Warnecke, Guenard, Doehler, a n d Epsztein: T h e " M"-Type Carcinotron Tube practical considerations, such a s available production facilities a n d engineering costs, also frequently exclude their use. These factors, however, will become less i m - portant a s more engineering know-how an d production experience a r e gained. T h e relative simplicity o f t h e magnetic amplifier makes f o r easier, cheaper a n d faster assembly once a system h a been properly designed a n d engineered. T h e magnetic amplifier i s n o longer a laboratory d e - vice but h a s been tested a n d proven in actual military a n d industrial service until today i t i s a major factor i n t h e design a n d development o f an ever-increasing num- b e r o f n e w a n d improved systems. Reliability i s b y n o means t h e only virtue o f t h e mag- netic amplifier. I n many applications i t h a s proven t o b e superior i n performance, size a n d cost t o vacuum tube amplifiers, rotary amplifiers a n d even mechanical d e - vices. N o other amplifier offers such a combination o f long life; l o w maintenance; ruggedness; resistance t o e x - treme conditions of vibration, shock a n d temperature; no warm-up time; an d high efficiency, i n a completely static device which m a y b e permanently sealed o r potted. T h e d a y o f t h e magnetic amplifier h a s arrived. ACKNOWLEDGMENT T h e author gratefully acknowledges t h e assistance o f t h e many people i n t h e magnetic amplifier field w h o s o freely gave their time a n d advice i n t h e initial prepara- tion of this paper. Special thanks a r e given to E. T . Hooper and W . A . Geyger o f t h e Naval Ordnance Laboratory assistance final t h e manuscript. T h e "M"-Type Carcinotron Tube* R . R . WARNECKEt, FELLOW, IRE, P . GUtNARDt, SENIOR MEMBER, IRE, O . DOEHLERt, AND B . EPSZTEINt Summary-This paper presents theoretical a n d experimental r e - sults concerning t he "M Carcinotron." I n particular, t h e influence o f space charge ha s been considered, therebypermitting a n explana- tion f o t h e measured values o f starting current, t h e influence o f t h e coupling impedance o n efficiency a nd existence f parasitic oscil- lations. T h e "rising s u n effect" which should b e present i n these tubes, as i t i s i n t h e magnetron, h a s been investigated theoretically a nd experimentally. T h e experimental results exhibit a decrease o f efficiency i n the predicted range o f operation. INTRODUCTION T HE Carcinotron' tubes a r e backward-wave oscil- lators. Their structure i s characterized b y t h e following features: 1 . A n electron beam i s in interaction with a back- ward space harmonic o f a delay line. 2 . T h e power output i s located a t t he g u n e n d o f t h e interaction space. 3 . Means f o r absorbing r f energy reflected b y possible output mismatch a r e introduced i n t h e rf field o f t h e delay line near t h e collector en d generally inside t h e tube. This structure gives a very wide electronic tuning range, a n d frequency insensitivity t o load impedance. T w o types of Carcinotron tubes have been investi- gated: t h e " O " type, i n which t h e beam travels i n a n interaction space a t constant d c potential, a s i n t h e classical traveling-wave tube, a n d t h e " M " type, where t h e beam travels perpendicularly t o crossed electric an d magnetic fields, a s i n t h e magnetron amplifier. * Original manuscript received by t h e IRE, November 9 , 1954; revised manuscript received December 1 6 , 1954. f Electronics Dept., Center o f Tech. Res., Compagnie G6n6rale d e T6l6graphie sans fil, Paris, France. 1 Registered trade-mark o f t h e Compagnie G6n6rale d e T.S.F. This paper deals with t h e " M " Carcinotron. T h e structure o f this tube a n d t h e results of a simplified small signal theory were given i n a short note published i n 1952.2 T h e methods used t o obtain these results were more fully described later.3 4 T h e a i m o f this paper i s t o describe with more detail t h e properties o f t h e " M " type Carcinotron, gathering a n d completing t h e information given previously.5-7 A small signal theory taking into account space- charge effects i s established, allowing expressions f o r t h e starting current a n d frequency, build-up time an d frequency pulling t o b e derived. T h e results of this theory a r e checked against experimental data. Some effects typical o f t h e "M " Carcinotron (rising s u n effect, parasitic oscillations) a r e explained. T h e practical i n - terest o f t h e "M " Carcinotron i s best shown b y t h e per- 2 P . Gu6nard, 0 . Doehler, B . Epsztein, a n d R . Warnecke, "Nouveaux tubes oscillateurs A large bande d'accord 6lectronique pour hyperfr6quences," C . R. Acad. Sci. (Paris), vol. 235, pp. 235- 236; July, 1952. They were given previously, together with experi- mental results, b y Epsztein a t the 10th Conference o n Electron Tube Pesearch, Ottawa, Can., june 1952, i n a discussion o n R. Kompfner's paper "Packward waves-," presented a t this conference. R . Warneckeand P . Guenard, "Some recent work i n France o n 'new types o f valves fo r highest radio-frequencies," Proc. IEE, vol. 100, part III, p. 351; November, 1953. 4 R . Warnecke, P . Gu6nard, a n d 0 . Doehler, "Ph6nombnes fonda- mentaux dans- l e s tuibes a onde progressive," L'Onde Electrique, n o . 325; April, 1954. 5 P . Gu6nard, R . Warnecke, 0 . Doehler, a n d B . Epsztein, " A n e w wide electronic tuning high efficiency microwave oscillator, h e M Carcinotron,"' paper presented at t h e 11th Conference o n Electron Tube Research, Stanford University, Stanford, Calif., June 1953. 6 P . Gu6nard, " O n some results obtained with 0 a n d M type Carcinotron," paper presented a t t h e 12th Conference o n Electron Tube Research, University o f Maine,Orono, Me., June, 1954. 7 0 . Doehler, "Space charge effects i n traveling wave tubes using crossed E - H fields," paper presented a t the Symposium o n Modern Advances i n Microwave Techniques, N e w York, N. Y . , October, 1954. 1955 4 1 3
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W a r n e c k e , G u e n a r d , D o e h l e r , a n d E p s z t e i n : T h e " M " - T y p e C a r c i n o t r o n T u b e
p r a c t i c a l c o n s i d e r a t i o n s , s u c h a s a v a i l a b l e p r o d u c t i o nf a c i l i t i e s a n d e n g i n e e r i n g c o s t s , a l s o f r e q u e n t l y e x c l u d et h e i r u s e . T h e s e f a c t o r s , h o w e v e r , w i l l b e c o m e l e s s i m -p o r t a n t a s m o r e e n g i n e e r i n g k n o w - h o w a n d p r o d u c t i o ne x p e r i e n c e a r e g a i n e d . T h e r e l a t i v e s i m p l i c i t y o f t h em a g n e t i c a m p l i f i e r m a k e s f o r e a s i e r , c h e a p e r a n d f a s t e ra s s e m b l y o n c e a s y s t e m h a s b e e n p r o p e r l y d e s i g n e d a n d
e n g i n e e r e d .The m a g n e t i c a m p l i f i e r i s n o l o n g e r a l a b o r a t o r y d e -v i c e b u t h a s b e e n t e s t e d a n d p r o v e n i n a c t u a l m i l i t a r ya n d i n d u s t r i a l s e r v i c e u n t i l t o d a y i t i s a m a j o r f a c t o r i nt h e d e s i g n a n d d e v e l o p m e n t o f a n e v e r - i n c r e a s i n g num-b e r o f new a n d i m p r o v e d s y s t e m s .
R e l i a b i l i t y i s b y n o means t h e o n l y v i r t u e o f t h e m a g -n e t i c a m p l i f i e r . I n many a p p l i c a t i o n s i t h a s p r o v e n t o b es u p e r i o r i n p e r f o r m a n c e , s i z e a n d c o s t t o vacuum t u b e
a m p l i f i e r s , r o t a r y a m p l i f i e r s a n d e v e n m e c h a n i c a l d e -v i c e s . No o t h e r a m p l i f i e r o f f e r s s u c h a c o m b i n a t i o n o fl o n g l i f e ; l o w m a i n t e n a n c e ; r u g g e d n e s s ; r e s i s t a n c e t o e x -t r e m e c o n d i t i o n s o f v i b r a t i o n , s h o c k a n d t e m p e r a t u r e ;n o w a r m - u p t i m e ; a n d h i g h e f f i c i e n c y , i n a c o m p l e t e l ys t a t i c d e v i c e w h i c h ma y b e p e r m a n e n t l y s e a l e d o rp o t t e d . T h e d a y o f t h e m a g n e t i c a m p l i f i e r h a s a r r i v e d .
ACKNOWLEDGMENT
T h e a u t h o r g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e s t h e a s s i s t a n c e o ft h e many p e o p l e i n t h e m a g n e t i c a m p l i f i e r f i e l d who s of r e e l y g a v e t h e i r t i m e a n d a d v i c e i n t h e i n i t i a l p r e p a r a -t i o n o f t h i s p a p e r . S p e c i a l t h a n k s a r e g i v e n t o E . T .H o o p e r a n d W. A . G e y g e r o f t h e N a v a l O r d n a n c eL a b o r a t o r y f o r a s s i s t a n c e i n t h e f i n a l p r e p a r a t i o n o f t h em a n u s c r i p t .
T h e "M"-Type C a r c i n o t r o n T u b e *R . R . WARNECKEt, FELLOW, I R E , P . G U t N A R D t , SENIOR MEMBER, I R E ,
O . DOEHLERt, AND B . EPSZTEINt
S u m m a r y - T h i s p a p e r p r e s e n t s t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e -
s u l t s c o n c e r n i n g t h e "M C a r c i n o t r o n . " I n p a r t i c u l a r , t h e i n f l u e n c e o fs p a c e c h a r g e h a s b e e n c o n s i d e r e d , t h e r e b y p e r m i t t i n g an e x p l a n a -t i o n f o r t h e m e a s u r e d v a l u e s o f s t a r t i n g c u r r e n t , t h e i n f l u e n c e o f t h ec o u p l i n g i m p e d a n c e o n e f f i c i e n c y a n d t h e e x i s t e n c e o f p a r a s i t i c o s c i l -l a t i o n s . T h e " r i s i n g s u n e f f e c t " w h i c h s h o u l d b e p r e s e n t i n t h e s et u b e s , a s i t i s i n t h e m a g n e t r o n , h a s b e e n i n v e s t i g a t e d t h e o r e t i c a l l ya n d e x p e r i m e n t a l l y . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s e x h i b i t a d e c r e a s e o fe f f i c i e n c y i n t h e p r e d i c t e d r a n g e o f o p e r a t i o n .
I N T R O D U C T I O N
T HE C a r c i n o t r o n ' t u b e s a r e backward-wave o s c i l -
l a t o r s . T h e i r s t r u c t u r e i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e
f o l l o w i n g f e a t u r e s :1 . An e l e c t r o n b e a m i s i n i n t e r a c t i o n w i t h a b a c k -
w a r d s p a c e h a r m o n i c o f a d e l a y l i n e .2 . The p o w e r o u t p u t i s l o c a t e d a t t h e g u n e n d o f t h e
i n t e r a c t i o n s p a c e .3 . M e a n s f o r a b s o r b i n g r f e n e r g y r e f l e c t e d b y p o s s i b l e
o u t p u t m i s m a t c h a r e i n t r o d u c e d i n t h e r f f i e l d o f t h ed e l a y l i n e n e a r t h e c o l l e c t o r e n d g e n e r a l l y i n s i d e t h et u b e .
T h i s s t r u c t u r e g i v e s a v e r y w i d e e l e c t r o n i c t u n i n gr a n g e , a n d f r e q u e n c y i n s e n s i t i v i t y t o l o a d i m p e d a n c e .
T wo t y p e s o f C a r c i n o t r o n t u b e s h a v e b e e n i n v e s t i -
g a t e d : t h e " O " t y p e , i n w h i c h t h e b e a m t r a v e l s i n a n
i n t e r a c t i o n s p a c e a t c o n s t a n t d c p o t e n t i a l , a s i n t h e
c l a s s i c a l t r a v e l i n g - w a v e t u b e , and t h e "M " t y p e , w h e r e
t h e beam t r a v e l s p e r p e n d i c u l a r l y t o c r o s s e d e l e c t r i c a n d
m a g n e t i c f i e l d s , a s i n t h e m a g n e t r o n a m p l i f i e r .
* O r i g i n a l m a n u s c r i p t r e c e i v e d b y t h e I R E , N o v e m b e r 9 , 1 9 5 4 ;r e v i s e d m a n u s c r i p t r e c e i v e d D e c e m b e r 1 6 , 1 9 5 4 .
f E l e c t r o n i c s D e p t . , C e n t e r o f T e c h . R e s . , C o m p a g n i e G 6 n 6 r a l e d eT 6 l 6 g r a p h i e s a n s f i l , P a r i s , F r a n c e .
1 R e g i s t e r e d t r a d e - m a r k o f t h e C o m p a g n i e G 6 n 6 r a l e d e T . S . F .
T h i s p a p e r d e a l s w i t h t h e "M" C a r c i n o t r o n . T hes t r u c t u r e o f t h i s t u b e a n d t h e r e s u l t s o f a s i m p l i f i e ds m a l l s i g n a l t h e o r y w e r e g i v e n i n a s h o r t n o t e p u b l i s h e di n 1 9 5 2 . 2 The m e t h o d s u s e d t o o b t a i n t h e s e r e s u l t s w e r em o r e f u l l y d e s c r i b e d l a t e r . 3 4
The a i m o f t h i s p a p e r i s t o d e s c r i b e w i t h m o r e d e t a i lt h e p r o p e r t i e s o f t h e "M" t y p e C a r c i n o t r o n , g a t h e r i n ga n d c o m p l e t i n g t h e i n f o r m a t i o n g i v e n p r e v i o u s l y . 5 - 7
A s m a l l s i g n a l t h e o r y t a k i n g i n t o a c c o u n t s p a c e -c h a r g e e f f e c t s i s e s t a b l i s h e d , a l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o rt h e s t a r t i n g c u r r e n t a n d f r e q u e n c y , b u i l d - u p t i m e a n df r e q u e n c y p u l l i n g t o b e d e r i v e d . The r e s u l t s o f t h i st h e o r y a r e c h e c k e d a g a i n s t e x p e r i m e n t a l d a t a . Somee f f e c t s t y p i c a l o f t h e "M " C a r c i n o t r o n ( r i s i n g s u n e f f e c t ,p a r a s i t i c o s c i l l a t i o n s ) a r e e x p l a i n e d . The p r a c t i c a l i n -t e r e s t o f t h e "M " C a r c i n o t r o n i s b e s t s h o w n b y t h e p e r -
2 P . G u 6 n a r d , 0 . D o e h l e r , B . E p s z t e i n , a n d R . W a r n e c k e ," N o u v e a u x t u b e s o s c i l l a t e u r s A l a r g e b a n d e d ' a c c o r d 6 l e c t r o n i q u ep o u r h y p e r f r 6 q u e n c e s , " C . R . A c a d . S c i . ( P a r i s ) , v o l . 2 3 5 , p p . 2 3 5 -2 3 6 ; J u l y , 1 9 5 2 . T h e y w e r e g i v e n p r e v i o u s l y , t o g e t h e r w i t h e x p e r i -m e n t a l r e s u l t s , b y E p s z t e i n a t t h e 1 0 t h C o n f e r e n c e o n E l e c t r o n T u b e
P e s e a r c h , O t t a w a , C a n . ,j u n e 1 9 5 2 , i n a d i s c u s s i o n o n R . K o m p f n e r ' sp a p e r " P a c k w a r d w a v e s - , " p r e s e n t e d a t t h i s c o n f e r e n c e .R. W a r n e c k e a n d P . G u e n a r d , " S o m e r e c e n t w o r k i n F r a n c e o n
' n e w t y p e s o f v a l v e s f o r h i g h e s t r a d i o - f r e q u e n c i e s , " P r o c . I E E , v o l .1 0 0 , p a r t I I I , p . 3 5 1 ; N o v e m b e r , 1 9 5 3 .
4 R . W a r n e c k e , P . G u 6 n a r d , a n d 0 . D o e h l e r , " P h 6 n o m b n e s f o n d a -m e n t a u x d a n s - l e s t u i b e s a o n d e p r o g r e s s i v e , " L ' O n d e E l e c t r i q u e , n o .3 2 5 ; A p r i l , 1 9 5 4 .
5 P . G u 6 n a r d , R . W a r n e c k e , 0 . D o e h l e r , a n d B . E p s z t e i n , " A n e ww i d e e l e c t r o n i c t u n i n g h i g h e f f i c i e n c y m i c r o w a v e o s c i l l a t o r , t h e MC a r c i n o t r o n , " ' p a p e r p r e s e n t e d a t t h e 1 1 t h C o n f e r e n c e o n E l e c t r o nT u b e R e s e a r c h , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d , C a l i f . , J u n e 1 9 5 3 .
6 P . G u 6 n a r d , " O n s o m e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h 0 a n d M t y p eC a r c i n o t r o n , " p a p e r p r e s e n t e d a t t h e 1 2 t h C o n f e r e n c e o n E l e c t r o nT u b e R e s e a r c h , U n i v e r s i t y o f M a i n e , O r o n o , M e . , J u n e , 1 9 5 4 .
7 0 . D o e h l e r , " S p a c e c h a r g e e f f e c t s i n t r a v e l i n g w a v e t u b e s u s i n gc r o s s e d E-H f i e l d s , " p a p e r p r e s e n t e d a t t h e S y m p o s i u m o n M o d e r nA d v a n c e s i n M i c r o w a v e T e c h n i q u e s , Ne w Y o r k , N . Y . , O c t o b e r ,1 9 5 4 .
1 9 5 5 4 1 3
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PROCEEDINGS O F THE I R E
f o r m a n c e s o b t a i n e d o n t h i s t y p e o f t u b e , some o f w h i c ha r e g i v e n a t t h e e n d o f t h e p a p e r . T h e s e p e r f o r m a n c e s ,t o g e t h e r w i t h t h o s e p r e v i o u s l y p u b l i s h e d , 3 ' 4 ' 8 s u g g e s tt h a t t h e "M" C a r c i n o t r o n s h o u l d b e b e s t s u i t a b l e w h e nh i g h p o w e r h i g h e f f i c i e n c y o p e r a t i o n i s r e q u i r e d .
D E S C R I P T I O N OF T HE "M" CARCINOTRON
F i g . 1 s h o w s a l i n e a r v e r s i o n o f t h e "M" C a r c i n o t r o n .A d e l a y l i n e L i s p e r f e c t l y m a t c h e d a t t h e e n d M n e a rt h e c o l l e c t o r K b y means o f a n a t t e n u a t i n g m a t e r i a lt o a v o i d r e f l e c t i o n s . N i s t h e o u t p u t . An e l e c t r o n b e a mF , p r o d u c e d b y t h e g u n , t r a v e l s p a r a l l e l t o t h e d e l a yl i n e L , a n d t h e s o l e S i n t h e x - d i r e c t i o n u n d e r t h e i n -f l u e n c e o f a c o n s t a n t a n d u n i f o r m m a g n e t i c f i e l d B i nt h e z - d i r e c t i o n a n d a n e l e c t r i c f i e l d E o i n t h e y - d i r e c t i o nd u e t o t h e v o l t a g e V O a p p l i e d b e t w e e n L a n d S .
V p
F i g . 1 - S c h e m a t i c s t r u c t u r e o f a l i n e a r "M " C a r c i n o t r o n .
I n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e beam a n d t h e b a c k w a r d
s p a c e h a r m o n i c w i l l o c c u r , i f t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h es p a c e h a r m o n i c i s e q u a l o r n e a r l y e q u a l t o t h e m e a ne l e c t r o n v e l o c i t y V e = E o / B , i . e . :
1 1 - ' V ' s = E o / B . ( 1 )
The p o s i t i v e f e e d b a c k i n t r o d u c e d b y t h e b e a m l e a d st o a n o s c i l l a t i o n i f t h e c u r r e n t i s h i g h e n o u g h . T h i s o s c i l -l a t i o n o c c u r s w i t h p e r f e c t m a t c h i n g a t b o t h e n d s o f t h el i n e , t h e n e c e s s a r y f e e d b a c k b e i n g f u r n i s h e d b y t h e beamo n l y . The o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y w i l l b e t h a t f o r w h i c h ( 1 )i s f u l f i l l e d .
Th e b e a m f o c u s i n g a n d t h e t r a n s f e r o f e n e r g y f r o mt h e b e a m t o t h e r f f i e l d o c c u r i n t h e s a me m an ne r a s i nt h e m a g n e t r o n a m p l i f i e r : 9 t h e t r a n s v e r s e r f f i e l d p r o -d u c e s a b e a m b u n c h i n g i n t h e f a v o r a b l e p h a s e o f t h el o n g i t u d i n a l r f e l e c t r i c f i e l d .
The e n e r g y t r a n s f e r f r o m t h e b e a m t o t h e e l e c t r o -m a g n e t i c f i e l d o f t h e l i n e i s a c h i e v e d t h r o u g h t h e
8 R . W a r n e c k e , " S u r q u e l q u e s r e s u l t a t s r 6 c e m m e n t o b t e n u s d a n sl e d o m a i n e d e s t u b e s p o u r h y p e r f r 6 q u e n c e s , " A n n . R a d i o e l e c t . , v o l .i x , p p . 1 0 7 - 1 l 3 5 ; A p r i l , 1 9 5 4 .
9 R . W a r n e c k e , W. K l e e n , A . L e r b s , 0 . D o e h l e r , a n d H . H u b e r ," T h e m a g n e t r o n t y p e t r a v e l i n g - w a v e a m p l i f i e r t u b e , " P R O C . I . R . E . ,v o l . 3 8 , p p . 4 8 6 - 4 9 5 ; M a y , 1 9 5 0 . S e e a l s o J . R . P i e r c e , " T r a v e l i n g -w av e T u b e s , " D . V a n N o s t r a n d C o . , I n c . , Ne w Y o r k , N . Y . , c h a p .X V ; 1 9 5 0 .
l o n g i t u d i n a l e l e c t r i c f i e l d . T h e e l e c t r o n s w h i c h t r a n s f e re n e r g y t o t h e r f f i e l d , a p p r o a c h t h e a n o d e a n d a r e b r o u g h tt o a h i g h e r d c p o t e n t i a l , t h e i r v e l o c i t y r e m a i n i n g a p -p r o x i m a t e l y c o n s t a n t a n d e q u a l t o E o / B .
A s c o m p a r e d t o t h e m e c h a n i s m o f o p e r a t i o n o f t h e" O " C a r c i n o t r o n , i t c a n b e s a i d t h a t i n t h e t r a v e l i n g -w a v e t u b e s w i t h c r o s s e d e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d s
t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e e l e c t r o n s i s t r a n s f o r m e d i n t or f e n e r g y ; w h i l e i n t h e " O " t y p e t r a v e l i n g - w a v e t u b e st h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e e l e c t r o n s i s t r a n s f o r m e d i n t or f e n e r g y .
SMALL S I G N A L THEORY
S m a l l S i g n a l T h e o r y N e g l e c t i n g S p a c e C h a r g e
I n t h i s t h e o r y , a r e c t i l i n e a r beam i s c o n s i d e r e d . I nt h e e q u a t i o n s o f t h e s t a t i c t r a j e c t o r i e s
X = V e T + a cos ( & ) r T + k )
y = y o + a s i n ( w , r + p ) ,
w h e r e r i s t h e t r a n s i t t i m e a n d c o , = e B I m , t h e c y c l o t r o na n g u l a r f r e q u e n c y , t h e a m p l i t u d e a o f t h e r o l l i n g c i r c l ei s a s s u m e d z e r o , a c o n d i t i o n w h i c h c a n b e o b t a i n e d w i t ha p r o p e r s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s . A s s u m i n g t h a t a l l r fq u a n t i t i e s v a r y a s E i ( w t - r x ) , t h e r e e x i s t , i n t h e a b s e n c eo f c o u p l i n g b e t w e e n t h e beam a n d t h e l i n e , s i x w a v e s
r , = 2 5 = Fe=
Beamc o + c o ,
r 3 , 4 =Ve
I r 2 = r O
Line r 6 = -r O
A x a n d b y a r b i t r a r y
A x = 0 , b y = 0
b y= + j a x
aX = T j w r S x , y = +Q,6y
E= j K E x
E y = - j K E Z ,
w h e r e 8 z , b y , A x , b y a r e t h e r f c o m p o n e n t s o f e l e c t r o nm o t i o n , E _ a n d E I , t h e f i e l d c o m p o n e n t s i n t h e b e a m ,a n d K = c o t h r y o .
T h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e beam a n d t h e l i n e c a nm o d i f y s i g n i f i c a n t l y o n l y t h o s e w a v e s f o r w h i c h t h ep r o p a g a t i o n f a c t o r s a r e n e a r o n e a n o t h e r , i . e . t h e t w obeam w a v e s F i , r 5 a n d t h e l i n e wave F 2 .
T h i s a s s u m e s t h a t o n e s p a c e h a r m o n i c o n l y i s c o n -s i d e r e d . T h e r e i s a p o s s i b i l i t y o f s i m u l t a n e o u s c o u p l i n go f beam w a v e s w i t h d i f f e r e n t s p a c e h a r m o n i c s , a q u e s -t i o n w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r ( r i s i n g s u n e f f e c t ) .
T h e t h e o r y ( A p p e n d i x A ) s h o w s t h a t o n e o f t h e beamw a v e s , s a y r 5 , i s n o t c o u p l e d t o t h e l i n e . F o r t h i s w a v e :
r 5 = r , x = j K 8 y A x = = 0 E x = E , = 0 .
T h e m o d i f i e d v a l u e s o f r 1 a n d r 2 a r e s o l u t i o n s o f t h ee q u a t i o n :
( r - r ) ( r r ) = r02rRIoK =YM2E o
w h e r e R , i s t h e c o u p l i n g i m p e d a n c e , I o a n d E o t h e d cbeam c u r r e n t a n d e l e c t r i c f i e l d . T he t w o s o l u t i o n s c a n
A p r i l1 4
( 2 )
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W a r n e c k e , G u e n a r d , D o e h l e r , a n d E p s z t e i n : T h e " M " - T y p e C a r c i n o t r o n T u b e
b e w r i t t e n :
r l , 2 =r - m ± v F r d + y M 2 ,
w h e r ero+ r .
r m =2
r e - roFd = 2
F o r t h e s e w a v e s :
K E , A x A5 x = ~~- b 5 y = j -Y ~ = I - ( F ' -e ) V e 3 X , 6QVi
r - r , e E o K K
T h e t h r e e o t h e r w a v e s a r e o n l y s l i g h t l y m o d i f i e d b y t h ec o u p l i n g .
T h i s t h e o r y c a n b e e x t e n d e d t o a beam o f f i n i t e t h i c k -n e s s i f t h e t r a j e c t o r i e s a r e l i n e a r , w h i c h means t h a t an o n e q u i p o t e n t i a l c a t h o d e i s u s e d . I t i s t h e n f o u n d t h a tt h e r f c h a r g e d e n s i t y i n s i d e t h e beam i s z e r o ( s e e A p -
p e n d i x A ) .I n a d d i t i o n t o a s s u m p t i o n s a l r e a d y m e n t i o n e d , i t h a s
b e e n s u p p o s e d t h a t t h e p e r i o d i c i t y o f t h e l i n e s t r u c t u r eh a s n o i n f l u e n c e o n t h e s t a t i c t r a j e c t o r i e s , i . e . t h a t t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e l i n e a n d t h e s o l e i s l a r g e a s com-p a r e d t o t h e p i t c h o f t h e l i n e . A t w o - d i m e n s i o n a l p r o b -l e m h a s b e e n t r e a t e d , w h i c h s u p p o s e s t h e s t r u c t u r e i n -f i n i t e i n t h e z d i r e c t i o n .
T h e s e s i x w a v e s make i t p o s s i b l e t o s a t i s f y t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . t h e v a l u e s o f 8 x , b y , A x , b y a t
x =0 ( g u n e n d o f t h e l i n e ) a n d t h e e x i s t e n c e o f r e f l e c t i o nf a c t o r s a o a n d a , a t t h e e n d s o f t h e l i n e . I f i t i s s u p p o s e dt h a t A x = S y = A = b y =0 f o r x = 0 , t h e a m p l i t u d e s o f t h ew a v e s r 3 , r 4 , r F a r e f o u n d e q u a l t o z e r o a n d t h e r e r e -m a i n o n l y t h e t w o p r i n c i p a l waves r F , r 2 a n d t h e r e -
f l e c t e d wave r 6 .
S m a l l S i g n a l T h e o r y T a k i n g I n t o A c c o u n t S p a c e C h a r g e
I t i s n o more p o s s i b l e i n t h i s c a s e t o c o n s i d e r an i n -f i n i t e l y t h i n b e a m . A s s h o w n b y B r i l l o u i n , ' 0 l i n e a r t r a -j e c t o r i e s a r e p o s s i b l e , a s s u m i n g an e q u i p o t e n t i a lc a t h o d e , i f t h e p l a s m a f r e q u e n c y Q 0 e q u a l s t h e c y c l o t r o nf r e q u e n c y W . :
/0e p o = e BQO
=O{ / =
m
p o b e i n g t h e c h a r g e d e n s i t y i n t h e e l e c t r o n b e a m . Thee l e c t r o n v e l o c i t y v a r i e s i n s i d e t h e beam a s w r y .
I f a n o n e q u i p o t e n t i a l c a t h o d e i s u s e d , i t i s p o s s i b l et o a v o i d t h i s c o n d i t i o n ; w i t h a c o n s t a n t c h a r g e d e n s i t yi n t h e b e a m , t h e e l e c t r o n v e l o c i t y v a r i e s a s y Q o 2 / c o .
I t h a s b e e n s u p p o s e d , w i t h n o o t h e r b a s i s t h a n t h ea g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t a l d a t a , t h a ti t i s p o s s i b l e t o a p p l y t h e r e s u l t s t h u s o b t a i n e d t o a beam
1 0 L . B r i l l o u i n , " T r a j e c t o r i e s i n a s i n g l e a n o d e m a g n e t r o n , " E l e c .C o m m u n . , p . 4 6 0 ; 1 9 4 6 .
w i t h c o m p l i c a t e d t r a j e c t o r i e s , i f t h e c h a r g e d e n s i t y i n t h el i n e a r beam i s t a k e n e q u a l t o t h e a v e r a g e c h a r g e d e n s i t yi n t h e a c t u a l b e a m .
The g e n e r a l s p a c e - c h a r g e t h e o r y l e a d s t o a t r a n -s c e n d e n t a l e q u a t i o n w h i c h i s d i f f i c u l t t o s o l v e . T h e r e -f o r e , t h e i n f l u e n c e o f s p a c e c h a r g e h a s b e e n i n t r o d u c e da s a p e r t u r b a t i o n i n t h e t h e o r y w i t h o u t s p a c e c h a r g e
i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r : " T he beam t r a v e l s i n a n r ff i e l d w h i c h i s t h e s um o f t h e f i e l d 4L g u i d e d b y t h e l i n ea n d t h e f i e l d J ? , c r e a t e d b y t h e s p a c e c h a r g e . Th et r a j e c t o r i e s o f t h e e l e c t r o n s a r e d e t e r m i n e d b y 4 L + c I C ,w h i l e t h e t r a n s f e r o f e n e r g y f r o m t h e beam t o t h e l i n ei s d e t e r m i n e d b y 1 L o n l y . The a p p r o x i m a t i o n c o n s i s t si n c a l c u l a t i n g J b . f r o m t r a j e c t o r i e s d e t e r m i n e d w i t h o u ts p a c e c h a r g e . T h i s l e a d s ( s e e A p p e n d i x A ) t o t h e f o l l o w -i n g v a l u e s o f t h e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s f o r t h e t w op r i n c i p a l w a v e s :
Ti,2=rm± r d + M rd + \rd2+7M ) ( 3 )
w h e r e
0 0 2 r aa z =
W V e
2 A i s t h e w i d t h o f t h e b e a m .
S t a r t i n g C o n d i t i o n s
The b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e t h e s t a r t i n g c o n d i t i o n sf o r o s c i l l a t i o n s 4
(2-r e ) ( a o a i e i r F u - - i r 2 i )= ( r - F ) ( a o a t e l T o l - I T 1 , P ) . ( 4 )
I f t h e l i n e i s m a t c h e d a t l e a s t a t o n e e n d ( a o a z = 0 ) a n d i fi t h a s n o a t t e n u a t i o n , t h e s t a r t i n g c o n d i t i o n s a r e :
V o = V ' ( 5 )
7 rMl- = +2rn(n=0,1,2...)(6)
2
E q . ( 5 ) s a y s t h a t f o r e v e r y p o s s i b l e o s c i l l a t i o n ( n = 0 ,1 , e t c . ) t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e l i n e a t t h e o s c i l l a t i n gf r e q u e n c y i s e q u a l t o t h e e l e c t r o n v e l o c i t y . E q . ( 6 ) i s t h ec o n d i t i o n f o r t h e s t a r t i n g c u r r e n t . 2
= 2n) ( 7 )
E o
0 2 e 2 R t a n g h r y o ,
I b e i n g t h e l e n g t h o f t h e l i n e . The i n f l u e n c e o f a n a t t e n -u a t e d l i n e a n d o f r e f l e c t i o n s a l r e a d y h a v e b e e n d i s c u s s e d . 4I f s p a c e c h a r g e e f f e c t s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t , ( 3 ) m u s tb e u s e d , a n d t h e s t a r t i n g c o n d i t i o n s a r e :
ar d =
2( 8 )
u R . W a r n e c k e , 0 . D o e h l e r a n d 0 . B o b o t , ' L e s e f f e t s d e l a c h a r g ed ' e s p a c e d a n s l e s t u b e s & p r o p a g a t i o n d ' o n d e a c h a m p m a g n 6 t i q u e , "A n n . R a d i o e l e c t . , v o l . V , p . 2 7 9 ; O c t o b e r , 1 9 5 0 .
1 9 5 5 4 1 5
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P R O C E E D I N G S O F THE I R E
F i g . 2 - B u i l d - u p t i m e a s a f u n c t i o n o f b e a m c u r r e n t .
3 a 2 7 r
' Y M I + YM2= -+2 7rn.
F i g . 3 - S t a r t i n g c u r r e n t a s f u n c t i o n o f v o l t a g e . ( 1 ) W i t h o u t spacec h a r g e - l i n e a r t r a j e c t o r i e s . ( 2 ) W i t h o u t space c h a r g e - c y c l o i d a lt r a j e c t o r i e s . ( 3 ) With s p a c e c h a r g e - l i n e a r t r a j e c t o r i e s . ( 4 ) Withs p a c e c h a r g e - c y c l o i d a l t r a j e c t o r i e s . ( 5 ) E x p e r i m e n t a l curve.
3 . The i n c r e a s e o f e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y dW s t o r e di n t h e s e c t i o n d x d u r i n g t h e t i m e d t .
dW = ( C , -c o o ) W d x d t
W=stored e ne rgy pe r u n i t l e n g t h ,= o= a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e f r e e w a v e .
I f s p a c e c h a r g e i s n e g l e c t e d , t h e e q u a t i o n w h i c h d e -t e r m i n e s t h e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t t h e n h a s t h e f o r m :
( 9 )
E q . ( 8 ) s h o w s t h a t , in t h e p r e s e n c e o f s p a c e c h a r g e ,t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e l i n e a t t h e o s c i l l a t i n g f r e -q u e n c y i s n o t t h e same a s t h e e l e c t r o n v e l o c i t y a n d as-
sumes d i f f e r e n t v a l u e s f o r t h e v a r i o u s v a l u e s o f n.E q . ( 9 ) s h o w s t h a t t h e s t a r t i n g c u r r e n t i s d e c r e a s e db y t h e e f f e c t o f spac e c h a r g e .
B u i l d - Up Time
I f t h e b e a m c u r r e n t i s h i g h e r t h a n t h e s t a r t i n g cur-
r e n t , t h e t u b e o s c i l l a t e s and t h e r f a m p l i t u d e s t a r t s i n -
c r e a s i n g w i t h t , t h e t i m e d e p e n d e n t f a c t o r b e i n g :
e j x t =a j ( O t + t I T
T h e t i m e r c h a r a c t e r i z e s t h e b u i l d - u p t i m e f o r s m a l lv a l u e s o f t and p e r m i t s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e a p p r o x i -mat e o r d e r o f
m a g n i t u d eo f t h e
b u i l d - u p - t i m e .T h e c a l c u l a t i o n o f r i s a n a l o g o u s t o t h e c a l c u l a t i o n o ft h e s t a r t i n g c u r r e n t . B u t t h e b a l a n c e o f p o w e r must b em o d i f i e d t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e i n c r e a s e o f t h e a m p l i -t u d e .
T h e power t r a n s f e r r e d b y t h e b e a m t o t h e r f f i e l d i na s e c t i o n d x o f t h e l i n e , and d u r i n g t h e t i m e d t , i s t h esum o f :
1 . T he e n e r g y a b s o r b e d b y t h e l i n e i n t h e l e n g t h d xa n d d u r i n g t h e t i m e d t .
2 . The i n c r e a s e o f p o w e r , p r o p a g a t e d a l o n g t h e l i n ei n t h e s e c t i o n d x a n d d u r i n g t h e t i m e d t .
C O - O O M2
r -r=1r-c
v e
( 1 0 )
v , ' i s t h e g ro u p v e l o c i t y .
The b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f r f c u r r e n t f o r x=0 a n d o fe l e c t r i c f i e l d f o r x = I p e r m i t d e t e r m i n a t i o n o f c o .
I f t h e r e i s a p e r f e c t m a t c h a t l e a s t a t one e n d o f t h et u b e a n d i f t h e l i n e h a s no a t t e n u a t i o n , wa n d r a r e
g i v e n b y:
=CO
0 2
cos[2YM'I/1 (-)2]
=[1 2_
w i t h :1 I I
@=
r - _ F 7V | V e .
( 1 1 )
( 1 2 )
( 1 3 )
E q . ( 1 2 ) i s a t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n f o r 0 , i f y M , i . e .t h e c u r r e n t , i s g i v e n . I n F i g . 2 ,
1 |
+ I V I
h a s b e e n p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f I / I I ( I . T = s t a r t i n g c u r -
2 22
\I t
. 6
d
I
4 1 6 A p r i l
1
a
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W a r n e c k e , G u e n a r d , D o e h l e r , a n d E p s z t e i n : T h e " M " - T y p e C a r c i n o t r o n T u b e 4 1 7
-
-- ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
B= 1 0 6 0 G
V 5 . - 5 2 5 V
I__//
F i g . 4 - F r e q u e n c y o f p a r a s i t i c o s c i l l a t i o n s a s a f u n c t i o n o f v o l t a g e( s o l i d c u r v e - n o r m a l o s c i l l a t i o n ) .
r e n t ) . I f I / I , i s l a r g e , r i s g i v e n b y t h e a p p r o x i m a t e e x-
pression:
1 1 1 1r - _*I 1 -
X . \ / I / I i v g U
I n p r a c t i c e , T i s o f t h e o r d e r o f 1 0 - 9 s e c o n d s i n t h e
" S " b a n d t u b e s . T h e t o t a l b u i l d - u p t i m e i s t h e n o f
t h e o r d e r o f 1 0 - 7 t o 1 0 - 8 s e c o n d s .
I n t h e p r e s e nc e o f s p a c e c h a r g e , r d e c r e a s e s , s o t h a t( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) g i v e t h e u p p e r l i m i t f o r r .
EXPERIMENTAL R E S U L T S
S t a r t i n g C u r r e n t
Th e t h e o r y f o r t h e s t a r t i n g c u r r e n t h a s b e e n c h e c k e don d i f f e r e n t t y p e s o f e x p e r i m e n t a l t u b e s w i t h a l i n e a r
s t r u c t u r e . F i g . 3 s h o w s t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h a
l i n e a r t u b e . T h e s t a r t i n g c u r r e n t i s a f u n c t i o n o f t h e
s h a p e o f t h e t r a j e c t o r i e s , and i t h a s b e e n c a l c u l a t e d
f o r two d i f f e r e n t e l e c t r o n guns. F o r t h e " i d e a l " gu n t r a -
j e c t o r i e s a r e s t r a i g h t l i n e s ; f o r t h e " m a g n e t r o n gu n t r a -
j e c t o r i e s a r e c y c l o i d s a s i n t h e p l a n e m a g n e t r o n w i t h o u ts p a c e c h a r g e . I n p r a c t i c e , t h e t r a j e c t o r i e s a r e b e t w e e nt h e s e two l i m i t s . C u r v e s 1 and 2 h a v e b e e n c a l c u l a t e df r o m ( 6 ) n e g l e c t i n g s p a c e c h a r g e . C u r v e s 3 a n d 4 h a v eb e e n c a l c u l a t e d f r o m ( 9 ) . Curve 5 h a s b e e n m e a s u r e d .T he t h e o r y n e g l e c t i n g s p a c e c h a r g e g i v e s s t a r t i n g cur-
r e n t s muc h t o o h i g h , e s p e c i a l l y a t l o w v o l t a g e s ; t h es p a c e c h a r g e h a s an i m p o r t a n t i n f l u e n c e on t h e s t a r t i n gc o n d i t i o n s a nd t h e t h e o r y g i v e s t h e c o r r e c t o r d e r o f
m a g n i t u d e .
P a r a s i t i c O s c i l l a t i o n s
F o r h i g h c u r r e n t s a n d l o w v o l t a g e s , p a r a s i t i c o s c i l l a -t i o n s c a n b e o b s e r v e d . S i d e b a n d s w i t h an a m p l i t u d ef r o m 1 / 1 0 0 t o i t h a t o f t h e p r i n c i p a l f r e q u e n c y occur.
Y o l t s
F i g . 5 - T h e o r e t i c a l s t a r t i n g c u r r e n t f o r n o r m a l o s c i l l a t i o n a n df i r s t p a r a s i t i c o s c i l l a t i o n .
I n F i g . 4 t h e m a i n f r e q u e n c y a n d t h e m e a s u r e d s i d e -b a n d s a s a f u n c t i o n o f v o l t a g e s a r e s h o w n . T h e d i f f e r -e n c e o f f r e q u e n c y b e t w e e n s u c c e s s i v e b a n d s i s a p p r o x i -m a t e l y 6 0 m c . T he a m p l i t u d e i s s m a l l e r f o r s i d e b a n d s o fh i g h e r o r d e r .
T h e s e o s c i l l a t i o n s c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e e x c i t a t i o no f t h e h i g h e r o r d e r s a s g i v e n b y ( 9 ) . I n F i g . 5 t h et h e o r e t i c a l s t a r t i n g c u r r e n t o f t h e z e r o o r d e r ( n =) a n do f t h e f i r s t o r d e r ( n = 1 ) h a v e b e e n p l o t t e d . I t f o l l o w st h a t t h e s t a r t i n g c u r r e n t o f t h e f i r s t o r d e r f o r l o wv o l t a g e s i s o n l y t h r e e t i me s h i g h e r t h a n t h a t o f t h e zero
o r d e r . T he f r e q u e n c y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e two os -
c i l l a t i o n s i s a l m o s t i n d e p e n d e n t o f v o l t a g e a n d , f o r t h ec a s e o f F i g . 4 , h a s f r o m ( 8 ) a t h e o r e t i c a l v a l u e o f 4 5 t o
7 0 mc f o r d i f f e r e n t t r a j e c t o r i e s o f t h e e l e c t r o n s .T he h i g h f r e q u e n c y s i d e b a n d s can b e e x p l a i n e d b y i n -
t e r m o d u l a t i o n b e t w e e n t h e s e two o s c i l l a t i o n s , a n d ana s y m m e t r y m u s t a pp ea r, a s s h o w n i n F i g . 4 .
P u s h i n g F i g u r e
I f s m a l l s i g n a l t h e o r y w i t h s p a c e c h a r g e were u s e dt o c a l c u l a t e t h e f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f c u r r e n t , l a r g ev a r i a t i o n s ( a f e w p e r c e n t ) o f f r e q u e n c y s h o u l d occur.
B u t measurements s h o w t h a t t h e p u s h i n g f i g u r e i s r e l a -t i v e l y l o w . M e a s u r e m e n t s on a t u b e i n t h e " S " b a n dh a v e s h o w n t h a t v a r i a t i o n o f f r e q u e n c y i s 2 t o 3 mc
f o r h i g h v o l t a g e s ( 5 , 0 0 0 v ) a n d 5 mc f o r l o w v o l t a g e s( 2 , 5 0 0 v ) when t h e power output v a r i e s f r o m one t o t e n .
1 9 5 5
Im A
8 0 0
I
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P R O C E E D I N G S O F THE I R E
2 0 0 4 0 0 6 0 O 8 0 0-o ( m A )
F i g . 6 - P o w e r o u t p u t a s f u n c t i o n o f b e a m c u r r e n tf o r v a r i o u s f r e q u e n c i e s .
C O N T R O L R I M D VOLTAGE ( V O L 1 s )
F i g . 7-Power output a n d b e a m c u r r e n t a s f u n c t i o n so f c o n t r o l g r i d v o l t a g e .
A m p l i t u d e M o d u l a t i o n
I n F i g . 6 , power h a s b e e n p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f
beam c u r r e n t f o r d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s . F o r t h e s e e x p e r i -me nts a t u n g s t e n f i l a m e n t was u s e d a n d t h e c u r r e n t
c o n t r o l l e d by t h e t e m p e r a t u r e o f t h e f i l a m e n t .
U s u a l l y , t h e s e c u r v e s a r e s t r a i g h t l i n e s a nd p o w e r o u t -
put i s o f t h e f o r m :
P= A ( I - I . ) ,
I , b e i n g t h e s t a r t i n g current a n d A a c o n s t a n t .
F i g . 8 - O s c i l l o g r a m o f p o w e r o u t p u t a g a i n s t c o n t r o le l e c t r o d e v o l t a g e .
F i g . 9-Power output a n d b e a m c u r r e n t a s a
f u n c t i o n o f p l a t e v o l t a g e .
F o r some f r e q u e n c i e s , e s p e c i a l l y at l o w v o l t a g e s ,P = f ( I ) h a s a more c o m p l i c a t e d f o r m . U p t o now, t h i sh a s not b e e n e x p l a i n e d .
F i g . 7 s h o w s r f power a n d beam c u r r e n t a s a f u n c t i o no f c o n t r o l g r i d v o l t a g e f o r two f r e q u e n c i e s .
F i g . 8 s h o w s t h e power output a s a f u n c t i o n o f g r i dv o l t a g e f o r a 5 0 c p s m o d u l a t i o n .
T h i s c h a r a c t e r i s t i c r e m a i n s u n c h a n g e d f o r m o d u l a t i n gf r e q u e n c i e s up t o a t l e a s t 5 mc.
The c o n t r o l g r i d i s an e l e c t r o d e s u r r o u n d i n g t h ef i l a m e n t . T he ' c u t o f f " i s r e l a t i v e l y h i g h . I t i s a l s o pos-
s i b l e t o c o n t r o l t h e c u r r e n t w i t h t h e p l a t e o f t h e o p t i c a ls y s t e m . I n t h i s c a s e t h e m o d u l a t i n g v o l t a g e i s l o w e r .B u t a s s h o w n i n F i g . 9 t h e power vs p l a t e v o l t a g e curve
i s s o m e t i m e s more c o m p l i c a t e d b e c a u s e t h e s h a p e o f t h et r a j e c t o r i e s i s i n f l u e n c e d by t h e p l a t e v o l t a g e .
I n f l u e n c e o f L o a d
I f a t t e n u a t i o n a t t h e e n d o f t h e l i n e near c o l l e c t o rg i v e s a p e r f e c t m a t c h a n d t h e r e i s no r e f l e c t i o n a l o n g c i r -c u i t f r o m m a c h i n i n g i r r e g u l a r i t i e s , f r e q u e n c y w i l l b e i n -
1 0 0 0pI -)
w 8 0 0)
6 0 0
4 0 0
2 0 0
00
' 1
4 1 8 A p r d l
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W a r n e c k e , G u g n a r d , D o e h i e r , a n d E p s z t e i n : T h e " M " - T y p e C a r c i n o t r o n T u b e
I<
F i g . 1 0 - L i n e s o f c o n s t
d e p e n d e n t o f l o a d a n d c u r v e s o f c o n s t a n t p o w e r m u s tb e c i r c l e s a b o u t t h e c e n t e r o f t h e S m i t h c h a r t .
F i g . 1 0 i s t h e R i e k e d i a g r a m f o r c o n s t a n t p o w e r .V a r i a t i o n o f f r e q u e n c y was b e l o w m e a s u r e m e n t a c -c u r a c y ( 1 m c ) .
F i g . 1 1 ( n e x t p a g e ) s h o w s f r e q u e n c y v s s o l e - v o l t a g ef o r a n i m p e r f e c t a t t e n u a t i o n a t e n d o f l i n e n e a r t h ec o l l e c t o r . P a r a m e t e r i s v s w r i n t r o d u c e d i n t h e o u t p u tc i r c u i t . The f o r m o f t h e c u r v e s a g r e e s w i t h t h e o r y . ,
S i g n a l t o N o i s e R a t i o
T h e m e a s u r e m e n t o f t h e s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o i s p o s -s i b l e , i f t h e "M " c a r c i n o t r o n i t s e l f i s u s e d a s l o c a l o s c i l -l a t o r . I n t h i s c a s e , t h e v a r i a t i o n s o f f r e q u e n c y d u e t o t h er i p p l e s i n t h e p o w e r s u p p l i e s c a n c e l o u t , b u t i t i s n o t p o s -s i b l e t o s e p a r a t e t h e t w o n o i s e s i d e b a n d s . T h e n o i s e o ft h e C a r c i n o t r o n w a s c o m p a r e d w i t h a m e r c u r y - a r g o n
I
a n t p o w e r o n a S m i t h c h a r t .
n o i s e s o u r c e a m p l i f i e d w i t h a l o w - n o i s e t r a v e l i n g - w a v et u b e .
F i g . 1 2 ( n e x t p a g e ) s h o w s n o i s e p e r c p s t o s i g n a l r a t i o a sa f u n c t i o n o f f r e q u e n c y d i s t a n c e f r o m o s c i l l a t i n g f r e q u e n -
c y . N o i s e p e r c p s t o s i g n a l r a t i o i s o f t h e o r d e r o f - 1 4 0 d b .F i g . 1 3 ( p a g e 4 2 1 ) s h o w s t h e n o i s e i n r e l a t i v e u n i t sa s a f u n c t i o n o f c u r r e n t .
E f f i c i e n c y
E l e c t r o n i c E f f i c i e n c y : I f s p a c e c h a r g e i s n e g l e c t e d t h ee l e c t r o n i c e f f i c i e n c y f l e c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e samem e t h o d a s i n t h e m a g n e t r o n a m p l i f i e r . I f a l l e l e c t r o n sa r e a b s o r b e d b y t h e l i n e , - q , i s g i v e n b y :
V fV f e t 1 - m-X
V , i s t h e v o l t a g e c o r r e s p o n d i n g t o t h e d r i f t v e l o c i t y o f
1 9 5 5 4 1 9
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P R O C E E D I N G S O F THE I R E
F
F i g . 1 1 - F r e q u e n c y v s s o l e v o l t a g e f o r v a r i o u s v a l u e s o f l o a d v s w r( o r d i n a t e c u r v e s h a v e b e e n t r a n s l a t e d f o r t h e v a r i o u s c u r v e s ) .
t h e e l e c t r o n s g i v e n b y ( 1 ) . m i s a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n
t h e t r a j e c t o r i e s . I f t h e t r a j e c t o r i e s a r e l i n e a r , K i s u n i t y ;i f t h e y a r e c y c l o i d s c o r r e s p o n d i n g t o a p l a n e m a g n e t r o nw i t h o u t s p a c e c h a r g e , we h a v e m = 4 .
A c t u a l l y , n o t a l l e l e c t r o n s a r e a b s o r b e d b y t h e l i n e .
M e a s u r e m e n t s o n d i s t r i b u t i o n o f c o l l e c t o r a n d l i n e c u r -
r e n t i n d i c a t e t h a t m o r e t h a n 8 0 p e r c e n t o f e l e c t r o n s a r -
r i v e o n t h e l i n e , a n d e l e c t r o n i c e f f i c i e n c y s h o u l d b e :
77e _ 0 . 8 1 - m )
w h i c h c a n b e t r a n s f o r m e d t o :/ m / B c l r \ \
7 1 e _ 0 . 8 ( 1 - - ( . j ) ,
B c r b e i n g t h e c u t - o f f m a g n e t i c f i e l d o f a p l a n e m a g n e t r o nu n d e r t h e same c o n d i t i o n s .
C i r c u i t E f f i c i e n c y : The c i r c u i t e f f i c i e n c y i s g i v e n b yt h e Q v o f t h e c i r c u i t a n d t h e e x t e r n a l Q e x t
Q vXc =
Q e x t + Q v
Q , i s d e f i n e d b y :
r LW ( y ) d y
Q =P L
a n d Q e x t b y :
r LX W ( y ) d y
Qz =
P O
W i s t h e s t o r e d e n e r g y p e r u n i t l e n g t h , PL t h e p o w e rl o s s i n t h e l i n e , a n d P o t h e o u t p u t p o w e r . I f y . i s t h e
0 , 0 1 0 , 1 1 s o 1 0 0? i C / S
F i g . 1 2 - N o i s e - t o - s i g n a l r a t i o f o r a 1 c p s b a n d w i d t h . T h e a b s c i s s a i st h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o s c i l l a t i n g f r e q u e n c y a n d t h e f r e q u e n c ya t w h i c h n o i s e i s m e a s u r e d .
a t t e n u a t i o n o f t h e l i n e i n N e p e r / c m , we h a v e :
r LP L = 2 y a f P ( y ) d y ,
w h e r e P ' ( y ) , p o w e r p r o p a g a t i n g a l o n g t h e l i n e , i s r e l a t e dt o W ( y ) :
P ( y ) = W ( y ) v g
a n d t h e r e f o r e :
k g cQ v = - , k o = - .2 Q a V a
Q e z t i s g i v e n b y :
k fL W ( y ) d y
Q e x t = W ( 0 )
F o r s m a l l s i g n a l t h e o r y W ( y ) c a n b e o b t a i n e d b y t h e
s u p e r p o s i t i o n o f t h e w a v e s w i t h t h e p r o p a g a t i o n c o n -s t a n t s g i v e n b y ( 2 ) , a n d we o b t a i n :
( 1 4 )e x t = k 5 = Y Q v ( G Z - a l - 1 )2
' Y aa n d :
=c= - T a 1 ( 1 5 )
I f t h e a t t e n u a t i o n i s s m a l l ( 1 4 ) g i v e s :
Q e x t = k l , ( 1 6 )
a n d f o u n d d i r e c t l y , i f l o s s e s i n t h e l i n e a r e n e g l e c t e d .I n f l u e n c e o f t h e C o u p l i n g I m p e d a n c e o n t h e E f f i c i e n c y :
A c c o r d i n g t o t h e t h e o r y n e g l e c t i n g s p a c e c h a r g e , e f f i -c i e n c y s h o u l d n o t d e p e n d o n c o u p l i n g i m p e d a n c e f o r
A p r i l2 0
8/3/2019 04055427
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W a r n e c k e , G u g n a r d , D o e h l e r , a nd E p s z t e i n : The "M"-Type C a r c i n o t r o n T u b e
RELATIVE N O E l I , ____ _
0 10 0 200 30 0
BE A M C U R R E N T ( M A )
F i g . 1 3 - R e l a t i v e n o i s e a s a f u n c t i o n o f b e a m c u r r e n t .
h i g h beam c u r r e n t s and s h o u l d b e a f u n c t i o n o n l y o f t h e
s h a p eo f
t r a j e c t o r i e s , p h a s e v e l o c i t yo f t h e
c i r c u i t , anda c c e l e r a t i o n v o l t a g e . H o w e v e r , t h e f i r s t t u b e s t e s t e dh a v e give n a r e l a t i v e l y l o w e f f i c i e n c y , much l o w e r t h a np r e d i c t e d b y t h e o r y .
I t h a s b e e n a s s u m e d s p a c e - c h a r g e p h e n o m e n a h a v e an
i m p o r t a n t i n f l u e n c e on e f f i c i e n c y ( d i o c o t r o n e f f e c t ) ' 2 andi f c o u p l i n g i m p e d a n c e i s h i g h , s p a c e - c h a r g e e f f e c t ss h o u l d b e n e g l i g i b l e and e f f i c i e n c y s h o u l d i n c r e a s e .
I t c a n b e s e e n t h a t , c o n t r a r y t o t h e s p a c e - c h a r g e neg-
l e c t i n g t h e o r y , e f f i c i e n c y i n c r e a s e s r a p i d l y w i t h c o u p l i n gi m p e d a n c e . T h e same occu r s w i t h t h e t u n i n g r a n g e . Asf a r a s p o w e r i s c o n c e r n e d , t h e r e i s optimum v a l u e f o r t h e
c o u p l i n g i m p e d a n c e : an i n c r e a s e o f c o u p l i n g i m p e d a n c e
d e c r e a s e s t h e t h e r m a l d i s s i p a t i o n o f t h e l i n e a nd c o n s e -q u e n t l y t h e d c p o w e r which c a n b e a p p l i e d .
R i s i n g - S u n E f f e c t ' 3
I n t h e s m a l l s i g n a l t h e o r y , i t i s g e n e r a l l y assumed t h a ti n t e r a c t i o n t a k e s p l a c e w i t h one space h a r m o n i c . How-e v e r t h e r e i s t h e p o s s i b i l i t y t h a t on e space h a r m o n i c r ob e i n g c o u p l e d t o t h e b e a m wave r e , a n o t h e r space h a r -m o n i c r ' o w i l l b e c o u p l e d t o t h e b e a m waveF -C O r / v e .T h i s w i l l o c c u r i f :
( C r
r o -r o ' =V6
( 1 7 )
The d i f f e r e n c e s r o -o ' b etw ee n t wo s u c c e s s i v e spaceh a r m o n i c s b e i n g 2 x r / p , where p i s t h e p i t c h o f t h e l i n e ,( 1 7 ) i m p l i e s t h a t :
W , r 2 7 r-= . ( 1 8 )V e p
1 2 P. G u 6 n a r d and H. H u b e r , ' E t u d e e x p 6 r i m e n t a l e d e l ' i n t e r a c -t i o n pa r o n d e s d e c h a r g e d ' e s p a c e au s e i n d'un f a i s c e a u 6 l e c t r o n i q u ese d 6 p l a g a n t d a n s d e s c h a m p s 6 l e c t r i q u e e t m a g n 6 t i q u e c r o i s 6 s , " Ann.R a d i o d l e c t . , v o l . V I I , p . 2 5 2 ; O c t o b e r , 1 9 5 2 .
1 3 W. E . W i l l s h a w , G . M o u r i e r , a nd G. G u i l b a u d , " E f f e t de r e s o -n a n c e 6 l e c t r o n i q u e d a n s l e s t u b e s A c h a m p s 6 l e c t r i q u e e t m a g n 6 t i q u ec r o i s 6 s , " C o m p t . R e n d . Acad. S c i . ( P a r i s ) , ( i n p r e s s ) .
5000 7500 10000 12500 15000 AX +it
F i g . 1 4 - E f f i c i e n c y a s f u n c t i o n o f v o l t a g e e x h i b i t i n g r i s i n g - s u n e f f e c t( a v e r a g e ov e r 1 6 t u b e s ) .
I f ( 1 8 ) i s f u l f i l l e d , t h e s p a c e h a r m o n i c r o " = r o +2 7 r / pw i l l b e c o u p l e d t o t h e beam wave r . + w c v e . H o w e v e r ,t h i s e f f e c t c a n b e n e g l e c t e d , b e c a u s e o f t h e l o w c o u p l i n gi m p e d a n c e o f t h e wave r o " .
T h i s s i m u l t a n e o u s c o u p l i n g o f two s p a c e h a r m o n i c sc a n oc c ur i n c e r t a i n l i n e s , e . g . , i n t e r d i g i t a l l i n e s , w h e r ea s y m m e t r i c a l a nd s y m m e t r i c a l s p a c e h a r m o n i c s e x i s t . ' 4 , 1 5T h e f i r s t s y m m e t r i c a l s p a c e h a r m o n i c b e i n g n o r m a l l yu s e d , i n t e r a c t i o n c a n o c c u r w i t h t h e f i r s t a s y m m e t r i c a ls p a c e h a r m o n i c w h i c h i s i n f a c t t h e f u n d a m e n t a l s p a c e
h a r m o n i c . F o r t h e s y m m e t r i c s p a c e h a r m o n i c s , t h ea p p a r e n t p i t c h o f t h e l i n e i s h a l f t h e r e a l p i t c h p . 4 1 b e i n gt h e p h a s e a n g l e a l o n g t h i s apparent p i t c h f o r t h e f i r s ts y m m e t r i c s p a c e h a r m o n i c , ( 1 8 ) c a n b e e x p r e s s e d n u -
m e r i c a l l y i n t h e f o l l o w i n g f o r m :
1 0 7 O O r
X B =
A t t h e " c u t o f f " ( , 6= 7 r ) , t h i s i s t h e w e l l - k n o w n c o n d i -t i o n f o r t h e " r i s i n g - s u n e f f e c t " i n t h e m a g n e t r o n ' 6 c h a r -a c t e r i z e d b y a p r o n o u n c e d minimum i n e f f i c i e n c y . Ass h o w n b y F i g . 1 4 a b o v e , same p h e n o m e n o n appears i nt h e "M" C a r c i n o t r o n f o r v a l u e s o f parameters s a t i s -f y i n g ( 1 9 ) . I t i s s h o w n i n A p p e n d i x B t h a t s i m u l t a n e -o u s l y t h e s t a r t i n g c u r r e n t m u s t e x h i b i t a maximum.T h i s can b e s e e n on F i g . 1 5 ( n e x t p a g e ) .
C H A R A C T E R I S T I C S O F AN "M" C A R C I N O T R O N
F i g . 1 6 ( p a g e 4 2 2 ) s h o w s an e x p e r i m e n t a l s etup f o rs t u d y i n g p r o p e r t i e s o f "M" C a r c i n o t r o n . F i g . 1 7 ( p a g e4 2 2 ) s h o w s same t y p e o f t u b e i n an i n d u s t r i a l f o r m . T o r e -
d u c e t h e b u l k o f t h e t u b e , t h e l i n e h a s b e e n c u r v e d i n t oa c i r c u l a r f o r m . T h e e l e c t r o m a g n e t h a s b e e n r e p l a c e d b y a
p e r m a n e nt magnet. F i g . 1 8 ( p a g e 4 2 3 ) s h o w s t h e p e r f o r m -a n c e c h a r t s m e a s u r e d on t h i s t u b e , a n d F i g . 1 9 ( p a g e 4 2 3 )
1 4 R . C . F l e t c h e r , " A b r o a d - b a n d i n t e r d i g i t a l c i r c u i t f o r use i nt r a v e l i n g - w a v e - t y p e a m p l i f i e r s , " P R O C . I . R . E . , vol. 4 0 , pp. 9 5 1 - 9 5 8 ;A u g u s t , 1 9 5 2 .
1 6 A . L e b l o n d a n d G . M o u r i e r , " E t u d e d e s l i g n e s a b a r r e a u x a
s t r u c t u r e p 6 r i o d i q u e , " A n n . R a d i o i l e c t . , v o l . i x , p . 1 8 4 ; A p r i l , 1 9 5 4 .16 G . B . C o l l i n s , " M i c r o w a v e M a g n e t r o n s , " R a d i a t i o n L a b . S e -
r i e s , M c G r a w - H i l l Book C o . , I n c . , Ne w Y o r k , N . Y . , s e c . 3 . 3 ; 1 9 4 8 .
0
8 o X _
6[
~ ~ ~ 4 . 4
2-a _4-
0
a . 1 1 7 0 GAUSS
2 0 1
1 9 5 5 4 2 1
a. "
1 -1
. -e j o K C
( 1 9 )
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P R O C E E D I N G S O F THE I R E
30 _
+ X _- - - + s /+ -
{ ~ ~ 4 4
2 0
__I
e a o w s lW 14f2M l K O e l o o m 0
F i g . 1 5 - S t a r t i n g c u r r e n t c u r v e s e x h i b i t i n g r i s i n g - s u n e f f e c t .
t h e v a r i a t i o n o f p o w e r , e f f i c i e n c y a n d f r e q u e n c y w i t hl i n e v o l t a g e . T h e s e f i g u r e s s h o w p o s s i b i l i t y o f o b -t a i n i n g , u n d e r p r a c t i c a l c o n d i t i o n s a n d f o r f r e q u e n c i e sa r o u n d 3 , 0 0 0 m c , p o w e r o u t p u t s o f s e v e r a l h u n d r e dw a t t s i n a f r e q u e n c y r a n g e l a r g e r t h a n h a l f a n o c t a v ea n d w i t h e f f i c i e n c i e s o f t h e o r d e r o f 4 0 p e r c e n t . I n s o m ec a s e s , e f f i c i e n c i e s i n e x c e s s o f 6 0 p e r c e n t h a v e b e e nm e a s u r e d . 8
C O N C L U S I O N
T h i s p a p e r s h o w s t h a t i f t h e t h e o r y d o e s n o t c o v e re n t i r e l y t h e b e h a v i o r o f t h e "M " C a r c i n o t r o n , i n p a r -
t i c u l a r t h e s p a c e - c h a r g e e f f e c t s , i t n e v e r t h e l e s s p r e d i c t st h e m a i n f e a t u r e s o f t h i s t y p e o f t u b e .The m a i n f e a t u r e s o f t h e "M" C a r c i n o t r o n , a s c o m -
p a r e d t o o t h e r t y p e s o f e l e c t r o n i c a l l y t u n a b l e t u b e s , a r e :h i g h e f f i c i e n c y , a f a i r l y l i n e a r f r e q u e n c y - v o l t a g e c h a r -a c t e r i s t i c , a n d a l o w p u s h i n g a n d p u l l i n g f i g u r e , t o -g e t h e r w i t h a w i d e e l e c t r o n i c r a n g e .
T h e s e f e a t u r e s make t h e "M " C a r c i n o t r o n p a r t i c -u l a r l y a d v a n t a g e o u s a s a h i g h - p o w e r e l e c t r o n i c a l l y -t u n a b l e t u b e .
A P P E N D I X A
W i t h o u t s p a c e c h a r g e , t h e m o t i o n o f t h e e l e c t r o n s i s
d e t e r m i n e d b y t h e f i e l d o f t h e l i n e , t h e c o m p o n e n t s o fw h i c h c a n b e w r i t t e n :
E 0 P i ( c a - r F ) = -__a x
E , e i ( w t - r , ) = -
d y
w i t h :
s i n h r y4 ) =fL .~ C J ( w t - r . ) .
s i n h r y o
The e q u a t i o n s g i v i n g t h e r f c o m p o n e n t s o f t h e m o t i o na r e , f o r a l i n e a r t r a j e c t o r y x = v 0 r , y = y o :
F i g . 1 6 - E x p e r i m e n t a l s e t u p f o r s t u d y i n g a l i n e a r "M " C a r c i n o t r o n .
F i g . 1 7 - I n d u s t r i a l m o d e l o f a n "M " C a r c i n o t r o n .
- a t 5 x - i # w s y = - j ? I r O L
i w , z x - a y = 7rOK( t = X - r v e ; K = c o t h r y o ) .
( 2 0 )
( 2 1 )
T he c o u p l i n g b e t w e e n t h e beam a n d t h e l i n e i s g i v e n b y :
I . E * I E * R , r 0 2r -r O = j a =
4P 2 r r * - O L O L *
w h e r e R , i s t h e c o u p l i n g i m p e d a n c e
E Z E . "R , =
2 r 2 P
An i n f i n i t e l y t h i n s h e e t o f t h e beam c a r r y i n g t h e d cc u r r e n t d l o ( w h i c h i s t a k e n p o s i t i v e ) c o n t r i b u t e s t o- * - 3 -
I . E* t h r o u g h t h e f o l l o w i n g t e r m :
- j r 6 d I [ 6 x E = * + S y E y * ] = - r r * L * d I [ a x - j K 8 y ] ,
w h i c h g i v e s , I o b e i n g t h e c u r r e n t c a r r i e d b y t h e b e a m :
j ( r -r o ) r h L =2 Y [ R -j 3 Y ] ( 2 2 )
w h e r e
4 2 2 A p r i l
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W a r n e c k e , G u e n a r d , D o e h l e r , a n d E p s z t e i n : T h e " M " - T y p e C a r c i n o t r o n T u b e
V O L T S
F i g . 1 8 - P e r f o r m a n c e c h a r t s o f an a M" C a r c i n o t r o n : ( a ) F r e q u e n c y
a n d p o w e r o u t p u t v s m a g n e t i c f i e l d a n d v o l t a g e . ( b ) E f f i c i e n c y v sm a g n e t i c f i e l d a n d v o l t a g e .
F i g . 1 9 - F r e q u e n c y , p o w e r o u t p u t a n d e f f i c i e n c ya s f u n c t i o n s o f l i n e v o l t a g e .
L
S
F i g . 2 0
i 1 r s r I 2 R X KYM 2 =
E o
E q s . ( 2 0 ) , ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) d e t e r m i n e f i v e w a v e s , on e o fwhich is :
r s I = r O L = 0 6x= j K 6 y 6 X = b y = 0 .
A s s u m i n g
r o-PI<<-
and I Y M 2
< <Ve Vs
r i , 2 a r e t h e two p r i n c i p a l waves f o r w h i c h t j < < C r . Th ep r o p a g a t i o n c o n s t a n t s o f t h e s e two waves a r e g i v e n b y
( r-r . ) ( r -r o ) =y M 2 ( 2 3 )
i . e .
r P , 2 =r m ± v r d 2 + y M 2 ( 2 4 )
w i t h
r e + r o
2
r e -r ord=
2
The two o t h e r waves c o r r e s p o n d t o -=± w7.As com-
p a r e d t o t h e waves r 1 , 2 , t h e y a r e w e a k l y c o u p l e d t o t h e
f i e l d o f t h e l i n e , a s s e e n f r o m ( 2 0 ) a n d ( 2 1 ) , w h i c h r e l a t ea m p l i t u d e s o f t h e f i e l d a n d o f t h e e l e c t r o n m o t i o n .
The p o t e n t i a l 4 e i ( w t - F x ) , f r o m w h i c h d e r i v e s t h e s p a c e -
c h a r g e f i e l d o f s u c h a b e a m , can b e c a l c u l a t e d f r o mt h e r f s p a c e - c h a r g e p a n d t h e s u r f a c e d e n s i t y - p o b y .
T he s p a c e - c h a r g e d e n s i t y :
P + P o ( A x +-eby
i s e q u a l t o zero. T he p o t e n t i a l s q 5 , , i n s i d e , a n d 0 1 , q 5 o u t -
s i d e t h e beam ( F i g . 2 0 a b o v e ) s a t i s f y L a p l a c e e q u a t i o n s
a n d a r e t h u s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f E r y a n d c - r y .
I f t h e s o l e a n d t h e l i n e a r e remote e n o u g h f r o m t h e
beam ( P y 1 > » , r ( d - y 2 ) > > 1 ) , t h e p o t e n t i a l s a r e :
O i = A 6 r s
0 2 = B e - r i
=C e r y + D t - r v .
T he b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e two e d g e s o f t h e beamgive
x
t . -1 - A m .
1 9 5 5 4 2 3
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P R O C E E D I N G S O F T H E I R E
P 0 0 Y 2 p o c S y io C = e r2u - v 2 ) + E r( v l - v )
2 r e o 2 r e o
A s s u m i n g J A < < 1 , 4 o t a k e s t h e s i m p l i f i e d f o r m :
a 0 2 rfc -- A r - - ( K A + Y ) ( I 1 - r A ) . ( 2 5 )
W r t
W i t h s p a c e c h a r g e , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e :
O x "- )-W4srsinhry +4 ) 6 cs i n h r y o
_~+cor
O F a s i n h P r ya Y + 'k=Q2b .- + f c I E j '
d y LsmnhyJy
w i t h
U0 2 ys V . - r n ' - P -Y
rr
I n t r o d u c i n g i n t h e s e e q u a t i o n s t h e v a l u e o f 4 g i v e n b y( 2 5 ) , a n d a s s u m i n g :
t a e 2 Ar - = a ! << y m ,
t h e s e e q u a t i o n s g i v e
e r 2 P rr . r-., r o r . - r ' . r o --
Vc ~ P
t h a t i s i f :
W r 2 1 r
V s p
T h e a m p l i t u d e s o f t h e s e t w o s p a c e h a r m o n i c s a r e r e -l a t e d b y t h e p r o p e r t i e s o f t h e l i n e , a n d f o r t h e s e c o n dw a v e , t h e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t w i l l b e r I " = r - 2 7 r / pa n d t h e a m p l i t u d e k 4 5 L . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 2 0 )a n d ( 2 1 ) h o l d f o r t h e f i r s t s p a c e h a r m o n i c . F o r t h es e c o n d s p a c e h a r m o n i c , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e :
-t / ' 2 6 X ' - j t ' W r , y l = -jrP ' k 4 O Lj i t l . r a X I - V ' 2 3 y ' = q r ' k O L K ' ,
( 2 8 )
( 2 9 )
w i t h :f= t + w r .
T h e e q u a t i o n o f c o u p l i n g b e t w e e n t h e l i n e a n d t h eb e a m m u s t t a k e i n t o a c c o u n t b o t h s p a c e h a r m o n i c s ,t h a t i s :
I =E * -j I o r P 4 6 x E x * + O y E v * + 5 x ' E / * + O y ' E p ' * I=- P r * 4 L * 1 0 [ ( a x - j K O y )
r t *+ k(Ox' j K ' 6 y ' ) .
r * I~~~ ( 3 0 )
( 2 6 )
t b e i n g t h e v a l u e o f X - r v . , g i v e n b y t h e t h e o r y w h i c hn e g l e c t s s p a c e c h a r g e . T h e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s o f t h e
t w o p r i n c i p a l w a v e s a r e t h u s g i v e n b y :
r I m ±Vi d2+YM21 - V ( 2 7 )
A P P E N D I X B
I n A p p e n d i x A , i t h a s b e e n s u p p o s e d t h a t on e s p a c eh a r m o n i c w a s c o u p l e d t o t h e b e a m . L e t u s s u p p o s e n owt h a t t h e s p a c e h a r m o n i c s a r e c o u p l e d t o t h e b e a m c o r -
r e s p o n d i n g t o p r o p a g a t i o n c o n s t a n t s r o a n d r o P = r o
- 2 r / p , p b e i n g t h e p i t c h o f t h e l i n e . B o t h s p a c e h a r -m o n i c s w i l l b e s t r o n g l y c o u p l e d t o t h e b e a m i f :
E q . ( 2 3 ) b e c o m e s
( r - r P ) ( r - r o ) = y M 2 ( l s ) ,
w h e r e
1 + K 'l21 l 2
4 K P1 2
s h o w i n g t h a t t h e s t a r t i n g c u r r e n t i s i n c r e a s e d b y t h ef a c t o r 1 / A / 1 - S .
T h e r e a r e now t w o w a v e s u n c o u p l e d t o t h e b e a m( ' k L = O ) c o r r e s p o n d i n g t o = 0 , t ' = r , t h e f o u r f a c t o r sA x , S y , O x ' , b y ' b e i n g r e l a t e d b y two e q u a t i o n s :
r ta x -i K s y +-k ( O x ' - j K ' y ' ) = 0
A x ' = - j a y ' .
CA5D
4 2 4 A p r i l
2
( r -r o ) ( r-r )= T M 2 I -
I