04-Simplexe

8/18/2019 04-Simplexe

1/37

1

O

R

GCSIE

A

8/18/2019 04-Simplexe

2/37

2

R

•   S

,

.

•  M :

,

.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 3

P

•  

 –  A

 –   A

 –  O P = A = , ≥ 0

P

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 4

8/18/2019 04-Simplexe

3/37

3

D

•   I :

 –  S 0 

 –  P =0,.

•   +1  . . +1 <

 –  J . . .

•   O

•   E , = .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 5

D

•  S ∈ P. O ∈ IR.

•   P

•  D :

 –  S P.  ∈IR   θ 

+ θ ∈ P

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 6

8/18/2019 04-Simplexe

4/37

4

D

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 7

directionadmissible

directionadmissible

direction nonadmissible

toutes lesdirections sontadmissibles

D

•   S

•   S B(1),,B()

•  S B=AB(1) AB()

•    = 0

•   B=(B(1),,B()) = B1

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 8

8/18/2019 04-Simplexe

5/37

5

D

C +θ ?

•   C (

0)

•   A θ,

. D :

 –      = 1

 –     = 0, ≠ ,

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 9

D

•  I :

A( + θ ) =

A + θ A = •   , A =

•  P + θ  ,

A = 0

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 10

8/18/2019 04-Simplexe

6/37

6

D

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 11

D

•  N :

B = B1 A 

•   L  

•   E

.

•   Q ?

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 12

8/18/2019 04-Simplexe

7/37

7

D

•   :

 –    

 –  , ≠ ,

•   .

 –  S

, B > 0.

L θ  B + θ B ≥ 0

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 13

D

•   .

 –  S , .

 –  C

 = 0   .

S , ,

.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 14

8/18/2019 04-Simplexe

8/37

8

C

•   Q

?

•   ( + θ ) = + θ 

•   :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 15

( ) ( )

1 1

n m

T T i i B i B i j B B j

i i

c d c d c d c c d c= =

= = + = +∑ ∑

C

•   C B = B1 A ,

=   

B B1 A 

•   I :

 –     ,   –    B B

1 A  A=.

D :

•   S , B , B  . P ,

  =   

B B1 A 

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 16

8/18/2019 04-Simplexe

9/37

9

C

N :

•  

.

•   .

•   ?

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 17

C

•   S B() .

•   L B() 

B B1 AB()

•   B = AB(1)  AB()

•   B1 AB(1)  AB() = I•   B1 AB() =  (

I)

•   B() = B() 

B B1 AB()

= B() 

B= B()  B()= 0

L

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 18

8/18/2019 04-Simplexe

10/37

10

C

:

C

, B. S

.

1. S ≥ 0,

2. S ,

≥ 0.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 19

D

•   S

.

•  N

•  L   

.

•  S , .O .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 20

8/18/2019 04-Simplexe

11/37

11

D

•   S,   

   .

•   L .

•   L . O .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 21

D

•   O ,

.

•  O θ*

θ* = θ ≥ 0 +θ ∈ P

•  C θ* ?

•   C ,

P .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 22

8/18/2019 04-Simplexe

12/37

12

D

•  S ≥ 0, + θ  ≥ 0 θ.

 –   θ ,  –  θ* = +∞ –  

•   S  < 0,

 + θ  ≥ 0

θ ≤  /

θ*

θ*=

8/18/2019 04-Simplexe

13/37

13

D

N :

•   S   ,

 ≥ 0 ( =0  = 1)

•   I

θ*= =1,, B() 0

=1,. E , θ* > 0.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 25

E

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 26

8/18/2019 04-Simplexe

14/37

14

E

•   B : B(1)=1 B(2)=2

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 27

E

•  C

•  

(3  4)

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 28

Négatif . La 3ième direction de baseréduit le coût.

8/18/2019 04-Simplexe

15/37

15

E

3 : 3 = 1 4 = 0

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 29

E

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 30

θ1 = -x1/d1=-1/(-3/2)=2/3

8/18/2019 04-Simplexe

16/37

16

E

N :

•   N

•   3  1 

•   A2  A3 

•   B:

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 31

D

•  S

•   S

θ*= B()/B()= =1,, B()

8/18/2019 04-Simplexe

17/37

17

D

:

•   L AB(), ≠, A   , B

.•   L =+ θ*

B.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 33

D

:

1. S B=AB(1),,AB()

B.

2. C

:

  =   

B B1 A .

S ,

. SOP.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 34

8/18/2019 04-Simplexe

18/37

18

D

3. C   < 0,

B = B1 A .

S B 

, .

SOP.

4. C

θ*= B()/B()= =1,, B()

8/18/2019 04-Simplexe

19/37

19

D

:

S , . A, . A ,

•  

•   A=0, ≥0 < 0. L

∞.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 37

D

N :

•   Q ?

1. S ,

θ* . C  = 0  < 0.

C , .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 38

8/18/2019 04-Simplexe

20/37

20

D

2. M θ* > 0,

. L

.

•   I

.

•   M .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 39

D

•  E :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 40

B(1)=5, B(2)=6, B(3)=7B-1 = B = IxB=B

-1b=b

cB

8/18/2019 04-Simplexe

21/37

21

D

•   C = 1.

•

  L 1  .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 41

D

•  D :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 42

θ*=0

8/18/2019 04-Simplexe

22/37

22

D

N :

•  E 3: C    < 0.

•   L

.

•   P .

•  R B :

P   < 0,

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 43

•   I . L .

I :

•   M :

B1A = B1A1  B1A B

1

•   C

•   L .

•   L   B

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 44

8/18/2019 04-Simplexe

23/37

23

•  E :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 45

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 46

B(1)=4, B(2)=5, B(3)=6

B=B-1=I

8/18/2019 04-Simplexe

24/37

24

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 47

B-1A B-1b

D :

L :

•   S ,

B1A   .•   S B() ,

.

•   L .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 48

8/18/2019 04-Simplexe

25/37

25

N :

•   P :

B1 AB() = S , B() . E ,

1.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 49

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 50

B-1A B-1b

B(1)=4, B(2)=5, B(3)=6

8/18/2019 04-Simplexe

26/37

26

•  L :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 51

= x5

= x4

= x6

•   O

:

  BB1A

BB1

•   BB1 = BB =

•     BB1A

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 52

8/18/2019 04-Simplexe

27/37

27

•   L

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 53

B-1A B-1b

cT – cTBB-1A -cTBB

-1b

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 54

B-1A B-1b

cT – cTBB-1A -cTBB

-1b

8/18/2019 04-Simplexe

28/37

28

A

1. S :

B(1)=4, B(2)=5, B(3)=6

(0,0,0,20,20,20)

2. C :

3. C  

  1 = 10, 2= 12, 3=12

  R B:  = 1

  B = B1A  = = (1 2 2)

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 55

4. C θ*

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 56

θ1=20/1θ2=20/2θ3=20/2

-dB xBθ*=10k=2

8/18/2019 04-Simplexe

29/37

29

5. F

•   A B1A

•   N B1A

•   I : Q

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 57

-1 -1QB = B

-1Q B B = I

D :

•   S C. L

.

•   C C

Q, .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 58

8/18/2019 04-Simplexe

30/37

30

•   M 3 2

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 59

•   D ,

 –   β

 –   ≠ 

Q = I + D D  0, , , β.

•   Q

•   .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 60

8/18/2019 04-Simplexe

31/37

31

•  B = AB(1),,AB(1),AB(),AB(+1),,AB()

•  B = AB(1),,AB(1),A ,AB(+1),,AB()

•   B1AB() =

•   B1B = 1,,1,B1A ,+1,,

•  S = B1A ,

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 61

•   C ?

•   .

1. P ≠ ,

/2. O •   C Q 

•   QB1B = I QB1=B1

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 62

8/18/2019 04-Simplexe

32/37

32

S B1, B1 :

1. P ≠ , /

2. O

C .

C .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 63

R :

 –  B(1)=4, B(2)=5, B(3)=6

 –   = (0, 0, 0, 20, 20, 20)

 –   θ* = 10 –   = (1, 0, 0, 1, 2, 2)

 –  = ( + θ*) = (10, 0, 0, 10, 0, 0)

 –  1 

 –  5 

 –  A : . . .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 64

8/18/2019 04-Simplexe

33/37

33

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 65

D

•  A

B

B1

B

B1

A0 B

B1 A

•   A , :

0 BB1 A

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 66

8/18/2019 04-Simplexe

34/37

34

A

1. S B, .

2. E .S , . SOP.

S,   < 0

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 67

3. S =B1A , .

S , ∞. SOP.

4. P  > 0, B()/. S . L AB()  . L A   .

5. E , , 1.

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 68

8/18/2019 04-Simplexe

35/37

35

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 69

θ1=20/1θ2=20/2θ3=20/2

θ1=10

θ2=10

Attention : Bland n’est pas respecté ici

Dégéné-rescence

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 70

θ1=20/3

θ3=4

θ1=10θ2=10

8/18/2019 04-Simplexe

36/37

36

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 71

θ1=20/3

θ3=4

•  L :

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 72

= x1= x3

= x2

8/18/2019 04-Simplexe

37/37

•   L , . P, B.

•   :  

•    : θ*, .

Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 73