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EconometriaTópico 4 – Regressão Múltipla

Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Adjunto da Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

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Natureza da HeterocedasticidadeA heterocedasticidade quebra uma das mais relevantes e importantes hipóteses do MRLC, trata-se da homocedasticidade dos resíduos onde:

A variância condicional de aumenta a medida que uma determinada variável independente aumenta. Ou seja, a variância de não são as mesmas. Como a variância do resíduo está condicionada a então existe a presença da heterocedasticidade, onde

Suponha que o seguinte modelo esteja sendo analisado, onde , e Y seja a poupança e X a renda, assim podemos verificar os dois seguintes gráficos:


HOMOCEDASTICIDADE


HETEROCEDASTICIDADE


As seguintes razões podem constituir-se como elementos de variabilidade de , como:1) Seguindo os modelos de erro-aprendizagem, comportamentos incorretos das pessoas diminuem com o tempo ou o número de erros torna-se mais consistente. Neste caso, espera-se que diminua. Como exemplo o autor cita a Figura 11.3, que relaciona o número de erros de digitação cometidos em um dado período de tempo em um teste com as horas de prática de digitação. Percebe-se que o erro de digitação diminui a medida que temos mais prática.



2) A medida que a renda aumenta, as pessoas têm mais renda discricionária e, portanto, mais opções para escolher como aplicarão sua renda. Por isso, é provável que aumente com a renda. Assim, na regressão de poupanças contra a renda é provável que se verifique que aumenta com a renda, pois as pessoas têm maior opção sobre como irão dispor de suas poupanças. Do mesmo modo, em geral se espera que a empresas com lucros maiores mostrem maior variabilidade em suas políticas de dividendos que aquelas com lucros mais baixos.


3) A medida que as técnicas de coleta de dados aprimoram-se, é provável que diminua. Assim, os bancos que têm equipamentos sofisticados de processamento de dados provavelmente cometem menos erros nos demonstrativos periódicos de seus clientes do que bancos sem esses recursos.4) A hetero também ocorre com a presença de dados discrepantes (outliers)


5) Violação da hipótese 9, onde o modelo de regressão deve ser especificado corretamente.

6) A assimetria é outra fonte de heterocedasticidade. Renda e riqueza são variáveis que geralmente são desiguais, onde a maior parte da renda encontra-se na menor parte da população. Isso gera uma assimetria no dado.

7) Transformação incorreta de dados. É mais comum em dados de corte transversal do que nas séries temporais. A diferença é que no primeiro temos um nível de desagregação maior da informação, ou seja, estamos avaliando-a em vários níveis (como os diferentes níveis de renda municipal). Já a série temporal é um dado mais agregado, que não sofre grandes variações.


Resíduos da regressão de (a) percepções sobre despesas com publicidade e (b) percepções sobre despesas de publicidade e o quadrado de despesas com publicidade.


Estimativa dos MQO na presença da HeterocedasticidadeA pergunta que se faz é: o que acontece com o MQO e suas variâncias se introduzirmos a heterocedasticidade fazendo , mas mantivermos todas as demais hipóteses do modelo clássico? Vamos analisar o modelo com duas variáveis:

Verificamos que:


Bem como a variância do beta 2 estimado é dada por:

O que mantém o modelo aderente ao MELNT é a variância constante , mas, o que acontece que ela não for constante?Para verificar isso temos que analisar os resultados para dois aspectos um considerando a tendenciosidade e outro considerando a eficiência do modelo.

Quebra dos pressupostos: HeterocedasticidadeO fato de ser homocedástica ou heterocedástica não influencia na tendenciosidade do estimador (ver apêndice 3A do capítulo 3), onde , onde mesmo na presença de heterocedasticidade, em amostras grandes o estimador continua consistente, e portanto, não tendencioso.Porém a eficiência é algo que não pode ser mantido. Pois dada a presença de heterocedasticidade ele deixa de apresentar a variância mínima, ou seja, ele deixa de ser MELNT. Isso porque:

Aumenta conforme


O Método do Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)Pelo fato de o estimador deixar de ser MELNT temos que encontrar uma forma de tornar o estimador MELNT, para tanto, é utilizado o MQG. Basicamente tal método incorpora pesos ou importâncias que ajudam a explicar o comportamento da variância, ou seja, considerar o seu efeito na hora do cálculo do estimador.

Considerando a fórmula para o modelo simples:

Para facilitar o entendimento da operação algébrica vamos inserir a variável X0 que representa uma matriz vetor de 1, assim


Se conhecermos as variâncias poderemos inseri-las na equação como um peso, ou seja:

Onde o sobrescrito com asteriscos nos parâmetros indicam os estimadores do modelo transformado, para podermos distingui-los dos parâmetros do modelo do MQO.


O que vai chamar a atenção é o erro transformado, vamos verificar como ficam sua variância após a transformação:

Ou seja, passamos a provar que a variância do modelo do MQG é uma constante, ou seja, torna-se homocedástico.Conservando as hipóteses do modelo clássico de regressão linear, assim, se aplicarmos o MQO no modelo transformado, ele irá gerar os MELNT.


Assim e são MELNT e não se tratam dos estimadores de MQO e .Podemos verificar, portanto, que o MQG são os MQO nas variáveis transformadas que satisfazem as hipóteses padrão de Mínimos Quadrados.Podemos, assim como realizado o procedimento para MQO, encontrar o resíduo mínimo para a função transformada, considerando, portanto:

Para obter o MQG temos que minimizar os resíduos, logo


Para o o estimador de MQG será:

E a variância será:

Onde


Podemos então verificar que a diferença entre o MQO e o MQG é dada pela presença de um termo ponderado visualizado pela soma ponderada dos quadrados dos resíduos , que tem um papel de peso, no entanto, os resultados de ambos (MQO e MQG) chegam a mesma conclusão de que os resíduos são homocedásticos.

A diferença entre o uso das duas situações pode ser observado no próximo diagrama de dispersão. Nos MQO, cada associado aos pontos A, B e C receberá o mesmo peso quando da SQR for minimizada. É claro que, nesse caso, a associada ao ponto C dominará a SQR. Já nos MQG, a observação extrema C receberá um peso relativamente menor que as outras duas observações.


Consequências de usar MQO na presença de heterocedasticidadeA regra aqui é verificar e responder o que acontece quando os nossos estimadores não são eficientes.Vamos para essa dinâmica, continuar utilizando o e a sua respectiva fórmula da variância (sabendo da existência da hetero), que considera a presença da heterocedasticidade. O grande problema é que mesmo conhecendo a variância não podemos estabelecer um intervalo de confiança e muito menos realizar os testes t e F, pois os intervalos de confiança baseados na estimativa do são menores, isso porque é possível mostrar que .


O grande problema é considerar a estimação por MQO e desconsiderar a heterocedasticidade. Em primeiro lugar, é um estimador TENDENCIOSO da , isso porque na média ele sobrestima ou subestima a variância, e, em geral, não podemos dizer se o viés é positivo (sobreestimação) ou negativo (subestimação), pelo fato de isso depender da natureza da relação entre e os valores assumidos pela variável explanatória X, como observado pelo termo do denominador da fórmula da variância.O viés surge do fato de o valor de dado por , não ser mais um estimador NÃO TENDENCIOSO deste último quando a heterocedasticidade está presente.


Caso persistamos no uso dos procedimentos comuns de teste apesar da hetero, quaisquer que sejam as conclusões a que chegamos ou as inferências que fizermos poderão ser equivocadas.Para termos um entendimento melhor do que ocorre, vamos verificar um estudo de Monte Carlo conduzido por Davidson e MacKinnon, eles consideram o seguinte modelo simples, que em nossa notação é:

Os autores pressupõem que e e . Como mostra a última expressão, os autores supõem que a variância de erro seja heterocedástica e relacionada ao valor do regressor X com poder . Se por exemplo, =1, a variância do erro é proporcional ao valor de X, caso seja =2, a variância do resíduo será proporcional ao quadrado do valor de X e assim por diante.


Baseado em 20 mil réplicas e permitindo vários valores para , eles obtêm erros padrão dos dois coeficientes de regressão usando os MQO (com ), MQO permitindo a heterocedásticidade (onde ), e o MQG ( com )Os resultados foram obtidos por cada peso de .


Os autores observaram que sempre o MQO sobrestima o MQG (ou seja, sempre suas variâncias serão maiores que o MQO), tanto para o intercepto quanto para o coeficiente angular.Com isso a conclusão é que e na presença da heterocedasticidade são os MQG e não os MQO os MELNT.


Detecção da HeterocedasticidadeVamos observa alguns procedimentos práticos que ajudam na detecção da heterocedasticidade. Para dados socioeconômicos é mais difícil a detecção pois não temos controle da amostra, dessa forma temos muitas vezes que fazer uso da intuição, informações preexistentes, experiência empírica e muitas vezes mera especulação.Tendo em vista esses pontos, vamos observar alguns métodos informais e formais para a detecção da hetero.


Os métodos informais: consistem basicamente verificar o comportamento dos resíduos ao quadrado contra o valor estimado de Y . Algum comportamento sistemático entre essas duas relações pode nos ajudar a concluir pela existência da heterocedasticidade na regressão.

A seguir podemos observar algumas situações gráficas que indicam a existência ou não de um comportamento sistemático entre essas duas variáveis.



Esse comportamento pode ser observado também entre os resíduos e as variáveis independentes X. Caso o resíduo ao quadrado tiver alguma relação sistemática com alguma variável independente, é um indicativo forte da presença de heterocedasticidade na regressão.



Métodos formais: Tratam-se dos testes para verificação da existência ou não da heterocedasticidade. São testes que são realizados com base nos resíduos da regressão. A grande maioria parte do pressuposto que na regressão existe homocedasticidade, portanto, a hipótese nula do teste consiste em:

Aqui será abordado apenas 3 testes, a ideia é entender a dinâmica de cada um deles.


Teste de Glejser: Trata-se de um método que procura verificar a relação entre resíduos e o comportamento da variável independente X. O teste consiste em duas etapas, onde:1ª Estimar a regressão: Devemos primeiramente estimar a nossa regressão de interesse em que supõe-se ter a presenta da hetero:

2ª Etapa: Depois de estimada a regressão, pegamos o resíduo estimado na sua forma absoluta e usamos ele como variável dependente do modelo contra a variável independente do modelo anterior, no entanto, essa variável pode ser transformada conforme o comportamento dos resíduos, os modelos podem ser os seguintes:


O grande problema nesse teste são os resíduos que podem ter comportamento heterocedástico também.


As regressões com o comportamento são mais difíceis de serem estimadas por serem modelos de regressão não linear. O que inviabiliza sua estimação por MQO.

O exemplo a seguir irá fazer uso das informações sobre remuneração e produtividade e será utilizados os dados da tabela 11.1.

https://www.youtube.com/watch?v=2KHLwYeQiCs


Teste de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG): É um dos testes de heterocedasticidade mais conhecidos e utilizados. Para entende-lo é necessária a construção de cinco etapas que culminará numa análise da estatística .Para iniciar o teste vamos recorrer ao modelo de regressão com k variáveis.

Suponha que variância do erro, , seja descrita como:

Ou seja, é uma função das variáveis não estocásticas Z; alguns ou todos os X podem servir de Z. Suponha que


Onde passa a ser uma função linear de Z. Caso , e , que é uma constante. Dessa forma, para testar se é homocedástico, podemos testar a hipótese de que , esta é a ideia básica por trás do teste de BPG.Os procedimentos para a realização do teste são os seguintes:1ª Etapa: Estime por MQO e obtenha os resíduos .2ª Etapa: Devemos obter o . Que é o estimador de máxima verossimilhança de . Essa fórmula é diferente do estimador de MQO que é .3ª Etapa: Construir as variáveis que são definidas como:


4ª Etapa: Faça a regressão construída sobre os Z como

5ª Etapa: Obtenha a SQE (Soma dos Quadrados Explicada) e defina:

Pressupondo que os resíduos se distribuem normalmente, podemos demostrar que, se há homocedasticidade e se o tamanho da amostra n aumenta indefinidamente, então:


Para prática do teste BPG vamos utilizar os dados da Tabela 11.3.

Teste GERAL de Heterocedasticidade de White: É o mais dinamizado dos testes, diante dos demais testes já vistos é o que possui menos problemas, isso porque ele não necessita que o pressuposto de normalidade seja atendido (conforme ocorre com o teste BPG) e não possui nenhuma restrição quanto aos resíduos de sua regressão auxiliar tiver algum problema de heterocedasticidade.Tanto, que é baseado no teste de White que são feitas a maior parte das correções da hetero em modelos de regressão linear.

https://www.youtube.com/watch?v=jYWLD9eZswA


O teste para ser visualizado necessita passar por quatro etapas, sempre partindo do modelo de regressão onde:

1ª Etapa: Estimar a regressão acima e encontrar os resíduos estimados .

2ª Etapa: De porte dos resíduos calculamos a seguinte regressão auxiliar:

Em seguida será obtido o R2 da regressão auxiliar.

3ª Etapa: Sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade, pode-se mostrar que o tamanho da amostra (n) multiplicado pelo R2 da regressão auxiliar segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade iguais ao número de regressores (excluindo-se o intercepto – constante) na regressão auxiliar. Ou seja,


Com caso do modelo com três variáveis irá gerar na regressão auxiliar outras três variáveis, com isso teremos 5 graus de liberdade uma vez que (n-1) = (6-1)

4ª Etapa: Comparamos o valor do Qui-quadrado calculado com o valor tabelado, caso o calculado seja maior que o tabelado, teremos então a rejeição da hipótese nula, ou seja, rejeição da homocedasticidade, logo a conclui-se pela presença da heterocedasticidade.Caso ele não seja significativo, estaremos concluindo que

Ou seja, de que os resíduos são homocedásticos.


Para ilustrar o exemplo do teste de White, será feito o exemplo conforme o exercício 11.15 (pág. 349). Fazendo uso da Tabela 11.7. Também iremos executar os testes de heterocedasticidade de White e o BPG pelo Gretl.

Qual o melhor teste? Não se trata de uma decisão fácil, uma vez que tais testes baseiam-se em vários pressupostos. Ao compararmos os testes, precisamos prestar atenção ao seu tamanho (ou nível de significância), potência (a probabilidade de rejeitarmos a hipótese falsa) e a sensibilidade a discrepância (Outliers). O teste de White por exemplo é um teste que tem baixa potência contra outros testes. Já o BPG é sensível a presença da normalidade dos resíduos.

https://www.youtube.com/watch?v=gUG4wU5mqXs


Medidas corretivasVerificamos que a presença da hetero irá afetar a eficiência de nossos estimadores. Podemos aplicar medidas corretivas levando em conta dois aspectos, quando conhecemos a variância () e quando não a conhecemos.

Conhecido: uso dos Mínimos Quadrados Ponderados.Quando aplicamos o MQP corrigimos a heterocedasticidade, tornando os estimadores MELNT. A melhor forma de verificar o procedimento (que já foi utilizado em outra oportunidade) e verificá-lo na prática. Para tanto, será usado o exemplo da Tabela 11.1 conforme exemplo 11.7 da página 336.

https://www.youtube.com/watch?v=1-xCtN1Rr7Y


DesonhecidoQuando o valor da variância do erro é desconhecida é possível fazer uma correção através de mudanças das matrizes de variância e covariância (var-cov). O processo mais conhecido é a correção de White.Mas antes é interessante falar em como se da essa correção, e mostrar no Gretl como essa correção procede.

A correção de White na verdade ocorre com a inserção da matriz de pesos de White no cálculo da variância do estimador, onde:


O termo são os resíduos da regressão auxiliar de White, como antes verificado para o modelo de três variáveis:

A forma matricial de se mostrar esse regressor é:

Essa primeira matriz é o termo do Gretl usado para a correção de White.Para o HC1 teremos uma correção na matriz de White pelo grau de liberdade onde:


Para o termo HC2 teremos será feita uma correção ortogonal cuja expectativa dos resíduos será dada por:

O HC3 é uma versão com a correção Jackknife, onde na verdade há uma sobrecorreção dada por:


Vamos verificar o processo de correção de White no Gretl utilizando o exemplo da Tabela 11.5 sobre dados de inovações na América Latina, que encontra-se dentro do exemplo 11.10 da página 342.

https://www.youtube.com/watch?v=sTjf0bgSlKQ


Uma Advertência: Segundo John Fox“Só vale a pena corrigir variâncias desiguais do erro somente quando o problema for grave. O impacto da variância do erro não constante sobre a eficiência do estimador de MQO e na validade da eficiência dos MQO depende de vários fatores, inclusive do tamanho da amostra, do grau de variação no , da configuração dos valores de X [regressor – ou variáveis independentes] e da relação entre a variância dos erros e os X. Portanto, não é possível chegar a conclusões gerais a respeito dos danos produzidos pela heterocedásticidade.”

FIM DO TÓPICO 4

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