042A55FCd0123

Studije primijenjenog račinarstva

Osnove elektrotehnike Prof. dr Jadranka Radović

1

UVODNA RAZMATRANJA ELEKTROTEHNIKA je prirodna nauka koja proučava uzajamna dejstva naelektrisanih tijela (naelektrisanja), ili ELEKTROTEHNIKA prirodna nauka koja proučava električne pojave čiji su nosioci naelektrisana tijela (naelektrisanja).

Fundametalni pojam, odnosno osnovna veličina u elektrotehnici je NAELEKTRISANJE.

Naelektrisanja su uzrok električnih pojava.

Oznaka za naelektrisanje je Q ili q , Veliko slovo se obično koristi u slučaju konstantnih (vremenski nepromjenljivih) naelektrisanja, a malo za

promjenljiva naelektrisanja.

Jedinica za naelektrisnje je: kulon , ][C .

Manje jedinice za naelektrisanje su: milikulon CmC 310−−−−====

mikrokulon CC 610−−−−====µµµµ

nanokulon CnC 910−−−−====

pikokulon CpC 1210−−−−==== .

Za naelektrisanje je karakteristično:

Postoje dvije vrste naelektrisanja, nazvana (po dogovoru) pozitino i negativno.

Postoji najmanje naelektrisanje u prirodi - elementarno naelektrisanje ili kvant naelektrisanja.

Odakle potiče (gdje se "nalazi") naelektrisanje, odnosno ko su nosioci pozitivnih i negatinih elementarnih

naelektrisanja ?

Struktura materije

Sve što postoji u prirodi čini materiju. Dakle, materija je građa cjelokupne prirode, odnosno univerzuma.

Materija se javlja u dva osnovna, čovjeku poznata, oblika: supstanca i fizičko polje.

Supstanca je oblik materije od kojeg su izgrađena fizička tijela.

Fizičko polje (gravitaciono, električno, magnetno, polje međumolekularnih sila i polje nuklearnih sila) je

prostor oko fizičkog tijela u kome se manifestuje djelovanje odgovarajuće sile.

Najsitnije čestice supstanci, koje se dalje jednostavnim sredstvima ne mogu dijeliti, su ATOMI (atoms,

grčki: nedjeljiv)

Atom (slika 1) se sastoji od jezgra atoma, koga čine neutroni i protoni, i od elektrona koji po određenim

putanjama kruže oko jezgra, kao planete oko sunca. Prostor u kome se oko jezgra atoma kreću elektroni

naziva se elektronski omotač. Elektroni se kreću po različitim orbitama, odnosno elektronskim ljuskama

različitih energetskih nivoa.

Proton je pozitivno naelektrisana čestica koja nosi najmanje pozitivno naelektrisanje. Naelektrisanje

protona , koje se označava sa e , iznosi: CeQ p19106021,1 −−−−⋅⋅⋅⋅====≡≡≡≡ .

Elektron je negativno naelektrisana čestica koja nosi najmanje negativno naelektrisanje. Naelektrisanje elektrona je po vrijednosti jednako naelektrisanju protona, a suprotnog je znaka:

CeQe19106021,1 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−≡≡≡≡ .



2

Naelektrisanja elektrona i protona su ista po količini (vrijednosti), a suprotnog su znaka: pe QQ −−−−==== .

Slika 1: Struktura atoma Sile koje drže elektrone da kruže oko jezgra atoma su električne sile koje djeluju između naelektrisanih čestica. Između negativnih naelektrisanih čestica (elektrona) i pozitivno naelektrisanih čestica (protona)

djeluju privlačne električne sile.

Neutron je čestica u električno neutralnom stanju. Protoni koji nose elementarno pozitivno naelektrisanje

zajedno sa neutronima koji su neutralne (bez naelektrisanja) čestice čine jezgro atoma. Jezgro atoma je pozitivno naelektrisana čestica. Protone i neutone drže na okupu jake nuklearne sile.

U normalnom stanju atoma, protona ima koliko i elektrona pa je atom električno neutralan, odnosno ukupno naelektrisanje svakog potpunog atoma jednako je nuli. Međutim, u prirodi su mogući procesi u kojima se od neutralnog atoma odvaja jedan ili više elektrona.

Odvojeni elektroni se nazivju slobodni elektroni, a ostaci atoma pozitivni joni. Dešava se i obrnuti proces.

Neki od slobodnih elektrona mogu da uđu u sastav elektronskog omotača neutralnog atoma. Tako nastaju

negativni joni.

Atom koji je izgubio jedan elektron ima višak od jednog protona. Naelektrisanje takvog atoma je pozitivno

(pozitivan jon) i jednako naelektrisanju protona: CQ 191 106021,1 −−−−

++++ ⋅⋅⋅⋅==== .

Atom koji je prihvatio elektron ima višak od jednog elektrona, pa je atom negativno naelektrisan (negativan

jon). Naelektrisanje takvog atoma je negativno i jednako naelektrisanju elektrona: CQ 191 106021,1 −−−−

−−−− ⋅⋅⋅⋅−−−−====

Broj atoma u mm3 neke supstance je veoma veliki.U čvrstim i tečnim tijelima ima oko atoma2910 u 3m .

Znači, u 31mm ima oko atoma2010 . Uporedimo to sa brojem stanovnika na zemlji, iznad 9106 ⋅⋅⋅⋅ .

Naelektrisanje (naelektrisana tijela)

Posmatrajmo neko tijelo, npr. komadić bakra. Broj atoma u posmatranom tijelu je ogroman.

Ako su svi atomi električno neutralni i samo tijelo je električno neutralno i njegovo naelektrisanje je:

CQ 0==== .

Jezgro

(protoni + neutroni)

Elektroni



3

Ako izvjesnom broju atoma (npr. N atoma) posmatranog tijela na podesan način (trljanjem, dejstvom

električnog polja,...) oduzmemo po jedan elektron iz spoljašnje ljuske, tijelo postaje pozitivno naelektrisano.

Njegovo naelektrisanje je:

][106021,1 19 CNeNQN−−−−

++++ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== .

Ako pak, izvjesnom broju atoma (npr. N atoma) posmatranog tijela na podesan način dodamo po jedan

elektron u spoljašnju ljusku, tijelo postaje negativno naelektrisano.

Njegovo naelektrisanje je:

][106021,1)( 19 CNeNQN−−−−

−−−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅==== .

Naelektrisano tijelo je tijelo koje ima manjak ili višak elektrona. U slučaju manjka elektrona tijelo je pozitivno naelektrisano. Vrijednost naelektrisanja tog tijele je

pozitivna, npr.: CQ 5102,3 −−−−⋅⋅⋅⋅==== .

U slučaju viška elektrona tijelo je negatino naelektrisano. Vrijednost naelektrisanja tog tijela je

negativna, npr.: CQ 5102,3 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== .

Naelektrisanje je uvijek cijeli broj (n=1,2,3...) elementarnih naelektrisanje: enQ ⋅⋅⋅⋅±±±±==== .

Između dva naelektrisana tijela djeluju električne sile.

- Ako su naelektrisanja oba tijele iste vrste, pozitivna ili negativna, ukupna sila između njih je odbojna.

- Ako su tijela naelektrisana različitim vrstama naelektrisanja, odnosno ako je jedno pozitivno a drugo negativno, ukupna sila između tijela je privlačna.

Provodnici, izolatori i poluprovodnici Svi materijali koje srijećemo mogu se u električnom pogledu svrstati u tri grupe: provodnici, izolatori (dielektrici) i poluprovodnici.

Za provodnike je karakteristično da u njihovom sastavu postoji veliki broj naelektrisanih čestica koje mogu

relativno slobodno da se kreću kroz materijal.

Najvažniji provodnici su metali (srebro, bakar, zlato, aluminijum,...). Kod metala su elektroni iz

spoljašnje ljuske veoma slabo (labavo) vezani za svoj atom, tako da postoji stalno kretanje ovih elektrone od

atoma do atoma. Ovi elektroni se nazivaju slobodni elektroni ili elektroni provodnosti. Pod dejstvom i

najmanjih električnih sila (koje potiču od nekih naelektrisanja u okolini komada metala) elektroni poćinju de

se usmjereno kreću.

Kod izolatora (dielektrika) su elektroni iz spoljašnje ljuske, u normalnim uslovima, čvrsto vezani za svoj

atom. Ako se u blizini izolatora nađe neko naelektrisano tijelo, električne sile će djelovati i na jezgra atoma i

na elektrone u elektronskim ljuskama, ali neće doći do kretanja jednih i drugih, već samo do izvjesne

deformacije atoma. Izolatori su supstancije sa voma malom koncentracijom slobodnih elektrona i oni ne

provode naelektrisanje, ili ga veoma slabo provode. U grupu izolatora spadaju: porculan, plastične mase, staklo, guma, papir, ulja, vazduh,... Poluprovodnici čine prelaznu grupu između provodnika i izolatora.

Kod poluprovodnika je broj slobodnih naelektrisanih čestica manji nego kod provodnika, a značajno veći

nego kod izolatora. Pod dejstvom određenih sila (toplote, svjetlosti) broj slobodnih naelektrisanja može da

značajno poraste i poluprovonik prelazi u provodnike. Poluprovodnici su bitni za elektroniku. Osnovni poluprovodnici su silicijum (Si) i germanijum (Ge).



4

I. ELEKTROSTATIKA Dio elektrotehnike koji proučava naelektrisana tijela u stanju mirovanja, sa vremenski nepromjenljivim

naelektrisanjem naziva se elektrostatika. Sile koje djeluju između tih tijela su elektrostatičke sile.

Naelektrisana tijela djeluju jedno na drugo određenom silom. Pri tome je sila privlačna ako su naelektrisanja

suprotnog znaka, a odbojna ako su naelektrisanja istog znaka.

Napomena: - Oznaka za silu je F.

- Sila je vektorska veličina ( F

), određena:

pravcem djelovanja sile,

smjerom djelovanja sile i intenzitetom, odnosno veličinom sile F koja predstavlja njenu vrijednost.

Jedinica za silu je: njutn , ][N .

I.1. KULONOV ZAKON Jedan od osnovnih zakona u elektrostatici je Kulonov zakon.

Francuski fizičar Šarl Kulon (1736-1806) je eksperimentalno utvrdio zakon međusobnog djelovanja dva

naelektrisana tijela u stanju mirovanja, pri čemu su dimenzije tih tijela znatno manje od njihovog rastojanja - tzv. tačkasta naelektrisanja. Zakon je po njemu nazvan Kulonov zakon.

Kulonov zakon važi za tačkasta naelektrisanja i glasi:

• Intenzitet sile međusobnog djelovanja dva tačkasta naelektrisanja određen je izrazom:

2

21

r

QQkF

⋅⋅⋅⋅==== ; ...(I.1)

• Sila djeluje duž prave koja spaja tačkasta naelektrisanja;

• Sila je privlačna ako su naelektrisanja suprotnog znaka (slika2), a ako su naelektrisanja istog znaka sila je odbojna (slika 3).

Slika 2: Sila međusobnog dejstva tačkastih naelektrisnja suprotnog znaka

Slika 3: Sila međusobnog dejstva tačkastih naelektrisnja istog znaka

][1 CQ ][2 CQ ][mr

][21 NF

2

212112

r

QQkFFF

⋅⋅⋅⋅====≡≡≡≡====

][12 NF

][1 CQ ][2 CQ ][mr

][12 NF

][21 NF

2

212112

r

QQkFFF

⋅⋅⋅⋅====≡≡≡≡====



5

U izrazu (I.1) su:

F - vrijednost sile međusobnog djelovanja dva tačkasta naelektrisanja, u njutnima ][N ;

1Q i 2Q - naelektrisanja (apsolutne vrijednosti) tačkastih tijela, u kulonima ][C ;

r - međusobno rastojanje tačkastih naelektrisanja, u metrima ][m ;

k - konstanta proporcionalnosti kojom se izražava zavisnost sile od osobina sredine u kojoj se naelektrisanja

nalaze.

Jedinica za konstantu k je:

2

2

C

mN.

Jedinica za k slijedi iz Kulonovog zakona (I.1): 2

2

21

22

)(][][][][

C

Nmk

CQCQ

mrNFk ====⇒⇒⇒⇒

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==== .

Za vakuum ( ≈ i za vazduh) vrijednost konstante k je: 2

29

0 109C

mNk ⋅⋅⋅⋅==== .

Najčešće se konstanta k izražava preko dielektrične konstante sredine εεεε :

πεπεπεπε4

1====k . ...(I.2)

Jedinica za dielektričnu konstantu εεεε je:

2

2

mN

C, ili:

m

Fmetrupofarad , .

Farad, ][F je jedinica za kapacitivnost.

Za vakuum ( ≈ i za vazduh) vrijednost dielektrične konstante εεεε je: 2

212

0 10854,8mN

C−−−−⋅⋅⋅⋅====εεεε .

Za sve druge dielektrike, dielektrična konstanta ( εεεε ) je veća od dielektrične konstante vakuuma ( 0εεεε ):

0εεεεεεεεεεεε ⋅⋅⋅⋅==== r . ...(I.3)

rεεεε je relativna dielektrična konstanta posmatranog dielektrika (neimenovan broj, veći od jedinice:

1>>>>rεεεε ). Za vakuum ( ≈ i za vazduh) je 1====rεεεε .

Kulonov zakon (I.1) se najčešće izražava preko dielektrične konstante, odnosno preko izraza:

====⋅⋅⋅⋅

====2

21

4

1

r

QQF

εεεεππππ 221

04

1

r

QQ

r

⋅⋅⋅⋅

εεεεεεεεππππ , ...(I.1A)

Ako se naelektrisanja nalaze u vakuumu ( ≈vazduhu):

2

21

00 4

1

r

QQF

⋅⋅⋅⋅====

εεεεππππ. …(I.1B)

Dielektrična konstanta je najmanja za vakuum ( ≈vazduh).⇒ Sila je najveća u vakuumu ( ≈vazduhu).



6

Q1

r12

1

2

r23

3

r13

Q3 Q2

Napomena:

U izrazima za vrijednost Kulonove sile (I.1), (I.A) i (I.1BA), uvrštavaju se apsolutne vrijednosti

naelektrisanja. Činjenica da je vrijednost naelektrisanja negativna utiče na smjer djelovanja sile, a ne na

njenu vrijednost.

Dejstvo više tačkastih naelektrisanja na neko tačkasto naelektrisnje Ako posmatramo dejstvo više tačkastih naelektrisanja na neko tačkasto naelektrisnje, onda je sila na

posmatrano tačkasto naelektrisanje jednaka vektorskom zbiru sila kojima tačkasta naelektrisanja

pojedinačno djeluju na posmatrano naelektrisnje (slika 4 i slika 4A).

Slika 4: Sila od dva tačkasta naelektrisanja

Za raspored tri naelektrisanja duž iste prave, sila dejstva npr. na naelektrisanje u tački 3 je kao na slici 4A.

Slika 4A: Sila od dva tačkastia naelektrisanja na isom pravcu

Primjeri-1

1. Odrediti silu međusobnog dejstva dva jednaka tačkasta naelektrisanja CQQ 10

21 103 −−−−⋅⋅⋅⋅======== , koja se nalaze u vazduhu na međusobnom rastojanju cmr 3==== . Rješenje

Za tačkasta naelektrisanja važi Kulonov zakon (izraz I.1). Naelektrisaja se nalaze u vazduhu:

2

29

0 109C

mNkk ⋅⋅⋅⋅====≈≈≈≈ . Oba naelektrisanja su pozitivna. ⇒ Sila je odbojna (slika).

Q1 = 3 10-10 C

Q2 = 3 10-10 C r =3 10-2 m

][12 NF

FFF ≡≡≡≡==== 2112

][21 NF

23133 FFF

++++====

213

3113

r

QQkF

⋅⋅⋅⋅====

223

323

r

QQkF

⋅⋅⋅⋅====

13233 FFF −−−−====

13F

23F

3F

Q1

Q2

13F

23133 FFF

++++====

213

3113

r

QQkF

⋅⋅⋅⋅====

223

3223

r

QQkF

⋅⋅⋅⋅====

Q3

23r

13r 3F

23F

12r



7

Vrijednost sile je: (((( ))))

Nm

CC

C

Nm

r

QQkF 7

222

1010

2

29

221

0 109][103

][103][103109 −−−−

−−−−

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅======== .

2. Odrediti silu međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja nCQ 21 −−−−==== i nCQ 62 ==== , koja se nalaze u vazduhu na međusobnom rastojanju cmr 10==== . Rješenje


2

29

0 109C

mNkk ⋅⋅⋅⋅====≈≈≈≈ . Naelektrisanje 1 je negativno, a naelektrisanje 2 je pozitivno, odnosno naelektrisanja

su suprotnog znaka. ⇒ Sila je privlačna (slika).

Vrijednost sile je: (((( ))))

Nr

QQkF 5

22

999

221

0 1008,11010

106102109

. −−−−

−−−−

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== .

3. Tri tačkasta naelektrisanja CQ 6

1 10−−−−==== , CQ 62 102 −−−−⋅⋅⋅⋅==== i CQ 6

3 105 −−−−⋅⋅⋅⋅==== postavljena su u vazduhu na

međusobnim rastojanjima kao na slici. Odrediti silu koja djeluje na naelektrisanje u tački 3.

Rješenje


2

29

0 109C

mNkk ⋅⋅⋅⋅====≈≈≈≈ .

Na naelektrisanje u tački 3 djeluju sila od naelektrisanja 1 ( 13F

) i sila od naelektrisanja 2 ( 23F

).

Naelektrisanja 1 i 3 su istog znaka, pozitivna. ⇒ Sila 13F

je odbojna.

Vrijednost sile je: Nr

QQkF 125,1

)1,01,0(

10510109

2

669

213

31013 ====

++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−

.

Naelektrisanja 2 i 3 su istog znaka, pozitiva. ⇒ Sila 23F

je odbojna.


QQkF 9

1,0

105102109

2

669

223

32023 ====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−

.

Q1 = -2 10-9 C

Q2 = 6 10-9 C r =10 10-2 m

][12 NF

][21 NF

FFF ≡≡≡≡==== 2112

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C

r12= 0,1 m

1

2

r23= 0,1 m

3

Q3 = 5 10-6 C

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C Q3 = 5 10-6 C

13F

r12= 0,1 m

1

2

r23= 0,1 m

3

23F

3F



8

Ukupna sila na naelektrisanje u tački 3 ( 3F

) jednaka je vektorskom zbiru sile od naelektrisanja u tački 1

( 13F

) i od naelektrisanja u tački 2 ( 23F

): 23133 FFF

++++==== .

Obje sile koje djeluju na naelektrisanje u tački 3 su istog pravca i smjera. ⇒⇒⇒⇒ Vrijednost ukupne sile na naelektrisanje u tački 3je: NFFF 125,1023133 ====++++==== .

Smjer sile se poklapa sa smjerom pojedinačnih sila. 4. Za naelektrisanja iz primjera 3, odrediti silu koja djeluje na naelektrisanje u tački 3, ako je naelektrisanje u tački 2 negativno ( CQ 6

2 102 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== ). Rješenje

Na naelektrisanje u tački 3 djeluju sila od naelektrisanja 1 ( 13F

) i sila od naelektrisanja 2 ( 23F

).

Naelektrisanja 1 i 3 su istog znaka, pozitivna. ⇒ Sila 13F

je odbojna.


QQkF 125,1

)1,01,0(

10510109

2

669

213

31013 ====

++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−

.

Naelektrisanje 2 je negativno, suprotnog znaka od naelektrisanja u tački 3. ⇒ Sila 23F

je privlačna.


QQkF 9

1,0

105102109

2

669

223

32023 ====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−

.

Ukupna sila na naelektrisanje u tački 3 ( 3F

), jednaka je vektorskom zbiru sile od naelektrisanja u tački 1

( 13F

) i sile od naelektrisanja u tački 2 ( 23F

): 23133 FFF

++++==== .

Sile koje djeluju na naelektrisanje u tački 3 su istog pravca a suprotnog smjera. ⇒⇒⇒⇒ Vrijednost ukupne sile na naelektrisanje u tački 3 je: NFFF 875,713233 ====−−−−==== .

Smjer sile se poklapa sa smjerom sile čija je vrijednost veća, konkretno sa smjerom sile 23F

.

Pitanja-1 1. Ko su nosioci elementarnih pozitivnih i negativnih naelektrisanja ? 2. Kako dijelimo sve materijale prema električnim svojstvima ? 3. Kako glasi Kulonov zakon ? 4. U kojoj dielektričnoj sredini je sila međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja najveća ? 5. Kako će se promjeniti vrijednost sile međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja ako se rastojanje između njih poveća dva puta ? 6. Kako će se promjeniti vrijednost sile međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja ako se naelektrisanja umjesto u vazduh postave u sredinu relativne dielektrične konstante 2====rεεεε ? 7. Kako će se promjeniti vrijednost sile međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja, ako se oba naelektrisanja povećaju dva puta ? 8. Kako će se promjeniti vrijednost sile međusobnog dejstva dva tačkasta naelektrisanja, ako se jedno naelektrisanje smanji dva puta ?

13F

23F

3F

13F

Q1 = 10-6 C

Q2 =-2 10-6 C

r12=0,1 m

1

2

r23=0,1 m

3

Q3 = 5 10-6 C

23F

3F

23F

13F

3F



9

I.2. ELEKTRIČNO POLJE Naelektrisano tijelo mijenja prostor oko sebe. To naročito fizičko stanje oko naelektrisanog tijela naziva se električno polje.

Oko svakog naelektrisanog tijela postoji električno polje. Ono djeluje električnom silom na svako drugo

naelektrisano tijelo koje se u njemu nalazi.

Električno polje se može opaziti samo po svom djelovanju na naelektrisana tijela. Za ispitivanje električnog

polja koriste se tzv. probna naelektrisanja ( pQ ). Probno naelektrisanje mora biti veoma malo, tako da

njegovo polje ne remeti razmatrano polje. Probno naelektrisanje je, po dogovoru, uvijek pozitivno.

Osnovne veličine koje karakterišu električno polje su:

- Vektor jačine električnog polja ( E

), odnosno jačina električnog polja ( E ),

- Električni potencijal (ϕϕϕϕ ili V ), - Napon ( U ).

I.2.1 Vektor jačine električnog polja ( E

)

Posmatrajmo naelektrisano tijelo naelektrisanja Q , u određenoj dielektričnoj sredini. Oko tog naelektrisanog

tijela postoji električno polje. Unesimo u to polje probno naelektrisanje pQ .

Na probno naelektrisanje pQ djelovaće električna sila F

čiji je intenzitet, pravac i smjer određen u svakoj

tački prostora oko naelektrisanja Q , odnosno u svakoj tački električnog polja.

Vektor jačine električnog polja E

definiše se kao odnos sile F

i probnog naelektrisanja pQ :

pQ

FE

==== .

Pravac i smjer vektora jačine električnog polja se poklapa sa pravcem i smjerom sile F

na probno

naelektrisanje pQ .

Jačina električnog polja ( E [V/m]) je vrijednost vektora jačine električnog polja i određena je

izrazom:

pQ

FE ==== . ...(I.4)

Jedinica za jačinu električnog polja je: kulon

njutn ,

C

N ili

metar

volt,

m

V.

Volt, ][V je jedinica za potencijal i napon.

Kada se u električnom polju nađe naelektrisano tijelo, na to tijelo djelovaće električna sila.

Električno polje jačine E djeluje na tijelo naelektrisanja xQ koje se nalazi u tom polju, silom jačine:

xx QEF ==== .



10

Vektor jačine električnog polja tačkastog naelektrisanja Posmatrajmo tačkasto naelektrisanje Q u stanju mirovanja, smješteno u sredini dielektrične konstante εεεε .

Oko tog naelektrisanja postoji električno (elektrostatičko) polje.

Na probno naelektrisanje pQ koje se nalazi u tački 1 polja, na rastojanju r od naelektrisanja Q , djeluje sila

određena Kulonovim zakonom: 22 4

1

r

QQ

r

QQkF

pp ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

πεπεπεπε.

U slučaju pozitivnog tačkastog naelektrisanja sila je odbojna (slika 5A).

U slučaju negativnog tačkastog naelektrisanja sila je privlačna (slika 5B).

Slika 5: Vektor jačine električnog polja pozitivnog A) i negativnog tačkastog naelektrisanja B)

Po definiciji, jačina elektročnog polja je: pQ

FE ==== . ⇒

Jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja je:

22 4

1

r

Q

r

QkE

πεπεπεπε======== . ...(I.4A)

Pravac i smjer vektora ječine električnog polja poklapaju se sa pravcem i smjerom sile na probno (pozitivno)

naelektrisanje. ⇒

Smjer vektora jačine električnog polja pozitivnog naelektrisanja je od naelektrisanja. Smjer vektora jačine električnog polja negativnog naelektrisanja je ka naelektrisanju. Jačina električnog polja više tačkastih naelektrisanja

Ako postoji više tačkastih naelektrisanja, jačina polja u posmatranoj tački polja jednaka je vektorskom zbiru jačina polja koje u datoj tački daje svako pojedinačno naelektrisanje.

Na slici 6 je prikazano električno polje u tački X od dva tačkasta naelektrisanja, jednog pozitivnog a drugog

negativnog.

Slika 6: Vektor jačine električnog polja od dva tačkasta naelektrisanja

Q

Qp

r F

E

1

A)

Q

Qp

r F

E

1

B)

Q1

Q2

1E

21 EEE X

++++====

21

11

r

QkE ====

22

22

r

QkE ====

X

2r

1r XE

2E



11

Za raspored naelektrisanja i posmatrane tačke duž iste prave, jačina električnog polja je kao na slici 6A.

Slika 6A: Vektor jačine električnog polja od dva tačkastia naelektrisanja na isom pravcu

Linije električnog polja

Čulima ne možemo zapaziti električno polje i stvoriti očiglednu predstavu o njegovom izgledu. Zato je

uveden pojam linija električnog polja kojima se vizuelno predstavlja električno polje. To su zamišljene

linije koje imaju svojstvo da im je vektor E

tangenta u svakoj tački polja. Linije električnog polja su

usmjerene, što se označava na samoj liniji strelicom, pri čemu smjer linija odgova smjeru vektora E

. Skup

linija električnog polja naziva se spektar polja.

U slučju usamljenog pozitivnog tačkastog naelektrisanja, linije polja su radijalno usmjerene od naelektrisanja (slika 7A).

U slučju usamljenog negativnog tačkastog naelektrisanja, linije polja su radijalno usmjerene ka naelektrisanju (slika 7B).

Slika 7: Linije električnog polja usamljenog tačkastog naelektrisanja: A) pozitivnog, B) negativnog

Najčešća su električna polja kod kojih je vektor jačine električno polja u svakoj tački polja različit. Takva

polja se nazivaju nehomogen polja.

Slika 8: Elektrčno polje dva tačkasta naelektrisanja suprotnog znaka

A) B)

E

E

E

21 EEE X

++++====

21

11

r

QkE ====

22

22

r

QkE ====

21 EEE X −−−−====

Q1

1

2

r2 r1

X

Q2 1E

2E

XE



12

+

+

+

+

+

+

+

+

+

E

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Električno polje u kome je vektor jačine električnog polja u svim tačkama istog intenziteta, pravca i smjera

naziva se homogeno polje. Linije homogenog električnog polja su međusobno paralelne i nalaze se na

jednakim rastojanjima.

Električno polje između dvije paralelne, blisko postavljene velike ravne provodne ploče sa

jednakim naelektrisanjima suprotnog znaka (kondenzator) je homogeno, a izvan ploča

nema polja (slika 9).

Slika 9: Homogeno polje kondenzatora

I.2.2 Električni potencijal ( ϕϕϕϕ [V] ) i napon ( U [V] )

Električni potencijal (kraće, potencijal) u nekoj tački električnog polja ( Xϕϕϕϕ ) definiše se kao odnos

rada ( ∞∞∞∞XA ) koji izvrše sile električnog polja pomjerajući probno naelektrisanje ( pQ ) iz posmatrane tačke

polja u referentnu tačku (beskonačnost) i probnog naelektrisanja:

XX

p

A

Qϕ ∞= . ...(I.5)

Potencijal referentne tačke jednak je nuli. U praksi sa se najčešće uzima da je referentna tačka na površini

zemlje.

Jedinica za potencijal je: volt [[[[ ]]]]V .

Važi: kulon

džulvolt ==== ,

====

C

JV ][ .

Džul , ][J je jedinica za rad: ][JA .

Napon ili potencijalna razlika između dvije tačke u električnom polju (npr. tačke 1 i tačke 2) je razlika

potencijala tih tačaka: 2112 ϕϕϕϕϕϕϕϕ −−−−====U .

Potencijal tačke 1 je: pQ

A ∞∞∞∞==== 11ϕϕϕϕ , a potencijal tačke 2 je:

pQ

A ∞∞∞∞==== 22ϕϕϕϕ .

Napon između tačaka 1 i 2 je:

pQ

AU 12

12 ==== . ...(I.6)

12A je rad koje izvrše sile električnog polja pomjerajući probno naelektrisanje pQ iz tačke 1 u tačku 2 polja.

Napon između dvije tačke u električnom polju definiše se kao odnos rada koje izvrše sile polja pomjerajući probno naelektrisanje iz jedne u drugu posmatranu tačku polja i tog naelektrisanja.



13

Napomena:

Oznaka za napon je U . Pošto se napon definiše između dvije tačke polja, npr. između tačaka 1 i 2, uz oznaku se

najčešće dodaje indeks koji definiše te tačke: 12U

Jedinica za napon je, kao i jedinica za potencijal,: volt [[[[ ]]]]V .

Potencijal i napon u polju tačkastog naelektrisanja

Slika 10: Određivanje potencijala i napona u polju tačkastog naelektrisanja

Potencijal električnog polja tačkastog naelektrisanja Q u nekoj proizvoljnoj tački polja na rastojanju r ,

sa referentnom tačkom u beskonačnosti, određen je izrazom:

r

Q

r

Qk

πεπεπεπεϕϕϕϕ

4

1======== . ...(I.5A)

U tački 1, na rastojanju 1r , potencijal je: 11

1 4

1

r

Q

r

Qk

πεπεπεπεϕϕϕϕ ======== ,

U tački tački 2, na rastojanju 2r , potencijal je: 22

2 4

1

r

Q

r

Qk

πεπεπεπεϕϕϕϕ ======== .

Napon između tačaka 1 i 2 električnog polja tačkastog naelektrisanja Q je:

−−−−====−−−−====−−−−====

21212112

11

4 rr

Q

r

Qk

r

QkU

πεπεπεπεϕϕϕϕϕϕϕϕ . ...(I.6A)

Potencijal u polju više tačkastih naelektrisanja

Potencijal u nekoj tački, npr.tački M , polja koje potiče od Ni ,...,2,1==== tačkastih naelektrisanja iQ , pri

čemu su udaljenosti tačkastih naelektrisanja od tačke M jednake Mir , određen je izrazom:

∑∑∑∑∑∑∑∑========

========N

i Mi

iN

iMiM r

Qk

11

ϕϕϕϕϕϕϕϕ , ...(I.7)

Potencijal negativnog naelektrisanja je negativan, pozitivnog pozitivan.

U izraz (I.7) uvrštavaju se algebarske vrijednosti naelektrisanja, odnosno za pozitivno naelektrisanje pozitivna vrijednost, a za negativno naelektrisanje negativna vrijednost naelektrisanja.

1

pQ )(R∞∞∞∞

∞∞∞∞1r

1r

)( 22 FE

2

2r

Q

∞∞∞∞2r 12r

r

+ 12U

pQ )( 11 FE



14

Primjeri-2

1. U tački M jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja u vazdu iznosi mVE /300 ==== , a u

silikonskom ulju mVE /120 ==== . Izračunati relativnu dielektričnu konstantu silikonskog ulja.

Rješenje:

Jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja (izraz I.4A) u vazduhu je: 2

00 4

1

Mr

QE

πεπεπεπε==== .

Jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja u silikonskom ulju je: 2

04

1

Mrulj

r

QE

εεεεπεπεπεπε==== . ⇒ r

uljE

Eεεεε====0 .

Vrijednost relativne dielektrične konstante ulja je: 5,212

30========rεεεε .

2. Kolika sila djeluje na elektron koji se nalazi u električnom polju jačine ./8,0 mkVE ==== Rješenje:

Elektron nosi najmanje negativno naelektrisanje: CQe19106,1 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== . Jačina električnog polja u tački u kojoj

se nalazi elektron je: eQ

FE ==== . ⇒

Sila koja djeluje na elektron je: NCmVQEF e16193 1028,1][106,1]/[108,0 −−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== .

3. Dva tačkasta naelektrisanja CQ 61 10−−−−==== i CQ 6

2 102 −−−−⋅⋅⋅⋅==== postavljena su u vazduhu na međusobnom rastojanju r12= 0,1 m. Odrediti jačinu električnog polja u tački X udaljenoj od naelektrisanja kao na slici.

Rješenje:

Vektor jačine električnog polja u tački X ( E

) jednak je vektorskom zbiru vektora jačine električnog polja od

naelektrisanja 1Q ( 1E

) i vektora jačine električnog polja od naelektrisanja 2Q ( 2E

): 21 EEE

++++==== .

Pravac i smjer vektora jačina električnih polja 1E

u tački X je kao na slici (od pozitivnog naelektrisanja

1Q ), a jačina električnog polja (izraz I.4A) iznosi: (((( )))) m

V

rr

QkE

X

52

69

2212

101 1025,2

1,01,0

10109

)(⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅====

++++====

−−−−

.



2Q ), a jačina električnog polja (izraz I.4A) iznosi: m

V

r

QkE

X

52

69

22

202 1018

1,0

102109 ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−

.

Vektori 1E

i 2E

su u tački X istog pravca i smjera, pa jačina električnog polja u tački X iznosi:

m

VEEE 555

21 1025,2010181025,2 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====++++==== .

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C

r12= 0,1 m

1

2

r2X= 0,1 m

X

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C

1E

r12= 0,1 m

1

2

r2X= 0,1 m

X 2E

E



15


2 102 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== postavljena su u vazduhu na međusobnom rastojanju r12= 0,1 m. Odrediti jačinu električnog polja u tački X udaljenoj od naelektrisanja kao na slici.

Rješenje:





): 21 EEE

++++==== .



1Q ), a jačina električnog polja (izraz I.4A) iznosi: (((( )))) m

V

rr

QkE

X

52

69

2212

101 1025,2

1,01,0

10109

)(⋅⋅⋅⋅====

++++⋅⋅⋅⋅====

++++====

−−−−

.


u tački X je je kao na slici (ka negativnom naelektrisanju


V

r

QkE

X

52

69

22

202 1018

1,0

102109 ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−

Vektori 1E

i 2E

u tački X su istog pravca, a suprotnog smjera, pa jačina električnog polja u tački X iznosi:

m

VEEE 555

12 1075,151025,21018 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−==== .


2 102 −−−−⋅⋅⋅⋅==== postavljena su u vazduhu na međusobnom rastojanju r12= 0,2 m. Odrediti jačinu električnog polja u tački X udaljenoj od naelektrisanja kao na slici.

Rješenje:





): 21 EEE

++++==== .


u tački X je kao na slici (ka negativnom naelektrisanju


V

r

QkE

X

52

69

21

101 109

1,0

10109 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅========

−−−−

.


u tački X je je kao na slici (ka negativnom naelektrisanju


V

r

QkE

X

52

69

22

202 1018

1,0

102109 ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−

Q1 = 10-6 C

Q2 = -2 10-6 C 1E

r12= 0,1 m

1

2

r2X= 0,1 m

X 2E

E

Q1 = 10-6 C

Q2 = -2 10-6 C

r12= 0,1 m

1

2

r2X= 0,1 m

X

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C

r1X= 0,1 m

1

X rX2= 0,1 m

23

1E

2E

E

Q1 = 10-6 C

Q2 = 2 10-6 C

r1X= 0,1 m

1

X rX2= 0,1 m

23



16

1

4 3

2 ++++1Q

++++2Q

Q

1E

2E

E

cma 3====

Vektori 1E

i 2E

su u tački X istog pravca i suprotnog smjera, pa jačina električnog polja u tački X iznosi:

m

VEEE 555

12 1091091018 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−====

3. Dva tačkasta naelektrisanja CQQ 1021 102 −−−−⋅⋅⋅⋅======== nalaze se u vazduhu u tjemenima 2 i 4 kvadrata

stranice cma 3==== . Odrediti vektor jačine električnog polja u tjemenu 3 kvadrata. Rješenje:

Vektor jačine električnog polja u tački 3 ( E

) jednak je vektorskom

zbiru vektora jačine električnog polja od naelektrisanja 1Q u tački

2 ( 1E

) i vektora jačine električnog polja od naelektrisanja 2Q u

tački 4 ( 2E

): 21 EEE

++++==== .


je kao na slici, a

jačina električnog polja (izraz I.4A) je:

(((( )))) m

V

a

QkE 3

22

109

21

01 102103

102109 ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−

−−−−

.


je kao na slici, a

jačina električnog polja je: (((( )))) m

V

a

QkE 3

22

109

22

02 102103

102109 ⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−

−−−−

.

Pavac i smjer rezultantnog vektora jačine električnog polja u tački 3 je kao na slici, a jačina električnog

polja u tački 3 je: (((( )))) (((( ))))m

VEEE 323232

221 10828,2102102 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====++++==== .

4. Naći potencijal tačaka na rastojanju mr 3==== od tačkastog naelektrisanja CQ 9102 −−−−⋅⋅⋅⋅==== u vazduhu. Rješenje:

Potencijal tačaka na rastojanju r od tačkastog naelektrisanja Q u vazduhu (2

29

0 109C

Nmk ⋅⋅⋅⋅==== ) određen je

izrazom I.5A i konkretno iznosi: Vm

C

C

Nm

r

Qk 6

][3

][102109

9

2

29

0 ====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅========

−−−−

ϕϕϕϕ .


2 102 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== nalaze se u vazduhu na međusobnom

rastojanju od cmr 1812 ==== . Odrediti položaj tačke nultog potencijala na duži koja spaja ova dva naelektrisanja. Rješenje:

Potencijal u tački X (slika) potiče od naelektrisanja 1Q i naelektrisanja 2Q , u vazduhu (2

29

0 109C

Nmk ⋅⋅⋅⋅==== ),

pa je: )(2

2

1

10

2

10

2

1 XXi Xi

i

iXiX r

Q

r

Qk

r

Qk ++++============ ∑∑∑∑∑∑∑∑

========

ϕϕϕϕϕϕϕϕ .

Q1 =10-10C

r12=18 10-2 m

1

X 23

Q2 = -2 10-10C

r1X [m]

r2X [m]= r12-r1X



17

Za pozitivno naelektrisanje uvrštavamo pozitivnu vrijednost, a za negativno naelektrisanje negativnu vrijednost naelektrisanja.

Uslov zadatka da je 0====Xϕϕϕϕ , biće ispunjen ako je : 0)(2

2

1

1 ====++++XX r

Q

r

Q ,

odnosno: 0)( 121121 ====++++−−−− XX rQrrQ

01211121 ====++++−−−− XX rQrQrQ

121211 )( rQQQr X −−−−====++++−−−−

⇒ 21

1211 QQ

rQr X

−−−−==== .

Vrijednost rastojanja Xr1 je: mmCC

mCr X

210

12

1010

210

1 106][102

1018

)][102()][10(

][1018][10 −−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

Tačka nultog potencijala na duži koja spaja naelektrisanja nalazi se na rastojanju cmr X 61 ==== od

naelektrisanja 1Q , odnosno na rastojanju cmr X 126182 ====−−−−==== od naelektrisanja 2Q . 6. Potencijali koje stvaraju pozitivno i negativno naelektrisanje u tački A su V14 i V9− , a u tački B

iznose V3 i V17− . Koliki je napon između tačaka A i B?

Rješenje

Potencijal u tački A je: VVVi

AiA 5])[9(][142

1

====−−−−++++======== ∑∑∑∑====

ϕϕϕϕϕϕϕϕ .

Potencijal u tački B je: VVVi

BiB 14)][17(][32

1

−−−−====−−−−++++======== ∑∑∑∑====

ϕϕϕϕϕϕϕϕ .

Napon između tačaka A i B je: VVVU BAAB 19)][14(][5 ====−−−−−−−−====−−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕ .

7. U električnom polju, napon između tačaka A i B iznosi VU AB 78==== . Pri pomjeranje naelektrisanja pQ

od tačke A do tačke B izvršen je rad od J9,3 . Kolika je vrijednost naelektrisa pQ ?

Rješenje

Napon između dvije tačke u električnom polju određen je odnosom rada izvršenog pri pomjeranju

naelektrisanja između te dvije tačke polja i tog naelektrisanja: p

ABAB Q

AU ==== . ⇒

CV

J

U

AQ

AB

ABp 02,0

][78

][9,3============ .

Pitanja-2 1. Kako se definiše vektor jačine električnog polja ? 2. Koja je jedinica za jačinu električnog polja ? 3. Jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja u tački 1 je E . Kolika je jačina električnog polja u tački 2 na dva puta većem rastojanju ? 4. Jačina električnog polja tačkastog naelektrisanja Q u tački 1 je E . Kolika će biti jačina električnog polja u toj tački ako se naelektrisanje poveća dva puta ? 5. Koja je jedinica za potencijal, a koja za napon ?



18

I.3 ELEKTRIČNI KONDENZATORI Sistem od dva bliska provodna tijela koja su naelektrisana jednakim naelektrisanjima suprotnog znaka ( Q++++ i Q−−−− ) razdvojena izolatorom (dielektrikom dielektrične konstante εεεε ) naziva se kondenzator (slika 11).

Provodna tijela koja čine kondenzator nazivaju se obloge kondenzatora (ili elektrode ili ploče

kondenzatora). Oblogama kondenzatora daje se takav oblik da se električno polje uspostavlja uglavnom

između obloga kondenzatora.

Slika 11: Kondenzator

Naelektrisanje jedne obloge kondenzatora je Q++++ (pozitivna obloga), a druge Q−−−− (negativna obloga ).

Naelektrisanja su ravnomjerno raspoređena po površini obloga kondenzatora.

Između obloga kondenzatora uspostavlja se električno polje E

, usmjereno od pozitivne ka negativnoj

oblogi kondenzatora..

Pozitivna obloga kondenzatora, odnosno sve tačke na njenoj površini su na potencijalu ++++ϕϕϕϕ .

Negativna obloga kondenzatora, odnosno sve tačke na njenoj površini su na potencijalu −−−−ϕϕϕϕ .

Napon između obloga kondenzatora je: −−−−++++ −−−−==== ϕϕϕϕϕϕϕϕU .

Napomena : Naelektrisanje obloga kondenzator realizuje se njihovim priključenjem na izvor napona. Jedna obloga se

povezuje provodnikom sa pozitivnim polom izvora i naelektrisanje prelazi sa izvora na oblogu dok se ne

izjednače potencijali te obloge i tog pola ivora. Druga obloga se povezuje sa negativnim polom izvora i sa

njega naelektrisanje prelazi na tu oblogu dok se ne izjednače njihovi potencijali. Napon između obloga

napunjenog kondenzatora jednak je naponu između polova izvora.

I.3.1 Kapacitivnost kondenzatora ( C[F] )

Mjerenja pokazuju da se srazmjerno sa promjenom napona između obloga kondenzatora mijenja i naelektrisanje kondenzatora. Količnik naelektrisanja Q na oblogama kondenzatora i napona U između obloga kondenzatora je

konstanta za posmatrani kondenzator: toCU

Q==== .

Ova konstanta proporcionanosti se naziva kapacitivnost kondenzatora i označava se sa C :

U

QC ==== . ...(I.8)

⇒

E

ε

+Q

ϕ+

-Q

ϕ-



19

Naelektrisanje kondenzatore kapacitivnosti C priključenog na napon U je:

UCQ ⋅⋅⋅⋅==== . ...(I.8A)

Napon na krajevima kondenzatora kapacitivnosti C sa naelektrisanjem Q je:

C

QU ==== . ...(I.8B)

Jedinica za kapacitivnost je: farad , ][F .

Važi:volt

kulonfarad ==== , odnosno:

====

V

CF ][ .

Pošto je farad vrlo velika jedinica, obično se kapacitivnost daje u manjim jedinicama:

FpFpikofarad

FnFnanofarad

FFmikrofarad

FmFmilifarad

12

9

6

3

10

10

10

10

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

====

====

====

µµµµ

Kapacitivnost C je osnovna karakteristika svakog kondenzatora.

Kapacitivnost kondenzatora zavisi od njegovog oblika, dimenzija i upotrebljenog dielektrika, dakle od konstruktivnih karakteristika kondenzatora, a ne zavisi ni od količine naelektrisanja na oblogama ni od

napona između obloga kondenzatora.

Kapacitivnost kondenzatora se može opisati kao mjera mogućnosti kondenzatora da na sebi akumuliše (skladišti) naelektrisanje. U električnim kolima kondenzator je komponenta na kojoj se može skladištiti određena količina

naelektrisanja.

Simbol kondenzatora u elekričnim šemama je:

Pločasti kondenzatori Obloge kondenzatora mogu biti različitog geometrijskog oblika, pa prema njima i nazivamo

kondenzatore: pločasti, sferni, koaksijalni,... Takođe, između obloga kondenzatora stavljaju se razni dielektrici, pa se za kondenzator kaže da je:

vazdušni, papirni, keramički,... Najjednostavniji oblik kondenzatora je pločasti kondenzator (slika 12).

Pločasti kondenzatori se sastoje od:

- dvije ravne paralelne provodne ploče (obloge kondenzatora) jednakih površina ][ 2mS , - između kojih je dielektrik dielektrične konstante ]/[ mFεεεε ,

- a rastojanje ][md između ploča je mnogo manje od njihovih dimenzija.

Kad se između ploča kondenzatora priključi napon U one će se naelektrisati naelektrisnjem Q , čija

vrijednost zavisi od kapacitivnosti kondenzatora C : UCQ ⋅⋅⋅⋅==== .

Naelektrisanje jedne ploče kondenzatora je Q++++ (pozitivna obloga ), a druge Q−−−− (negativna obloga).

Između ploča kondenzatora uspostavlja se homogeno električno polje (slika 12A).

C



20

Linije električnog polja su normalne na ploče kondenzatora (ekvipotencijalne površi). To su paralelne prave

linije, na jednakim rastojanjima, usmjerene od pozitivne ka negativnoj ploči. Na krajevima ploča

kondenzatora imamo izvjesnu deformaciju linija polja, tzv. ivični efekat. Ovaj efekat se u analizi pločastih

kondenzatora zanemeruje.

Slika 12: Pločasti kondenzator Slika 12A: Električno polje pločastog kondenzatora Jačina električnog polja koja se uspostavlja između ploča kondenzatora je određena izrazom:

d

UE ==== . ...(I.9)

Napomena: Jedinica za napon je volt ][V , jedinica za rastojanje je metar ][m , pa se iz predhodnog izraza dobija jedinica za

jačinu električnog polja: ]/[ mVE .

Kapacitivnost pločastog kondenzatora zavisi od geometrijskih karakteristika kondenzatora (oblika ploča,

njihone površine i rastojanja između njih ) i od izolatora (dielektrika) koji je upotrebljen između ploča

kondenzatora i određena je izrazom:

d

S

d

SC rεεεεεεεεεεεε 0======== , ...(I.10)

gdje su:

- C kapacitivnost u ][F ,

- εεεε dielektrična konstanta upotrebljenog dielektrika u ]/[ mF ,

- S površina obloga kondenzatora u ][ 2m i

- d rastojanje između obloga kondenzatora u ][m .

Kapacitivnost je veća što je veća površina S ploča a manje rastojanje d između njih.

Ako je dielektrik vazduh ( 1≈≈≈≈rεεεε ) ili vakuum ( 1====rεεεε ), kapacitivnost pločastog kondenzatora je:

d

SC 00 εεεε==== . ...(I.10A)

+

+

+

+

+

+

+

+

-

- -

- - -

- - - -

- - - -

- - -

- -

-

Q++++ Q−−−−

S

d

εεεε

+

U

+

+

+

+

+

+

+

+

E

-

-

-

-

-

-

-

-

+

U

pQ 12A

1 2

d

εεεε



21

Kapacitivnost kondenzatora se poveća ako se umjesto vazduha uzme neki drugi dielektrik i to onoliko puta

koliko iznosi njegova relativna dielektrična konstanta rεεεε :

rCC εεεε0==== . ...(I.11)

Napomena:

Iz izraza (I.10) ⇒ S

Cd====εεεε , odakle se dobija jedinica za dielektričnu konsatntu: ]/[ mFεεεε .

I.3.2 Vezivanje kondenzatora u grupe

U praksi se često srijeću grupe kondenzatora međusobno povezanih na različite načine: paralelno, redno i mješovito. Takve veze mogu se ekvivalentirati jednim kondenzatorom ekvivalentne kapacitivnosti [[[[ ]]]]FCekv .

Paralelna veza kondenzatora Posmatrajmo dva kondenzatora kapacitivnosti ][1 FC i ][2 FC vezana paralelno i priključena na napon

][VU (slika 13):

Slika 13: Paralelna veza dva kondenzatora

- Naponi između obloga oba kondenzatora su isti i jednak naponu U .

- U opštem slučaju, kapacitivnosti 1C i 2C su različite. ⇒

- Naelektrisanja 1Q i 2Q kondenzatora su različita i jednaka:

UCQ 11 ==== , .22 UCQ ==== ...(I.12)

- Ukupno naelektrisanje oba kondenzatora je:

.21 QQQ ++++==== ...(I.13)

Zamjenimo ovu vezu ekvivalentnim kondenzatorom - kondenzatorom koji pri istom naponu

U obezbijeđuje isto ukupno naelektrisanje Q (slika 13A).

Slika 13A: Paralelna veza dva kondenzatora i ekvivalentni kondenzator

U

1C

2C

1Q

2Q _

_ +

+

+

1C

2C

1Q

2Q ≡≡≡≡

U

12pC Q

_ _

_ +

+

+ +

+

U



22

Kapacitivnost ekvivalentni kondenzator je: 212121

12 CCU

Q

U

Q

U

QQ

U

QC p ++++====++++====

++++======== .

Ekvivalentna kapacitivnost dva paralelno vezana kondenzatora jednaka je zbiru njihovih kapacitivnosti:

2112 CCC p ++++==== . ...(I.14)

Paralelna veza N kondenzatora kapacitivnosti NiC i ,...,3,2,1, ==== , priključenih na napon U :

• Napon na svim kondenzatorima je isti: UU i ==== (U je i napon na krajevima ekvivalentnog

kondenzatora); • Naelektrisanja pojedinačnih kondenzatora su: UCQ ii ==== ;

• Ukupno naelektrisanje je: ∑∑∑∑====

====N

iiQQ

1

(i naelektrisanje ekvivalentnog kondenzatora je Q );

• Kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatora (U

QC p ==== ), odnosno

ekvivalentna kapacitivnost N paralelno vezanih kondenzatora je:

∑∑∑∑====

====N

iip CC

1

. ... (I.14A)

Paralelnim vezivanjem kondenzatora, povećava se kapacitivnost. Praktično, paralelnu vezu možemo zamisliti kao vezu u kojoj se povećava površina ploča ekvivalentnog

kondenzatora, a rastojanje između ploča ostaje isto, što za rezultat ima i povećanje kapacitivnosti.

Redna veza kondenzatora Posmatrajmo dva kondenzatora kapacitivnosti ][1 FC i ][2 FC vezana redno i priključena na napon

][VU (slika 14):

Slika 14: Redna veza dva kondenzatora

- Naelektrisanja oba kondenzatora su jednaka: QQQ ======== 21 .

- U opštem slučaju, kapacitivnosti 1C i 2C su različite. ⇒

- Naponi na krajevima kondenzatora su različiti i jednaki:

2

21

1 ,C

QU

C

QU ======== ...(I.15)

Q

+ 1U

U

1C

+ _

+ _

+

+ 2U

Q 2C



23

- Ukupan napon jednak je zbiru napona na krajevima redno vezanih kondenzatora:

21 UUU ++++==== ...(I.16)

Zamjenimo ovu rednu vezu ekvivalentnim kondenzatorom - kondenzatorom koji pri istom naponu

U obezbijeđuje isto naelektrisanje Q (slika 14A).

Slika 14A: Redna veza dva kondenzatora i ekvivalentni kondenzator

Kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatora je:

2121

2112 11

1

CCC

Q

C

QQ

UU

Q

U

QC r

++++

====

++++

====++++

======== .

odnosno:

2112

111

CCC r

++++==== ...(I.17)

Ekvivalentna kapacitivnost dva redno vezana kondenzatora je:

21

2112 CC

CCC r

++++==== . ...(I.17A)

Redna veze N kondenzatora kapacitivnosti NiC i ,...,3,2,1, ==== , priključena na napon U :

• Naelektrisanja svih kondenzatora su ista: QQi ==== (i naelektrisanje ekvivalentnog kondenzatora

je Q );

• Naponi na pojedinačnim kondenzatorima su različiti i jednaki: i

i C

QU ==== ;

• Ukupan napon redne veze je: ∑∑∑∑====

====N

iiUU

1

(U je i napon na krajevima ekvivalentnog

kondenzatora);

• Kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatora (U

QC r ==== ), odnosno

ekvivalentna kapacitivnost N redno vezanih kondenzatora izračunava se iz izraza:

∑∑∑∑====

====N

i ir CC 1

11 . ...(I.17B)

U

12rC Q

_

+

+ ≡≡≡≡

Q

+ 1U

U

1C

+ _

+ _

+

+ 2U

Q 2C



24

Rednim vezivanjem više kondenzatora njihova ekvivalentna kapacitivnost se smanjuje i uvijek je

manja od kapacitivnosti najmanjeg među njima.

Praktično, možemo smatrati da se rednim vezivanjem više kondenzatora povećava rastojanje između ploča

ekvivalentnog kondenzatora, a površina obloga ostaje ista, što dovodi do smanjenja ukupne kapacitivnosti.

I.3.3 Dielektrična čvrstoća

Između obloga kondenzatora postavlja se dielektrik. U normalnom stanju dielektrici (izolatori) nemeju

slobodne nosioce naelektrisanja, tačnije njihov broj je zanemerljivo mali.

Ako je jačina električnog polja koje se uspostavlja između obloga kondenzatora (d

UE ==== ) suviše velika, tada

može doći do odvajanja elektrona od atoma ili molekula dielektrika, javiće se električna struja u dielektriku

(usmjereno kretanje slobodnih elektrona), tj. nastaje proboj dielektrika i on postaje provodna sredina, a

kondenzator neupotrebljiv.

Jačina polja pri kojoj nastaje proboj u dielektriku naziva se dielektrična čvrstoća:

d

UE

prpr ==== .

Vrijednost dielektrične čvrstoće zavisi od vrste dielektrika. Za vazduh je: m

VE pr

6103 ⋅⋅⋅⋅==== . Za većinu drugih

dielektrika ona je veća.

Jedinica za dielektričnu čvrstoću je jedinica za jačinu električnog polja:

m

V.

U praksi se dielektrična čvrstoća najčešće izražava u

cm

kV.

Radni ili nominalni napon kondenzatora je onaj napon za koji je kondenzator napravljen i pri kome

kondenzator može dugo i sigurno da funkcioniše bez opasnosti od proboja. Nominalni napon je, zbog

sigurnosti, nekoliko puta manji od napona pri kojem dolazi do proboja. radi

I.3.4 Elektrostatička energija kondenzatora Opterećen kondenzator sadrži određenu količinu električne (elektrostatičke) energije koja se izračunava

preko jednog od tri ekvivalentna izraza:

QUWe 2

1==== ...(I.18)

2

2

1CUWe ==== ...(I.18A)

C

QWe

2

2

1==== ...(I.18B)

Elektrostatička (električna) energija ( eW ) je jednaka radu sila elektrostatičkog (električnog) polja.

Jedinica za energiju je: džul, ][J . Dakle: [[[[ ]]]]JWe .



25

Primjeri-3 1. Data su dva kondenzatora kapacitivnosti nFC 11 ==== i nFC 1002 ==== . Odrediti ekvivalentnu kapacitivnost: a) Ako su kondenzatori vezani paralelno, b) Ako su kondenzatori vezani redno. Rješenje

a) Ekvivalentna kapacitivnost paralelne veze dva kondenzatora kapacitivnosti nFC 11 ==== i nFC 1002 ==== je:

nFCCC p 10110012112 ====++++====++++==== .

b) Ekvivalentna kapacitivnost redne veze dva kondenzatora kapacitivnosti nFC 11 ==== i nFC 1002 ==== je:

nFCC

CCC r 99,0

1001

1001

21

2112 ====

++++

⋅⋅⋅⋅====

++++==== .

Zapažamo: Kod paralelne veze, dominira uticaj veće kapacitivnosti. Tako, npr. pri paralelnoj vezi dva kondenzatora od kojih

jedan ima značajno veću kapacitivnost od drugog 21 CC >>>>>>>> , što upravo imamo u ovom primjeru, ekvivalentna

kapacitivnost je približno jednaka većoj kapacitivnosti:

212 CC p ≈≈≈≈ , konkretno 212 100101 CnFnFC p ====≈≈≈≈==== .

Kod redne veze, dominira uticaj manje kapacitivnosti. Tako, npr. pri rednoj vezi dva kondenzatora od kojih jedan ima

značajno manju kapacitivnost od drugog ( 21 CC <<<<<<<< ), što upravo imamo u ovom primjeru, ekvivalentna kapacitivnost

je približno jednaka manjoj kapacitivnosti:

112 CC r ≈≈≈≈ , konkretno 112 199,0 CnFnFC r ====≈≈≈≈==== .

2. Tri identična kondenzatora kapacitivnosti C vezana su na napon U: a) Redno, b) Paralelno. Odrediti ekvivalentnu kapacitivnost i naelektrisanja kondenzatora. Rješenje

a) Prikaz redne veze dat je na slici.

Ekvivalentnu kapacitivnost redne veze tri kondenzatora je: 321123

1111

CCCC r

++++++++==== .

Konkretno je: CCCC ============ 321 . ⇒ CCCCC r

31111

123

====++++++++==== , odnosno: 3123

CC r ==== .

Naelektrisanja redno vezanih kondenzatora su ista i jednaka naelektrisanju ekvivalentnog kondenzatora:

UCQ r ⋅⋅⋅⋅==== 123 . ⇒ UC

Q3

==== .

b) Prikaz paralelne veze dat je na slici.

Ekvivalentna kapacitivnost paralelne veze tri kondenzatora je: 221123 CCCC p ++++++++==== .

Konkretno je: CCCC ============ 321 . ⇒ CCCCC p 3123 ====++++++++====

Naponi na svim kondenzatorima su isti i jednaki naponu U .

Naelektrisanja kondenzatora su: UCQ 11 = , UCQ 22 ==== i UCQ 33 ==== .

123rC =?

≡≡≡≡

U

Q

_

+

+ + 1U

C

U

+ _

+ _

+

?====Q

_ +

+ 2U

+ 3U

C C Q Q



26

Kako je: CCCC ============ 321 , ⇒ CUQQQ ============ 321

3. Dva paralelno vezana kondenzatora imaju ekvivalentnu kapacitivnost nF12 , a jedan od kondenzatora ima kapacitivnost nF2 . Naći naelektrisnja kondenzatora, ako je napon na kondenzatorima VU 6==== . Rješenje

Ekvivalentna kapacitivnost dva paralelno vezana kondenzatora kapacitivnosti 1C i 2C je: 2112 CCC p ++++==== .

Naelektrisanje jednog, npr. kondenzatora 1, je poznato i iznosi nFC 21 ==== . ⇒

Naelektrisanje drugog kondenzatora je: nFnFnFCCC p 102121122 ====−−−−====−−−−==== .

Naponi na oba kondenzatora su isti, jednaki naponu VU 6==== .

Naelektrisanja kondenzatora iznose:

nCCVFUCQ 601060][6][1010 9922 ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== −−−−−−−−

4. Pločati kondenzator kapacitivnosti FC µµµµ10==== priključen je na napon VU 100==== . Ako se rastojanje između ploča smanji dva puta, koliko će biti naelektrianje kondenzatora ? Rješenje

Kapacitivnost pločastog kondenzatora sa rastojanjem d između ploča je: d

SC εεεε==== , a ako je rastojanje

između ploča kondenzatora 21

dd ==== kapacitivnost je:

2

1 dS

C εεεε==== .

Odnos ovih kapacitivnosti je ,221 ========

d

S

dS

C

C

εεεε

εεεε

pa je: FCC µµµµ2021 ====⋅⋅⋅⋅==== .

Naelektrisanje kondenzatora ako se rastojanje između ploča smanji dva puta je:

mCVFUCQ 2][100][1020 611 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== −−−− .

5. Pločasti kondenzator ima obloge u obliku kvadra stranice a na rastojanju d . Ako se a i d povećaju dva puta, kako će se promjeniti kapacitivnost kondenzatora ? Rješenje

Za kondenzator dimenzija a ( 2aS ==== ) i d , kapacitivnost je d

a

d

SC

2

εεεεεεεε ======== .

≡≡≡≡ U

123pC =? Q

_

+

+

U

_

_ +

+

+

C

C

C

C

+ _

1Q =?

2Q =?

3Q =?

nCCVFUCQ 121012][6][102 9911 ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== −−−−−−−−



27

Nakon promjena dimenzija na aa 21 ==== ( 21 4aS ==== ) i dd 21 ==== kapacitivnost je:

(((( ))))d

a

d

a

d

SC

22

1

11

2

2

2εεεεεεεεεεεε ============ . ⇒ ,2

2

2

2

1 ========

d

ad

a

C

C

εεεε

εεεεpa je: CC 21 ==== . Kapacitivnost se povećala dva puta.

6. Pločasti kondenzator između čijih ploča je vazduh ima kapacitivnost FC µµµµ20 ==== . Ako se prostor ispuni

dielektrikom relativne dielektrične konstante 3====rεεεε i kondenzator priključi na napon VU 100==== , koliko će biti naelektrisanje kondenzatora ? Rješenje

Kapacitivnost pločastog kondenzatora sa vazduhom između obloga kondenzatora je: d

SC 00 εεεε==== , a nakon

promjena dielektrika je: d

S

d

SC r 00 3εεεεεεεεεεεε ======== . ⇒ 3

3

0

0

0

========

d

Sd

S

C

C

εεεε

εεεε, pa je: FFCC µµµµµµµµ 6][233 0 ====⋅⋅⋅⋅========

Naelektrisanje kondenzatora nakon promjene dielektrika je: CVFCUQ µµµµ600][100][106 6 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== −−−− .

7. Da li se pločasti kondenzator , kod kojeg je rastojanje između ploča mmd 1==== , a dielektrik hartija, čija je dielektrična čvrstoća cmkVE pr /80==== , smije priključiti na napon ?10 ======== kVU

Rješenje

Pri priključenju kondenzatora na napon, polje koje se uspostavlja između ploča kondenzatora mora bit manje

od probojnog polja, u suprotnom doći će do probja – uništenja kondenzatora.

Pri priključenju kondenzatora na napon kVU 10==== , polje je: cm

kV

cm

kV

d

UE 100

][10

][101

============−−−−

.

cm

kVEE pr 80====>>>> ⇒ Kondenzator se ne smije priključiti na napon kVU 10==== .

8. Kolika je ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora vezanih kao na slici ( Cab=? ), ako je: C1 =2 µF, C2 = 2 µF, C3 = 1 µF ?

Rješenje

Kondenzatori su vezani redno, pa je:

FCCFCCCC rab

r

µµµµµµµµ

5,02

1.

12

1

1

2

1

2

11111123

321123

========≡≡≡≡⇒⇒⇒⇒

====++++++++====++++++++====

9. Kolika je ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora vezanih kao na slici ( Cab=? ), ako je: C1 =2 µF, C2 = 2 µF, C3 = 1 µF ?

a

b

a b



28

Rješenje

Kondenzatori su vezani paralelno, pa je :

FCCCC p µµµµ5122321123 ====++++++++====++++++++==== . ⇒ FCC pab µµµµ5123 ====≡≡≡≡

10. Kolika je ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora vezanih kao na slici ( Cab=? ), ako je: C1=4 µF, C2=8 µF, C3=12 µF ?

Rješenje

Sva tri kondenzatora su u odnosu na priključke a-b vezana redno, pa je ukupna kapacitivnost:

FCCFCCCC rab

r

µµµµµµµµ

18,211241

2411

24236

121

81

411111

123321123

========≡≡≡≡⇒⇒⇒⇒

====

++++++++====++++++++====++++++++====

11. Odrediti ekvivalentnu kapacitivnost Cab=?, ako su kondenzatora vezana kao na slici, a vrijednosti kapacitivnosti su: C1 =4 µF, C2 = 4 µF, C3 = 12 µF .

Rješenje

U odnosu na priključke a-b kondenzatori 1C i 2C su vezani redno, pa ih zamjenjujemo ekvivalentnim

kondenzatorom 12rC čija je kapacitivnost:

FFF

FF

CC

CCC r µµµµ

µµµµµµµµ

µµµµµµµµ2

][4][4

][4][4

21

2112 ====

++++

⋅⋅⋅⋅====

++++

⋅⋅⋅⋅==== .

Kondenzatori Cr12 i C3 su vezani paralelno,

pa je tražena kapaitivnost:

FFFCCC rab µµµµµµµµµµµµ 14][12][2312 ====++++====++++==== .

12. Za grupu kondenzatora sa slike, odrediti ekvivalentnu kapacitivnost Cab=?, pri otvorenom i pri zatvorenom prekidaču.

a b

U

12rC

3C

a b abC

a b

C 2C

C 2C

a b



29

Rješenje

Ako je prekidač otvoren, kondenzatori su vezani kao na slici:

Ekvivalentna kapacitivnost je:

CCC

CC

CC

CCCabA 3

4

2

2

2

2====

++++

⋅⋅⋅⋅++++

++++

⋅⋅⋅⋅====

Ako je prekidač zatvoren, kondenzatori su vezani kao na slici:

Ekvivalentna kapacitivnost je:

CCCCC

CCCCCabB 2

3

)2()2(

)2()2(====

++++++++++++

++++⋅⋅⋅⋅++++====

13. Odrediti napone na kondenzatorima sa slike. Poznato je: FC µµµµ31 ==== , FC µµµµ22 ==== i VU 100==== .

Rješenje

Kondenzatoti su vezani redno. Ekvivalentna kapacitivnost je: FCC

CCC r µµµµ

5

6

23

23

21

2112 ====

++++

⋅⋅⋅⋅====

++++

⋅⋅⋅⋅====

Naelektrisanja pojedinačnih kondenzatora su jednaka i jednaka naelektrisanju ekvivalentnog kondenzatora:

CVFUCQ r46

12 102,1][100][102,1 −−−−−−−− ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅======== .

Naponi na kondenzatorima su: VC

QU 40

103

102,16

4

11 ====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅========

−−−−

−−−−

i VC

QU 60

]102

102,16

4

22 ====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅========

−−−−

−−−−

Pitanja-3

1. Napisati izraz za kapacitivnost kondenzatora, naelektrisanja Q pri naponu U i jedinice za sve veličine u

tom izrazu. 2. Od čega zavisi kapacitivnost pločastog kondenzatora. Napisati izraz i jedinice za sve veličine u tom izrazu. 3. Kako će se promjeniti kapacitivnost pločastokg kondenzatora ako se rastojanje između ploča smanji dva

puta ? 4. Kako će se promjeniti kapacitivnost pločastokg kondenzatora ako se obloge kondenzatora zamijene

oblogama dva puta manje površine ? 5. Kapacitivnost pločastog kondenzatora za vazduhom kao dielektrikom je 0C . Kolika je kapacitivnost

kondenzatora istih dimenzija sa dielektrikom relativne dielektrične konstante 5,2====rεεεε ?

6. Izvesti izraz za ekvivalentnu kapacitivnost dva redno vezana kondenzatora kapacitivnosti 1C i 2C .

7. Izvesti izraz za ekvivalentnu kapacitivnost dva paralelno vezana kondenzatora kapacitivnosti 1C i 2C . 8. Kada se dva kondenzatora naelektrišu istim naelektrisanjem na jednom od njih se uspostavi veći napon.

Koji od ta dva kondenzatora ima veću kapacitivnost ?

+ 1U

+ 2U

2C

U

1C+

_ +

_

+

C 2C

C 2C

a b

C 2C

C 2C

a b



30

II. JEDNOSMJERNE STRUJE

II.1 ELEKTRIČNA STUJA

Usmjereno kretanje slobodnih naelektrisanja u provodnoj sredini pod dejstvom električnog polja naziva se električna struja. Električna struja može teći samo kroz provodne sredine. Jedino u takvim sredinama postoje slobodne

naelektrisane čestice koje se mogu kretati usmjereno. U metalima su nosioci struje elektroni, u

elektrolitima pozitivni i negativni joni, u jonizovanim gasovima elektroni i joni...

Ako posmatramo metale, pokretljiva naelektrisanja su elektroni (elektroni iz spoljašnje ljuske omotača

su slabo vezani za matične atome i lako ih mogu napustiti), koji se haotično kreću unutar strukture materije (slika 15). Ovo haotično kretanje elektrona ne predstavlja električnu struju.

Slika 15: Haotično kretanje elektrona

Pod djelovanjem električnog polja elektroni započinju usmjereno kretanje duž provodnika, odnosno

provodnikom teče električna struja (slika 15A).

Slika 15A: Usmjereno kretanje elektrona (električna struja) U praksi se elekrično polje uspostavlja i duže vrijeme održava pomoću električnih uređaja koji se nazivaju

električni izvori ili izvori električne struje. Kod svakog izvora električne struje postoje dva pola: pozitivni ( + ) i negativni ( - ), između kojih je

stvorena (dejstvom stranih sila) određena potencijalna razlika, odnosno napon. To je elektromotorna sila izvora (skraćenica: ems, oznaka: εεεε , jedinica: volt, [V] ).

Priključenjem krajeva provodnika na polove električnog izvora, u provodniku se uspostavlja električno polje

pod čijim uticajem dolazi do usmjerenog kretanja elektrona. Elektroni se kreću ka pozitivnom polu izvora,

odnosno provodnikom protiče struja (slika 15), sve dok je priključen na izvor električne struje.

Ako se elektroni kreću kroz provodnik npr. slijeva na desno (slika 15A), onda oni neprestano maraju da

odlaze sa desnog kraja provodnika i dolaze na lijevi kraj, a što se ostvaruje kroz električni izvor. Elektroni se

kreću po zatvorenoj putanji, kroz tzv. električno kolo.

Da bi postojala struja u provodnoj sredini u kojoj postoje slobodna naelektrisanja, potrebno je da budu ispunjena dva uslova:

- - - -

- - -

-

- - -

-

-

- -

- - -

-

-

-

-

-

-

- - + -

E

U +



31

• da postoji električno polje koje djeluje silom na slobodna naelektrisanja i primorava ih da se usmjereno kreću (električni izvor),

• da postoji zatvoreni put za kretanje slobodnih naelektrisanja (zatvoreno električno kolo).

II.1.1 DJELOVANJE ELEKTRIČNE STRUJE Postojanje električne struje kroz provodnike ne može se neposredno opaziti, ali se to možemo zaključiti na

osnovu niza djelovanja struje kako u samim provodnicima tako i u okolnom prostoru: toplotno djelovanje,

magnetsko djelovanje, hemijsko djelovanje i dr.

Toplotno djelovanje struje Provodnik kroz koji teče struja se zagrijava, što znači da je proticanje struje praćano određenim

pretvaranjem električne energije u toplotnu. Ovo se naziva Džulov efekat. Toplotno djelovanje električne

struje (Džulov efekat) se koristi u raznim uređajima u domaćinstvu (rešo, šporet, grijalice, TA peć,

bojleri,...), u industriji za topljenje metala, kod osigurača itd.

Magnetsko djelovanje Oko provodnika sa strujom javlja se magnetsko polje, što se može evidentirati postavljanjem magnetske igle

u prostor oko provodnika sa stujom. Magnetno djelovanje električne koristi se npr. kod elektromagneta koji

su našli veliku primjenu u nauci i tehnici.

Hemijsko djelovanje Pri prolasku struje kroz elektrolit (tečni provodnik koji predstavlja rastvor nekih jedinjenja) javljaju se

određene hemijske reakcije koje dovode do izdvajanja raznih materijala na elektrode koje su postavljene u

elektrolit. Ova pojava se naziva elektroliza. U praksi se elektroliza koristi za dobijanje raznih metala, npr.

bakra, aluminijuma i dr.

Električna struja ima i svjetlosno dejstvo (električna sijalica), a takođe i mehaničko dejstvo (mnoge mašine

u industriji i domaćinstvu pokreću pomoću električne struje).

II.1.2 SMJER ELEKTRIČNE STRUJE

Struji se pripisuje i određni smjer u odnosu na provodnik.

Prirodno bi bilo da smjer struje bude isti kao i smjer usmjerenog kretanja elektrona u providniku. Međutim,

još prije nego što je utvrđeno da električnu struju u metalnim provodnicima obrezuju elektroni, usvojeno je

da smjer električne struje bude od kraja na višem (pozitivnom ++++V ) potencijalu ka kraju na nižem

(negativnom −−−−V ) potencijalu provodnika. Takav smjer struje, u smjeru djelovanja električnog polja E

,

zadržan je i danas iz praktičnih razloga i nazivamo ga tehnički smjer sruje. Dakle, treba razlikovati (slika 16) :

- fizički, stvarni smjer kretanja elektrona nasuprot smjeru vektora električnog polja E

i

- usvojeni, tehnički smjer struje kroz provodnik, koji se isti kao i smjer električnog polja E

, odnosno

od + ka - .

Slika 16A: Smjer električne struje

U svim proračunima električnih kola koristi se tehnički smjer struje, odnosno pozitivan smjer struje je: od + ka -.

- -

- - -

-

-

-

-

-

-

- - + -

E

U I

+



32

II.1.3 JAČINA STRUJE (I [A]) Osnovna kvantitativna karakteristika električne struje je jačina struje ili intenzitet struje.

Jačina stuje se označava sa I ili i .

Veliko slovo ( I ) se obično koristi u slučaju vremenski konstantne struje - jednosmjerne struje, a

malo ( i ) u slučaju vremenski promjenljive, npr. naizmjenične struje.

Posmatrajmo provodnik određenog poprečnog presjeka ( S ) kroz koji protiče npr. jednosmjerna struja (slika

16A).

Slika 16A: Jačina električne struje

Jačina struje ( I ) se definiše kao odnos naelektrisanju ( Q ) koje protekne kroz poprečni presjek provodnika za određeno vrijeme ( t ):

t

QI ==== . ...(II.1)

Iz definicionog izraza za jačinu struje (II.1) slijedi:

Nelektrisanje Q koje za vrijeme t protekne kroz poprečni presjek provodnika sa jačinom struje I je:

tIQ ==== . ...(II.1A)

Vrijeme t za koje kroz poprečni presjek provodnika sa jačinom struje I protekne naelektrisanje Q je:

I

Qt ==== . ...(II.1B)

Jedinica za jačinu struje je: amper, ][A . Iz izraza II.1 ⇒

====

s

CA][ .

Ako je jačina struje u provodniku 1A, kroz njegov poprečni presjek protiče naelektrisanje od 1C za 1s.

U praksi se često za jačinu struje, osim ampera, koriste i manje i veće jedinice:

AkAkiloamper

AAmikroamper

AmAmiliamper

3

6

3

10

...10

10

====

====

====−−−−

−−−−

µµµµ

Napomene: 1. Jačina električne struje je jedna od osnovnih fizičkih veličina u SI sistemu. Ostale su: masa, dužina, vrijeme,

temperatura, jačina svjetlosti i količina supstance.

U

- -

- - -

-

-

- -

- - + -

I

- S -

+



33

Jedinica za jačinu struje amper [A] je jedna od osnovnih jedinica SI sistema. Ostale su: kilogram [kg], metar [m],

sekunda [s], kelvin [K], candela [cd] i mol [mol].

Jedinica amper je dobila naziv u čast francuskog fizičara Ampera (Amper Andre Mari, 1775-1836) .

2. Jačine struja u mA i µA karakteristične su za elektronska kola i sklopove.

Jačine struja u kA pojavljuju se npr. u okviru elektroenergetskog sistema pri kratkim spojevima.

Struja čija jačina prelazi određenu vrijednost (∼ 10 mA) postaje opasna za čovjeka, a struja čija je jačina veća od oko

50 mA je smrtonosna.

II.1.4 VRSTE ELEKTRIČNE STRUJE

Električna struja koja se ne mijenja tokom vremena naziva se jednosmjerna struja.

Za uspostavljanje i održavanje jednosmjerne struje neophodno je da u električnom kolu postoji izvor jednosmjerne struje između čijih polova postoji stalna potencijalna razlika (jednosmjerni napon - slika

17A). Stalna potencijalna razlika izvora stvara konstantno električno polje (stacionarno električno polje).

Ono u kolu uzrokuje vremenski konstantnu struju, odnosno jednosmjernu struju koja će postojati sve

vrijeme dok je izvor struje uključen i kolo zatvoreno.

Slika 17: Jednosmjerna struja Slika 17A: Jednosmjerni napon

Postoje i vremenski promjenljive struje, kod kojih se mijenja jačina ili smjer, ili i jačina i smjer. Od

vremenski promjenljivih struja, najznačajnije su naizmjenične struje (slika 18).

Slika 18: Naizmjenična struja Slika 18A: Naizmjenični napon

Za uspostavljanje i održavanje naizmjenične struje neophodno je da u električnom kolu postoji izvor naizmjenične struje između čijih polova postoji promjenljiva potencijalna razlika (naizmjenični napon -

slika 18A). Promjenljiva potencijalna razlika stvara promjenljivo električno (elektromagnetsko) polje. Ono u

kolu uzrokuje vremenski projenljivu struju, odnosno naizmjeničnu struju koja će postojati sve vrijeme dok je

izvor struje uključen i kolo zatvoreno.

Napomena: Sistemi za proizvodnju, prenos, distribciju i potrošnju električne energije – elektroenergetski sistemi (EES) su sistemi

naizmjenične struje i to trofazne naizmjenične struje učestanosti (broj punih promjena u jedinici vremena) 50 Hz za

sisteme u Evropi, a u Americ 60 Hz.

U ovom poglavlju (Poglavlje II) se proučavaju jednosmjerne struje.

][AI

II

t

][VU U

t

t

][Vu

Umax

T T/2

UU ef ≡≡≡≡

][Ai

Imax

IIef ≡≡≡≡

T T/2 t



34

II.2 ELEKTRIČNA OTPORNOST (R[ΩΩΩΩ] ili r[ΩΩΩΩ]) Električna otpornost (kraće, otpornost) je veličina koja karakteriše suprostavljanje posmatrane sredine proticanju električne struje, ili Otpornost je fizička veličina koja predstavlja mjeru otpora usmjerenom kretanju naelektrisanih čestica kroz posmatranu provodnu sredinu. Napomena Suštinu električne otpornosti, ilustrovaćemo na primjeru metala. ?

Znamo da električna struja u metalima predstavlja usmjereno kretanje slobodnih elektrona. Krećući se pod uticajem

električnog polja, elektroni se uzajamno sudaraju, a sudaraju se i sa jonima kristalne rešetke metala ( Metali imaju

kristalnu građu. U čvorovima kristalne rešetke metala nalaze se pozitivni joni, tj. atomi kojima nedostaje jedan ili više

elektrona. U prostoru između pozitivnih jona kreću se haotično slobodni elektroni ). Ovo sudaranje može se uporediti

sa nekom silom otpora (trenja) koja usporava kretanje samih elektrona. Uslijed tog djelovanja smanjuje se brzina

usmjerenog kretanja elektrona, a to znači i jačina električne struje u provodniku. Istovremeno pri sudaranju elektroni

predaju dio energije u vidu toplote. Znači provodnik se zagrijava. Električna energija se transformiše u toplotnu.

Otpornost se označava sa R ili r .

Jedinica za otpornost je: om, ][ΩΩΩΩ .

II.2.1 Otpornost metalnog provodnika Otpornost provodnika zavisi od vrste metala od kojeg je provodnik napravljen i njegovih dimenzija kao i

od temperature.

Zavisnost otpornosti provodnika od vrste materijala i dimenzija provodnika, pri konstantnoj

temperaturi provodnika, određena je izrazom:

S

lR ρρρρ==== ...(II.2)

gdje su: ρρρρ [ mΩΩΩΩ ] - specifična otpornost materijala provodnika,

][ml - dužina provodnika ,

][ 2mS - površina poprečnog presjeka provodnika.

Otpornost provodnika je utoliko veće ukoliko je dužina provodnika veća, a njegov poprečni presjek manji. Takođe, otpornost provodnika izrađenog od materijala veće specifične otpornosti je veća. Specifična otpornost ( ρρρρ [ΩΩΩΩm] ) izražava zavisnost otpornosti od vrste materijala od koje je provodnik

napravljen. To je otpornost provodnika dužine m1 i površine poprečnog presjeka 21m , koja je različita za

razne materijale provodnika, a takođe zavisi i od temperature provodnika.

Iz izraza (II.3), slijedi: ][

][][

2

ml

mmSR ΩΩΩΩ====ρρρρ , pa je:

jedinica za specifičnu otpornost :

ΩΩΩΩ

m

mm 2

ili om metar , [ mΩΩΩΩ ].



35

Materjali manje specifične otpornosti su bolji provodnici električne struje. Na primjer, bakar je bolji provodnik od aluminijuma, srebro još bolji nego bakar, a gvožđe znatno lošiji, što

slijedi iz vrijednosti specifičnih otpornosti ovih metala:

Srebro: mAg ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅==== −−−−8106,1ρρρρ

Bakar: mCu ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅==== −−−−8108,1ρρρρ

Aluminijum: mAl ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅==== −−−−8108,2ρρρρ

Gvožđe: mFe ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅==== −−−−81010ρρρρ .

Napomena: Za izradu provodnika (vodova) najpovoljniji metal je bakar je ima veoma dobra i električna i mehanička svojstva.

Srebro se zbog visoke cijene ne upotrebljava.

Takođe se umjesto bakra, zbog visoke cijene, često primjenjuje aluminijum. Na primjer kod nadzemnih

elektroenergetskih vodova za prenos električne energije koristi se isključivo aluminijum, ali zbog relativno slabih

mehaničkih svojstava aluminijum se koristi u kombinaciji sa čelikom (Al/Č užad za prenos električne energije).

II.2.2 Zavisnost otpornosti od temperature

Promjena otpornosti sa temperaturom može se predstaviti izrazom:

(((( ))))[[[[ ]]]]00 1 θθθθθθθθααααθθθθ −−−−++++==== RR , ...(II.3)

gdje su: Rθθθθ - otpornost na temperaturi θθθθ

R0 - otpornost na sobnoj temperaturi : θθθθ0 = 20oC=293K αααα - temperaturni koeficijent koji zavisi od vrste materijala provodnika i koji pokazuje

koliko se promjeni otpornost materijala pri promjeni temperature za 1oC .

Jedinica za temperatur koeficijent je:

Co

1.

Za metalne provodnike je 0>>>>αααα .: ⇒ Sa povećanjem temperature otpornost raste.

Vrijednosti temperaturnog koeficijenta nekih materijala: Srebro: CoAg

10038,0====αααα

Bakar: CoCu

1004,0====αααα

Aluminijum:CoAl

10044,0====αααα

Gvožđe: CoFe

10073,0====αααα .

Zavisnost oblika (II.3) važi i za promjenu specifične otpornosti sa temperaturom. Napomena: Najčešće je nepoželjno da se otpornost provodnika mijenja sa temperaturom. Zbog toga se u praksi koriste legure

raznih metala kod kojih je promjena otpornosti pod uticajem temperature veoma mala.

Kod više raznih provodnika, pri smanjenju temperature do blizu apsolutne nule ( CK o2730 −−−−==== ), uočava se potpuno

isčezavanje otpornosti. Ova pojava se naziva superprovodnost, a otkrivena je 1911. godine. Praktično korišćenje ove

pojave omogućilo bi prenos električne energije bez gubitaka. Problem je postizanje i održavanje temperatura bliskih

apsolutnoj nuli.



36

II.2.3 Električna provodnost ( G [S] )

Električna provodnost (kraće, provodnost) je veličina recipročna električnoj otpornosti:

R

G1

==== . ...(II.4)

Jedinica za provodnost je: ][, Ssimens . Iz izraza (II.4) slijedi:

ΩΩΩΩ====

1][S .

Zavisnost provodnosti provodnika od vrste materijala i dimenzija provodnika, pri konstantnoj

temperaturi, određena je izrazom:

l

S

l

SG γγγγ

ρρρρ====

⋅⋅⋅⋅==== . ...(II.5)

γγγγ je specifična provodnost, jednaka recipročnoj vrijednosti specifične otpornosti: ρρρρ

γγγγ1

==== .

Jedinica za specifičnu provodnost je:

m

S.

Materjali sa većom specifičnom provodnošću spadaju u bolje provodnike električne struje.

II.2.4 Otpornici Pored provodnika koje karakteriše određena (mala) otpornost i koji se prvenstveno koriste za povezivanje

elemenata kola i ostvarivanje kontakata, električnim kolima su prisutni elementi znatno veće otpornosti nego

što je otpornost provodnika. To su elementi u kojima se električna energija pretvara u toplotu

(elektrotermički uređaji, sijalice sa užarenom niti i dr.) ili elementi koji služe za dobijanje određenog

napona na njihovim krajevima, odnosno za regulaciju jačine struje u strujnim kolima, i koji se upotrebljavaju

u raznim elektronskim i energetskim kolima.

Elementi, konstruisani tako da u električno kolo u koje su vezani unose određnu otpornost ( ][ΩΩΩΩR ), značajno veću od otpornosti provodnika veza (vodova) i kontakata, nazivaju se otpornici.

Otpornici se konstruišu kao promjenljivi i stalni. Na otpornicima se upisuje vrijednost njihove otpornosti: ][ΩΩΩΩR .

U šemama električnih kola otpornici se najčešće predstavljaj sljedećim grafičkim simbolima:

II.3 ELEKTRIČNI IZVORI (IZVORI STRUJE) Uslov za uspostavljanje struje u električnom kolu je da je u kolu priključen električni izvor.

Funkcija izvora je da stvara i održava električno polje potrebno za usmjereno kretanje elekrona, odnosno postojanje električne struje.

R R R ili PROMJENLJIVI OTPORNIK STALNI OTPORNIK -Termogeni potrošač



37

Električni izvori stvaraju električno polje tako što na svojim polovima uspostavljaju i neprekidno održavaju

određenu potencijalnu razliku. Ova potencijalna razlika je elektromotorna sila izvora (ems izvora). To je

osnovni parametar svakog električnog izvora, odnosno izvora električne struje.

Napomena: Za stvaranje potencijalne razlike, unutar izvora se vrši proces razdvajanje pozitivnih i negativnih naelektrisanja (Q ) i

njihova nagomilavanje na polovima izvora (stvaranje + i – pola izvora). Za ovaj proces potrebno je djelovanje

„stranih sila“ koje vrše rad (Astr.) U tom procesu dolazi do pretvaranje nekog oblika energije (mehanička, hemijska,

toplotna, svjetlosna i dr.) u električnu energiju.

Uspostavljena potencialna razlika između polova električnog izvora jednaka je odnosu izvršenog rada pri prenošenju

naelektrisanja kroz izvor i tog naelektrisanja.

Elektromotorna sila izvora (ems) se označava sa: εεεε ili E za izvore jednosmjerne struje , a sa e za izvore

vremenski promjenljive struje.

Jedinica za elektromotorn silu je: volt , ][V . Ems je skalarna veličina i nema smjer. Ipak se uvodi pojam smjera ems, od – ka + . U prikazu smjera ems strelicom, vrh strelice označava tačku višeg potencijala.

Unutrašnja otpornost izvora ( r [ΩΩΩΩ]) je drugi parametar koji karakteriše električne izvore.

Ovaj parametar dolazi do izražaja kad kroz izvor postoji struja, odnosno kad je izvor uključen u zatvoreno

električno kolo. Tada se izvor se svojom unutrašnjom otpornošću r suprostavlja proticanju struje. Električna

energija koju daje izvor je umanjena za dio potrošnje na unutrašnju otpornost, a potencijalna razlika,

odnosno napon na krajevima izvora je manja od elektromotorne sile izvora.

Vrijednost unutrašnje otpornosti izvora je veoma mala i često se u praksi zanemaruje ( 0≈≈≈≈r ).

U električnim šemama izvori jednosmjerne struje se prikazuju nekim od sljedećih grafičkih simbola:

Vrste električnih izvora jednosmjerne struje U izvorima ems se stvara i održava na račun pretvaranja raznih vidova energije u električnu energiju.

Zavisno od toga imamo različite izvore:

• Hemijski izvori

• Generatori jednosmjerne struje

• Termoelektrični izvori

• Fotoelektrični izvori.

Hemijski izvori su razne baterije i akumulatori. Kod njih se hemijska energija pretvara u električnu. Svaki

hemijski izvor ima dvije elektrode (pozitivnu i negativnu) potopljene u elektrolit (vodeni rastvor soli,

kiseline ili baze). Ems ovih izvora je relativno mala ( 1-2 V ). Ovi izvori se pri radu prazne, odnosno ems se

smanjuje, a unutrašnja otpornost raste zbog hemijskih reakcija. Kod nekih baterija (Ni-Cd baterije) i

akumulatora moguće je izvršiti punjenje, odnosno vratiti izvor u prvobitno stanje. To se postiže

propuštanjem struje kroz izvor u suprotnom smjeru od one pri pražnjenju, za šta je potreban neki drugi izvor

za punjenje baterije. Tada se u izvoru dešavaju suprotne hemijske reakcije od onih pri pražnjenju i

uspostevlja se prvobitno stanje.

ε r + - + -

ε r ε r ε r



38

Generatori jednosmjerne struje su mašine (obrtne) kod kojih se mehanička energija pretvara u električnu.

Princip rada generatora zasniva se na pojavi elektromagnetske indukcije, koju ćemo kasnije izučavati.

Prednost generatora nad hemijskim i ostalim izvorima struje je u tome što je njihova snaga znatno veća,

odnosno mogu davati visoke napone (npr. više stotina i hiljada V) i struje. Takođe su i njihove dimenzije

velike.

Termoelektrični izvori (termoelementi) se zasnivaju na dobijanju električne energije na račun toplotne

energije. Pri zagrijavanju mjesta spoja dva raznorodna metala, tzv. termospoja, dolazi do usmjerenog

kretanja elektrona, pri čemu se na krajevima temospoja obrazuje potencijalna razlika. Mogu se upotrijebiti

za mjerenje temperature (visokih temperatura, do 1500oC) ili struje.

Fotoelektrični izvori (fotoelementi) – kod njih se svjetlosna energija pretvara u električnu. Pri tome stepen

iskorišćenja oko 15% (oko 15% svjetlosne energije se pretvara u električnu). Fotoelementi se izrađuju od

raznih poluprovodnika (silicijuma, germanijuma, selena). Ems ovih izvora je oko 0,5 V, ali se rednim

vezivanjem velikog broja ovih izvora mogu dobiti veliki naponi.

II.4 ELEKTRIČNO KOLO Zatvoreni put po kome teče električna struja (može biti i više takvih puteva) naziva se električno kolo.

Električno kolo je skup međusobno povezanih električnih elemenata, odnosno uređaja kao što su: električni

izvori, prijemnici, odnosno potrošači električne energije, kondenzatori, prekidači i dr.

Električni izvori, ili izvori električne struje su elementi kola koji obezbjeđuje električno polje koje je

potrebno za usmjereno kretanje slobodnih naelektrisanja, odnosno koji proizvode električnu energije:

baterije, akumulatori, generatori,... .

Električni prijemnici ili potrošači električne energije su elementi koji troše električnu energiju, odnosno u

kojima se električna energija pretvara u svjetlosnu, toplotnu, mehaničku energiju ili neki drugi vid energije:

sijalice, grijalice, elektromotori i drugi električni uređeji kroz koje tokom upotrebe teče eletrična struja. Različiti elementi kola se povezuju provodnicima, odnosno vodovima. To su provodnici od metala dobrih

električnih karakteristika (bakar – Cu ili aluminijum – Al) . Da bi struja mogla u određeno vrijeme da se ukljući ili isključi, u električno kolo se vezuju uređaji za

prekidanje kola, odnosno prekidači.

Kroz električno kolo teče električna struja dok je ono zatvoreno. U otvorenom kolu nema električne struje.

Primjer prostog elekričnog kola koje zadovoljava uslov da se u njemu može odžavati stalna električna struja

prikazan je na slici 19. Kolo sadrži električni izvor (bateriju), prijemnik (sijalicu), prekidač i provodnike

(vodove) koji povezuju elemente.

Slika 19: Električno kolo

Prikaz kola dat na slici 19 nije uobičajeni način predstavljanja električnih kola.

+ -

baterija

prekidač prijemnik

vodovi – provodne veze



39

Električna kola se prikazuje preko električnih šema (kraće, šema) u kojima se elementi kola prikazuju

grafičkim simbolima koji se vezuju punim linijama onako kako su povezani vodovima (provodnicima) u

stvarnom kolu.

Grafički simboli nekih elemenata električnih kola prikazani su:

Električna šema kola sa slike 19, prikazana je na slici 20.

Slika 20: Šema električnog kola sa slike 19: a) prekidać otvoren, b) prekidač zatvoren

Na slici 20 a) prekidač je otvoren, ⇒⇒⇒⇒ u kolu nema struje ! Na slici 20 b) prekidač je zatvoren, ⇒⇒⇒⇒ kolom protiče struja !

U električnom kolu sa slike 19, postoji samo jedan zatvoreni put kojim protiče struja. Zatvoreni put kojim

teče struja naziva se kontura. Kola koja imaju samo jedan zatvoreni put kojim protiče struja, odnosno samo jednu konturu, nazivaju se prosta električna kola. U prostim električnim kolima, kroz sve elemente kola protiče ista struja. U najjednostavnijem slučaju, prosto kolo sadrži jedan izvor i prijemnik (slika20). Prosta kola mogu sadržati

i veći broj elemenata (više izvora i prijemnika, kao i druge elemente kola). Primjer prostog kola sa više prijemnika prikazan je na slici 21.

Slika 21: Prosto električno kolo sa dva prijemnika Slika 22: Složeno električno kolo

Električno kolo može imati više zatvorenih puteva, odnosno više kontura. Takva kola nazivaju se složena kola. Primjer složenog kola prikazan je na slici 22.

Dio složenog električnog kola kojim protiče ista struja naziva se grana kola. Grana kola može da ima više

elemenata. Kroz sve elemente jedne grane protiče ista struja. Mjesto spoja više grana kola naziva se čvor. Električno kolo sa slike 22 ima:

- m = 2 čvora: čvor 1 i čvor 2

- n =3 grane: grana a, grana b i graba c

- k =2 nezavisne konture: kontura I (2εεεεR1R22) i kontura II (1R12R21)

R1

+ - ε r

2R

+ - ε r 2

R

R2 R1

1

b c a

KONDENZATOR

C R

Termogeni potrošač ( OTPORNIK)

+ -

ε r ELEKTRIČNI IZVOR (IZVOR JEDNOSMJERNE STRUJE)

Baterija

r ε

ili

R

+ - ε r

R

+ - ε r a) b)

I

Ia

Ib Ic

I



40

Prosta električna kola imaju uvijek samo jednu granu i samo jednu konturu. Struja kroz sve elemente kola je ista.

Napomena: - U električnim kolima struja se označava strelicom pored (slika 21) ili kroz provodnik (slika 22) kojim teče. Smjer

strelice (pozitivan smjer struje) je od + , odnosno od tačke višeg potencijala.

U svim proračunima električnih kola koristi se tzv. tehnički smjer struje, odnosno pozitivan smjer struje je: od + ka - (slike).

- Napon (potencijalna razlika) između dvije tačke se označava linijom između te dvije tačk, sa strelicama na oba

kraja. Znak + se postavlja uz strelicu koja označava tačku višeg potencijala.

- Ako se uz oznaku napona koriste indeksi sa tačkama između kojih se računa napon, prvi indeks označava tačku

višeg potencijala, npr. U12 . Tada se uz strelicu obično ne postavlja znak + .

- Napon između dvije tačke se često oznaćava strelicom između tih tačaka. Strelica predstavlja smjer napona, koji

je od – ka +.

II.5 OMOV ZAKON

Posmatrajmo dio zatvorenog prostog električno kolo sa otpornikom otpornosti ][ΩΩΩΩR , na čijim krajevima

(priključcima) vlada napon ][VU i kroz koji protiče struja jačine ][AI (slika 23).

Slika 23. Dio zatvorenog prostog električnog kola sa otporom R i strujom I

Između napona U , otpornosti R struje I kroz otpornik važi zavisnost:

R

UI ==== , ...(II.7)

dnosno:

IRU ==== ...(II.7A)

i

I

UR ==== . ...(II.7B)

R

I

+ U

1 2

R

+ - ε r

I + U

1 2

R

- + r ε

I

R

+ - ε r

I

R

+ - ε r

I

U12

1 2 R

+ - ε r

I

U

1 2



41

Predhodne relacije predstavljaju Omov zakon:

Jačina struje I kroz otpornik, upravo je srazmjerna naponu U na krajevima otpornika, a obrnuto srazmjera otpornosti R otpornika. Napomena: Ovu zavisnost između napona i struje otkrio je eksperimentalnim putem njemački naučnik Om, mjereći struju kroz dio

kola na dva načina:

- održavajući napon konstantnim, a mijenjajući element kola – otpornik, odnosno vrijednost otpornosti,

- mijenjajući napon na istom elemntu kola – otporniku.

Naponi na krajevima otpornosti predstavljaju pad napona. Omov zakon važi za svaki dio kola sa otpornikom (slika 24).

Slika 24. Pad napona na otpornicima

II.6 ELEKTRIČNA ENERGIJA I SNAGA

Posmatrajmo prosto električno kolo sa otpornikom otpornosti ][ΩΩΩΩR , na čijim krajevima (priključcima)

vlada napon ][VU i kroz koji protiče struja jačine ][AI (slika 25).

Za neki interval vremena t kroz otpornik protekne naelektrisanje: tIQ ====

.

Ovo naelektrisanje prenose sile električnog polja koje je uspostavio

električni izvor.

Električne sile pri prenošenju naelektrisnja kroz otpornik izvrše rad:

tIUQUA ======== .

Izvršeni rad jednak je "utrošenoj" električnoj energiji . Slika 25. Električna energija se u otporniku transformiše u toplotnu. Oznaka za električnu energij je W. Električnoj energiji (koja se u otporniku R pretvorila u toplotnu energiju) je određena izrazom:

tIUW ==== . ...(II.8)

Takođe, u skladu sa Omovim zakonom: IRU ==== i R

UI ==== , je:

tRIW 2==== ...(II.8A)

i

tR

UW

2

==== . ...(II.8B)

3

+ - ε r

R1

I

+ U1=R1 I

1 R2

I

+ U2=R2 I

2 2

+ - ε r

I

+ U

1 2 R



42

Po definiciji, snaga (P) je brzna vršenja rada (A), odnosno rad koji se izvrši u jedinici vremena (t): t

AP ==== .

Snaga električne struje ili električna snaga (oznaka: P), je utrošena električna energija u jedinici

vremena:

UIt

tIU

t

WP ============ .

⇒⇒⇒⇒ Snaga električne struje jednaka je proizvodu napona i jačine te struje:

IUP ==== . ...(II.9)

Takođe, u skladu sa Omovim zakonom: IRU ==== , odnosno R

UI ==== , je:

RIP 2==== ...(II.9A)

i

R

UP

2

==== . ...(II.9B)

Jedinica za snagu je: ][, Wvat .

Važi: ][][][ AVW ⋅⋅⋅⋅==== .

U praksi se koriste i manje jedinice:... WmWmilivat 310, −−−−==== ,

a takođe i veće jedinice: WkWkilovat 310, ====

...10, 6WMWmegavat ==== .

Napomena: Male vrijednosti snaga, u mW , imamo npr. u elektronskim sklopovima. Veće vrijednosti snaga, u kW , imamo npr.

kod prijemnika u domaćinstvima, dok se snage u okviru elektroenergetskih sistema na nivou proizvodnje i ptenosa

izražavaju u MW .

Za električnu energiju se koristi jedinica: kilovatčas, [kWh]. Napomena: Kilovatčas je jednak električnoj enegiji što je prijemnik snage 1kW transformiše u toplotu (ili neki drugi

oblik energije) u toku jednog časa: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] JsWkWh 6106,3360010001 ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== .

Snaga električne struje u kolu sa otpornikom je snaga transformacije električne energije u toplotnu. To je

snaga otpornika, a često se naziva i snaga džulovih gubitaka.

Izrazi II.8A i II.9A za energiju i snagu predstavljaju Džulov zakon. Džulov zakon se iskazuje na sljededeći način: Količina toplote koja se oslobodi u otporniku otpornosti R , kroz koji tokom vremena t protiče struja I , upravo je srazmjerna kvadratu jačine struje, otpornosti i vremenu proticanja struje. Napomena: Pod Džulovim zakonom se podrazumijevaju izrazi pomoću kojih može da se izračuna energija pretvorena u nekom

otporniku u toplotu u izvjesnom intervlu vremena. Zakon je dobio ime po svom pronalazaču Džulu (engleski fizičr

Džems Preskot Džul, 1818 – 1889), koji je do tog zakona došao eksperimenalnim putem.



43

II.7 MJERENJE STRUJE I NAPONA Jačina električne struje se mjeri pomoću instrumenta koji se naziva ampermetar.

U električnim kolima ampermetar se predstavlja simbolom:

Ampermetar se uključuje redno u granu kola u kojoj treba izmjeriti struju (slika 26A), tako da sva

struja prolazi kroz ampermetar. Ta struja mora biti ista prije i nakon uključenja ampermetra.

⇒

Ampermetri moraju biti takve izvedbe da je njihova unutrašnja otpornost veoma mala: 0≈Ar .

Slika 26A: Mjerenje struje

Pri mjerenju jednosmjerne struje uvijek treba povezivati priključak ampermerta sa oznakom + na tačku višeg

potencijala.

Kroz ampermetar struja teče od + ka – priključku ampermetra.

Napon se mjeri pomoću instrumenta koji se naziva voltmetar. U električnim kolima voltmetar se predstavlja simbolom:

Voltmetar se priključuje paralelno grani ili elementu kola na čijim krajevima se mjeri napon (slika

30B). Nakon priključenja voltmetra struja kroz voltmetar mora biti ≈ 0.

⇒

Voltmetri moraju biti takve izvedbe da je njihova unutrašnja otpornost veoma velika: ∞→Vr .

Slika 26B: Mjerenje napona

Jedna priključna tačka voltmetra uvijek je označen sa +. Taj priključak se obavezno vezuje za tačku višeg

potencijala napona koji mjerimo.

Priključak + voltmetra je tačka višeg potencijala.

A +

V +

+ - ε r

R2 3

I

R1

2′′′′ 1

+ V

+ V U1 U2

+ V U

+ -

ε r 2

R

R2

1

c

a R1

b Ia

Ib Ic + V +

V

+ V

U

U12 UR

2″″″″

+ - ε r

R1 1

R2 2′ 2″ 3

I

A +

+ - 2

R

R2

1

c a

R1

b

A + A +

Ia Ib Ic

ε r



44

III RJEŠAVANJE ELEKTRIČNIH KOLA U električnim kolima su obično poznati parametri izvora i potrošača, dakle elektromotorne sile i

otpornosti.

Riješiti električno kolo znači odrediti struje u svim granama, odnosno elementima kola, kao i potrebne napone na granama, odnosno elementima kola. Osnovni zakoni koji se koriste za rješavanje električnih kola su Omov zakon i I i II Kirhofov zakon.

III.1 PROSTO ELEKTRIČNO KOLO III.1.1 Prosto električno kolo sa jednim izvorom i jednim prijemnikom Omov zakon

Posmatrajmo prosto električno kolo sa slike 27.

Kolo sadrži jedan izvor ( ][Vεεεε , ][ΩΩΩΩr ) i jedan prijemnik ( ][ΩΩΩΩR ).

Kolom protiče struja ?====I Smjer struje je poznat: od + izvora. Omov zakon za prosto kolo sa jednim izvorom i jednim prijemnikom ima oblik:

rR

I++++

====εεεε

...(III.1)

Napon na krajevima prijemnika, odnosno pad napona na otporniku R, je:

IRU ==== . ...(III.2)

To je ujedno i napon na krajevima izvora.

Iz (III.1) i (III.2) ⇒ rIUrIRI ++++====++++====εεεε

rI je pad napona na unutrašnjoj otpornosti r izvora. Napona na krajevima izvora je:

rIU −−−−==== εεεε . ...(III.3)

Napon na krajevima izvora manji je od ems za pad napona na unutrašnjoj otpornosti izvora. U većini slučajeva unutrašnja otpornost izvora je veoma mala ( 0≈≈≈≈r ) i pad napona na unutrašnjoj otpornosti

izvora se može, ako struja nije velika, zanemariti: εεεε≈≈≈≈U . Režim praznog hoda (slika 27)

Ako se kolo prekine tako što otvorimo prekidač (slika 28), struje u kolu

nema: 0====I .

Napon na krajevima izvora jednak je ems: εεεε====U .

Ovo je tzv. režim praznog hoda.

R

r εεεεr

I

+ U

1 2

Slika 27: Prosto električno kolo

R

+ U

1 2

r εεεε

Slika 28: Prazan hod



45

Režim kratkog spoja (slika 28)

Režim kola koji se dobija ako se krajevi izvora povežu provodnikom veoma

male otpornosti (Rks=0), odnosno kratko-spoje, naziva se režim kratkog spoja.

U režimu kratkog spoja je:

00 ====⋅⋅⋅⋅======== ksksks IRIU . Takođe je: RIU R==== ⇒ 00

============RR

UI R .

Kako je 0====RI , onda je ksII = i možemo je izraziti kao: rRr

Iks

εεεεεεεε====

++++==== .

Kako je r veoma malo ( 0≈≈≈≈r ), u režimu kratkog spoja struja kroz izvor je veoma velika ( ∞∞∞∞→→→→I ).

Ovako velike struje mogu izazvati oštećenje izvora.

Jedan od načina zaštite je postavljanje u kolo izvora osigurača. Osigurači se izvode od dobro vodljivog

provodnika manjeg presjeka, koji se pri velikim strujama kratkog spoja odmah istopi.

Bilans snaga u prostom kolu sa jednim izvorom i jednim prijemnikom

Bilans snaga predstavlja relaciju koja pokazuje kako se raspoređuje snaga koju daje (stvara) izvor.

Snaga izvora je: IPi εεεε==== .

Snaga koja se predaje prijemniku je snaga Džulovih gubitaka u otporniku: 2IRIUPR ======== .

Snaga Džulovih gubitaka u unutrašnjoj otpornosti izvora je: 2IrPr ==== .

Po zakonu održavanja energije, snaga izvora mora biti jednaka ukupnoj Džulovoj snazi:

2222 )( IrRIrIRIrIUI ++++====++++====++++====εεεε .

Posljednja jednačina predstavlja bilans snaga u prostom električnom kolu sa jednim izvorom i jednim

prijemnikom (otpornikom).

Koeficijent iskorišćenja (koeficijent korisnog dejstva) Cjelokupna snaga koju stvara izvor ( iP ) ne predaje se prijemniku, već jedan dio nekorisno ide na pokrivanje

Džulovih gubitaka u samom izvoru. Drugi dio snage predaje se prijemniku i to je korisna snaga ( kP ).

Odnos korisne snage i ukupne snage izvora naziva se koeficijent iskorišćenja ili koeficijent korisnog dejstva (ηηηη ):

rR

R

IrR

IR

I

IU

P

P

i

k

++++====

++++============ 2

2

)(εεεεηηηη .

Koeficijent iskorišćenja je neimenovani broj i najčešće se izražava u procentima: [[[[ ]]]]%100% ⋅⋅⋅⋅==== ηηηηηηηη .

Koeficijent iskorišćenja je veći ukolik je unutrašnja otpornost izvora manja i u slučaju idealnog izvora

( 0====r ) ima maksimalnu vrijednost 1====ηηηη .

1

R

+ U

2

Rks=0 I

IR

Iks

r εεεε

Slika 28: Kratak spoj



46

III.1.2 Prosto električno kolo sa više izvora i više prijemnika (slika 29)

Slika 29: Prosto električno kolo sa više izvora i prijemnika

Za prosto električno kolo sa više izvora i prijemnika struja kroz sve elemente kola je ista, ali se unaprijed ne zna stvarni smjer struje.

Zbog toga ćemo proizvoljno usvojiti referentni smjer struje u kolu, odnosno proizvoljno odabrati smjer obilaska kola - konture (npr. onako kako je označen strelicama na slici 29).

Na osnovu usvojenog referentnog smjera struje posmatramo djelovanje ems izvora:

• Ems koje djeluju u smjeru struje održavaju struju i predaju energiju u kolu, ponašau se kao izvori.

• Ems koje djeluju nasuprot usvojenom smjeru struje, ponašaju se kao prijemnici električne energije,

odnosno kao otpornici (elektrootporne sile).

Kolo na slici 29, kolo sadrži dva izvora: ][1 Vεεεε , ][1 ΩΩΩΩr i ][2 Vεεεε , ][2 ΩΩΩΩr ) i dva prijemnika ][1 ΩΩΩΩR i

][2 ΩΩΩΩR .

Kolom protiče struja ?====I Usvojeni referentni smjer struje je kao na slici 29.

Ems1 djeluje u smjeru struje, kao izvor.

Ems2 djeluje nasuprot usvojenom smjeru struje, kao prijemnik.

Po zakonu o održavanju energije, ukupna snaga izvora koja se predaje kolu jednaka je ukupnoj snazi

prijemnika + snaga Džulovih gubitaka u unutrašnjim otpornostima izvora:

22

21

22

2121 IrIrIRIRII ++++++++++++++++==== εεεεεεεε .

Nakon sređivanja, dobijamo izraz za jačinu struje: 2121

21

rrRRI

++++++++++++

−−−−====

εεεεεεεε .

Ovaj izraz predstavlja Omov zakon za prosto kolo sa slike 29.

Omov zakon za prosto kolo sa više izvora i prijemnika ima oblik:

∑∑∑∑∑∑∑∑

====R

Iεεεε

...(III.4)

U sumi ∑∑∑∑εεεε , učestvuju se sve ems izvora koji se nalaze u kolu.

Pri tome, one ems čiji se smjer poklapa sa usvojenim referentnim smjerom struje (smjerom obilaženja kola, odnosno konture) uzimaju se sa znakom +, a one koje imaju suprotan smjer od usvojenog referentnog smjera struje (smjera obilaženja kola-konture) sa znakom - ! U sumi ∑∑∑∑R sabiraju se sve otpornosti koje se pojavljuju u kolu, dakle otpornosti svih prijemnika i

unutrašnje otpornosti svih izvora.

R1

I

+ UAB

A B

r1 εεεε1

R2

εεεε2 r2



47

Ako pri konkretnom proračunu prema izrazu III.4 dobijemo 0>>>>I , znači da se stvarni smjer struje poklapa sa usvojenim referentnim smjerom struje (sa usvojenim smjerom obolaženja kola, odnosno kontue), a ako dobijemo 0<<<<I , stvarni smjer struje je suprotan od usvojenog referentnog smjera (smjera obilaženja kola, odnosno konture).

Napon između bilo koje dvije tačke u prostom kolu sa više izvora i prijemnika, računa se preko

izraza:

∑∑∑∑∑∑∑∑ −−−−==== RIU AB εεεε , od B ka A ...(III.5)

Smjer putanje kojim idemo pri izračunavanju napona između tačaka A i B je od tačke B ka tački A (od

tačke nižeg ka tački višeg potencijala, dakle u smjeru napona).

U sumi ∑∑∑∑εεεε , učestvuju sve ems izvora koji se nalaze na putanji, odnosno posmatranom dijelu kola između

tačaka B i A .

Pri tome, one ems koje imaju smjer od B ka A uzimaju se sa znakom +, a one koje imaju suprotan smjer sa znakom - ! U sumi ∑∑∑∑RI , učestvuju naponi (padovi napona) na svim otpornostima koje su uključene u putanju,

odnosno posmatrani dio kola između tačaka B i A.

Pri tome, ako je smjer struje od B ka A svi pojedinačni naponi na otpornicima (padovi napona RI ) su pozitivni i u izrazu II.14 se oduzimaju, a ako idući od B ka A idemo suprotno smjeru struje, svi pojedinačni naponi na otprnicima (padovi napona RI ) su negativni i u izrazu II.14 se sabiraju !.

Ako pri konkretnom proračunu prema izrazu III.5 dobijemo 0>>>>ABU , znači da je tačka A tačka višeg

potencijala, a ako dobijemo 0<<<<ABU , tačka B je tačka višeg potebcijala.

Rezultat za napon ABU ne zaisi od toga kojim putem idemo od tačke B ka tački A. Obično biramo najkraći

put.

Za kolo na slici 29, napon ABU možemo izračunati idući:

po putanji ArBR 112 εεεε , od B ka A (u smjeru struje): IrIRU AB 121 −−−−−−−−==== εεεε , ili

po putanji ARBr 122εεεε , od B ka A (nasuprot sjera struje): IrIRU AB 212 ++++++++==== εεεε .

III.2 KIRHOFOVI ZAKONI

Električna kola su najčešće složena, sa više grana i čvorova, odnosno više kontura. Za njihovo rješavanje

razvijene su različite metode, čiju osnovu čine I i II Kirhofov zakon.

III.2.1 I Kirhofov zakon odnosi se na struje u čvorovima električnog kola:

∑∑∑∑ ====čvor

I 0 ...(III.6)

Algebarska suma struja u jednom čvoru jednaka je nuli. Pri tome, struje koje ulaze u čvor uzimaju se sa znakom +, a one koje izlaze sa znakom - ! ili obratno, što je svejedno.

I Kirhofov zakon se može izraziti na sljedeći način:



48

∑∑∑∑ ∑∑∑∑→→→→ →→→→

====čvor čvor

II ...(II.6A)

Zbir struja koje ulaze u čvor električnog kola jednak je zbiru struja koje iz njega izlaze.

Za konkretni čvor, pomoću I Kirhofovog zakona možemo odrediti jednu nepoznatu struju, ako su nam ostale

struje poznate.

Kao primjer posmatrajmo na slici 30 dio složenog kola sa čine četiri grane koje se stiču u čbor B. Poznate su

struje 1I , 2I i 3I (smjerovi i jačine), a potrebno je odrediti struju u četvrtoj grani (smjer i jačinu 4I =?).

Predpostavimo smjer struje I4. To je tzv. referentni smjer struje. Odaberimo npr. za referentni smjer struje I4 smjer od čvora (strelica pored grane).

I Kirhofov zakon za čvor B (izraz II.6): 04321 ====−−−−−−−−−−−− IIII ,

ili (izraz II.6A): 4321 IIII ++++++++==== .

⇒

Nepoznata struja I4 je: 3214 IIII −−−−−−−−==== .

Neka je: I1=3 A, I2=2 A i I3=4 A. ⇒ AAAAI 3][4][2][34 −−−−====−−−−−−−−==== .

Jačina struje je I4= 3 A, a znak - nam kazuje da je stvarni smjer struje suprotan usvojenom - referentnom smjeru !, odnosno da je ka čvoru B. III.2.2. II Kirhofov zakon odnosi se na napone kontura složenog električnog kola.

Ovaj zakon povezuje sve napone zatvorene konture, odnosno sve ems i napone na otpornostima (padove

napona) zatvorene konture.

Pri primjeni ovog zakona, neophodno je za konturu za koju postavljamo zakon predhodno odabrati smjer obilaženja konture (uobičajeno ga označavamo strelicom unutar konture, npr. kao na slici31).

II Kirhofov zakon se može izraziti u više oblika. Jedan od njih je:

0====∑∑∑∑konturi

U ...(III.7)

Algebarska suma napona po zatvorenoj konturi jednaka je nuli. Pri tome, idući usvojenim smjerom obilaska konture, napone kod kojih idemo od – ka + (u smjeru napona) uzimamo sa pozitivnim predznakom (sa znakom +) , a napone kod kojih idemo od + ka - (suprotno smjeru napona) uzimamo sa negativnim predznakom (sa znakom -) !

II Kirhofov zakon se najčešće piše u obliku:

0====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑konturikonturi

RIεεεε , ...(III.7A)

U zatvorenoj konturi električnog kola algebarski zbir elektromotornih sila umanjen za algebarski zbir napona na otpornicima (padova napona) jednak je nuli.

Pri tome:

I2 I1

I3 I4

B

Slika 30.



49

• One ems ( εεεε ) čiji je smjer isti kao i usvojeni smjer obilaska konture uzimaju se sa pozitivnim predznakom (sa znakom +), a one koje imaju suprotan smjer sa negativnim predznakom (sa znakom -) !

• Oni naponi na otpornicima (padovi napona RI) kod kojih je smjer struje isti kao i usvojeni

smjer obilaska konture su pozitivni i u izrazu III.7A se oduzimaju !, a oni naponi na otpornicima (padovi napona RI) kod kojih je smjer struje suprotan usvojenom smjeru obilaska konture su negativni i u izrazu III.7A se sabiraju !

Ilustrujmo primjenu II Kirhofovog zakona na primjeru električnog kola čija je šema prikazana na slici

31.

Slika 31.

Za posmatrano kolo:

• Broj grana je: 3====n (grana 1: 12 111 Rr εεεε , grana 2: 12 222 Rr εεεε i grana 3: 21 333 εεεεrR );

Za struje grana I1, I2 i I3 izabrali smo i označili referentne smjerove, kao na slici 31.

• Broj čvorova je: 2====m (čvor 1 i čvor 2)

• Broj nezavisnih kontura je: 21231 ====++++−−−−====++++−−−−==== mnk ;

Za konturu I - 212 222111 εεεεεεεε rRRr i konturu II - 212 333222 εεεεεεεε rRRr izabrali smo i označili smjerove

obilaska kontura, kao na slici 31.

Za konturu I - 212 222111 εεεεεεεε rRRr :

- 1εεεε je u smjeru obilaska konture (pozitivan predznak u izrazu III.7A) ,

- 2εεεε je suprotna smjeru obilaska konture (negativni predznak u izrazu III.7A),

- struja 1I kroz otpornosti 1r i 1R je u smjeru obilaska konture, ⇒ u izrazu III.7A se naponi na tim

otpornostima oduzimaju (pozitivni padovi napona 11 Ir i 11 IR ),

- struja 2I kroz otpornosti 2r i 2R je suprotna smjeru obilaska konture, u izrazu III.7A se naponi na tim

otpornostima sabiraju (negativni padovi napona 22 Ir i 22 IR ).

II Kirhofov zakon (izraz III.7A) za konturu I : 02222111131 ====++++++++−−−−−−−−−−−− IrIRIRIrεεεεεεεε .

Za konturu II - 212 333222 εεεεεεεε rRRr :



- struja 2I kroz otpornosti 2r i 2R je u smjeru obilaska konture ⇒ u izrazu III.7A se naponi na tim


- struja 3I kroz otpornosti 3r i 3R je je u smjeru obilaska konture ⇒ u izrazu III.7A se naponi na tim


II Kirhofov zakon (izraz III.7A) za konturu II: 03333222221 ====−−−−−−−−−−−−−−−−++++ IrIRIRIrεεεεεεεε .

R1

R2 R3

1

r1 εεεε

2

r3 εεεε3

εεεε2 r2

I1 I3

I2

I II



50

III.3 VEZIVANJE OTPORNIKA (EKVIVALENTNA OTPORNOST)

U praktičnim primjerima, zbog postizanja nekog željenog efekta otpornici se vezuju u grupe: redno

(serijski), paralelno i mješovito.

III.3.1 Redna veza otpornika U zatvorenom električnom kolu, posmatrajmo dva otpornika otpornosti ][1 ΩΩΩΩR i ][2 ΩΩΩΩR vezana redno i priključena na napon ][VU (slika 32A):

A) B)

Slika 32: Redna veza otpornika, ekvivalentni otpornik

Karakteristike redne veze su:

- Struja kroz oba otpornike je ista, jednaka struji I.

- U opštem slučaju, otpornosti 1R i 2R su različite. ⇒

- Prema Omovom zakonu, naponi na otpornicima su: IRUIRU 2211 , ======== .

- Ukupan napon između tačaka A i B jednak je zbiru napona na krajevima redno vezanih otpornika:

IRRIRIRUUU )( 212121 ++++====++++====++++==== .

Zamjenimo ovu rednu vezu ekvivalentnim otpornikom - otpornikom koji pri istom naponu U obezbijeđuje

istu struju I (slika 32B).

Otpornost ekvivalentnog otpornika, odnosno ekvivalentna otpornost dva redno vezana otpornika otpornosti

1R i 2R je:

2121

12

)(RR

I

IRR

I

UR r ++++====

++++======== .

Ekvivalentna otpornost redne veze dva otpornika jednaka je zbiru njihovih pojedinačnih otpornosti: 2112 RRR r ++++==== . ...(III.8)

Ukupna snaga kola sa dva redno vezana otpornika, jednaka je zbiru snaga svakog otpornika:

2121 PPIUIUIUP ++++====++++======== . ...(III.9)

Redna veze N otpornika otpornosti NiRi ,...,3,2,1, ==== , priključena na napon U :

• Struja kroz sve otpornike je ista: II i ==== ( I je i struja kroz ekvivalentni otpornik);

• Naponi na pojedinačnim otpornicima su različiti i određeni Omovim zakonom: IRU ii ==== ;

I

12rR B A

+ U

R2 B

I

R1 A

+ + U1 U2

+ U

≡≡≡≡



51

• Ukupan napon redne veze jednak je zbiru napona na pojedinačnim otpornicima: ∑∑∑∑====

====N

iiUU

1

(U je i napon na krajevima ekvivalentnog otpornika);

• Otpornost ekvivalentnog otpornika (I

UR r ==== ), odnosno

ekvivalentna otpornost N redno vezanih otpornika je:

∑∑∑∑====

====N

iir RR

1

. ... (III.8A)

Ekvivalentna otpornost redno vezanih otpornika jednaka je zbiru njihovih otpornosti.

• Ukupna snaga jednaka je zbiru snaga pojedinačnih otpornika:

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑================

================N

i i

N

ii

N

ii

N

iir R

UIRIUPP i

1

22

111

. ...(III.9A)

III.3.2 Paralelna veza otpornika

U zatvorenom električnom kolu, posmatrajmo dva otpornika otpornosti ][1 ΩΩΩΩR i ][2 ΩΩΩΩR vezana

paralelno i priključena na napon ][VU (slika 33A):

A) B)

Slika 33: Paralelna veza otpornika, ekvivalentni otpornik

Karakteristike paralelne veze su:

- Naponi na krajevima otpornika su isti i jednak naponu U .

- U opštem slučaju, otpornosti 1R i 2R su različite. ⇒

- Struje kroz otpornike su različite i određene Omovim zakonom: 2

21

1 ,R

UI

R

UI ======== .

- Ukupan struja I jednaka je zbiru struja kroz otpornike (I Kirhofov zakon): 21 III ++++==== .

Zamjenimo ovu vezu ekvivalentnim otpornikom – otpornikom koji pri istom naponu U obezbijeđuje istu

struju I (slik 33B).

Otpornost ekvivalentnog otpornika je:

2121

2112 11

1

RRR

U

R

UU

II

U

I

UR p

++++

====

++++

====++++

======== , odnosno:

2112

111

RRR p

++++==== . ...(III.10)

I

R p12 B A

+ U

+

U

2

R1

1

R2

I I2 I1

A

B

≡≡≡≡



52

Ekvivalentna otpornost dva paralelno vezana otpornika otpornosti 1R i 2R je:

21

2112 TR

RRR p

++++==== . ...(III.10A)

Ukupna snaga kola sa dva paralelno vezana otpornika, jednaka je zbiru snaga svakog otpornika:

2121 PPIUIUIUP ++++====++++======== . ...(III.11)

Paralelna veza N otpornika otpornosti NiRi ,...,3,2,1, ==== priključenih na napon U :

• Napon na svim otpornicima je isti: UU i ==== (U je i napon na krajevima ekvivalentnog otpornika);

• Struje pojedinačnih otpornika su različite i određene Omovim zakonom: i

i R

UI ==== ;

• Ukupna struja je jednaka zbiru struja kroz pojedinačne otpornika: ∑∑∑∑====

====N

iiII

1

( I je i struja

kroz ekvivalentni otpornik) ;

• Otpornost ekvivalentnog otpornika (I

UR p ==== ) , odnosno ekvivalentna otpornost N paralelno

vezanih otpornika se računa preko izraza:

∑∑∑∑====

====N

i ip RR 1

11 . ... (III.10A)

• Ukupna snaga jednaka je zbiru snaga pojedinačnih otpornika:

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑================

================N

i ii

N

iii

N

i

N

iip R

UIRIUPP

1

22

111

. ...(III.11A21)

Mješovita veza otpornika javlja se kao kombinacija redne i paralelne veze, npr. kao na slici 39.

Slika 33: Mješovita veza otpornika, ekvivalentni otpornik

Ekvivalentna otpornost mješovite veze otpornika sa slike 39 je: 32

321 RR

RRRRe

++++++++==== .

≡

R1

R2

R3

A

B

R1

R23

A

B

≡ Re

A

B



53

III.4 METODE RJEŠAVANJA SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA

Za rješavanje složenih električnih kola razvijeno je više metoda. Rješiti složeno električno kolo najčešće

znači odrediti sve struje u granama ili napone između krajeva svih grana, ako su nam poznati parametri svih

izvora i otpornosti prijemnika. Tada za rješavanje kola moramo formirati onoliko nezavisnih jednačina

koliko u kolu ima različitih struja.

III.4.1.Rješavanje kola primjenom Kirhofovih zakona Jedna od metoda koja se upotrebljava za rješavnje složenih kola jeste primjena I i II Kirhofovog zakona.

Svako kolo ima određeni broj čvorova ( m ) i određeni broj grana ( n ). Broj nepoznatih struja koje treba

odrediti jednak je broju grana n , pa toliko treba napisati nezavisnih jednačina po I i II Kirhofovom zakonu:

• Po I Kirhofovom zakonu pišemo ( 1−−−−m ) nezavisnu jednačinu • Po II Kirhofovom zakonu pišemo preostalih ( 1++++−−−− mn ) jednačina. Pri tome jednačine pišemo za

tzv. nezavisne konture. Nezavisne konture su one konture koje sadrže makar jednu granu koju ne

sadrže ostale konture za koje pišemo jednačinu. Te grane se nazivaju nezavisne grane, a struje u

njima nezavisne struje .

Postupak rješavanja složenih električnih kola primjenom Kirhofovih zakona je sljedeći:

Prema šemi, određujemo broj grana n i broj čvorova m u kolu, uz istovremeno obilježavanje

čvorova, npr. bojevima 1, 2, ... ili velikim slovima A, B,...

U svakoj grani kola, obilježimo struje ( n struja: I1, I2,..., In) i proizvoljno izaberemo njihove

referentne smjerove (npr. u smjeru izvora u grani, ako izvor postoji).

Odaberemo čvorove na koje ćemo primjeniti I Kirhofov zakon ( 1−−−−m nezavisni čvor) i za te čvorone

napišemo jednačine po I Kirhofovom zakonu: 0====∑∑∑∑čvor

I .

Odaberemo ( 1++++−−−− mn ) nezavisnih kontura; Za svaku konturu proizvoljno izaberemo i naznačimo

smjer obilaženja po konturi (npr. u smjeru struje nezavisne grane, ili npr. u smjeru kazaljke na satu),;

Za odabrane nezavisne konture napišemo jednačine po II Kirhofovom zakonu: 0====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑konturikonturi

RIεεεε .

Riješimo formirani sistem od n jednačina (od ukupno n jednačin: 1−−−−m jednačina je napisana po I

Kirhofovom zakonu a 1++++−−−− mn po II Kirhofovom zakonu) sa n nepoznatih struja. • Ako se u rješenjima dobije negativna struja, to znači da je stvarni smjer struje suprotan

usvojenom referentnom smjeru. Ilustrujmo primjenu Kirhofovih zakona za rješavanje kola na primjeru električnog kola čija je šema

prikazana na slici 34.

Poznato su parametri svih izvora i otpornosti svih otpornika:

][,][,][

],[],[],[],[],[],[

321

332211

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

RRR

rVrVrV εεεεεεεεεεεε

Treba odrediti struje u svim granama:

??,?, 321 ============ III

R1

R2 R3

1

r1 εεεε1 2

r3 εεεε3

εεεε2 r2

I1

I3

I2

I II

Slika 34.



54

Kolo ćemo rješiti primjenom Kirhofovih zakona:

Broj čvorova u kolu je 2====m : čvor 1 i čvor 2;

Broj grana u kolu je 3====n , grane: 12 111 Rr εεεε - grana 1, 12 222 Rr εεεε - grana 2 i 21 333 εεεεrR - grana 3 ;

Broj nepoznatih struja je 3====n . Toliko jednačin pišemo po I i II Kirhofovom zakonu.

Struje u granama su: 321 ,, III . Proizvoljno smo odabrali referentne smjerove ovih struje (npr. u

smjeru ems -e u grani), prikazali ih strelicama i obilježili 321 ,, III (slika);

I Kirhofov zakon pišemo za 1121 ====−−−−====−−−−m nezavisni čvor.

Neka je to čvor 1.

I Kirhofov zakon za čvor 1:

(čvor 1) 0321 ====−−−−++++ III ...(1) daje prvu jednačinu za određivanje nepoznatih struja.

II Kirhofov zakon pišemo za 21231 ====++++−−−−====++++−−−− mn nezavisne konture.

To su konture:

22 222111 εεεεεεεε rRRr - kontura I sa nezavisnom granom 1 i

22 333222 εεεεεεεε rRRr - kontura II sa nezavisnom granom 3.

Proizvoljno smo odabrali smjerove obilaženja kontura (npr. u smjeru struje nezavisne grane) i

obilježili strelicom (slika).

II Kirhofov zakon za konturu I:

(kontura I): 02222111121 ====++++++++−−−−−−−−−−−− IrIRIRIrεεεεεεεε ...(2) daje drugu jednačinu za određivanje nepoznatih struja.

II Kirhofov zakon za konturu II:

(kontura II): 0333322232 ====−−−−−−−−−−−−−−−−++++ IrIRIRIrεεεεεεεε ...(3) daje treću jednačinu za određivanje nepoznatih strua.

Rješavajući predhodno fomiran sistem od tri jednačine sa tri nepoznate, odredićemo sve struje u granama

složenog kola.

• Ako se u rješenjima dobije negativna struja, to znači da je stvarni smjer te struje suprotan usvojenom referentnom smjeru.



55

Primjeri 4. 1. Za kolo na slici, odrediti struju u kolu i pokazivanje voltmetra.

Rješenje

Za struju u kolu predpostavili smo referentni smjer kao na slici (u smjeru veće ems ). Vrijednost struje je, na

osnovu Omovog zakona (izraz III.13):

AVVV

RRRRI 25,0

][120

][30

][20][40][60

][10][40

321

21 ====ΩΩΩΩ

====ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ

−−−−====

++++++++

−−−−========

∑∑∑∑∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε

U predhodnom izrazu ems 1εεεε je sa pozitivnim predznakom, jer je u smjeru struje, a

ems 2εεεε je sa negativnim predznakom jer je suprotna usvojenom smjeru struje !

Voltmetar pokazuje napon 12U . Ovaj napon je, prema izrazu za napon između dvije tačke (izraz III.2), idući

po putanji 12 311 RRεεεε (od 2 ka 1) jednak:

VAAVIRIRRIURR RR

20][25,0][20][25,0][60][4031112 12

12311 311

====⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−========−−−−−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε εεεε

.

U predhodnom izrazu ems 1εεεε je sa pozitivnim predznakom, jer je smjera od od 2 ka 1.

Naponi na otpornostima IR1 i IR3 su takođe sa pozitivnim predznakom (u izrazu za napon se oduzimaju)

jer je struja kroz njih od od 2 ka 1 !

Do iste vrijednosti se dolazi računajući napon po putanji 12 22 Rεεεε (od 2 ka 1):

VAVIRRIUR R

20][25,0][40][102212 12

1222 22

====⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ++++====++++====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε εεεε

U predhodnom izrazu ems 2εεεε je sa pozitivnim predznakom, jer je smjera od od 2 ka 1.

Naponi na otporniku IR2 je sa negativnim predznakom (u izrazu za napon se sabira) jer je struja kroz

otpornik suprotna od 2 ka 1 !

R3=20ΩΩΩΩ

R2=40ΩΩΩΩ R1=60ΩΩΩΩ

1

εεεε 1=40V r1 ≈≈≈≈ 0

2

r2 ≈≈≈≈ 0 εεεε2 =10V

I=? +

V U12=?



56

2. Za kolo na slici odrediti struju i napon UDB . Poznato je: ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩεεεεεεεε 2,4,2,1,20,10 3212121 ============================ RRRrrVV .

Rješenje

Za struju u kolu usvojili smo referentni smjer kao na slici. Struja je, na osnovu Omovog zakona (izraz III.1):

AVVV

RRrRrRI 1

][10

][10

][2][4][1][2][1

][20][10

32211

21 −−−−====ΩΩΩΩ

−−−−========

ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ

−−−−====

++++++++++++++++

−−−−========

∑∑∑∑∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε

U predhodnom izrazu ems 1εεεε je sa pozitivnim predznakom, jer je istog smjera kao i referentni smjer struje,

a ems 2εεεε je sa negativnim predznakom jer je suprotna referentnom smjeru struje !

• Kao rješenje dobili smo negativnu vrijednost struje. To znači da je stvarni smjer struje suprotan usvojenom referentnom smjeru. Ovo je logično jer smo za referentni smjer uzeli u smjeru ems manje vrijednosti.

Napon UDB , prema izrazu za napon između dvije tačke (izraz III.2), idući po putanji DrBR 221 εεεε (od B ka D)

jednak je:

VAAVIrIRRIUDrBR DrBR

DB 17][)1(][1][)1(][2][20212221 221

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε εεεε

U predhodnom izrazu ems 2εεεε je sa negativnim predznakom, jer je suprotna od smjera od B ka D. Naponi na

otpornostima IR1 i Ir2 su sa pozitivnim predznakom (u izrazu za napon se oduzimaju) jer je struja kroz

njih u smjeru od B ka D !

Do iste vrijednosti se dolazi računajući napon po putanji DRRBr 2311εεεε (od B ka D):

VAAAV

IRIRIrRIUDRRBr DRRBr

DB

17][)1(][4][)1(][2][)1(][1][10

23112311 2311

−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ++++−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ++++−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ++++−−−−

====++++++++++++−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε εεεε

• Kao rješenje dobili smo negativnu vrijednost napona UDB. To znači da je tačka B na višem potencijalu u odnosu na tačku D.

R2

R3

r1 εεεε1

εεεε2 r2

A

R1

I=?

B C D

E



57

3. Za kolo na slici odrediti struje u kolu i otpornost R . Poznato je: VURRrV V 100,50,10,0,200 21 ============≈≈≈≈==== ΩΩΩΩΩΩΩΩεεεε .

Rješenje

Referentni smjerovi struja su prikazani na slici.

Voltmetar mjeri napon između tačaka A i B, tačka A je na višem potencijalu: VUU VAB 100======== .

Istovremeno:

RIRIUBRA BRA

AB ====−−−−εεεε==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ …(1)

22

22

IRRIUABRABR

AB ====−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑εεεε …(2)

11

1 1

IRRIUARBr ARBr

AB −−−−====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ εεεεεεεεεεεε εεεε

…(3)

Iz jednačine (2) ⇒ AV

R

U

R

UI VAB 2

][50

][100

222 ================

ΩΩΩΩ

Iz jednačine (3) ⇒ AVVV

R

U

R

UI VAB 10

][10

][100

][10

][100][200

111 ========

−−−−====

−−−−====

−−−−====

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

εεεεεεεε .

I Kirhofov zakon za čvor A je: 021 ====−−−−−−−− III ; ⇒ AAAIII 8][2][1021 ====−−−−====−−−−==== .

Iz jednačine (1) ⇒ VA

V

I

U

I

UR VAB 5,12

][8

][100================

4. Za kolo na slici odrediti nepoznate struje u kolu i otpornost R . Poznato je: AIRRrV A 8,50,10,0,200 21 ====ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ====≈≈≈≈====εεεε .

Rješenje

Ampermetar mjeri struju kroz otpornost R. Smjer struje kroz ampermetar je od pola +, konkretno smjer

struje kroz granu AARB je od A ka B.

εεεε r

R1

I1=?

R=?

B

R2

A

I=? I2=? +

V UV

εεεε r

R1

I1=?

R=?

B

R2

A

IA I2=?

A +

I



58

Posmatrajmo granu AR1εεεεB. Napon između tačaka A i B je: 11IRU AB −−−−==== εεεε

Posmatrajmo granu AR2B. Napon između tačaka A i B je : 22 IRU AB ====

⇒

2211 IRIR ====−−−−εεεε ...(1)

Izraz (1) moše se dobiti direktno pišući II Kirhofov zakon (37.A) za konturu BRRBr 21εεεε (predhodno

usvojimo smjer obilaženja konture, npr. kao na slici):

02211

21 21

====−−−−−−−−εεεε====−−−−εεεε∑∑∑∑ ∑∑∑∑εεεε εεεε

IRIRRIBRRBr BRRBr

. ...(1.A)

I Kirhofov zakon za čvor A daje: ][8221 AIIII A ++++====++++==== ...(2)

Uvrštavajući (2) u (1.A) ⇒ 0])[8( 2221 ====−−−−++++−−−−εεεε IRAIR

AV

I

IV

IAIV

2][60

][120

][60][120

0][50][8][10][10][200

2

2

22

====ΩΩΩΩ

====

⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ====

====⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ−−−−

Iz (2) ⇒ AAAIII A 10][8][221 ====++++====++++====

Iz: AAB RIU ==== ⇒ ][5,12][8

][2][5022 ΩΩΩΩΩΩΩΩ

====⋅⋅⋅⋅

============A

A

I

IR

I

UR

AA

AB .

042A55FCd0123

Documents