-
Primjer 4.1
Za ravni presjek dat na slici odrediti glavne centralne momente
inercijei poloaj glavnih centralnih osa inercije.
************************************************************************************************************Trougao
b 60mm
h 30mm Atb h2
900 mm2
xctb
320 mm Ixct
b h336
4.5 104 mm4
ycth3
10 mm Iyctb3 h36
1.8 105 mm4
Ixyctb2 h2
724.5 104 mm4
L50x100x10
AL 14.1cm2 1.41 103 mm2
xcL 1.2cm 12 mm
-
ycL 3.67cm 36.7 mm
IxcL 141cm4 1.41 106 mm4
IycL 23.4cm4 2.34 105 mm4
I1L 149cm4 1.49 106 mm4
I2L 15.5cm4 1.55 105 mm4
***********************************************************************************************************
a) Teite
xcAt xct AL xcL
At AL0.468 mm
ycAt yct AL ycL
At AL26.297 mm
b) Momenti inercije
Ix Ixct yct yc 2 At IxcL ycL yc 2 AL 1.847 106 mm4
Iy Iyct xct xc 2 At IycL xcL xc 2 AL 9.765 105 mm4
III const= I1L I2L= IxcL IycL IxycL2=
IxycL IxcL IycL I1L I2L 3.146 105 mm4
Ixy Ixyct xct xc yct yc At IxycL xcL xc ycL yc AL
-
Ixy 1.997 105 mm4
c) Centralni momenti i glavne ose inercije
I1Ix Iy
2
Ix Iy
2
2
Ixy2 1.89 106 mm4
I2Ix Iy
2
Ix Iy
2
2
Ixy2 9.329 105 mm4
0 atan2 Ixy
Ix Iy
1 atan2 Ixy
Ix Iy
Ixy Ix Iy 0if
0 atan2 Ixy
Ix Iy
1 atan2 Ixy
Ix Iy
2
otherwise
0.5
77.67
167.67
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.2
ica napravljena od elika visoke vrstoe (E=200 Gpa, p=1200 MPa)
savijena jeoko cilindinog doboa poluprenika R0=0.5 m. Odrediti
savojni moment M imaksimalan savojni napon max, ako je prenik ice
d=4 mm.
************************************************************************************************************
E 200GPa
R0 0.5m
d 4mm
************************************************************************************************************
Poluprenik zakrivljenja:
R0d2
502 mm
Moment savijanja:
Id4 64
12.566 mm4 ME I
5.007 N m
Maksimalan napon:
maxMI
d2 796.813 MPa
************************************************************************************************************
-
Primjer 4.3
Za gredu datu na slici odrediti maksimalne zatezne i pritisne
napon u gredi usljed kontinuiranog optereenja. Dati dijagram
normalnih napona po poprenom presjeku.
************************************************************************************************************
q 3.2kNm
t 12mm
l1 3m h 80mm
l2 1.5m b 300mm
************************************************************************************************************
Reakcije oslonaca i dijagrami sila:
i
Fi 0= FA FB q l1 l2 0=
i
Mi 0= FB l1 q l1 l2 l1 l2
2 0=
FB
q l1 l2 l1 l2
2
l1 FB 10.8 kN
FA q l1 l2 FB FA 3.6 kN
-
Mmax 2.025kN m
Mmin 3.6kN m
Moment inercije poprenog presjeka:
A0 b 2t( ) t A0 3.312 103 mm2
I0b 2t( ) t3
12 I0 3.974 10
8 m4
zc00 yc0
t2
A1 t h A1 960 mm2
I1t h312
I1 5.12 105 mm4
-
zc1b
2t2
yc1h2
A2 t h A2 960 mm2
I2t h312
I2 5.12 105 mm4
zc2b2
t2
yc2h2
Ap0
2
i
Ai
5.232 103 mm2
zcp0
2
i
zciAi
0
2
i
Ai
0m ycp0
2
i
yciAi
0
2
i
Ai
18.477 mm
Iz0
2
i
Ii Ai yciycp 2
2.469 106 mm4
Maksimalni naponi (za najvei moment savijanja):
p1Mmax
Iz ycp 15.156 MPa
z1Mmax
Izh ycp
50.464 MPa
-
Maksimalni naponi (za najvei moment savijanja):
z2Mmin
Izycp 26.944 MPa
p2Mmin
Izh ycp
89.714 MPa
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.4
Privremena drvena brana napravljena je od horizontalnih dasaka A
oslonjenih na dva vertikalna stuba B. Stubovi su kvadratnog
poprenog presjeka (b x b) postavljeni na udaljenosti 0.8 m, kao na
slici. Pretpostaviti da je dubina vode do vrha brane, h=2 m.
Odrediti najmanju dimenziju b stuba ako je dozvoljeni napon drveta
doz=8 MPa.
************************************************************************************************************
s 0.8m h 2m
doz 8MPa
************************************************************************************************************
-
1000kg
m3
q0 g h s q0 1.569 104
Nm
Ib4
12=
Mmaxq0 h
2h3 Mmax 1.046 10
4 N m
dozMmax
Ib2=
q0 h2
6
b3
6
= dozq0 h
2
b3=
b
3q0 h
2
doz198.703 mm
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.5
Drvena greda, pravougaonog poprenog presjeka b x h=100 x 150 mm,
AB jeoptereena kao na slici. Koncentrisana sila djeluje na
udaljenosti a=0.5 m od svakogoslonca.Odrediti maksimalnu dozvoljenu
silu P ako je dozvoljeni napon na savijanje MPa (i za zatezanje i
za pritisak), a dozvoljeni napon na tangencijalni napon 1.2
MPaUticaj teine grede zanemariti.
************************************************************************************************************
a 0.5m b 100mm h 150mm
doz 11MPa doz 1.2MPa
************************************************************************************************************
Maksimalna sila i moment:
Vmax P= Mmax P a=
maxMmax
Ih2= 6P a
b h2=
max3Vmax
2A= 3P
2bh=
Psavdoz b h
2
6a8.25 kN
-
Ptangdoz 2 b h
312 kN
Pmax min Psav Ptang 8.25
kN***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.6
Greda s poprenim presjekom kao na slici izloena je
transferzalnoj sili V=45 kN.Odrediti maksimalnu, minimalnu i ukupnu
silu koja djeluje na vertikalni dio profila.Dimenzije poprenog
presjeka su: b=165 mm, t=7.5 mm, h=320 mm i h1=290 mm.
************************************************************************************************************
b 165mm h 320mm h1 290mm t 7.5mm
V 45kN
************************************************************************************************************
Maksimalan i minimalan tangencijalni napon:
I112
b h3 b h13 t h1
3 1.305 10
8 mm4
maxV
8I tb h2 b h1
2 t h12 20.986 MPa
minV b8I t
h2 h12 17.36 MPa
maxmin
1.209
-
Ukupna sila koju nosi vertikalni dio:
Vvertt h1
32max min 43.015 kN
VvertV
0.956
srV
t h120.69 MPa
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.7
Greda s poprenim presjekom kao na slici izloena je
transferzalnoj sili V=45 kN.Odrediti tangencijalni napon u presjeku
n-n te maksimalan tangencijalan napon.Dimenzije poprenog presjeka
su: b=100 mm, t=25 mm, h=200 mm i h1=175 mm.
h=200 mmh1=175 mm
b=100 mm
t=25 mm
************************************************************************************************************
b 100mm h 200mm h1 175mm t 25mm
V 45kN
************************************************************************************************************
Poloaj neutralne ose:
A0 b h h1 2.5 103 mm2
zc00 yc0
h1h h1
2
I0b h1 h 3
12
A1 t h1 4.375 103 mm2
zc10 yc1
h12
-
I1t h1
3
12
Ap0
1
i
Ai
6.875 103 mm2
zcp0
1
i
zciAi
0
1
i
Ai
0
ycp0
1
i
yciAi
0
1
i
Ai
123.864 mm
Moment inercije:
I
0
1
i
Ii Ai yciycp 2
2.694 107 mm4
Tangencijalni naponi:
QVIb
=
presjek n-n
Q1 b h h1 yc0 ycp 1.591 105 mm3
-
1V Q1
I t10.628 MPa
maksimalan tangencijalni napon - neutralna osa
Q t ycpycp2
1.918 105 mm3
maxV QI t
12.812 MPa
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.8
Slojevita drvena greda data na slici izloena je kontinuiranom
optereenju od 12 kN/Ako odnos visine i irine grede mora biti 1.5,
odraditi najmanju irinu koja moeizdrati optereenje. Dozvoljeni
napon na savijanje je 9 MPa, a na smicanje 0.6 MPa.Teinu grede
zanemariti.
************************************************************************************************************
L 3m l 1m
h 1.5a= b a= I b h3
12= 1.5
3
12a4= A bh= 1.5a2=
q 12kNm
doz 9MPa doz 0.6MPa
************************************************************************************************************
Reakcije oslonaca:
i
MB 0= FA L q L l( ) L l( )2 0=
FAq L l( )2
2L32 kN
i
Fi 0= FA FB q L l( ) 0=
FB q L l( ) FA 16 kN
-
Fmax 20kN
Mmax 10.67kN m
Napon savijanja:
SI
ymax= 2I
1.5 a= 2 1.5
3 a4
12 1.5 a= 1.5
2
6a3=
SMmaxdoz
=
a3 Mmax
doz
6
1.52 146.768 mm1.5
2
6a3
Mmaxdoz
=
Napon smicanja - provjera:
max 1.5Fmax
A=
max 1.5Fmax
1.5 a2 0.928 MPa max doz
-
Greda mora biti dizajnirana prema najveem tangencijalnom
naponu!!!
doz 1.5Fmax
A= 1.5
Fmax
1.5a2=
aFmaxdoz
182.574 mm
***********************************************************************************************************
-
Primjer 4.9
Drvena greda T-profila, data na slici, izraena je od dvije grede
dimenzija 200 x 30mm. Provjeriti da li greda moe da nosi zadato
optereenje, ako je dozvoljeni napon nsavijanje 12 MPa, a na
smicanje 0.8 MPa. Takoer, odrediti maksimalnu udaljenosteksera koji
su neophodni da ne doe do odvajanja greda, ukoliko svaki ekser moe
daizdri silu na smicanje od 1.5 kN.
************************************************************************************************************
L 4m
h 200mm b 30mm
F 1.5kN q 0.5kNm
doz 12MPa doz 0.8MPa Fdoz 1.5kN
************************************************************************************************************
Reakcije oslonaca:
i
MB 0= FD L q L2L4 F
L2 0=
FD
qL2
L4 F
L2
L1 kN
i
Fi 0= FD FB q L2 F 0=
-
FB qL2 F FD 1.5 kN
FmaxBC 1.5kN
Mmax 2kN m
FmaxCD 1kN
Poloaj neutralne ose i ostale geometrijske karakteristike
poprenogpresjeka:
A b h 6 103 mm2
I0b h312
I1b3 h12
y0h2
100 mm
y1 hb2
215 mm
yc0
1
i
yi A
0
1
i
A
157.5 mm
-
I
0
1
i
Ii A yi yc 2
6.0125 107 mm4
Napon savijanja:
ymax max h b yc yc 157.5 mm
ymin min h b yc yc 72.5 mm
dozMmax
Iymax
MmaxI
ymax 5.239 MPa doz 12 MPa
Greda e izdrati napone savijanja usljed optereenja!!!
Napon smicanja (najvei po neutralnoj liniji):
dozFmax Q
I b
Q b ycyc2
3.721 105 mm3
FmaxBC Q
I b0.309 MPa doz 0.8 MPa
Greda e izdrati i tangencijalne napone usljed
optereenja!!!************************************************************************************************************
-
Raspon izmeu eksera (tangencijalni napon na spoju!!!):
dozFmax Q
I b
Q A yminb2
3.45 105 mm3
Transferzalna sila se mijenja pa se radi jednostavnosti raspon
moe odraditi naosnovu maksimalnih sila za dio BC i CD posebno
qBCFmaxBC Q
I8.607
kNm
-
qCDFmaxCD Q
I5.738
kNm
rasponBCFdozqBC
174.275 mm
rasponCDFdozqCD
261.413 mm