03-17103

8/17/2019 03-17103

1/32

с.и. ИЛЬИН

Олимпиадные задачи по физике

Рекомендовано

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к практическим занятиям

для студентов институтов

ИУИТ, ИСУТЭ, ИТТОП* ИПСС

МОСКВА - 2008

8/17/2019 03-17103

2/32

УДК 53(076)

И-46

Ильин С.И. Олимпиадные задачи по физике: Методические

указания к практическим занятиям. - М.: МИИТ, 2008. - 32 с.

Представлены задачи, предложенные студентам МИИТа на олим

пиадах по физике в последние годы, а также ряд задач московских студенче

ских олимпиад по физике. Ко всем задачам даны ответы, а также указания к

решению или решения.

Материал разбит на разделы: механика, термодинамика, электро

магнетизм и оптика.

Для студентов 1-3 курсов, углублённо изучающих физику.

Научный редактор: доцент Селезнёв В. А.

О Московский государственный университет

путей сообщения (МИИТ), 2008

8/17/2019 03-17103

3/32

Предисловие

Студенческие олимпиады по фундаментальным дисциплинам

(математике, физике, теоретической механике и т.д.) являются важ

ным элементом подготовки студентов технических вузов и одной из

форм их самостоятельной работы. Они развивают творческие способ

ности студентов, умение быстро ориентироваться в нестандартных

условиях и самостоятельно принимать решения. На кафедре «Физика-

2» МИИТа студенческая олимпиада по физике проводится ежегодно

и является одним из направлений работы со студентами.

Олимпиада по физике проводится в конце марта - в начале

апреля среди студентов 1 и 2 курсов всех специальностей. О дне проведения олимпиады студентам заранее сообщается как в лекционных

потоках, так и через объявления, вывешиваемые во всех корпусах

университета и у всех дирекций институтов. 13 последние годы на

олимпиадах участвует около 50 студентов. Участникам обычно пред

лагается шесть задач из разных разделов физики, каждая из которых

оценивается на определенное количество баллов. На решение задач

отводится 4 часа, причем разрешается пользоваться любой литературой.

По результатам проверки работ жюри определяет 3 - 5 побе

дителей и 10 - 15 студентов, успешно выступивших на олимпиаде. По

решению жюри победители представляются к поощрению в дирекци

ях институтов, а информация об успешно выступивших студентах

доводится до преподавателей, ведущих у них занятия по физике. Ито

ги олимпиады и решение жюри вывешиваются на доске объявленийкафедры.

По итогам внутривузовской олимпиады (1 тур Всероссийской

студенческой олимпиады по физике) победители и успешно высту

пившие студенты считаются кандидатами в команду МИИТа для уча

стия в городской олимпиаде по физике среди студентов технических

вузов г. Москвы (2 тур Всероссийской олимпиады), которая обычно

проводится в конце мая в одном из московских технических вузов (в

последние годы - в М ГТУ им. Баумана). С кандидатами в команду в

рамках физического кружка студентов преподавателями кафедры в

течение двух месяцев (апрель - май) проводятся консультации и до

полнительные занятия по подготовке к городской олимпиаде. На этих

3

8/17/2019 03-17103

4/32

занятиях более углубленно изучаются некоторые разделы физики,

рассматриваются методы решения сложных задач, разбираются зада

чи, предложенные на прошлых городских олимпиадах. В команду

МИИТа (10 человек) включаются победители внутривузовской олим

пиады и активно готовившиеся студенты из числа кандидатов.

В последние годы команда МИИТа достаточно успешно вы

ступает во втором (городском) туре олимпиады и получает пригла

шения в третий (Всероссийский) тур олимпиады. Например, в 2004

году команда МИИТа во Всероссийской олимпиаде поделила 3-е ме

сто командами Российского государственного университета нефти и

газа им. Губкина и Вятского государственного университета, а в личном зачете студент группы УПП-312 Кожанов Е.М. занял первое ме

сто во втором туре и пятое месте в третьем туре.

Участие в олимпиадах, в особенности в городских и Всерос

сийских, для студентов является важным событием и представляет

большой интерес. Успешное выступление команды вызывает гор

дость за свой институт, повышает интерес к МИИТу среди других

технических вузов г. Москвы и России.

В данном издании в основном представлены задачи, предло

женные студентам МИИТа на олимпиадах по физике за последние

годы. Эти задачи в большинстве являются оригинальными и состав

лены автором сборника. Некоторые задачи взяты из известных сбор

ников задач (см. список литературы). В сборнике так же приведены

задачи Московских олимпиад по физике (1.4, 1.10, 1.16, 2.2., 2.3, 3.1,

3.6, 3.9, 4.6, 4.7, 4.8). Ко всем задачам даны ответы, а также решения

или указания к решению.

4

8/17/2019 03-17103

5/32

1. Механика

1.1. К перекрестку двух прямолинейных дорог, пересекаю

щихся под углом 90°, приближаются два автомобиля, скорости кото

рых равны 80 км/ч и 60 км/ч. Каким будет наименьшее расстояние

между автомобилями, если в начальный момент они находятся соот

ветственно на расстояниях 12 км и 10 км от перекрестка?

1.2. Тело массой т бросили горизонтально с высоты h с на

чальной скоростью Uo- На тело действует направленная горизонталь

но против начальной скорости постоянная сила F ( f < m o 0j g T 2 h ) .

Определить радиус кривизны траектории тела в точке падения на

Землю.1.3. Определить гравитационную силу, действующую на ма

териальную точку массы т0 со стороны тонкого однородного диска

массы М и радиуса R. Точка расположена на расстоянии а от центра

диска на прямой, перпендикулярной плоскости диска и проходящей

через его центр.

1.4. Космический корабль движется по круговой орбите во

круг Земли. На корабле включен двигатель, вектор реактивной силыкоторого всегда перпендикулярен и вектору скорости корабля, и век

тору гравитационной силы. Модуль вектора реактивной силы всегда

равен модулю вектора силы гравитации. Требуется определить, во

сколько раз изменился период обращения корабля.

1.5. Определить момент инерции однородного куба относи

тельно оси, проходящей по ребру куба (масса куба равна т, длина

ребра - а.) 1.6. Диск радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой ско

рости со0 и положили плашмя на горизонтальную поверхность. Опре

делить время вращения диска до полной остановки, полагая коэффи

циент трения между поверхностью и диском равным ц. Сколько обо

ротов при этом сделает диск?

1.7. На доске на расстоянии I от ее правого конца находится

сплошной цилиндр с радиусом г и массой т. Доску начинают двигать с ускорением ао влево. С какой скоростью относительно доски будут дви

гаться цилиндр в тот момент, когда он будет находиться над краем доски?

Движение цилиндра относительно доски происходит без скольжения.

5

8/17/2019 03-17103

6/32

1.8. С наклонной плоскости, составляющей с горизонто

а, скатывается шар. Определить время скатывания шара. Дчина на

клонной плоскости равна /.

1.9 Однородный цилиндр массой т и радиусом R скатывается

без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом.

Найти: а) значения коэффициента трения ц, при которых

скольжения не будет; б) кинетическую энергию Ек цилиндра через t

секунд после начала движения.

1.10. По наклонной плоскости с углом наклона а скатывают

ся, касаясь друг друга, два цилиндра одинакового радиуса и одинако

вой массы. Один из цилиндров сплошной, а другой - пустотелый. Скаким ускорением будет двигаться эта система, если известно, что

цилиндры постоянно касаются друг друга, а коэффициент трения ме

жду ними равен ц? Считать, что проскальзывание между цилиндрами

и наклонной плоскостью отсутствует.

1.11. Однородный стержень АВ массой 6т и длиной / -- 1 м

может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей

через точку А. В положении равновесия в точку В стержня попадает изастревает пуля массой т, летящая под углом а = 30° к горизонту.

Определить минимальную скорость пули, при которой стержень со

вершит полный оборот.

1.12. Однородная тонкая квадратная пластинка массой М мо

жет свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, сов

падающей с одной из ее сторон. В центр пластинки по нормали к ней

упруго ударяется шарик массой т (М - 3т), летевший со скоростьюио = 10 м/с. Определить скорость и шарика после удара.

1.13. Обруч массы т висит на гвозде, вбитом в стену, и со

вершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. На ниж

нюю точку обруча села маленькая птичка массой т0. Как изменился

период колебаний обруча?

1.14. Физический маятник представляет собой систему из од

нородного стержня длиной / и маленького шарика, закреплённого настержне. Ось маятника расположена на конце стержня перпендику

лярно ему. На каком расстоянии от оси надо закрепить шарик, чтобы

период колебаний был минимальным? Массы стержня и шарика рав-

6

8/17/2019 03-17103

7/32

1.15. Сплошной однородный ци

линдр массы т совершает малые колеба

ния под действием двух одинаковых пру

жин с жесткостью к. Найти период этих /7/

колебаний в отсутствие скольжения.Рис. к 1.15

1.16. Два тела могут перемещаться без трения по направляю

щим. Первое тело массой М перемещается по горизонтальной на

правляющей, второе тело массы т по вертикальной и находится ниже

первого. Тела связаны невесомым стержнем длиной 1. Определить

период малых колебаний этой системы.

2. Термодинамика

2.1. Площадь окна с двойными стеклами равна S = 2м , рас

стояние между стеклами равно / = 1 0 см, а температура стекол: /] =

-10°С, ?2 = 20°С. Определить полное число молекул воздуха между

стеклами, если температура от стекла к стеклу меняется линейно, а

давление атмосферное (р0 = 105Па).

2.2. В длинной теплоизолированной трубке находится одно

атомный газ, заключенный между двумя невесомыми поршнями, рас

стояние между которыми постоянно. Давление газа равно р, темпера

тура Т и плотность р. В начальный момент времени поршни начина

ют двигаться со скоростью Оо в одном направлении. Определить, на

сколько изменится температура газа после остановки поршней.

2.3. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен те

плоизолирующим поршнем на две равные части. Давление газа в ле

вой половине сосуда равно р, а в правой 2 р, а температура одинакова.

Систему предоставили самой себе. Определить конечное давление в

обоих частях сосуда после завершения переходных процессов, если

поршень перемещается внутри сосуда без трения.

7

8/17/2019 03-17103

8/32

2.4. При нагревании в определен

ных условиях двухатомный идеальный

газ совершает процесс 1-2, когда давле

ние пропорционально квадрату объема (р = aV2). Какая часть полученной газом

теплоты идет на увеличение внутренней

энергии газа?

-►v

Рис. к 2.4

2.5. Одноатомный идеачьный

газ совершает цикл 1-2-3, показанныйна рисунке. Определить КПД тепловой

машины, работающей по данному

циклу (для процесса 3-1 - температура

пропорциональна квадрату объема).

2.6. Найти КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоя

щему из двух адиабат и двух изобар

(см. рисунок). Рабочее тело - двух

атомный идеальный газ. Считать, что

'

8/17/2019 03-17103

9/32

2.8. Какие значения может при

нимать КПД тепловой машины, рабо

тающей по циклу 1-2-3-4-Г? Рабочее тело

- одноатомный идеальный газ. .1- 4

►

V

Рис. к 2.8

2.9. Определить изменение эн

тропии одного моля двухатомного газа

для процесса, изображенного на рисунке.

О V

Рис. к 2.93. Электромагнетизм

3.1. Два точечных заряда Q и - Q находятся на расстоянии 3/

друг от друга. Посередине между ними помещено тело, состоящее из

двух металлических шариков радиусами г « 1 , соединенных очень

тонким металлическим стержнем, совпадающим с линией, соеди

няющей заряды. На сколько изменится сила, действующая на заряды,если длина стержня равна /?

3.2. Три маленьких заряженных тела связаны с тремя одина

ковыми непроводящими нитями так, что они образуют равносторон

ний треугольник со стороной /. Одну из нитей пережигают. Найти

максимальные скорости тел. Массы тел равны т, заряды q. Гравита

ционные силы не учитывать.

3.3. Два одинаковых проводящих шарика с положительными

зарядами q\ и q2 и движутся навстречу друг другу с одинаковыми по

величине скоростями, которые в начальный момент времени равны

Uq. Когда шарики сблизились на наименьшее расстояние, их на ко-

9

8/17/2019 03-17103

10/32

роткое время соединили гонкой проволокой. Во сколько раз по срав

нению с ио изменится скорость шариков и, когда расстояние между

ними вновь станет равным первоначальному?

3.4. Заряд q равномерно распределен по объему шара радиуса

R. Найти потенциал ф0 в центре шара. Диэлектрическая проницаемость внутри и вне шара равна единице.

3.5. Проводящий диск радиуса R равномерно вращается с час

тотой v вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно

его плоскости. Определить разность потенциалов, возникающую ме

жду центром диска и точкой на ободе.

3.6. Непроводящая сфера радиусом

R заряжена с поверхностной плотностью д

заряда ст и разделена на одинаковые четы

ре доли. Если одну долю удалить, то по

тенциал точки А равен (р0- Определить ра

боту, которую надо совершить над зарядом

q, чтобы перенести его из точки А в точку

В.

Рис. к 3.6

3.7. Два точечных заряда по q закреплены на горизонтальной

поверхности на расстоянии 2а друг от друга. По непроводящей нити,

натянутой между зарядами, может без трения двигаться бусинка мас

сой т и зарядом q. Найти период малых колебаний бусинки около

положения равновесия.

3.8. По оси горизонтально расположенного равномерно заря

женного тонкостенного цилиндра натянута непроводящая нить, по

которой может без трения перемещаться заряженная бусинка массой

т. Определить период малых колебаний бусинки. Радиус цилиндра R,

длина /, заряд Q. Заряд бусинки равен -q.

3.9. Частица массой т и зарядом q движется в среде в попе

речном магнитном поле с индукцией В с начальной скоростью и0.

Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости частицы.

10

8/17/2019 03-17103

11/32

Определить величину и направление вектора перемещения от на

чального момента до конечной точки траектории, если в начальный

момент сила сопротивления много меньше силы Лоренца.

3.10. Тонкий непроводящий диск радиуса Л заряжен зарядом q

и вращается с частотой v вокруг оси, проходящей через центр пер

пендикулярно плоскости диска. Поверхностная плотность заряда воз

растает по линейному закону, начиная с нуля, при удалении от оси

вращения. Найти индукцию магнитного поля вблизи центра диска.

3.11. Сфера радиусом R заряжена равномерно распределенным

поверхностным зарядом плотности а. Сфера вращается вокруг своей оси

с частотой V. Найти индукцию магнитного поля в центре сферы.

3.12. Тонкий металлический стержень длины / вращается с

частотой п в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендику

лярной к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстоянии

1\ (/к 112). Вектор В расположен под углом а к оси вращения. Найти

разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.

4. Оптика

4.1. Точечный источник света с А. = 0,65 мкм помещен на рас

стоянии а = 1,8 м перед непрозрачной преградой с отверстием радиу

сом г = 2 мм. При каких значениях расстояний Ъ от преграды до точ

ки наблюдения получается минимально возможное целое число от

крытых зон Френеля?

4.2. На диафрагму с круглым отверстием нормально падает

параллельный пучок света с длиной волны А. = 500 нм. На экране, на

ходящемся на расстоянии b = 15 см от диафрагмы, наблюдается ди

фракционная картина. Сколько раз в центре дифракционной картины

будет появляться темное пятно по мере удаления экрана на очень

большое расстояние? Диаметр отверстия d = 2 мм.

4.3. Диск из стекла с показателем преломления п для длины

волны X закрывает первую зону Френеля для точки наблюдения А.

11

8/17/2019 03-17103

12/32

При какой минимальной толщине диска h освещенность в точке А

будет наибольшей?

4.4. На пути монохроматической сферической световой волны

с длиной л установлена прозрачная стеклянная пластинка, закрывающая третью зону Френеля для точки наблюдения Р. Толщина пла

стинки h - )J4(n - 1), где п - показатель преломления стекла. Во

сколько раз изменится интенсивность света в точке Р по сравнению с

тем случаем, когда такая пластинка отсутствует?

4.5. Фазовая пластинка, выполненная из стекла с показателем

преломления л, перекрывает третью зону Френеля. Толщина пластин

ки меняется при увеличении радиуса зоны от А1{п - 1) до У2(п - 1).

Определить интенсивность света в точке наблюдения, если интенсив

ность падающей плоской световой волны равна /0.

4.6. Фазовая пластинка, выполненная из стекла с показателем

преломления п, перекрывает 10 зон Френеля с 10-й по 19-ю. Толщина

пластинки в пределах каждой четной зоны меняется при увеличении

радиуса от АУ2(я - 1) до AJ(n - 1). В пределах каждой нечетной зоны,наоборот, от )J(n - 1) до )J2(n - 1). Определить интенсивность света в

точке наблюдения, если интенсивность падающей плоской световой

волны равна /п.

4.7. Плоская световая волна интенсивности /0 падает на круг

лое отверстие, в котором помещается 5 зон Френеля для точки на

блюдения, отстоящей от отверстия на расстоянии L. Какова интенсивность в точке наблюдения, если отверстие закрыто зонной пла

стинкой, в которой зачернены нечетные зоны, полученные для точки

наблюдения, удаленной от отверстия на 1,5/,?

4.8. На пути плоской световой волны находится круглое от

верстие, в котором помещается лишь небольшая часть первой зоны

Френеля для точки наблюдения Р, интенсивность света в которой

равна /о. В отверстие поместили специальную линзу, при прохожде

нии света через которую волновой фронт становится коническим.

Определить интенсивность света в точке наблюдения Р, если в при

сутствии линзы в отверстии помещается 5 зон Френеля.

12

8/17/2019 03-17103

13/32

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

1. Механика

1.1. Ответ: 0,8 км.

Решение: Переходим в систему отсчета, связанную со вторым телом Тогда первое тело движется по прямой AD, проходящей по

вектору о и ( и,2 = д/ц2 + о\ = 100 км/ч - скорость первого тела от

носительно второго). Наименьшее расстояние между автомобилями

соответствует отрезку ВС. Из рисунка находим:

А О _ Ц

OD ~ и ,

и 60O D = A O ^ = \ 2 — = 9 км; DB = OB-OD

о, 80

км,

= ~ ~ , ВС = DB- — = 1 = 0,8 км.О, ВС о,12 100

Рис. к 1.1

1.2. Ответ: R =

+ 2 gh

»о 8

Указание: Радиус кривизны траектории R = , где

g - o x + ax - v ап = ----------------- - . Для расчета о х и о учтем горизонтальное ус-

V

корение ах = F/m .

13

8/17/2019 03-17103

14/32

1.3. Ответ: F = G R 2

r

1

I R 2 + a 2 V л -i- a у

Указание: Элементарную массу dm возьмем виде кольца ра-

М_

лЯ2 диусом г шириной dr. dm = ----- •2л rdr. Тогда сила взаимодействия

m0dm между т0 и dm равна d r = О • — ----- г- •cos а , где

[ г 2 + а2)

К 2 2 V2 „ _ , m0Ma2rdr cos a = a/[r + а J . Таким образом, d r = G --------- . Ин-

R2( r 2+ a 2f тегрируя по г от 0 до R находим искомую силу.

1.4. Ответ: Т ~ Т 0/ 42 .

Решение: Так как вектор реактивной силы перпендикулярен

вектору скорости корабля, величина скорости корабля остается неиз

менной и корабль остается на том же расстоянии от Земли (согласно

закону сохранения энергии). Согласно рисунку, радиус новой орбиты

R = Я0/\2 . Следовательно, Т = .v uv'2 v2

F t

Рис. к 1.4

1.5. Ответ: J = -- т а ' .3

Решение: Посчитаем момент инерции куба J0 относительно

оси, проходящей через центр куба 0 перпендикулярно его грани

14

8/17/2019 03-17103

15/32

т ( (dm - —j ■adx - масса квадратной пластины малой толщины dx, от-

а

ступающей на расстояние х от центра 0):а/2 / , ̂ а/2

=J Idm—я2+dm'x2I=J f -а/2 ̂ ' -а/2Согласно теоремы Штейнера

2+ я2

J = J 0 + т 2 2

= — /иа .3

т 1 2■а ■dx = —т •а ■

а 2 6

Рис. к 1.5

Зо>0Л . . 3cy02i?1.6. Ответ: t = — ^— , N = 0

4/yg ' 16//̂ g-

Решение: Посчитаем момент сил трения М, действующих на

диск. Для тонкого кольца радиуса г шириной dr dM =

т2лг ■dr /и ■dmgr = ц ------— -----gr

П К

У ш . . г Ыг.R 2

M = \ d M = ̂ - \ r ‘ d r = ^ I R , 3R

= — •/umgR . 3R 2 3о 0

Из основного закона динамики вращательного движения уг

ловое ускорение диска /? = — = ~ /umgRI — m R2 — щ время доJ 3 2 3i?

0 Л

2л" 27г 2 1блда

1.7. Ответ: с> = — л/3а01.

15

8/17/2019 03-17103

16/32

Решение: Второй закон Ньютона для центра масс цилиндра

относительно неинерциалъной системы отсчета, связанной с доской,

имеет вид: maQ- Fmp = т а , где а - ускорение центра масс цилиндра

относительно доски. Для вращательного движения цилиндра:

F„,„ ■R - — m R 2 •■— . Из двух уравнений, исключая Fw, полу-2 R

тр

чаем, что а - — а0. Используя уравнение кинематики 2 al = v ' , рас

считаем искомую скорость.

( д ^ F\п та оF.

Рис. к: 1.7

1.8. Ответ: t = I 14/

\ Sgs ina

Решение: Дня вращательного движения относительно мгно

венной оси основное уравнение динамики вращательного движения

имеет вид:

2 @ 5

mgR sin а = (—mR + mR 2 ) —■, т.е. a - g sin a .5 R 7

at2 Из уравнения кинематики / = находим искомое время

движения.

16

8/17/2019 03-17103

17/32

Рис. к 1.8

! .9. Ответ: а ) р, > б) Е к = - m g 2t 2 sin" а .

Решение: По аналогии решением задачи 18 находим ускоре

ние центра масс при движении цилиндра: а = -^gsina . Скольжения

не будет, если ускорение поступательного движения

2 .ап = g(sin а - /и cos а ) < а = — g s m a . Отсюда следует, что

/и > ~ *̂8а ■Кинетическую энергию Е к цилиндра находим как сумму

т о 2

энергии поступательного движения ———, где и = a t , и вращатель-

Jco2 1 2ного движения относительно центра масс ----- , где J = —тК ,

о со = — .

R

4я sin а 1.10. Ответ: а — ----------- .

№ + 7

17

8/17/2019 03-17103

18/32

Решение: Нижний цилиндр пустотелый, т.к. если бы внизу на

ходился сплошной, то он укатился бы вниз без пустотелого (момент

инерции сплошного цилиндра меньше, а значит, скорость, приобретае

мая центром масс за одинаковые приращения кинетической энергии

каждого из цилиндров, у сплошного больше). На рисунке укажем силы, действующие на цилиндры: mg - сила тяжести, F, и F2 - силы трения

цилиндров с наклонной плоскостью, N { и N-, - силы реакции опоры,

N - сила взаимодействия между цилиндрами, Т = juN - сила трения

между цилиндрами. Запишем уравнение динамики вращательного

движения пустотелого и сплошного цилиндров относительно мгновен

ных осей (точки касания цилиндров с наклонной плоскостью).2 2 а

Для пустотелого: mgR sin a - T R + NR = (mR + mR ) — ,R

] 2 t Cl для сплошного: mgR sin a - T R - NR = (—mR~ + mR ) —-. Так как

2 R

T = ju N , уравнения примут вид:

mgR sin a + NR(\ - /./) = 2mRa ;

g sin a - а Л~2

Из полученного выражения выразим ускорение а .

N2

8/17/2019 03-17103

19/32

AJbgl ~елА/ 1.11. Ответ: о = ---------~ 25 м/ .

cosа ' с

Указание: Записать закон сохранения момента импульса для

системы пуля и стержень m u lcos a = ( —6m l2+ ml )о ) и закон со

хранения энергии

О

а С у '

У*( - 6nil2 + m l2) (0/, ~ 6mgl + m g 2 l .

3 ' ^

Зт- A M 3 м /1.12. Ответ: и = о,,------------= — оп = -6 м/ .

Зт + A M 5 ° /с

Указание: Записать закон сохранения момента импульса

a а ( m v 0 — = — М а co + m v —) и закон сохранения энергии

Рис. к 1.11

, т и 2 \ . , 2 а)2 т о 2( ---- ^ = - Ма — + ------).

2 3 2 2

1.13. Ответ: Тх = Т0.

Указание: Использовать формулу периода физического маят-

Г J ImR2+ mR2

ника 7 - 2п I ------ В данный задаче 70 = 2л -mgd \ mgR

I m R2 + mR + m J 2 R ) . mR + ma2R Тх = 2 л \ ------ , где а =

\ (m + m0)g d m + m,о

19

8/17/2019 03-17103

20/32

1.14. Ответ: х = — (v 21 -3 ) ~ 0,264/.6

Указание: Рассчитать период данного физического маятника:

„ _ I J 1 ,2 2 , ml 17 + тх 1+ 2х Г = 2 Л" --------, где У = —m l + тх ' , а

2mgd 3 2w 4

Продифференцировав полученное выражение по х, находим

искомое расстояние.

л Зт 1.15. Ответ: Т = — , j — .

2 V А:

Решение: Сместим точку закрепления цилиндра с пружинами на

малую величину х. Тогда уравнение вращательного движения цилиндра

(М = J(3) относительно мгновенной оси вращения примет вид:

1 2-2kx2R = ( —m R ' + m R ' ) f t .где ft - x HR.

j L

2 X Или -AkRx = (3/2) m R *— . Получили дифференциальное

2R

.. 16* уравнение гармонических колебании: х + -----г = 0. Следовательно,

Зт

, . к 2л л [Зт со = 4 ----, а Г = —

Зот ю 2 \ *

1.16. Ответ: Т = 2 л М

Решение: Пусть угол отклонения стержня от вертикали равен

_ М х 2 ту2 ос. 1огда суммарная энергия системы Е — —- — I— — ----

- m g ( l - y ) = const. Учтём, что х = /sinа , у = /cosa , 1-^osa =

„ . 2 а

2sin~— и для малых углов sina = or. co s « = 1. Тогда Е = 2

M l 2а 2 . а 2 ----------- I m g l — = cowst.

2 4

20

8/17/2019 03-17103

21/32

► X

а

После дифференцирования имеем: M l2a a - m g l a a = 0 или

т* а = 0.М

Следовательно, 7 - 2 я I- V

2. Термодинамика

2.1. Ответ: А' =/Vs7 In — = 5,22-1024.

к(Т2- Т х) Тх

Решение: Из основного уравнения молекулярно-кинетической

т т теории п(х) = ——— , где Т\х) = Т} + — ------ х ~ 7\ + ах - зависимость

&Г(х) /

температуры воздуха от расстояния х от более холодного стекла. То

гда N = f n(x)Sdx = — — ln(7j + ax')

о '

2.2. Ответ: А Т = р Т /3/7

/ PoS/ 1п_Г2

21

8/17/2019 03-17103

22/32

Указание: Кинетическая энергия движения газа перейдет в его

З т т о ] т внутреннюю эн ер ги ю :-----RA I = ------- .при этом p v = — R 1 ,

2 /л 2 р

т p ‘ v -

2.3. Ответ: р, = ^ р.

Решение: При совершении работы изменяется внутренняя

энергия газов, что приводит к уменьшению температуры в левой час

ти на А Т и увеличению температуры в правой части на 2 А Т (так как

из начальных условий следует, что масса газа в правой части в два

раза больше). Запишем уравнение состояния газов:

p V = — R T ~ в левой части в начальном состоянии;

М

т

p l (V —A V ) = — R (T + 2AT ) — b левой части после заверше-И

ния переходных процессов;

2YYI p l (V + A V ) = ----R(T—A T ) — в правой части после заверше-

М

ния переходных процессов.

т

Сложим последние два уравнения : 2р\ У = 3 — R T . Отсюда,М

3 с учетом первого уравнения: 2рхV = 3pV'viр х = — р.

2.4. Ответ: AU/Q = 15/17.2 2

Решение: Работа газа А п = ] \pdV= , \aV2dV = a(V\ -V \ )! 3 .

Изменение внутренней энергии двухатомного г аза

AUn = SfaVt-piVt) /2 = 5(aV\ V2-aV\ F,)/2 = 5a(V] -V\)!2.

22

8/17/2019 03-17103

23/32

Тогда, Qu = AUu+An = M a ( V ] - V \ ) l 6 и Д С/,2/(612 = 5/2 : 17/6

= 15/17.

2.5. Ответ: 77 = 1/ 9 » I 1%.

Указание: Представьте данный цикл в координатах pV (см.рис.).

V, 3 Гг, 1 Рис. к 2.5

2.6. Ответ: ;; « 26,7 %.

Решение: Обозначим ''-Уз = Л. Из уравнений адиабаты легко

выразить объем газа в состояниях 1 и 3: V\ = V/k, V} = ЛИ, где V = V2 =

V4. Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим температуру газа

в состояниях 1, 2, 3, 4: Тх = 3 pV/kRv, Т2 = 3 pV/Rv, Т3 = kpV/Rv, Г4 =

pV/Rv.

Тогда работа цикла А = А 12+А23-А,п~Аи = 3/?( F- F|)+5 Л v ( 'Г2-

Т3)12-р( V3-V}~5Rv( 1\ -7Y)/2 = (7/2)/?К(4-3/Л-Л). Полученная системой

теплота

£ = Л 12+ДС/12 = 3p(V-V])+(5/2)vR(T2- T i) = (7/2)pF-3( 1-1/Л).

Отсюда ri - A ! Q ^ 0,267.

2.7. Ответ: 7] = 7 С/(1 -г/0).

Решение: Обозначим работу Л 1231 = ^1341 = Л. Из определения

КПД цикла t) 0 = A/QUh rj = А / Q ]} (Q n 3 и - полученные извне

теплоты в циклах 123 1и 1341). Но = 01з"Ь4> так как Д£/ш = ДС/13

23

8/17/2019 03-17103

24/32

= ДС/,43. Тогда A/r/0 = Qu+A, Air ; = g 13, Следовательно, Air]0 =

A/TJ+A, Ml] = 1/7/0-l И Г] = t]0 /(1—77o )•

2.8. Ответ: 0 < 77i). Для цикла 1-2-3-4-1 работа ,4 = (/?2 — i) (^4 —̂ 1)

= 1) 2, полученная теплота = Q m = А 7 3 + А U n (так какЛ!2=0).

А-а = iHV^-V,) = pVk(k-V). AUn = (3!2 )(p ,V^p ,Vx) =

(3/2)pV(k2-\), Q = pV(k{k-\)+('il2)(k2 -\ ) ) = pF (A -l) (5Л/2+3/2). Сле

довательно, г/ = АЮ = p V (k -\ )2!pV(k-\) (5к/2 + 3/2) =5&/2 + 3/2

8/5= (2/5)(А-1)/(£+3/5) = (2/5)(l------------)■ По условию задачи 1

8/17/2019 03-17103

25/32

Or , Or Отсюда q = ----------. С учетом условия r

8/17/2019 03-17103

26/32

v =\ J S - = f ̂ = _ 2

8/17/2019 03-17103

27/32

Указание: Сместим 63'синку на х « а от положения равнове

сия и находим возвращающую силу

р = _ q 2 q 2 „ Я2Х

4 л£0 (а - х) 4л£0 (а + х ) л£0а

3.8. Ответ: Т ~ 2пЛ- 7T£0(4R +1 ) /2m

2qQ

Указание: При смещении бусинки на малое расстояние х « 1

появляется несимметричный относительно бусинки кольцевой заряд

величиной Q2x/l на расстоянии //2 от нее, обеспечивающий возвра

щающую силу.

>nuQ3.9. Ответ: Ar = R = ------ в направлении, нормальном к ско-

qB

рости.

Решение: Пуст ь сила сопротивления Fc = - к о 2 . Тогда второй

закон Ньютона для частицы вдоль оси, направленной по скорости,

do d o . - 1 л I имеет вид: m — = - к о " . Или m — = - k o a t - - k a l , где I - путь,

dt о

пройденный телом. Интегрируя полученное выражение:

m\no = - k l + С . Так как в начальный момент / = 0, а о = о0,

т In о 0 = С . Отсюда In — = k l . Следовательно, путь, пройденныйо

телом до конечной точки, не ограничен (при о —> О I —> оо ), как и

время движения. За это время частица совершит бесконечное число

вращений по спирали., причем ветки спирали будут отличаться незна

чительно. Тогда конечная точка траектории будет лежать в центре

спирали.

27

8/17/2019 03-17103

28/32

3.10. Ответ: В,3//0q v

0 4R

Решение: По условию а ( г ) = к г . Тогда

R R R 3 л

8/17/2019 03-17103

29/32

Указание:

А Ф, B n ( l - i ) 2cosa , v — - ==---- - — — -------- = Ь л7г(/ - J cos а ,U— £л —8 \ , £\ —

А/ Г

АФ, 5 я/,2cos а п , 2— — = ------------------------------- = В m l, cos а ■

At Т 1

Рис. к 3.12

4. Оптика

4.1. Ответ: £> 10,6 м.

db

Решение: Радиус к- ой зоны Френеля г = J ------кЛ . Отсюдаа + b

а г2 .. , „ .2. - . г 2Из условия а к Л - г >0, к > — = 3,42 следу-

акЛ - г а/1

а г 2 ег, что к = 4. Следовательно, />>----------- = 10,6 м.

4 а А - г

4.2. Ответ: п = 6

Решение: Для параллельного пучка света радиус £-ой зоны

Френеля г = yjbkX . С читывая, что d = 2г и к = 2п (условие минимума

d 2 освещенности), для расстояния b: b = ----- . По условию 6 > 0,15 м.

Тогда п< - — ----- = 6,67. Следовательно и = 6.8-0,15/1

8/17/2019 03-17103

30/32

4.3. Ответ: h =2 ( я - 1 )

Указание: Для наибольшей освещенности разность фаз для

л л 2лА первой зоны Френеля должна составлять л , т.е. Д (р = ----- = л , где

А

Л = h(n —l) - дополнительная оптическая разность хода лучей.

4.4. Ответ: I /10 = 5

Решение: Первая и вторая зоны Френеля скомпенсированы. А

амплитуда 2А третьей зоны окажется повернутым относительно ам

плитуды А всех оставшихся зон Френеля на угол

А

8/17/2019 03-17103

31/32

4.7. Ответ:/ = 4/0.

Решение: Первая зачерненная область пластины закроет 1,5

зоны Френеля, а открытой останется внешняя половина 2-ой зоны и

3-я зона. Вторая зачерненная область пластины закроет 4-ую зону и

внутреннюю половину 5-ой, открытой останется внешняя половина 5-

ой зоны Френеля. Откуда ясно, что амплитуда оставшейся волны рав

на А, = 2 А0.

4.8. Ответ: I = /0 /25.Решение: При конической форме волнового фронта площади

зон Френеля оказываются не одинаковыми. Так как г5 = 5г, , г4 = 4гх,

гъ = 3г, и г2 —2 г, следует, что 5, : S2 : : 54 : S 5 = 1:3:5:7:9. Тогда

/0 =(1 + 3 + 5 + 7 + 9)' = 252. / = (1-3+5-7+9 ) 2 = 52. Следовательно,

/0 / / = (25/ 5)2 = 52 = 25.

Следовательно, / = (2A q - Д , )2+ (5 •лЛ0) 2 - ((5л-) 2+1)/0.

Список литературы

1. Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физи

ки. - СПб.: Спецлит, 2002.

2. Иродов И.Е., Савельев И.В., Замша О.И. Сборник задач по

общей физике. - М.: Наука, 1975.

3. Ильин С.И., Никитенко В.А., Прунцев А.П. Сборник задач

по физике для поступающих в вуз. - М.: МИИТ, 2008.4. Голубев В.Г., Яковлев М.А. Олимпиадные задачи по физи

ке. - М.: Изд-во М ГТУ им. Баумана, 2006.

31

8/17/2019 03-17103

32/32

Содержание

Предисловие ........................................................... ..................................3

1. Механика.............................................................................................. 5

2. Термодинамика..................................................................................... 7

3. Электромагнетизм.................................................................................94. Оптика........... .................................................................................... 11

Ответы, указания, решения.... ..................................................................13

Список литературы ................................................................................ 31

Учебно-методическое издание

Ильин Станислав Иванович

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

Методические указания

к практическим занятиям

Подписано в печать Формат 60x84/16. Изд. № 249-08

Усл.-печ. л. - 2 , 0 _____________ Заказ 4- _________________Тираж 100 экз.

127994, Москва, А-55, ул. Образцова, 15. Типография МИИТа

03-17103

Documents