Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 1 HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 CAPÍTULO 19 – TEMPERATURA 05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro, em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms ( ). Um certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 . Qual a leitura do termômetro, quando sua resistência for 96,28 ? (Pág. 180) Solução. Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq. (1), kR T R ) ( (1) onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da água (T 3 ) é dada por (2), onde R 3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice. 3 ) ( 3 3 kR T T R (2) Dividindo-se (1) por (2): 3 3 ) ( R R T T R ( ) 3 3 96, 28 273,16 K 291,088 K 90,35 R R T T R K 1 , 291 T 06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p 3 = 80 mmHg. Qual é a diferença da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos termômetros a pressão será mais alta? (Pág. 180) Solução. Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173).
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34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22
oC. Quanta glicerina derramará,
se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1
104/oC.)
(Pág. 181)
Solução.
O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é:
Al 0 Al1 3V V T
O volume final da glicerina VGli é:
Gli 0 Gli1V V T
O volume derramado V será:
Gli Al 0 Gli 0 Al 0 Gli Al1 1 3 1 1 3V V V V T V T V T T
0 Gli Al3V V T
3 4 1 5 1 3100 cm 5,1 10 C 3 2,3 10 C 28 C 22 C 0,2646 cmV
30,26 cmV
36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,00 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de
2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra?
(Pág. 181)
Solução.
A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é:
a a0 a 01d d T T (1)
De forma semelhante, o diâmetro final da barra será:
b b0 b 01d d T T (2)
Igualando-se (1) e (2):
a0 a 0 b0 b 01 1d T T d T T
Resolvendo-se a equação acima para T:
b0 a0 a0 a b0 b 0
a0 a b0 b
d d d d TT
d d
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materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o
aquecimento?
(Pág. 182)
Solução.
O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não
estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente.
Os termos L1 e L2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas:
1 1L L L L (1)
2 2 2L L L L L L L (2)
A equação que define o módulo de Young é:
F L
EA L
Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, L é a variação observada no
comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo
de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + T, temos:
1 2
1 2
F F
A A
Logo:
1 21 2
L LE E
L L
1 1 2 2E L E L (3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3):
1 1 2 2E L L L E L L L
Na expressão acima, os termos L1 L e L2 L podem ser substituídos pelos equivalentes L 1 T e
L 2 T.
L1
L L
L
L2
L1
L2
T
T T +
T T +
Barra 1 livre
T T +
Barra 2 livre
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Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a
expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’.
T
Régua
Barra
TL’
Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua
expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da
barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o
comprimento da barra.
T
L
Barra
RéguaT0L’
A expansão térmica da régua é dada por (T0 T; L’ L):
' '
RL L L L T
' ' 1RL L L T (1)
A expansão térmica da barra é dada por:
TLLLL B 00
0 0 1BL L L T (2)
Igualando-se (1) e (2):
' '
0 0 1 1B RL L T L L T
' '
0 0 1B RL L T L L T
5o 1 o'
0
o0
20,11 cm 1,1 10 C 250 C 1 20,05 cm( 1)
250 C 20,05 cm
RB
L T L
TL
Na expressão acima, utilizou-se o coeficiente de dilatação térmica do aço para o ferro, pois são praticamente iguais.
5 o 12,30029 10 CB
1o5 C 103,2B
28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 106 por grau C
é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um
aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a
elevação x.
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Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será:
5o 1 o3.600 s 1 1,9 10 C 20 C 1 0,68406 sP
0,68 sP
O sinal negativo de P significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora,
acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora.
45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo
equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar
será de 59,95o?
(Pág. 178)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a situação:
Al Inv
Aço
L0 L0
L0
LAl
LInv
LAço
T0 T
A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à
temperatura T:
cos2222
AçoAlAçoAlInv LLLLL (1)
Mas:
0 1L L T (2)
Substituindo-se a (2) em (1):
22 22 2 2
0 0 0
0 0
1 1 1
2 1 1 cos
Inv Al Aço
Al Aço
L T L T L T
L T L T
Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:
2 2
22
1 2 1 2 1 2
2cos 1
Inv Inv Al Al Aço
Aço Al Aço Al Aço
T T T T T
T T T T
Reconhecendo-se que os termos envolvendo 2 são muito menores dos que aqueles envolvendo
apenas , pode-se desprezar os primeiros:
1 2 1 2 1 2 2cos 1Inv Al Aço Al AçoT T T T T
TTTTT AçoAlAçoAlInv cos2cos2cos22122
cos2
1coscos TTTTT AçoAlAçoAlInv
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O sinal negativo indica que houve diminuição na variação percentual da massa específica do cilindro.
(b) A identificação do metal é feita pela comparação do valor do coeficiente de expansão térmica do
metal com valores tabelados. A Equação (2) permite o cálculo de α.
5 o 1
o o0
0,00092 0,000922,3 10 C
100 C 60 CT T
A Tabela 21-3, Pág. 213, indica que o cilindro é feito de alumínio.
30. (a) Prove que a variação da inércia rotacional I de um sólido com a temperatura é dada por I =
2αI T. (b) Uma haste fina de latão, girando livremente a 230 rev/s em torno de um eixo
perpendicular à haste e passando pelo seu centro, é aquecida sem sem contato mecânico até que
sua temperatura aumente para 170oC. Calcule a variação na velocidade angular.
(Pág. 221)
Solução.
(a) Vamos supor que o momento de inércia inicial é I0 e o final, após o aquecimento, é I. Vamos
supor também que I0 = kML2, em que k é uma fração que depende do corpo e do eixo em relação ao
qual I0 é calculado.
2 2 2 2
0 0 0I I I kML kML kM L L
22 2 2 2 2 2
0 0 0 01 1 2I kM L T L kM L T T L
O termo α2
T2 é, em geral, muito menor do que α T. Neste caso, 2α T 10
3, enquanto que α
2T
2
105. Vamos, portanto desprezar α
2T
2.
2 2
0 02 2I kM TL kML T
02I I T
(b) A variação da velocidade angular é calculada por meio da aplicação da conservação do momento angular (L), dada a ausência de torques externos atuando sobre a haste.
0L L
0 0I I
Usando-se o resultado obtido no Item (a):
0 0 0 02I I T I
0
6 o 1 o 1
230 rev/s228,5237 rev/s
2 2 19 10 C 170 CT
Logo:
0 228,5237 rev/s 230 rev/s 1,4762 rev/s
0 1,45 rev/s
O sinal negativo indica que há uma diminuição na velocidade angular da haste como conseqüência
do aumento de temperatura.
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