07 chương 5. lý thuyết số (2)

Bảo Mật Thông Tin

Trần Nhật Quang

Khoa Công Nghệ Thông Tin – ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật TP HCM

[email protected]

Bảo Mật Thông Tin Chương 5. Lý Thuyết Số (tt) 2

Thuật toán Euclid

Thuật toán Euclid mở rộng

Các Nội Dung


(Nhắc lại: Lý thuyết số nghiên cứu các số nguyên. Vì vậycác số ở đây đều là số nguyên.)

Ước số chung lớn nhất (Greatest Common Divisor - gcd)của 2 số a, b là số lớn nhất chia hết cả a và b.

Ký hiệu: gcd(a, b) hay (a, b)

Thuật toán Euclid rất hiệu quả để tìm gcd.

Ước Số Chung Lớn Nhất


Thuật toán Euclid được dùng để tìm ước chung lớn nhất.

Ta có phép chia a/b: a = q.b + r

Nếu số d: d|a và d|b d|r

Nên: gcd( a, b) = gcd( b, r)

Thuật toán Euclid: Giả sử a ≥ b > 0

Đặt g0 = a, g1 = b

Lặp tìm số dư: gi+1 = gi-1 mod gi (gi +1 là số dư của gi-1 cho gi)

Cho đến khi gk+1 = 0

Lúc đó: (a,b) = gk

Thuật Toán Euclid


Ví dụ 1: Tìm (8, 6)

(8, 6) = (6, 2) = (2, 0)

Hay: 8620

(8, 6) = 2

Ví dụ 2: Tìm (128, 48)

(128, 48) = (48, 32) = (32, 16) = (16, 0)

Hay: 1284832160

(128, 48) = 16

Ví Dụ Thuật Toán Euclid

Bảo Mật Thông TinChương 5. Lý Thuyết Số (tt) 6


Dùng để tìm số nghịch đảo a-1 mod n của số a.

a-1 là nghịch đảo của a theo mod n nếu a.a-1 = 1 mod n

Ví dụ: 3.7 = 1 mod 10 7 = 3-1 mod 10

Nếu (a, n) = 1 thì luôn nghịch đảo của a theo mod n (điều

kiện để dùng Euclid mở rộng).

Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để

tìm các giá trị gi ,ui ,vi sao cho gi = ui.n + vi.a.

(v y gi n 1)

Từ 1 = uk.n + vk.a suy ra vk là nghịch đảo của a

vì uk.n + vk.a mod n = vk.a mod n.

Thuật Toán Euclid Mở Rộng


g0 = n, u0 = 1, v0 = 0 : g0 = u0 . n + v0 . a g1 = a, u1 = 0, v1 = 1 : g1 = u1 . n + v1 . a

• y = g0 div g1 (chia lấy nguyên)

g0 = u0 . n + v0 . ag1 = u1 . n + v1 . a X y

---------------------------------------(g0 – y. g1) = (u0 – y. u1) . n + (v0 – y. v1) . a g2 = u2 . n + v2 . a (g2 = g0 mod g1)

• y = g1 div g2

(g1 – y. g2) = (u1 – y. u2) . n + (v1 – y. v2) . a g3 = u3 . n + v3 . a…………..

Đến khi gk+1 = 0 ta có gk = gcd(a,n) = 1 vk = a-1(mod n)

Thuật Toán Euclid Mở Rộng (2)


TT tìm nghịch đảo của a theo mod n ((a,n)=1, n>a>0)(nếu a > n lấy a = a mod n)

• g0 = n, u0 = 1, v0 = 0

• g1 = a, u1 = 0, v1 = 1

• Lặp:

y = gi-1 div gi

gi+1 = gi-1 mod gi

ui+1 = ui-1 – y . ui

vi+1 = vi-1 – y . vi

• Đến khi gk = 1 ta có vk = a-1 mod n

Thuật Toán Euclid Mở Rộng (3)


Tìm 3-1 mod 460: a=3, n=460i y g u(n) v(a) Đẳng thức tương đương0 - 460 1 0 460 = 1*460 + 0*31 - 3 0 1 3 = 0*460 + 1*32 153 1 1 -153 1 = 1*460 + -153*3Ở đây k=2. Vậy: 3-1 mod 460 = -153 = 307 mod 460

Tìm 299-1 mod 323: a=299, n=323:i y g u(n) v(a) Đẳng thức tương đương0 - 323 1 0 323 = 1.323 + 0.2991 - 299 0 1 299 = 0.323 + 1.2992 1 24 1 -1 24 = 1.323 + -1.2993 12 11 -12 13 11 = -12.323 + 13.2994 2 2 25 -27 2 = 25.323 + -27.2995 5 1 -137 148 1 = -137.323 + 148.299Vậy: 299-1 mod 323 = 148

Ví Dụ


Tìm 299-1mod 323: (a=299, n=323)

y g v

- 323 0

- 299 1

1 24 -1

12 11 13

2 2 -27

5 1 148

Vậy: 299-1 mod 323 = 148

Giải Thuật Rút Gọn


Tập số dư đầy đủ theo mod n: [0..n-1]

Tập số dư rút gọn theo mod n: chỉ gồm các số trong [0..n-1] nguyên tố cùng nhau với n.

Ví dụ: n = 10

Tập số dư đầy đủ: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Tập số dư rút gọn: {1,3,7,9}

Số phần tử trong tập số dư rút gọn gọi là hàm phi Euler. Ký hiệu: φ(n)

Ví dụ: φ(10) = 4

Hàm Phi Euler


Một số tính chất của φ(n):

Nếu n là số nguyên tố thì: φ(n) = n-1

Nếu n là số nguyên tố thì: φ(nr) = nr-1(n-1)

: φ(a.b) = φ(a).φ(b)

Phân tích n thành thừa số nguyên tố: n = pa. qb... (p, q… làsố nguyên tố) φ(n) = φ(pa. qb... ) = φ(pa). φ(qb)…

Ví dụ: φ(2000) = φ(2.103) = φ(2.23.53) = φ(24.53) =φ(24).φ(53) = 23.(2-1) . 52.(5-1) = 800

Hàm Phi Euler (2)


Định lý nhỏ Fermat

Giả sử p là số nguyên tố và (a,p)=1

Khi đó: ap-1 = 1 mod p

Định lý Euler

Là trường hợp tổng quát của định lý Fermat

Với mọi số nguyên dương n và (a,n)=1

Khi đó: aφ(n) = 1 mod n

Bây giờ ta có vài cách tính nghịch đảo a-1 mod n

1. Lần lượt tìm 1,...,n-1 số a-1 sao cho: a.a-1 = 1 mod n

2. Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm số nghịchđảo

3. Nếu đã biết φ(n) thì từ định lý Euler ta tìm được:

a-1 = aφ(n)-1 mod n

Định Lý Nhỏ Fermat Và Định Lý Euler


Ta thường cần tìm các số nguyên tố rất lớn. Phương pháp cổ điển: sàng Erastosthene. (Cách này chỉ dùng

để tìm các số nguyên tố không lớn lắm). Ta có thể kiểm tra (gần đúng) số nguyên tố bằng định lý nhỏ

Fermat: an-1 = 1 mod n với (a,n)=1 Tất cả các số nguyên tố ‘n’ đều thỏa đẳng thức trên Một vài hợp số (số không phải số nguyên tố) cũng thỏa

đẳng thức trên. Các hợp số đó gọi là các GIẢ NGUYÊN TỐ. Để đoán 1 số n nào đó là số nguyên tố hay không, ta làm test

sau: Chọn số lượng lớn (ví dụ: 100) các số ‘a‘ sao cho: (a,n)=1 Kiểm tra: an-1 = 1 mod n ?

• Nếu có 1 số a nào đó không thỏa thì n không là số nguyên tố• Nếu thỏa cho tất cả các giá trị a có thể kết luận gần đúng rằng n là

số nguyên tố (95%)

Tìm Các Số Nguyên Tố Lớn


Tính các logarit rời rạc sau:

2x = 3 mod 5; 4x = 2 mod 13; 5x = 3 mod 7;

6x = 10 mod 11; 7x = 3 mod 13; 8x = 3 mod 11

Tính ƯSCLN (gcd):

(65,91); (102,238); (110,154); (171,285); (185,259)

Tính hàm phi Euler φ(n) của:

57, 61, 65, 79, 83, 85, 2012, 323

Tính số nghịch đảo sử dụng 1 trong các cách sau:

Thử sai; Định lý Euler; TT Euclid mở rộng

11-1 mod 35; 13-1 mod 48;

17-1 mod 199; 21-1 mod 197;

Bài Tập


*1+ Đặng Trường Sơn, BMTT_06_NumberTheory.ppt, ĐH Sư

Phạm Kỹ Thuật TP HCM.

[2] William Stallings, Cryptography and Network Security Principles and Practices, Fourth Edition, Prentice Hall, November 16, 2005.

[3] Dương Anh Đức và Trần Minh Triết, Mã hóa và ứng dụng, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2005.

[4] http://vi.wikipedia.org/wiki/Giải_thuật_Euclid

*5+ http://vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_nhỏ_Fermat

Tài Liệu Tham Khảo

07 chương 5. lý thuyết số (2)

Technology