ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CIENCIAS DE LA SALUD. CAPÍTULO 8 : ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS E INTERVALOS DE CONFIANZA. DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES (μ 1 –μ 2 ). Ing. Willians Medina. Maturín, Junio de 2015.
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08 05 estimacion de parametros para dos muestras. diferencia de medias
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ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y
CIENCIAS DE LA SALUD.
CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE
PARÁMETROS E INTERVALOS DE
CONFIANZA.
DIFERENCIA DE MEDIAS
POBLACIONALES (µ1–µ2).
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Diferencia de medias (µ1-µ2).
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 107
8.6.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS,
VARIANZAS CONOCIDAS.
Si 1X y 2X son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño 1n y 2n
tomadas de poblaciones normales con varianzas 2
1 y 2
2 conocidas pero iguales, un
intervalo de confianza de %100)1( para 21 está dado por
21 :
2
2
2
1
2
12/21 )(
nnzXX
(45a)
2
2
2
1
2
12/2121
2
2
2
1
2
12/21 )()(
nnzXX
nnzXX
(45b)
Intervalos de confianza de una cola para la diferencia de medias.
También pueden obtenerse intervalos de confianza de una cola para 21 .
Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es
21
2
2
2
1
2
121 )(
nnzXX (46a)
2
2
2
1
2
12121 )(
nnzXX
(46b)
Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es
2
2
2
1
2
12121 )(
nnzXX
(47)
Ejemplo 8.27. Intervalo de confianza para la diferencia de media de dos poblaciones
normales con varianzas conocidas.
Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el
rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo
A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se
mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas
por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de
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confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que
las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.
Solución.
Tamaño muestra A: 50An
Tamaño de la muestra B: 75Bn
Media muestral de A: 36AX millas/galón
Media muestral de B: 42BX millas/galón
Nivel de confianza: 96.01
Desviación estándar poblacional de A: 6A
Desviación estándar poblacional de B: 8B
Intervalo de confianza para la diferencia de medias.
AB :
A
A
B
BAB
nnzXX
22
2/)(
(45a)
Valor 2/z .
4800.02
96.0
2
1
2
06.205.22/
z
055.22/ z
Intervalo de confianza para la diferencia de medias.
AB :50
)6(
75
)8(055.2)3642(
22
AB : 57.26
AB :
43.3
57.8
57.843.3 AB
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Con un nivel de confianza de 96% se puede afirmar que la diferencia entre las medias
poblacionales de la población B y la población A se encuentra entre 3.43 millas/galón y
8.57 millas/galón. El motor B da más rendimiento promedio que el motor A.
Ejercicios propuestos.
186. [RV] Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento motor hecha con
estudiantes que participan en deportes universitarios (grupo 1) están distribuidos
normalmente y tienen una varianza poblacional de 100. Los puntajes de los muchachos que
no participan en deportes universitarios (grupo 2) están también distribuidos normalmente
con varianza poblacional de 121. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 muchachos del
grupo 1 y de 11 muchachos del grupo 2 con una media de 60 y 50 respectivamente.
Construir un intervalo de confianza del 96% para la diferencia entre las dos medias
poblacionales.
Respuesta: 41.1959.0 21 .
187. [RV] Un antropólogo selecciona una muestra aleatoria de 40 habitantes en una región
A y 50 habitantes en una región B y estima que el índice cefálico promedio de los
habitantes de cada región es de 80 y 75 respectivamente. El antropólogo deseaba construir
un intervalo de confianza del 94% para la diferencia entre las dos medias poblacionales. En
base a experiencias anteriores, suponía que el índice cefálico en ambas regiones estaban
distribuidas normalmente, con una desviación típica poblacional de 3 para la región A y de
2 para la región B.
Respuesta: 04.696.3 BA .
188. [RV] En un experimento de laboratorio a un grupo 1, que consta de 10 animales, fue
sometido a respirar aire contaminado con un producto químico dañino, mientras otros 10
animales de control (grupo 2) respiraban aire puro durante el mismo tiempo. Al final del
experimento los investigadores verificaron que los animales del grupo 1 y grupo 2 tenían
una hemoglobina promedio de 18 y 14 respectivamente. Asuma normalidad para ambos
grupos con varianza poblacional de 25 para el grupo 1 y 20 para el grupo 2. Construir el
intervalo de confianza del 86% para la diferencia entre las medias poblacionales.
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Respuesta: 13.787.0 21 .
189. Se llevan a cabo pruebas de resistencia sobre dos diferentes clases de barras de
aluminio utilizadas en la fabricación de alas de acero plano comerciales. De la experiencia
pasada con el proceso de fabricación de barras y del procedimiento de pruebas, se supone
que las desviaciones estándar de la resistencia a la tensión son conocidas. Los datos
aparecen en la siguiente tabla:
Clase de barra Tamaño de la
muestra x
1 10 87.6 1.0
2 12 74.5 1.5
Si 1 y 2 denotan los promedios verdaderos a la resistencia a la tensión para las dos
clases de barras, encontrar un intervalo de confianza del 90% para las diferencias de las
medias.
Respuesta: 46.1674.9 21 .
190. [DM, MR] Un fabricante de calculadoras electrónicas puede usar dos tipos de plástico.
La resistencia a la ruptura de este plástico es importante. Se sabe que psi 0.121 . De
muestras aleatorias de 101 n y 122 n se obtiene 5.1621 y y 0.1552 y . La compañía
no empleará el plástico 1 a menos que su resistencia a la ruptura exceda la del plástico 2 por
lo menos 10 psi. Con base en la información muestral, ¿debería usarse el plástico 1?
Construir un intervalo de confianza de 99% para la verdadera diferencia media en la
resistencia a la ruptura.
Respuesta: 60.840.6 21 .
191. [MR, SW] Se estudia la velocidad de combustión de dos cargas propulsoras sólidas
diferentes usadas en el sistema de expulsión de la tripulación de un avión. Se sabe que
ambas cargas propulsoras sólidas tienen aproximadamente la misma desviación estándar
para la velocidad de combustión; esto es, cm/s 321 . Se prueban dos muestras
aleatorias de 201 n y 202 n ejemplares; las medias muestrales de la velocidad de
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combustión son 181 x cm/s y 242 x cm/s. Construya un intervalo de 95% para la
diferencia de las medias 21 . ¿Cuál es el significado práctico de este intervalo?
192. [RV] En una encuesta realizada en una determinada población, 125 mujeres con
sangre del tipo “A” tuvieron un peso promedio de 61 kg y 130 mujeres con sangre del tipo
“B” tuvieron un peso promedio de 56 kg. La desviación típica en los de tipo “A” es de 10
kg y las de tipo “B” es de 7 kg. Construir un intervalo de confianza del 97% para BA .
193. [RV] Los estudiantes que se matricularon en el séptimo grado en una escuela
elemental se clasificaron al azar en dos clases. La enseñanza de la Aritmética en la clase
“A” se hizo con una técnica que usaba computador. La enseñanza de la Aritmética en el
grupo “B” se hizo según los métodos tradicionales. Las pruebas de rendimiento en
Aritmética que se hicieron al final del año dieron los siguientes resultados:
Clase n x s
A 37 85 6
B 32 71 9
Construir un intervalo de confianza del 93% para BA .
194. [RV] Los estudiantes que se han matriculado en un curso de investigación educativa
fueron distribuidos al azar en 2 cursos. El grupo “A” utilizó numerosas técnicas y
actividades para enriquecer el curso. El grupo “B” estudió mediante el método tradicional
de conferencias. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento al terminar el curso
dieron los siguientes resultados:
Grupo n x s
A 42 80 8
B 35 72 10
Construir el intervalo de confianza del 90% para BA . ¿Qué suposición tiene que
hacer?
195. [RV] Se hizo un estudio sobre las diferencias en la atención en dos grupos de niños
pequeños. Mientras cada niño, perteneciente a cada una de las muestras aleatorias simples
independientes de los dos grupos, miraba un programa de televisión de 30 minutos un
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equipo de investigación registraba el número de minutos de fijación de la vista. El equipo
obtuvo los siguientes datos:
Grupo n x s
A 46 23.5 min 5 min
B 39 18.1 min 3 min
Construir el intervalo de confianza del 79% para BA .
196. [RV] Las siguientes son las medias y desviaciones típicas de los puntajes de C.I verbal
obtenidos en dos muestras aleatorias simples independientes sacadas de dos grupos de
niños en una escuela elemental:
Grupo n x s
I 38 100 12
II 32 90 14
Supóngase que las poblaciones de los puntajes C.I están distribuidas normalmente con
varianzas iguales. Construir el intervalo de confianza del 93% entre III
197. [MR, SW] Se usan dos máquinas para llenar botellas con detergente para lavar trastes.
Se sabe que las desviaciones estándar del volumen de llenado son 10.01 onzas líquidas
y 15.02 onzas líquidas, respectivamente, para las dos máquinas. Se seleccionan dos
muestras aleatorias de tamaños 121 n botellas de la máquina 1 y 102 n botellas de la
máquina 2, y los volúmenes medios de llenado muestrales son 87.301 x onzas líquidas y
68.302 x onzas líquidas. Suponga una distribución normal.
a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 90% para la diferencia en las medias
del volumen de llenado. Interprete este intervalo.
b) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la diferencia en las medias
del volumen de llenado. Compare la anchura de este intervalo con la del intervalo del inciso
a) y comente.
c) Construya un intervalo de confianza superior de 95% para la diferencia en las medias del
volumen de llenado. Interprete este intervalo.
Respuesta: a) 3330.00470.0 21 ; b) 2988.00812.0 21 . A menor nivel de
confianza, más pequeño es el intervalo de confianza; c) 2813.021 .
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Diferencia de medias (µ1-µ2).
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198. [SW] Construya un intervalo de confianza de 94% de la diferencia real entre las
duraciones en promedio de dos tipos de focos eléctricos, dado que una muestra tomada al
azar de 40 focos de un tipo duró en promedio 418 horas de uso continuo y 50 focos de otra
clase duraron en promedio 402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, según
se sabe, son 261 y 222 .
Respuesta: 7.253.6 21 .
Ejemplo 8.28. Intervalo de confianza para la diferencia de medias a partir de datos
muestrales.
Durante un experimento se compararon dos muestras de glucosa por polarimetría,
obteniéndose los poderes rotatorios que siguen a continuación: