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CAPES de Sciences physiquesTOME 1 - PHYSIQUECOURS ET
EXERCICES
Nicolas BILLY Jean DESBOISMarie-Alix DUVAL Mady ELIAS Pascal
MONCEAUAude PLASZCZYNSKI Michel TOULMONDE
B E L I N 8, rue Frou 75278 Paris cedex
06www.editions-belin.com
B E L I N
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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESS. BACH, F. BUET, G.
VOLETCAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et
exercices
M. GUYMONTStructure de la matire, cours
A. MAURELOptique ondulatoire, coursOptique gomtrique, cours
A. MAUREL, J.-M. MALBECOptique gomtrique, rappels de cours et
exercices
A. MAUREL et G. BOUCHETOptique ondulatoire, rappels de cours et
exercices
J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICONlectrostatique et
magntostatique, courslectrostatique et magntostatique, rappels de
cours et exercices
DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESR. LEHOUCQ ET
J.-P. UZANLes constantes fondamentales
O. DARRIGOLLes quations de Maxwell. De MacCullagh Lorentz
A. BARBEROUSSELa mcanique statistique. De Clausius Gibbs
M. BLAYLa science du mouvement. De Galile Lagrange
Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement
Daniel Andr et Henri Sergolle dont les excellents polycopis ont
inspir des parties des chapitres 8 et 10.
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articles 425 et suivants du Code pnal.
ditions Belin, 2004 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-4067-6
Photo de couverture CNRS photothque/F. Livolant.Schmas : Laurent
Blondel/Cordoc
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Sommaire
1. MCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Dynamique du point
matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Grandeurs cintiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Principe de
linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton) . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 15Principe fondamental de la dynamique.
Rfrentiels galilens (2e loi de Newton) . . . . 16Principe des
actions rciproques (3e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 16Principe fondamental de la dynamique.
Cas des rfrentiels non galilens . . . . . . . . . . 17Thorme du
moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Thorme de lnergie cintique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 18Interactions conservatives. nergie potentielle,
nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . 19Forces centrales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 20Mouvement dune particule au
voisinage dune position dquilibre stable . . . . . . . . . .
20Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Oscillateur harmonique
unidimensionnel amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . .
. . 21Aspect nergtique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ;
rsonance . . . . . . . . . . . 23Recherche du rgime permanent . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 23Comportement de la rponse en amplitude en fonction de
la frquence . . . . . . . . . . . . 24Aspect nergtique. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 25
Mcanique des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26Prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Quantit de
mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Moment cintique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 27nergie cintique. Conservation
de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 28Thormes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29Rduction canonique du problme deux corps . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Mcanique du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30lments de
cinmatique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Moment cintique, nergie
cintique, oprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 31Solide en rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32Moments dinertie connatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Thorme de
Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Contact entre solides.
Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . .
. . . 34Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 36Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36Loi fondamentale de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
-
Thorme dArchimde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 37
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 62
2. LECTROMAGNTISME (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 121lectrostatique : charges - forces
- champ et potentiel lectrostatiques . . . . . . . . . 124
Les charges lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124Linteraction coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le
champ lectrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le potentiel
lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Thorme de Gauss . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Les quations locales de llectrostatique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Circulation
conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Expression locale
du thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 128Proprits du potentiel . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 129Dfinition et continuit des champs et des
potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
Les conducteurs en lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Conducteur
en quilibre lectrostatique champ et potentiel . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 131Capacit dun conducteur seul dans lespace . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131Plusieurs conducteurs en quilibre lectrostatique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Influence totale . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Condensateurs . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
nergie potentielle dinteraction lectrostatique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Systme de charges
ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 133Distribution continue de
charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 133Distribution volumique de charges . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 133nergie associe au champ lectrique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133Utilisation de lnergie pour le calcul des forces lectrostatiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Magntostatique : champ et force magntiques . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Force magntique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Champ magntique : loi de
Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 135Exemples de calcul de
B partir de la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 135
Symtries du champ magntique. Thorme dAmpre . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 136Symtries par rapport un plan . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 136Symtries par rapport un plan 1 inversion du sens des
courants (transformation S.I.) 137Circulation du champ magntique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 137
Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magntique . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 139Le potentiel-vecteur . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 139Flux du champ magntique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 140quation locale portant sur le potentiel-vecteur .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140Relations de passage pour le champ magntique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141Exprience fondamentale de Faraday (1831) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Autres conditions de
manifestation du phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 143Induction mutuelle et auto-induction dans lapproximation
des rgimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 143
4
-
tude dune bobine relle dans lapproximation des rgimes
quasi-stationnaires . . . . . 144Le moteur courant continu . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 144
Constitution dun moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144Phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Couple
lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Moteur excitation
indpendante (ou spare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 147Moteur excitation srie . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 148
Les quations de llectromagntisme en rgime variable . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 149quation de continuit (conservation
de la charge lectrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149quation de Maxwell - Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Potentiels . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151quation de
propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Une solution
particulirement simple : londe plane homogne . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 151Ondes sinusodales. Polarisation . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 152nergie lectromagntique : densit volumique et flux . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Vue densemble des
radiations lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 154
lectromagntisme de la matire : tude macroscopique des
dilectriques . . . . . . 154Mise en vidence du rle des dilectriques
en lectrostatique : polarisation induite . . . 154Vecteur
polarisation
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Susceptibilit lectronique xe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155Rpartition des charges de polarisation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Potentiel et
champ lintrieur du dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 155quations de Maxwell et consquences .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 156
lectromagntisme de la matire : tude microscopique des
dilectriques . . . . . . 156Polarisation lectronique des atomes . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 156Polarisation des molcules . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157Bilan des polarisations des dilectriques . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
lectromagntisme de la matire : milieux aimants . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 158Diple magntique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 158Moments dipolaires magntiques dans la
matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159Description dun chantillon de matire aimante . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160quations de Maxwell dans
la matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 160
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 161
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 198
3. LECTROCINTIQUE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 255Linteraction lectrique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 257
Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Les
interactions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le champ
lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le potentiel
lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Capacit lectrique.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Les circuits lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260Loi dOhm pour un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
SOMMAIRE 5
-
Diple lectrocintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261Rsistance pure (conducteur ohmique) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Loi dOhm
gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Lois des circuits
lectriques (lois gnrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 266Loi de Joule, nergie, puissance . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 269
Les rgimes sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270Grandeurs sinusodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270Intensit efficace (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Loi
dOhm en rgime sinusodal (circuit RLC srie) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 271Circuit oscillant parallle
(circuit bouchon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 274Puissance en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
Les rgimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276Rgime transitoire avec R, L ou C . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Charge et
dcharge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Courant transitoire dans une
bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 277Dcharge dun condensateur dans une bobine
(RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Mesure de dphasage loscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 287
4. LECTRONIQUE (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Rseaux linaires en
rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 303
Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303Thorme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Thorme
de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Thorme de Norton .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Thorme de Millman. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 304Conseils dutilisation . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 305
Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 305Semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 305Jonction p-n dune diode semi-conductrice . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306Caractristiques dune diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 310Description du transistor bipolaire npn . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Le
transistor amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Amplificateur oprationnel ou amplificateur de diffrence intgre .
. . . . . . . . . . . . 314Lamplificateur oprationnel . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 314Fonctionnement de lA.O. en rgime linaire . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316Fonctionnement en rgime de saturation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Lamplificateur
oprationnel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 317carts la perfection des A.O.
rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 318
Modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 318Principe de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319Modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6
-
Conversions numrique-analogique et analogique-numrique . . . . .
. . . . . . . . . . . 324Gnralits sur la conversion . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 324Conversion numrique-analogique (CNA) . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Conversion
analogique numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 326
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 327
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 349
5. ONDES ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 384
quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384Propagation unidimensionnelle (ondes planes) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Dispersion . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386quations de
Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Proprits des ondes
lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 388Dtection des ondes centimtriques . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390
Ondes lectromagntiques dans la matire . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390quations de Maxwell
dans les milieux matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 391Conditions de passage . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 391Exemples de milieux matriels . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392Rflexion et transmission (incidence normale) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Onde basse
frquence dans un mtal. paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 395Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 397
Ondes acoustiques dans un fluide parfait . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397quation dondes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Impdance acoustique
caractristique (ou itrative). Rflexion, transmission
(incidencenormale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 399Ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 399
Leffet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 400La source S et le rcepteur R ont des mouvements colinaires .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Cas gnral non relativiste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 401Londe se rflchit sur R avant dtre
capte par S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 401Effet Doppler relativiste. Dcalage vers le rouge . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 404
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 425
6. OPTIQUE GOMTRIQUE ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 459Lois de Descartes. Stigmatisme . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 460
Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461Image dun point objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461Aplantisme. Grandissement linaire . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
SOMMAIRE 7
-
Loptique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462lments cardinaux dun systme centr . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Dioptres . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Lentilles.
Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Qualits des instruments doptique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
471Grandissement linaire g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
471Puissance P (pour loupes et microscopes) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Grossissement G
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Champ . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Pouvoir sparateur.
Limite de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 475
Fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 477Fibres saut dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
478Fibres gradient dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Fibres
multimodes. Fibres monomodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Dispersion . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Pertes. Coefficient
dattnuation linique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 481Matriau utilis. Procd de fabrication .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 481Utilisation et intrt des fibres optiques . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 482Miroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 482Rtroprojecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 483Grandeurs photomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Lil .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
485
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 486
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 501
7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 531Description dune onde
lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 533
Onde lectromagntique monochromatique plane, polarise
rectilignement, dans levide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 533Onde lectromagntique monochromatique
plane dans un milieu dindice n . . . . . . . . 535Amplitude
complexe et intensit de londe lumineuse. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 536Quelques ordres de grandeur . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 537
La polarisation de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
538Lumire polarise : polarisation linaire, circulaire, elliptique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Polariseur, loi de Malus .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 539
Cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540Un modle simple de cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541Quelques ordres de
grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 543Lumire naturelle (ou non
polarise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 543
Coefficients de rflexion et de transmission ( incidence normale)
. . . . . . . . . . . . . . 544Coefficients de rflexion et de
transmission de lamplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 544Coefficients de rflexion et de transmission de lnergie . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
8
-
Les trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
546Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 547Mthode de calcul des dphasages en optique physique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Intensit des interfrences
lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 548Description de la figure dinterfrences,
interfrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550Quelques variations sur le thme trous de Young . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551Observations des
interfrences de type trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 560
Interfrences non localises et interfrences localises . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 561Interfrences par division
damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 562
Franges dgale inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562Franges dgale paisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Interfromtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 568Interfromtre deux ondes (ou interfromtre faisceaux spars) . .
. . . . . . . . . . . . . 568Interfromtre ondes multiples (ou de
Fabry-Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
569
Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Quest ce
que la diffraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Principe de
Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573Validit du principe de
Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 573Diffraction de Fresnel et diffraction de
Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 574
Diffraction linfini par une fente . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
575Diffraction par une fente infinie claire sous incidence normale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 575Diffraction par une fente
infinie claire sous incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 577
Diffraction linfini par une ouverture rectangulaire . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578Diffraction par une
ouverture circulaire, limite de rsolution des instrumentsdoptique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
581
Diffraction linfini par une ouverture circulaire . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Limite de
rsolution dun instrument doptique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 582
Diffraction linfini par deux crans complmentaires, thorme de
Babinet . . . 584Processus dinteraction entre la matire et le
rayonnement. mission stimule . . 584
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 584Description qualitative des processus dinteraction . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586Description
quantitative : mission spontane . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 587Description quantitative :
absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 589Description quantitative : mission
stimule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 590quilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir,
relations entre coefficientsdEinstein . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 591
Principes de fonctionnement dun laser . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Cavit optique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593Milieu
amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Proprits du
rayonnement mis par un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 596
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 598
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 610
8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 635Vocabulaire et dfinitions . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 637
Notion de systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
SOMMAIRE 9
-
tat dun systme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
637Transformations dun systme. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Variables
dtat communment utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 638
Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 639Dfinition et quation dtat . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
639Mlange de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
639Transformations dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
Quelques proprits des corps purs . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Coefficients
thermolastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Diagramme dtat (P; T )
dun corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 641Diagramme (P; V ) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 641Cas particulier de leau . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 642
Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Notion dnergie
interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Dfinition nergtique du
gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 643Le premier principe de la
thermodynamique (pour les systmes ferms) . . . . . . . . . . . .
643Notion denthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
644
Calcul du travail chang par un systme . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Dfinition du
travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Diffrents types de
transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 647Travail des forces de pression
pour une transformation quasi-statique . . . . . . . . . . . . . .
647Exemples de calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
Calcul de la chaleur change par un systme . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Coefficients
calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Chaleur change par des
solides ou des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 648Chaleur change par un gaz parfait . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
649Changements de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
Dtentes de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
652Dtente de Joule-Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Dtente de
Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Notion
dentropie, nonc du second principe . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 653Diffrentielle de lentropie ;
application au cas du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 654Bilan entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 655Diagrammes entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
657
Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
658Relations fondamentales. Ingalit de Clausius . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Diffrents types de
machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 659Rendement et efficacit des machines
thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 660Exemples de fonctionnement de machines frigorifiques . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661Moteurs de Carnot . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
Thorie cintique des gaz parfaits monoatomiques . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 662Les bases de la thorie . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 663Proprits du gaz parfait :
interprtation microscopique de la pression et de latemprature . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Loi de
distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
10
-
Transferts thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
669Aspects phnomnologiques de la diffusion thermique. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 669Flux de chaleur . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Loi de Fourier . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 670Les quations de la diffusion
thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 671
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 673
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 686
9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 703Dualit onde-corpuscule . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 704
Phnomnes ou expriences classiquement inexplicables . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 704Dualit onde-corpuscule en
lectromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 709Gnralisation de la dualit onde-corpuscule . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
710Un peu de relativit restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
710Cinmatique des ractions du type 1(12) 3 1 4 1 5 1 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 712
Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 714Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 714Radioactivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 715
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 716
10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733Lastronomie . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735
Repres historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
735Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735
Mouvements apparents. Les observations . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Le mouvement
diurne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Mouvements apparents
du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 737Les phases de la Lune . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 738Les clipses de Soleil et de Lune . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
739Mouvements apparents des plantes . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
Temps et calendrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
741Origine astronomique des units de temps . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Valeur des units .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Le jour . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Remarques
importantes sur le vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
Les chelles dans lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
745Units de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
745Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
745Parallaxe stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
747Le Systme solaire lchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
Dtermination des distances de la Lune et du Soleil . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Lune .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Soleil . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 751
SOMMAIRE 11
-
Mesure de la Terre par ratosthne . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752Copernic et
le modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
Les priodes sidrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Les
distances au Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Modle
gocentrique et modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 756
La gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
757Aspect historique de la dcouverte . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Newton et
la force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758Newton, la pomme
et la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 759Masse dinertie et masse
gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 759Masse de la Terre . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 759
Les mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 759Attraction diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 759Le marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
761Rythme des mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
761Influence du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
761Ralentissement de la rotation de la Terre . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762Priode de
rotation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
Lunettes et tlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
765volution historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
765Clart dun instrument (lunette ou tlescope) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Pouvoir sparateur .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Radiotlescopes . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 768Dcouvertes de Newton (1670) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
768Principes de lanalyse spectrale (1859) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769Effet
Doppler-Fizeau (1848) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
Nuclosynthse stellaire et vie des toiles . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770Les ractions
nuclaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770volution dune toile
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Abondance des lments dans
lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 771Quelques lois du rayonnement . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 771
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 772
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 781
A. RAPPELS MATHMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Formules de trigonomtrie .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 797Moyenne dune fonction priodique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 798Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 798Quelques relations utiles danalyse vectorielle . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
12
-
C h a p i t r e 1McaniqueLes notes de cours de ce chapitre
rappellent les grands principes et thormesindispensables pour
passer le concours du CAPES et enseigner la physique enlyce et
collge. Elles attirent dautre part lattention sur certains points
prcis dontlexprience montre quils posent souvent des problmes aux
tudiants. Elles doiventtre conues comme un guide pour les rvisions.
Leur contenu doit tre connuavec prcision avant daborder les
exercices et problmes qui en permettrontlassimilation.Les exercices
et problmes ont t slectionns de manire constituer un
ensemblepdagogiquement cohrent : ils recouvrent une trs large
partie du contenu du pro-gramme, et requirent lutilisation de la
plupart des mthodes mises en oeuvre pourrsoudre les problmes de
mcanique.
1. Dynamique du point matriel1.1. Grandeurs cintiques
fondamentales1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re
loi de Newton)1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels
galilens (2e loi de Newton)1.4. Principe des actions rciproques (3e
loi de Newton)1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des
rfrentiels non galilens1.6. Thorme du moment cintique1.7. Thorme de
lnergie cintique1.8. Interactions conservatives. nergie
potentielle, nergie mcanique1.9. Forces centrales
2. Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres2.1.
Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre
stable2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti2.3.
Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement
fluide2.4. Aspect nergtique
3. Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ;
rsonance3.1. Recherche du rgime permanent3.2. Comportement de la
rponse en amplitude en fonction de la frquence3.3. Aspect
nergtique
4. Mcanique des systmes4.1. Prliminaire4.2. Centre dinertie ;
rfrentiel barycentrique
1. MCANIQUE 13
-
4.3. Quantit de mouvement4.4. Moment cintique4.5. nergie
cintique. Conservation de lnergie4.6. Thormes de Koenig4.7.
Rduction canonique du problme deux corps
5. Mcanique du solide indformable5.1. lments de cinmatique du
solide5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie5.3.
Solide en rotation autour dun axe fixe5.4. Moments dinertie
connatre5.5. Thorme de Huygens5.6. Contact entre solides.
Frottement de glissement, lois de Coulomb5.7. Roulement sans
glissement
6. Statique des fluides6.1. Notion de pression6.2. Loi
fondamentale de lhydrostatique6.3. Thorme dArchimde
14
-
1. DYNAMIQUE DU POINT MATRIEL
1.1. Grandeurs cintiques fondamentales
p
M
R
O
Pour un point matriel M, de masse m, anim dunevitesse v par
rapport un rfrentiel R donn, ondfinit les grandeurs cintiques
suivantes :* Quantit de mouvement :
p = mv
* Moment cintique en un point A :
sA = AM p
(moment en A de la quantit de mouvement).* nergie cintique :
Ec =12
mv2
1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens(1re loi de
Newton)
Principe : Il existe des rfrentiels privilgis, appels galilens,
dans lesquels la quantit demouvement dune particule isole est
constante (cela correspond soit au repos, soit au
mouvementrectiligne uniforme).
VO1
R1
y1
z1
x1 O2
R2
y2
z2
x2
Cette loi fait des droites des objets cinma-tiques privilgis. Ce
sont aussi des objetsgomtriques privilgis (dans un
espaceeuclidien).Les rfrentiels galilens sont en transla-tion
rectiligne uniforme les uns par rap-port aux autres. Loprateur qui
permetde passer dun rfrentiel un autre estla transformation de
Galile G(V ). Ellecontient lhomognit et lisotropie delespace ainsi
que luniformit du temps. La vitesse de propagation de
linformationest suppose infinie. Dans lhypothse o R2 est en
translation rectiligne uniforme devitesse V par rapport R1, dans la
direction parallle Ox (Fig. ci-dessus), la relation
1. MCANIQUE 15
-
entre les deux rfrentiels scrit (dans les repres dfinis par les
origines O1, O2 et lestrois axes de directions fixes associs) :
x1
y1
z1
t1
=
1 0 0 V
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x2
y2
z2
t2
Matriciellement, cette relation scrit :
[X1] =[
G(V )]
[X2]
Il est facile de montrer que lensemble{[
G(V )]}
des transformations de Galile a une
structure de groupe :
[G(V )][
G(V )
]=[
G(V ")
]o
V =
V 1
V
Les lois de la mcanique classique sont invariantes dans les
transformations du groupede Galile.
1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentielsgalilens
(2e loi de Newton)
Principe : Dans un rfrentiel galilen, la drive de la quantit de
mouvement dun point matrielpar rapport au temps est gale la somme
des forces quil subit.(
dpdt
)Rgal
=
f
Dans un autre rfrentiel galilen, le principe fondamental appliqu
ce point scritexactement de la mme faon, puisque deux rfrentiels
galilens ne sont pas acclrslun par rapport lautre.Dans le cas o la
masse du point est constante, ce principe scrit ma =
f
1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton)
Principe : Si un point matriel 1 exerce sur un point matriel 2
une forceF12, alors le point
matriel 2 exerce sur 1 une force opposeF21 = F12
Cette loi suppose une transmission instantane de linformation.
Ainsi, le principe desactions rciproques nest-il plus valable dans
le cadre de la thorie de la relativit restreinte.
16
-
1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentielsnon
galilens
O1
R1Galilen en translation non
rectiligne uniformepar rapport R1
y1
z1
x1 O2
R2
y2
z2
x2
M R2 est en translation par rapport R1(translation non
rectiligne uniforme).
Principe : Le principe fondamental de ladynamique dans R2 non
galilen scrit :
(dpdt
)R2
=
f 1fie(M)
fie(M) est la force dinertie dentranement dupoint M due
lacclration de R2 par rapport R1 galilen.
Dans le cas dune translation, lacclration dentranement du point
M ne dpend ni desa position par rapport R2 ni de sa vitesse par
rapport R2 et on a :
fie (M) = mae (M) = ma (R2/R1) = m
(d2O1O2dt2
)
o a (R2/R1) est lacclration de R2 dans sa translation par
rapport R1.
O
M
H
R1 z1
x1
y1
R2x2
z2y2
R2 est en rotation autour dun axe par rap-port R1
Principe : Le principe fondamental de la dyna-mique dans R2 non
galilen scrit :
(dpdt
)R2
=
f 1fie(M) 1
fic (M)
ofie(M) est la force dinertie dentranement du
point M due la rotation de R2 par rapport R1galilen et
fic (M) la force dinertie de Coriolis du
point M.
Lacclration dentranement du point Mcomporte deux termes dpendant
de la posi-tion de M dans R2. Lun dentre eux est la cause de la
clbre force dinertie centrifuge,lautre nintervient que si la
rotation de R2 par rapport R1 est non uniforme. Si
V (R2/R1)
1. MCANIQUE 17
-
dsigne le vecteur rotation (ici parallle Oz1) de R2 par rapport
R1, on a :
fie (M) = mae (M) = mV2HM
force dinertiecentrifuge (en mV2r)
mdV (R2/R1)
dt OM
o H est le projet orthogonal de M sur Oz1Lacclration de Coriolis
du point M dpend de la vitesse de M dans le rfrentielentran R2, vR2
(M)
fic (M) = 2mV (R2/R1) vR2 (M)
1.6. Thorme du moment cintique
Thorme : La drive par rapport au temps du moment cintique du
point matriel M en unpoint fixe O dun rfrentiel galilen est gale la
somme des moments en ce point des forcessubies par M : (
ds Odt
)Rgal
=
MO(f ) o
MO(
f ) =
OM f
Pour utiliser le thorme du moment cintique dans un rfrentiel non
galilen, il fautajouter la somme des moments les moments des forces
dinertie dentranement et deCoriolis, soit
OM fie (M) et OM fic (M).
1.7. Thorme de lnergie cintique
Cas dun rfrentiel galilen
O
M1
M2Rgal
Thorme : Dans un rfrentiel galilen, lavariation dnergie cintique
du point M entredeux instants t1 et t2 est gale la somme destravaux
des forces subies par M entre ces deuxinstants.
DEc = Ec2 Ec1 =
W12(f )
o
W12(f ) =
M2M1
f dOM
Siv dsigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la forcef un
instant donn est :
P (f ) =
dWdt
=f v
18
-
Il est utile de se rappeler quon peut calculer le travail en
intgrant la puissance def
entre deux instants :
W12(f ) =
t2t1
P (f )dt
Cas dun rfrentiel non galilen : il faut ajouter la somme des
travaux des forces, lestravaux des forces dinertie
dentranement.
Remarque : la force dinertie de Coriolis ne travaille pas,
puisquelle est chaqueinstant normale la vitesse du point dans le
rfrentiel entrain (sa puissance esttoujours nulle) :
P (fic (M)) =
fic (M) vR2 (M) = 0, (t)
1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle,
nergiemcanique
Forces conservatives : une force est conservative si son travail
lors du dplacement dupoint matriel M dun point A un point B ne
dpend pas du chemin suivi. En particuliersur un contour ferm
quelconque :
C
f dOM = 0, C, ferm
Il est alors facile de montrer quune force est conservative si
et seulement sil existe unefonction scalaire Ep(x, y, z), ne
dpendant que des coordonnes despace, telle que :
f (x, y, z) = gradEp(x, y, z)
On a alorsWAB(
f ) = Ep(A) Ep(B)
Lnergie potentielle Ep(x, y, z) nest pas, tant donn un champ de
forces, dfinie de
faon univoque, mais une constante additive prs. On dit que le
champ de forcesf
drive dun potentiel.Etant donn un champ de forces
f , il est donc conservatif si rot(f ) = 0
Conservation de lnergie mcanique : en appliquant le thorme de
lnergie cin-tique, dans le cas o les forces drivent toutes dun
potentiel, on montre que :
Thorme : Lnergie mcanique Em = Ec 1Ep dune particule soumise
uniquement des forcesconservatives ne dpend pas du temps :
dEmdt
= 0
Il est important de remarquer que cette proprit reste vraie si
la particule est aussisoumise des liaisons (forces de contact avec
une surface ou une courbe) conditionque celles-ci ne travaillent
pas. Cest en particulier le cas en labsence de frottements,mais
aussi lorsquon a des frottements latraux, de rsultante orthogonale
la vitesse tout instant.
1. MCANIQUE 19
-
1.9. Forces centrales
Un point matriel M est soumis une force centrale de centre O si
la droite dactionde cette force passe par O quelle que soit la
position de M. Une telle force drive dunenergie potentielle qui est
obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonalesaux
surfaces dgale nergie potentielle) de sorte quon lcrit
F = f (r)ur , o ur est le
vecteur unitaire radial des coordonnes sphriques, avec f (r) =
dEpdr
.
Proprits : Soit un point matriel M soumis uniquement une force
centrale de centre O. Onobserve les proprits suivantes :
Le moment cintique en O s O(M) du point matriel est conservatif.
Le mouvement de M seffectue donc dans un plan perpendiculaire s
O(M) et passant par O.
On le dcrira de manire pratique en coordonnes polaires.
Le mouvement de M obit la loi des aires : pendant une dure Dt
donne, le rayon vecteurOM balaie des aires gales, quelle que soit
la position de M.
Lnergie mcanique du point M dans un champ de forces centralF =
f(r)ur est conservative.
Compte tenu de la conservation du moment cintique, on peut
passer des expressionsgnrales de la vitesse et de lacclration en
coordonnes polaires (r, u) des relations nefaisant plus intervenir
le temps ; ce sont les formules de Binet. En dfinissant la
constantedes aires C par s O(M) = mC, on a C = r2, et :
v2 = C2[(
1r
)21
(ddu
(1r
))2] a = C2r2
1r 1
d2(
1r
)du2
ur
Voir exercices 1 15
2. OSCILLATEUR HARMONIQUE UNE DIMENSION.OSCILLATIONS LIBRES
2.1. Mouvement dune particule au voisinage dune
positiondquilibre stable
Une position dquilibre stable pour une particule place dans un
champ de forces drivantdune nergie potentielle se dfinit par
lexistence dune force de rappel lorsquon lcartede cette position ;
comme
F = grad(Ep), cela se traduit par un minimum de lnergie
potentielle. Dans le cas gnral multidimensionnel, ltude des
positions dquilibre et deleur stabilit peut tre difficile car les
surfaces quipotentielles peuvent avoir une topologiecomplique
(points selles,... )
20
-
2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
Lhypothse harmonique suppose que la rponse est linaire : la
force de rappel estproportionnelle au dplacement x de la particule
par rapport sa position dquilibrestable. Lnergie potentielle est
donc quadratique par rapport aux dplacements. tude dynamique : une
dimension Fx = kx, o x repre le dplacement de la parti-cule par
rapport lquilibre, est la seule force quelle subit. Le principe
fondamental dela dynamique conduit une quation diffrentielle
linaire du second ordre coefficientsconstants :
d2xdt2
1 v20x = 0
La solution gnrale peut scrire x(t) = a sin(v0t 1 f) o v20
=km
. v0 est la pulsation
propre de loscillateur ; a et f dpendent de deux conditions
initiales.Les oscillations dun oscillateur harmonique non amorti
sont isochrones : leur pul-sation ne dpend pas de lamplitude du
mouvement. Aspect nergtique : lnergie mcanique dun oscillateur
harmonique non amorti estune intgrale premire du mouvement. Em
=
12
mv2112
kx2 est constante, proportionnelle
au carr de lamplitude des oscillations et au carr de la
pulsation : Em =12
ma2v20Un oscillateur harmonique ne possde que des tats lis :
deux barrires de potentiel leconfinent dans une rgion finie de
lespace.
Thorme du viriel : Lnergie cintique et lnergie potentielle de
loscillateur harmonique sontoscillantes, de priode gale T0/2. Leurs
moyennes temporelles sont gales.
2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti parfrottement
fluide
Aspect dynamique ; mise en quation : en plus de la force de
rappel Fx = kx, laparticule est soumise une force de frottement
fluide
f = hv (h > 0). Lquation
diffrentielle du mouvement scrit :
d2xdt2
11t
dxdt
1 v20x = 0 o v20 =
km
et1t
=hm
v0 est la pulsation propre de loscillateur et t correspond
physiquement un temps derelaxation ; cest le temps caractristique
du rgime libre. Lorsquon carte le systmede lquilibre et quon le
lche, il revient sa position dquilibre et au repos aprs quelques t
.
Solutions de lquation diffrentielle ; reprsentation complexe :
lquation caract-ristique associe lquation diffrentielle est r2 1
(1/t)r 1 v20 = 0La forme des solutions de lquation diffrentielle
dpend du signe de D = 1/t2 4v20
1. MCANIQUE 21
-
Si D > 0 (2v0t < 1), soit (h > 2
mk), le rgime est apriodique : amortissement assezimportant.
Lquation caractristique a 2 racines relles ngatives distinctes r1
et r2.La solution gnrale scrit :
x(t) = a exp(r1t) 1 b exp(r2t)
La particule retourne sa position dquilibre sans effectuer
doscillations. Il est importantde remarquer que le fait que les
racines soient ngatives assure le retour lquilibre (lalimite de la
vitesse lorsque t tend vers linfini est zro). Si D < 0 (2v0t
> 1), soit (h < 2
mk), le rgime est oscillatoire : amortissement
assez faible. Lquation caractristique a deux racines complexes
distinctes c1 et c2 partierelle ngative ; la solution gnrale
complexe scrit : X (t) = a exp(c1t) 1 b exp(c2t).Llongation est
alors la partie relle (note x) de X ; il apparat naturellement dans
lecalcul la pulsation
V =
v20 1/4t2
On crit la solution :
x(t) = exp(t/2t)(a cos Vt 1 b sin Vt)La particule retourne sa
position dquilibre en effectuant des oscillations dont lampli-tude
dcrot exponentiellement, avec un temps caractristique de lordre de
2t ; bien quela fonction x(t) ne soit pas priodique, on remarque
quelle sannule des intervalles detemps gaux permettant de dfinir
une pseudo-priode T = 2p/V.La pseudo-priode des oscillations
amorties est toujours un petit peu plus leve que lapriode propre,
mais en reste trs proche dans la limite de lamortissement faible.Le
dcrment logarithmique d caractrise la rapidit de lamortissement ;
cest le rapportentre les deux temps caractristiques qui
apparaissent naturellement dans lquation diff-rentielle, savoir la
priode propre et le temps de relaxation. Lamplitude des
oscillationsdcrot dautant plus vite que d est lev.
x(t 1 T )/x(t) = exp(T/2t) et d = T/2tLe rapport des amplitudes
des oscillations espaces dune pseudo-priode est uneconstante gale
exp(d). Si D = 0 (2v0t = 1), (soit h = 2
mk), le rgime est critique : cest le rgime qui assure
la transition entre le rgime apriodique et le rgime
oscillatoire. La solution gnralescrit :
x = (at 1 b) exp(t/2t)La particule retourne sa position
dquilibre sans effectuer doscillations. Il est facilede montrer
que, pour des conditions initiales et pour v0 et t fixs, le temps
que met laparticule pour retourner lquilibre est alors minimal.
22
-
2.4. Aspect nergtique
partir de lquation diffrentielle, on multiplie chaque membre par
x, et on intgreentre t1 et t2 :
mx(t)x(t) 1 kx(t)x(t) = hx(t)2
E(t2) E(t1) = t2
t1
f v dt =
t2t1
hx(t)2dt
Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique amorti diminue au
cours du temps : lavariation dnergie mcanique du systme entre deux
instants est gale au travail de laforce de frottement entre ces
deux instants.
Voir exercices 16 17
3. OSCILLATIONS FORCES : LOSCILLATEUR HARMONIQUEENTRETENU;
RSONANCE
Loscillateur harmonique entretenu est soumis de plus une force
extrieure priodiqueet sinusodale F(t) de priode T .
3.1. Recherche du rgime permanent
une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit
une quationdiffrentielle linaire du second ordre coefficients
constants. La solution gnrale estla somme de lintgrale gnrale de
lquation sans second membre et dune intgraleparticulire de lquation
avec second membre :
x(t) 11t
x(t) 1 v20x(t) = F (t)/m
La solution gnrale de lquation sans second membre se caractrise
par le fait que salimite tend vers 0 lorsque t tend vers linfini,
quel que soit le rgime transitoire ; dansla pratique, cette
solution scrase sur un temps caractristique de quelques t.
Celasous-entend videmment, que le frottement fluide nest pas nul.F
(t) tant une excitation sinusodale, on est amen chercher une rponse
sinusodalez(t) de mme frquence. On utilise la reprsentation
complexe (x = Re(z)) :
z(t) 11t
z(t) 1 v20z(t) =(
f0/m)
eivt => z(t) = z0eivt
avec
z0 =f0m
31
(v20 v2) 1 iv/t
1. MCANIQUE 23
-
En rgime permanent, loscillateur rpond la frquence fixe par
lexcitateur. Lamplitude de la rponse est proportionnelle lamplitude
de lexcitation (rponselinaire). Lamplitude de la rponse dpend des
caractristiques intrinsques de loscillateur(v0, t) et de la
frquence v de lexcitateur . La rponse prsente en gnral un dphasage
avec lexcitation.
On peut dfinir la rponse en vitesse par z = v0 exp(ivt), o v0 =
ivz0 :
v0 =f0m
3iv
(v20 v2) 1 iv/t
3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonctionde la
frquence
Le phnomne de rsonance en amplitude Avertissement : Il importe
de remarquer que le titre est entre guillemets. On dit quily a
rsonance lorsque la puissance cde par lexcitateur loscillateur est
maximale ;cela se produit lorsque la frquence de lexcitateur est
rigoureusement gale la frquencepropre de lexcitateur. La mise en
vidence du phnomne de rsonance proprement ditncessite ltude de la
rponse en vitesse ; on ne peut donc pas en toute rigueur parler de
rsonance en amplitude .z0(v) = ( f0/m).Fa(v) conduit :
|Fa(v)| = 1(v20 v2)2 1 (v/t)2
et tan f(v) = v/tv20 v2
o f est le dphasage entre la force excitatrice F (t) et la
rponse en amplitude x(t). Laseule donne de tan f(v) ne suffit pas
dterminer la phase f(v). Pour la dterminer, onpeut remarquer que
largument de Fa(v) est ngatif.
1
Fa,max
Fa,max
2
21
Fa
>>1
12
) lamplitude de la rponse
prsente un maximum pour une pulsationexcitatrice vm lgrement
infrieure la pul-sation propre v0 de loscillateur ; la
forceexcitatrice est alors en avance de un peumoins de p/2 sur le
dplacement. On a
vm =
v20 1/2t2
Rponse basse frquence : dans la limite des basses frquences, la
force excitatriceest pratiquement en phase avec le dplacement.
24
-
Rponse haute frquence : dans la limite des hautes frquences, la
rponse tend vers 0comme 1/v2 (loscillateur n a pas le temps de
rpondre cause de son inertie). La forceest pratiquement en
opposition de phase avec le dplacement.
Acuit de la rsonance en amplitude : dans la limite dun
amortissement nettementfaible (v0t 1) vm est trs voisin de v0 et
lacuit de la rsonance en amplitude estcaractrise par une largeur de
bande passante telle que :
Dva = 1/t
La rsonance en amplitude, lorsquelle existe est dautant plus
troite que lamortisse-ment est faible. Il en va de mme pour la
rsonance dfinie par la vitesse la diffrencequelle nexiste pas
toujours.
Principe de causalit : les effets ne peuvent prcder les causes.
Cela se manifeste ici parle fait que la rponse en amplitude est
toujours en retard de phase sur la force excitatrice.
3.3. Aspect nergtique
Bilan instantan : lnergie cintique et lnergie potentielle sont
des fonctions prio-diques, de priode T/2 dont lamplitude dpend du
module de la fonction de rponse.Lnergie mcanique est en gnral
dpendante du temps.Ce nest que dans le cas o la frquence de
lexcitateur est gale la frquence proprede loscillateur que la
puissance instantane quil lui fournit est gale la
puissanceinstantane dissipe par lamortissement. Puissance moyenne
absorbe : rsonance. La puissance moyenne absorbe est lagrandeur
moyenne effectivement accessible la mesure.
PT (v) = 1T T
0p(t)dt =
f 20 t2m
1(v20 v2
v/t
)21 1
La puissance moyenne absorbe par loscillateur a un profil
frquentiel Lorentzien. Elleest maximale lorsque la frquence de
lexcitateur est gale (rigoureusement) la frquencepropre de
loscillateur ; la bande passante en puissance (largeur totale
mi-hauteur dePT (v)) est telle que :
DvP 3 t = 1
Le facteur de qualit Q ne dpend que des caractristiques de
loscillateur et rend comptede lacuit de la rsonance :
Q =v0
DvP v0t
Voir exercices 16 17
1. MCANIQUE 25
-
4. MCANIQUE DES SYSTMES
Les dfinitions et thormes tels quils sont noncs ici sont
valables aussi bien pour dessolides indformables que pour des
systmes dformables.
4.1. Prliminaire
Au sens classique, un systme S peut tre dfini comme un ensemble
de points matrielsMi, chacun tant affect dune masse mi. Le passage
des distributions continues de massesimpose souvent lorsque lon
calcule les grandeurs mcaniques (moments dinertie oupositions de
centres de gravit,...). Il est cependant plus pratique de retenir
les dfinitionssous forme discrte et facile de retrouver rapidement
tous les thormes de la mcaniquedes systmes en utilisant des sommes
discrtes plutt que des intgrales.Le passage du discret au continu
pour une grandeur mcanique A seffectue en rempla-ant :
i
A(Mi)mi par
A(M)dm.
4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique
Le centre dinertie G du systme matriel S, de masse totale m est
dfini par :
OG =
MiS
miOMi
m
ce qui peut scrireOG =
S
OMdmm
dans le cas dune distribution continue.
La position de G ne dpend pas du choix de O. Si la distribution
de masse du systme prsente des symtries (plans, axes), G est
lintersection de ses lments de symtrie. Pour dterminer les lments
de symtrie deS, lexamen de la forme gomtrique ne suffit pas. Il
faut penser lhomognit de ladistribution de masse.Le rfrentiel
barycentrique (Rba) associ R a son origine en G et est en
translation(gnralement non rectiligne) par rapport R ; les axes du
repre barycentrique sont tout instant parallles aux axes de R.
R
O GG
Rba
Rba
Instant t1 Instant t2
26
-
4.3. Quantit de mouvement
Dfinition : La quantit de mouvement du systme S dans le
rfrentiel R est :
p (S/R) =MiS
miv (Mi/R)
Cette dfinition nest gnralement pas utilisable directement pour
calculer des quantitsde mouvement dans un problme de mcanique. Il
est donc crucial de se rappeler quildcoule de la dfinition de G la
relation trs utile :
p (S/R) = Mv (G/R)
La dfinition mme de Rba implique que la quantit de mouvement dun
systme estnulle tout instant dans le rfrentiel barycentrique (p
(S/Rba) = 0 ) ; cette propritest utile pour traiter des problmes de
chocs. Principe de linertie : diffrents noncs peuvent en tre donns.
ce titre-l, il estintressant de se reporter louvrage dIsaac Newton
De philosophiae naturalis principiamathematica paru en 1687.
Principe : Dans un rfrentiel galilen, la quantit de mouvement
dun systme isol estconstante.
Il importe de bien avoir prsent lesprit que cela signifie que G
est soit au repos, soit enmouvement rectiligne et uniforme, et que
le systme peut se dformer et tourner autourde G Thorme du centre
dinertie (ou rsultante cintique)Thorme : Le mouvement du centre
dinertie dun systme est le mme que celui dun pointmatriel dont la
masse totale serait celle du systme et auquel seraient appliques
toutes les forcesextrieures. (
dp (S/Rgal)dt
)Rgal
=
Fext
Dans le cas o R nest pas galilen, il faut ajouter la somme des
forces extrieures, lesforces dinertie dentranement et de Coriolis
(il faut en gnral intgrer sur la totalitdu systme pour les
calculer).
4.4. Moment cintique
Dfinition : Le moment cintique en un point quelconque A, du
systme S par rapport R est :
sA(S/R) =MiS
AMi miv (Mi/R)
1. MCANIQUE 27
-
Le moment cintique dpend du point o on le calcule et se
transforme comme untorseur :
sA(S/R) = s B(S/R) 1AB p (S/R)
Thorme du moment cintique : il nest applicable sous sa forme
simple quen unpoint fixe dun rfrentiel galilen ou au centre
dinertie. Point fixe O de Rgal : On a souvent intrt lutiliser sous
cette forme si O appartient S.
Thorme : La drive galilenne par rapport au temps du moment
cintique dun systme enun point fixe O dun rfrentiel galilen est
gale la somme des moments en ce point des forcesextrieures
appliques. (
ds O(S/Rgal)dt
)Rgal
=
MO(Fext)
Au centre dinertie G : puisque Rba est en translation par
rapport R, le momentcintique en G est le mme dans R et dans
Rba.(
ds G(S)dt
)=
MG(Fext)
uRgal
A
G
Forme scalaire : le thorme du momentcintique peut se rduire une
relation sca-laire dans le cas o le mouvement se fait parrapport un
axe fixe D, ou un axe dont ladirection reste fixe. Le vecteur
unitaire udfinissant la direction de cet axe :
sD(S/Rgal) = sA(S/Rgal) uet lapplication du thorme du moment
cintique en A se ramne :(
dsD(S/Rgal)dt
)Rgal
=
MD(Fext)
sD = sA u et MD(F ) = MA(F ) u dfinissent respectivement le
moment cintiqueet le moment scalaire des forces par rapport laxe
D.
4.5. nergie cintique. Conservation de lnergie
Dfinition : Lnergie cintique du systme S par rapport R est :
Ec(S/R) =MiS
12miv
2(Mi/R)
28
-
Thorme : La variation dnergie cintique du systme S (dans Rgal)
entre deux instants t1 ett2 est gale la somme des travaux de toutes
les forces intrieures et extrieures appliques ausystme entre ces
deux instants.
EC2(S/Rgal) EC1(S/Rgal) =
Wt1t2(F )
Remarque : si R nest pas galilen, il faut ajouter le travail des
forces dinertie dentra-nement.
Conservation de lnergie : Lnergie totale dun systme S de points
matriels se conserve siles forces intrieures et extrieures quil
subit drivent toutes dune nergie potentielle ; chaquepoint matriel
tant repr par ri , cette nergie scrit :
E = EC 1 Eextp({ri })1 Eintp ({ri }) .
Il importe de remarquer quen toute gnralit, cette expression de
lnergie prend encompte les interactions microscopiques, donc
lnergie interne du systme.
4.6. Thormes de Koenig
Ces thormes permettent de calculer le moment cintique en un
point quelconque parrapport R en fonction du moment cintique en G
et lnergie cintique dans R enfonction de lnergie cintique dans
Rba
sA(S/R) = s G(S) 1AG mvG(R)Ec(S/R) = Ec(S/Rba) 1
12
mvG2(R)
4.7. Rduction canonique du problme deux corps
On dsigne par S un systme de deux point matriels M1 et M2 de
masses m1 etm2 en interaction. Lnergie potentielle qui dcrit cette
interaction est invariante partranslation de lensemble (donc elle
dpend de la seule diffrence de leurs positionsr = r1 r2 = M2M1) et
par rotation de lensemble (donc elle dpend de la seulenorme de r ).
Le systme est suppos isol par rapport un rfrentiel galilen
Rgal.Proprits : Dans le rfrentiel barycentrique Rba, le mouvement
de chaque point matriel estun mouvement force centrale (de centre
G). Les deux quations traduisant la relation fondamentale de la
dynamique se ramnent
md2rdt2
= dEp(r)dr
ur, o m = m1m2m1 1 m2 est la masse rduite du systme etur =
rr
. On dit que
le mouvement se ramne ltude du mouvement force centrale dune
particule dite fictive ,de masse m. Le moment cintique de S en G
est s G(S) = mr r Lnergie cintique de S dans Rba est EC(S/Rba)
=
12
mr 2
Voir exercices 18 26
1. MCANIQUE 29
-
5. MCANIQUE DU SOLIDE INDFORMABLE
Tous les thormes et dfinitions de la mcanique des systmes
restent valables. De plus,le caractre indformable du systme
implique les proprits suivantes :
La somme des forces intrieures est nulle ;
La somme des travaux des forces intrieures est nulle.
5.1. lments de cinmatique du solide
Classiquement, le solide indformable est un ensemble de points
matriels {Mi} telsque :
(i, j),MiMj = Cte.
A
B
VA VB
Il est alors facile de montrer que le champ desvitesses dun
solide est quiprojectif (antisy-mtrique), cest--dire que :
(A, B) Solide,AB VA = AB VBIl sensuit que t, v , (indpendant
despoints du solide considr) tel que :
VA =
VB 1
AB v
v est le vecteur rotation instantane dusolide linstant t.
M
H
O
V (M)
Le champ des acclrations nest pas anti-symtrique. Si le solide
est en translation, v = 0 ,t Si le solide est rotation autour dun
axe fixe,il ny a pas de translation par rapport laxe etle vecteur
rotation instantan conserve unedirection fixe, de vecteur unitaire
uD. On av =
(dudt
)uD o langle u repre la rota-
tion autour de laxe D ; un point M du solide aune trajectoire
circulaire, daxe D et sa vitesseestV (M) = v OM.
Lacclration de M scrit par consquent :
a (M) = v2MH 1 dvdt
OM
30
-
Le premier terme nest autre que lacclration centripte. Il est
utile de se rappeler quecest partir de cette expression que lon
crit lacclration dentranement dun pointlors dun changement de
rfrentiel.
5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie
G
R
O
M
OMxyz
Un point M est repr par ses coordonnescartsiennes :
OM
x
y
z
.
V (S/R) tant le vecteur rotation instantan du solide S, il est
facile de montrer que lemoment cintique s O(S/R) peut scrire :
s O(S/R) = J (O/S) V (S/R)Loprateur dinertie en O du solide S
est :
J (O, S) =
Jxx(O) Jxy(O) Jxz(O)Jxy(O) Jyy(O) Jyz(O)Jxz(O) Jyz(O) Jzz(O)
o Jxx(O), Jyy(O), Jzz(O) sont les moments dinertie par rapport
aux axes xx, yy, zz pas-sant par O. Les autres termes sont les
produits dinertie (on peut les interprter commedes moments dinertie
par rapport des plans). dm tant la masse de llment de
matireinfinitsimal entourant M, les termes de la matrice sont
dfinis par :
Jxx(O) =
S(y2 1 z2)dm
Jxy(O) =
Sxydm
Il importe de remarquer que lexpression de J (O, S) dpend de la
base dans laquelle lesmoments et produits dinertie sont calculs.
Les trois directions associes la base danslaquelle J (O, S) est
diagonale dfinissent les axes principaux dinertie en O du solide
S.On montre que lnergie cintique est :
Ec(S/R) =12s O(S/R) V (S/R)
Du point de vue des dimensions : Le moment cintique est homogne
: (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire) Lnergie cintique est
homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire)2
Les relations telles quelles sont crites ci-dessus permettent de
traiter le mouvement dunsolide autour dun point fixe.
1. MCANIQUE 31
-
5.3. Solide en rotation autour dun axe fixe
RO
M
axe fixe
H
Il ne faut jamais traiter un problme de rota-tion autour dun axe
fixe en utilisant larsenaldu paragraphe prcdent. En effet, il
suffit deprojeter les relations sur laxe, et le problmescrit
totalement en termes scalaires. Moment cintique scalaire par
rapport laxe D :
sD(S) = s OD(S/R) u
avec v =dudt
vitesse angulaire autour de laxe
D et JD moment dinertie du solide par rapport laxe D :
JD =
Sr2dm = u J (O, S) u
Le moment cintique du solide dans sa rotation autour de laxe est
:
sD(S) = JD v
Lnergie cintique du solide dans sa rotation autour de D scrit
:
Ec(S) =12
JDv2
Le thorme du moment cintique peut scrire au point fixe O et se
projeter sur laxe.Il vient :
dsD(S)dt
=
MD(Fext)
quil est plus pratique dutiliser sous la forme :
JDd 2udt2
=
MD(Fext)
o la somme des moments est algbrique.Dans ces conditions, le
moment de la force par rapport laxe est scalaire. Si la directionde
cette force est perpendicul