ESEMPIO Consideriamo la retta orientata r. Costruiamo sul segmento AB
unitario un quadrato (figura 1a), indicando con d la misura della diagona-le AC (figura 1b), e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABC:
d 25 12
1 125 2.
Il segmento AE (figura 1c) misura d, con d 25 2. Al punto E della retta r
non può quindi corrispondere un numero razionale.
Abbiamo così mostrato che esiste un punto sulla retta r a cui non corri-sponde nessun numero razionale.
m Figura 1
a. Costruiamo sul segmentounitario il quadrato ABCD.
b. Tracciamo la diagonale AC. c. Riportiamo AC con il compassosulla retta, ottenendoil segmento AE.
0 1 2
A
D
B
C
r r r
0 2
A
D
B
C
1
1
1
0 2
A
D
B
C
1 E
d
w Teorema di Pitagora: inun triangolo rettangolol’area del quadrato costrui-to sull’ipotenusa è ugualealla somma delle aree deiquadrati costruiti sui cateti.
w Abbiamo già visto cheogni numero razionale sipuò scrivere in forma deci-male limitata o illimitataperiodica e viceversa.
2. Dai numeri razionali ai numeri realin Le successioni approssimanti
Consideriamo la frazione }5
6} , che corrisponde al numero decimale perio-
dico 0,83w.
Questo numero può essere approssimato al numero di cifre decimali chesi vuole, per difetto o per eccesso.
Le approssimazioni per difetto all’intero e a una, due, tre... cifre deci-mali sono le seguenti:
0 0,8 0,83 0,833 0,8333 ...
Le approssimazioni per eccesso sono:
1 0,9 0,84 0,834 0,8334 ...
In prima approssimazione possiamo dire che }5
6} è compreso fra 0 e 1, in
seconda approssimazione che }5
6} è compreso fra 0,8 e 0,9 e così via.
Più aumentano le cifre decimali, più ci si avvicina al valore }5
6} .
Questo procedimento si può applicare a ogni numero decimale periodico.
Ogni numero decimale periodico può essere associato a due successionidi numeri decimali finiti che lo approssimano sempre meglio.
n I numeri decimali illimitati non periodici
Vediamo ora se è possibile applicare il procedimento delle approssima-zioni alla radice quadrata di 2, Ï2w, che come abbiamo dimostrato non èun numero razionale.
Cerchiamo prima due successioni di numeri decimali, tali che i loro qua-drati approssimino il numero 2, per difetto e per eccesso.
Prima approssimazione. Sappiamo che:
(1) 2, 2 , (2 )2.
Seconda approssimazione. Calcoliamo tutti i quadrati dei numeri conuna cifra decimale, compresi fra 1 e 2, e controlliamo fra quali di questinumeri si trova il numero 2:
(1,1)25 1,21 (1,2)2
5 1,44 (1,3)25 1,69
(1,4)25 1,96 (1,5)2
5 2,25
Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri richiesti:
1,96 , 2 , 2,25 ossia (1,4)2, 2 , (1,5)2.
Terza approssimazione. Con un procedimento analogo calcoliamo iquadrati dei numeri con due cifre decimali, compresi fra 1,4 e 1,5, con-trollando fra quali di essi si trova il 2.
Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA
Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri fra cui ècompreso 2:
1,9881 , 2 , 2,0164 ossia (1,41)2, 2 , (1,42)2.
Ulteriori approssimazioni. Questo procedimento può continuare per laterza cifra decimale, la quarta e così via.
Scriviamo ora le due successioni che approssimano per difetto e per ec-cesso Ï2w.
● S 1: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...
● S 2: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ...
I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda de-crescenti. La differenza fra un termine della seconda successione e il cor-rispondente della prima successione va via via diminuendo:
2 2 1 5 1; 1,5 2 1,4 5 0,1; 1,42 2 1,41 5 0,01...
Tuttavia, aumentando il numero delle cifre decimali, non si giunge mai a unostesso numero decimale finito o periodico. In tal caso, infatti, dovremmo tro-vare un numero razionale il cui quadrato è 2, cosa esclusa in precedenza.
Comunque, così come la scrittura 0,833333... è collegata alle due succes-
sioni che approssimano }5
6} e rappresenta }
5
6} in forma decimale, possia-
mo pensare che anche 1,41421... sia la scrittura decimale di Ï2w.
Scriviamo
Ï2w 5 1,41421...
Ï2w, pur avendo infinite cifre decimali, non è periodico. Un numero diquesto tipo viene detto numero decimale illimitato non periodico enon è un numero razionale.
n I numeri irrazionali
Potremmo far vedere che ogni volta che un’estrazione di radice non hacome risultato un numero razionale, esiste un procedimento per associa-re alla radice un numero decimale illimitato non periodico. Diamo allorala seguente definizione.
I numeri irrazionali sono infiniti. Per esempio, Ï3w, Ï5w, Ï3
2w, Ï5
7w sononumeri irrazionali.Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di ra-dici: per esempio, il numero p 5 3,14159...
w Se usi la calcolatrice percalcolare Ï2w, trovi un nu-mero decimale finito che èuna sua approssimazione.
w Il procedimento dellesuccessioni approssimantisi può estendere anche alleradici cubiche, quarte ecc.
w Il rapporto fra le misuredella circonferenza e deldiametro è costante e vieneindicato con p (pi greco).Nel 1761 il matematico te-desco Lambert dimostròche p è un numero irrazio-nale.
Numero irrazionale
Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non pe-riodico.
Poiché esistono dei numeri non razionali, dobbiamo ampliare l’insiemedei numeri razionali considerando un nuovo insieme, che chiamiamo in-sieme dei numeri reali; tale insieme è l’unione dell’insieme dei numerirazionali e di quello degli irrazionali.
Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali, mentre R01 è l’insieme dei
numeri reali positivi o nulli.
Nell’insieme R si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione,moltiplicazione, divisione, potenza, estrazione di radice, ma non:
a) la divisione per 0;b) l’estrazione di radice con indice pari di numeri negativi.
Come l’insieme Q, anche l’insieme R è denso, cioè, dati due numeri rea-li a e b, esiste sempre un numero reale compreso tra essi, e quindi ne esi-stono infiniti.
L’insieme R si può mettere in corrispondenza biunivoca con i punti diuna retta: a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e vicever-sa. Per questo si dice che R è un insieme completo.
n Le operazioni tra numeri reali e le approssimazioni
Dal punto di vista teorico sarebbe possibile definire in modo rigoroso leoperazioni fra numeri reali e studiarne le proprietà.Si può inoltre dimostrare che R è un ampliamento di Q: le operazionifra numeri reali conservano le proprietà formali delle operazioni fra nu-meri razionali.Noi ci limiteremo a osservare che, per svolgere i calcoli, si devono utiliz-zare le approssimazioni decimali dei numeri reali. Cerchiamo di capireche cosa questo comporta.
Consideriamo Ï31w e Ï67w, limitandoci, per semplicità, alle approssima-zioni con due cifre decimali:
Ï31w è approssimato per difetto da 5,56 e per eccesso da 5,57, ossia
5,56 , Ï31w , 5,57;
Ï67w è approssimato per difetto da 8,18 e per eccesso da 8,19, ossia
8,18 , Ï67w , 8,19.
Notiamo che le approssimazioni per difetto forniscono sempre cifre certe,ossia cifre che sarebbero senz’altro presenti se considerassimo approssima-zioni con più di due cifre decimali. In altre parole siamo sicuri di poterscrivere:
Ï31w 5 5,56... Ï67w 5 8,18...
w Per calcolare Ï2w 2w ènecessario introdurre unnuovo insieme numerico.
w Q è denso, ma non ècompleto.
Numero reale
Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.
DEFINIZIONE
2√
π
–3
2√
R
Q
Z
N
w Le calcolatrici fornisco-no approssimazioni perdifetto.
Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA
Calcoliamo ora la somma di Ï31w e Ï67w per eccesso e per difetto.
5,56 1 8,18 5 13,74 (per difetto)Ï31w 1 Ï67w 5
5,57 1 8,19 5 13,76 (per eccesso)
Poiché il risultato è compreso fra 13,74 e 13,76, non si può dire con cer-tezza quale sia la seconda cifra decimale della somma considerata.
L’unica cifra decimale certa è la prima, quindi possiamo solo scrivere:
Ï31w 1 Ï67w 5 13,7...
La somma è nota con un’incertezza maggiore di quella dei suoi ad-dendi.
Questa «propagazione dell’incertezza» è ancora più evidente se eseguia-mo la moltiplicazione.
Prendiamo come fattori gli addendi dell’esempio precedente e calcolia-mone il prodotto per eccesso e per difetto.
5,56 ? 8,18 5 45,4808 (per difetto)Ï31w ? Ï67w 5
5,57 ? 8,19 5 45,6183 (per eccesso)
Nel prodotto sono comparse quattro cifre decimali, ma non per questo ilrisultato è più preciso. Infatti, poiché il prodotto è compreso fra 45,4808e 45,6183, l’incertezza è già presente nella prima cifra decimale, quindipossiamo scrivere:
Ï31w ? Ï67w 5 45,...
Il prodotto è noto con un’incertezza maggiore di quella dei suoi fat-tori.
Questi due esempi forniscono un’idea dei problemi che sorgono quandosi opera con approssimazioni di numeri irrazionali.
Per evitare questi problemi, si preferisce non operare con i numeri realiin forma approssimata, ma definendo le operazioni con i radicali. Peresempio, impareremo che Ï31w ? Ï67w 5 Ï31w?w67w 5 Ï20w77w.
È facile comprendere che, se invece di un’operazione eseguiamo i calcolirelativi a un’espressione con più operazioni, l’incertezza si propaga dioperazione in operazione, rendendo sempre meno attendibile il risultato.
ESEMPIO
Calcoliamo il prodotto Ï31w ? Ï67w ? Ï80w.
Procedendo per difetto, otteniamo:
5,56 ? 8,18 ? 8,94 5 406,598352.
Se invece procediamo per eccesso, otteniamo:
5,57 ? 8,19 ? 8,95 5 408,283785.
L’incertezza si è propagata anche alla cifra dell’unità.
Abbiamo visto che la radice quadrata è l’operazione inversa della potenzacon esponente 2 e che il simbolo Ïaw indica la radice quadrata di a, cheesiste se a $ 0 e rappresenta un numero reale non negativo.
Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione in-versa della potenza con esponente 3.Per esempio, la radice cubica di 8 è 2 perché 23
5 8 e la radice cubica di2 27 è 2 3 perché (2 3)3
5 2 27.
L’algoritmo di Erone è un procedimento che per-mette di calcolare la radice quadrata di un numero.Possiamo spiegarlo meglio con un esempio, utiliz-zando un’interpretazione geometrica.
Cerchiamo di calcolare Ï8w.Ï8w può essere intesa come la misura del lato di unquadrato di area 8. Vediamo come costruire talequadrato operando per approssimazioni successive.Scegliamo un numero b , 8, per esempio 5, e il
numero h 5 }b
8} 5 }
8
5} 5 1,6.
Costruiamo il rettangolo di lati 5 e }8
5}, che è equi-
valente al quadrato perché ha area 8.
I valori di b e h approssimano la misura del lato delquadrato, uno per eccesso e l’altro per difetto.Calcoliamo ora il valore medio b1 fra b e h:
b1 5 }b 1
2
h} 5}
5 1
2
1,6}5 3,3
e consideriamo poi h1 5 }b
8
1
} 5 }3
8
,3} 5 2,42…
ESPLORAZIONE: ERONE E LA RADICE QUADRATA
8
h1.2,42
h=1,6
b=5b1=3,3
lo vale 8, b1 è un valore approssimato per eccessodella misura del lato del quadrato, mentre h1 è unvalore approssimato per difetto.Poiché b1 è il valore medio fra b e h, b1 approssimaÏ8w meglio di b.
Possiamo ora considerare b2 5}b1 1
2
h1} e }
b
8
2
} , e
procedere poi in questo modo quante volte voglia-mo: le dimensioni dei rettangoli forniranno ap-prossimazioni sempre più precise di Ï8w, una pereccesso, l’altra per difetto. Dalla tabella (in cui i va-lori decimali sono approssimati) possiamo notareche con questo procedimento giungiamo piuttosto
rapidamente a un valore di Ï8w con una buona ap-prossimazione. Infatti, se calcoliamo Ï8w con unacalcolatrice, otteniamo Ï8w 5 2,828…
b h 5 }b
8} }
b 1
2
h}
5 1,6 3,3
3,3 2,4242 2,8621
2,8621 2,7951 2,8286
… … …
IN DIECI RIGHE
Erone non è stato il solo ad affrontare il problemadell’estrazione della radice quadrata.Descrivi altri metodi in una relazione redatta con ilcomputer.
Cerca nel Web: metodi calcolo radice qua-drata, Archita, Bombelli, Newton.
Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misuri-no b1 e h1. Anche in questo caso l’area del rettango-
Ogni numero reale a ha sempre una sola radice cubica in R che si indicacon Ï
3
aw.In generale la radice n-esima è l’operazione inversa della potenza conesponente n.
ESEMPIO
Ï4
81w 5 3, perché 345 81.
Ï5
32w 5 2, perché 255 32.
Ï2
0w 5 0, perché 025 0.
Ï7
2w 1w28w 5 2 2, perché (2 2)75 2 128.
Ï4
2w 1w6w non esiste, perché non esiste un numero b tale che b45 2 16.
Dalla definizione di radice n-esima si deduce la seguente proprietà:
(Ïn
aw)n5 a
con a $ 0 se n è pari, ∀a [R se n è dispari.
Nell’insieme dei numeri reali l’operazione di radice è sempre interna,tranne il caso in cui si hanno a , 0 e n pari; si può infatti dimostrare chela radice n -esima di un numero reale positivo o nullo esiste sempre edè unica.
n Un po’ di terminologia
La scrittura Ïn
aw viene detta radicale.
Il numero n viene detto indice del radicale; il numero a si chiama radi-cando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l’esponente ditale potenza si chiama esponente del radicando.
35
radicando
indice
esponente del radicando√
4
w Si legge ennesima.
DEFINIZIONE
Radice di un numero reale a
Dati un numero reale a e un numero naturale n Þ 0:
● se a $ 0, la radice n-esima di a è quel numero reale b $ 0 la cui potenza con esponente n è ugualead a;
● se a , 0 e n dispari, la radice n-esima di a è quel numero reale b , 0 la cui potenza con esponente nè uguale ad a;
● se a , 0 e n pari, non esiste la radice n-esima di a.
La radice n-esima di a si indica con il simbolo Ïn
Per la radice quadrata l’indice del radicale può essere omesso: Ï5w è unmodo diverso di scrivere Ï
2
5w. I radicali con indice 2 vengono detti radi-cali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.
n Casi particolari
Per ogni n naturale diverso da 0 e per ogni a reale si ha:
1. Ï1
aw 5 a (infatti a15 a)
2. Ïn
0w 5 0 (infatti 0n5 0)
3. Ïn
1w 5 1.
Non si attribuisce alcun significato alla radice con l’indice uguale a 0:
Ï0
aw non ha significato.
4. I radicali in R10
Ci limiteremo ora, per semplicità, allo studio delle proprietà dei radicalinell’insieme dei numeri reali non negativi che abbiamo indicato con R0
1.Pertanto considereremo espressioni del tipo:
Ïn
aw 5 b, con a, b $ 0 e n [ N 2 {0}.
n Le condizioni di esistenza dei radicali in RR10
Nell’espressione Ïn
aw il radicando deve essere un numero reale positivo onullo. Quando il radicando è un’espressione letterale, bisogna porre lacondizione che essa sia maggiore o uguale a 0, indipendentemente dal-l’indice di radice.
ESEMPIO
Ï3
xw 2w 1w ha come condizione di esistenza x 2 1 $ 0, ossia: C.E.: x $ 1.
Per dimostrare i prossimi teoremi utilizzeremo spesso la seguente pro-prietà, che ci limitiamo a enunciare.
w Ï1
2w 5 2; Ï2
0w 5 0;
Ï2
1w 5 1.
w Ï0
2w non ha significatoperché nessun numero ele-vato a 0 dà 2.
w La proprietà non vale ingenerale se a , 0 o b , 0:per esempio,
(2 5)25 (1 5)2,
ma 2 5 Þ 5!
Dati due numeri reali a e b, non ne-gativi, e un numero naturale n, di-verso da 0, se a e b sono uguali,sono uguali anche le loro potenzen-esime e viceversa.
tivi o nulli. Eleviamo i due radicali allo stesso esponente n ? p.
Primo membro Secondo membro
n ?p
(Ïn
awmw)n ?p5 (Ïawmw?pw)n?p
5
Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
5 [(Ïn
awmw)n]p5 5 a m ?p.
Per la definizione di radice:
5 [a m]p5
Per la terza proprietà delle potenze:
5 a m?p.
Poiché le potenze dei due radicali forniscono lo stesso risultato, possiamoscrivere:
n ?p
(Ïn
awmw)n?p5 (Ïawmw?pw)n ?p
.
Essendo le basi delle potenze due numeri positivi o nulli, per la proprietàa 5 b ⇔ a n
5 b n abbiamo:
n?p
Ïn
awmw 5 Ïawmw?pw.
ESEMPIO
2?3
1. Ï2
2w 5 Ï2w3w 5 Ï6
8w.
3?5
2. Ï3
aw2w 5 Ïaw2?5w 5 Ï15
aw10w.
w Due radicali sono equi-valenti se rappresentanolo stesso numero reale, po-sitivo o nullo. Per esem-pio, Ï4w e Ï
6
64w sono equi-valenti perché Ï4w 5 2 eÏ
6
64w 5 2.
Dato un radicale, si può ottenereun radicale equivalente moltipli-cando per uno stesso numero na-turale (diverso da 0) sia l’indice delradicale sia l’esponente del radi-cando.
Tuttavia la semplificazione è possibile perché l’esponente del radicando èpari, e perciò possiamo scrivere (2 5)2
5 (1 5)2, e poiché (1 5)25 *2 5*2,
si ha:
Ï4
(2w 5w)2w 5 Ï4
(1w 5w)2w 5 Ï4
* 2w 5w *2w 5 Ï* 2w 5w *w 5 Ï5w.
In generale, se a ,, 0 e m? p è pari, risulta:
Per esempio: Ï8
(2w2)w2w 5 Ï4
w2w2w 5 Ï4
2w.
In particolare, se n è pari:
che nel caso di n 5 2 diventa:
ESEMPIO Semplifichiamo il radicale:
Ï(aw 2w 1w)2w.
Poiché a è una variabile che può assumere qualunque valore, l’espressio-ne (a 2 1)2 è non negativa, mentre l’espressione a 2 1 può essere sia po-sitiva sia negativa. Per poter semplificare occorre utilizzare il valore asso-luto:
Ï(aw 2w 1w)2w 5 ua 2 1 u .
n La riduzione di radicali allo stesso indice
Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o piùradicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare, si può ridurli aradicali che abbiano il minimo comune indice.
I passaggi necessari sono due:
a) cercare il m.c.m. fra gli indici;b) trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il
m.c.m. trovato.
ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali.
Ï5
2aw2w; Ï4
aw3w (con a $ 0).
a) m.c.m. (5; 4) 5 20;
b) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice; nel no-stro caso, rispettivamente 20 ; 5 5 4 e 20 ; 4 5 5.
Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali TEORIA
Poiché le potenze n-esime di Ïn
aw Ïn
bw e di Ïn
abw forniscono lo stesso ri-sultato a ? b, concludiamo che sono uguali anche le loro basi, quindi:
Ïn
aw ? Ïn
bw 5 Ïn
aw?wbw.
ESEMPIO
Ï4
2w ? Ï4
5w 5 Ï4
2w? 5w 5 Ï4
10w.
In particolare, moltiplicando un radicale quadratico per se stesso si ottie-ne il radicando:
Ï3w ? Ï3w 5 Ï3w2w 5 3.
Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli alloro minimo comune indice.
ESEMPIO
Ï2w ? Ï3
5w 5 Ï6
2w3w ? Ï6
5w2w 5 Ï6
2w3?w 5w2w 5 Ï
6
8w? 2w5w 5 Ï6
20w0w.
n La divisione fra radicali
Si possono dividere tra loro due radicali se questi hanno lo stesso indice.Vale infatti il seguente teorema.
La dimostrazione è analoga a quella del teorema del prodotto.
Anche per le divisioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte perle moltiplicazioni.
ESEMPIO
1. Ï5
8w ; Ï5
2w 5 Ï5
8w;w2w 5 Ï5
4w.
2. Ï3
aw ; Ï4
bw 5 Ï12
aw4w ; Ï12
bw3w 5!12
}a
b§3
4
}§ (con a $ 0 e b . 0).
Teorema del quoziente
Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice èun radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quozientedei radicandi.
Ïn
aw ; Ïn
bw 5 Ïn
aw;w bw,
con a e b reali, a $ 0 e b . 0, n naturale, n Þ 0.
n Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
Riprendiamo l’uguaglianza:
Ïn
aw ? Ïn
bw 5 Ïn
aw?wbw, con a $ 0 e b $ 0.
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere
Ïn
aw?wbw 5 Ïn
aw ? Ïn
bw,
che significa: la radice n-esima del prodotto a ? b è uguale al prodottodella radice n-esima di a per la radice n-esima di b. In altre parole: un ra-dicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale alprodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i di-versi fattori.
Questa proprietà permette di trasportare fuori dal segno di radice i fat-tori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.
ESEMPIO
1. Consideriamo il radicale Ï3
aw9?w bw2w, con a $ 0.
Applichiamo il teorema del prodotto e poi la proprietà invariantiva:
Ï3
aw9?w bw2w 5 Ï
3
aw9w ? Ï3
bw2w 5 a 3? Ï
3
bw2w.
Il fattore a 9 è stato portato fuori dalla radice cubica ed è diventato a 3.
2. Semplifichiamo il radicale Ï3
aw13w, con a $ 0.Il fattore a 13 è una potenza con esponente maggiore dell’indice, manon multiplo. Esso si può scrivere come prodotto a 12
? a. Pertanto:
Ï3
aw13w 5 Ï3
aw12w ?waw 5 Ï3
aw12w ? Ï3
aw 5 a 4? Ï
3
aw.
Notiamo che la divisione 13 ; 3 ha come quoziente 4 e resto 1.
In generale, considerato il radicale Ïn
awmw, con a $ 0 e m $ n, e indicaticon q il quoziente di m ; n e con r il resto (e quindi, m 5 n ? q 1 r), si ha:
Ïn
awmw 5 Ïn
awn?wq 1wrw 5 Ïn
awn?wq?w awrw 5 Ï
n
awn?wqw ? Ïn
awrw 5 a q Ïn
awrw.
Quando si vuol portare fuori radice un fattore di cui non si conosce il se-gno, si scrive tale fattore in valore assoluto.
ESEMPIO
Ï5aw 2w, se a [ R, diventa Ï5w Ïaw2w 5 Ï5w ua u.
w Ï3
aw13w 5 Ï3
aw3?w41w1w 5
5 Ï3
aw3?w4?w aw1w 5
5 Ï3
aw3?w4w ? Ï3
aw1w 5 a 4? Ï3
aw
(con a $ 0).
w Nel radicale Ï3
23w 1w 5wnon si può portare fuori 2perché 23 è un addendo enon un fattore del radi-cando.
Eleviamo entrambi i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente m ? n edimostriamo che
(Ïm
Ïn
waww)m ?n5 (Ï
m?n
aw)m ?n.
Primo membro Secondo membro
(Ïm
Ïn
waww)m ?n5 (Ï
m?n
aw)m ?n5
Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:
5 [(Ïm
Ïn
waww)m ]n5 5 a.
Per la definizione di radice:
5 [Ïn
aw]n5 a.
I due membri sono entrambi uguali ad a e quindi sono uguali fra di loro.
Poiché le potenze di esponente m ? n dei due radicali Ïm
Ïn
waww e Ïm?n
aw sonouguali, concludiamo che sono uguali anche i radicali stessi.
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m ? n 5 n ? m, e si ha:
Ïm
Ïn
waww 5 Ïm?n
aw 5 Ïn?m
aw 5 Ïn
Ïm
waww.
Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può renderepiù immediata la semplificazione di un radicale.
ESEMPIO
Ï3
Ï4
waww3ww 5 Ï4
Ï3
waww3ww 5 Ï4
aw (con a $ 0).
n Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice
Dato il radicale 3 ? Ï4
5w, è possibile portare il fattore 3 sotto il segno di ra-
dice, tenendo presente che 3 5 Ï4
3w4w.
Possiamo scrivere: 3 ? Ï4
5w 5 Ï4
3w4w ? Ï4
5w 5 Ï4
3w4?w 5w.
In generale, se a $$ 0,
a ? Ïn
bw 5 Ïn
awnw ? Ïn
bw 5 Ïn
awnw? bw,
cioè, per trasportare dentro alla radice un fattore non negativo, occorreelevarlo all’indice del radicale.
ESEMPIO
1. 2Ï3
7w 5 Ï3
2w3?w 7w 5 Ï
356w. 2. 3a 2 Ï
3
bw 5 Ï3
(3waw2)w3bw 5 Ï3
27waw6bw.
Osservazione. I fattori negativi non vengono portati dentro la radice: ilsegno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto elevatoall’indice del radicale.
ESEMPIO
2 3Ï5w 5 2 Ï9w? 5w 5 2 Ï45w.
w Possiamo portare den-tro radice (3a 2)3, perché èsempre 3a 2
Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali TEORIA
w Analogamente,
Ï9w 2 Ï4w non è Ï9w2w 4w!
Infatti,
Ï9w 2 Ï4w 5 32 25 1,
mentre Ï9w2w 4w 5 Ï5w.
w Si opera in analogia conquanto si farebbe con imonomi 2a e 5a, ponendoa 5 Ï3w:
2a 1 5a 5 (21 5)a 5 7a
2a 25a 5(225)a 523a.
w I radicali 5 ? Ï9
2w e5 ? Ï
7
2w non sono simili,perché le due radici hannoindici diversi, 9 e 7.
w I radicali a ? Ï3
bw ea ? Ï
3
bw2w non sono simili,perché le due radici hannoradicandi diversi,b e b 2.
7. L’addizione e la sottrazione
di radicali
Non sempre è possibile semplificare espressioni che contengono sommeo differenze di radicali.
ESEMPIO
Ï4w 1 Ï9w non è Ï4w1w 9w ! Infatti:
Ï4w 1 Ï9w 5 2 1 3 5 5, mentre Ï4w1w 9w 5 Ï13w.
In generale:
Ïaw 1 Ïbw Þ Ïaw1w bw e Ïaw 2 Ïbw Þ Ïaw2w bw.
Però, date le espressioni 2 ? Ï3w e 5 ? Ï3w, si possono eseguire l’addizione
o la sottrazione raccogliendo a fattore comune Ï3w:
2Ï3w 1 5Ï3w 5 (2 1 5)Ï3w 5 7Ï3w
2Ï3w 2 5Ï3w 5 2 3Ï3w.
ESEMPIO
9 ? Ï5
2w e 7 ? Ï5
2w sono simili, perché i due radicali hanno lo stesso indice 5e lo stesso radicando 2.
A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portan-do fuori dalla radice alcuni fattori.
ESEMPIO
I radicali b 2? Ïbw3w e Ïbw5w, con b $ 0, non sono simili.
Portiamo fuori radice i fattori:
b 2? Ïbw3w 5 b 2
? b ? Ïbw 5 b 3? Ïbw; Ïbw5w 5 b 2
? Ïbw.
I radicali ottenuti b 3? Ïbw e b 2
? Ïbw sono simili.
Radicali simili
Due radicali irriducibili si diconosimili quando hanno lo stesso indi-ce, lo stesso radicando e possonoessere diversi solo per il fattore cheli moltiplica, detto coefficiente delradicale.
Con radicali simili possiamo eseguire l’addizione o la sottrazione.
ESEMPIO
1. 4Ï3
aw 1 2Ï3
aw 5 6Ï3
aw (con a $ 0).
2. aÏ2w 1 Ï2w 5 (a 1 1)Ï2w.
Somma algebrica di radicali simili
La somma algebrica di due o piùradicali simili è il radicale, simile aidati, che ha come coefficiente lasomma algebrica dei coefficienti.
REGOLA
3 + 2√ √ 5√=
8. La razionalizzazione
del denominatore di una frazione
Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare lafrazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò ri-sulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.
Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietàinvariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatoreper uno stesso fattore diverso da 0. Esaminiamo i casi più comuni.
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
È maggiore }Ï
8
2w} 1 }
Ï
12
3w} o }
Ï2w
1
1
0
Ï3w} ?
FRANCESCO: «Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato,sapendo che Ï3w è circa 1,7 e Ï2w è circa 1,4: entrambe le espres-sioni danno 0,3».
CHIARA: «Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche sedue espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un nume-ro grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degliesempi».
FRANCESCO: «Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!».
c Per il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.
Espressioni a confronto Nel sito: c Scheda di lavoro
Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale TEORIA
w Nel caso in cui siam , 0, supponiamo a . 0.
w 1 5 Ï41w 5 1;
0 5 Ï03w 5 0.3
}2
1}4
Razionalizziamo il denominatore:
x 5}3
3
2
1
ÏÏ
2w2w
}?}3
3
2
2
ÏÏ
2w2w
}5}(3 2
9 2
Ï
2
2w)2
}5}9 1 2 2
7
6 Ï2w}5}
11 2
7
6 Ï2w}.
La soluzione è x 5}11 2
7
6 Ï2w} .
2. Risolviamo la disequazione
}3 Ï
Ï2w3w
x}2 }
Ï2
6w} .}
5 Ï2
6w x}.
Tenuto conto che Ï6w 5 Ï2w ? Ï3w, il m.c.m. dei denominatori è2 Ï2w ? Ï3w; moltiplichiamo tutti i termini per 2 Ï2w ? Ï3w:
}3 Ï
Ï2w3w
x} ? 2 Ï2w ? Ï3w 2 }
Ï2
6w} ? 2 Ï2w ? Ï3w . ? 2 Ï2w ? Ï3w.
Eseguiamo i calcoli:
12x 2 4 . 30x → 12x 2 30x . 4 → 2 18x . 4 →
→ 1 }1
18
8} x , 2 }
1
4
8} → x , 2 }
9
2}.
11. Le potenze con esponenterazionale
È possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estende-re il concetto di potenza al caso in cui l’esponente sia un numero razionale.
ESEMPIO
1. 5 5 Ï352w 5 Ï3
25w;
2. 22
5 Ï522w4w 5!5 1}§1
2}§2
4
§ 5!5}1§1
6}§
3. (2 4) non ha significato, perché nella definizione sono escluse le po-tenze di numeri negativi.
La definizione data permette di estendere alle potenze con esponente ra-zionale le proprietà delle potenze con esponente intero, che ricordiamonella tabella qui sotto.
PROPRIETÀ ESPRESSIONE CON
1. Prodotto di potenze di am? an
5 am1n
ugual base
2. Quoziente di potenze di am; an
5 am2n a Þ 0ugual base
3. Potenza di una potenza (am)n5 am ?n
4. Prodotto di potenze di an? bn
5 (a ? b)n
ugual esponente
5. Quoziente di potenze di}b
an
n} 5 1}
b
a}2
n b Þ 0ugual esponente
6. Segno di una potenza (2a)d5 2 ad d numero dispari
(1a)d5 1 ad d numero dispari
(6a)p5 1 ap p numero pariaai
7. Potenza con base 1}b
a}2
2n
5 1}b
a}2
n
5 }b
a n
n
} a Þ 0 ∧ b Þ 0frazionaria ed esponentenegativo n . 0
Le proprietà delle potenze con esponente razionale possono essere dimo-strate mediante le proprietà dei radicali. Per esempio, dimostriamo che:
a ? a 5 a1
.
Infatti:
a ? a 5 Ïn
awmw ? Ïq
awpw 5 Ïnq
awmwqw ? Ïnq
awnpw 5 Ïnq
awmwqw? awnpw 5
5 Ïnq
awmwq1wnpw 5 a 5 a1
5 a1
.
Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamooperare con le potenze.
Riprendiamo lo studio dei radicali in R. Se il radicando è positivo o nul-lo, non ci sono variazioni rispetto a quello che abbiamo finora studiato.Partendo dalla definizione data nel paragrafo 3, considereremo il concet-to di radicale anche nel caso di radicando negativo.Il seguente diagramma fornisce una sintesi sulla radice n-esima di un nu-mero reale a.
n Le condizioni di esistenza dei radicali in R
Dal diagramma precedente puoi notare che una radice con indice dispariesiste qualunque sia il radicando, mentre una radice con indice pari esistesolo se il radicando è positivo o nullo.In questo caso, se il radicando è un’espressione letterale, dobbiamo porre lerelative condizioni di esistenza.
ESEMPIO
Troviamo le condizioni di esistenza in R del radicale Ï4
1w2w 2wxw.Essendo l’indice pari, la condizione di esistenza è:
1 2 2x $ 0, ossia C.E.: x # }1
2} .
n La proprietà invariantiva
In generale, la proprietà invariantiva non vale per le radici con radicandonegativo.Per esempio, dato il radicale Ï
3
2w 8w, non possiamo scrivere
Ï3
2w 8w 5 Ï3?2
(2w 8w)2w 5 Ï6
64w 5 2.
Possiamo però trasformare il radicale iniziale in uno a esso equivalente,ma con il radicando positivo, e di seguito applicare la proprietà invarian-tiva. Se n è dispari e a un numero reale positivo, vale la relazione:
Ïn
2w aw 5 2 Ïn
aw.
Applicando questa proprietà al radicale considerato, si ha:
Ï3
2w 8w 5 2 Ï3
8w.
A questo punto possiamo applicare la proprietà invariantiva:
Ï3
2w 8w 5 2 Ï3
8w 5 2 Ï3?2
82w 5 2 Ï6
64w 5 2 2.
an
in R∃
{{
{
n pari
n dispari
a > 0
a = 0
a < 0
numero reale positivo
= 0
a > 0
a = 0
a < 0
numero reale positivo
= 0
numero reale negativo
w Alcuni esempi:
Ï6
64w 5 2;
Ï8
0w 5 0;
Ï4
2w 8w1w non esiste;
Ï3
27w 5 3;
Ï7
0w 5 0;
Ï5
2w 3w2w 5 2 2
w Per il radicale Ï3
xw1w 8w,essendo l’indice dispari,non ci sono condizioni,ossia C.E.: ∀x [ R.
Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negati-vi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari.Quando l’indice è dispari si procede al solito modo.
ESEMPIO
1. Ï2
(2w5)w2w 5 u 2 5 u 5 5.
2. Ï12
(2w3)w10w 512;2
Ï(2w3)w10w;2w 5 Ï6
u 2w 3wu5w.
3. Ï3
(2w2)w3w 5 2 2.
In generale, valgono le seguenti uguaglianze:
Ïn
awnw 5 5a se n è dispari
uua uu se n è pari
n La riduzione di radicali allo stesso indice
La proprietà invariantiva permette di ridurre due o più radicali allo stes-so indice.
ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali:
Ï3
2waw22w 1w; Ïaw4
1w 1w.
a) Trasformiamo il primo radicale, rendendo positivo il radicando:
Ï3
2waw22w 1w 5 Ï3
2w (aw21w 1w)w 5 2 Ï3
aw21w 1w;
b) m.c.m. (3; 2) 5 6;
c) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice:
2Ï3
aw21w 1w 5 2 Ï6
(aw21w 1w)2w;
Ïaw41w 1w 5 Ï6
(aw41w 1w)3w.
Per le operazioni di moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione el’elevamento a potenza valgono per i radicali in R le stesse proprietà in-contrate nei paragrafi precedenti per i radicali in R1
0 .
Nel sito: c teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari
Paragrafo 13. Le equazioni di secondo grado TEORIA
13. Le equazioni di secondo grado
n Che cosa sono le equazioni di secondo grado
Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e sichiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anchedetto termine noto.
ESEMPIO L’equazione
5x 22 2x 2 1 5 0
è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono:
a 5 5; b 52 2; c 52 1.
Se, oltre ad a Þ 0, si hanno anche b Þ 0 e c Þ 0, l’equazione si dice com-pleta. Per esempio, l’equazione 2x 2
2 5x 1 6 5 0 è completa.
Se invece l’equazione è incompleta, abbiamo i seguenti casi particolari.
Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituitoall’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.
ESEMPIO
L’equazione x 22 5x 1 6 5 0 ha per soluzioni i numeri 2 e 3.
Infatti, sostituendo a x il numero 2, si ottiene: (2)22 5(2) 1 6 5 0
e sostituendo il valore 3 si ottiene: (3)22 5(3) 1 6 5 0.
Risolvere un’equazione di secondo grado significa cercarne le soluzioni.In genere, cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.
Come vedremo, le soluzioni di un’equazione di secondo grado possonoessere al massimo due.
Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi diequivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrive-re nella forma:
ax 21 bx 1 c 5 0, con a Þ 0.
w La forma
ax21 bx 1 c 5 0
è detta forma normale.
w Conoscendo i radicali èpossibile affrontare lo stu-dio delle equazioni disecondo grado. Qui cilimitiamo a esaminare imetodi risolutivi utili per iproblemi di applicazionedell’algebra alla geometriache studierai.
Si può dimostrare che le soluzioni dell’equazione ax 2 1 bx 1 c 5 0, cona Þ 0, sono:
x 1 5}2 b 1 Ï
2a
bw2 2w 4wawcw} , x 2 5}
2 b 2 Ï
2a
b2w 2w 4wawcw} .
L’espressione viene detta formula risolutiva del-
l’equazione di secondo grado.
ESEMPIO Calcoliamo le radici dell’equazione 4x 2 2 7x 2 2 5 0.
}7 1
8
9} 5 2
x 5 5}7 6
8
Ï81w}5
}7 2
8
9} 5 2 }
1
4}
Le radici dell’equazione sono x 1 5 2 e x 2 5 2 }1
4}.
Chiamiamo discriminante, e indichiamo con la lettera greca D (delta),l’espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè:
Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado èsufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzio-ni reali.
In generale, risolvendo l’equazione ax 2 1 bx 1 c 5 0, possono presen-tarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante:
1. D .. 0: l’equazione ha due soluzioni reali e distinte:
x 1 5}2 b 1
2a
ÏDw} , x 2 5}
2 b 2
2a
ÏDw} .
2. D 5 0: l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti:
x 1 5 x 2 5 2 }2
b
a} .
3. D ,, 0: l’equazione non ha soluzioni reali, cioè in R è impossibile.
n Le equazioni pure, spurie, monomie
Le equazioni pure: ax2 1 c 5 0
ESEMPIO
1. Risolviamo l’equazione 5x 2 2 20 5 0.
Invece di applicare la formula risolutiva generale, isoliamo il terminecon l’incognita, portando al secondo membro il termine noto:
5x 2 5 20 → x 2 5 4 → x 5 6 Ï4w 5 6 2 → x 1 5 2 2, x 2 5 2.
D 5 b 2 2 4ac.
7 6 Ï72w 2w 4w ?w4w? (w2w 2w)w}}}
2 ? 4
x 5}2 b 6 Ï
2
bw
a
2 2w 4wawcw}
w Dimostreremo questaformula nel volume 3,dove studieremo in modopiù completo le equazionidi secondo grado.
w a 5 4,b 5 2 7,c 5 2 2.
w Se D 5 0:
x1 5 x2 5}2 b
2
6
a
Ï0w} .
Si dice anche che la solu-zione è doppia.
w Per esempio, l’equazione
x 2 2 3x 1 5 5 0 ha
D 5 9 2 20 5 2 11.
Poiché D , 0, non esisto-no soluzioni reali.
w Qui e in seguito sottin-tendiamo che cerchiamo lesoluzioni delle equazioninell’insieme R dei numerireali.
L’altare di Apollo, famoso in tut-ta la Grecia, aveva una formaparticolare: era, infatti, un cubo.Per soddisfare la richiestadell’oracolo di Delfi occorrevadunque costruire un nuovo alta-re di uguale forma ma con volu-me doppio.La leggenda narra che per primacosa gli ateniesi si recaronosull’isola di Delo e costruironoun nuovo altare, con il lato dop-pio del precedente.
Se l era il lato dell’altare origina-le, il suo volume era
V 5 l 3,
mentre il volume del nuovo alta-re valeva:
V′ 5 (2l)35 8l 3
5 8V.
La peste non cessò: gli ateniesiavevano infatti costruito un alta-re non due, ma otto volte piùgrande di quello iniziale.Resisi conto dell’errore, si rimi-sero al lavoro e costruirono unnuovo altare, mettendo sopra aquello vecchio un altro cubo del-le stesse dimensioni. Anche que-
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
Un altro dei problemi celebri della geometria classica che coinvolge i numeri irrazionali è quello della quadratura del
cerchio. Dato un cerchio, bisogna costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio.
Dal punto di vista algebrico, indicati con r il raggio del cerchio e con l il lato del quadrato da trovare, vale la relazione:
pr25 l 2 → l 5 Ïpw ? r.
Assunto per semplicità r 5 1, si tratta di costruire un lato di misura Ïpw. Nel 1882 venne dimostrata l’impossibilità di tale
costruzione attraverso le regole euclidee di riga e compasso. Abbandonando tali regole è possibile ottenere la sua rap-
presentazione attraverso vari metodi. Il numero Ïpw è, come Ï3
2w, un numero irrazionale.
sta volta, la peste non terminò: ilvolume era quello richiesto, mal’altare non era più un cubo.
Analizziamo il problema dalpunto di vista algebrico. Per co-struire un altare cubico di volu-me doppio rispetto a quello ori-ginale deve essere
V′ 5 2V → l′35 2l 3,
e quindi:
l′ 5 Ï3
2w ? l.
In conclusione, bisogna potermisurare un lato pari a Ï
32w ? l;
se per semplicità assumiamol 5 1, si tratta di costruire unsegmento a cui corrisponda ilnumero Ï
32w.
Le regole fondamentali delle co-struzioni della geometria eucli-dea, applicate nell’antica Grecia,permettono il solo utilizzo diriga e compasso. Tali strumentisono ben diversi da quelli odier-ni: per esempio, la riga euclideanon ha unità di misura e taccheutili per misurare, ma è unasemplice asta che serve solo atracciare segmenti di retta.
Oggi sappiamo, tramite dimo-strazione algebrica, che con talimezzi è impossibile ottenere unsegmento di lunghezza Ï
32w.
Il problema di Delo della dupli-cazione del cubo costituisce unadelle questioni più discusse dellaGrecia classica. Molti matematicidel tempo, come Ippocrate diChio, Archita di Taranto e Me-necmo, riuscirono a risolvere ilproblema attraverso metodi di-versi, abbandonando comunquele regole geometriche di riga ecompasso. È importante osser-vare che il segmento ottenuto at-traverso questi procedimenti,corrispondente al numero Ï
32w,
risulta una grandezza incom-mensurabile rispetto al segmen-to di misura 1, cioè non esiste unsegmento sottomultiplo comune.Questo significa che Ï
32w non è
un numero razionale, ovvero nonesiste alcun razionale che, elevatoal cubo, sia uguale a 2. Si trattaquindi di un numero irrazionale.La leggenda narra che la pesteterminò quando gli ateniesi si ri-volsero al filosofo Platone, chespiegò finalmente la rispostadell’oracolo: il dio non aveva bi-sogno di un altare dal volumeduplicato, ma voleva far capire aiGreci che trascuravano lo studiodella matematica e in particolaredella geometria.
,
VV'
2,
,
V
V,
Il problema di Delo…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?
La radice quadrata di un numero è quel numero po-sitivo o nullo che, elevato al quadrato, dà come risul-tato il numero dato.L’estrazione di radice non è un’operazione internain Q.Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale.
2. Dai numeri razionali ai numeri reali
Ogni numero razionale può essere approssimato me-diante due successioni di numeri decimali: una chelo approssima per eccesso, l’altra che lo approssimaper difetto.
ESEMPIO
0 , 0,2 , 0,22 , … , }2
9} , ... , 0,23 , 0,3 , 1
a meno di 0,01
a meno di 0,1
a meno di 1
I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitatinon periodici. Possono essere approssimati per difet-to e per eccesso da due successioni di decimali.
I numeri reali sono tutti i numeri razionali e irrazio-nali.
L’insieme R è denso, cioè fra due numeri reali a e besiste sempre un altro numero reale, e quindi ne esisto-no infiniti; inoltre R è completo, cioè a ogni numeroreale corrisponde un punto della retta e viceversa.
3. I radicali
Dati un numero reale a e un numero naturale n di-verso da 0:● se a è positivo o nullo la radice n-esima di a è quel
numero reale b, anch’esso non negativo, la cui po-tenza con esponente n è uguale ad a;
● se a è negativo e n è dispari, la radice n-esima di a èquel numero reale b negativo la cui potenza conesponente n è uguale ad a;
● se a è negativo e n è pari, non esiste la radice n-esi-ma di a.
Dalla definizione di radice n-esima si deduce la se-guente proprietà: dati un numero reale a positivo onullo e un numero naturale n pari, oppure un nume-ro reale a e un numero n dispari, la radice n-esimadel numero a, elevata alla n, dà come risultato il nu-mero a.
Al simbolo Ïn
aw, con a $ 0, si dà il nome di radicalecon indice n. I radicali con indice 2 si chiamano ra-dicali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.
bn = a
naturale diverso da 0
na = b√
reali maggiori o uguali a 0
a = bn
bn = a
naturale dispari
reali minori di 0
a non esisten
naturale pari
reale minore di 0
( a )n= a
n
con a maggiore o uguale a 0 e n pario con a reale e n dispari
aw il radicando deve essere un numero positivoo nullo indipendentemente dall’indice di radice.Proprietà invariantiva dei radicali: dato un radica-le, moltiplicando l’indice del radicale e l’esponentedel radicando per uno stesso numero naturale diver-so da 0, si ottiene un radicale equivalente. È possibileottenere un radicale equivalente anche dividendo in-dice ed esponente per un loro divisore comune.
Applicando la proprietà invariantiva è possibile sem-plificare un radicale oppure ridurre allo stesso in-dice più radicali.
Nella semplificazione, se il radicando è letterale enon se ne conosce il segno, occorre scrivere il radi-cando in valore assoluto.
ESEMPIO
Ïaw2w 5 a, Ïn
awnw 5 a.
5. La moltiplicazione e la divisionefra radicali
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un ra-dicale che ha lo stesso indice e per radicando il pro-dotto dei radicandi.
ESEMPIO
Ï3w ? Ï7w 5 Ï2w1w.
Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli èsufficiente ridurli al loro minimo comune indice.
Considerazioni analoghe valgono per il quoziente diradicali.
ESEMPIO
Ï2w4w ; Ï5
2w3w 5 Ï10
(2w4)w5w ; Ï10
(2w3)w2w 5
5 Ï10
2w20w ;w 2w6w 5 Ï10
2w14w 5 Ï5
2w7w.
Un fattore del radicando, scritto sotto forma di po-tenza con base non negativa, può essere portatofuori dal segno di radice, se il suo esponente m èmaggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattoreesterno ha per esponente il quoziente della divisionefra m e n, quello interno ha per esponente il restodella divisione.
La potenza m-esima di un radicale è un radicale cheha per indice lo stesso indice e per radicando la po-tenza m-esima del radicando.
La radice m-esima di un radicale di indice n è un ra-dicale che ha per indice il prodotto degli indici m ? n
e per radicando lo stesso radicando.
Un fattore non negativo può essere portato dentroil segno di radice, diventando fattore del radicando,se lo si eleva alla potenza che ha per esponente l’indi-ce del radicale.
ESEMPIO
5 Ï3w 5 Ï25w2w ? Ï2
3w 5 Ï5w2w? 3w 5 Ï7w5w.
7. L’addizione e la sottrazione di radicali
Due radicali irriducibili sono simili se hanno lo stes-so indice e lo stesso radicando.La somma di due radicali simili è un radicale simileai radicali dati avente per coefficiente la somma deiloro coefficienti.
8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione
È possibile razionalizzare il denominatore (in cuicompaiono radicali) di una frazione, moltiplicandonumeratore e denominatore per un opportuno fatto-re diverso da 0.
ESEMPIO
}Ï
2
2w} 5 }
Ï2
2w} ? 5 }
2Ï2
2w} 5 Ï2w.
9. I radicali quadratici doppi
Il radicale doppio Ïaw 1w Ïwbww può essere trasformatonella somma algebrica di due radicali semplici solo sea2
2 b è il quadrato di un numero razionale o diun’espressione che non contiene radicali.
Ïaw 6w Ïwbww 5
5!}a§ 1§ ϧa
2
w§2w§2w§ bw}§ 6!}
a§ 2§ ϧa
2
w§2w§2w§ bw}§
con a, b, a 22 b $ 0.
10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficientiirrazionali
È possibile risolvere equazioni, sistemi e disequazio-ni a coefficienti irrazionali.
ESEMPIO
Ï2w x 5 4 → x 5 }Ï
4
2w} 5 }
Ï4
2w} ? }
ÏÏ
2w2w
} 5 2 Ï2w.
11. Le potenze con esponente razionale
È possibile scrivere i radicali sotto forma di potenzecon esponenti razionali.
Dati un numero reale a e un numero naturale n diverso da 0, è possibile calcolare la radice n-esima di a secon-do il seguente schema:
13. Le equazioni di secondo grado
Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale:
ax2 1 bx 1 c 5 0, con a Þ 0.
Sono presenti un termine di secondo grado (ax2), uno di primo grado (bx) e un termine noto (c). Se entrambi icoefficienti b e c sono diversi da 0, l’equazione è completa, altrimenti è spuria se b Þ 0 e c 5 0, pura se b 5 0 ec Þ 0, monomia se b 5 0 e c 5 0.
ESEMPIO 4x2 1 3x 2 5 5 0 è un’equazione di secondo grado completa;2x2 5 0 è monomia; 5x2 2 3 5 0 è pura; 7x 2 1 x 5 0 è spuria.
Il discriminante dell’equazione completa ax 2 1 bx 1 c 5 0 è D 5 b2 2 4ac.
an
in R∃
{{
{
n pari
n dispari
a > 0
a = 0
a < 0
numero reale positivo
= 0
a > 0
a = 0
a < 0
numero reale positivo
= 0
numero reale negativo
690
CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALIESERCIZI
SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE
SEGNO DEL DISCRIMINANTE SOLUZIONI ESEMPIO
D . 0 due radici reali e distinte:
x1 5}2 b
2
1
a
ÏDw}
x2 5}2 b
2
2
a
ÏDw}
x2 2 2x 2 3 5 0
D 5 4 1 3 ? 4 5 16
x1 5}2 1
2
Ï1w6w}5 }
2 1
2
4} 5 3
x2 5}2 2
2
Ï1w6w}5 }
2 2
2
4} 5 2 1
D 5 0 due radici reali e coincidenti:
x1 5 x2 5 2 }2
b
a}
4x 2 2 4x 1 1 5 0
D 5 16 2 4 ? 4 5 0
x1 5 x2 5 }4
8} 5 }
1
2}
D , 0 non esistono soluzioni reali 2x 2 1 3x 1 3 5 0
a) Ogni numero irrazionale ha una rappresentazione decimale illimitata e periodica.
b) Il numero !}2§4
5}§ è irrazionale.
c) 2,13276851327685… è un numero razionale.d) Nell’insieme R1
0 l’operazione di estrazione di radice è interna.e) Ï21w è approssimato, a meno di un centesimo, per difetto da 4,58 e per eccesso da 4,59.f) Il risultato dell’operazione Ï3w 1 Ï2w è 3,15.
Cosa significa l’affermazione che l’insieme Q è denso, ma non è completo?
Perché l’uguaglianza Ï7w 5 2,646 è falsa?
Per ognuno dei seguenti numeri specifica se si tratta di un razionale o di un irrazionale.
0,673w9w; Ï5w; Ï1w; !}1§9
6}§ ; }
p
3} ; Ï3w 1 Ï7w.
ESERCIZI
Scrivi un’approssimazione per difetto e una per eccesso a meno di 0,01 dei seguenti numeri.
}2
3} ; }
4
9} ; }
4
1
0} . }
7
6} ; 0,1w2w5w; 1,8w.
Scrivi i primi 4 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri razionali.
1; }1
4} ; }
1
5
4} . }
1
3} ; }
3
7} ; }
2
1
4
1} .
}2
4} ; }
3
8} ; }
8
9} . }
1
6} ; }
4
5} ; }
1
2
3} .
Scrivi i primi 5 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri irrazionali.
Quando si applica la proprietà invariantiva deiradicali, come deve essere il fattore che moltiplicao divide l’indice del radicale e l’esponente del ra-dicando? Fai degli esempi.
Nella scrittura Ï12
a3w6w 5 Ï4
aw9w ∀ a [R, la proprie-tà invariantiva è stata applicata in modo corretto?
TEST Quale dei seguenti radicali è equivalente alradicale Ï8
aw12w?
Ïaw3w Ïuawu3wÏaw4w uÏaw3wuÏuawuw
Perché il radicale Ï8
43w è semplificabile?61
C
EB
DA
60
59
58 VERO O FALSO?
a) Il radicale Ïn
xwmw è semplificabilese M.C.D.(m; n) 5 1.
b) Per semplificare un radicale è sufficiente dividere indice ed esponenteper il loro m.c.m.
c) Il radicale Ï6
aw3w è equivalente a Ïaw.
d) Se a [ R1
0, alloraÏaw2w 5 a.
e) Ï10w , Ï3
12w poiché 10 , 12.
Confronta i radicali Ï5w e Ï3
11w . Descrivi, primacon le parole poi con i numeri, il procedimentoper confrontare due radicali.
63
FV
FV
FV
FV
FV
62
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R1
0: a) Ï3xw2yw5w; b) Ï3
aw 2w 2w.67
ESERCIZI
CACCIA ALL’ERRORE
Operando con radicali in R1
0, indica quali delle seguenti scritture non sono corrette, spiegando il perché.
Fra le seguenti coppie di radicali indica quali sono quelle equivalenti, applicando la proprietà invariantiva.Supponi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali.
Ï4
32w, Ï12
36w; Ï4w?5w3w, Ï4
24w ?w56w; !3
}2
1§7
0}§ , !6
}1§3
0
9
§2}§.
Ï8w, Ï12
21w8w; Ï3
25w, Ï9
56w; Ï3
81w, Ï12
38w.
Ïxw 1w 1w, Ï4
xw21w 2wxw 1w 1w; Ï1w2w xw, Ï
6
1w2w xw3w.
Ï3
2awbw , Ï6
4aw2bw2w; Ï5
32waw5bw, Ï10
64waw10wbw2w;
Ï3
2awcw , Ï6
6aw3cw3w.
Ï2aw3bw , Ï4
8aw3bw ; Ï2awbw2w, Ï6
8aw3bw6w;
Ïawbw2cw , Ï5
aw4bw6cw4w.
77
76
75
74
73
696
CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALIESERCIZI
!2§}(§1§2
3§ 2§x)}§ ; Ï
4
xw21w 1w; Ï2w 1w 2w xw.
Ï(2w aw)4w; !}a§
1
1§ 1§}§ ; !3
}(§a§2
2§ 2§)2}§ .69
68
Determina le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R1
0.
!}x§1
2}§ ; !}
2§1
x§ 4}§ ; Ï1w2w xw 1 Ïxw.
Ïu xw 2w 3w uw ; !3
}u§ 2
x§ u}§ ; Ï2w xw.71
70
n La proprietà invariantiva
ESERCIZIO GUIDA
Indichiamo fra le seguenti coppie di radicali (con a, b [ R1
0 ) quelle equivalenti, applicando la proprietàinvariantiva:
a) Ï27w, Ï8
31w2w; b) Ï2aw4bw, Ï6
8aw12wbw3w; c) Ïaw3bw, Ï4
aw9bw2w; d) Ï3
aw 2w bw, Ï6
aw22w2wawbw 1w bw2w, con a $ b.
72
a) Ï27w è equivalente a Ï8
31w2w. Infatti otteniamo il secondo radicale dal primoscrivendo 27 come 33 e moltiplicando l’espo-nente del radicando e l’indice per 4:
Ï27w5Ï33w5Ï2?4
33w?4w5Ï8
31w2w.
b)Ï2aw4bw è equivalente a Ï6
8aw12wbw3w.Infatti otteniamo il secondo radicale dal primomoltiplicando l’esponente del radicando e l’in-dice per 3:
Ï2aw4bw 5Ï2?3
(2waw4bw)1w?3w5Ï6
(2waw4bw)3w5Ï6
8aw12wbw3w.
c) Ïa3wbw non è equivalente a Ï4
aw9bw2w. Infatti, se si moltiplicano per 2 l’esponente del ra-dicando e l’indice, si ottiene:
Ïaw3bw 5 Ï2?2
(aw3bw)1w?2w 5 Ï4
(aw3bw)2w 5 Ï4
aw6bw2w
e non Ï4
aw9bw2w.
d) Ï3
aw 2w bw è equivalente a Ï6
aw22w 2wawbw1w bw2w.
Infatti, moltiplicando per 2 indice ed esponente,otteniamo:
Ï3
aw 2w bw 5 Ï3?2
(aw 2w bw)1w?2w 5 Ï6
(aw 2w bw)2w 5
5 Ï6
aw22w 2wawbw 1w bw2w.
a) Ï3xw2yw5w.
Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve es-sere positivo o nullo: 3 è un numero positivo; x 2 è sempre positivo o nullo, indipendentemen-te dal segno di x, poiché il suo esponente è pari;y5, avendo esponente dispari, assume il segnodi y, quindi, affinché y5 sia positivo o nullo, oc-corre che sia y $ 0. Pertanto C.E.: y $ 0.
b) Ï3
aw 2w 2w.
Il radicando è il binomio a 2 2, che non si scom-pone in fattori. Dobbiamo porre a 2 2 maggioreo uguale a 0, ossia:
Indica quali dei seguenti radicali non si possono semplificare.
Ï3
32w; Ï7
28w; Ï5
a1w0yw 2w; Ï4
22w5w; Ï9
21w6w.
!}a§2
1
a§4
b§2}§ ; Ï
3
9aw3w; Ï6
xw21w yw 2w; Ï
4
4(wxw1w yw)2w; !8
}a§2
1§6
2
4§a§1§ 1
}§.
Semplifica, se possibile, i seguenti radicali, supponendo non negativi i radicandi e i fattori letterali che even-tualmente compaiono (anche nei risultati).
Ï10
32w; Ï4
9w; Ï6
25w; Ï3
8w; Ï10
16w; Ï6
12w5w; Ï8
21w2w.
!8
}1
8§}§ ; !6
}2
6§5
4}§ ; !6
}2
2§7
3
}§ ; Ï6
10w00w; !4
}3§6
5§?
4
7§2
}§ ; !8
}6§1
4}§ ; Ï
6
42w 1w 3w2w; Ï4
13w22w 5w2w.95
94
93
92
Ï6
27waw3bw6w; Ï10
32waw5bw5w.
Ïaw4bw6w; Ïaw2bw4w; Ï3
aw6bw9w.97
96 Ï6
aw2(waw2w2w 4waw 1w 4w)w
Ï9
aw3w1w 8w 1w 6waw2w1w 1w2aw99
98
698
CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALIESERCIZI
Determina il radicale equivalente (gli indici appartengono a N 2 {0}).
Ïawmwbw2w 5 Ï6
...w..w ;
Ïamw2w2bwnw 5 Ï4
...w..w ;
Ïawbcw2w 5 Ï2n
...w..w .
Ïawmwbw2w 5 Ï2n
...w..w ;
Ïakwbw 5 Ï4k
...w..w ;
Ï3
awbwnw 5 Ï6n
...w..w .
Ï5
awnbw 5 Ï10n
...w..w ;
Ïn
abw2w 5 Ïn2
...w..w ;
Ï3
awbwkw 5 Ï3k 2
...w..w .
898887
n La semplificazione di radicali
ESERCIZIO GUIDA
Semplifichiamo i radicali: a) Ï9
64w; b) Ï6
27wx3wy6w (con x $0).
a) Scriviamo il radicando come potenza: 64 5 26; dividiamo poi per 3 (che è il M.C.D. tra 9 e 6) l’indice diradice e l’esponente del radicando:
Ï9
64w 5 Ï9
26w 5 Ï3
22w 5 Ï3
4w.
b) Scriviamo il radicando come una potenza; l’esponente del radicando è 3, quindi dividiamo per 3 l’indi-ce di radice e l’esponente del radicando:
La semplificazione dei radicali con la discussione sul segno dei radicandi
ESERCIZIO GUIDA
Semplifichiamo i radicali:
a) Ï4
(2w 5w)6w; b) Ï6
xw2 yw4w; c) Ïxw2w2w 4wxw 1w 4w; d) !8
}x§1
2
§2
1§ 6
1§x
4§1
x§1
9§x
4§2
9}§.
a) Ï4
(2w 5w)6w 5 Ï4:2
(2w 5w)6w;2w 5
Poiché (2 5)6;25 (2 5)3 è negativo, dovendo essere il radicando sempre positivo, occorre introdurre il
valore assoluto:
5 Ïu2w 5wu3w 5 Ï12w5w.
b) C.E.: ∀ x [ R, ∀ y [ R. Infatti il radicando è positivo o nullo per qualsiasi valore attribuito a x o a y.
Ï6
xw2yw4w 5
36/Ï(xwyw2)w2/1w 5 Ï3 uxwuyw2w.
Per avere il radicando non negativo, dopo la semplificazione occorre introdurre il valore assoluto di x.
c) Ïxw2w2w 4wxw 1w 4w 5 Ï(xw 2w 2w)2w 5 C.E.: ∀ x [ R, perché l’esponente del radicando è pari.
5 ux 2 2u, perché un radicale deve essere non negativo.
d) !8
}x§1
2
§2
1§ 6
1§x
4§x
1§1§9x§4
2
9}§ 5 !8
}(§(
1
x§2
1§ 3
7§x
)
)§2
2}§ 5 !8 1}§1
x§2
1§ 3
7§x}§2
2§ 5
Affinché la frazione algebrica esista, deve essere 1 2 3x Þ 0, ossia x Þ }1
3} : C.E.: ∀ x Þ }
1
3} .
Poiché l’esponente del radicando è pari, il radicale esiste:
5 !4 u}§1
x§2
1§ 3
7§x}§u§ .
Abbiamo dovuto introdurre il valore assoluto perché ci sono valori di x, ammessi dalle C.E., che rendo-no il radicando negativo (per esempio, x 5 2 8).
Introduciamo il valore assoluto di a3 poiché leC.E. non garantiscono che sia a 3
$ 0.
b) C.E. di Ï3
12w5aw3bw : ab $ 0.
Ï3
12w5aw3bw 5 Ï3
53waw3bw 5 5 ua u Ï3 ubwuw.
Introduciamo i valori assoluti di b e a poichéle C.E. non assicurano che il radicando sia $ 0e per rendere vera l’uguaglianza.
c) C.E. di Ï3
8aw3bw9cw2w : ab $ 0.
Ï3
8aw3bw9cw2w 5 Ï3
2w3aw3bw9cw2w 5 2ab 3 Ï3
c2w.
I valori assoluti non occorrono, perché le C.E. ga-rantiscono che ab 3
$ 0, essendo ab35 ab ? b2
$ 0.
d) C.E. di Ï2aw22w 4waw1w 2w 5 Ï2w(aw 2w 1w)2w : ∀a [ R.
Ï2w(aw 2w 1w)2w 5 ua 2 1 u Ï2w.
Infatti le C.E. non garantiscono che sia a 2 1 $ 0
mentre Ï2(waw2w 1w)2w $ 0.
COMPLETA Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice tutti i fattori possibilisenza mettere i necessari valori assoluti. Aggiungili dove mancano.
Ïx2w 5 x; Ïx3w 5 x ? Ïxw; Ïabw2w 5 bÏaw.
Ïxw4w 5 x 2; Ïxw5w 5 x 2? Ïxw; Ï3
a6w 5 a 2.
Ï3
8aw3bwcw3w 5 2ac Ï3
bw;w !3
}2§b
7§6
a
c§3
}§ 5 }3
b
a2
}!3
}1
c§}§ .
Ïaw2?w bw 5 a Ïbw; Ï2aw4bw2w 5 a 2
? b ? Ï2w;
Ï9aw4bw 5 3a 2 Ïbw.
206
205
204
203 Ï4
a4wb8wcw 5 ab 2 Ï4
cw; Ï5
32waw5bw 5 2a Ï5
bw;
Ï6
aw12wbw6cw 5 a 2b Ï6
cw.
!4
}1§6
c
a§8
4
§b}§ 5 }
2
c
a2} Ï4
bw; !}4§a
c4
2
§d}§ 5 }
2
c
a2} Ïdw.
Ï9(waw2w 1w)2wbw 5 3(a 2 1) Ïbw;
Ï16waw2 (wbw 2w 1w)2w 5 4a (b 2 1).
209
208
207
Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
n Moltiplicare, dividere e portare fuori dal segno di radiceDopo aver eseguito le moltiplicazioni e divisioni indicate, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili.Supponi che i fattori che compongono i radicandi siano positivi.
Ï24w ? Ï30w; !}4
5§}§ ?!}1§3
25}§ ; !3
}3
2§}§ ?!3
}9
4§}§ . 312Ï5w; }1
1
0} Ï3w; }
3
2}4
Ï4
4aw3bw2w ? Ï3
4aw2bw ; !3
}1
9§}§ x§2§ ?!5
}2§1
7}§ x§4y§3§. 32a Ï12
4aw5bw10w; }x
3}!15
}x§8
7
1
y§9
}§4
!}a§x
2§2
2§ 4
2§b
y2
}§ ?!3
}x
a§ 2
2§ 2
2§b
y}§ ? Ï6
(xw 2w 2wy)w5w 3(x 2 2y)!6
}(§a§2
§ 2§b)§1
(a§1§ 2§b)§3}§4
!6
}x§
2
1§ 1}§ ? Ï3
(xw2w2w 1w) 2w ;!}x§31§ 3§x
x§ 2
1§ 3
1§x2
§ 2§ 1}§ 3}xx
1
2
1
1} Ï6
xw 1w 1w4
!3
}2§a§
1
2§ 1}§ ?!}
(§4
2
a
a§2
2§2§ 1
1§)3}§ ?!3
}2
2§a
a§2
1§ 1
1}§ 3}Ï
6
2
2
a
aw2
1w1
1w}4
!6
}a§
2
a
2§ 1}§ ?!3
}a§1
2}§ 1§ a§2
1§ 2§ ?!6
}a§4 (§a§2
1
2§ 1§)4}§ ?!}
a§4
a§2§ 1}§ 3}a (a 2
1
2 1)}Ï6
a2w 1w 1w4Ï3
aw 1w 2w ?!3
}a§2
2§ 4
1§a§ 1§ 4
}§ ?!3
(a§2§2§ 4§)§?}§a2§1
a§3
2
2§a§8
1§ 4
}§ [Ï3
(aw 1w 2w)2w]
!3
}x§ 2§
1§ 6
9§x§1§ 9
}§ ?!6
}9§(x§
2
x§2§ 9§)4
}§ ;!}x§
3
§2
3§ 3§x§2
}§Trova le condizioni di esistenza dei radicali e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni indicate, trasporta fuori dalsegno di radice i fattori possibili; metti il valore assoluto dove necessario.
a) La radice cubica di 2 è la metà della radice cubica di 8.
b) Dati due numeri reali positivi, il quoziente delle loro radici quadrate è uguale alla radicequadrata del loro quoziente.
c) Dati due numeri reali positivi, la somma delle loro radici cubiche è uguale alla radicecubica della loro somma.
d) Dato un numero reale positivo, la radice quadrata della sua radice cubica è uguale allaradice cubica della sua radice quadrata.
e) La somma di due radicali letterali simili è un radicale che ha la stessa parte letterale dei radicali dati.
Semplifica le seguenti espressioni, supponendo verificate le C.E. (Negli esercizi in cui non sono poste condizio-ni sulle espressioni letterali, supponi che i fattori che compongono i radicandi siano non negativi.)
c) Il denominatore è un unico radicale che ha per radicando un binomio; moltiplichiamo per tale radicale:
}Ï
a
a
1
w1wb
bw}5 5 5 Ïaw 1w bw.
d) Quando al denominatore compare la somma di due termini di cui almeno uno è una radice quadrata,moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per la differenza dei due termini.Se compare una differenza, moltiplichiamo per la somma, in modo da poter utilizzare in entrambi icasi il prodotto notevole (x 1 y)(x 2 y) 5 x 2
2 y 2.
}Ïaw
a 1
1
b
Ïbw}5 5 .
(a 1 b)(Ïaw 2 Ïbw)}}}
a 2 b
(a 1 b)(Ïaw 2 Ïbw)}}}(Ïaw 1 Ïbw)(Ïaw 2 Ïbw)
(a 1 b) Ïaw1w bw}}
a 1 b
(a 1 b) ? Ïaw1w bw}}Ïaw1w bw ? Ïaw1w bw
Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.
Determina la misura delle mediane del triangolo di vertici: A(6; 5), B(2 3; 1), C(4; 0).
3}Ï2
2
0w2w}; }
Ï2
2
6w5w}; }
Ï2
61w}4
Dato il quadrilatero di vertici A(1; 2 1), B(6; 11), C(2 6; 16), D(2 11; 4), verifica che è un quadrato e calco-la la misura del raggio del cerchio inscritto e del raggio del cerchio circoscritto.
3}1
2
3}; }
1
2
3} Ï2w4
453
452
Dato il triangolo ABC di vertici A (4; 3), B (5; 8),C (8; 2 1), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni dei suoi lati.
[a) perimetro 5 Ï2w (Ï13w 1 3 Ï5w 1 4), area 5 12; b) 5x 2 y 2 17 5 0,
3x 1 y 2 23 5 0, x 1 y 2 7 5 0]
Dato il triangolo ABC di vertici A (2 3; 2), B (5; 2),C (1; 8):a) stabilisci se è isoscele;b) determina le equazioni dei lati;c) scrivi le equazioni delle mediane;d) calcola le lunghezze delle mediane.
[a) sì; b) y 5 2, 3x 1 2y 2 19 5 0, 3x 2 2y 1 13 5 0; c) 7 1 x 2 2y 5 0,
x 5 1, 9 2 x 2 2y 5 0; d) 6, 3Ï5w]
Dato il triangolo ABC di vertici A (1; 2 1), B (7; 0),C (3; 2 9), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni delle sue mediane;c) le coordinate del baricentro.
3a) perimetro 5 Ï37w 1 Ï97w 1 Ï68w, area 5 25;
b) 17x 2 2y 2 69 5 0, 7x 1 8y 1 1 5 0,
x 2 y 2 7 5 0; c) 1}1
3
1}; 2 }
1
3
0}24
Dato il triangolo ABC di vertici A (24; 0), B (0; 24),C (2 6; 2 6), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni delle altezze;c) le coordinate dell’ortocentro.
[a) perimetro 5 4 Ï2w (1 1 Ï5w), area 5 16; b) x 2 y 5 0, 3x 1 y 1 12 5 0,
x 1 3y 1 12 5 0; c) (2 3; 2 3)]
457
456
455
454 Di un parallelogramma ABCD sono noti l’equazio-ne del lato AB, y 5 2 3x 1 6, il vertice C(2 1; 1),l’ascissa 2 4 del vertice D e l’ascissa 2 6 del verticeA. Determina le coordinate mancanti dei vertici A,B, D e il perimetro del parallelogramma.
Dato il triangolo di vertici A(5; 8), B(2 7; 4),C(8; 2 9), trova le coordinate del baricentro G.Considera la retta r parallela all’asse y passante perG e calcola il perimetro del triangolo OGD, essen-do D il punto di intersezione di r con l’asse x.
[G (2; 1); perimetro 5 3 1 Ï5w]
Verifica che il triangolo di vertici A(22; 0), B(2;2 2), C(4; 7) è isoscele e calcola il perimetro el’area.
[2(Ï5w 1 Ï85w); 20]
Dato il triangolo di vertici A(2 3; 1), B(2; 2),C(1; 2 6), calcola le misure del suo perimetro edelle tre mediane.
3Ï13w(Ï2w 1 2Ï5w); }Ï2
2
3w4w} , }
Ï1
2
1w7w} , }
Ï1
2
1w7w}4
Calcola la misura del perimetro e dell’area del
triangolo di vertici A(2 1; 3), B1}9
2} ; 52, C(6; 3)
e infine calcola la misura della mediana relativa allato BC.
3}19 1
2
Ï13w7w} ; 7; }
Ï6
4
4w1w}4
462
461
460
459
458
Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali
Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali, poi applica, quando è possibile, leproprietà delle potenze. Supponi che i fattori letterali che compongono i radicandi siano positivi.
TEST Uno solo dei seguenti radicali ha come C.E.a $ 0. Quale?
Ï5aw2bw3w
Ï3
4awbw
Ï7aw4bw2wC
B
A
501
500
499 È vero che le C.E. del radicale Ï6
xw4yw2w sono∀ x, y [ R ?
Per il radicale Ï5
xw1w 2w devi porre le condizioni diesistenza? Perché?
TEST Dei seguenti radicali solo uno è equivalentead a. Quale?
Ïaw2w Ï4
aw8w
Ï3
aw3w Ï24
aw 25w
Ï4
aw4wC
EB
DA
504
503
502
!4}2§a
3§3b§
2
}§!6
}3§5
a§2
}§E
D
ESERCIZI
CACCIA ALL’ERRORE
Ognuna delle seguenti uguaglianze contiene almeno un errore. Trovalo e correggilo (x e y sono reali positivi).
Ï8
(2w 5w)2w 5 Ï4
2w 5w
(x 1 y) Ï3w 5 Ï3w(xw2w1w yw2)w506
505 Ï3
2w xw6w ? Ï4
2w xw8w 5 (2 x 2) ? (2 x 2) 5 x 4
Ï4
xw ? Ï3
yw 5 Ï12
xyw508
507
n Le condizioni di esistenza
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali:
a) Ï6aw4bw5w; b) Ï3
aw 2w 2w; c) !}x§2
5§2
x§ 4}§ ; d) Ïuawu 2w 2w.
a) Ï6aw4bw5w.
Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve essere positivo o nullo: 6 è un numero positivo; a 4 è sempre positivo o nullo, sia che a sia negativo sia che a sia positivo o nullo, poiché il suo esponente èpari; b 5, avendo esponente dispari, assume il segno di b. Quindi, affinché b 5 sia positivo o nullo, occorreche sia b $ 0: C.E.: b $ 0.
b) Ï3
aw 2w 2w.
Poiché l’esponente è dispari, il radicando può assumere qualunque valore. C.E.: ∀ a [ R.
c) Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, ossia:
}x 2
5
2
x
4} $ 0 →}
(x 2 2
5
)(
x
x 1 2)}$ 0.
Studiamo il segno:
5x . 0 ⇔ x . 0
x 2 2 . 0 ⇔ x . 2
x 1 2 . 0 ⇔ x . 2 2
C.E.: 2 2 , x # 0 ∨ x . 2.
I valori 2 2 e 2 sono esclusi perché annullanoil denominatore della frazione.
Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice alcuni fattori, senza mettere i neces-sari valori assoluti. Trova prima le C.E. e aggiungi poi i valori assoluti dove occorrono.
Ïaw3bw 4w 5 ab2Ïaw; Ï3
aw2yw 5w 5 yÏaw2yw 2w.
!}(§2x§ 2§y§14§)3
§ x§5
}§ 5}(2x 2
y 2
1)x 2
}Ï(2wxw2w 1w)xw; !5
}(§x§2
a§6
1§)5}§ 5 }
x
aÏ2
5
aw1
} .
!}a§3
§x
1§3
2
1§a§x
2
§1
2§ a}§ 5 }
a 1
x
1}!}
x§1
a§ 1}§ ; !3
}x§ 4§y
2§
7
x§ 3}§ 5 }
y
x
2
}!3
}x§
2
y§ 1}§ .
!§§5}x(
y
x
Ï2
yw2)
} ; !3
}(§x
2§2§x
1§6
)§4}§ 5 2}
(x 2 1)
x
Ï
2
3
xw2w 1w} .
Determina le C.E. dei radicali presenti nelle seguenti espressioni e successivamente semplificale.
!4
}x
x§2
2
2
1§ 2
9§x
1§1§6
1
x}§ 1!}
x§2
x
1§22
§x§ 2
4§2
}§ ?!}x
x§ 2
1§ 2
3}§ 32!}
x
x§ 2
1§ 1
3}§, con x , 2 3 ∨ x . 24
!6
}2§x§
2
2
2§x
4§2
x§ 2§ 4}§ ;!3
x§ 2§ }x
4§}§ ?!}x§ 2
3§2
}§ 3!6
}x§2
2
7§ 2}§ , con x . 24
!}2§x§2
1
2§2§ 2
x§x§ 2§ 1}§ ?!3
}x
x§3
3
2
1§ 1
1}§ ;!}
x
x§2
2
1
2§ x
x§1
1§ 1
1}§ 3!6
}(§x§ 1§1
x
)§3
3
2§(x§ 1
3
§ 1§ 1§)}§ , con x . 14
!4
1§1§}(§x
1§2
2§x
3§)2}§ ?!x§ 2§ }
x
9§}§ ; Ïxw31w xw 3}x 1
x
3}!}
x§2
1
1§ 1}§ , con x . 34
Trova le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R e trasporta fuori dalla radice i fattori possibili.
a) Con Wiris semplifichiamo la seguente espressione irrazionale: }3
4
2
1
ÏÏ
7w7w
} .
b) Con Wiris risolviamo e svolgiamo la verifica della seguente equazione:
!5
}3
2§}§ ? z ?!5
}2§4
7}§ 5 }
3
2} .
n Esercitazioni
Semplifica le seguenti espressioni sul quaderno. Poicon il computer, approssima sia l’espressione inizialesia la sua semplificazione.
(Ï2w 2 1)21 (Ï3w 2 4)(Ï2w 1 3)
[26 Ï2w 1 3 Ï3w 1 Ï6w 2 9 . 2 9,84]
}1
Ï2
2wÏ1
2w1
}2}Ï
3
2wÏ
2
2w1
} [2Ï2w 2 9 . 2 10,41]
}(Ï
3 1
3w 1
Ï1
3w)2
}2}1
3
2
2
ÏÏ
3w3w
} 3}2 Ï3
3w}1 1 . 2,154
(Ï3
2w 2 1)32 (Ï3
2w 1 1)2 [Ï3
2w 2 4 Ï3
4w . 2 5,09]4
3
2
1
Determina sul quaderno il radicale z che rende validal’uguaglianza, poi verifica con il computer.
Ï12w5w ? z 5 25 [Ï5w]
Ï4
27w ? z 5 3 [Ï4
3w]
Ï5
4w ? z ? Ï5
2w 5 2 [Ï5
4w]
Ï3
9w ? z ? Ï3
3w 5 3 [1]8
7
6
5
● Entriamo in ambiente Wiris.● Digitiamo l’espressione del punto a e usiamo su di essagli operatori che vediamo in figura 1.● Facciamo clic sul pulsante Calcola.● Osserviamo i risultati per renderci conto di quale fun-zionalità dobbiamo attenderci dagli operatori del sistemasui radicali.● Usiamo l’operatore risolvere sull’equazione del punto b(figura 2).● Semplifichiamo l’espressione ottenuta sostituendo a z,nel primo membro dell’equazione, la soluzione dataci daWiris. Per far ciò, usiamo opportunamente le combina-zioni di tasti ctrl-C (copia) e ctrl-V (incolla).
m Figura 1
m Figura 2
Nel sito: c 1 esercitazione guidata con Derive c 20 esercitazioni in più
Matematica per il cittadinoGLI SCORPIONI IRRAZIONALI
La vita quotidiana è piena di numeri, a partire daquanti biscotti mangiamo a colazione fino al canaledella televisione su cui ci sintonizziamo la sera.I numeri naturali ci circondano in maniera più eviden-te, ma anche i numeri irrazionali si nascondono nellarealtà e c’entrano con triangoli, quadrati, spirali e…scorpioni!
1. Considera i quadrati che hanno come misura dei latii primi 7 numeri naturali. Completa la seguente ta-bella inserendo i valori delle loro aree.
lato (u) 1 2 3 4 5 6 7
area (u2)
2. Considera i quadrati che hanno, come area, i primi 7numeri naturali. Completa la seguente tabella deter-minando la lunghezza dei loro lati.
area (u2) 1 2 3 4 5 6 7
lato (u)
3. Dato un quadrato di lato 1 u, disegna un quadrato diarea doppia (potrebbe essere utile tracciare una dia-gonale del quadrato). Quanto è lungo il suo lato?
4. Nella figura a lato la costruzione a spirale è compo-sta da triangoli rettangoli aventi un cateto di lun-ghezza 1 u e l’altro lungo come l’ipotenusa del trian-golo precedente. Partendo dal triangolo iniziale, cheha entrambi i cateti lunghi 1 u, completa la tabellainserendo le lunghezze mancanti. Esponi le tue con-siderazioni riguardo alla successione delle lunghezzedelle ipotenuse.
5. Disegniamo ora la coda di uno scorpione. Nella figura a fianco, a partire dal qua-drato di lato unitario, abbiamo costruito alternativamente:
● un triangolo rettangolo isoscele che ha come cateto il lato del quadrato antecedente;● un quadrato che ha come lato l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.
Completa la figura, calcola le lunghezze dei lati e le aree dei quadrati e inseriscile nellatabella. Esprimi le tue considerazioni sulla successione ottenuta con i valori delle su-perfici.
69 Perform the following operations. Write all an-swers in simplified form (including rationalizingdenominators). Assume that variables representnon-negative numbers.
a) Ï3
2xw(Ï3
xw 2 Ï3
10wxw5w);b) 2 3Ïb5w 1 bÏb3w 1 Ïb2w.
(USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)
[a) Ï3
2xw2w 2 x2Ï3
20w; b) b 2 2b2Ïbw]
70
percentage: percentuale to perform: svolgere to simplify: semplificare