ESEMPIO DI ANALISI DI UN OSCILLATORE SEMPLICE Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè - 26/10/2013 Analizzare il comportamento di un'oscillatore semplice avente rigidezza pari a 939.06 kN/mm, massa pari a 12000 kg e soggetto ad una forza armonica verticale pari a 100 kN. Descriverne il comportamento dinamico in termini di spostamento verticale, assumendo inizialmente smorzamento del sistema pari al 2% dello smorzamento critico e poi uno smorzamento viscoso lineare dell'oscillarore pari a 0.63 kNs/mm (a 50 Hz). A seguito di ciò, analizzare il medesimo oscillatore considerando rigidezza e smorzamento viscoso lineare, variabili in funzione delle frequenza. Dati di input: Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06 kN mm ⋅ := Forza armonica verticale: F v 100 kN ⋅ := Massa vibrante: m v 12000 kg ⋅ := Periodo proprio di vibrazione: T 0 2 π ⋅ m v k ⋅ 0.02246 s = := Frequenza propria di vibrazione: f 0 T 0 1 - 44.52216 Hz ⋅ = := Pulsazione propria di vibrazione: ω 0 2 π ⋅ f 0 ⋅ 279.74 rad s ⋅ = := CASO A - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari al 2%: Rapporto di smorzamento: ξ A 0.02 := Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " f A "): u z_real_A f A ( 29 F v k 1 2 π ⋅ f A ω 0 2 - 1 2 π ⋅ f A ω 0 2 - 2 2 ξ A ⋅ 2 π ⋅ f A ω 0 ⋅ 2 + ⋅ := Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento: u z_imm_A f A ( 29 F v k 2 - ξ A ⋅ 2 π ⋅ f A ω 0 ⋅ 1 2 π ⋅ f A ω 0 2 - 2 2 ξ A ⋅ 2 π ⋅ f A ω 0 ⋅ 2 + ⋅ :=
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05_Dinamica_ Esempio di Oscillatore semplice smorzato e FDL.pdf
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ESEMPIO DI ANALISI DI UN OSCILLATORE SEMPLICERedattore: Dott. Ing. Simone Caffè - 26/10/2013
Analizzare il comportamento di un'oscillatore semplice avente rigidezza pari a 939.06 kN/mm, massa pari a 12000kg e soggetto ad una forza armonica verticale pari a 100 kN. Descriverne il comportamento dinamico in termini dispostamento verticale, assumendo inizialmente smorzamento del sistema pari al 2% dello smorzamento critico e poi uno smorzamento viscoso lineare dell'oscillarore pari a 0.63 kNs/mm (a 50 Hz). A seguito di ciò, analizzare ilmedesimo oscillatore considerando rigidezza e smorzamento viscoso lineare, variabili in funzione delle frequenza.
Dati di input:
Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06kN
mm⋅:=
Forza armonica verticale: Fv 100 kN⋅:=
Massa vibrante: mv 12000 kg⋅:=
Periodo proprio di vibrazione: T0 2 π⋅mv
k⋅ 0.02246s=:=
Frequenza propria di vibrazione: f0 T01−
44.52216 Hz⋅=:=
Pulsazione propria di vibrazione: ω0 2 π⋅ f0⋅ 279.74rad
s⋅=:=
CASO A - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari al 2%:
Rapporto di smorzamento: ξA 0.02:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fA "):
uz_real_A fA( )Fv
k
12 π⋅ fA
ω0
2
−
12 π⋅ fA
ω0
2
−
2
2 ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_A fA( )Fv
k
2− ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
12 π⋅ fA
ω0
2
−
2
2 ξA⋅2 π⋅ fA
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
Spostamento massimo nel caso di sistema con smorzamento al 2%:
Maximize uz_magnitudo_A fA, ( ) 44.504 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_A 44.504 Hz⋅( ) 2.663 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:
La matrice di smorzamento [C] è composta da un termine MPD (mass proportional dumping α) che moltiplica lamatrice delle masse [M] e da un termine SPD (stiffness proportional dumping β) che moltiplica la matrice dellerigidezze [K]:
[C] = α[M] + β[K]
MPD ed SPD possiedono due caratteristiche opposte, rese evidenti dalla seguente formulazione:
ξn = α/2ωn + βωn/2
Lo smorzamento modale ξn relativo all'n-esima pulsazione propria ωn è costituito da un primo termine che
diminuisce iperbolicamente all'aumentare della frequenza e da un secondo termine che aumenta linearmenteall'aumentare della frequenza.Nel nostro esempio il rapporto di smorzamento ξ è fissato al 2%, pertanto per ottenere la medesima oscillazione in risonanza che si avrebbe nel dominio del tempo, è necessario che il rapporto di smorzamento istereticopossieda un valore doppio, per fare ciò il coefficiente β deve essere posto uguale al 4%.
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
CASO B1 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari zero e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:
Smorzamento viscoso lineare:
cv 0.63kN s⋅mm
⋅:=
Determinazione dello smorzamento critico:
ccrit_B 2 mv k⋅⋅ 6.7138kN s⋅mm
⋅=:=
Rapporto di smorzamento:
ξB1
cv
ccrit_B
0.0938=:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB1"):
uz_real_B1 fB1( )Fv
k
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
2
2 ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_B1 fB1( )Fv
k
2− ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
12 π⋅ fB1
ω0
2
−
2
2 ξB1⋅2 π⋅ fB1
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
Maximize uz_magnitudo_B1 fB1, ( ) 44.128 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_B1 44.128 Hz⋅( ) 0.5699 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:
- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico
Primo modo
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso nello smorzamento isteretico variabilelinearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso è costante a 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare:
ch_50Hz_B1 cv 2⋅ π⋅ 50⋅ Hz⋅ 197.92kN
mm⋅=:=
Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:
ch_40Hz_B1 ch_50Hz_B140 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 158.34kN
mm⋅=:=
ch_60Hz_B1 ch_50Hz_B160 Hz⋅50 Hz⋅
⋅ 237.5kN
mm⋅=:=
NOTA:
Gli FDL sovrascrivono interamente le proprietà assegnate al link.
NOTA:
Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.
CASO B2 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari al 2% e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:
Smorzamento viscoso lineare:
cv 0.63 skN
mm⋅=
Determinazione dello smorzamento critico:
ccrit_B 6.7138skN
mm⋅=
Rapporto di smorzamento:
ξB2 ξA
cv
ccrit_B
+ 0.1138=:=
Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB2"):
uz_real_B2 fB2( )Fv
k
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
2
2 ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
2
+
⋅:=
Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:
uz_imm_B2 fB2( )Fv
k
2− ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
12 π⋅ fB2
ω0
2
−
2
2 ξB2⋅2 π⋅ fB2
ω0
⋅
2
+
⋅:=
L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":
Maximize uz_magnitudo_B2 fB2, ( ) 43.941 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)
uz_magnitudo_B2 43.941 Hz⋅( ) 0.4708 mm⋅=
Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:
- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico
Primo modo
NOTA:
Il risultato di SAP differiscedello 0.21% rispetto aquello manuale.
Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso più lo smorzamento del s istema, nellosmorzamento isteretico variabile linearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso vale 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare e pari a:
Il risultato di SAP differisce dello 2.74% rispetto a quello manuale.
Per interpretare lo scostamento tra il calcolo manuale ed i risultati di SAP, vediamo di studiare l'andamento dellosmorzamento isteretico in funzione della frequenza:
Se l'andamento dello smorzamento viscoso è linerare, l'andamento dello smorzamento isteretico è parabolico,pertanto sarà necessario inputare su SAP più valori in modo da rispettarne il corretto andamento:
NOTA:
Ora il risultato èperfettamente analogo aquello ricavatomanualmente.