05 Equacoes Nao Lineares Metodos Iterativos Newton

Cálculo Numérico

Equações não Lineares – Métodos Iterativos

MÉTODOS ITERATIVOS

Definição: Um método numérico é dito iterativo se gera uma

sequência de aproximações   xk   a partir de uma  equação de

iteração  xk+1=ψ(xk)  e uma aproximação inicial  x0 .

Exemplo:   O   método   iterativo   xk+1=xk

2+c

2xk  calcula   √c   a

partir de  x0≠0 .

Considerando  c=2  e  x0=1 , temos:

             x1=x0

2+2

2x0

=12+22⋅1

=32=1.5

             x2=x1

2+2

2x1

=1.52+22⋅1.5

=4.25

3=1.417

             x3=x2

2+2

2x2

=1.4172+22⋅1.417

=4.0082.834

=1.414

             x4=x3

2+2

2x3

=1.4142+22⋅1.414

=3.9992.828

=1.414

Questão: Quando devo parar um método iterativo?

 CRITÉRIOS DE PARADA

• Seja um método iterativo  xk+1=ψ(xk)

• Dizemos que a aproximação  xk+1  tem erro relativo  ε>0

se:

                             ∣xk+1−xk∣

∣xk+1∣<ε

• Neste   caso,   tomamos   xk+1   como  a   solução   aproximada

para o problema.

Exemplo:   Considerando   os   valores   do   exemplo   anterior,temos:

           ∣x1−x0∣

∣x1∣=

∣1.5−1∣∣1.5∣

=0.3333

           ∣x2−x1∣

∣x2∣=

∣1.417−1.5∣∣1.417∣

=0.05857

           ∣x3−x2∣

∣x3∣=

∣1.414−1.417∣∣1.414∣

=0.002122

           ∣x4−x3∣

∣x4∣=

∣1.414−1.414∣∣1.414∣

=0.0

sendo   que   o   erro   zero  ocorreu   apenas  devido   aoarredondamento em 4 casas.

Obs.   1)  Critério   de   parada   do   tipo   ∣f (xk)∣<ε   deve   ser

evitado,   pois   depende   do   comportamento   da   função.  Por

exemplo, para   f (x)=x−3 ln(x)   temos uma única raiz em

x=1, mas se considerando a sequência 2, 4, 8, … , ou seja,

xk=2k+1  , temos:

                    ∣f (xk)∣=∣xk−3 ln (xk)∣=

k+1

23k+3→0  

quando  k→∞ .

Obs. 2) Em alguns casos pode­se considerar o erro absoluto,

na   forma   ∣xk+1−xk∣<ε .   O   erro   absoluto   deve   ser   evitado

quando a sequência gera número muito grandes, que tornariam

o erro desejado muito pequeno e difícil de ser alcançado.

Obs. 3)  Para implementações computacionais, considera­se o

critério de parada para erro relativo na forma de:

                   |xk+1−xk|<ε⋅max { 1 , |xk+1| }

para evitar que o programa não convirja quando  xk+1  estiver

próximo de zero.

Cálculo Numérico

Equações não Lineares – Métodos Iterativos Lineares

MÉTODOS ITERATIVOS LINEARES

Definição: Um método numérico iterativo  xk+1=ψ(xk)  é dito

iterativo linear se  f (x)=0  se, e somente se,  x=ψ(x) .

Exemplo:   O   método   xk+1=xk

2+c

2xk  é   um   método   iterativo

linear para calcular  √c

De fato: Seja  f (x)=x2−c , cujas raízes são  ±√c .

Além disso,

               f (x)=0⇔ x2−c=0⇔

                         ⇔−x2−c

2=0⇔

                         ⇔ x2=x2−x2−c

2⇔

                         ⇔ x=x−x2−c

2 x⇔ x=ψ(x)

Logo é um método iterativo linear.

Obs.   1)  Há   muitas   formas   de   se   transformar   o   problema

f (x)=0  no problema de ponto fixo  x=ψ(x) . Por exemplo,

dada   uma   função   qualquer   A (x)≠0 ,   podemos   considerar

ψ(x)=x+A (x) f (x) .

Obs.   2)  Nem   todo   método   iterativo   linear   converge.   Por

exemplo,   f (x)=x2−c=0⇔ x2=c⇔ x=cx, se x≠0 .   Assim

temos o método iterativo linear  xk+1=cxk

.

Mas,   tomando c=2   e x0=1 ,   a   sequência     obtida   x1=2 ,

x2=1 ,  x3=2 ,... não converge.

Teorema: Seja  ψ(x)  uma função com derivada de segunda

ordem   contínua  num   intervalo   fechado   I=[x−h , x+h] ,

sendo   x=ψ(x) .   Seja   x0∈I   e   0<M<1   tal   que

∣ψ ' (x)∣⩽M<1 . Então:

a) xk∈I , ∀ k ,   ou   seja,   a   iteração   pode   ser   executada

indefinidamente.

b) ∣xk−x∣→0 , quando  k→∞ .

Obs.: Este teorema estabelece  apenas a condição necessária

para a convergência.

Exemplo   1)  No   método   iterativo   linear   xk+1=cxk

  temos

ψ(x)=cx

. Logo,  ψ ' (x)=−c

x2.

Assim,  ∣ψ ' (x)∣= c

x2<1⇔ x2>c⇔ x<−√c ou x>√c

Não   podemos   garantir   ∣ψ ' (x)∣⩽M<1   em   um   intervalo

contendo   a   raiz.   Então   nada   podemos   afirmar   sobre   a

convergência do método.

Exemplo 2) No método iterativo linear   xk+1=xk

2+c

2xk temos 

  ψ(x)=x2+c2x

. 

Logo,  ψ ' (x)=2x⋅2x−(x2+c)⋅2

4x2=x2−c

2x2=

12−c

2x2

Assim,  ∣ψ ' (x)∣<1⇔∣12−c

2x2∣<1⇔−1<12−c

2x2<1⇔

⇔−32<

−c

2x2<

12⇔−1<

c

x2<3

Temos duas desigualdades:

−1<c

x2⇔−x2<c  que é sempre verdadeira.

e

c

x2<3⇔3x2>c⇔ x2>

c3⇔ x<−√ c3 ou x>√ c3  

Como    c> c3⇔√c>√ c3   e,  portanto,   ∣ψ ' (x)∣⩽M<1   em um

intervalo contendo a raiz. Logo, o método converge.

ORDEM DE CONVERGÊNCIA

• Indica   a   velocidade   com   que   as   aproximações   de   ummétodo iterativo se aproximam da solução correta.

Definição: Seja  xk a sequência de aproximações geradas pelométodo   iterativo   e   x a   solução   correta.   Se   existirem   umnúmero  p⩾1 e uma constante  c>0  tal que 

                           limk→∞

∣xk+1−x∣

∣xk−x∣p=c

então p é a ordem de convergência do método.

Obs.:   Podemos   determinar   numericamente   a   ordem   de

convergência observando que, para k suficientemente grande:

               ∣xk+1−x∣≈c∣xk−x∣p

Além disso ∣xk−x∣≈∣xk−xk−1∣=ek . Logo

               ek+1≈c ekp  e  ek≈c ek−1

p  

Assim,   ek+1

ek≈ekp

ek−1p

⇒ p≈

log(ek+1

ek )log(

ekek−1

)

Exemplo: Para encontrar a raiz da função  f (x)=x2−x−2 , 

consideremos o método iterativo linear  xk+1=√xk+2

k xk xk+1 ek p0 2.5 2.1213203436 0.37867965641 2.1213203436 2.0301035303 0.09121681332 2.0301035303 2.0075117759 0.0225917544 0.98047201963 2.0075117759 2.0018770631 0.0056347127 0.99497337794 2.0018770631 2.0004692107 0.0014078524 0.99873396685 2.0004692107 2.0001172992 0.0003519115 0.99968290016 2.0001172992 2.0000293246 8.7974e-005 0.9999206887 2.0000293246 2.0000073311 2.1993E-005 0.99998016978 2.0000073311 2.0000018328 5.4983E-006 0.9999950422

Cálculo Numérico

Equações não Lineares – Métodos Iterativos Lineares –

Método de Newton

MÉTODO DE NEWTON

● Seja   um   método   iterativo   linear   da   forma

ψ(x)=x+A (x) f (x)  com  A (x)≠0

● Para garantir  a convergência do método, vamos encontrar

A (x)  de modo que  ψ ' (x)=0  para  x  raiz de  f (x) .

● Assim, 

                   ψ ' (x)=1+A ' (x) f (x)+A (x) f ' (x)⇒  

               ⇒ψ ' (x)=1+A ' (x) f (x)+A (x) f ' (x)

•  Mas  f (x)=0  e  ψ ' (x)=0

• Logo,  0=1+A (x) f ' (x)⇒ A (x)=−1

f ' (x)

• Vamos considerar então  A (x)=−1

f ' (x)

• Assim   ψ(x)=x−f (x)f ' (x)

 e  o método iterativo linear é dado

por    xk+1=xk−f (xk)

f ' (xk)

• Este método é conhecido como Método de Newton.

Obs.:  A ordem de convergência  do método de Newton é  2

(convergência quadrática).

Exemplo   1:   Encontre   uma   aproximação   para   a   raiz   de

f (x)=cos x−sen x , com erro < 0.01.

Solução:  Sabemos que a raiz está no intervalo  [0, π2 ]

Temos que f ' (x)=− sen x−cos x . Assumindo que  x0=0 :

k xk f(xk) f'(xk) f(xk)/f'(xk) xk+1 Erro0 0 1 -1 -1 1 11 1 -0.3012 -1.382 0.2179 0.7821 0.27862 0.7821 0.004664 -1.414 -0.003298 0.7854 0.004202

Portanto  x3=0.7854  é uma aproximação para a raiz.

(valor exato: 0.7853981634)

Exemplo   2:   Usando   o   método   de   Newton,   encontre   um

método iterativo para calcular  √c

Solução: Sabemos que  √c  é raiz de   f (x)=x2−c .

Como  f ' (x)=2x , o método de Newton fica:

       xk+1=xk−f (xk)

f ' (xk)=xk−

xk2−c

2xk=xk

2+c

2xk

Portanto  xk+1=xk

2+c

2xk é o método iterativo linear para calcular

√c  .

EXERCÍCIOS

1. Usando   o   método   de   Newton,   encontre   um   método

iterativo para calcular  3√c .

2. Usando o método do exercício 1, calcule   3√5 , com erro

de  10−4 , ponto flutuante com 6 casas e arredondamento.

Exercícios Adicionais: Franco, ex. 3.3 à   3.6 e 3.8, pg. 75 e

76, ex. 3.9 e 3.10, pg. 79 e 80.