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“There are no shear stresses in fluids at rest; hence only normal pressure forces are present. Therefore the pressure at any point in a fluid at rest is the same in every direction”.
A hidrostática ocupa‐se do estudo de fluidos em repouso, razão pela qual a força de contacto
exercida sobre uma área tem apenas a componente vertical (normal). Designa‐se por
pressão a força aplicada por unidade de superfície (área).
Admitindo um corpo de volume ∀ , limitado pela superfície A, mergulhado numa massa
líquida; e considerando que dA representa um elemento de área nessa superfície e dF a
força perpendicular que actua sobre a área elementar (dA), ver Figura 3.1, a pressão ( p) é
expressa por:
dA
dF p = (3.1)
Atenção: a força é sempre perpendicular a superfície,conforme ilustra a figura ao lado.
Quando se considera toda a área, o efeito da pressãoproduzirá uma força resultante (impulsão ou pressão total)que é obtida pela equação:
∫ =
A
pdAπ , ou quando a pressão é a mesma em toda a
área pA=π .
Figura 3.1 – Representação da pressão exercida sobre uma área elementar.
De acordo com a lei de Pascal (estabelecida por Leonardo da Vinci) “em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as direcções”.
Vamos demonstrar a lei considerando um prisma imaginário de dimensões elementares:
comprimento dx , altura dz e espessura dy (ver Figura 3.2). O p é a pressão média em
qualquer direcção no plano de papel, px e pz são, respectivamente, as pressões médias nas
(a) Pressão nas faces perpendiculares ao plano dopapel
(b) Revisão básica da trigonometria
Figura 3.2 – Prisma imaginário no interior de um líquido em repouso.
Pelo facto do prisma estar em equilíbrio, o somatório das forças é nulo.
Portanto, para direcção de X :
Deste modo,
senθ dy pd dydz p x ρ = , com ρ d dz sen θ =
ρ ρ
d
dz dy pd dydz p x =
pdydz dydz p x =
p p x =
Para direcção de Z :
0= z F Σ
Deste modo,
dxdydz θ
cosdy pd dxdy p z γ ρ 2
1
+= , com ρ d
dx
θ cos =
O terceiro termo ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ dxdydz γ
2
1é de ordem superior em relação aos outros dois termos e
pode ser desprezado1.
1 Nota: na demonstração acima desprezou‐se o peso pelo facto do prisma ser de dimensões elementares. A forçacorrespondente ao peso do triângulo é dada por: γ*área do prisma triangular*largura (i.e. γ*½ dxdz*dy).
ou medir é a diferença de pressão entre os pontos. Assim, como a pressão atmosférica actua
de igual modo em todos os pontos é comum não ser considerada. Ver a Figura 3.5 que
corresponde à uma situação em que se pretende determinar a pressão exercida pela massa
líquida na parede do reservatório.
Figura 3.5 – Pressão exercida pelo líquido, em repouso, na parede do reservatório.
Como a pressão atmosférica actua de ambos os lados da parede, ela anula‐se no ponto π.
Nota Importante: no caso de estudo dos gases a pressão atmosférica deverá ser sempreconsiderada. Saliente‐se que a pressão atmosférica normal (i.e.correspondendo ao nível médio do mar) assume o valor de1,012x105 N/m2 (1,033x104 kgf/m2) que equivale à uma altura de
coluna de água de 10,33 m (i.e., 3310 , pa =γ
m).
Exercício 3.1 (modificado de Quintela, 2005: 14)
Considere um reservatório de água, com superfície livre à pressão atmosférica normal, noqual mergulham os extremos de um tubo em U invertido, cheio de água (ver Figura 3.6).
Figura 3.6 – Reservatório com tubo em U invertido (cheio de água).
a) Calcular a pressão (absoluta e relativa) no ponto A no interior do tubo, situado 6,0 macima da superfície livre.
Figura 3.9 – Manómetro. (a) Para medir diferença de pressão Δ p em líquidos ou gases. (b) Paramedir Δ p nos líquidos apenas (adaptada de Daugherty et al., 1985: 36).
3.1.3. Prensa hidráulica e o Macaco hidráulico
O facto de um aumento de pressão, num fluído confinado, ser transmitido uniformemente
através do fluído, é aproveitado em dispositivos hidráulicos (e.g. prensa hidráulica e o
macaco hidráulico) (Massey, 2002: 84‐85).
Figura 3.9 – Prensa hidráulica.
Ao aplicar uma pequena força F a sobre um pistão de área Aa (ver Figura 3.9) exerce‐se um
força FB, sobre um pistão de área AB, sujeitando‐o a uma pressão B B A / F p = .
Por impulsão hidrostática (ou simplesmente impulsão) entende‐se a força aplicada sobre
superfícies mergulhadas.
Aspectos a ter em consideração:
a pressão do líquido provoca forças sobre a superfície com a qual contacta;
as forças distribuídas sobre a superfície têm uma resultante (é esta força resultante
que na prática interessa determinar a grandeza, a direcção e a linha de acção);
quando a superfície é plana e horizontal, o contacto com o líquido em repouso dá
origem à uma força resultante (ou força total) que corresponde ao produto da pressão ( p) pela área da superfície ( A) (ver Figura 3.10)
ghA pA ρ π == (3.5)
Nessa situação: i) a direcção de actuação daforça é perpendicular ao plano (no sentidodo fluído para o plano); ii) o ponto deactuação da força é o centróide♣ (≈ centro degravidade) do plano.
Figura 3.10 – Pressão e impulsão sobre superfície horizontal.
quando a superfície não é horizontal, a pressão varia de ponto para ponto, sobre a
superfície, e o cálculo da força total (impulsão) é menos simples.
♣ O centróid e do volume, corresponde ao centro de impulsão, depende da forma do volume considerado. Importa referir quenão é exactamente o mesmo que o centro da gravidade do corpo que depende do modo como o peso está distribuído pelocorpo (ver Massey, 2002: 116).
ii. Equilíbrio instável – nesse caso o corpo não regressa a posição inicial, afastando‐se
cada vez mais;
iii.
Equilíbrio neutro ou indiferente – quando sujeito a um deslocamento e depoisabandonado, permanece na nova posição (não regressa à posição original e nem se
afasta).
Para garantir o equilíbrio estável dum corpo flutuante é necessário que se cumpram as
seguintes condições:
o centro de gravidade (CG) do corpo deve situar‐se abaixo da posição do metacentro
(MC), i.e. CG < MC;
m
' GG I MC ∀= (3.18)
onde: MC é a posição do metacentro, IGG’ o momento de inércia da área que a
superfície do líquido intercepta no flutuante relativo ao eixo sobre o qual se supõe
que o corpo possa virar, ∀m o volume da parte submersa do corpo (volume de
carena).
Quando o CG e MC coincidem o equilíbrio é neutro/indiferente.
Nota: para ângulos pequenos (inferiores a 15º, fraca inclinação do corpo) a variação daposição do metacentro não é significativa podendo‐se considerar a altura metacéntrica
constante (a variação da distância entre CG e MC) (Azevedo Neto et al., 1998: 41‐44,
Pretende‐se colocar uma bóia cilíndrica de 80 kg, com 1,50 m de altura e 1,0 m de
diâmetro, a flutuar com o eixo na vertical, em água do mar com massa volúmica 1026 kg/m3. Agarrado ao centro da superfície de topo da bóia está um corpo com 10 kg demassa. Pretende‐se mostrar que haverá instabilidade inicial, com a bóia a flutuarlivremente.