03.주파수 변환

#3-1

제 3장의 구성제 3 장의 구성

3 1 푸리에변환 (F uri r tr nsf rm)3.1 푸리에변환 (Fourier transform)3.2 푸리에변환의성질3.3 특이함수의푸리에변환3.4 푸리에변환쌍3.4 푸리에변환쌍3.5 주파수변환과관련된정리들

#3-2

3 1 푸리에 변환 (F i t sf )3.1 푸리에 변환 (Fourier transform)

푸리에변환식의유도 푸리에변환식의유도푸리에급수의 복소지수 형식에서

적분의정의식을 이용하여 아래와 같이 유도

#3-3

푸리에 변환식의 유도푸리에 변환식의 유도

#3-4

푸리에 변환의 정의푸리에 변환의 정의

푸리에변환(Fourier transform) 정의푸리에변환(Fourier transform) 정의

푸리에역변환(inverse Fourier transform) 정의

F(ω) : F(ω) :함수 f(t) 의주파수스펙트럼밀도함수임의의주파수 에대한주파수성분을표시

#3-5

임의의주파수 ω에대한주파수성분을표시

푸리에(F i ) 변환의 목적푸리에(Fourier) 변환의 목적

통신시스템에서신호의변조등주로신호의통신시스템에서신호의변조등주로신호의주파수특성을쉽게구할목적으로사용

#3-6

라플라스(L l ) 변환의 목적라플라스(Laplace) 변환의 목적

주로회로망해석이나제어공학등에서신호의주로회로망해석이나제어공학등에서신호의변환, 전달, 재생과정에서풀어야하는선형미분방정식의해를쉽게구할목적으로사용미분방정식의해를쉽게구할목적으로사용

#3-7

3 2 푸리에 변환의 성질3.2 푸리에 변환의 성질

푸리에변환의정의식에오일러(Euler)의공식푸리에변환의정의식에오일러(Euler)의공식

을적용하면, 복소수의성질을이용하여

f( ) 의주파수변환 F( )를진폭 |F( )|와 f(t)의주파수변환 F(ω) 를진폭 |F(ω)| 와위상 |φ(ω)| 에대한주파수스펙트럼으로분리할수있다분리할수있다.

#3-8

진폭과 위상에 대한 주파수 스펙트럼진폭과 위상에 대한 주파수 스펙트럼

푸리에변환으로구한주파수스펙트럼은 ω에푸리에변환으로구한주파수스펙트럼은 ω에대해대칭성을갖는다. ⇒식 (3.9)~(3.12) ω에대해 cosωt는우함수 sinωt는기함수이므로 ω에대해 cosωt는우함수, sinωt는기함수이므로

③⇒진폭 |F(ω)| 는 ω=0 축에 좌우대칭인 우함수

#3-9④⇒위상 |φ(ω)| 는원점에 대칭인 기함수

푸리에 변환의 성질푸리에 변환의 성질

푸리에변환의대칭성질⇒식 (3 13) (3 14)푸리에변환의대칭성질⇒식 (3.13)~(3.14)

푸리에변환쌍의변환성질⇒식 (3.15)~(3.27)

①상수( )의곱①상수(constant)의곱②선형성(linearity)

③공액복소수 성질

( y)

#3-10

③공액복소수 성질

푸리에 변환의 성질 (계속)푸리에 변환의 성질 (계속)

④시간비례(time scaling)

⑤시간천이(time shift)

⑥주파수천이(fr qu nc shift)⑥주파수천이(frequency shift)

#3-11


⑦시간컨벌루션(time convolution)⑦시간컨벌루션(time convolution)

⑧주파수 컨벌루션(frequency convolution)

⑨시간영역에서의 미분(derivation)

⑩시간영역에서의 적분(i i )⑩시간영역에서의 적분(integration)

#3-12


⑪쌍대성(duality)⑪쌍대성(duality)

#3-13

3 3 특이함수의 푸리에 변환3.3 특이함수의 푸리에 변환

특이함수(sin ul rit functi n)특이함수(singularity function) 단위충격파함수(unit impulse function)시그넘함수( i f i )시그넘함수(signum function)

단위계단함수(unit step function)콘덴서의전압, 코일의전류와같이자연계의전기신호는특이함수처럼급격히변할수없다. 자연현상이나정상적인물리계에서는나타나지자연현상이나정상적인물리계에서는나타나지않고, 유한한범위나모든차수의유한한미분도갖지않는수학적인방법에서만존재하는함수않는수학적인방법에서만존재하는함수

실제의자연현상에유사한특이함수모델을사용하면,실제신호를근사적으로간편하게

#3-14

사용하면, 실제신 를근사적 간편하게해석하기에편리하다.

자연계 신호의 특이함수 모델링자연계 신호의 특이함수 모델링

#3-15

단위 충격파 함수의 특성단위 충격파 함수의 특성

단위충격파함수 (unit impulse function) δ(t)

①충격파 함수의 정의

단위충격파함수 (unit impulse function) δ(t)

①충격파 함수의 정의

②충격파 함수의 크기

③충격파 함수의 면적

④충격파 함수의 천이(shift)특성④충격파 함수의 천이(shift) 특성

#3-16

단위 충격파 함수의 푸리에 변환단위 충격파 함수의 푸리에 변환

⑤충격파 함수의 푸리에 변환

#3-17

시그넘 함수의 푸리에 변환시그넘 함수의 푸리에 변환

시그넘함수(signum function) sgn(t)

①시그넘 함수의 정의

시그넘함수(signum function) sgn(t)

①시 넘 함수의 정의

②시그넘 함수의 푸리에 변환

#3-18

단위 계단 함수의 푸리에 변환단위 계단 함수의 푸리에 변환

단위계단함수(unit step function) U(t)

①단위계단 함수의 정의

단위계단함수(unit step function) U(t)

②단위계단 함수의 푸리에 변환

t=0 에서의 sgn(t) 와 U(t) 의 값은수학적으로는g ( ) ( )중간값인 0과 0.5이다. 이런 형태의 함수를구분연속(piecewise continuous) 함수라고 한다. 함수가미분이가능하기위해서는연속이어야하고, 구분연속인점에서미분하면충격파(i l )함수가발생한다

#3-19

(impulse)함수가발생한다.

통신신호 해석에 사용되는 기본함수들통신신호 해석에 사용되는 기본함수들

사각파함수(rectangular function)사각파함수(rectangular function)구형파라고 하기도 한다.사각파함수의 폭 T(T>0)사각파함수의 폭 T(T>0)

삼각파함수(triangular function) 삼각파함수의 폭 2T(T>0)( )

#3-20

기본함수들 (계속)기본함수들 (계속)

샘플링함수(sampling function)샘플링함수(sampling function)싱크(sinc) 함수

W=π인경우를보통 sinc(t) 라고한다W=π 인경우를보통 sinc(t) 라고한다.

주기충격파함수(periodic impulse function) 주기는 T이며, δT(t) 를콤함수(comb function), 혹은임펄스 열(impulse sequence 또는 impulse p q ptrain)이라고한다.

#3-21

3 4 푸리에 변환 쌍3.4 푸리에 변환 쌍

시간영역에서의신호의형태를알고있으면시간영역에서의신호의형태를알고있으면푸리에변환쌍을이용하여주파수영역에서

나타날스펙트럼의형태를대략짐작할수있다.푸리에변환쌍의예 ... 식(3.43)~(3.58)( ) ( )

시그넘함수의 푸리에 변환쌍

단위계단 함수의 푸리에 변환 쌍단위계단 함수의 푸리에 변환 쌍

#3-22

푸리에 변환 쌍 (계속)푸리에 변환 쌍 (계속)

지수 (exponential)함수 여기서 (a>0)지수 (exponential)함수 ... 여기서 (a>0)

복소(complex) 지수함수

상수(constant)

#3-23


충격파함수의 푸리에 변환쌍충격파함수의 푸리에 변환쌍

#3-24


사각파함수의 푸리에 변환쌍사각파함수의 푸리에 변환쌍

#3-25


샘플링함수의 푸리에 변환쌍샘플링함수의 푸리에 변환쌍

#3-26


정현파(sinusoidal)함수의 푸리에 변환쌍정현파(sinusoidal)함수의 푸리에 변환쌍

#3-27


정현파(sinusoidal)함수의 푸리에 변환쌍 (계속)정현파(sinusoidal)함수의 푸리에 변환쌍 (계속)

#3-28


삼각파함수의 푸리에 변환쌍삼각파함수의 푸리에 변환쌍

#3-29


주기(periodic)충격파 함수의 푸리에 변환 쌍주기(periodic)충격파 함수의 푸리에 변환 쌍

#3-30

F( ) 와 |F( )|F(ω) 와 |F(ω)|

F(ω) :푸리에변환에서얻은복소수성분F(ω) : 푸리에변환에서얻은복소수성분 |F(ω)| : 신호의주파수특성에대한진폭

스펙 럼스펙트럼

#3-31

F( ) ⇒ F(f) 의 변환F(ω) ⇒ F(f) 의 변환

충격파함수가나타나지않는주파수스펙트럼충격파함수가나타나지않는주파수스펙트럼주파수축이 ω, f로달라도 F(ω), F(f)크기는 같다.

(예) f=1000때와 ω=2π×1000은같은 (예) f=1000 때와 ω=2π×1000 은같은주파수이므로, 그위치에서크기는같다.

#3-32

F( ) ⇒ F(f) 의 변환 (계속)F(ω) ⇒ F(f) 의 변환 (계속)

주파수스펙트럼에충격파함수가나타나는경우주파수스펙트럼에충격파함수가나타나는경우충격파함수의수학적정의때문에표현이달라진다.

단위충격파함수의면적인근방의적분값이 1단위충격파함수의면적인근방의적분값이 1

#3-33

F( ) ⇒ F(f) 의 변환 (계속)F(ω) ⇒ F(f) 의 변환 (계속)

충격파함수가나타나는푸리에변환 (예)충격파함수가나타나는푸리에변환 (예)식 (3.54), (3.55) ⇒ 식 (3.61), (3.62)

#3-34

3 5 주파수 변환과 관련된 정리들3.5 주파수 변환과 관련된 정리들

중첩의정리⇒대부분의신호들은여러가지중첩의정리⇒대부분의신호들은여러가지성분을갖는신호들이서로합쳐진것이다.안테나이론에서 전파에 대한 중첩의 정리안테나이론에서 전파에 대한 중첩의 정리

공기중으로방사되는전자기파는여러개의무선안테나소자들에서발생하는전자기파의합안테나소자들에서발생하는전자기파의합

전압이나 전류원(source)에대한 중첩의 정리대부분의정보신호는여러가지주파수성분을포함, 주파수스펙트럼에도중첩의정리가성립⇒여러가지 주파수 성분이 섞인통신채널에서주파수대역의 할당과 주파수 분할이 가능해진다.

#3-35

중첩의 정리 파세발의 정리중첩의 정리, 파세발의 정리

주파수스펙트럼에대한중첩의정리 (principle주파수스펙트럼에대한중첩의정리 (principle of superposition)여러가지 주파수 성분을 갖는 신호가 합쳐진여러가지 주파수 성분을 갖는 신호가 합쳐진신호의전체 주파수 스펙트럼은 각 주파수성분에대한 스펙트럼의 합이 된다.

어떤주파수 성분의 크기가 변하면 해당스펙트럼의 크기만 변한다.

파세발의정리(Parseval's theorem)동일한신호를 시간영역과 주파수영역의 서로다른영역에서 해석하더라도 같은신호에 대해서각영역에서 구한 전력이나 에너지는 서로 같다.

#3-36

파세발의 정리 (계속)파세발의 정리 (계속)

주기신호의평균전력에대한파세발의정리주기신호의평균전력에대한파세발의정리저항 1Ω 에걸린 주기신호의 평균 전력은시간함수 f(t)나 복소수 지수형식의 푸리에 계수시간함수 f(t) 나 복소수 지수형식의 푸리에 계수Fn의둘 중하나만 알면 계산이 가능하다.

전력의단위 [Watt]가된다.실효치를적용한전력계산과비교해보면,실 치를적용한전력계산과비 해 면,

#3-37

예제 3 1예제 3.1

#3-38= sin2

파세발의 정리 (계속)파세발의 정리 (계속)

일반적인신호의에너지에대한파세발의정리일반적인신호의에너지에대한파세발의정리저항 1Ω에 걸린 일반적인 신호의 에너지는다음과같이 시간영역이나 주파수영역에서 각각다음과같이 시간영역이나 주파수영역에서 각각구할수있다.

|f(t)|2 의시간적분->에너지,단위 [Watt·sec] |F(ω)|2 : 단위주파수당신호가갖는에너지밀도

#3-39

- End of Chapter -End of Chapter

#3-40

03.주파수 변환

Documents

unit step

unit impulse

fourier transform

fourier

constant

gt

sgn

sinc