0502501 Akışkanlar Mekaniği II Yarıyıl Ders Planı Haftalar ...eng.harran.edu.tr/moodle/moodledata/19/yesilata/Ders_Notlari/FluidII_ch5full.pdf · 0502501 Akışkanlar Mekaniği

0502501 Akışkanlar Mekaniği II Yarıyıl Ders Planı

Haftalar Konular 1 Akışkan Hareketinin diferansiyel analizi 2 Hareketi Takiben Türev” kavramı ve akis denklemine uyg. 3 İki ve Üç boyutlu Akımlara ait akis denklemleri 4 NAVIER-STOKES, EULER, BERNOUILLI denklemlerinin genel turetimi 5 POTANSİYEL AKIM, İRROTANSİYEL AKIM kavramları 6 ARA SINAV-I 7 Kompleks potansiyel, Bazı Özel Akım Biçimleri: Uniform Akım, köşe İçinde Akım,

Basit Girdap, 8 Kaynak / Kuyu Duble (Dipol), Dairesel Silindir Etrafında Akım. Sürükleme ve Taşıma

Oluşumu. 9 İki Boyutlu viskoz ve kararlı akımın incelenmesi 10 GİRDAPLIK kavramı, COUETTE Akımı 11 POISEUILLE Akımı, Reynolds Sayısının akım üzerindeki etkisi 12 ARA SINAV-II 13 Dönel geometrilerde akışlar, boru sürtünme kayıpları 14 Kenar (Sınır) Tabaka Teorisi Kaynaklar

1. [Akışkanlar Mekaniği – Frank M. White – Türkçesi : Kadir Kırkköprü, Erkan Ayder Literatür Yayınevi – 2004

2. Akışkanlar Mekaniği – Habip Umur – Uludağ Üniv. Yayınları – 2001

3. Akışkanlar Mekaniği – Muhittin Soğukoğlu, Birsen Yayın Dağıtım – 1995

4. Akışkanlar Mekaniği – Haluk Örs – Boğaziçi Üniv., 1994

5. Introduction to Fluid Mechanics – Robert W. Fox , Alen T. Mc Donald, 4th Edition – John Wiley-Sons - 2001

6. Akışkanlar Mekaniği Problemleri, Hasmet Türkoğlu ve Nuri Yücel, Gazi Üniv. – 2002

Üniversite Linkleri Lehigh Mechanical Engineering http://www3.lehigh.edu/engineering/meche/ MIT Mechanical Engineering http://www-me.mit.edu Purdue Mechanical Engineering http://me.www.ecn.purdue.edu/ME/ Stanford Mechanical Engineering http://me.stanford.edu/

I/1

5. AKIŞKAN HAREKETİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ

Akışkan hareketinin integral denklemleriyle analizi akış alanının toplam davranışı

yada bu davranışın çeşitli cihazlar üzerinde etkileri önemli ise kullanılır. Fakat akış alanı

içerisinde detaylı bilgiye ihtiyaç varsa ve noktasal değerlerin bilinmesi gerekiyorsa

diferansiyel analiz kullanılmalıdır.

5.1. Kütlenin korunumu denklemi

Kütlenin korunumu yada diğer bir ifade ile süreklilik denkleminin türetilmesindeki

temel yaklaşım, dx, dy ve dz boyutlarına sahip diferansiyel bir hacim ( ∀d ) için, giren ve

çıkan kütlesel debilerin eşitliğidir. Giriş ve çıkıştaki büyüklüklere ait değerler Şekil 5.1’de

açıklanmıştır.

( ) dxxu

dxx

dxxuu

∂∂

∂∂

+

∂∂

+ρ

ρρ

Şekil 5.1. Düz yüzeyli bir diferansiyel hacme giren ve çıkan kütlesel büyüklüklerin gösterimi

Kontrol yüzeylerinden geçen Kontrol hacmi içindeki

net kütlesel debi = kütlesel debideki değişim x yönündeki net kütle akısı,

( )[ ] ( ) ( ) ( ) dxdydzxudydzdx

xuuu

∂∂

−=

∂∂

+−ρρ

ρρ

kontrol hacmi içerisindeki kütle değişimi,

( ) dxdydzt

dVt ∂

∂=

∂∂ ρρ

olduğuna göre, bir boyutlu süreklilik denklemi,

I/2

( )⇒

∂∂

=∂

∂−

txu ρρ ( ) 0=

∂∂

+∂

∂tx

u ρρ

veya denklem açılırsa;

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

xu

xtρρ

elde edilir, bu denklem bir boyuttaki en genel ‘kütlenin korunumu (süreklilik)’ denklemidir.

Bu denklemin daha basit formlarının kullanıldığı bazı özel durumlar (varsayımlar) aşağıda

incelenmektedir:

1. Kararlı akış için;

0=∂∂

+∂∂

xu

xρ

2. Kararlı ve sıkıştırılamaz ( sbt=ρ ) akış için;

sbtudxdu

=⇒= 0

Bir boyutlu akış için ‘x’ yönünde yapılan analizler diğer boyutlara genişletilirse (y ve z

yönleri), bu durumda koordinata bağlı yüzeyden geçen debilere her bir yön için birer terimin

eklenmesiyle,

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zw

yv

xu

tρρρρ

denklemi elde edilecektir. Bu denklem vektörel formda;

( ) 0~.~ =∇+∂∂ V

tρρ

( ) ( )ρρρ ∇+∇=∇ ~.~~.~~.~ VVV

( ) 0~.~~.~=∇+∇+

∂∂ VV

tρρρ

şeklinde yazılabilir. Diğer taraftan,

∇+∂∂

= ~.~VtDt

D

olduğundan, süreklilik denklemi için en yaygın kullanılan ‘üç boyutlu’ genel denklem olan,

0~.~ =∇+ VDtD ρρ

denklemi elde edilir. Bu yeni denklem, süreklilik denkleminin silindirik ve küresel

koordinatlara genişletilmesi açısından büyük önem taşır. Bu denklemin yine bazı özel

durumlar (varsayımlar) için daha basit formları mevcuttur:

I/3

1. Kararlı akış için;

( ) 0~.~ =∇ Vρ

2. Kararlı ve sıkıştırılamaz ( sbt=ρ ) akış için;

0~.~ =∇V

Süreklilik denkleminin silindirik koordinatlardaki ifadesi yukarıda verilen vektörel

denklem yardımıyla kolaylıkla bulunabilir. Silindirik koordinatlardaki yön tanımlamaları

Şekil 5.2’de gösterilmiş olup, yapılacak işlem genel denklemdeki vektörel operatörlerin,

zrr zr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ δθ

δδ θ~1~~~

zzrr VVVV δδδ θθ~~~~ ++=

tanımlamaları ile birlikte, kartezyen koordinatlardan farklı olarak, silindirik koordinatlarda

değeri ‘0’ dan farklı, aşağıdaki birim vektör türevlerini göz önüne almaktır:

rr δθδ

δδθ

θθ

~~

~~−=

∂∂

=∂∂

Şekil 5.2. Silindirik koordinatlara ait yönlerin gösterimi

Birim vektörlerin türevlerinden anlaşılacağı üzere, vektörel çarpımlar gerçekleştirilirken,

‘ θ∂∂ / ’ terimi ile işlem yaparken dikkatli olunmalıdır. Örneğin ‘θ ’ yönündeki aşağıdaki

işlemde;

[ ]

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=++∂∂

θθ

θθ

θθθθ δθθ

δθ

δθδδδδδ

θδ ~~~.

~1~1~ VVVVr

VVVr

rrr

rzzrr

( ) 1~~~~~

θθδδ

θδδ

δ θθθθθ

θ∂∂

+=

∂∂

+−+∂∂

+=V

rrVV

VVVr

rr

rrr

I/4

olacaktır. Bu durumda;

( )z

VVr

Vrrrz

VVrr

Vr

VV z

rzrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

++∂∂

=∇θθθθ 1.11~.~

ve üç-boyutlu süreklilik denklemi için;

( ) ( ) ( ) 011=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zrr Vz

Vr

Vrrt

ρρθ

ρρθ

ifadesi elde edilecektir. Denklemin daha basit hale indirgendiği özel durumlar şunlardır:

1. Kararlı ve bir-boyutlu (r yönü) akış,

( ) ( ) 001=

∂∂

⇒=∂∂

rrrr Vr

Vrr

ρρ

2. Kararlı, sıkıştırılamaz ve bir-boyutlu (r yönü) akış,

( ) ( ) sbtrVrVdrd

rr =⇒= 0 .

5.2. Hız Alanı İçerisindeki Akışkan Partikülünün İvmesi

Kartezyen koordinatlarda bir hız alanının, Şekil 5.3’de gösterilen herhangi bir t ve t+dt

anındaki vektör formu uzay ve zamanın fonksiyonu olarak;

( )

( )dttdzzdyydxxVV

tzyxVV

dttp

tp

++++=

=

+,,,~~

,,,~~

yazılabilir. Partikül hızındaki değişim yada toplam diferansiyel;

dttVdz

zVdy

yVdx

xVVd pppp ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=~~~~~

partikül ivmesi ise, bu değişimin zamana göre türevi alınarak;

{ { { tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

dtVd

a

w

p

v

p

u

ppp ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

==~~~~~

~

şeklinde bulunur. Bu son ifade vektörel formda, hareketi takip eden türev (toplam türev)

operatörü kullanılarak aşağıdaki denklemle ifade edilebilir:

{

~~~~~~

ivme Yerel ivme

Konvektifivmesi toplam

partikulun tV

zVw

yVv

xVu

DtVD

a pp ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

==444 3444 21321

I/5

Bu denklemde, son terim ( tV ∂∂ /~ lokal ivmeyi göstermekte olup, eğer akış kararlı ise, sadece

bu terim sıfıra eşittir. Diğer terimler ise konvektif ivmeye ait bileşenlerdir ve herhangi bir t

anında hareket doğrultusunda hızın değişimini karakterize eder. Konvektif ivme, partikül

düşük yada yüksek bir hız bölgesinden tersi bir bölgeye geçtiğinde gerçekleşir. Örneğin

kararlı rejimde akış halindeki bir partikülün; lüle girişi öncesi ve lüle girişi sonrasında

konvektif ivme (akış kararlılığına karşın) mevcuttur. Yerel (lokal) ivme ise ancak, kararsız

akış alanı içerisinde partikülün zamana göre hızının değişmesi ile ortaya çıkar.

Şekil 5.3. Bir akışkan partikülünün yer değiştirmesi ve yörüngesi

Toplam ivme denkleminde yer alan konvektif ivme terimleri vektörel formatta,

( )VVzVw

yVv

xVu ~~.~~~~

∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

yazılabilir. Yerel ivme teriminin eklenmesi sonucu, toplam ivmeye ait denklemin

( )VVtV

tDVDa p

~~.~~~

~~ ∇+

∂∂

==

şeklinde kullanımı yaygındır. Bu denklem yardımıyla, örneğin, bir boyutlu (x yönü) akış için

geçerli,

xVu

tVa p ∂

∂+

∂∂

=~~

~

denklemi elde edilir. Diğer taraftan, ivme vektörel bir büyüklük olduğundan skaler bileşenleri

cinsinden,

pzzpyypxxp aaaa δδδ ~~~~ ++=

I/6

şeklinde yazılabilir. Skaler bileşenlerin, x, y ve z doğrultusundaki açılımları aşağıdaki

verilmektedir:

zww

ywv

xwu

tw

DtDwta

zvw

yvv

xvu

tv

DtDvta

zuw

yuv

xuu

tu

DtDuta

pz

py

px

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

)(

)(

)(

Silindirik koordinatlarda ivme ifadesini yazabilmek için denklemi oluşturan vektörel

operatörlerin söz konusu koordinatta açılımı gereklidir. Hız ve nabla (gradyan) operatörleri,

[ ] ~zzrr VVVV δδδ θθ ++=

zrr zr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ δθ

δδ θ~1~~~

kullanılarak toplam ivme denklemi,

tV

zVVV

rV

rVV

DtVDa zrp ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

==~~~~~

~θ

θ

şeklinde bulunur. Skaler bileşenleri cinsinden,

pzzpprrp aaaa δδδ θθ~~~~ ++=

denklemiyle ve ‘r’ doğrultusundaki skaler bileşen ise,

( )t

Vz

VVVVr

Vr

VVDtVDa rr

zrrr

rr

pr ∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

== θθθ δδ

θ~~~

~

işleminin yapılması sonucu;

trV

zrV

zVr

VrVr

VrrV

rVpra∂

∂+

∂

∂+−

∂

∂+

∂

∂=

2θθ

θ

denklemiyle ifade edilir.

Türetilen bu denklemler, akış alanı içerisinde herhangi bir yerde partikül ivmesini

‘Eulerian’ yaklaşımına göre tanımlamaktadır. Yani sabit bir koordinat sistemi referans

alınarak, akışkan partikülü izlenmektedir. ‘Lagrangian’ yaklaşımında ise akışkan partikülünün

pozisyon, hız ve ivmesi zamanın fonksiyonu olarak tanımlanır. Bu durumda referans alınan

koordinat sistemi, akışkan partikülü ile birlikte hareket etmektedir. Yaklaşımların farklılığına

karşın, ulaşılan sonuçlar aynıdır.

I/7

5.3. Akışkan parçacığının kinematiği

Tanımlanmış bir kütlesi olan sonsuz küçük bir akışkan parçacığını göz önüne

aldığımızda, karşı karşıya kaldığı yer değiştirme ve şekil değiştirme (deformasyon) türleri

Şekil 5.4’de gösterilmiştir.

şekil değiştirme

yer değiştirme

Şekil 5.4. Bir akışkan partikülünün karşı karşıya kaldığı yer ve şekil değiştirme türleri

5.3.1 Lineer yer değiştirme (öteleme)

Lineer yer değiştirme (öteleme), bir akışkan parçacığının en basit hareketi olup;

parçacığı oluşturan tüm noktalarda hızlar eşittir. Parçacık hız gradyanı olmadan Şekil 5.5’de

gösterildiği gibi, katı bir cisme benzer şekilde öteleme hareketi yapar. Hareket sonrasında,

tüm köşelerdeki yer değiştirme mesafeleri; tvtu δδ = ifadesine uygun olacak şekilde eşittir.

Şekil 5.5. Bir akışkan partikülünün lineer (doğrusal) yer değiştirmesi

I/8

5.3.2 Açısal yer değiştirme (dönme veya rotasyon)

Bir akışkan parçacığının açısal olarak yer değiştirmesi, parçacığın farklı noktaları

arasında bir hız gradyanı bulunması sebebiyle ortaya çıkar. Birim zamandaki açısal yer

değiştirme miktarının (rotasyon) hesaplanabilmesi için, partikülün karşılıklı olarak birbirine

dik iki ekseninin ortalama açısal hızının bulunması gerekir. Bu amaçla Şekil 5.6’da gösterilen

akışkan partikülünün merkezinde bulunan ‘o’ noktasının hızını,

yx vuV δδ ~~~0 +=

ile gösterirsek; ‘a’ noktasındaki hız Taylor serisi açılımı kullanılarak

xxvvva ∆∂∂

+=

şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda, ‘oa’ çizgisinin rotasyonu sonrası akışkan açısal hızı;

tx

t ttoa ∆∆∆

=∆∆

= →∆→∆/limlim 00

ηαω

olduğundan,

txxvtvvtv a ∆∆∂∂

=∆−=∆∆=∆ )(.η

eşitliği kullanılarak;

xv

oa ∂∂

=ω

elde edilir. Dönme yönü için saatin ters yönü pozitif işaretli kabul edilerek, “ob” ekseninin

açısal hızı aynı yöntemle hesaplanırsa;

yu

ob ∂∂

−=ω

sonucuna ulaşılacaktır. Bir akışkan partikülünün rotasyonu, partikülün karşılıklı olarak

birbirine dik iki ekseninin ortalama açısal hızı olarak tanımlandığından, göz önüne alınan

partikülün ‘z’ ekseni etrafındaki rotasyonu, her ikisi ‘z’ eksenine ve birbirlerine dik olan “oa”

ve “ob” eksenlerinin ortalama açısal hızına eşit olacaktır. Tanıma uygun olarak,

( )oboaz ωωω +=21

yazıldığında, ‘z’ ekseni etrafındaki rotasyon için geçerli

∂∂

−∂∂

=yu

xv

z 21ω

ifadesine ulaşılır.

I/9

Şekil 5.6. Bir akışkan partikülünün dönme miktarının belirlenmesi

Benzer şekilde diğer eksenler (x ve y) etrafındaki rotasyonlar için aşağıdaki denklemler

geçerlidir:

∂∂

−∂∂

=

∂∂

−∂∂

=xw

zu

zv

yw

yx 21 ,

21 ωω .

Üç eksendeki rotasyon bileşenleri kullanılarak, rotasyon vektörü ( zzyyxx ωδωδωδω ~~~~ ++= )

için,

~~21~ Vx∇=ω

bağıntısının geçerli olduğu görülür. Literatürde rotasyon yerine; aşağıda verilen ve rotasyonun

iki katına eşit olarak tanımlanan vortisity (girdap) vektörü daha yaygın olarak

kullanılmaktadır:

Vx ~~~2 ∇== ωζ

Fiziksel anlam itibariyle; rotasyon olmadan hareket eden bir akışkan partikülünün,

sadece ağırlık ve basınç kuvveti etkisi altında rotasyon üretmesi mümkün değildir. Diğer bir

ifade ile; başlangıçta rotasyon olmayan bir akışta, rotasyon ancak (ani uygulanan) kayma

gerilmesiyle ortaya çıkar. Kayma gerilmesi ile açısal deformasyon arasındaki oran ise

viskozite ile ilişkilidir ve bu nedenle akışta viskoz etkiler söz konusu ise akış aynı zamanda

rotasyoneldir.

Rotasyon ile ilişkili diğer bir büyüklük ise ‘sirkülasyon’ olup, bir akışkan

partikülünün kapalı bir eğri boyunca dönme miktarını belirlemede kullanılır. Sirkülasyon

matematiksel olarak; akış içerisinde kapalı bir eğri üzerinde teğetsel hız bileşeninin, çizgisel

integrali şeklinde ifade edilir ve,

I/10

∫=ΓC

SdV ~.~

denklemiyle hesaplanır. Rotasyon ile arasındaki ilişki ise; iki boyutlu bir akış göz önüne

alındığında,

dAVxdAA A

zz∫ ∫ ∇==Γ )~~(2ω

şeklindedir.

5.3.3. Lineer şekil değiştirme (doğrusal deformasyon)

Lineer deformasyon sırasında akışkan elementinin geometrik yapısı, Şekil 5.7’de

gösterildiği gibi, bozulmadan aynen kalır. Lineer deformasyon akışkan elementi içerisinde bir

hız gradyanı bulunması durumunda ortaya çıkar ve akışkan hacminde bir değişime sebep olur.

Şekil 5.7. Bir akışkan partikülünün lineer şekil değişimi

Akışkan elementinin uzunluğunda herhangi bir eksen için değişim; ancak o eksendeki

hızının, aynı koordinata göre değişiminin “0”dan farklı olmasıyla gerçekleşir. Örneğin ‘x’

yönünde boyutla bir değişim için ‘ xu ∂∂ / ’ değeri “0”dan farklı olmalıdır. Uzamayı temsil

eden bu durum için bir ‘∆t’ zaman aralığındaki hacimdeki değişim,

tzyxxu

∆∆∆

∆∂∂

=∀∆

olacaktır. Akışkan elementinin birim hacim başına, hacmindeki değişim oranı ise,

xu

t

txu

dtd

t ∂∂

=

∆

∆∂∂

=∀∆

∀∆ →∆ 0lim)(1

I/11

şeklindedir. En genel hal için her üç boyuttaki (x, y ve z) bileşenler birlikte düşünüldüğünde,

zw

yv

xuV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ~.~

denklemine ulaşılır. Süreklilik denklemi uyarınca, sıkıştırılamaz akış için hacimsel değişim

değerinin “0” olduğuna dikkat edilmelidir.

5.3.4. Açısal şekil değiştirme (açısal deformasyon)

Açısal deformasyon Şekil 5.8’de gösterildiği gibi, akışkan içerisinde birbirine dik iki

eksen arasındaki açının değişmesidir. Akışkan elementinin dönmesi (rotasyonu), açısal bir

şekil değişimini de beraberinde getirir.

Şekil 5.8. Bir akışkan partikülünün açısal deformasyonu

Açısal deformasyon miktarının (açıdaki azalmanın) hesabı için, Şekil 5.9’da verilen,

parametreler göz önüne alındığında (rotasyon miktarının belirlenmesinde kullanılan

yaklaşıma benzer şekilde),

dtd

dtd

dtd βαγ

+=−

yazılabilir. Çok küçük açı değerleri söz konusu olduğundan, açısal deformasyon miktarı için,

yu

xv

z ∂∂

+∂∂

=− γ&

elde edilir. Denklemdeki negatif işaret açıdaki azalmayı, ‘z’ indisi ise açısal deformasyonun

‘z’ ekseni etrafındaki bileşenini temsil etmaktadir. Açısal yer ve şekil değiştirmelerin her ikisi

de aynı tip hız gradyanı ile ortaya çıkmaktadır. Genel olarak, akışın viskoz olduğu

durumlarda, hem rotasyon hem de açısal deformasyon söz konusudur.

I/12

Şekil 5.9. Bir akışkan partikülünün açısal deformasyonunun belirlenmesi.

5.4. Momentum denklemi ve türetimi

Newton’un ikinci kuvvet kanunu “dm” kütlesine sahip sonsuz küçük bir elemente

uygulanması sonucu elde edilen;

sistemdtVddmFd~~ =

denklemde, dtVd /~ teriminin bir hız alanı içerisinde hareket eden partikül için ifadesi

DtVD /~ ’dir. Bu durumda, diferansiyel kuvvet için,

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

===tV

zVw

yVv

xVudm

DtVDdmadmFd t

~~~~~~~

yazılabilir. Ancak momentum denkleminin tam olarak ifadesi için, akışkan partikülüne

etkiyen tüm kuvvetlerin dikkate alınması gereklidir. Bir akışkan partikülüne ‘x’ koordinatı

doğrultusunda etkiyen yüzeysel kuvvetler Şekil 5.10’da gösterilmiştir.

∆x∆y

∆z

xxxσ xxxx ∆+σ

zzxτ

zzzx ∆+τ

yyxτ

yyyx ∆+τ

zxy

∆x∆y

∆z

xxxσ xxxx ∆+σ

zzxτ

zzzx ∆+τ

yyxτ

yyyx ∆+τ

zxyzxy

Şekil 5.10. Bir akışkan partikülüne etkiyen yüzey kuvvetleri

I/13

Yüzeysel kuvvetlere ek olarak, akışkan elementine etkiyen hacimsel ağırlık kuvveti

söz konusu olup, toplam etkiyen kuvvet;

Toplam kuvvet = Yüzey Kuvvetleri + Ağırlık (Hacim) Kuvveti

Bs FdFdFd ~ ~ ~+=

olacaktır. ‘x’ yönü için momentum denklemini türetiminde, kütle için

dxdydzddm ρρ =∀=

ve yüzeysel kuvvet bileşenlerinin net değerleri için,

dydzdxx xxxx

xx

−∂

∂+ σ

σσ ; dxdzdy

x yxyx

yx

−

∂

∂+ τ

ττ ; dxdydz

x zxzx

zx

−

∂∂

+ ττ

τ

bağıntıları dikkate alınırsa; yüzeylere etkiyen net kuvvet toplamı,

∀

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

∂∂

+

∂

∂+

∂∂

=

dzyx

dF

dxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

dF

zxyxxxs

zxyxxxs

x

x

ττσ

ττσ

olacaktır. Ağırlık kuvveti ise,

∀= dgdF xBx ρ

şeklindedir. Bu durumda ‘x’ yönü için momentum denklemi,

xxzxyxxx

Bsx addgzyx

dFdFdFxx

∀=∀

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=+= ρρττσ

veya

xzxyxxx

x gzyx

a ρττσ

ρ +∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

denklemleriyle ile ifade edilir. Toplam ivme tanımından yararlanılarak aynı denklem;

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

+

zuw

yuv

xuu

tu

DtDu

zyxg zxyxxx

x

ρ

ρττσ

ρ

.

Momentum denklemi ‘y’ ve ‘z’ koordinatları için aynı yöntemle türetileceğinden, vektörel

formatta tek denklemle ifade edilmesi büyük kolaylıklar sağlar. Ancak bu durumda analiz

edilen akışkana (Newtonyan veya Newtonyan olmayan gibi) göre denklemdeki gerilme-şekil

değiştirme ilişkisinin bilinmesi gereklidir. Momentum denkleminin en genel hali vektörel

formda aşağıdaki şekilde yazılabilir:

I/14

gDtVD ~~~.~~

ρτρ +∇=

5.4. Sıkıştırılamaz Newtonyan Akışkan için momentum ( Navier – Stokes ) denklemi

Momentum denkleminin problem çözümlerine uygulanabilmesi için yukarıda

bahsedildiği üzere, gerilme (stres) ifadesinin hız ve basınç alanları ile ilişkilendirilmesi

gerekir. Akışkan türüne uygun olarak değişen bu ifadeler “Bünye Denklemleri” olarak

adlandırılır. Literatürde lisans eğitimi için genellikle “Newtonyan Akışkan” için türetilmiş

bünye denklemi kullanılır. Newtonyan akışkan için bünye denklemi;

( )( )IVxIP~~~.~

32~~~~ ∇−++−= µγµτ &

şeklindedir. Bu ifadede ilk terim termodinamik basıncı, ikinci terim deformasyonu, üçüncü

terim ise sıkıştırılabilirlik etkisini temsil eder. Lisans seviyesinde genellikle sıkıştırılamaz

akışkanlar ile uğraşıldığından son terim sıfıra gider. Bu durumda sıkıştırılamaz Newtonyan

akışkan için bünye denklemi,

VIPIP ~~~~~~~~ ∇+−=+−= µγµτ &

şeklini alır. Stres tensörünü oluşturan bileşenlerin “x” yönündeki açılımları şu şekildedir:

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+−=

xw

zu

xv

yu

xuP

zx

yx

xx

µτ

µτ

µσ

Newtonyan akışkanlar için stres matrisi simetrik olduğundan ( xyyxxzzx ττττ == ; ) diğer

yönlerdeki (y ve z) bileşenlerde kolaylıkla yazılabilir. Momentum denkleminde bulunan

stresle ilişkili diferansiyellerin açılımı yapıldığında; sıkıştırılamaz Newtonyan akışkan için,

2

2

2

2

2

2

zu

z

yu

y

xu

xP

x

zx

yx

xx

∂

∂=

∂∂

∂

∂=

∂

∂∂

∂+

∂∂

−=∂

∂

µτ

µτ

µσ

bağıntıları elde edilir. Bu durumda, “x” bileşeni için momentum denklemi aşağıdaki şekilde

yazılır:

I/15

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xPg

DtDu

x µρρ

Bu denklem her üç boyutu kapsayacak şekilde vektörel formda,

{ {

444 3444 21

321

43421

321

Kuvvetler Yuzeysel

St.) (TegetselG. Kayma

2

St.) (NormalKuv. Basinc

Kuvvetleri Hacim

Kuvvetleri Yercekimi

IvmesiAkiskan

~~~~

VpgDt

VD∇+∇+= µρρ

şeklinde ifade edilir. Bu son denklem, Akışkanlar Mekaniği uygulamalarında en yaygın

kullanılan momentum denklemi olup, Navier-Stokes (N-S) denklemi olarak isimlendirilir. N-

S denkleminin daha basit formlarını göstermek üzere aşağıda örnekler verilmektedir.

a) Bir-boyutlu (x yönünde) akış

2

2

xu

xpg

xuu

tu

x∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂ µρ

b) Bir boyutlu (x yönünde), kararlı ve sadece “z” yönünde yerçekimi mevcut olan akış

2

2

dxud

dxdp

dxduu µ+−=

c) Üç-boyutlu, sürtünmesiz ( 0=µ ) akış

~~~

pgDtVD

∇−= ρρ ……… Euler denklemi

c) Bir boyutlu (x yönünde), kararlı ve sürtünmesiz ( 0=µ ) akış

dxdpg

dxduu x −= ρ

veya

dxgdpudu xρρ

=+ ……(Bernoulli Denklemi)

© Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.

I/16

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (5. BÖLÜM)

PROBLEM 1 Aşağıda verilen hız profillerini göz önüne alarak akışın iki boyutlu ve sıkıştırılamaz olma şansını değerlendiriniz? a) ( )yyxxvyxu 2 ; 2 2322 −−=+=

b) ytxt vy xtu −=+= 2;2

c) ( ) ( )ytyxvxtyxu −=+= 2 2

d) 222 2 2 xyxyvyxxyu +−=+−=

ÇÖZÜM

İki boyutlu ve sıkıştırılamaz akış için:

( ) 0z

; ,~~=

∂∂

= yxVV

0 0 ; =∂∂

=∂∂

=lt

c ρρρ

olduğundan, süreklilik denklemi;

( ) ( ) ( ) 00 =

∂∂

+∂∂

⇒=∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂yv

xu

tzw

yv

xu

ρρρρρ

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

olmalıdır.

a)

( )

( )( ) 0224

22 4

2 2 2322

≠−+

−=∂∂

=∂∂

−−=+=yxx

yxyvx

xu

yyxxvyxu..........olamaz

b)

04

2 2

=

=∂∂

=∂∂

−=+=t-t

-tyv x

xu

ytxtvy xtu..........olabilir

c)


I/17

( ) ( )

=∂∂

+=∂∂

−=+=

ytxt-yvytxt

xu

ytyxvxtyxu

22 22

2 2 02222 ≠−++ ytxtytxt ..........olamaz

d)

02222 22 22

2 2 222

=−+−

−=∂∂

−=∂∂

+−=+−=yxxy

yxyvxy

xu

xyxyvyxxyu..........olabilir

PROBLEM 2 Kararlı, sıkıştırılamaz, iki boyutlu bir akış alanında,

xAu = ve (A=2 m2/s )

olarak verilmektedir. Hızın “y” yönündeki bileşeni için en basit ifadeyi türetiniz? ÇÖZÜM

0~.~=

∂∂

+∇t

V ρρ

Kararlı: 0=∂∂θ

İki boyutlu 0=∂∂z

Sıkıştırılamaz 0=∂∂

tρ

( ) ( ) 00 =∂∂

+∂∂

⇒=∂∂

+∂∂

yv

xuv

yu

xρρ

xu

yv

∂∂

−=∂∂ ( )

2

21

−− =

∂∂

−xAAx

x

( )

( )xfyxA

xfdyxAyxv

+=

+−=

−

−

2

2),(

2

2

en basit komponent için 0)( =xf

( )2

,x

yAyxv =


I/18

PROBLEM 3 İki boyutlu bir akışta (radyal koordinatlar);

θδθδθπ

~sin~cos2

~ UUr

gV r −

+=

şeklinde verilmiş ise;

a) Hız alanının sıkıştırılabilir olduğunu gösteriniz?

b) Durma noktasını tespit ediniz?

ÇÖZÜM

a)

( ) 011=

∂∂

+∂∂

θθV

rrV

rr r

[ ] 0=∂∂

+∂∂

θθV

rVr r

0=∂∂

+∂∂

+θθV

rVrV r

r

0cos02

cos2 2 =−

+−+

+ θ

πθ

πU

rgrU

rg

0cos2

cos2

=−−+ θπ

θπ

Ur

gUr

g

b)

θθπ

sincos2

0~ UUr

gV =+⇒= veya

( )g

UrrUgVr

θπθπ

cos2cos2

0 =⇒=⇒=

πθθθθ m veya00sin0sin0 =⇒=⇒=⇒= UV

PROBLEM 4 “ θr ” düzleminde sıkıştırılamaz akış için,

2cosr

Vrθ∧

−= olarak verilmektedir.

a) θV için mümkün olan ifadeyi türetiniz?

b) θV için mümkün olan kaç çözüm vardır?


I/19

ÇÖZÜM

a)

( ) ( ) ( ) 011=

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

tV

zV

rrV

rr zrρρ

θρ

ρ θ

0=∂∂

+∂∂

+θθV

rVrV r

r

( )( )32 2coscos −−∧+

∧−=

∂∂

rrr

Vθθ

θθ

222cos3cos2cosrrr

θθθ ∧−=

∧−

∧−=

( ) ( )rfdr

rV +∧

−= ∫ θθθθ 2cos3,

( ) ( )rfr

rV +∧

−= 2sin3, θθθ

b)

f(r) keyfi bir fonksiyon olduğundan her bir f(r)seçimine karşılık gelen bir Vθ olacağından

çözüm sayısı sonsuzdur.

PROBLEM 5 Laminar sınır tabaka için,

21x

ycUu = olduğuna göre;

a) y yönündeki hız bileşeni için en basit ifadeyi bulunuz?

b) mm5=δ ve mx 5,0= için max

uv değerini bulunuz?

ÇÖZÜM

İki boyutlu – sıkıştırılamaz akış için;

2/3210

x

ycUxu

yv

yv

xu

=∂∂

−=∂∂

⇒=∂∂

+∂∂

( )xfdycUyxv +=∂ − 2/121


I/20

( )xfx

ycUv +=2/3

2

41

eğer 00 =⇒= vy olduğundan ( ) 0=xf

xy

x

ycUv2/14

1=

xy

uv

41

=

eğer δ=y

xuv

uv δ

41

max=

→

PROBLEM 6 Şekilde gösterilen paralel diskler arasındaki akış için; Hız teğetsel yönde olduğuna ( )0≠θV , cidarda kayma olmadığına ve hız “z” koordinatı ile lineer değiştiğine göre, hız alanı için uygun formülü türetiniz ve kayma gerilmesini bulunuz? ÇÖZÜM

Genel hız vektörü

zzrr VVVV δδδ θθ~~~~ ++=

( )zrVV ,,θθθ =

Ancak simetri söz konusu olduğundan ;

( )zrVV ,θθ =

Hız “z” yönünde lineer değiştiğinden;

( ) ( )rfz

VcrzfV =

∂∂

⇒+= θθ

Eğer 0000 =⇒+==⇒= ccVz θ

Eğer ( ) ( )hrzV

hrrfrhfrVhz ωωω θθ =⇒=⇒==⇒=

θδω ~~hzrV =


I/21

h

zr

Vz

ωµµτ θθ =

∂∂

=

r

Vr ∂

∂= θ

θ µτ

PROBLEM 7

Silindirik koordinatlarda θδδ ~~~rA

rAV r += olarak veriliyor. Bu sıkıştırılamaz bir akış mıdır?

ÇÖZÜM

rAVV r ==θ

Süreklilik denklemi (sıkıştırılamaz akış için)

( ) 01=

∂∂

+∂∂

θθV

rVrr r

⇒=

∂∂

+

∂∂ 0

004342143421 rA

rAr

r θsıkıştırılamaz

PROBLEM 8 Aşağıda verilen hız profili için;

112

25.0 ~2

~~ −−=−= smAyAAxyV yx δδ

a) Akış sıkıştırılabilir midir? b) Akışkan partiküllerinin (x,y)=(2,1) noktasındaki ivmesi nedir?


I/22

ÇÖZÜM

a)

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tzw

yv

xu ρρρρ

0=−=∂∂

+∂∂

yy AAyv

xu ………….sıkıştırılamaz

b)

2

22 xyAyuv

xuua px =

∂∂

+∂∂

=

2

32 yAyvv

xvua py =

∂∂

+∂∂

=

ypyxpxp aaa δδ ~~+=

⇒

==

21

yx

2

2

m/s 0313.0

m/s 0625.0

=

=

py

px

a

a

PROBLEM 9 Bir difüzörde alanın “x” yönündeki değişimi ( ) axeAxA 1= olarak verilmektedir (A1:Giriş alanı ). Her kesitte üniform bir akış söz konusu olduğuna göre;

a) Hız ve alan değişimini çiziniz?

b) İvme için denklem türetiniz?

ÇÖZÜM

a)

axeV

AAVVVAAV 1

111

11 ==⇒=

axax eVVeVV −− =⇒=1

1


I/23

b) axeVVu −== 1

( ) axaxaxx eaVeaVeV

xuua 22

111−−− −=−=

∂∂

=

PROBLEM 10 Kararlı – iki boyutlu bir akış için,

yx AyAxV δδ ~~~ −= …………….(A=1s-1) olarak verilmektedir.

a) ( ) ( )tfytfx pp 21 ve == için formül türetiniz?

b) ( )

= 2,

21, 00 yx ’den ( ) ( )

=

21,2 ve1,1, yx noktasına bir partikülün ulaşması için gerekli

süreyi bulunuz?

c) İvme vektörünü bulunuz?

ÇÖZÜM

a)

cAxAdtx

dxdtAxdtudx

dtdx

u tpp

pppp

pp +=⇒=⇒==⇒= ln

( )tfexcxt

ecxAt

p

Atp

1*

*

21

21

210

==

=⇒=⇒=

=

Benzer şekilde,

( )tfey Atp 22 ==⇒ −

b)

( ) ( )1,1, =yx ’e ulaşmak için geçen süre;

=⇒=⇒

=⇒=⇒

− ste

ste

At

At

693.021

693.0211

her ikisi de eşit.

( )

=

21,2, yx için benzer şekilde

st 39.1=⇒


I/24

c)

12

0

120

202

2fA

xfAxeAx

dt

xda atp

px ====

22

2

2fA

dt

yda p

py ==

ypyxpxp aaa δδ ~~~ += PROBLEM 11 Dikdörtgen köşe içindeki bir akış için hız vektörü,

yx AyAxV δδ ~~~ −= ………….. ( )13.0 −= sA olarak verilmektedir. Şekilde gösterilen birim kare için sirkülasyonu hesaplayınız?

ÇÖZÜM

∫=Γ sdV ~.~

( )( )yxyyxx dydxAAsdV δδδδ ~.~~~.~ +−= = dyAdxA yx −

∫∫∫∫ −++−+=Γa

b

b

c

c

d

d

aAydyAxdxAydyAxdx

( ) ( )2222222222 badccbad yyyyAxxxxA

−+−−−+−=Γ

0y ve

ve=Γ⇒

====

bcda

dcbayyy

xxxx

Akış irrotasyonel olduğundan;

0)~~( =∇=Γ ∫ dAVxA

z


I/25

PROBLEM 12

Paralel levhalar arası akışta

−

=

by

byUu 1 olduğuna göre;

a) h yüksekliğinde L uzunluğundaki kapalı kontur için sirkülasyonu hesaplayınız.

b) bh bh == ve2

için sirkülasyonu bulunuz?

c) Stokes teoremi ile Γ hesaplayınız?

ÇÖZÜM

a)

∫=Γ sdV ~.~

∫=Γ0

Ludx

⇒=Γ= 0 oldugundan 0v (2) veya (4)

0=u eğer 0=y ⇒=Γ 0 (1)

−−=Γ

bh

bhUL 1

b)

⇒==2byh

4UL

−=Γ

0=Γ⇒== byh

c)

Stokes teoremi

∫∫

∂∂

−∂∂

=∇=Γy

Az Ldy

yu

xvdAVx

0)~~(

−−=Γ

bh

bhUL 1 ………Aynı sonuç


I/26

PROBLEM 13 Dairesel bir boru içerisinde tam gelişmiş akış şartları altında hız profili

−=

2

max 1RrVVz olarak verilmektedir.

a) Lineer ve açısal deformasyon oranlarını bulunuz?

b) Girdap (vortisite) vektörü tanımlayınız?

ÇÖZÜM

a)

Hacimsel genleşme oranı ⇒=∇ 0~.~ V sıkıştırılamaz şartı

rVp r

rr ∂∂

+−= µσ 2

0=∂∂

=r

Vrrrε 01

=+∂∂

=r

VVr

rθ

ε θθθ 0=

∂∂

=z

Vzzzε

• Lineer deformasyonlar

0=== zzrr εεε θθ

• Açısal deformasyonlar

01=

∂∂

+

∂∂

=θ

γ θθ

rr

Vrr

Vr

r&

01=

∂∂

+∂∂

=θ

γ θθ

zz

Vrz

V&

2max2R

rVr

Vz

V zrrz −=

∂∂

+∂∂

=γ&

b) Vortisity vektörü ;

=∇= Vx ~~ζ2max

2~1

~~~

RrV

rV

V VV

z

r

r

δ δ δ

z

zr

zr

−=

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

θ

θ

θ

δθ


I/27

PROBLEM 14 Paralel levhalar arasındaki akışta hız alanı

−=

2

max 1byUu olduğuna göre;

a) Lineer ve açısal deformasyon miktarlarını bulunuz?

b) Vortisite vektörünü tanımlayınız?

c) Maksimum vortisitinin oluştuğu noktayı tanımlayınız?

ÇÖZÜM

a)

( ) 0 0 === wvyuu

0=∂∂

=∂∂

=∂∂

zw

yv

xu

0== xzyz ττ

2max2b

yUxv

yu

xy −=

∂∂

+∂∂

= µτ

b)

zz

zyx

yu

yu

wu v

z

y

x

δ δ δ

Vx δδζ ~0~

~~~

~~∂∂

−=

∂∂

−=∂∂

∂∂

∂∂

=∇=r

zb

yUδζ ~2

2max=

r

c)

Vortisite by m= ’de maksimum olur.


I/28

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ I. ARA SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 09/11/2003 Süre: 75 dak.

SORU 1 (30p). Aşağıda bazı iki-boyutlu akış alanlarına ait hız bileşenlerinin denklemleri verilmektedir. Bu denklemler doğrultusunda verilen akışlardan hangileri sıkıştırılamaz akış olarak değerlendirilebilir, analiz ediniz?

a) )2(

223

22

yyxxvyxu

−+=

+= b)

ytxtvyxtu

−=

+=2

2

c) θθ

θ sincos

UvUvr

−==

d) rBv

rAvr

//

=−=

θ

Not: Denklemlerde ‘t’ zamanı; ‘U, A ve B’ ise sabit katsayıları göstermektedir. Çözüm

1) İki boyutlu akış ( ) 0z

; ,~~ =∂∂

= yxVV

2) Sıkıştırılamaz akış 0 0 ; =∂∂

=∂∂

=lt

c ρρρ

Bu durumda süreklilik denklemi ;

( ) ( ) ( ) 00 =

∂∂

+∂∂

⇒=∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂yv

xu

tzw

yv

xu ρρρρρ

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

a)

( )

( )( ) 0224

22 4

2 2 2322

≠−+

−=∂∂

=∂∂

−−=+=yxx

yxyvx

xu

yyxxvyxu sıkıştırılabilir

b)

04

2 2

=

=∂∂

=∂∂

−=+=t-t

-tyv x

xu

ytxtvy xtu sıkıştırılamaz

c) Süreklilik denklemi (sıkıştırılamaz akış için)

( ) 01=

∂∂

+∂∂

θθVrV

rr r

( ) 0)sin(cos =

−

∂∂

+∂∂ θ

θθ UrU

r

0coscos =−= θθ UU sıkıştırılamaz


I/29

d) Süreklilik denklemi (sıkıştırılamaz akış için)

( ) 01=

∂∂

+∂∂

θθVrV

rr r

⇒=

∂∂

+

−

∂∂ 0

004342143421 rB

rAr

r θ sıkıştırılamaz

SORU 2 (20p). Aşağıda iki-boyutlu ve sıkıştırılamaz olduğu bilinen akışlar için hızın bir doğrultudaki bileşeni verilmektedir. Diğer yöndeki hızın en basit bileşenine ait bağıntıyı türetiniz?

a) ?3 2

=−=

uyxxyv b)

?sin32 2

=+=

θ

θv

rrvr

Çözüm 2 a)

1. Kararlı : 0=∂∂θ

2. 2. İki boyutlu 0=∂∂z

3. 3. Sıkıştırılamaz 0=∂∂

lρ

( ) ( ) 00 =∂∂

+∂∂

⇒=∂∂

+∂∂

yv

xuv

yu

xρρ

xu

yv

∂∂

−=∂∂ ( )

xuyxxy

y ∂∂

−=−∂∂ 23

)(23

33 2

32 xfxxuxx

xu

+−=⇒−=∂∂

−

En basit bileşen için 0)( =xf dır. O halde

23

23

3xxu −=

olur. b)

( ) ( ) ( ) 011=

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

tV

zV

rrV

rr zrρρ

θρ

ρ θ

0=∂∂

+∂∂

+θθV

rVrV r

r

( ) 0sin32)sin32( 22 =∂∂

++∂∂

++θ

θθ θVrr

rrrr

Bu son denklemden θV kolayca bulunur.


I/30

SORU 3 (30p). İki boyutlu bir akışa ait hız vektörü jiV

rrr 2 2 ytxt −= ifadesiyle verilmektedir. Denklemde

pozisyon (x,y), zaman (t), ve hız sırasıyla ‘m, s ve m/s’ birimleriyle tanımlandığına göre, a) x ve y yönlerindeki yerel (lokal), konvektif ve toplam ivmeyi ifade eden bağıntıları

türetiniz? b) x=y=1m ve t=0 anı için hız ve toplam ivme vektörlerinin şiddeti, yönü ve

doğrultusunu tespit ediniz? Çözüm 3 a) Partikül hızındaki değişim yada toplam diferansiyel ;

dttVdz

zVdxy

yVdx

xVVd ppp ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=~~~~~

Partikül ivmesi ise;

{ { {

{

~~~~~~

~~~~~~

ivme Yerel ivme

Konvektiveivmesi toplam

partikulun tV

zVw

yVv

xVu

DtVD

a

tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

dtVd

a

pp

w

p

v

p

u

ppp

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

444 3444 21321

Denklemin İrdelenmesi :

( )VVzVw

yVv

xVu ~~.~~~~

∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

( )VVtV

tDVDa p

~~.~~~

~~ ∇+

∂∂

==

Bir boyutlu ( x yönü ) akışta;

xVu

tVa p ∂

∂+

∂∂

=~~

~

İvme vektörel bir büyüklük olduğundan skaler bileşenleri cinsinden yazılabilir.

pzzpyypxxp aaaa δδδ ~~~~ ++=

tu

zuw

yuv

xuu

DtDua px ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

== …iki boyutlu olduğundan

( ) ( ) xxtaxyttxttu

yuv

xuu

DtDua pxpx 24)2(0)2()2(2 2 +=⇒+−+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

( ) yytaytytxttv

yvv

xvu

DtDva pypy 24)2()2)(2()0(2 2 −=⇒−+−−+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

( ) ( )222222 2424 yytxxtaaa pypx −++=+=


I/31

b) x=y=1 ve t=0 ivmenin yönü x doğrultusunda 2, ve y doğrultusunda -2 dir. a= 2.82 m/s2

SORU 4 (20p). Aşağıda hız bileşenleri verilen iki-boyutlu ve sıkıştırılamaz akışların döngüsüz (irrotasyonel) akış olarak değerlendirilip değerlendirilemeyeceğini belirleyiniz?

a) xyv

yxu6

)(3 22

−=−=

b) 0=

=

θvArvr

Çözüm 4 a)

İrrotesyonel akış şartı: 00 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

⇒=∂∂

−∂∂

yxyu

xv ψψ

( ) ( ) 066336 22 =+−=−∂∂

−−∂∂ yyyx

yxy

x

olduğundan irrotasyoneldir. b)

01)1(101 2

=∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−⇒=+∂∂

−∂∂

rrrrrrVV

rrV r ψ

θψ

θψ

θθθ

00)(1)0( =+∂∂

−∂∂

rAr

rr θ

olduğundan irrotasyoneldir


I/32

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ I. ARA SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 04/11/2004 Süre: 75 dak.

SORU 1.....(35p).....her bir şık 5p. Şekilde gösterilen ‘dxdydz’ boyutlarındaki diferansiyel

elemente ‘x’ doğrultusunda giren akışkanın yoğunluğu ‘ρ’, hızı ‘u’ olduğuna göre;

a) diferansiyel elementin aynı doğrultudaki çıkışında yoğunluk ve hız değerlerini formüle ediniz, hangi yaklaşımı kullandığınızı kısaca yazınız?

b) ‘x’ yönündeki net kütlesel debiyi veren ifadeyi türetiniz/yazınız?

c) diferansiyel hacim (kontrol hacmi) içerisindeki kütle değişimini veren ifadeyi türetiniz/yazınız?

d) ‘x’ yönüne ait kütlenin korunumu (süreklilik) denklemini oluşturunuz? e) elde ettiğiniz denklemi kararlı akış ve sıkıştırılamaz akış için ayrı ayrı irdeleyiniz,

aradaki farkı belirleyiniz? f) ‘d’ şıkkındaki denklemi bu kez kararlı ve sıkıştırılamaz akış şartlarının her ikisinin

birlikte geçerli olduğu duruma uygulayarak ‘ Aum ρ=& = sabit’ denklemini türetiniz? g) ‘d’ şıkkındaki denklemi, iki boyutlu (x,y) akışa genişleterek, süreklilik denklemini

vektörel formda ifade ediniz ve silindirik geometriler için iki boyutlu (r,θ) süreklilik denklemini türetiniz (ya da nasıl türetileceğini yazınız)?

Çözüm 1 Çözüm ders notlarında mevcut (Bknz: Süreklilik denklemi türetimi). SORU 2.....(25p)

Aşağıdaki kavramlar arasındaki temel farkı kısaca belirtiniz / şekil ya da denklem yardımıyla ifade ediniz?

akışın diferansiyel analizi – akışın integral analizi kararlı akış – sıkıştırılamaz akış döngüsüz (irrotasyonel) akış – sürtünmesiz (ideal) akış bir boyutlu akış – iki boyutlu akış akışkan elementi için: öteleme hareketi - dönme hareketi akışkan elementi için: lineer deformasyon - açısal deformasyon akışkan elementi için: yerel ivme – konvektif ivme-toplam ivme akışkan elementi için: rotasyon - vortisity (girdap) – sirkülasyon

Çözüm 2 Çözüm ders notlarında mevcut (Bknz: Akışkan hareketinin dif. analizi). SORU 3..... (40p) Aşağıda bazı iki-boyutlu akış alanlarına ait hız vektörleri verilmektedir;

jyixy rrr

8

4

2−=V ; θππ

i i2 r

rrr

rA

rA

+−=V ……….. (A: sabit bir sayı)

a) Verilen akışların sıkıştırılamaz ve döngüsüz akış koşullarına uygun olup olmadıklarını değerlendiriniz?

b) Verilen akışlar için toplam ivme vektörünü veren ifadeleri türetiniz? Çözüm 3 Çözüm aşamaları için ders notlarına bakınız.


I/33

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ-II DERSİ 1. ARA SINAVI Tarih: 17/11/2005; Süre: 60 dak.

SORU 1 (25 p). Laminar sınır tabaka içerisinde bulunan bir akış için hız bileşenleri; 2/1−= Ayxu ; 2/32 −= xAyv olarak verilmektedir. Verilen akış için, x ve y yönlerindeki yerel (lokal), konvektif ve toplam ivmeyi ifade eden bağıntıları türetiniz? SORU 2 (25 p). İki boyutlu kararlı bir akışa ait hız vektörü; jiV

rrr 2ByAxy +−= ; A=-1 (ms)-1, B=-0.5 (ms)-1

olarak verilmektedir. a) Akış sıkıştırılamaz mıdır, gösteriniz?

Akış döngüsüz müdür, gösteriniz? SORU 3 (25 p). Paralel levhalar arasındaki akışa ait hız vektörü aşağıda verilmektedir. ‘A ve b’ değeri bilinen boyutlu sabitler olduğuna göre, a) Lineer ve açısal deformasyonları bulunuz? b) Girdap (vortisity) vektörüne ait ifadeyi türetiniz? c) ‘A ve b’ sabitlerinin boyutunu belirleyiniz?

iVrr

1 2

−=byA

SORU 4 (25 p). Aşağıda Bernoulli Denklemi ile ilgili sorular hakkındaki yorumlarınızı çok kısa olarak (ifadeler, çizimler, ya da denklemler yardımıyla) belirtiniz?

a) Momentum denklemini kullanarak, Bernoulli Denklemini elde etmede hangi varsayımlar kullanılmaktadır?

b) Kararlı ve kararsız akışlarda kullanılan Bernoulli Denklemleri arasındaki temel farkı belirterek, her iki akışa ait bir uygulama örneği veriniz?

c) Termodinamiğin I. Kanunu ile Bernoulli Denklemi arasındaki fark/farkları belirtiniz? Döngülü (rotasyonel) ve döngüsüz (irrotasyonel) akışlarda, Bernoulli Denkleminin kullanımı açısından her hangi bir fark oluşur mu, belirtiniz?


II/1

6. İDEAL (SÜRTÜNMESİZ) AKIŞLAR

6.1. Euler Denklemi

Tüm gerçek akışkanların bir viskozitesi vardır. Ancak akışkanlar mekaniğinde birçok

problemin çözümünde viskozitenin ihmal edilerek araştırılması sık sık başvurulan bir yoldur.

Bu durumda analiz daha kolaylaşır. Çünkü kayma gerilmeleri söz konusu değildir.

Sıkıştırılamaz akışlar için verilen Navier – Stokes denkleminde 0=µ alınırsa,

PgDtVD

∇−= ~~~

ρρ

Euler denklemi olarak bilinen sürtünmesiz akışa ait genel denklem elde edilir. Eğer ‘z’

koordinatı düşey ekseni temsil ederse (pozitif yön yukarı doğru olmak üzere);

kz δ~~ =∇

zggg k ∇−=−= ~~~ ρδρρ

Bu durumda Euler denklemi;

PzgDtVD

∇−∇−= ~~~~

ρρ

veya,

( ) PzgVVtV

∇−∇−=∇+∂∂ ~1~~~.~~

ρρ

formunda yazılabilir.

6.1.1. Euler denkleminin akım çizgisi boyunca integrali (Bernoulli denklemi)

Kararlı bir akış için akım çizgisi ve yörünge çizgisi aynı olduğundan akım çizgisi boyunca

hareket eden bir ideal partikülün denklemi;

sVV

szg

sP

∂∂

=∂∂

−∂∂

−ρ1


II/2

Eğer akışkan partikülü akım çizgisi üzerinde ds kadar yol katederse; basınç, hız ve

yükseklikte ds boyunca değişimler,

dPdssP

=∂∂ , dzds

sz

=∂∂ ve dVds

sV

=∂∂

bağıntılarıyla verilir. Bu durumda yukarıdaki denklem ds ile çarpılır ve terimler

sadeleştirilirse;

∫ ∫∫ =−− VdVgdzdPρ

akım çizgisi boyunca sabit bir değere sahip,

∫ =++ sabitVgzdP2

2

ρ

denklem elde edilir. Eğer akış sıkıştırılamaz ise ( c=ρ );

cVgzP=++

2

2

ρ

elde edilen denklem ‘Bernoulli Denklemi’ adını alır. Denklemin kullanımında şu sınırlamalar

söz konusudur:

a) kararlı akış, b) sıkıştırılamaz akış, c)Sürtünmesiz akış ve akım çizgisi boyunca akış.

6.1.2. Euler denkleminin akım çizgisi normali boyunca integrali

Akım çizgisi normali boyunca, yerçekimi kuvveti ihmal edildiğinde;

RVa

nzg

nP

n21

−==∂∂

−∂∂

−ρ

RV

nP 21=

∂∂

ρ

denklemi elde edilir. Bu denkleme göre; basınç, akım çizgisi eğrilik merkezinden uzaklaştıkça

artar. Eğer akım çizgileri düz ise, eğrilik yarıçapı sonsuza gideceğinden basınç değişimi sıfıra

gider.

6.2. Bernoulli Denklemi

Bernoulli denklemi türetiminin yapıldığı sınırlamalara bağlı kalmak şartı ile akım

çizgisi üzerinde herhangi iki nokta arasında basınç-hız ilişkisinin bulunmasında kullanılabilir.

1 ve 2 noktaları için;


II/3

2

222

1

211

22gz

VPgz

VP++=++

ρρ

6.2.1. Termodinamiğin I. Kanunu ve Bernoulli Denklemi Arasındaki İlişki

Sürtünmesiz – kararlı bir akış durumunda akım çizgileri ile sınırlanmış bir kontrol

hacmi (akım tüpü) için Termodinamiğin I. Kanunu;

dtEd

EEE süçg

&&&& =+−

022 2

22

21

21

1 =

++−

+++− gz

Vhgz

VhWQ&

1

111111 ρ

puvpuh +=+=

Yapılan kabuller ;

a) Kararlı akış

= 0

dtd

b) Sürtünmesiz akış ( )0== kaymaü WE &

c) Sıkıştırılamaz akış ( ρ1

21 == vv )

d) Üniform akış ve akışkan özellikleri ( V=c her kesit alanı için )

e) ( ) 2

222

1

211

21 22gz

VPgz

VPuuQ ++=+++−+

ρρ&

f) ( ) 021 =−+ uuQ&

şeklindedir. Sonuç olarak,

cgzVP=++

2

2

ρ


II/4

enerji denklemi yapılan bazı kabuller sonrası Bernoulli denklemini vermektedir. Ancak bu iki

denklem farklı yaklaşım ve kabuller altında türetildiği üzere, birbirinden bağımsız iki

denklem olup, ancak özel durumlarda aynı sonucu vermektedir. Termodinamiğin I.

Kanununun bu özel konumu akışta herhangi bir mekanik enerji kaybı olmadığını

göstermektedir. Akışın mekanik enerji seviyesini gösterebilmek açısından denklem toplam

enerji potansiyeli (H) cinsinden aşağıdaki şekilde yazılır:

sabitHzg

Vg

P==++

2

2

ρ

Kararlı, sıkıştırılamaz ve sürtünmesiz bir akışın akım çizgisi boyunca hareketinde;

czVP=++

2

2

ρ

ifadesinde “c” değeri akım çizgisinden akım çizgisine göre farklı değerler alır. Ancak bu

sınırlamalara ek olarak; akış bir de irrotasyonel (döngüsüz) olursa, Bernoulli denklemi aynen

geçerli olup “c” değeri tüm akım çizgileri için aynı değeri alır.

6.2.2. Kararsız akışlar İçin Bernoulli denklemi

Akım çizgisi boyunca kararsız akış denkleminin türetimi için; c=ρ , 0=µ ve akım

çizgisi boyunca akış kabulleri altında,

dss

VV

tV

szg

sP ss

∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

−ρ1

∫

∂∂

=

−−−2

1

1 dst

VVdVgdzdP s

ρ

ara işlemlerini takiben,

∫ ∂∂

+++=++2

12

222

1

211

22ds

tV

gzVPgzVP sρρ

denklemi elde edilir.

0502501 Akışkanlar Mekaniği II Yarıyıl Ders Planı Haftalar ...eng.harran.edu.tr/moodle/moodledata/19/yesilata/Ders_Notlari/FluidII_ch5full.pdf · 0502501 Akışkanlar Mekaniği

Documents