1 Curso: Engenharias Disciplina: Probabilidade e Estatística Aula 04: Probabilidade Prof. Dr. Antônio C. Marangoni [email protected]
1
Curso: Engenharias
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Aula 04: Probabilidade
Prof. Dr. Antônio C. Marangoni
Probabilidade
1
Fenômeno
aleatório População
Modelo
probabilístico
Amostra
2
- Qual é a probabilidade de um novo método de
montagem aumentar a produtividade?
- Qual é a probabilidade de um projeto terminar no prazo?
- Quais são as chances de um novo investimento ser
lucrativo?
Definição do experimento
Definição dos resultados possíveis do
experimento
- Determinístico - Aleatório
Experimento
3
Experimento Resultado experimental
3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Medir a resistência à compressão x R+
Espaço amostral
3
Experimento Resultado experimental
Jogar uma moeda Cara, coroa
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Medir a resistência à compressão x IR+
Jogar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ponto amostral
Espaço amostral : - Discreto: no de microporos nos fios: = {0, 1, 2, 3, ...} - Contínuo: resistência à tração dos fios: = {x IR+}
Evento
4
- Qualidade de tratamento:
- fios com até um microporo
E1 = {0, 1}
- fios com mais de 3 microporos
E2 = {4, 5, 6, ...} ou E2 = {n IN : n > 3}
- Resistência:
- fios com resistência à tração de até 12,00
E3 = {R IR : R 12,00}
- fios com resistência à tração superior a 20,00
E4 = {R IR : R > 20,00}
E1, E2, E3, E4: eventos subconjuntos do espaço amostral
Representação gráfica
5
A
B
: espaço amostral
A, B: eventos
Evento certo: E = .
Ex.: evento “ocorrer um número” no lançamento de
um dado
Evento impossível: E = .
Ex.: “ocorrer o número 7” no lançamento de um dado
Probabilidade de um evento
Probabilidade P(E): medida numérica com
a qual se avalia a plausibilidade, ou seja, “o
quão provável” é a ocorrência de um certo
evento, quando o experimento é executado.
6
Aposta de 6 dezenas:
Eventos igualmente prováveis
Megasena: acertar as 6 dezenas sorteadas
(evento) em um conjunto de 60 números
(espaço amostral).
7
Número total de combinações:
!660!6
!60
6
6060
6C 50.063.860 combinações!
860.063.50
1Probabilidade P(E) de ganhar:
Eventos igualmente prováveis
Formalizando:
8
emelementosdeNúmero
EemelementosdeNúmero
k
mEP )(
Não é necessário explicitar completamente e E.
Basta calcular m e k.
Análise combinatória:
- Combinação
- Permutação
- Arranjo
Método
clássico
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
0 4
1 10
2 12
3 8
4 6
Total 40
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
0 4
1 10
2 12
3 8
4 6
Total 40
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
0 4 4 / 40 = 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15
Total 40 1,00
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
Probabilidade P(Ei)
0 4 4 / 40 = 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15
Total 40 1,00
Probabilidade e frequência relativa
9
Foi realizado um estudo do tempo de espera no
departamento de assistência técnica de uma loja de
eletroeletrônicos. O número de clientes à espera do serviço
às 9 horas da manhã foi registrado em 40 dias sucessivos.
Clientes à
espera
Número de dias
em que o
resultado ocorreu
Frequência
relativa fi
Probabilidade P(Ei)
0 4 4 / 40 = 0,10 0,10
1 10 10 / 40 = 0,25 0,25
2 12 12 / 40 = 0,30 0,30
3 8 8 / 40 = 0,20 0,20
4 6 6 / 40 = 0,15 0,15
Total 40 1,00 1,00
Método empírico
Probabilidade e frequência relativa
10
n 1 2 0 0 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 0 0
1 , 0
0 , 9
0 , 8
0 , 7
0 , 6
0 , 5
0 , 4
0 , 3
0 , 2
0 , 1
fn(E)
probabilidade do evento E
n
repetiçõesnemocorreEquevezesdeNúmeroEfn )(
Propriedades da probabilidade
11
0 P(E) 1
Se E é um evento certo (E = ): P(E) = 1
Se E é um evento impossível (E = ): P(E) = 0
Relações básicas de probabilidade
12
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
132AP
240
138HP
Intersecção de eventos
13
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: intersecção de A e H 240
84HAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
Reunião de eventos
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
Reunião de eventos
14
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A H: reunião de A e H
240
186
240
84
240
138
240
132HAPHPAPHAP
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
Eventos mutuamente exclusivos
15
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A C = e P(A C) = 0
A e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos
240
1680
240
36
240
132 CAPCPAPCAP
Regra da adição de probabilidade
16
Formalizando:
Se A e B são dois eventos quaisquer:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Se A e B são disjuntos: P(A B) = P(A) + P(B)
Para três eventos, A1, A2 e A3:
P(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
– P(A1 A2) – P(A1 A3) – P(A2 A3)
+ P(A1 A2 A3)
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
Eventos complementares
17
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
A D = e A D = A e D são eventos complementares
D = B C 240
108
240
36
240
72 CBPCPBPCBPDP
1240
2400
240
108
240
132 DAPDPAPDAP
Eventos complementares
18
Formalizando:
O evento que consiste dos pontos amostrais em
que não pertencem a um evento E é chamado de
complemento de E, e é indicado por EC.
P(E) + P(EC) = 1
E
EC
Probabilidade condicional
19
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
Informação:
O diâmetro selecionado está na faixa de 25 a 40 mm (B).
72
42B|MPmm40a25|MoacirP
Qual a probabilidade de ter sido fabricado por Moacir (M)?
Probabilidade condicional
20
Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade
condicional de A dado B, P(A | B), é:
Formalizando:
BP
BAPBAP
|
Regra do produto de probabilidades:
ABPAPBAPBPBAP ||
Probabilidade condicional
20
Para dois eventos quaisquer, A e B, a probabilidade
condicional de A dado B, P(A | B), é:
Formalizando:
BP
BAPBAP
|
Regra do produto de probabilidades:
ABPAPBAPBPBAP ||
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
Probabilidade condicional - exemplo
21
Diâmetro nominal
(mm)
Operador Total
Hamilton (H) Moacir (M)
< 25 (A) 84 48 132
25 |– 40 (B) 30 42 72
40 (C) 24 12 36
Total 138 102 240
240
72BP
240
42 BMP
72
42
240
72240
42
|
BP
BMPBMP
22
22
A
22
A
B
22
A
B
C
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
22
A
B
C
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
22
A
B
C
H
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
22
A
B
C
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
22
A
B
C
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240
Árvore de probabilidades
22
A
B
C
H
M
H
M
H
M
P(A) =
132 / 240
P(B) =
72 / 240
P(C) =
36 / 240
P(H | A) = 84 / 132
P(M | A) =
48 / 132
P(H | B) =
30 / 72
P(M | B) =
42 / 72
P(H | C) =
24 / 36
P(M | C) = 12 / 36
P(A H) = P(A) . P(H | A) = 84 / 240
P(A M) = P(A) . P(M | A) = 48 / 240
P(B H) = P(B) . P(H | B) = 30 / 240
P(B M) = P(B) . P(M | B) = 42 / 240
P(C H) = P(C) . P(H | C) = 24 / 240
P(C M) = P(C) . P(M | C) = 12 / 240
Problema: máquinas com desajuste
23
Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que
podem apresentar desajustes com probabilidade de,
respectivamente, 0,05 e 0,10. No início do dia de
operação um teste é realizado e, caso a máquina esteja
fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia, passando
por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de
produção pelo menos uma das máquinas deve operar. A
empresa corre o risco de não cumprir com suas metas
de produção?
O1: evento da máquina 1 estar operando
O1C: evento da máquina 1 estar em falha
O2: evento da máquina 2 estar operando
O2C: evento da máquina 2 estar em falha
A eventual falha de ajuste em uma máquina não interfere no
comportamento da outra independência dos eventos O1
e O2.
P(O2 | O1) = P(O2) = 0,90; P(O2 | O1C) = P(O2) = 0,90;
P(O2C | O1) = P(O2
C) = 0,10; P(O2C | O1
C) = P(O2C) = 0,10
Problema: máquinas com desajuste
24
O1
O1C
O2
0,95
0,05
0,90
0,10
0,90
0,10
O2
O2C
O2C
Eventos independentes
25
Eventos Independentes
Dados dois eventos A e B, se:
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) A e B são
independentes. Neste caso:
P(A B) = P(A) . P(B)
Formalizando:
Se A1, A2 e A3 são independentes, então eles
devem ser independentes 2 a 2 e 3 a 3.
P(Aj Ak) = P(Aj) . P(Ak), j k, onde: j, k = 1, 2, 3
E também:
P(A1 A2 A3) = P(A1) . P(A2) . P(A3)
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2
O1 O2C
O1C O2
O1C O2
C
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C
O1C O2
O1C O2
C
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2
O1C O2
C
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045
O1C O2
C 0,05 x 0,10 = 0,005
26
Problema: máquinas com desajuste
Evento Probabilidade
O1 O2 0,95 x 0,90 = 0,855
O1 O2C 0,95 x 0,10 = 0,095
O1C O2 0,05 x 0,90 = 0,045
O1C O2
C 0,05 x 0,10 = 0,005
Evento: pelo menos uma máquina funcionando
(O1 O2) (O1 O2C) (O1
C O2)
P[(O1 O2) (O1 O2C) (O1
C O2)] =
P(O1 O2) + P(O1 O2C) + P(O1
C O2) =
0,855 + 0,095 + 0,045 = 0,995
Teorema de Bayes
27
Uma empresa fabricante recebe lotes de peças de dois
fornecedores diferentes.
A1 é o evento em que uma peça é do fornecedor 1: P(A1) = 0,65
A2 é o evento em que um peça é do fornecedor 2: P(A2) = 0,35
Fornecedor Peças boas (%) (B) Peças ruins (%) (R)
1 (A1) 98 2
2 (A2) 95 5
Avaliações de qualidade dos dois fornecedores
P(B | A1) = 0,98
P(B | A2) = 0,95
P(R | A1) = 0,02
P(R | A2) = 0,05
Árvore de probabilidades
28
Árvore de probabilidades
28
Etapa 1
(Fornecedor)
Árvore de probabilidades
28
Etapa 1
(Fornecedor)
Árvore de probabilidades
28
P(A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
0,65
Árvore de probabilidades
28
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
0,35
0,65
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,98
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,98
0,02
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,02
0,98
0,95
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição)
0,95
0,98
0,02
0,05
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325
Árvore de probabilidades
28
0,65
0,35
0,98
0,02
0,95
0,05
P(A1)
P(A2)
P(B | A1)
P(R | A1)
P(B | A2)
P(R | A2)
Etapa 1
(Fornecedor)
Etapa 2
(Condição) Probabilidade do resultado
P(A1 B) = P(A1) . P(B | A1) = 0,6370
P(A1 R) = P(A1) . P(R | A1) = 0,0130
P(A2 B) = P(A2) . P(B | A2) = 0,3325
P(A2 R) = P(A2) . P(R | A2) = 0,0175
Teorema de Bayes
29
Temos que calcular as probabilidades posteriores:
P(A1 | R) e P(A2 | R)
Suponha agora que uma máquina se quebrou porque
estava tentando processar uma peça ruim. Dada a
informação de que a peça é ruim, qual a probabilidade
de que ela venha do fornecedor 1 e qual a
probabilidade de que ela venha do fornecedor 2?
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
Teorema de Bayes - Cálculos
30
RP
RAPRAP
1
1 |
Da regra da probabilidade condicional:
Pela árvore de probabilidades:
111 | ARPAPRAP
R pode ocorrer de dois modos: (A1 R) e (A2 R).
221121 || ARPAPARPAPRAPRAPRP
Portanto:
2211
111
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
Calculando:
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
Teorema de Bayes - Cálculos
31
Analogamente para P(A2 | R):
Calculando:
P(A1) = 0,65
2211
222
||
||
ARPAPARPAP
ARPAPRAP
4262,005,035,002,065,0
02,065,0|1
RAP
5738,005,035,002,065,0
05,035,0|2
RAP
P(A1 | R) = 0,4262
P(A2) = 0,35
P(A2 | R) = 0,5738
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Teorema de Bayes
32
Formalizando:
n
j
jj
ii
nn
iii
ARPAP
ARPAP
ARPAPARPAPARPAP
ARPAPRAP
1
2211 |
|
|...||
||
A probabilidade posterior do evento Ai, supondo-se a
ocorrência do evento R, é dada por:
Aplicável quando:
- os eventos são mutuamente exclusivos.
- as uniões dos eventos são o espaço amostral inteiro.
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1)
Evento
Ai
A1
A2
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1
A2
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2 0,35
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
A1 0,65
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65 0,02
A2 0,35
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
A1 0,65 0,02
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =
0,5738
1,00 P(R) = 0,0305
Teorema de Bayes - Tabela
33
(1) (2) (3) (4) (5)
Evento
Ai
Probabilidade
prévia P(Ai)
Probabilidade
condicional
P(R | Ai)
Probabilidade
associada
P(Ai R)
Probabilidade
posterior P(Ai | R)
A1 0,65 0,02 0,0130 0,0130 / 0,0305 =
0,4262
A2 0,35 0,05 0,0175 0,0175 / 0,0305 =
0,5738
1,00 P(R) = 0,0305 1,0000
Teorema de Bayes - Tabela