- 237 - Radicales En algunos casos es de utilidad expresar cantidades en términos de radicales en lugarde emplear exponentes racionales. Las leyes de los radicales están relacionadas ampliamente con las definiciones y propiedades de los exponentes. índice radical 3 9 radicando Si m y n son enteros positivos, siendo a y b números positivos: ( ) ( ) ( ) mn nm 1 m 1 n 1 m n n n n 1 n 1 n 1 n n n n 1 n 1 n 1 n n n n n m n n m n m a a a a , b a b a b a b a , b a b a ab ab , a a a , a a a = = = = ⋅ = = Ejemplo 1: Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa. 2 5 4 ( ) 32 2 4 4 5 5 2 5 = = = Otro Método: 32 1024 4 4 5 2 5 = = = Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITESM
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- 237 -
Radicales
En algunos casos es de utilidad expresar cantidades en términos de radicales en lugarde emplear exponentes racionales. Las leyes de los radicales están relacionadasampliamente con las definiciones y propiedades de los exponentes.
índice radical
3 9 radicando
Si m y n son enteros positivos, siendo a y b números positivos:
( )
( )
( )
mnnm
1m
1
n
1
m n
n
n
n
1
n
1
n
1
n
nnn
1
n
1
n
1n
n n
n
n
mnn mn
m
aaaa
,b
a
b
a
b
a
b
a
,babaabab
,aaa
,aaa
=
=
=
=
⋅
=
=
Ejemplo 1:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
2
5
4
( ) 322445
52
5
===
Otro Método:
3210244452
5
===
Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITESM
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Ejemplo 2:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
( ) 32
27
( ) ( ) ( ) 9327 27 22
33
2
=
Ejemplo 3:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
( ) ( ) 25 1
5 1
125
1
125
1125 22
3
3
2
3
2
=
−
Ejemplo 4:
Simplifica: 50
2522522550 =•=•=
Forma estándar de los radicales.
Se dice que un radical está en forma estándar si se cumplen las siguientescondiciones:
1. El radicando es positivo.2. El índice del radical es el menor posible.3. El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor qu
el índice del radical.4. No hay fracciones en el radicando.5. No hay radicales en el denominador.
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Ejemplo 5:
Simplifica: 3
27
4
3
4
27
4
27
43
3
3
3 ==
Ejemplo 6:
Simplifica: 6 27
32727 36==
Ejemplo 7:
Simplifica, (Expresa: 3 7581 y x en forma estándar)
3 223 23 633 2633 753332732781 y x xy y x y x y x y x y x =•=•=
Ejemplo 8:
Expresa: 37 en un solo radical
14734937 =•=
La expresión3
2, contiene la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado
perfecto, el cual es un número irracional. Para simplificar esta expresión, se deberacionalizar el denominador, significa, quitar todos los radicales del denominado
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Racionalización:Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raíz cuadrada queaparece en el denominador, o por la raíz de un número que haga deldenominador la raíz cuadrada de un número que sea cuadrado perfecto.
332
3332
32 =
•
•=
Ejemplo 9:
Simplifica:2
3
2
6
2
2
2
3
2
3=•=
Ejemplo 10:
Simplifica: 4
2
4264
z
y x
z
xz y
z
z x y
z
z
z
x y
z
y x
z
y x
z
y x 222482264
2
1
2
1
2
3
4
1
2
426
4
2
42
=••
=•==
=
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- 241 -
Ejercicios:
Escribe las siguientes expresiones como radicales. Evalúa cuando sea posible.
1) =2
1
16
2) =2
1
81
3) =2
1
49
4) =2
1
64
5)=
2
1
49
6) =3
1
27
7) ( ) =3
1
8
8)=
4
1
16
9) =5
1
32
10) ( ) =− 3
1
125
11) ( ) =− 3
1
27
12)=
5
1
243
13) =3
2
64
14)=
4
3
16
15)=
4
3
81
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- 242 -
16)=
2
5
4
17) ( ) =− 3
2
8
18) ( ) =− 3
4
27
19)=
3
2
125
20)=
2
3
16
21)=
6
5
64
22) =
−2
3
4
1
23) =
3
2
27
1
24) =
−
4
3
81
1
25) =
−
21
16
9
26) =
−3
2
8
27
27) =
2
3
16
100
28) =
−5
3
32
243
29) =
−4
1
16
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- 243 -
30) =
− 3
4
8
125
Expresa con exponentes positivos:
31) 14 =
32) 34 =
33) 56 =
34) =3 7
35) =
5
2
36) =4 3
37) =5 2 x
38) =3 7c
39) =5 3q
Expresa como un solo radical:
40) =32
41) 53
42) =67
43) =712
44) =115
45) =212
46) =66
47) =144
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- 244 -
48) =2a
49) =32a3ab
50) x xy 25
51) =cc 32
52) =2
24
53) =3
55
54) =7
73
55) =2
3 x x
56) =
bab
abba
22
22
3
2
57) =2325 rs sr
Simplifica (Escribe los radicales en forma estándar):
58) =324
59) =3 125
60) =4 81
61) =3 40
62) =4 32
63) =3 54
64) =4112
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- 245 -
65) =3 320
66) =4 1250
67) =3 3320 y x
68) =532 x
69) =523
8 z y x
70) =3 105 6 4 z y x 2
71) =3 4 11ba2
72) =4 104
64 nm
Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITESM
Para sumar o restar radicales, es necesario que tengan el mismo índice y elmismo radicando, “radicales semejantes”. Si no son semejantes no pueden ser sumados ni restados.
Ejemplo 1:
Suma: 2526 +
2526 + = ( ) 211256 =+
Ejemplo 2:
Resta: 33 3234 −
33 3234 − = ( )33
32324 =−
Ejemplo 3:
Calcula: 6836234 −−+
6836234 −−+ = ( ) ( ) 6633682314 −=−+−
Ejemplo 4:
Suma: 8327 +
24383 •= = 26223 =••
8327 + = 2132)67(2627 =+=+
Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITES
Las expresiones radicales solamente se pueden dividir cuando tienen el mismoíndice.
Ejemplo 1:
72
14
2
14==
Ejemplo 2:
x y xy y x
y x
y x
y x24
2
53
2
53
===
Ejemplo 3:
355
15
2
10
52
1510=•=
Una expresión radical está simplificada cuando es escrita sin radicales en eldenominador. A este proceso se le conoce como “racionalización”. Pararacionalizar, multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raízcuadrada que aparece en el denominador o por la raíz de un número que hagaque el denominador sea la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto.
Ejemplo 4:racionaliza
2
6
6
63
3
3
32
23
32
23==•=
Ejemplo 5:
(12
3
123
3
323
3
329
3
318
3
3
3
36
3
36−=
−=
−=
−•=
−=•
−=
−
Ejercicios
Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITES
Cuando el denominador de una expresión es un binomio que contiene algúnradical, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado deldenominador. A esta operación se le llama “racionalización”.
El conjugado de ba + es ba −
El conjugado de 232+ es 232−
El conjugado de 15 − es 15 +
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