Top Banner
55

0213-546879-:03;=4:?,.0 @A=79B@CD79E

Jul 07, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

���������� ��� ��������������� ���� ��������� �!��#"!�%$&� ��'���!���#"(��)����

*�+%,.-/,.*�*�0213-54�6879-:03;=<3>�4:?�,.0�@�A=79B�@�CD79E�<:49E�C�*�+F,.-5,.*�*�02C9B�G�4DH

I9JLKNMPORQTSUJLK!SUVWI9VYX[Z�X5\]S_^�Q`X/Kba�c:d=ceKTJDfhg`\YM ijXk VYgDSl^mJnMog%pmM_VYXmJRJngqMrXts�u3Vgqv8w�VYX!x!JnyoyoMrX�S_gjQ`X]w k Vgqz�w�Q`X5K O{VYz!|MoX5Q8SPVg.MPO.wLc

}�~��j�5�5�5�e��� ;%�]�o���q�]�.�#�R� �]�.�j�.�R�T�.���W�]�]���m�L�!��m���R�q�.�R�T�q���Y�o�r� �q�R���_�����N�T�{�Y�r���`�!��t��]�q�8�#�.���.�9�q�]����q�8���]�.�#�.�_���Y�m��o�T�.�o�:�Y�/���_��q N�¡�����Y�.���Y���q�]���¢�.�m�Y�¡��q�o�.�£�r�W�n�#�W�¤ �o�m�Y�.�#�.�_��#�[��q�]�R� ��.�_�n�L<`�T�o�n�n�.�R�q���]�q� ¤ � ¤ �o�o�r�q�.�_�3���t�t�R�o�`<N�Y�m�=�q�]���L�N�j�{� #�n�.�R��q��Y�m��o�T�.�o�9�����o N�#�.�o�.����� � ,¥�=�q�R�o�o�R���#���.�]��G��R�o�r�o���.�n��]���U�N�q�'<:�!���r�#�.���.�R�_��q�o�N��Y�¦�q�]���r�T�q�R N�n��:�q�{�Y�]�¥�U�#�.���%��§-¢��]�_�N������m�¨1]�#�]�.�o�R� � ;%�]�����R�q�]�]�[�Y�]�]�o�o�R���q��m�Y�.���N�]�_�£�.�����%�.�e�����q�=�.���m�R�q�m�#�.�o�.�o�#�]���Y�¦�n��q�]�R�D�Y� ¤ �o�q�{��q��©q�m��q���N�������.ª����=���N�����N� ¤ ��.���U���m�n�.�o�#� � ,¥�q�%�]�.�o�m���r���r���o�§�9���.�`�n�o�q���n�N�q�.�R�q�m�#�m�T�R�e�n� ¤ �R�¥«£�R�R��o�m�T�o�T�_�T�m�Y�:�.�j�.���9�o���.�]�W��q�8���]�.�#�.�_�9�n¬]�m�Y�]�.�o�#����§�Y�'�#�.�o N�o�m�Y�:�P�]�m�n�q�r�#�­�Y�m��q�r�� N�]�_��q�o�.�o�R���Y�:�.�]���.�{�Y�]�¥�P�N�.���`���U�]�e�n�.�o�N� � ;%�]���[�Y�r�W����]�o���j��.�o�#�]�¡��q���o�W�.����Y�.�`����D�t�r #�o�{����]�Y�{���.�q�.�m���.�]�q�R�`<£�]�q� ¤ � ¤ �o�r�o�q�.�_�=��o #�N�.�o�q�]���L<��Y�m���n�#���W�]�]�o�R�L��q�r�#���q�]�R�N�q� �

I�M_J=®3^eJRVgqM�J¯K8Jng%g{J�°RM�pmg{VYv8JnX'±¢\X]v5SlM�VYXmJnX�\X5KW²¥X5SUJ{s8gRQLy_JMow`S�JnMoX�O{JnX5SlgRQ`y_Jnw�d�J|M_JS�³:u�J�yUO¥^mJ�w�z!QLX5O¥^mJ9QLX5K8JngnJnX�d�JY|M_JSUJ

KTJng%´�X5QLy�µtwqMow%z�M¥SUJnMoX5QLX5K8Jng9¶`J�g`|MoX5K8JYS.c·¹¸9º �5»N¼��5�¾½'¿�»N»NÀlÁ

ÂÄÃ:Å£Æ�ÇFÈ�É�Ê¢Å�ËUÇFÃÌFÍ�Î8Ï�Ð�ÎTѯÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ×Ö`ØNÙ]ÚtÛTÜ�ØNÝ]Þ�Þ5ßmànÓÓ�áâÚ�ÝNã¦äæå]ÑWÎ�ànç5Ð!Ð'ÎTÑjè'åTä�éeÔUà�ê9å]ÑRë5àLì�íeÎNî�ÓWéeÔlà�Õ:ÎtÐ!Ó

ï å ï é5Ó ð�ñNòPòoóUô�õ¥ön÷]ô/øUùú]öLû ï é:Î ï Î]àjànå�üjÔUÎ ï ÓNà ï å�Îbä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]ÕþýhÖ{ÿ¦ì��eÓ��:Õ5Ó���åTî]ÓÑ ï é5Ó��:åmàqÔ ï Ô_î]ÓÑRÓNÎ8Ïlà ï é5Ó�üLå]Ð��eÏ�Ó���ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ýYÖ��tì�ê=é5ÓÑRÓ

ý Ö��tì� ����� ýhÖ{ÿ3ì{ÿ��������mÿ��Ö`Øtì

�9é5Ó üRé:ÎtÕ5í]ÓWåTä�î8ÎtÑnÔUÎ��eÏ_ÓNà�ÿ �! ��" à�é5å8ê�à ï é:Î ï=ï é5Ó Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ Ôlà�üjÏ_åmànÓLÏ_è�ÑRÓLÏUÎ ï Ó��ï å ï é5Ó�#�Î��eÏUÎ]üLÓ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ ÎTÕ$� ï é5Ó&%5å�ç5ÑnÔ_ÓÑ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ('%Ì�åTêDÓî�ÓÑNß��eÓNà��eÔ ï Ó ï éeÔlà�üLå]Õ5Õ5Ó��*)Ô_å]Õ�ß ï é5ÓÑRÓ�ÎTÑRÓ�Õmç5ШÓÑRå]ç:à9Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:à�ê=é5ÓÑRÓ�Ô ï �5ÑRåTî]ÓNà9üLå]Õeî]ÓÕeÔ_ÓÕ ï�ï å å,�:ÓÑ`Î ï Ó&��Ô_ÑRÓNü ï Ï_è

-

Page 2: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ê9Ô ï é ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ2ä¥å]ÑRÐ Ö`ØTìWÑ`Î ï é5ÓÑ ï é:ÎTÕ ï é5Ó�#�Î��eÏUÎ]üLÓ ) %5å�ç5ÑnÔ_ÓÑ�î]ÓÑ`àqÔ_å]Õ ' �9éeÔUà ÔUà¨åTä ï ÓÕï é5Ó�üÎ]ànÓ9Ô_Õ�üLå]Ð �eÏ_Ó�� äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ï é5Óå]Ñjè'ÖnÎ]ànèeÐ � ï å ï ÔUüà£åTä��¯ÎTШÐ'Î�)¥ÑRÓLÏUÎ ï Ó��[äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à§äæç5Õ:ü�)ï Ô_å]Õ:àbá��TÛ5ß��]Ú#ã¥ì`ß�Ô_Õ�Õmç5Ð �:ÓÑ ï é5Óå]ÑRè�ÖnüLåmÓ��­üjÔ_ÓÕ ï à9åTä��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï à�ÓÑnÔ_ÓNàß:Î#ä ï ÓÑ��Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ3ì`ß�Ô�ÕÎ��+�eÏoÔ_Ó���Ð'Î ï é5ÓÐ�Î ï ÔUüà�Ö{Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�ÓNà ï Ô_Ð'Î ï Ô_å]Õ�åTä�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï3ä¥å]ÑRÐ'àÄì`ßmÎTÕ$�¨Ô_Õ ï é5Ó�ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàåTä�Î#Ï_í]å]Ñ�Ô ï é5Ð'à�Ö.é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUüWànç5Ð'à�Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üLÓ�� �¢ÓLÏ�åTêWì�'��9éeç:àß ï é5ÑRå]ç5í]é5å�ç ï=ï éeÔUà �:Î��¢ÓÑNß5ê9Óå,�¢ÓÑ`Î ï Ó&��Ô_ÑRÓNü ï Ï�è�ê9Ô ï é ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ '�9é5Ó�Ð'ÎTÍnå]Ñ9ç:ànÓ�åTäDÒ�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ Ó��/ÎtÐ Ô_Õ5Ó���é5ÓÑjÓWÔUà�äæå�Ñ ï é5Ó'÷tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��!÷]ô¢÷]ò��NøóløåTä�ànç5Ð'à å,�:Óè�Ô_Õ5í ï é5ÓWí�ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï �:Î ïjï ÓÑRÕ� Ö{ÿ3ì� ������ ��� Ö�� � ÿ3ì��Ö! �ìÓLÔ ï é5ÓÑ Î]àWÿ#"%$¨å]Ñ�Î]àWÿ#"'& '&%/åTÏoÏ_å8ê Ô�Õ5í�Î �5ÑRå,�¢åmàRÎ#Ï%åTä¯á�Þ5ØLã.ß�ànç5Ð'à�åTä ï éeÔUà ï è��¢Ó�ÎtÑRÓüÎ#ÏoÏ_Ó��)(m÷]öLû ú]ô:ó��!ø+*eû�ø Î]à ï é5Óè�ÑRÓ �5ÑjÓNànÓÕ ï Î ÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑ�ànç+�¢ÓÑ �:åmà{Ô ï Ô�å�Õþåtä�,Lé:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUüà.-¨åTä�ÎàqÔ_Õ5íTÏ_Ó �:Î]ànÓ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö{ÿ¦ì 'Ì�ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð�à'ànç5Ñ�ä�Î]üLӾΠï Ð'ÎTÕeè �eÏUÎ]üLÓNà�Ô_Õ üLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï å]Ñ�ÔlÎ8ϯÐ'Î ï é5ÓÐ'Î ï ÔUüà�Î]à¨ê9ÓLÏoÏ

Î]à[Ô�Õ ï é5Ó�ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà!åTä�Î#Ï_í]å]Ñ�Ô ï é5Ð'à'ÎtÕ$� �5Î ï Î à ï ÑRç:ü ï ç5ÑjÓNà '/��Ó10�ÑRçeÔ ÍnÕ ÎTÕ$�32�Õeç ï é ÎtÑRÓÑRÓNà �:å]Õ:àqÔ �eÏ_ÓWÔ_Õ�ÎTÕ�ÓNàRànÓÕ ï ÔUÎ#Ï�ê=Î#èWä¥å]Ñ%Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üjÔ_Õ5í ï é5ÓWÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ�Ô_Õ ï éeÔlà�Ñ`ÎtÕ5í]Ó=åTä�5ÑRå �eÏ�ÓÐ�àß�Î�à�Î ïjï ÓNà ï Ó�� �eè12�Õmç ï é54âà�Î�üüLå]ç5Õ ï Ô�Õ×áâÚ6�mß�� '�ØNÞ/Øã¡ÎTÕ$� ï é5Ó[üjÏUÎ]àRà{Ôlü �:Î��¢ÓÑ[álØ��#ãê=éeÔUüjé�é:ÎNî�Ó �¢ÓÓÕ ï é5Ó �:Î]àqÔUà�åTä�Ð'ÎTÕeè�ÏUÎ ï ÓÑWüLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï�Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:à ' %5å�Ñ9Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ßï é5ÓWÎTÕ:Î#Ï_è5ànÓNà�åTä ï é5Ó=Ñ`Î ��Ô �+)¥Ó��:üRé:ÎTÕ5í�Ó�ànå]Ñ ï Î#Ï_í]å�ÑnÔ ï é5Ð áâÚ7�#ã�ÎTÕ$�¨åTä ï é5Ó�Ó��*�¢ÓNü ï Ó��¨é5ÓLÔ�í�é ï åTä�eÏUÎTÕ5Ó¨Ö.8DÎ ï Î8ÏlÎtÕ3ì ï ÑRÓÓNàWá_Ø��#ã3Ô_Õeî]åTÏ_î]Ó ï é5Ó:9]ç:ÎtÕ ï Ô ï Ô_ÓNà

;=< ����> � ? Ø�@ Ö`Ø�@ Ø � ì <BA ÎTÕ$� C < <���> � �/Ö!D¢ì=E5F<< � �HGE F << G1�Ö{Þ�ì

ê=é5ÓÑjÓ&�5Ö!D¢ì£ÔUà ï é5ÓWÕmç5Ð �¢ÓÑ=åTä���Ô�î�ÔUànå]Ñ`à�åTäID�ÎtÕ$� EKJ L G ÔUà ï é5Ó��eÔ�Õ5å�Ð ÔUÎ#ÏFüLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï ' � é5ÓNànÓ��ÔUàRüLÑRÓ ï ÓM9�ç:ÎTÕ ï Ô ï Ô�ÓNà�é:Î#î]Ó�üLå]Õ ï Ô_Õmç5å�ç:à=ÎTÕ:Î#Ï_å]í]ç5ÓNà ï é:Î ï ÎTÑjÓWé:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð'à� Ö{ÿ¦ì� ����> �ON Ø�@ ! �QP R FTS�U ÎTÕ$� V¾Önÿ3ì� <���> � �/Ö!D¢ì�! �

��W P W �Ö.Û/ì

ÎTÕ$��ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRè ÎTÑRí]ç5ШÓÕ ï à¦ÓNà ï Î��eÏoÔUàné ï é:Î ï Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è ;=<YX/� Ö!Zhì¦ÎtÕ$�[C <YX V Ö!Zhì '�9é5ÓÑjÓþÎTÑRÓ�Ô_Õ5é5ÓÑRÓÕ ï ��Ô\��üLçeÏ ï Ô�ÓNà­Ô_Õ ï é5Ó�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�ÎTÕ:Î8Ï�è5àqÔUà�åTä ï é5Ó ��ÔUàRüLÑjÓ ï Óþànç5Ð�à; < �.C < å]Ñ ï é5ÓLÔ�Ñ!üLå]Õ ï Ô_Õeç5å]ç:à ÎTÕ:Î#Ï_å]í]ç5ÓNà � Önÿ3ì���V¾Önÿ3ì ' �9é5Ó ��Ô_î�ÔUànå]Ñ ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ Ô�Õ]C < ÎTÕ$�V Ö{ÿ¦ì5^:ç:ü ï ç:Î ï ÓNà�é5ÓNÎ#î�ÔoÏ�è�Ô_Õ�Î�Ñ`Î ï é5ÓÑ%Ô_ÑRÑRÓí]çeÏUÎTÑ�Ð'ÎTÕ5Õ5ÓÑ�Ö¥ä¥å]Ñ�Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ�Ô ï Ó�9]ç:Î#ÏUà� bÔoä�ÎTÕ$�å]ÕeÏ_è�Ôoä_D�ÔUà �5ÑnÔ_Ð!ÓTì ' �9é5Ó`9�ç:ÎTÕ ï Ô ï Ô�ÓNà ;=< ÎTÕ$� � Önÿ3ì�Ï�åeå]ë�Ð!å]ÑRÓ�Ô_Õ5Õ5å�üLç5å�ç:à+a%é5åTê9Óî]ÓÑNß3ÎÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ �:Î�ànÓ��'ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà ï å&�¢Ó¯àné5åTê=Õ�ÏlÎ ï ÓÑ�ÑRÓî�ÓNÎ#ÏUà ï é:Î ï%ï é5Óè Ô_Õmî]åtÏ�î�Ó�ànç+� ï Ï_Ó�^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_å]Õ:àåTä¡Î ï Ô_Õeè'ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ]ß�Ï_ÓNàRà ï é:ÎTÕ�ØB$ �cb 'Od]ç:üjé �¢Óé:Î#î]Ô_å]ç5Ñ`à �5ÑRÓNüjÏ_ç$�eÓ ï é5Ó�ç:ànÓ=åTä�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRèÑRÓNÎ8ϧÎ]ànèeÐ � ï å ï Ôlü ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5ÓNà�Ô_Õ�Шåmà ï ànç5Ð'à9åtä ï éeÔUà ï è��¢Ó,'f î]ÓÑ ï é5Ó(�:Î]à ï!ï êDÓÕ ï è¾è]ÓNÎTÑLàß��:ÓÑjé:Î��:à'à�å]Ð!Ó �5ä ï è¾å+�+� ÎTÕ:Î#Ï_è5ànÓNà¨åTäbÎ8Ï�í�å]ÑnÔ ï é5Ð'à å�ÑÑRÓLÏUÎ ï Ó�� ÓîTÎ#Ï_ç:Î ï Ô_å]Õ:à�åTä��:ÎTÑ`ÎtÐ!Ó ï ÓÑ`à¨åTä�üLå]Ð �eÔ�Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï�à ï ÑRç:ü ï ç5ÑRÓNà!é:Î#î]Ó�Ô_Õeî]åTÏ_î]Ó�� Ô_Õ ÎüLÑRç:üjÔUÎ#Ï9ê=ÎNè�Î�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï ÑRÓNÎ ï ШÓÕ ï åTäDé:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUü!ànç5Ð�àWåTä=ànå]Ñ ï à ':g¾Ó!àné:Î8ÏrÏ9å]ÑRímÎtÕeÔihÓ�ÎTÕ$��eÓ ï Î8ÔrÏ3Ô_Õ¨ÏlÎ ï ÓÑDànÓNü ï Ô�å�Õ:àDà�Óî]ÓÑ`Î#Ï3åTä ï é5ÓNànÓ�Ó��/ÎTÐ��eÏ�ÓNà ï é:Î ï üÎTÕ �¢Ó �5ÑjåmÎ,��Ï_è'üÎ ï Óí�å]ÑnÔjhÓ��3ß�Ô�Õï ÓÑjÐ'à9åTä ï é5ÓLÔ�Ñ�Ñ`ÎTÕ5í�ÓWåTäFÎ �+�eÏrÔUüÎ ï Ô�å�Õ:àß�Î�à�äæåtÏrÏ_åTê�à '

Page 3: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �

� ��Ô_íTÔ ï Î#ϧànÓNÎtÑ`üRéeÔ_Õ5í!Ð¨Ó ï é5å*�5à��Ñ`Î ��Ô �+)¥Ó��:üRé:ÎTÕ5í�Ó[ànå]Ñ ï ß+��Ô�ítÔ ï Î#Ï ï ÑRÓÓNàß+��Ô_íTÔ ï Î#Ï�ànÓNÎTÑ`üjéï ÑRÓÓNà�áâÚ7�#ã5ÎTÕ$� ï é5ÓLÔ_Ñ�í]ÓÕ5ÓÑ`Î8ÏrÔjhNÎ ï Ô�å�Õ:à£ÏoÔ_ë]ÓM,��5ç:üjë]Ó ï - ï ÑRÓÓNà�áâÞ7 #ã.ß�%Î ï ÑnÔUüjÔlÎ ï ÑRÓÓNà�á�Ú7�eßÙ7$#ã.ß5ànçQ� � ï ÑjÓÓNàWá ÛmÙ#ã '

� ��Ô_íTÔ ï Î#Ï ï ÑRÓÓNàß/î8ÎTÑnÔUÎTÕ:üLÓ ÎTÕ$� �eÔUÎ]à�Ó�� ) �eÔ ï Ð!å+�eÓLÏUà�áâÚtÛ:ß �8ÝTã '� ��ÑjÓÓ�Ð'ÎTÕeÔ �5çeÏUÎ ï Ô_å]Õ Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð'à�9é5ÓLÔ�í�é ï ÎTÕ$��à ï Î]üjë �eÓ � ï é×á_Ø��#ã.ߢÑRÓíTÔUà ï ÓÑWÎ#ÏoÏ_å�üÎ�)ï Ô_å]Õ¾áâÚ7$#ã '

� d ï ÑnÔ_Õ5íWànÓNÎTÑ`üjéeÔ_Õ5í¯ÎTÕ$� ï é5Ó�å5üüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓ9åTä+�:Î ïRï ÓÑRÕ:à�Ô�Õ!à ï ÑnÔ_Õ5ímà%á��]Ù#ã¢Ö{ÎTÕ$��ÑRÓLä¥ÓÑRÓÕ:üLÓNàï é5ÓÑRÓLÔ_Õ3ì`ߣê9Ô ï é Î �+�eÏrÔUüÎ ï Ô�å�Õ:à ï å�üÎTÑRÑjè �5Ñjå,�:ÎTímÎ ï Ô�å�Õ�Ô_Õ �eÔ_Õ:ÎTÑRè Î,�+�eÓÑLà!áâÚ��ã9ÎTÕ$��5Î ï Î üLå]Ð �5ÑjÓNàRàqÔ_å]Õ á ÛmÙeß5Û��ã '

� Ò�çeÏ ï Ô ��Ô_Ð!ÓÕ:à{Ô�å�Õ:Î#ÏDànÓNÎTÑ`üjéeÔ_Õ5í �5ÑRå,�eÏ_ÓÐ'à�á� ]Ý#ã¡ÎtÕ$���%ç:üjÏoÔ �eÓNÎTÕ¾Ð'Î ï üRéeÔ_Õ5í�á��#Û8ã '� � � ï ÓÕ$��Ô �eÏ_Ó[é:Î�ànéeÔ_Õ5í­ÎTÕ$��í�ÑnÔ � �5Ï_Ó�Ð!Ó ï é5å*�5àWá�� eß��8ÞTã '� %ÎTÑ`Î#ÏoÏ_ÓLϦÎtÕ$� ��ÔUà ï ÑnÔ �5ç ï Ó���Î#Ï_í]å�ÑnÔ ï é5Ð'à£ÏoÔ_ë]Ó ï é5Ó Ï�ÓNÎ �eÓÑDÓLÏ_ÓNü ï Ô_å]Õ ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5ÓWåTä�á�� $#ã.ßüLå]Ð!Ð ç5ÕeÔUüÎ ï Ô_å]Õ �5Ñjå ï å5üLåTÏUà �:Î]ànÓ���å]Õ ï é5Ó 8DÎ �:Ó ï ÎTÕ:Îtë]ÔUàqÜ*��ànè��:Îtë]åTî�àRüRé5ÓШӭá 7$eßÞ]ÝeßÛ �eß��]Þ#ã.ß �:ÎTÑ`Î8ÏrÏ_ÓLÏ�à�å]Ñ ï Ô_Õ5í=Õ5Ó ï ê9å]ÑRë5à��:Î]ànÓ��Wå�Õ:0DÎ ï üRé5ÓÑLà+4Lå*�+� )¥Óî]ÓÕ àRüjé5ÓÐ!Ó�á��TÚNã '

� ��Ô_î]Ô �eÓLÜ�ÎTÕ$��Ü5üLå]Õ=9]ç5ÓÑ9Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð�à���Ð!ÓÑjí]ÓNànå]Ñ ï á� ]Ú#ã5ÎTÕ$��í]Óå]Ð!Ó ï ÑnÔUü�Ð�Î �mÔ_Ð'Î �:Õ$� )Ô_Õ5í�á� TÛTã '

� =ÎTÕ$�eå]Ð�ÔihÓ�� �5Î ï Î!à ï ÑRç:ü ï ç5ÑRÓNàYß]ÏoÔ_ë]Ó!ànë�Ô ��ÏoÔUà ï à�áâÚ7 #ã '� %ÑRå �:Î��eÔoÏrÔUà ï Ôlü ÓNà ï Ô_Ð'Î ï Ô_å]Õ Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð'à� �5Ñjå,�:Î��eÔoÏoÔlà ï ÔUü üLå]ç5Õ ï Ô_Õ5í á ��ã.ß�Î,�5Î � ï Ô_î]ÓàRÎTÐ �eÏoÔ_Õ5í�á� ]Þ#ã.ßeå]Ñ�Î��+�5Ñjå��eÔ_Ð'Î ï Ó�üLå�ç5Õ ï Ô_Õ5í�á 7 eß��mØã '

�qÕ'Ð'ÎtÕmè üÎ]ànÓNàß�Õ5å ï Î��eÏ_è ��Ô_íTÔ ï Î#Ϧà�ÓNÎTÑ`üjé ï ÑRÓÓNàß�é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð'à�ÎtÑRÓ�ÎTÕ!Î#Ï ï ÓÑRÕ:Î ï Ô_î]Ó ï å ï é5ÓÐ!Ó ï é5å*��åTä_,+�ÔUüLÓ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#ÏUà.- ï é:Î ï Ôlà ��ÔUàRüLç:àRànÓ�� Ô_Õ �eÓ ï Î#ÔoÏ¡ÓLÏUànÓê=é5ÓÑRÓ�áâÞTÛTã 'd]å]ШÓ��5ÑnÔ_ÓLä Î]üüLå]ç5Õ ï à9åtä ï é5ÓWÐ¨Ó ï é5å*��ÎTÑRÓWíTÔ_î]ÓÕ Ô_Õ ï é5Ó �:åeå]ë�à �mè�Ì�åTä¥ÑnÔ�á Û]Û5ß+� '¢ÛmÙ���ã.ß2�ÓÐ � á�Ú5ØTß � '�ØÛ:ØãqߧÒ�ÎTé5Шå]ç$�×á��7 #ã.ß%ÎTÕ$� Ô_Õ ï é5Ó�é:ÎTÕ$� �:åeå]ë üjé:Î�� ï ÓÑ�áâÙTÛTã ' g¾Ó!ä¥åTÏoÏ_åTêé5ÓÑRÓ ï é5Ó�ÎTÑ`üjéeÔ ï ÓNü ï ç5ÑRÓWåtä ï é5ÓbÔ_Õeäæå]ÑjÐ'Î#Ï¡ànç5ÑRî]Óè�áâÞ5ØLã '��ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà=åtä ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ ÎTÑjÓWç:ànç:Î#ÏoÏ_è ï ÑRÓNÎ ï Ó���Ô_Õ �eÓ ï Î8ÔrÏhÔ�Õ �:åeå]ë5àå]Õ Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ'àß�ÏoÔ�ë�Ó ï é5åmànÓWåTä ��åeÓ ï àRüjé¾á_ØNÙ#ã.ß�g Ô �+�eÓÑ áâÙ7�#ã.ß5å]Ñ ��Ô ï üRé5Ð�ÎTÑ`àné áâÙ7 #ã '� ànèeÐ � ï å ï ÔUü�Ð!Ó ï é5å+�5à�Ô_Õ üLå�Õ5Õ5ÓNü ï Ô_å]Õ ê Ô ï é Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à'ÎTÑjÓ ��ÔUàRüLç:àjànÓ�� ê Ô ï éeÔ�Õï é5Ó�üLå]Õ ï Ó�� ï åTäbÎ �+�eÏrÔ_Ó��2Ð�Î ï é5ÓÐ'Î ï Ôlüà�Ô_Õ ï ÑjÓNÎ ï ÔUànÓNà��mè]�WÎ#î]Ô_ÓNà�á_ØNÞ#ã.ß ��Ô�Õ5ítÏ�Ó×á_Ø��Äãqß=ÎTÕ$�g¾å�Õ5í­á�Ù]Ù#ã '��.Õ �:ÎTÑ ï ÔlüLçeÏUÎTÑ#ß5å]ç5Ñ9ê9å]ÑRë ÔUà=üjÏ_åmànÓ�Ô_Õ�à��eÔ_ÑnÔ ï=ï åMg å]Õ5í=4âà�ê=é5å ��ÔUàRüLç:àRànÓNà Ó�� ï ÓÕ+)àqÔ_î]ÓLÏ_è�ÎTÕ�ÎtÕ:Î#Ï_å]í]ç5Ó�åtä§é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUüWànç5Ð'à�Ô_Õ ï é5ÓWä¥å]ÑRÐ åTä_,Lé:ÎTÑRШå]ÕeÔUü�Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ#ÏUà.-� Ö{ÿ3ì� � �� �3Ö��3ì � Ö��£Ö��¦ì{ÿ3ì+�����Ö{Ú�ì

Ö��qÕ ï éeÔUà�üLå]Õ ï Ô_Õmç5å]ç:à�üÎ]ànÓ]ß �eè ξüRé:ÎtÕ5í]Ó�åTäWî8ÎtÑnÔUÎ��eÏ_ÓNàß=å]Õ5Ó�Ð�ÎNè×Î#Ï_ê=Î#è�à!Î�àRànç5Ð!Ó ï é:Î ï�£Ö��¦ì�� ��'oì d]å]ШӾåTä ï é5Ó¾Ð�ÎTÕmè×ç:à�ÓNà�Ô_Õ Õeç5Ð �¢ÓÑ ï é5Óå]ÑRè2ÎTÑRÓ ï ÑRÓNÎ ï Ó�� äæå]ѨÔ_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓÔ_Õ á Û�ß!�mß5Û #ã '�#"%$'&)(�$+*�,.-0/21 � Ð'ÎtÍ{å]Ñ�ç:ànÓ�åTä�Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à�Ô_Õ Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà�ÔUà�ä¥å]Ñ�ÓNà ï Ô )Ð'Î ï Ô_Õ5í[Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ�è¨é:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü=à�ç5Ð'à9Ö! �ì '��9é5Ó[� � ÎTÑRÓ ï é5ÓM,ÎTÐ��eÏrÔ ï ç$�eÓNà�-5ß ï é5Ó�� � ÎtÑRÓï é5Ó`,`äæÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNà.-5ß:ÎtÕ$� � Ö{ÿ¦ì�ÔUà ï é5Ó , �:Î]ànÓ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ=-+'�Ì�ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlüWà�ç5Ð'à9ÑRÓ��eç:üLÓ ï å ç:ànç:Î8Ï%/å]ç5ÑnÔ_ÓÑ!ànÓÑnÔ_ÓNà�ê=é5ÓÕ ï é5Ó �:Î]à�Ó!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö{ÿ¦ì9ÔUà ï ÎTë]ÓÕ ï å(�¢Ó­Î�üLå]Ð �eÏ_Ó�� Ó��+�:å�Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï.ß�Ö{ÿ3ì �!�3�4 P ß:ÎtÕ$� ï é5ÓWä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ�ÓNà�ÎTÑRÓ ï é5Ó�Ô�Õ ï Óí]ÓÑLàß�� � ��D '5�6 ðþñNòPòoóUô×õ¥ön÷]ô/øUùú]öLû�ø­÷]ô 7 õ�(eñ98æøÄñH��÷]ön÷]õ¥óPú]ô�: ��önú��5ñNöLõK� 6 �9é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ Î�à�eÓ��:Õ5Ó�� Ô_Õ Ö`ØTì[üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓNà Ô_Õ Î à ï ÑnÔ � åTä ï é5ÓþüLå]Ð �eÏ_Ó�� �eÏlÎtÕ5Ó üÎ8ÏrÏ_Ó�� ï é5Ó äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ï

Page 4: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

à ï ÑnÔ � 'M0�è¾Î ��Ô_ÑRÓNü ï üjé:ÎTÕ5í]Ó åTä9î8ÎTÑnÔUÎ��eÏ_ÓNàß ï é5Ó!Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ åtä � Ö���ÿ3ì�Ôlà � �*�Wï Ô�ШÓNàï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ

� Ö��Tì=åtä � Ö{ÿ3ì ' �9éeç:àß �eè�ÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑnÔ ï è]ß ï é5Ó'Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ åtä Î�í]ÓÕ5ÓÑ`Î8Ïé:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð ÔlàbÖ{üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ:Î8ÏrÏ_è¢ì � Ö��Tì ���Ö��Tì�� � Ö��tì��Ö!��ìê=é5ÓÑjÓ

��Ö��Tì� � ��� � � �*�� � � Ö��tì� ���� �Ö{ÿ¦ì{ÿ$� �$���eÿ �

� ï�ï é5ÓÑRÓLä¥å]ÑRÓ�ä�Î]ü ï å]Ñ`à�Î]à ï é5Ó��5ÑRå*�eç:ü ï åTä ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ åTä ï é5Ó��:Î]ànÓ ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ×ÎTÕ$��åTä=Îí]ÓÕ5ÓÑLÎ#ÏoÔihÓ�� ��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà�� ðþñNòPòoóUô¨õ¥ö{÷�ô5øPùÄú]öLû�ø=÷��7��òoóPñ 7 õ¥úY(m÷�ö`û ú]ô¢óe��ø+*mû�ø 8PøñT�5÷]ön÷]õ¥ñ�:õ�(mñ¨÷]û���òoóUõK*�7]ñ���ùÄönñ���*eñNô ��� �5÷]óUöFùÄönú]û õ�(mñj÷TøÄñFù *eô=�#õ¥óUú�ô 6�9é5Ó!óPô��#ñNöjøÄóPú]ô�õ�(mñ`ú�ö{ñ#û ä¥å]Ñ�Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'àFÔUà=ÎTÕ:Î#Ï_å]í�å]ç:à ï å %/å]ç5ÑnÔ_ÓÑ9Ô_Õeî]ÓÑ`àqÔ_å]Õ�ß

ýhÖ{ÿ3ì� Ø � �� ����� 4 �� � 4 �

ý Ö��Tìnÿ �*� � �,�Ö ��ì

�9é5ÓÑjÓ]ß ï é5Ó9Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î ï Ô_å]Õ ÏoÔ_Õ5Ó���Ö��tì� ��=àné5å�çeÏ ���:Ó ï ÎTë�ÓÕ Ô_Õ ï é5Ó äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ϧà ï Ñ�Ô �¨åTä ï é5ÓÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ('09Î]àqÔUü�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï$�5Ñjå,�:ÓÑ ï Ô�ÓNàFåTä ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ÎTÑRÓ�ÑjÓNüÎ#ÏoÏ�Ó���Ô_Õ d]ÓNü ï Ô_å]Õ�Ø�Ö��9é5Ó )å]ÑjÓÐ ØTì�ÎTÕ$� ï é5Ó�ànÓ �:ÎTÑ`Î ï Ô�å�Õ �5ÑRå,�:ÓÑ ï è¨ÔUà=Ó��+�5ÑRÓNàRà�Ó�� �eè #3ÓШÐ'Î åTä d]ÓNü ï Ô_å]Õ�Þ+'��6�� ú]òoñø�únùþõ¥ön÷]ô/øUùú]öLû�ø­÷]ô 7×÷Tø+�8û���õ¥ú�õ¥óe�Yø�únùþú]öLó��]óPô:÷]ò�ø 6 �9é5ÓÑjÓ�ÔUà'Îþäæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ï

üLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$�eÓÕ:üLÓ �¢Ó ï êDÓÓÕ ï é5Ó[Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ�åTä�Î�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ¾Ö.ÓLÔ ï é5ÓÑ�Î ï $ å]Ñ &×ìÎTÕ$��à{Ô�Õ5í�çeÏlÎtÑnÔ ï Ô_ÓNàWåTä ï é5Ó ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ!Ó���äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '%hÔ_Ñ`à ï ÎTÕ$�bä¥å]ÑRÓÐ!åmà ï ß8Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ­Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUüà¡üLÑjç:üjÔlÎ8ÏrÏ_è!ÑjÓLÏrÔ_ÓNàFå]Õ�÷]ô:÷]ò��Tõ¥ó��_�Lú]ô:õ¥óPô=*e÷]õ¥óPú]ô åTäï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à ' 8�å]Õ:àqÔ �eÓÑ ï é5Ó �5Ñjå,�eÏ_ÓÐ åtä¦Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ�è¨Ó��*�:ÎTÕ$��Ô_Õ5í'ýhÖ{ÿ¦ì¡Î]à�ÿ " $�ê=é5ÓÕý Ö��Tì�ÔUà�ëmÕ5åTê=Õ ï å �:Ó Ð!ÓÑRå�Ð!å]Ñ �5éeÔUüÎ#ÏoÏ_è¾üLå]Õ ï Ô�Õeç:Î��eÏ_Ó�Ô_Õ���' � é5Ó�à ï ÎTÑ ï Ô_Õ5í �:åTÔ_Õ ï ÔUà ï é5ÓÔ_Õeî]ÓÑ`àqÔ_å]Õ¨äæå�ÑRÐ çeÏlÎ�Ö �]ì '��9é5Ó�ÏoÔ_Õ5ÓWåTä3Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ ï Ô_å]Õ ÔUà ï é5ÓÕ�ànéeÔoä ï Ó�� ï å ï é5Ó[òoñ�ùÄõ£ê=éeÔoÏ_Ó ï ÎTë�Ô_Õ5íÑRÓNà{Ô �eç5ÓNà¯Ô_Õ ï å�Î�üüLå]ç5Õ ï ' %/å]Ñ=Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ!ê=é5ÓÕ��! $�ÎTÕ$�¾ý Ö��Tì=é:Î]àWà{Ô�Ð��eÏ�Ó��:åTÏ_ÓNà�Î ïWï é5ÓÕ5å]Õ+�¢åmàqÔ ï Ô_î]Ó Ô_Õ ï Óí]ÓÑ`àYß3ÓNÎ]üRé¾àqÔ_Ð �eÏ_Ó �:åTÏ_Ó!Î ï � @#" üLå]Õ ï ÑnÔ �5ç ï ÓNàWÎ ï ÓÑRÐ �5ÑRå,�¢å]Ñ ï Ô_å]Õ:Î8Ïï å�ÿ%$ à{Ô�Õ:üLÓ ÓNà E ý Ö��tì{ÿ �+� G � > � $ /9ÓNà¦Ö{ý Ö��tìRì � > � $ �#ÿ $ �Ö�� é5ÓÑRÓ ÓNàLÖ � Ö��TìRì � > ��& �eÓÕ5å ï ÓNà ï é5Ó'ÑjÓNàqÔ �eç5Ó�åTä � Ö��tì¯Î ï � � � 'oì�� émç:àߣíTÏ_å,�:Î8ÏrÏ_è Ô_Õ ï Ó )í]ÑLÎ ï Ô_Õ5í­Î8Ï�å�Õ5í�ÎTÕ�Ô�Õ �:ÕeÔ ï Ó¨ÑRÓNü ï ÎTÕ5íTÏ_Ó!ê Ô ï é à{Ô �eÓNà'�¯Ö��Tì (��ÎTÕ$�)��Ö��Tì @#* @ Ø,+ Ö-*ÎTÕ�Ô_Õ ï Óí]ÓÑì�íTÔ_î]ÓNà �eè ï é5ÓWÑRÓNàqÔ �eç5Ó ï é5Óå]ÑRÓÐ

ý�Önÿ3ì� .�$> � Ö�9ÓNàLý Ö��tìRì � > � $ ÿ $0/21 Ö{ÿ . � ��R F ì �Ö{Ù�ì

d]å]ШÓ�Î,�+��Ô ï Ô_å]Õ:Î#Ï&�eÓNüÎNè×üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ å]Õ ý Ö��tìWÔUà!Óî�Ô �eÓÕ ï Ï�è×Õ5ÓNüLÓNàjàRÎTÑRè Ô_Õ×å]Ñ �eÓÑ ï å�Ínç:à�)ï Ôoä¥è�ÖnÙeì '�9é5Ó9üLå]Ð �5ç ï Î ï Ô_å]Õ�å]ç ï ÏrÔ_Õ5Ó��!Î �:åTî]Ó%ÑRÓ�^:ÓNü ï à£Î�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï+�5é5ÓÕ5å]Ð!ÓÕ5å]Õ)� � ú]òoñYøDúnù=÷�ðþñ#òUòoóPôõ¥ön÷]ô/øUùú]öLû ÷]önñ�óPô 7]óUönñ��Nõ �`ú�ö`önñø ��ú�ô 7]ñ#ô=�Lñ43%óUõ�( õ¥ñNöLû�ø�óUô õ�(mñ�÷tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó���ñ65.��÷�ô5øóUú]ô únùõ�(mñ¨ú]ö`ó��]óPô:÷�òNù+*eô=�Nõ¥óPú]ô�÷]õ9ñNóPõ�(mñ#ö�$�ú]ö / & 6

Page 5: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �%/å]Ñ ï é5Ó Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUü�ÓîTÎ#Ï_ç:Î ï Ô_å]Õ åtä[Î é:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð � Ö{ÿ3ì ï éeÔUà �5ÑnÔ_Õ:üjÔ �eÏ�Ó×Î��+�eÏoÔ_ÓNà

ï å � Ö��Tì��5ÑRåTî�Ô �eÓ�� ï é5Ó1��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑ�Ô�ÓNà ��Ö��Tì�ÎTÕ$� ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ � Ö��Tì�ÎTÑjÓ!ÓNÎ]üjé ÎTÕ+)Î#Ï_è ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è üLå�Õ ï Ô_Õeç:Î��eÏ_Ó¾ÎTÕ$�×åTä[üLå�Õ ï ÑjåTÏoÏ�Ó�� í]ÑRåTê ï é ' �9éeÔUà�Î]àRà�ç5Ð � ï Ô_å]Õ×ÔUà¨ÑRÓNÎ#ÏoÔUà ï ÔUü�ä¥å]ÑÐ'ÎtÕmè�Õ:Î ï ç5ÑLÎ#ÏoÏ�è�å5üüLç5ÑRÑnÔ_Õ5í��:Î]ànÓ ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à ÎTÕ$� äæå�Ñ�ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ�ÎTÕ$��ä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ�ÓNà�íTÔ_î]ÓÕ�eè ,`ÏlÎ#ê�à�- ï é:Î ï ÎTÑRÓWÑjÓí]çeÏUÎTÑ=ÓÕ5å]ç5í]é '�9é5Ó¨ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�üLå]ÑRÑRÓNà �:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ�ÔUà Ó��+�eÏ_å]ÑRÓ�� Ô_Õ�d]ÓNü ï Ô_å]Õ3 Ö��9é5Óå]ÑjÓÐ'à Þ5ß%Û5ì�a§Ô ï àÎ��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ ï å é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�à�ÔUà�à��¢ÓLÏoÏ�Ó���å]ç ï Ô�Õ)d]ÓNü ï Ô_å]ÕþÞ '� 58÷]û���òoñ 6 �9é5ÓWÐ!å+�eÓWåTä¡å �:ÓÑ`Î ï Ô�å�Õ�åTäFÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUüàFÔUà9ê9ÓLÏrÏhÔrÏoÏ_ç:à ï ÑLÎ ï Ó�� �eè ï é5Ó

é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð

� Ö{ÿ3ì� ����> � Ö�@WØTì�Ö¥Ï_å]í D¢ì�! � � W P �Ö{Ý�ì

�qÕ ï éeÔUà�üÎ]ànÓ]ß ï é5Ó[üjÏUÎ]àjàqÔUüÎ#Ï¡Ó�9�ç:Î ï Ô_å]Õ:à�£Ö��Tì� � �� ! � P ÿ � �$� �eÿ ÎTÕ$� �eÖ��tì� ����> � ØD � ��eÓ��:Õ5Ó ï é5Ó_�WÎTÐ!Ð'Î ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ!åTä �FçeÏ�ÓÑ9ÎTÕ$� ï é5Ó��Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ hÓ ï Î äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�áâÙ]Ú#ã '��9éeç:àß��£Ö��tì

ÔUà ï é5Ó Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ åTä ï é5Ó �:Î]ànÓbäæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö{ÿ3ì ! �QP ÎtÕ$��Î�àqÔ_Ð �eÏ_Ó'üLå]Ð �5ç ï Î ï Ô_å]Õè�Ô_ÓLÏ �5à

��Ö � ì� �� � Ö`Ø�@ ���*�jì��eÖ��tì ��qÕ ï éeÔUà�ê Î#è]ß ï é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä � Ö{ÿ3ì%ÔUà�ä¥å]ç5Õ$� ï å �:Ó� Ö��Tì� �� ��� F � Ö�Ï�å�í eì���Ö! ,�Tì / Ö`Ø�@ ��� F � ì���_ÖT ,�Tì� ���§Ö��Tì �Ö`ØB$eì� Õ:Î#Ï_è ï ÔlüÎ8ÏrÏ_è]ß ï é5Ó ÑRÓ �5ÑRÓNà�ÓÕ ï Î ï Ô_å]Õ Ö`Ø�$eì%ÔUàbÓNÎ]àqÔoÏ_è!Ínç:à ï Ô �:Ó���ê=é5ÓÕ0��Ö��tì Ø�ß�Î�üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õï é:Î ï ÓÕ:ànç5ÑRÓNà�àqÔ_Ð çeÏ ï ÎTÕ5Óå]ç:àqÏ_èþÎ �:ànåTÏ_ç ï Ó[üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ:üLÓWåTä ï é5ÓM��Ô_ÑnÔUüjéeÏ�Ó ï à�ÓÑnÔ_ÓNà�ÎTÕ$� åTä ï é5ÓÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï '� ï ÔUà�ëmÕ5åTê=Õ ï é:Î ï%ï é5Ó �¯ÎtÐ!Ð'Î�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ­ÎtÕ$� ï é5Ó�hÓ ï Îbäæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ÎTÑRÓ �:å ï é�üLå]Õ ï Ô_Õmç:Î �eÏ�Ó

ï å ï é5Ó üLå]Ð �eÏ_Ó�� �eÏUÎTÕ5Ó�� �£Ö��Tì=é:Î]à�àqÔ_Ð �eÏ_Ó �:åTÏ_ÓNàWÎ ï�ï é5Ó�Õ5å�Õ+�:åmàqÔ ï Ô_î]Ó�Ô_Õ ï Óí]ÓÑ`à�ê=éeÔoÏ_Ó��eÖ��tìé:Î]à å]ÕeÏ_è�Î!àqÔ_Ð �eÏ_Ó �:åTÏ_Ó[Î ï �� Ø,' � Ïlà�å:ß��§Ö��Tì �eÓNüLÑjÓNÎ]ànÓNà ä�Î]à ï Î8Ï�å�Õ5í'î]ÓÑ ï ÔUüÎ#Ï3ÏrÔ_Õ5ÓNà�ê=éeÔoÏ_Ó�eÖ��Tì�ÔUà å]ÕeÏ_è åtä�Ð!å+�eÓÑ`Î ï Ó�í]ÑRåTê ï é ' � émç:àßFíTÏ_å,�:Î#ÏoÏ_è]ß � Ö��tìWí]Ó ï à ànÐ'Î#ÏoÏ9ä¥å]Ñ �#" � T&ÎTÕ$� ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô�å�Õ­üLå]Õ ï å]ç5Ñ=üÎTÕ¨Ï_ÓíTÔ ï Ô_Ð'Î ï ÓLÏ_è �¢Ó�ànéeÔoä ï Ó�� ï å ï é5Ó�Ï_ÓLä ï '�%5å]Ñ�Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß �mèànê9ÓÓ �eÔ_Õ5í ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô_å]Õ üLå]Õ ï å]ç5Ñ ï ÔoÏoÏ ï é5Ó!î�ÓÑ ï ÔUüÎ#Ï£ÏrÔ_Õ5Ó ��Ö��tì @=Ú + 5ß3å]Õ5Ó¨í]Ó ï à�ä¥ÑRå]Ðï é5Ó��¢åTÏ_ÓNàWÎ ï �� �$���@WØ7�B@�

� Önÿ3ì ×Ï_å]í�� � / � � ÿ / � F ÿ F /21 Ö{ÿ=bTR F ì��ê9Ô ï é � � ��� � Ö�@� eì�ÎtÕ$�0� F @�� �F � � Ö�@9Û5ì ' �9é5Ó �:Ñ`à ï ä¥Óê ï ÓÑRÐ�à�ÎTÑRÓ ï é5ÓÕ �eÓ ï ÓÑRÐ�Ô�Õ5Ó��Ô_ÕþÎ�Ð'Î ïRï ÓÑ9åTä�ànÓNüLå]Õ$�5à�ê9Ô ï é ï é5Ó�é5ÓLÏ ��åTä�Î!üLå]Ð �5ç ï ÓÑ�Î#Ï_í]Ó �5Ñ`Î�ànè5à ï ÓÐ�ÏoÔ�ë�Ó�Ò�Î��eÏ_Ó ï é:Î ï,LëeÕ5åTê�à.- ï é5Ó�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:à åTä��eÖ��tì�ÎtÕ$���§Ö��Tì'Î ï �:åtÔ�Õ ï à�åTäWÔ_Õ ï ÓÑRÓNà ï ß9ÏoÔ_ë]Ó��eÖ!$eì @ �F ß� � Ö!$�ì� @�Ï_å]í�� � '

Page 6: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

�9é5Ó�üLå�Ð �5ç ï Î ï Ô_å]Õ�ÔUà�ÓNÎ]àqÔoÏ_è�üÎTÑRÑnÔ_Ó�� å]ç ï=ï å'ÎtÕmè!å�Ñ �eÓÑNß:ÎTÕ$��å�Õ5Ó��:Õ$�5à� Önÿ3ì X Ï_å]í � � / ����> � Ö�@WØTì� �$�D�� Ö! � � F � @×ØTì���PÖ�@� 6D¢ì{ÿ � �d]ç:üjé�ÎTÕ!Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�Ð Ô_í]é ï �:ÓWå,� ï Î#Ô_Õ5Ó��!å ï é5ÓÑRê9ÔUànÓ�î]ÔUÎ Î�ÑRÓ��eç:ü ï Ô_å]Õ ï å �%çeÏ_ÓÑ ).Ò�Î]üjÏUÎTç5ÑnÔ_Õ

ànç5ШÐ'Î ï Ô_å]Õ��5ç ï Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ åTä ï éeÔUà�ä¥å]ÑRÐ çeÏUΨêDå�çeÏ � �¢Ó!é:ÎTÐ �¢ÓÑRÓ����eè ï é5Ó!Î#Ï ï ÓÑRÕ:Î ï Ô_å]ÕåTäWàqÔ_í]Õ ÎTÕ$� �eè ï é5Ó �5ÑjÓNànÓÕ:üLÓ�åTä ï é5Ó�Ï_å]ímÎTÑnÔ ï é5Ð�Ôlü¨ä.Î]ü ï å�Ñ�' Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ2Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlüà[Ôlà ï é5ÓÎ��+�5ÑjåmÎ]üjé�åTäFüjé5åTÔUüLÓ�é5ÓÑjÓ,'�9é5Ó�Ð!Ó ï é5å+� Ôlà�ànç:àRüLÓ � ï Ô �eÏ_Ó ï å'Î�ÏUÎTÑRí]Ó�Õmç5Ð �:ÓÑ�åTä�îTÎTÑnÔUÎ ï Ô_å]Õ:à ' � ï ÔUà�Î��+�eÏoÔlüÎ �eÏ�Ó�ÓNÎ]üjéï Ô_Ð!Ó ï é5ÓY��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï à�ÓÑnÔ_ÓNà�åTäDÎTÕ¾ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ )Pä¥ÑRÓ�9]ç5ÓÕ:üLè �:Î#Ô_Ñ�Ôlà�ÑjÓ��eç:üjÔ �eÏ_Ó ï å­Î�à ï ÎTÕ$�5ÎtÑ �ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ß/ÏrÔ_ë]Óbäæå�Ñ9Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ

����> � ØÖT � ì � Ø

Ø @ �*� � ����> � �/Ö!D¢ìD � �� F Ö��tì ��qÕ ï éeÔlàFê=ÎNèWànç5Ð'àhÔ_Õeî]åTÏ_î�Ô�Õ5í�í]Óå]Ð!Ó ï ÑnÔUüÎ#ÏoÏ�è�Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]à{Ô�Õ5íbäæÑjÓ�9]ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNà%å�Ñ¡éeÔ_í]éeÏ_è ^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_Õ5íÎTÐ��eÏrÔ ï ç$�eÓNà åTä[ÎTÕ2ÎTÑnÔ ï é5Ð!Ó ï ÔUü�Õ:Î ï ç5ÑjÓþüÎTÕ �:Ó¾ÎTÕ:Î8Ï�èQhÓ�� Ó���å]Ñ ï Ï_ÓNàRàqÏ_è]ß�ànÓÓ d]ÓNü ï Ô_å]Õ:à�ÛtÜ��' � Õ5å ï é5ÓÑ ä¥ÓNÎ ï ç5ÑjÓ!ÔUà ï é:Î ï ï é5Ó�üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ �:Ó ï ê9ÓÓÕ �:åTÏ_ÓNà¨åTä ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'àß�ÎTÕ$�Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUü ï ÓÑRÐ'àWåtä å�ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#ÏUà�ä�ÎtÑRÓNà �:å ï é ê=Î#è�à+a ï éeÔUàbä.Î]ü ï Î#ÏoÏ�åTê�àbä¥å]Ñ&�:Î�ànÓ!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:àï é:Î ï Î,�eÐ Ô ï åTä%Õ5å!Ó��+�eÏoÔlüjÔ ïWï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ß�ÏoÔ_ë]Ó�

Ö{ÿ3ì �! � P W � Ø / ÿ �Î]à êDÓLÏoϧÎ�à9Ó���å ï ÔUü[��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ÏrÔ_ë]Ó

��Ö��Tì� ����> � Ï_å]í D� Ø / D F Ö�@WØTì�

D � ��9éeÔUà ^:Ó��mÔ �eÔoÏoÔ ï è2Ó��*�eÏUÎ#Ô_Õ:à ï é5Ó �:åTê9ÓÑ!åTä ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ2Ð!Ó ï é5å+� Ô_Õ Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�ÎTÕ:Î8Ï�è5àqÔUàßê=éeÔUüjé�ê9å]çeÏ ��Î �+�eÏ�è�ä¥å]Ñ�Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ ï å'Î é:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUüWànç5Ð ÏoÔ�ë�Ó

� Önÿ3ì ����> � Ö�@WØtì�Ö�Ï�å�í D¢ì�! � � W P W�� Ø / D5ÿ

Ø / D F ��9é5Ó�í�ÓÕ5ÓÑ`Î#ÏDÐ¨Ó ï é5å*�eåtÏ�å�í]è¾ä¥å]Ñ ÎTÕ:Î#Ï_è hLÔ_Õ5í×ànç:üjé ,jÔ_Ð �eÏoÔUüjÔ ï - ànç5Ð'àbÔUà ��ÔUàRüLç:àRànÓ�� Ô�Õ�d]ÓNü�)ï Ô_å]Õ�Ù+'� òr÷�ô×únù­õ�(eñY��÷ ��ñNö 6 %ÎtÑ ï �bÔlà �eÓî]å ï Ó�� ï å ï é5Ó'í]ÓÕ5ÓÑLÎ#Ï9äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î8Ï�ÎtÕ$� Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUü�5ÑRå �:ÓÑ ï Ô_ÓNà�åTä�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ'à ' f ç5Ñ �5ÑRÓNànÓÕ ï Î ï Ô�å�Õ�Î]àRànç5Ð!ÓNà�å]ÕeÏ_è�ÑRç$��Ô_Ð!ÓÕ ï à�åTäFüLå�Ð )�eÏ_Ó�� ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà�Ö{üLå�Õ ï å�ç5Ñ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8ÏlàYß:ÑRÓNà{Ô �eç5Ó ï é5Óå�ÑRÓÐ�ì=Î]à�ä¥å]ç5Õ$��ä¥å]Ñ9Ô_Õ:à ï ÎtÕ:üLÓ�Ô_Õ×áâÙ5ØTß:Ù�ÚTã '�9é5Ó¨í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï%ä¥Ñ`ÎTÐ!Óê9å]Ñjë�ÔUà�üLå]Õeî]ÓÕeÔ_ÓÕ ï Ï_è �5çeÔoÏ ï å]Õ ï é5Ó #3Ó �¢ÓNàní]ç5Ó¨Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ#ϯáâÙ/Ø8ß 8�é '���ã

Î#ÏoÏ_åTê9Ô_Õ5í �eå]Ð Ô_Õ:Î ï Ó��¾üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ:üLÓ �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNàߣÑ`Î ï é5ÓÑ ï é:ÎTÕ�å]Õ ï é5Ó �Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ#Ï '�9éeÔUà ��ÔUà ï Ô_Õ:ü ï Ô_å]Õ�ÔUà9é5åTêDÓî�ÓÑ�ànå]Ð!Óê�é:Î ï Ô�ШÐ'Î ï ÓÑnÔUÎ#Ï%Î]à=à��¢ÓNüjÔ ��ü�Ó��:ÎTÐ �eÏ_ÓNà=üÎTÕ �:Ó&�eÓNÎ#Ï ïê9Ô ï é ç:àqÔ_Õ5í �Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#ÏUàbå]ÕeÏ_è,' � Õeç5Ð �¢ÓÑ�åTä=Ó��:ÎTÐ �eÏ_ÓNà�ÑRÓLÏUÎ ï Ó�� ï åþüLå�Ð �eÔ_Õ:Î ï å,)ÑnÔUÎ#ÏDÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà�ÎTÕ$� ï é5Ó!ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUàWåTä=Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð�à�ÎTÑRÓ ï é5ÓÕ��5ÑRÓNà�ÓÕ ï Ó��þÔ�Õ %ÎTÑ ï � � ' %hÔ�Õ:Î8ÏrÏ_è]ßÐ!Ó ï é5å*�5à�ä¥å]Ñ �eÓNÎ8ÏrÔ_Õ5í�ê9Ô ï é�ê Ô �eÓÑWüjÏUÎ]àRànÓNà�åTä§à�ç5Ð'à9ä¥å]ÑRÐ ï é5Ó�à�ç+�5Í{ÓNü ï åTä %ÎtÑ ï ��� ��'

� 1%� -0, ,+$'& "��&!/� ��"�� /���&��2 �/���� *������ $ (�/

Page 7: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �

�qÕ ï éeÔlà �:ÎtÑ ï ß5ê9Ó�ÏUÎNè(�eåTê=Õ ï é5Ó �:Î]àqÔUübäæÑLÎTÐ!Óê9å]ÑRë�åTäDÒ�ÓLÏoÏrÔ_Õ Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUüà ' d]ÓNü ï Ô_å]Õ×ØíTÔ_î]ÓNà ï é5Ó��:Î]àqÔUü ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà�åTä�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ'àWÎTÕ$� d]ÓNü ï Ô_å]Õ ��ÔUàRüLç:àRànÓNàï é5Ó�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ��¢Ó ï êDÓÓÕ�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà�åTä¦ÎTÕ�å]ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#Ï¢äæç5Õ:ü�)ï Ô_å]Õ×ÎTÕ$� àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNà åTä�Ô ï à ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ(' d]ÓNü ï Ô_å]Õ Þ(�eÓî�ÓLÏ�å �:à ï é5Ó �:Î]àqÔUü ï ÑRÓNÎ ï Ð!ÓÕ ï åTäé:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð'à ï é:Î ï ä¥å]ÑRÐ ï é5Óþà�ç+�5Í{ÓNü ï åTä ï éeÔUà �:Î��¢ÓÑ�' d]ÓNü ï Ô�å�Õ Û �5ÑnÔ_Ó�^:è Ó��:ÎTÐ Ô_Õ5ÓNàüLå]Õ:à�Ó�9]ç5ÓÕ:üLÓNà�ä¥å]Ñ9í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï%ànç5Ð!Ð'Î ï å]ÑRè ä¥å]ÑRÐ çeÏ���'

Ø,'������#ËUÊ5Æ�Ç� �5ÆTŦË����g¾Ó9à ï ÎTÑ ï �eèWÑRÓNüÎ#ÏoÏoÔ_Õ5í ï é5ÓDàjÎ#ÏoÔ�ÓÕ ï �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNàhåTä ï é5ÓDÒ�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ(' � é5Ó �eÓ��:ÕeÔ ï Ô_å]Õ�eå]Ð�Î#Ô_Õ�åTä�Î�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ ï ç5ÑRÕ:àhå]ç ï�ï å �:Ó9Î�à ï ÑnÔ � '�g¾Ó ï éeç:à¢Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üLÓ ï é5Ó�Õ5å ï Î ï Ô_å]Õ��� �����¡ä¥å]Ñ ï é5Ó!ú���ñ#ô�øõ¥öLó ��åTäFüLå�Ð �eÏ_Ó���Õmç5Ð �:ÓÑLà �� �� / ��9ànç:üRé ï é:Î ï ��� � � ��'� -�� &)$ � $ � &�� 1! ¦ñ#õ=ýhÖ{ÿ3ì Rñ�òoú��L÷]òPò��" �ñ jñø �7*eñ�óUô¢õ¥ñ-��ö{÷ òoñ�ú �Nñ#ö�Ö!$�� / &×ì 6$# (mñ�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ únù�ýhÖ{ÿ¦ì¯ólø 7]ñ�%Dô:ñ�7 �

& á�ý�Önÿ3ì�a��ã+ ý Ö��tì� � �+�� ýhÖ{ÿ3ìnÿ ����� �mÿ �Ö`Ø�ØTì

# (eñ=òo÷]ö��]ñøõ:ú ��ñNô�øõ¥ö`ó � ��� ���'�%óPô43�(mó��+(�õ�(mñ=óPô:õ¥ñ �]ön÷]ò6�`ú]ô �Nñ#ö ��ñø�ólø �`÷�òUòoñ�7�õ�(mñ§äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ïà ï ÑnÔ � 6%/ÑRå]Ð ï é5Ó �eÓNüLå]Ð �¢åmàqÔ ï Ô_å]Õ)( �� *( �� / ( �� ߣê9Ó'ànÓÓ ï é:Î ï � ÔUà ï é5Ó!Ô_Õ �:Ð ç5Ð åTä�Î#ÏoÏ,+

ànç:üjé ï é:Î ï ýhÖ{ÿ3ìnÿ - �$� ÔUàbÔ_Õ ï Óí�Ñ`Î��eÏ_Ó'åTî]ÓÑ ÖT$��NØã%ÎTÕ$�.�×ÔUà ï é5Ó�ànç+�5ÑRÓÐ ç5Ð åTä�Î#ÏoÏ�/ ànç:üjéï é:Î ï ýhÖ{ÿ3ìnÿ 0 ��� ÔlàFÔ_Õ ï Óí]Ñ`Î��eÏ_Ó�åTî]ÓÑ�á_Ø6� / &×ì '%Ò�åmà ï ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�é:Î#î]Ó¯ÎtÕ!å]Ñ �eÓÑ9Î ï $ ÎTÕ$� &ànå ï é:Î ï ÎTÕ�Ó��eÔUà ï ÓÕ:üLÓ à ï ÑnÔ ��ä¥å]Ñ�ý Ö��TìDüÎTÕ �¢Ó�í]ç:ÎtÑ`ÎTÕ ï ÓÓ�� '� -�� � �)� 1 # (mñY�Lú]ô 7�óUõ¥óPú]ô5ø

ýhÖ{ÿ¦ì P21 �43 1 Ö{ÿ " ì�� ýhÖ{ÿ3ì P51 �+� 1 Ö{ÿ76Tì��3�(mñ#ô98 ;:7< �7*e÷]ön÷]ô¢õ¥ñ`ñ õ�(m÷]õ%ý Ö��TìWñ�5Tó_øõPø¯óPô�õ�(mñ øõ¥ö`ó � � @�85�B@�: � 6�9éeç:àß5Ó��eÔUà ï ÓÕ:üLÓ�åTäFÎ Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ÔUà=í]ÑLÎTÕ ï Ó�� ä¥å]Ñ9Ï_å5üÎ#ÏoÏ�è Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î��eÏ_Ó�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à �

ê=é5åeànÓ Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï Ô_Õ ï é5Ó[å�Ñ �eÓÑ�Î ï $¨ÔlàWà ï ÑnÔUü ï Ï_è�ÏlÎtÑRí]ÓÑ ï é:ÎTÕ ï é5Ó Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï åTä ï é5Ó å]Ñ��eÓÑÎ ï Ô_Õ �:ÕeÔ ï è,' # (mñ�÷Tø+�Tû��3õ¥ú]õ¥óe�bùÄú�ö`û¹únù[ýhÖ{ÿ3ì ÷]õ>= �Lú]ô/øÄõ¥ön÷]óPô5ø õ�(mñ�òoñ¥ùõ¥û[útøÄõ'Rú6*mô 7]÷]ö���únùõ�(mñ£ù+*eô 7]÷]û ñ#ô:õ¥÷]ò/øÄõ¥öLó ��únù9ý Ö��tì�?¡õ�(mñ�÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��£ùú]ö`û�÷]õ / & �`ú]ô/øÄõ¥ön÷]óPô5ø9õ�(mñWöLó � (mõ¥û úTøÄõjú7*eô 7]÷]ö�� 6 Ò�å]Õ5å]Ð�ÔlÎ8Ïlà�ÿ � ߢÔ_Õ:üjÏ_ç$��Ô�Õ¢í üLå]Õ:à ï ÎTÕ ï àß ï émç:à �eå�Õ5å ï é:Î#î]Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à=ç5Õ$�eÓÑ��Ó��:ÕeÔ ï Ô_å]Õ×Ø,'� à ï é5ÓbÔ�Õ ï Óí]ÑLÎ#Ï �eÓ��:ÕeÔ�Õ5í�ý Ö��Tì �eÓ �:ÓÕ$�5àWÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è�å]Õ ï é5Ó�üLå]Ð �eÏ_Ó��(�:ÎTÑ`ÎtÐ!Ó ï ÓÑ ��ß

Î!Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ÔUà9Ô_Õ�Î,�+��Ô ï Ô_å]ÕþÎTÕ:Î8Ï�è ï ÔUü�Ô_Õ Ô ï à�äæç5Õ$�5ÎtÐ!ÓÕ ï Î#ϧà ï Ñ�Ô � '%/å]Ñ�Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß ï é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ý�Önÿ3ì� Ö`Ø / ÿ3ì ��� ÔUà 1 Ö{ÿ � ìDÎ ï $ ÎTÕ$� 1 Ö{ÿ �$� ìDÎ ï Ô_Õ �:ÕeÔ ï è]ßé5ÓÕ:üLÓWÎ�í]ç:ÎTÑ`ÎTÕ ï ÓÓ���Ó��eÔlà ï ÓÕ:üLÓ�à ï ÑnÔ �¨äæå�Ñ�ý Ö��Tì ï é:Î ï ÔUà � $��NØ@�LßNê=éeÔUüjé'é5ÓÑjÓ¯üLåTÔ_Õ:üjÔ �eÓNà�ê9Ô ï éï é5Ó�äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8ÏDà ï ÑnÔ � ' �qÕ ï éeÔUà�üÎ�ànÓ]ß ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ Ð'Î#è �:Ó¨äæå]ç5Õ$�þäæÑRå�Ð ï é5ÓüjÏUÎ]àRà{ÔlüÎ8Ï 0�Ó ï Î�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8ÏFá�Ù]Úeß+� '= ]ÚTÛ�ã ï å �:Ó

ý Ö��Tì� �àqÔ_Õ � � �

� ,¥���q�]�=�.�BAN���R�¥<m��o�e�U���m�n�.�o�#�]���n�N���.�_�T�R�q�`�!��q�9�{�N���r�q�o�[��q�.�]���`�W�q� ¤ �9�o�]�R��o�o�W�o�T�.�R #�{� ¤ �r� �

Page 8: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ê=éeÔUüjé�ÔUà�ÎTÕ:Î#Ï_è ï Ôlü¯Ô_Õ � $��#Ø@�`ßeÎ]à �5ÑRÓ���ÔUü ï Ó�� '�9é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö{ÿ¦ì� �! �QP àRÎ ï ÔUà �:ÓNà! � P XP51 � 3 Ø6� ! �QP P21 �+� 1 Önÿ � L ì ä¥å]Ñ=ÎTÕeè�� 3$

ànå ï é:Î ï Ô ï à ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ß�ëmÕ5åTê=Õ�Î�à ï é5ÓY�¯ÎtÐ!Ð'Îbäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ áâÙ]Úeß 8�é ' � � �qã�£Ö��tì� � �+�� ! � PTÿ$�������mÿ �Ö`ØB eì

ÔUà�÷[��öLóPú]ö`ó �eÓ��:Õ5Ó��­Ô_Õ � $�� / &)�DÎTÕ$��ÎTÕ:Î8Ï�è ï ÔUü ï é5ÓÑRÓ,'#3Ó ï V¾Önÿ3ì��:Ó ï é5Ó Ö{Ì�ÓNÎNî�ÔUàqÔ �eÓ )PÏoÔ�ë�ÓTì¯à ï Ó ��ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ��eÓ��:Õ5Ó�� �eèV¾Önÿ3ì Ø Ôoä $��×ÿ � Ø7� V Ö{ÿ¦ì �$ Ôoä=Ø � ÿ�'Ö`Ø#Þeì�9é5ÓÕ�ß V Ö��Tì� Ø� ��� � $ � / &)� ��9é5Ó�üLå]Ð �eÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRè äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ V Ö{ÿ3ì ØM@�V Ö{ÿ3ì àRÎ ï ÔUà �:ÓNà V Ö��tì @ � ��� äæå�Ñ ���� @ &3��$ ���eê=é5ÓÑRÓ ï é5ÓWä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï¡à ï ÑnÔ �:à�üLå]ÑRÑRÓNà �:å]Õ$��Ô_Õ5í ï å V ÎtÕ$� V ÎtÑRÓ&��ÔUàPÍ{åtÔ�Õ ï '�� &)( � $ �)&�� ,�* "��*�-0"� $.-0/21:dTÔ_Ð �eÏ_Ó¾üjé:ÎTÕ5í]ÓNà¨åTä¯îTÎTÑnÔUÎ��eÏ_ÓNà¨Ô_Õ ï é5Ó(�eÓ��:ÕeÔ ï Ô_å]Õ åTä�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'àFè]Ô_ÓLÏ ��Î �:Î]àqÔUüWànÓ ï åtä ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ'Î ï Ô_å]Õ�ÑRçeÏ_ÓNà=ànç5Ð!Ð�ÎTÑnÔjhÓ���Ô_Õ(%hÔ_í$'�ØWÎTÕ$� �9é5Ó )å]ÑjÓÐ Ø��:ÓLÏ_åTê&'� - � "�- � � �`����&!( � $ � & � , *�"� *�-�"� $ -�/�� 1! ¦ñ#õ=ýhÖ{ÿ3ì Rñ�÷�ù+*mô �Nõ¥óPú]ô 3�(múTøñ�õ¥ö{÷�ô5øPùÄú]öLû÷�7�û[óPõPø'õ�(mñ�ù+*eô 7]÷]û ñ#ô:õ¥÷]òFøÄõ¥öLó � ��� ����� 6 ¦ñ#õ���jñ'÷�ô¢ú]ô��ñNönú�önñL÷]ò%ô=*eû4Rñ#ö�<W÷]ô 7`�����Rñ�5úTøÄóPõ¥ó �Nñ önñ`÷]ò�ø 6 # (mñNô�õ�(mñ9ùú]òUòoú 3%óPô �¨önñNòo÷]õ¥óPú]ô5ø[(mú�ò 7��

& áâýhÖ���ÿ3ì�a��ã � �+� ý Ö��Tì ��� ��� ���'�& á�� � � � ýhÖ�� � ÿ3ì�a��ã E � � ��� � � � �+�� G �Ný Ö��tì � %Dô¢óUõ¥ñ+� � � 3$& áâÿ��ýhÖ{ÿ¦ì�a �Yã ý Ö�� / �¢ì ��� ��� ���'�& áâýhÖ{ÿ� Lì�a �ã Ø� ý "! ��$# ��� � � � �%����� �

�9é5Ó�Ð!åmà ï Ô_Ð �:å�Ñ ï ÎTÕ ï ÑjçeÏ�Ó�ÔUà ï é5Ó�ö{ñYø �L÷]òoóPô �!ö�*eòrñ ï é:Î ï íTÔ_î]ÓNà ï é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTäDýhÖ���ÿ¦ìÎ]à�� �*� ý Ö��Tì�î]ÔUÎ ï é5Ó[üjé:ÎTÕ5í]Ó�åTä�î8ÎTÑ�ÔlÎ �eÏ�ÓNàWÿ'&" �¦ÿhß$�5Ñjå8î�Ô �eÓ�� ï é:Î ï � /$+'�0�è�ÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑnÔ ï èåTä ï é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ßeå]Õ5Ó�Î#ÏUànå¨é:Î]à

& (e� � � � ý�Ö � � ÿ3ì�a���) +* � � � �� ���, �Ný Ö��Tì��ê=é5ÓÕ5Óî�ÓÑ D Ñ`ÎTÕ5í]ÓNà¨åTî]ÓÑ'Î �:ÕeÔ ï Ó¾ànÓ ï åTä�Ô�Õ$��ÔUüLÓNà ' �9éeÔUà�äæå�ÑRÐ çeÏlÎ üÎTÕ ç:ànç:Î#ÏoÏ_è �:Ó�Ó��+)ï ÓÕ$�eÓ�� ï å�Ô_Õ �:ÕeÔ ï Ó¾ànç5Ð'à ï é:Î ï �eÓ��:Õ5Ó ï é5Ó�é:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�à[Î8Ï�ÑjÓNÎ,�eè ШÓÕ ï Ô_å]Õ5Ó�� Ô_Õ ï é5ÓÔ_Õ ï ÑRå+�eç:ü ï Ô_å]Õ�ß�à�ÓÓ&#3ÓÐ!Ð'Î�Ø�ÎTÕ$� �9é5Óå�ÑRÓÐ Ú �¢ÓLÏ�åTê&' %5å]Ñ9Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓWä¥ÑRå]Ð

ýhÖ{ÿ3ì� ! � PØ�@ ! �QP �! � P / !�� F P / !�� � P / � � � �

Page 9: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �

ýhÖ{ÿ¦ì ý Ö��tì � � � �'�� � ÿ � ýhÖ{ÿ¦ì ý YÖ�� / �¢ì � � @ � � �1@ � �� F ýhÖ{ÿ ì Ø� ý ! �� # � � � � � �'� � 3$

ýhÖ`Ø,+8ÿ¦ì ýYÖ�@ �tì � @ � ��@ � �� � ý�Ö �¦ÿ¦ì Ø� � ý Ö��tì � � � �'� �0 $

� � � � ý�Ö � � ÿ¦ì E � � � � � �+�� G �Ný Ö��tì � é '�Ø]ß5Ú5ß$#3ÓÐ '�Ø��� ýhÖ{ÿ¦ì]Ï_å]í�ÿ �� � ý YÖ��Tì � � � �'�� b � ýhÖ{ÿ3ì @ �#ý#Ö��Tì � � � ��� � � � ÿ ��eÿ

�� P ýhÖ{ÿ¦ì @�Ö�� @×ØTì{ý Ö���@×ØTì � � � @ Ø6��� � @ Ø@�( P� ýhÖ��Rì+� � @ Ø� ý Ö�� / ØTì

��Ë��%É�Æ ��� 09Î]àqÔUü­äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î8Ï �5ÑRå �:ÓÑ ï Ô_ÓNà¨åTä�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à ' �9é5Óï Î �eÏ�ÓFÏoÔlà ï à ï é5Ó�å]ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#Ï5ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ßTÔ ï à£Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ�ßNÎTÕ$� ï é5Ó9î8Î8ÏrÔ ��Ô ï èà ï ÑnÔ �:à '

å]Õ5Ó �:Õ$�5àý Ö��Tì� �£Ö��Tì � ! ØØ � / Ø � / Ø

Þ � / � � � # ��£Ö��tì��eÖ��tì��Î]à�Ï_å]Õ5í�Î]à'��Ö��tì �Ø]ß¡Î�üLå�Õ$��Ô ï Ô�å�Õ ï é:Î ï àqÔ_Ð çeÏ ï ÎTÕ5Óå]ç:à{Ï�è ÓÕ ï Î8ÔrÏUà�Î��:ànåTÏ_ç ï Ó'üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ:üLÓåTä ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï£åTäFýhÖ{ÿ¦ì�ÎTÕ$��åTä ï é5Ó[ànç5Ð �eÓ��:ÕeÔ�Õ5í ï é5Ó[hÓ ï Î�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '� �:ÎTÑ ï ÔUüLçeÏUÎTÑWüÎ]ànÓWåTä ï é5ÓWÑRçeÏ_Óbäæå]Ñ �:åTê9ÓÑ`àFÔlà

& áâýhÖ Øÿ ì�a��ã� @=ý Ö�@ �Tì �dTÔ_Õ:üLÓ ï é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ Ø,+8ÿ Ó��/üjé:ÎTÕ5í]ÓNà $×ÎTÕ$� & ß ï éeÔlà �:ÓÑRÐ�Ô ï à ï å ÏoÔ_Ð Ô ï üLå]Õ:àqÔ �eÓÑ`Î ï Ô_å]ÕåTäWÎ]ànèeÐ � ï å ï ÔUü��5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà åTä¯Î ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ï å�å]Õ5Ó�åTä ï é5Ó ï ê9å(�eÏUÎ]üLÓNà $�� / & ' � ç:ànÓLä¥çeÏÎ��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ�åTä ï é5ÓWÑRçeÏ_ÓbÔlà ä¥å]Ñ ï é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åtä ï é5ÓY�WÎTç:àRàqÔUÎTÕ äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ�ß

& á ! � P W a �Yã Ø �£Ö � ì��ê=éeÔUüjéþÎTÑ�Ôlà�ÓNà�Ô_ÕþÓNà ï Ô_Ð'Î ï ÓNà9åtä§ànç5Ð'à�Ô_Õeî]åTÏ_î�Ô�Õ5í �eÔ_Õ5å]Ð�ÔlÎ8ÏFüLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï à '�9é5Ó�ä¥å]ÑRÐ�Î#Ï�ÑRçeÏ_Ó ���� ý Ö��tì� ����� ýhÖ{ÿ3ìRÖ�Ï�å�í�ÿ3ì{ÿ����$���eÿ

Page 10: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

-�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ÔUà�ÑRÓNÎ,��ÔoÏ_è Í{ç:à ï Ô �:Ó�� ÎtÕ:Î#Ï_è ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è �mè , ��Ô ��ÓÑRÓÕ ï ÔUÎ ï Ô_å]Õ2ç5Õ$�eÓÑ ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï�àqÔ_í]Õ=-+' Ö � àüLå]Ð��eÏ�Ó��+) ��Ô ��ÓÑRÓÕ ï ÔlÎ �eÏ�Ó Ô_Ð �eÏoÔ_ÓNà�ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUüTß ï éeÔlà�Î8Ïlà�å ànç+�+�:å]Ñ ï à�å]ç5Ñ�ÓNÎTÑnÏoÔ_ÓÑþüjÏUÎ#Ô_Ð ï é:Î ïÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à9ÎTÑRÓ�ÎtÕ:Î#Ï_è ï ÔUü¯Ô�Õ ï é5Ó�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#ϧà ï ÑnÔ � 'oì �9éeç:à

& á�ý�Önÿ3ìRÖ¥Ï_å]í%ÿ3ì�a �ã ���� ý Ö��tì �%/å]Ñ Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä:V Ö{ÿ3ì�Ï�å�í�ÿ×ÔUà @WØ,+ � F ß ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åtä ! � P Ï_å]í=ÿ ÔUà� � Ö��tì '8�å�Õmî]ÓÑLànÓLÏ_è]ß ï é5Ó=ÑjçeÏ�Ó�ä¥å]Ñ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ Ô_Õ5í ï é5Ó �eÓÑ�Ô�îTÎ ï Ô_î]Ó�åTä¡ÎTÕ!å]Ñ�Ô�ítÔ�Õ:Î8Ï:ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ!ÔUà �:ÓNà ïÓÕeç5Õ:üjÔUÎ ï Ó�� Ô_Õ ï ÓÑRÐ�à�åtä ï é5ÓWå �:ÓÑ`Î ï å]Ñ

� 2ÿ ��eÿ �%/ÑRÓ�9]ç5ÓÕ ï Ï_è ï é5Ó9ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï¡à ï ÑnÔ �:à�åTä¡ýhÖ{ÿ3ì�ÎTÕ$� � ýhÖ{ÿ3ì£é:Î#î]Ó¯ÎbÕ5å]Õ5ÓÐ � ï è Ô_Õ ï ÓÑ`ànÓNü ï Ô_å]Õ��� � ��� � � ' �9éeÔUà¨ÔUà�ÓÕ:ànç5ÑRÓ�� Ô_Õ ï é5Ó¾üLå]ШÐ!å]Õ üÎ�ànÓ�ê=é5ÓÑRÓ¾ýhÖ{ÿ3ì 1 Ö{ÿ ��� ì�Î]à�ÿ " $ÎTÕ$� ý�Önÿ3ì 1 Ö{ÿ ��� ì�Î]àWÿ "'& ê�é5ÓÕ5Óî]ÓÑ � ýhÖ{ÿ3ìWàRÎ ï ÔUà �:ÓNà ï é5Ó�àRÎTÐ!Ó ÓNà ï Ô_Ð'Î ï ÓNà Ö`ó 6 ñ 6 <ï é5Ó Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü ä¥å]ÑRÐ åTä ï é5Ó �eÓÑnÔ_î8Î ï Ô_î]Ó åTä!ý üLåTÔ_Õ:üjÔ �eÓNà�ê9Ô ï é ï é5Ó �eÓÑnÔ_î8Î ï Ô_î]Ó åTä ï é5ÓÎ]à�èmÐ � ï å ï ÔUü�ä¥å]ÑRÐ åTä=ý�ì�'���Õ$�eÓÑ ï éeÔUà ànçQ�­üjÔ_ÓÕ ï üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ�ß%ê Ô ï é ýhÖ{ÿ3ì�üLå]Õ ï Ô_Õeç5å]ç:à ÎTÕ$��eÔ_ÓNüLÓê9ÔUànÓ ��Ô ��ÓÑRÓÕ ï ÔlÎ �eÏ�Ó]ߢÔ_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô_å]Õ �mè �:ÎTÑ ï à9è]Ô_ÓLÏ �5à

�)�+�� � ýhÖ{ÿ¦ì{ÿ � �$� �eÿ á�ý�Önÿ3ì{ÿ � ã �+�� @ � � �+�� ýhÖ{ÿ¦ì{ÿ � �$� �eÿ ��� �¯Ö��Tì � �O�ÎTÕ$� ï é5Ó ï ÓÑRÐ áâýhÖ{ÿ¦ì{ÿ � �$� ã �� Ó�9]ç:Î#ÏUà $bäæå]Ñ � � � � � �'� '��9éeç:àß

& á � ý�Önÿ3ì�a��ã� @ �Ný Ö��tì ��9éeÔUà �:ÓÑRÐ Ô ï à ï å&�eÓ��eç:üLÓWÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à£åtä�5ÑnÔ_Ð Ô ï Ô_î]Ó�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à��eèWÔ �eÓÕ ï Ô ��üÎ ï Ô_å]Õ '%/å]Ñ9Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß�äæÑRå�Ð ï é5Ó ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ åTäDÖLØ / ÿ3ì ��� ß5ê9Ó �:Õ$�

& á Ï�å�í=Ö`Ø / ÿ¦ì�� �Yã ��£àqÔ_Õ � � � @WØ � ��Ö��tì � $ ��qÕ ï é5Ó�àRÎtÐ!ÓWî]ÓLÔ_Õ�ß

& � ! �QP @×Ø7��� �£Ö�� / ØTì� �£Ö��Tì�� @WØ � ��Ö��Tì � $��ÎTÕ$��à�å!å]Õ�ß:ànÓÓ %hÔ_í$'� +'�Wú]õ¥ñ�ú]ô!õ¥ön÷]ô5øPùú]ö`û�ø9únù=÷]ô:÷]ò��Tõ¥ó��3ù *eô=�#õ¥óUú�ô5ø 6 � Ï ï é5å]ç5í]é ê9Ó �eå�Õ5å ï Ð'ÎTë]Ó�ç:ànÓ�åtä5Ô ï é5ÓÑjÓ]ß

ï é5ÓÑjÓ=ÔUà9ÎbäæÑRçeÔ ï ä¥çeϦΠ�+�5ÑRåmÎ]üjé ï å ï é5Ó��eÓ ï ÓÑRÐ Ô_Õ:Î ï Ô�å�Õ�åTä ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à£åTä§ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü9ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:àï é:Î ï ÔUà��:Î�ànÓ���å]Õ¾Î�üjÏlÎ�àRàqÔUüÎ#Ï�Ï_åeå,��Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï�ÑRÓ �5ÑRÓNà�ÓÕ ï Î ï Ô_å]Õ �eç5Ó ï å�Ì�ÎTÕ5ë�ÓLÏ�áâÙ]Þeß�Ù�ÚTã ' �W÷]ô�TñNòO�`ú]ô¢õ¥ú7*eö �¹Ôlà¨Î�àqÔ_Ð �eÏ_Ó�Ï_åeå,� ï é:Î ï à ï ÎTÑ ï à¯Ô_Õ ï é5Ó�ç+�+�:ÓѨé:Î#Ïoä ) �eÏUÎTÕ5Ó�Õ5ÓNÎTÑ / & ßüjÔ_Ñ`üjÏ_ÓNà%ÎTÑRå�ç5Õ$� ï é5Ó%å]Ñ�Ô�ítÔ�Õ!üLå]ç5Õ ï ÓÑ`üjÏ_å5üRëeê9ÔUànÓ9ÎTÕ$�WÑRÓ ï ç5ÑRÕ:à ï å / & Ô_Õ ï é5Ó£Ï�åTê9ÓÑ£é:Î#Ïoä ) �eÏUÎTÕ5Ó,'��ä ýhÖ{ÿ3ì�ÔUàWÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü�Ô_Õ à�å]Ð!Ó å,�:ÓÕ¾ànÓ ï�ï é:Î ï üLå]Õ ï Î#Ô_Õ:à á�$�� / &×ì ÎtÕ$�þàjÎ ï ÔUà �:ÓNà�ÑRÓNÎ]ànå]Õ:Î �eÏ�Óí]Ñjå8ê ï é­üLå�Õ$��Ô ï Ô�å�Õ:àß ï é5ÓÕ�W÷]ô�TñNò�� øhùÄú]öLûY*mòo÷�é5åtÏ �5àYß

& áâýhÖ{ÿ3ì����ã� @WØ eàqÔ_Õ#� � � � ýhÖ��WìjÖ�@��Wì����$�,���:� $ � � � ���Ö`ØYÛ5ì

Page 11: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H -�-! �QP �£Ö��tì � $�� / &)�! �QP @×Ø �£Ö��tì � @WØ7��$ �! �QP @×Ø / ÿ �£Ö��tì � @� ���@WØ@�! � P W �F �£Ö �F �Tì � $�� / &)�Ø

Ö`Ø / ÿ3ì�

à{Ô�Õ'� � � $��NØ@�Ï�å�í:Ö`Ø / ÿ3ì ��¡à{Ô�Õ � � � @WØ7��$ �

V Ö{ÿ¦ì � � ��� P � � Ø� � $�� / &)�ÿ � Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì

� V Ö{ÿ¦ì Ö�@WØTì � D��Ö�� / � ì � � � � @ � � / &)� D ���

��Ë �FÉ�Æ ��� � � Ð ÔUüLÑRå+��ÔUü ï Ô_å]Õ:ÎTÑRè�åTä§Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à '�9é5Ó �5ÑRåeåTä=ÔUà �:Î]à�Ó��¾å]Õ×àné5ÑnÔ_Õ5ë�Ô_Õ5í ï é5Ó�üLå]Õ ï å]ç5Ñ ï åTê ÎtÑ �5à ï é5Ó�ÑRÓNÎ#Ï=Î �eÔlà¨ÎTÕ$�¾ç:à{Ô�Õ5í ï é5Óä.Î]ü ï=ï é:Î ï Ô_Õ ï é5Ó�Ô_Õ �:ÕeÔ ï ÓNàqÔ_Ð'Î#Ï%ÏoÔ_Ð Ô ïWï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`ÎTÕ$�­ÔUà=ýhÖ{ÿ3ì{ÿ ����� Ð çeÏ ï Ô �eÏoÔ_Ó����eè�Ö�! � 4�� � @!4�� � ì� @� eàqÔ_Õ � �,�5Ì�ÎTÕ5ë]ÓLÏ�4âà�ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ �:ÓÑRÐ�Ô ï à ï å �eÓ ï ÓÑRÐ Ô_Õ5Ó�Î#ÏoÏ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'àFåTä¡Ñ`Î ï Ô_å]Õ:Î#Ïä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�Î]à9ê9ÓLÏoϧÎ]à9Ð'ÎtÕmè ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ'à%åTä%Ð!ÓÑRå�Ð!å]Ñ �5éeÔUü�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à ' d]ÓÓ'á����]ß:Ù�ÞmߢÙ]ÚTã '��&�-�" / $ �)& 1�g Ô ï é�ÎTímÎ#Ô_Õ��� � / ��9ÎTÕ$� ï é5Ó[üjé:ÎTÕ5í]ÓWåTä%î8ÎTÑ�ÔlÎ �eÏ�ÓNàWÿ �! ��� ß ï é5Ó Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ �:ÓNüLå]ШÓNà�Î %/å]ç5ÑnÔ_ÓÑ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ

ý Ö��Tì� � �� ýhÖ{ÿ¦ì{ÿ � �$� �eÿ @ � �+�� � ýhÖ�! ��� ì�! �� �� ! � 4�� � ������9éeÔUà¨ÏoÔ_Õ5ë�à ï é5Ó ï êDå ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�àß�é5ÓÕ:üLÓ Ô ï �5Ñjå8î�Ô �eÓNà ��Ô_ÑRÓNü ï Ï_è Ô�Õeî]ÓÑ`à{Ô�å�Õ ï é5Óå]ÑRÓÐ'à¨ä¥å]ÑÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à ':g¾Ó!üjÔ ï Ó�é5ÓÑRÓ ï ê9å'Ð�Î#Ô_Õ¾î]ÓÑ`àqÔ_å]Õ:àYß�å]Õ5Ó!ÑjÓLÏlÎ ï Ó�� ï å(#3Ó �¢ÓNàní]ç5Ó¨Ô_Õ ï Ó )í]ÑLÎ ï Ô_å]Õ�ß ï é5Ó�å ï é5ÓÑ ï å`�Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô�å�Õ '� - � "�- ��� �`��&�-0" / $ �)&$� 1�Ö- nì �ñNõ3ýhÖ{ÿ3ì jñ�óPô:õ¥ñ �]ön÷ Yòoñ 3%óPõ�(�ù+*eô 7]÷]û ñ#ô:õ¥÷]ò¢øõ¥ö`ó � ��� ���'� 6�_ù �¨ó_øWø+*Q�+(�õ�(m÷]õ ��� � � � ÷�ô 7!ý Ö � / ��RìWólø�óUô¢õ¥ñ-��ö{÷ òoñ2<¡õ�(eñNô�õ�(mñ!ñ���*e÷]òoóUõK�

Ø � �)��� 4 �� � 4 �

ý Ö��Tì{ÿ �*� � �� 2ý�Önÿ3ì(mú�ò 7tø'÷]òoû úTøÄõ�ñ �#ñNö��,3�(mñNönñ 6 ðþú]önñLú �Nñ#ö�<�ó ù[ýhÖ{ÿ¦ì[ólø �Lú]ô¢õ¥óUô *mú7*�øB<¯õ�(mñ#ô ñ���*e÷]òoóPõK� (mú]ò�7Tø�ñ ���ñ#ö��,3�(mñ#ö{ñ¨ú]ô�Ö!$�� / &×ì 6Ö- nì ¦ñ#õ�ýhÖ{ÿ¦ì jñWòrúB�`÷�òUò���óPô:õ¥ñ �]ön÷ Yòoñ 3%óPõ�(�ù+*eô 7]÷]û ñ#ô:õ¥÷]ò/øÄõ¥öLó � ��� � �'�=÷]ô 7 RñWúnù�jú7*mô 7]ñ�7

�#÷]ö`óP÷]õ¥óPú]ô¾óPô�÷�ô¢ñNó�� ( jú7*eö.(mú#ú 7�únù¯ÿ � 6 # (mñ#ô <5ùú]öW÷]ô ���!óPô�õ�(mñ!óPô:õ¥ñNö��N÷�ò:Ö � � �%ì�<ÏoÔ_Ð� 1 �

Ø � � ��� 4 �� � 4 �

ý Ö��Tìnÿ �*�+� � ýhÖ{ÿ �� ì / ýhÖ{ÿ �� ì �

Page 12: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

-�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

� ö{ú#únù 6 d]ÓÓ!á_ØNÙeß:Ù7 5ß5Ù7�tã '%hÔ_í]ç5ÑRÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï à Î äæÓê üjÏUÎ]àRàqÔUüÎ#Ï=å]Ñ�Ô�ítÔ�Õ:Î8Ï ) ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ �:Î#Ô_Ñ`à�Öný=�LýÄì '¾Ò�å]ÑRÓ'üÎTÕ �:Ó

ä¥å]ç5Õ$��Ô_Õ�à ï ÎTÕ$�5ÎTÑ�� ï Î �eÏ�ÓNà�åTä£Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ'à�á_ØNÝeß=�7�eß=���#ã¦ÎtÕ$��Ô_Õ á��/Ø8ß!���ã ' +'���� ���eÉ�Ã�È ���>�5Ã:Å����'Ê�ÇFÆ3Æ ���@mÇFÃ�È �5Ã�Ê ��9é5ÓÑjÓ!ÔUà Î�î]ÓÑRè��5ÑRÓNüjÔUànÓ�üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ �¢Ó ï êDÓÓÕ ï é5Ó�Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ×åTä�Î

ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]ÕþÎ ï $¨Ö{ÎtÕ$� &×ì`ß5ÎTÕ$� �:åTÏ_ÓNà�åTä£Ô ï àDÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�Ô_Õ�Î�Ï_ÓLä ï Ö.ÑRÓNà�� 'eÑnÔ_í]é ï ì%é:Î#Ïoä )�eÏUÎTÕ5Ó,' ��Î]üjé�Ô_Õ$��Ô�î�Ô �eç:Î#Ï ï ÓÑjÐ Ô_Õ à�ç:üRé ÎtÕ Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ åTä�ýhÖ{ÿ¦ì=é:ÎNî�Ô_Õ5í ï é5Óä¥å]ÑRÐ�ÿ � Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì

�ÔUà%Î]àRànå5üjÔUÎ ï Ó�� ï åWÎ �¢åTÏ_Ó=åTä�ý YÖ��Tì�Î ï �� @#��ê9Ô ï é Ð çeÏ ï Ô �eÏoÔlüjÔ ï è`D / Ø,'��9é5Ó

üLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$�eÓÕ:üLÓ�ä.ÎTÑRÓNà �:å ï é�ê=ÎNè5à '�� ï ÔUà ï émç:à ï é5Ó&�:Î]àqÔUà�åTä�ÎTÕ�Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü �5ÑRå5üLÓNàRà���ú]öñYøÄõ¥óPû ÷]õ¥óUô ��÷tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��`÷�òUò��W÷%ù+*eô=�Nõ¥óPú]ô ��Ö{ÿ3ì��×õK����ó��`÷�òUò��W÷[(e÷]ö`û ú]ô¢óe��ø+*eû � < 7]ñ#õ¥ñNöLû[óPô:ñóPõPø9ðþñNòPòoóUô�õ¥ön÷]ô5øPùú]ö`û�÷�ô 7 õ¥ön÷]ô5øòo÷]õ¥ñ j÷7� �óPõPø9øÄóPô �6*mòo÷]öLóUõ¥óPñø9óUô¢õ¥ú ÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��Wõ¥ñNöLû�ø�óPô'õ�(mññ65.��÷�ô5øóUú]ô�únù ��Önÿ3ì 6#3Ó ï�� Ö��Tì��¢Ó�Ð!ÓÑRå�Ð!å]Ñ �5éeÔUü�Î ï � �� � �£Ô ï Î �eÐ Ô ï à=Õ5ÓNÎtÑ � � Î �÷7*eö{ñ#ô:õ%ñ65.��÷�ô5øóUú]ô

� Ö��tì� ��� ��� �

�Ö���@ � � ì � �Ö`Ø#Úeì

�9é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö��tì�é:Î]à9Î �:åTÏ_Ó�åtä¡å]Ñ �eÓÑ��¯Ôoä�� 3$!ÎTÕ$� � ����� /$5ß�Ô ï ÔUà=ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü�Ö.ÑRÓí]çeÏUÎTÑ#ßé5åTÏ_å]Шå]Ñ �5éeÔUü#ì¯Î ï � � Ôoä�� $+' � øóUô �7*eòr÷�ö[ñ#òoñNû ñNô¢õ=åTä � Ö��Tì�Î ï � � ÔUà�ÎTÕ�Ô_ÕeÔ ï ÔUÎ#Ï�ànç5Ð åTäï é5Ó&#hÎTç5ÑRÓÕ ï Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Ö`ØNÚeì ï ÑRç5Õ:üÎ ï Ó���Î ï9ï ÓÑRÐ'à åTä§å�Ñ �eÓÑ 1 Ö`ØTì%å]Ñ�à�Ð'Î#ÏoÏ_ÓÑ�'� -�� &)$ � $ � & � ��)$'&�� �!, � "�-�� *���&!/�$ � & � 1! ¦ñ#õ � Ö��tì jñ�û ñNönú]û ú]ö �=(mó���óUô�� 3%óUõ�(�� óPô%��#ò\*�7]óPô ��÷]òPò�õ�(mñ �5ú]òoñø!únù � Ö��tì�óPô�� 6�� àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑ Ó��*�:ÎtÕ:àqÔ_å]Õ únù � Ö��tì[óPô�� ólø'÷�ùÄú]öLû ÷]òø+*mû únù�øóUô �7*eòo÷]öWñNòoñNû ñ#ô:õPøWúnù � Ö��TìW÷]õ9÷]òPòQ��ú]óPô:õPøWúnù�� 6 (mñ#ô"! ó_øW÷�øóUô �7*eòr÷�öWñ�5.�5÷]ô5øóPú]ô�únù � Ö��tì¯óPô"�>< 3%ñ!3%ö`óPõ¥ñ

� Ö��Tì$#%! Ö����"��ì �%/å]Ñ�Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ߢå]Õ5ÓWé:Î]àØ� F Ö�� / ØTì # ? Ø� / Ø / / ÞeÖ�� / Øtì A � > �$� / ?%Ø� F @ Ø� A � > � / ?Ø A � > � Ö�� � � @� �� / �Rì��Ö`ØB�eì

ê=é5ÓÑjÓ ï é5Ó �:åTÔ_Õ ï åTä5Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Ð'Î#è �¢Ó%Ô_Õ$��ÔUüÎ ï Ó���ê=é5ÓÕ5Óî]ÓÑ%Õ5ÓÓ��eÓ�� Î]àhÎ=ànç+�:àRüLÑnÔ � ï%ï å ï é5ÓüLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$��Ô�Õ5í�à{Ô�Õ5í�çeÏlÎtÑWÓLÏ�ÓШÓÕ ï ' � é5Ó�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Ö`Ø��eìFÔlà�Î!üLå]Õ:üjÔUànÓ ê=Î#è'åtäDüLå]Ð �eÔ�ÕeÔ_Õ5íÔ_Õeä¥å]ÑRÐ'Î ï Ô�å�Õ'üLå]Õ ï Î#Ô_Õ5Ó��bÔ�Õ ï é5Ó #�ÎTç5ÑjÓÕ ï Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:àFåTä ï é5Ó äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Ö��Tì ��� � F Ö�� / Øtì �$�Î ï�ï é5Ó ï é5ÑRÓÓ��¢åTÔ_Õ ï à�åTä�� '& @WØ6��$��#Ø)(��

� Ö��Tì ��1 ��� Ö�� / ØTì �$� / / Þ�Ö�� / ØTì / � � �=� � Ö��tì( ��1 � � � F @ ���$� / Ø / � � � �� Ö��Tì ��1 �

Ø @ ÚÛ Ö���@×ØTì / Ø �Ù Ö���@×ØTì F / � � �$�*,+ �5¼$-]»#¿�.�/10325476$8:9�978,;=<)>�?A@CBED:>5F ;%�]�=G �R�o�o�o�W�.�{�Y�]�¥�P�N�.� ����q�]���U�]�m���.�o�N�HG �QP �T�n�m�]�j�%�.�]�A=�Y��� �£�U�]�e�n�.�o�N�¢<

IKJMLONQP � �� G � P5R �����TS)R3U

Page 13: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H - ��U�#��� JCL N���� � ,¥�8�q�R N�n��q�r�#� ¤ ���m��q�%�m�j�.���o�q�¡�q�W�N�R�q�â�P�W�.�]�=«£�R�o���T�]�«%�W�P�]�m�n�q�r�#�m��5�BAN�e��.�o�#�

I JCL�� - NKP L IKJMLON U«%�]�_�q����o�o�«%���q� �n¬]�.�R�m� IKJMLON9�q�'�����R�q�N���N�.���]�_�%�P�]�m�n�q�r�#�'�o���q�]�W«%�]�N�o������ � ;%�]���U���m�n�.�o�#�I JCL N%�{�Y�.�o�¥�e�R� I J�-ONKP -N<]�Y�m�b�U�.�#� �.�]���U���m�n�.�o�#�m��5� A#�m�Y�.�o�N�¢<T�N�]�9�m�Y�

IKJCL N P I JCL���� -ONL JML�� - N JCL��1� N� � � JCL�� N��

;%�T�]�L<�IKJMLON£�e��%�e�N�o�R������Y�o�5�.�]�9�e�N�o�T�.�$L$P����«%�o�.������b<#�]�`�Y�%«%�]�_�q�

I JCL N�� J�� -ON $��

-L��� U

�q�W�.�m�Y�%�.�]�=A=�Y���[�F�U���m�n�.�o�#�[�N�t���o�.�

IKJCL N�� ����> � J�� - N�

�-

L�� JML!�"�KNJ�- � N�Y�%�.�o�] N�����Y�¡��¬t�e��]�q�r�#� �r���.�]��«%�]�N�o�9���� � #

��$ "�-0( � � � *�* $'&K� 1&�9é5Óbäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ ! �QP é:Î]à�Î �¡Î#è�Ï_å]Ñ=Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]ÕþÎ ï ÿ /$��! �QP ����> � Ö�@WØTì

�D�� ÿ

� �Ö`Ø#Ùeì

�9é5ÓÑjÓ!ÔUà Î�à ï ÑnÔ_ë�Ô�Õ5í¾üLåTÔ_Õ:üjÔ �eÓÕ:üLÓ�åtä�üLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï à�Ô_Õ ï é5Ó �£Î#è]Ï_å]Ñ Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Ö`ØNÙeì�åTä ï é5Óå]Ñ�Ô�ítÔ�Õ:Î8Ï%äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ! � P ÎTÕ$� Ô_Õ ï é5Ó!àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑ�Ó��*�:ÎtÕ:àqÔ_å]Õ Ö`Ø �]ì9åTä ï é5Ó ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ �§Ö��Tì=Ó��+)�5ÑRÓNàjànÓ�� �eè ï é5ÓWÑRçeÏ_Ó

ÿ� &" Ø� / D ��9éeÔUà ÔUà9Ô_Õ�ä.Î]ü ï Î!üLå]Ð��eÏ�Ó ï ÓLÏ�è�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï �5é5ÓÕ5å]ШÓÕ5å]Õ '

� - � "�- �%$ �`��$+"�-�( � � � * *�$ &K�$� 1 �ñNõ¢ý�Önÿ3ì (e÷ �Nñ�÷ õ¥ö{÷�ô5øPùÄú]öLû ý Ö��Tì 3%óUõ�(!ô¢ú]ô%�nñNû���õK�ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò3øõ¥ö`ó � ��� ���'� 6Ö- �ì � ø`ø+*eû[ñWõ�(e÷]õ�ýhÖ{ÿ3ì9÷�7]û óUõPøW÷TøDÿ " $ � ÷ %Dô:óPõ¥ñW÷Tø+�Tû��3õ¥ú]õ¥óe�Wñ65.�5÷]ô5øóUú�ô�únù�õ�(mñ£ùú]öLû

ýhÖ{ÿ¦ì� �&('*)�+ � - � ',)

�ÿ ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì

�/ 1 Önÿ.-mìÖ`Ø#Ýeì

3�(mñ#önñ�õ�(mñ�/�øÄ÷�õ¥ó_øPù � @!0 � @!/ � � ÷]ô 7�õ�(mñ D ÷]önñ�ô:ú]ô¢ô:ñ �]÷]õ¥ó �Nñ 6�# (mñ#ôþý Ö��Tì ó_ø �Lú]ô%�õ¥óPô=*e÷ òoñWõ¥ú ÷ û ñNönú]û ú]ö �=(mó��%ù+*mô �Nõ¥óPú]ô�óUô�õ�(mñbøÄõ¥öLó � � @!0� �'� 3�(mñNönñWóPõ¡÷27]û óUõPø�õ�(eñWøóUô �7*eòr÷�öñ65.��÷�ô5øóUú]ô

ý Ö��Tì�# �&1',)�+ � - � ',)

� Ö�@WØTì � D��Ö�� / /eì � � � Ö���� � @!0���'�jì �

Page 14: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

- � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

Ö- nì��3óUû óPòr÷�ö`ò�� <=÷Tø`ø+*eû[ñ�õ�(e÷]õDýhÖ{ÿ¦ì[÷�7�û[óPõPø!÷Tø[ÿ)" / & ÷ %9ô:óPõ¥ñ'÷Tø+�Tû���õ¥ú]õ¥ó���ñ�5.�5÷]ô%�øóUú�ô×únù­õ�(eñWùú]ö`û Ö`ØNÝeì43�(mñ#ö{ñ�ô¢ú 3�� � @!/ � @!0 6 # (mñ#ô¾ý Ö��Tì!ólø �Lú]ô:õ¥óPô=*e÷ Yòrñ�õ¥ú ÷û ñNönú]û ú]ö �=(mó��9ù+*mô �Nõ¥óPú]ô�óUô�õ�(mñ�øÄõ¥öLó � ��� ��@!0 �#3�(mñNönñ

ý Ö��Tì�# @ �&(',)�+ � - � ',)

� Ö�@WØTì � D��Ö�� / /eì � � � Ö���� ��� ��@!0 �Rì��

�9éeç:à ï ÓÑRÐ�à9Ô_Õ ï é5Ó!Î]ànèeÐ � ï å ï ÔlübÓ��*�:ÎtÕ:àqÔ_å]Õ¾åTäDýhÖ{ÿ¦ì Î ï $¨Ô_Õ$�eç:üLÓ �:åtÏ�ÓNàbåTäDý Ö��Tì9Ô_Õ¾Îà ï ÑnÔ � ï å ï é5Óþòoñ�ùÄõWåtä ï é5Ó�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�à ï ÑnÔ �5a ï ÓÑRÐ'àbÔ_Õ ï é5Ó�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Î ï / & Ô_Õ$�eç:üLÓ�¢åTÏ_ÓNà9Ô_ÕþΨà ï ÑnÔ � ï å ï é5Ó!ö`ó�� (mõ '� ö{ú#únù 6 Ö.d]ÓÓ[álØNÙ#ã 'oìYdTÔ_Õ:üLÓ & Ö{ýhÖ`Ø,+Tÿ3ì����Tì @ & Öný�Önÿ3ì��B@ �Tì`ßtÔ ï ànçQ�­üLÓNà ï å ï ÑjÓNÎ ï�ï é5Ó�üÎ�ànÓÖ- �ì�üLå]ÑRÑRÓNà��¢å]Õ$��Ô_Õ5í ï å'ÿ " $ � ' 0�è­Î]àjànç5Ð � ï Ô_å]Õ�ß ï é5Ó�äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � Önÿ3ì�

Ö{ÿ¦ì 2ý�Önÿ3ì5@ �&('*)�+ � - � '*)

�ÿ ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì

�àRÎ ï ÔUà �:ÓNà � Ö{ÿ¦ì 1 Ö{ÿ - ì '%/å]Ñ �WÔ_Õ ï é5Ó�äæç5Õ$�5ÎtÐ!ÓÕ ï Î#ϧà ï Ñ�Ô ��ߢÎ!à��eÏoÔ ï åTä ï é5Ó&�eÓ��:ÕeÔ ï Ô_å]Õ �eå]Ð'Î8Ô�Õ:à�è�Ô�ÓLÏ �5à

ý Ö��tì � �� ýhÖ{ÿ¦ì�ÿ � �$� �eÿ / � �� ýhÖ{ÿ3ì5ÿ ����� �mÿ � ��

�Ö{ÿ3ìnÿ ����� �eÿ / � ��

�� �&('*)�+ � - � '*)

�ÿ ' Ö�Ï�å�íDÿ3ì

����ÿ ���$� �mÿ / � �+�� ýhÖ{ÿ¦ì{ÿ � �$� �mÿ��

Ö! 6$eì

�qÕ ï é5Ó ÏlÎ�à ï ÏoÔ_Õ5ÓWåTä¡ÖT 7$eì`ß ï é5Ó �:Ñ`à ï Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8Ï �eÓ��:Õ5ÓNà9ÎTÕ'ÎTÕ:Î8Ï�è ï ÔUü äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�åTä ��Ô�Õ ï é5Ó¯à ï ÑnÔ �� @!0� / &)� àqÔ_Õ:üLÓ � Ö{ÿ¦ì �� Ö{ÿ - ì=Î]àWÿ#" $�a ï é5Ó ï éeÔ_Ñ ��Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8Ï¡ÔUàWÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü�Ô_Õ � @ &3� �'�`ßànå ï é:Î ï[ï é5Ó­ànç5Ð åTä ï é5ÓNànÓ ï ê9å�ÔUà!ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü¨Ô_Õ � @!0���'� '�%hÔ_Õ:Î#ÏoÏ_è]ßDà ï Ñ`Î#Ô_í]é ï Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô_å]ÕÓ��+�5ÑRÓNàRànÓNà ï é5ÓWÐ Ô �+��Ï_Ó�Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï¡Î]à

�&1',)�+ � - � '*)

� Ö�@WØTì � D��Ö�� / /eì � � �

ê=éeÔUüjé�Ôlà�ШÓÑRå]Ð!å]Ñ �5éeÔlü¯Ô_Õ Î8ÏrÏ � ÎTÕ$� �5ÑRåTî�Ô �eÓNà ï é5Ó[àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑWÓ��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�åTäDý YÖ��Tì�Ô_Õ ï é5ÓÓ�� ï ÓÕ$�eÓ���à ï ÑnÔ � '�qÕ ï é5Ó�üÎ]ànÓ�ê=é5ÓÑjÓ ï é5ÓÑRÓ�Ó��eÔUà ï à!Î üLå]Ð �eÏ_Ó ï Ó�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ åtäbýhÖ{ÿ¦ìbÎ ï $ Ö.å]Ñ &×ì`ß ï é5Ó

ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ ý #Ö��tì �¢ÓNüLå]Ð!ÓNà�ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUü Ô�Õ Î üLå]Ð��eÏ�Ó ï Ó�Ï_ÓLä ï Ö.å]Ñ�ÑnÔ_í]é ï ì[é:Î8Ïrä ) �eÏUÎTÕ5Ó,' �9éeÔUààqÔ ï ç:Î ï Ô_å]ÕþÎ#Ï_ê=Î#è�à�å5üüLç5Ñ`à äæå]Ñ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à ï é:Î ï ÎTÑjÓ�ÎTÕ:Î#Ï_è ï Ôlü�Î ï $�Ö.å]Ñ / &×ì '*,+ �5¼$-]»#¿ / 032T4��O4 @ 8�;=<)>�?A@MBED >5F� �� 8�L�N�9�`�Y�.�o�o�R�%�.��� G��R�o�r�o���m��o�

� J R NQP G � P-��"G �QP U � JMLONQP I JCL N��5JMLON

Page 15: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H - �«%�o�.���U�]�m�]�Y���R�T�n��5�.�q�.�o��� - U���� � ;%�]���U�]�m���.�o�N� � J R N��o���n¬]�m�#�]�R�T�.�_��o�o���q�[�Y�r�:�Y���o�T�m���r�¥� ��m���r��#�T���o�.�£�W�n�N���]�o�R�.���n¬]�m��]�q�o�N� �]�`�Y� R P��

G � P-�� G �QP P ����> �$� ��� �

R�

J � -ON*� U«%�]�_�q�!�T�n�m���R���q�]���h�R�.�]�#�]�o�o�:�T�]� ¤ �R�.��

��� � P -#<�� � P � �F <T�R�{� � ;%�T�]�L< � JCL N P�IKJCL N�� JCL N��r����R�.�#���N�q�]�]�_�£�o���q�]�=«%�]�#�r������¾«%�o�.� �q�r�� N�]�_��£�n¬]�m�Y�]�.�o�N�

I JCL N�� JCL N�� ����> ��� ��� �J � -ON*� -

L�� �JK�,-ON;%�]�j�.�n�U�#�.�N< �5JCL NW�o�����R�q�N���N�.���]�_���r���.�]�¨«%�]�N�o���Y� � JU�q�]�o�W�r�W�Y�U�.�j�þ���.��N�L� ¤ �����`�Y�]���Y�D�o�.��U���m�n�.�o�#�m��e� A#�m��q�o�N��N � ,¥� �N�]�T�o�q�r�#�¯���N���e��.�o�q�N�W��:�q�]���q�o�] N�]�_�Y���n¬]�m����.�o�N�]�£���I JCL N��o� J�- � N���e�I JCL N��5JMLON��o� JK�,- N£�8�o�R�_�T�

� JCL N ���1 � -L�� - U � J � N�P�� -� U � J��� N,P � � $ � � � - �

#

*,+ �5¼$-]»#¿ � / 03254@�� 8:>�� ;OD��=9 DM; J�-�� R N �$� F ;%�����P�]�m�n�q�r�#� � J R N,P J�-�� R N ��� �m���� � U - � ��%�o�.��U���m�]����R�T�{�Y�m�q�.�.�o� � ;%���=�¥«¡���n¬]�m�Y�]�.�o�N���`<

--�� R P ��< > � J�� -ON < R < J R�� � � N ��m� --�� R P ��< > � J�� -ON < ��� R+� < J R�� � � N U�q�{����.�_��q�D�o�T�.�

� JMLON�� ��< > � J�� - N<

L���� JCL!��� � ��U - � N ��e� � JCL N�� � ��< > � J�� -ON< �$�

L ��� JML ��� � U � � � N U«%�]�_�q� �o���n�N�]�q�o�.�.�j�8��«%�o�.���q�]� �T�]�«%�b�U�N�q�'<

� JCL N� ��.�o� � L� �< ��� J�� -ON

<L���� JCL ����N �

#�9é5Ó�Õ5Ó�� ï Ó��:ÎTÐ �eÏ_Ó�ÔoÏoÏ�ç:à ï Ñ`Î ï ÓNà ï é5Ó�ä.Î]ü ï'ï é:Î ï Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà�Ð'Î#è �¢Ó Î �+�eÏrÔ_Ó�� ï åä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�ê9Ô ï é5å]ç ï Ó��+�eÏoÔlüjÔ ï�ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à '*,+ �5¼$-]»#¿�� /���>�D >! 4�"�#%$ BE?=B @ @�� 8 >!� ; D��=9�F ;%���3�U�]�m���.�o�N� � J R N P Jæ�n�#�.�3J R N N �$��R F �o�:�n¬]�e�N�]�R�T�q���Y�o�r��q�[��o�5�� � �Y�m�W�]�L�� ���o�%�{�Y�.�o�¥�m�j�-

& ���N�.� J R N P -�� -� R F � ��� R � � -�� �� � � � R%' � ���@� �����,-�� � R)( �+* E R+� � G U

�q�W�.�m�Y�%�r�q�%�.�n��]���U�N�q� � JMLONF�o�%���R�q�N���#�.�]�����h�o��� �Y�m�� JCL N�� -L � -� -

L��1� � �� � -L�� � �

- � �� �� � -L�� � � ��� ����6���,-�� � -

L�� � � � � �#

Page 16: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

-�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ý�Önÿ3ì ý Ö��tìf Ñ �eÓѯΠï $ � 1 Ö{ÿ J ì #3ÓLä ï Ð!åmà ï �¢å]ç5Õ$�5ÎTÑRè�åTä£ä 'âà '5Î ï ��Ö��tì� @��f Ñ �eÓѯΠï / & � 1 Ö{ÿ L ì �Ô_í]é ï Ð!åmà ï �¢å]ç5Õ$�5ÎTÑRè�åTä£ä 'âà '5Î ï ��Ö��Tì� @ �� �+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ ï ÔrÏoÏ 1 Ö{ÿ - ìDÎ ï $ Ò�ÓÑRå]Ð!å]Ñ �5éeÔlüWüLå�Õ ï Ô_Õeç:Î ï Ô_å]Õ ï ÔoÏoÏ ��Ö��Tì���@!0� �+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ ï ÔrÏoÏ 1 Ö{ÿ��Lì9Î ï & Ò�ÓÑRå]Ð!å]Ñ �5éeÔlüWüLå�Õ ï Ô_Õeç:Î ï Ô_å]Õ ï ÔoÏoÏ ��Ö��Tì ��@����ÓÑRÐ ÿ J Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì � Î ï $ £åTÏ_ÓWê9Ô ï é�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑWÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï Ö�@WØTì � D��

Ö�� / �/ì � � ���ÓÑRÐ ÿ J Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì � Î ï & £åTÏ_ÓWê9Ô ï é�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑWÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï @ Ö�@WØTì � D��Ö�� / �/ì � � �

��Ë��%É�Æ ��� � �9é5Ó�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï¡üLå]ÑRÑRÓNà �:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ��9Î]à��¢ÓNü ï à9åTä ï é5Ó&��Ô�ÑjÓNü ïÐ'Î �+�eÔ�Õ5í Ö��9é5Óå]ÑRÓÐ Þeì '

ý #Ö��Tì ýhÖ{ÿ¦ì£åTÏ_Ó[Î ï / �hÓÑRÐ Ô�Õ�Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ ÿ � '

Ï_ÓLä ï åtä¡ä¥ç5Õ$� ':à ï Ñ�Ô � Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]ÕþÎ ï $Ñ�Ô�í�é ï åtä¡ä¥ç5Õ$� '�à ï ÑnÔ � Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]ÕþÎ ï / &

Ò�çeÏ ï Ô �eÏ�Ó �¢åTÏ_Ó #3å�ímÎTÑnÔ ï é5Ð ÔUü¯ä�Î]ü ï å]ÑÏ_ÓLä ï � Ø

Ö���@/eì � � � Ö�@WØTì �D�� ÿ � ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì � Î ï $Ñ�Ô�í�é ï � Ø

Ö���@ /mì � � � @ Ö�@WØTì �D�� ÿ � ' Ö¥Ï_å]íDÿ¦ì � Î ï &£åTÏ_Ó�ê Ô ï é�Ô�Ð�ÎTíTÔ_Õ:ÎTÑRè �:ÎTÑ ï ��/ � / �� %hÏ_ç:ü ï ç:Î ï Ô�å�Õ:à��Dÿ � ' ÿ � ! 4���� �� P Óí]çeÏUÎTÑnÏ_èþà��:Î�üLÓ�� �:åtÏ�ÓNà %5å�ç5ÑnÔ_ÓÑ�ànÓÑnÔ_ÓNà Ô�Õ Ï_å]íDÿ

��Ë��%É�Æ ��� � �9é5Ó�äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8ÏDüLå]ÑRÑRÓNà��¢å]Õ$�eÓÕ:üLÓ�� Î]à��:ÓNü ï à�åTä ï é5Ó�üLå]Õ+)î]ÓÑLànÓWÐ'Î��+�eÔ_Õ5í�Ö�� é5Óå]ÑRÓÐ Û'ÎtÕ$� 8�å]ÑRåTÏoÏUÎTÑRè�ØTì '

Page 17: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H - �� í]ÓÕ5ÓÑ`Î8Ï��5ÑnÔ_Õ:üjÔ �eÏ_Ó�Î#ÏUànå��eÓÑnÔ_î]ÓNà�ä¥ÑRå]Ð ï é5Ó �5ÑRåeåTäDåTä �9é5Óå]ÑRÓÐ Þ � ø *%õ¥ön÷7�#õ¥óUô �Wùönú]û

÷�ù+*mô �Nõ¥óPú]ô¾÷�õ¥ö�*eô=�L÷]õ¥ñ�7�ùÄú]öLû únù óUõPø ÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��!ñ65.��÷�ô5øóUú]ô ÷]õ9ñNóPõ�(mñNö =�ú]ö & 7]úNñYø[ô¢ú]õ÷]òoõ¥ñ#ö�óUõPø�ð�ñNòPòróPô õ¥ön÷]ô/øUùú]öLû ÷�ô 7 ú]ô:ò���ø�(mó ùÄõPø�õ�(mñ ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò9øõ¥ö`ó � 6 � Õ Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ�ÔUà�5ÑRåTî�Ô �eÓ�� �eè ï é5ÓWÓ�9�ç:Î#ÏoÔ ï Ô_ÓNà

& Ö�! �QP � �Tì� �£Ö��Tì � � � $�� / &)��� & Ö�! � P @×Ø7� �tì� ��£Ö��tì ��� � @WØ7��$ ���Ö! 6 eì�5ÑRÓî�Ô_å]ç:àqÏ_è�ÓNà ï Î��eÏoÔUàné5Ó���ç:à{Ô�Õ5í�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î ï Ô_å]Õ��mè �:ÎTÑ ï à�ÎtÕ$��à��¢ÓNüjÔ ��ü��5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà�åTä ï é5Ó Ó��+)�¢å]Õ5ÓÕ ï ÔlÎ8Ï ' �9é5Ó�ä¥åTÏoÏ�åTê9Ô_Õ5í �5ÑRåeåTä9åTä=Ö! 7 eì �eÓÐ!å]Õ:à ï Ñ`Î ï ÓNà ï é5Ó�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5Ó¨å]Õ ï éeÔUà�:ÎTÑ ï ÔUüLçeÏlÎtÑ�Ó��:ÎTÐ �eÏ_Ó,' �¡ÎTë�Ó ï é5Óbäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ

� Ö��tì� Ø� / � �� Ö�!�� P�@ ØTì{ÿ����$���eÿ / � �� ! � PTÿ$�������mÿ��8�å�Õ:àqÔ �eÓÑ`Î ï Ô_å]Õ�åTä*�¢å ï é�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#ÏUà�à�é5å8ê�à ï é:Î ï3ï é5Ó£ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]ÕWÔUàhÐ!ÓÑRå]Шå]Ñ �5éeÔUühÔ_Õ � @WØ7� / &)� '� ï à9ÑRÓNà ï ÑnÔUü ï Ô_å]Õ ï å � $ � / &)�%ÔUà

�£Ö��Tì� �(�� ! � P ÿ ����� �eÿ5�ÎTÕ$�¨Ô ï à�ÑRÓNà ï ÑnÔUü ï Ô_å]Õ ï å � @WØ6��$ �£ÔUà

� �� Ö�! �QP @ Øtì{ÿ � �$� �eÿ ��9éeÔUà=ÎtÑRí]ç5Ð!ÓÕ ï àné5åTê�à ï é:Î ï9ï é5Ó ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ'à%åtä ! �QP ÎTÕ$�¨åTä�! � P @×ØWÎTÑRÓ�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï à=åTä ï é5ÓàRÎtÐ!ÓWÐ!ÓÑRå]Шå]Ñ �5éeÔUü�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ�Ô_Õ���Ô ��ÓÑRÓÕ ï à ï ÑnÔ �:à '" � &�-0" /- � � *�* $'&���1 ��Õ$�eÓÑ�Î×ànÓ ï åTä�Ð ÔoÏ � üLå�Õ$��Ô ï Ô�å�Õ:àßWÎ×üLå]Õmî�ÓÑ`ànÓ ï å ï é5Ó ��Ô�ÑjÓNü ïÒ�Î��+�eÔ_Õ5í ï é5Óå]ÑRÓÐ Î#ÏUànå é5åTÏ �5à����9é5ÓWàqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNà�åTä§Î�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�ê=éeÔUüjé�Ôlà9ànÐ�Î#ÏoÏÓÕ5å]ç5í�é ï åTê=ÎTÑ �5à � T& ÓÕ:üLå+�eÓ ï é5Ó�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü �5ÑRå �:ÓÑ ï Ô_ÓNà�åTä ï é5ÓWå]ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#Ï�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '� - � "�- �����" �)&�-�" /�- � � *�* $'&K� � 1! �ñNõmýhÖ{ÿ¦ì jñ �`ú�ô:õ¥óPô=*eú7*]ø�óPô�ãe$�� / & á 3%óPõ�(Wðþñ#òUòoóPôõ¥ön÷]ô/øUùú]öLû ý Ö��tì_(e÷ �NóPô ��÷�ô:ú�ô%�{ñ#û���õK�9ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò3øõ¥ö`ó � ��� ���'� 6Ö- �ì � ø`ø+*mû ñ õ�(m÷]õ%ý YÖ��TìW÷�7]û óPõPø[÷�û[ñ#önú]û ú]öK� (móe� �`ú]ô¢õ¥óUô *m÷�õ¥óUú]ô�õ¥ú�õ�(mñ�øõ¥ö`ó � � 0������ùú]ö

øú]û ñ 0 � � 3%óPõ�( ÷9%Dô¢óUõ¥ñ�ô *mû4jñNö�ú�ù ��ú�òrñYøþõ�(mñ#önñ2<'÷]ô 7×ó_ø�÷�ô:÷]ò��Tõ¥óe� ú]ô���Ö��tì( 0 6� ø`ø+*eû[ñ ÷]ò�øú'õ�(e÷]õ9õ�(mñNönñ ñ�5Tó_øõPø¯÷�önñL÷]ò3ô=*eû4Rñ#ö�� � Ö � � �%ì=ø+* � (�õ�(m÷]õ

ý Ö��Tì� 1 Ö�� ��� ���Yì 3%óPõ�( �! Ø7�Ö! �Þeì3�(mñ#ô�� ���6" & óPô�0 ����Ö��tì �� 6 �_ù%ý Ö��Tì�÷�7�û[óPõPø=õ�(mñ�øÄóPô �6*mòo÷]ö�ñ�5.�5÷]ô5øóPú]ô9ùú]ö�� � � 0I� � �

ý Ö��tì$# �&1',)�+ � - � ',)

� ØÖ���@/eì � �Ö! tÛ5ì

õ�(mñ#ô�÷]ô�÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��!ñ65.��÷�ô5øóUú]ô�únù¯ýhÖ{ÿ¦ì�÷]õ$�ó_øýhÖ{ÿ3ì� �

&1',)�+ � - � ',)

� * Ö�@WØTì � �$�Ö!DY@×ØTì � ÿ � ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì � , / 1 Önÿ � - ì �Ö- nì ��óPû[óPòo÷]öLò\��÷TøLø *eû ñWõ�(m÷]õ¡ý Ö��Tì=÷�7�û[óPõPøW÷!û ñNönú]û ú]ö �=(mó��:�Lú]ô:õ¥óPô=*e÷]õ¥óPú]ô�õ¥ú ��� �,0 �:ùú]ö

øú]û ñ�0 )� ÷]ô 7�óløD÷]ô¢÷]ò��Tõ¥óe�=ú�ô ��Ö��Tì� �0 6,� øLø+*mû ñ=÷]ò�øú�õ�(m÷�õ�õ�(mñ �]önú 3%õ�(M�Lú]ô 7]óUõ¥óPú]ô ÖT ]Þeì

Page 18: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

-�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

����������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

�� ��� �� ���� �� �� ��� ��

� � � � � � � � � ����������� ����������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

��������������������

����������� � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������

�� �

� �����

� ����� ����

� �����

��Ë��%É�Æ �� � �9é5Ó'üLå]Õ ï å]ç5Ñ �×ç:ànÓ�� Ô�Õ ï é5Ó �5ÑRåeåTä=åTä � é5Óå]ÑRÓÐ Û�' ��å ï àÑRÓ �5ÑjÓNànÓÕ ï �:åTÏ_ÓNà�åTäFý YÖ��Tì�'(mú�ò 7tø[óPô � � �,0 �:ùú]öWøú]û ñ � � Ö � � �%ì 6 �_ù�ý Ö��Tì�÷27]û óUõPø õ�(mñ�øÄóPô �6*mòo÷]öWñ65.��÷�ô5øóUú]ô�Ö! tÛ5ì¡ùú]ö��� � � �*0�� <¦õ�(eñNô�÷]ô�÷Tø+�8û���õ¥ú�õ¥óe�!ñ65.�5÷]ô5øóUú�ô�únùWý�Önÿ3ì�÷]õO& ólø

ýhÖ{ÿ3ì @ �&(',)�+ � - � ',)

� * Ö�@WØtì � ���Ö!DY@ ØTì � ÿ � ' Ö¥Ï_å]íDÿ¦ì � , /�1 Ö{ÿ � -eì �� ö{ú#únù 6 �9é5Ó��5ÑRåeåTä¡Ð'ÎTë�ÓNà�ç:à�ÓWåTä ï é5Ó�Ô�Õeî]ÓÑ`à{Ô�å�Õ ï é5Óå]ÑRÓÐ ÎtÕ$��åTä§Î ÑRÓNà{Ô �eç5Ó üLå]Ð �5ç ï Î ï Ô_å]Õç:àqÔ_Õ5í�ÏUÎTÑRí�ÓDÑjÓNü ï ÎTÕ5í]çeÏUÎTÑ�üLå]Õ ï å]ç5ÑLà3Ô_Õ ï é5Ó9Ó�� ï ÓÕ$�eÓ��!à ï ÑnÔ � åTä�ý Ö��Tì`ß]à�ÓÓ %hÔ_í$'TÚ+' � à �¢ÓLäæå]ÑjÓ]ßÔ ï ànçQ�­üLÓNà ï å�üLå]Õ:àqÔ �eÓѯüÎ�ànÓ Ö- nì�üLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$��Ô�Õ5í ï å'üLå�Õ ï Ô_Õeç:Î ï Ô_å]Õ ï å ï é5Ó�Ï_ÓLä ï '#3Ó ï � �:Ó ï é5Ó[à�Ó ï åTä �¢åTÏ_ÓNà9Ô_Õ � 0I� �'� ' 8�å]Õ:àqÔ �eÓÑ ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï

�¡Ö�Cbì� Ø �� � � ý Ö��Tì{ÿ �*� � �7�ê=é5ÓÑjÓ�� ���%Ö�CWì��eÓÕ5å ï ÓNà ï é5ÓWÑRÓNü ï ÎTÕ5í]çeÏUÎTÑWüLå]Õ ï å]ç5Ñ �eÓ��:Õ5Ó�� �mè ï é5Ó�ànÓí�Ð!ÓÕ ï à

á � @� KC � � / C=ã�� á � / KC �,0 / C=ã�� á 0 / KC_�*0M@ KC=ã � á 0 @� C_� � @ KC=ã �� àRànç5Ð!Ó ï é:Î ï C ÔUà�ÏUÎTÑRí]ÓÑ ï é:ÎTÕ ���=Ö�� � ì��¢ä¥å]Ñ�Î#ÏoÏ �¢åTÏ_ÓNà � � ��� ' 0�è 89ÎTç:üRéeè 4âà ï é5Óå�ÑRÓÐ�ß�£Ö�CWì%ÔUà�Ó�9]ç:Î8Ï ï å ï é5Ó[à�ç5Ð åTä%ÑRÓNàqÔ �eç5ÓNàß5ê=éeÔUüjé�Ôlà �mè�Î ��Ô_ÑRÓNü ï üLå]Ð �5ç ï Î ï Ô�å�Õ

� �&1',)�+ � - � ',)

� ÓNà ! ÿ �*�Ö���@ /eì � # � > ' �

&1',)�+ � - � ',)

� * Ö�@WØTì � �$�Ö!DY@ ØTì�� ÿ � ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì � , �

Page 19: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H - �#3Ó ï Õ5åTê C ï ÓÕ$� ï å / & '��9é5ÓFÔ�Õ ï Óí]ÑLÎ#Ï/Î8Ï�å�Õ5í ï é5Ó ï ê9å=é5å]ÑnÔjhå]Õ ï Î#Ï:ànÓí]ШÓÕ ï à¦ÔUà 1 Ö�C ��� ì

ÎTÕ$� ï éeç:à ï ÓÕ$�5à ï å $�Î]à�C " & ' �9é5Ó�Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#ϧÎ#Ï_å]Õ5í ï é5Ó î]ÓÑ ï ÔlüÎ8Ï¡ÏoÔ_Õ5Ó��Ö��tì� � ï é:Î ïÏoÔ_ÓNà£Ô_Õ:àqÔ �eÓ ï é5Ó�äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ï/à ï ÑnÔ � ï ÓÕ$�5à ï å ï é5Ó�Ô_Õeî]ÓÑ`ànÓ=Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ¨Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï5ê=éeÔUüRé!üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓNàíTÔ_î]ÓÕ ï é5Ó �eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓ=Î]àjànç5Ð � ï Ô_å]Õ�å]Õ!ý ÎtÕ$��Ó�9�ç:Î#ÏUà%ýhÖ{ÿ3ì��mè ï é5Ó%Ô_Õeî]ÓÑ`àqÔ_å]Õ ï é5Óå]ÑjÓÐ Ö{à{Ô�Õ:üLÓýhÖ{ÿ¦ì�ÔUà�üLå]Õ ï Ô�Õeç5å]ç:àLì�' �9é5ÓbÔ�Õ ï Óí]ÑLÎ#ÏFÎ8Ï�å�Õ5í ï é5Ó�î]ÓÑ ï ÔUüÎ#Ï£ÏoÔ_Õ5Ó��Ö��tì� 0�ÔUà �:å]ç5Õ$�eÓ�� �eè�Î9�ç:ÎTÕ ï Ô ï è�åTä ï é5Ó�ä¥å]ÑRÐ

Ø � � - � 4 �-�� 4 �� ý Ö��Tì � � ÿ �+� � � � ��� 1 Ö`ØTì �(��

ÿ ��- ���Ö`Ø / �jì � 1 Ö{ÿ � - ì��

íTÔ_î]ÓÕ ï é5ÓWí]ÑRåTê ï é­Î]àjànç5Ð � ï Ô_å]Õ�å]Õ�ý '�9éeç:àßeÔ_Õ ï é5ÓWÏoÔ_Ð Ô ï ß �¡Ö.&×ì9Ó�9�ç:Î#ÏUà�ýhÖ{ÿ¦ì��eÏ_ç:à�Î ÑjÓÐ'Î#Ô_Õ$�eÓÑ ï ÓÑRÐ ï é:Î ï Ôlà 1 Ö{ÿ ��- ì��eÏ_ç:àï é5Ó�à�ç5Ð åTä£ÑRÓNàqÔ �eç5ÓNà ï é:Î ï ÔUà=åtä ï é5Ó�à ï Î ï Ó��¨ä¥å]ÑRÐ�Ô_Õþÿ�ÎTÕ$��Ï_å]í9ÿ '�qÕ¾Ð'ÎTÕeèþüÎ]à�ÓNàß¡ý #Ö��tì9ÔlàbÐ!ÓÑRå]Шå]Ñ �5éeÔUü�Ô_Õ Î�üLå�Ð �eÏ_Ó ï Ó Ï_ÓLä ï å]ÑWÑnÔ_í]é ï é:Î#Ïoä �eÏUÎTÕ5Ó�ÎTÕ$�

àRÎ ï ÔUà �:ÓNà ï é5Ó�üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ:à¨åTä&�9é5Óå]ÑRÓÐ Û=a ï é5ÓÕ Î¾üLå]Ð �eÏ_Ó ï Ó�Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUü�Ó��*�:ÎtÕ:àqÔ_å]Õ×ä¥å]Ñý Ö��Tì:ÑjÓNànçeÏ ï à 'Od]ç:üRé ÎTÕ�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�Ð'Î#è �¢Ó�ÓLÔ ï é5ÓÑ%üLå]Õeî]ÓÑRí]ÓÕ ï å]Ñ ��Ô_î]ÓÑjí]ÓÕ ï ')�¥ä��Ô_î]ÓÑjí]ÓÕ ï ßï é5Ó Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�ÔUà��eè�Õ5ÓNüLÓNàRàqÔ ï è�å]ÕeÏ_è¾Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�' ��äDüLå]Õeî]ÓÑRí]ÓÕ ï Ô ï Ð'Î#è�Ô_Õ ànå�Ð!Ó[üÎ]à�ÓNàÑRÓ �5ÑjÓNànÓÕ ï�ï é5Ó�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ�Ó��:Î]ü ï Ï_è]ß$�5ç ï�ï éeÔUà=üÎTÕ5Õ5å ï �¢Ó[Î í�ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï �5é5ÓÕ5å]ШÓÕ5å]Õ �eÓNüjÔ �5Î��eÏ_Óä¥ÑRå]Ð ï é5Ó=ànÓÑnÔ_ÓNà�Î8Ï�å�Õ5Ó F Î]à£ýhÖ{ÿ3ì¡ÎTÕ$� ýhÖ{ÿ¦ì / � Ö{ÿ3ì3é:Î#î]Ó ï é5Ó=àRÎTÐ!Ó=Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUü%Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:àÎ ï $!ÎTÕ$� & ê�é5ÓÕ5Óî]ÓÑ � Ö{ÿ3ì%ÔUà=Î ,�^�Î ï -bä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ÏoÔ_ë]Ó � Önÿ3ì� �! � & P � ��R�P + '*,+ �5¼$-]»#¿�� / 032T4 @ � 8 >�� ;OD �=9 D ; J�-�� R N � � F ;�� �N����� ��<]��m� �n�#�]�.�_�T�j���.�����P�]�m�n�q�r�#�

� JCL N P I JCL N I J�� � L NIKJ���N

�q�m��%�o����e��o�T�.�_�%�o���q�]�=�q�.�.�o��� � U � � � ;%�]�=�.�o�] #�]�_��£�n¬]�m����.�o�N� �.�W�q�]�9�o�n�U�%���� JCL N P ���r�

� JCL N�� ����> � J�� - N�

�I J��!� � -ON

I J���N-

JCL�� N �;%�]�9�]�q� ¤ �o�R� �]�R�q�=�o�%�.�]� ¤ �R�m�L�T�o�N�]�%�Y���q�]�=�N�q�o N�o�m����U�]�e�n�.�o�N�

� J R N P -� � � � � R F � 4 �� R F � 4 � � JMLON R+�+� S L ��Y� R�� � � ;%�]�D�t�`�n�.�L��.���� � JCL N%��o�#�] =�N�j�.�.�_�R�Y�m�o�o�]�R�£�.�j�.�]�o�.�£�P�.�N�2�q�]�=�T�`�n�q�`��q�=��:�q�]�=A=�������U���m�n�.�o�#� � ;%�T�]�`<5�q�]���n�#�m�T�o�.�o�N������£;%�]�R�N�q�R� � �Y�.���{��q�o�¥�m�`� � ,¥���.�]�o��«%�L�T<m�#�]���m�m�T�L<e�U�N�9��T��o�T�.�R #�R� �

� J R N P .���> � J�� -ON�

�IKJ�� � � - N

IKJ���N R���* J R . � � R F N �

;%�]���.�R�q�o�R���#�W�.�]�9�.�o #�8�h�m��m�b�.�_�T���r�%���.�.���m�R��q�o�N���Y�:�.�]��;��L�8�o�#���.�R�q�o�R�%�� J�- � R N � � < ¤ �W�T�o�.�.����Y�:�.�]� ¤ �o�]�#���_��#�.�]�R�#�.�R� � �%�m�L�N���.�T�]�£�]�.��#�`�W�q�m�� � J R N P J�- � R N � � ����J R N¦�U�N�%���U���m�n�.�o�#���J R N£�q�m����T�L�n�.�`�Y�.�R���� � �æ��q�.�R���.�m�Y���Y�T�W�m�«£�R�%�� R �

F 4×�]�.�T�Y�¡��¡�� �n¬m�#�n�9�.�R�]�q�R�.�j�8�n��q�r�#�'�q� A#�]�o�.�R�9�q�m����.�]�=�q�R�[�Y�o�m�T�R�%�o�T�.�R #�{�Y�r�9��o�N�� ��#�R�.�q���j���o�o�]�R�=�q�R�m� �.�� R�j�.���h�.�]�o�=���R�`�T�����¥��.���R�]�N�� N����e���]�]���U�N�q� �T�L�n�.�`�Y�.�!�Y� � JCL N���o�N�]  �#�R�.�q���j���o�o�]�R� �

Page 20: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

HT�e��.�e�R� �R�q�.�o�[�Y�.�R�W�Y���o�8�#�R�.�q�'G �R�o�o�o���r�T�q�R N�n��o���q�]�«��.�m�Y���q�]�!�.�j�[��o�m�t�R���o�T�.�R #�{�Y���.�j�m�T��]���â�P�N�.���o�W�.� �b«%�]�R� ��� R ��-#<e�.���q�m��9�q�]���q�R�]�q�R�.�R�T�n��.�o�#�'�o���o� �¥�N�n�9�n¬m�N��� � �=�m�L�N���.�T�]��U�#�]�m���o�m�T�o�.�L�n�.�o�W�.����G �R�o�o�o���m�Y�r�

� J R N P -J�-�� R N � � � JCL N P IKJCL N I J�� � L N

I J���N �

#

*,+ �5¼$-]»#¿�� / � ? $ 8 � �=BE? 8 $�� B�� 4 ��:4 >)@ �O4 �=B 4��=F ;%�]�9�P�]�m�n�q�r�#�� JMLON P�IKJ�-�� LON ��.�o� � L

�o����e��o�T�.�_�%�o���q�]�=�q�.�.�o��� � U - � � ,¥��� JCL N� -#<T�o���N�T���r�q���.���=�.�o�] #�]�_��£�n¬]�m��]�q�o�N�� JCL N�� ��< > � J�� -ON < � � -L���� U

«%�]�_�q� �R�m�n�]�T�j�%�U�#�%�.�]�9�N�q�o N�o�m����U�]�e�n�.�o�N� �q�]����q�T���]�q�N�.�_�£�n¬]�m�Y�]�.�o�#�

� J R N�� ��< > � J�� - N < � � R < �,¥���æ�#�n� � JCL N£�o�%�.�]�=G �R�o�o�o���q�{����¥�U�#�.� ����q�]�!©q�m��q���N�����£�o�T�.�j N�{�Y�oª

� J R N P �(�� G � �-�� R�� S �OU«%�]�#�.�����N�]�q���t�R�{�Y�.�o�N�  N�T�R� ¤ �N�����q�¯03���r�j� � #

� -�" $ ����$+(�$ � $.-0/21 � �¢åTÏ_Ó[åtäDýWÎ ï Î��:åTÔ_Õ ï / � / ��9ê9Ô ï é¾Î¨Õ5å]Õ+)KhÓÑRå¨Ô�Ð�ÎTíTÔ_Õ:ÎTÑRè �:ÎTÑ ïÔ_Õ$�eç:üLÓNàWÎ ï ÓÑjÐ åTä ï é5Óbäæå�ÑRÐ

ÿ � ' 2ÿ �� ! � 4���� � P �ê=éeÔUüjéþüLå]Õ ï Î#Ô_Õ:à=ÎtÕ�åmàRüjÔoÏoÏlÎ ï Ô_Õ5í�üLå]Ð �:å�Õ5ÓÕ ï=ï é:Î ï ÔUà �:ÓÑ�Ô�å+��ÔUü�Ô_Õ�Ï_å]í9ÿ�ê9Ô ï é �¢ÓÑnÔ_å*�# � + � 'Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à�ÎTÑRÓ �5ÑRÓNüjÔUànÓLÏ_è�ç:ànÓLäæçeÏhäæå]Ñ�9�ç:ÎTÕ ï Ôoäæè�Ô_Õ5í!Ð'ÎTÕeè!Õ5å]Õ5ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRè ^:ç:ü ï ç:Î�)ï Ô_å]Õ �5é5ÓÕ5å]Ð!ÓÕ:Î ' �.Õ ï éeÔUà9üLå]Õ ï Ó�� ï ß ï é5ÓÑjÓ�ànå]Ð!Ó ï Ô�ШÓNà�å5üüLç5Ñ`à9ÎWî�ÓÑ ï ÔUüÎ#Ï3ÏoÔ�Õ5ÓWåtä¦ÑjÓí]çeÏUÎTÑnÏ_èà��:Î�üLÓ�� �:åtÏ�ÓNàbÖ{ànÓÓYd]ÓNü ï Ô�å�Õ � �¢ÓLÏ�åTêWì�' � ��Ô_ÑRÓNü ï Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_å]Õ�åTä��9é5Óå]ÑRÓÐ Û�Î#ÏoÏ�åTê�àDäæå]Ñ ï é5Ó�5ÑRÓNà�ÓÕ:üLÓ�åTä£Ô_Õ �:ÕeÔ ï ÓLÏ�è�Ð'ÎtÕmè �¢åTÏ_ÓNà�Ô_ÕþÎ �:ÕeÔ ï Ó!à ï ÑnÔ � '" ��"� , , � "��� 1 # (eñM�Lú]ô �Nò�*]øóPú]ô5ø�ú�ù # (mñLú]önñNû ÛþönñNû ÷]óPô)�N÷]òoó 7�÷TøLø *eû óUô �!ú]ô¢ò\�¨÷ 3%ñ`÷ TñNöùú]öLû únù'õ�(eñ4�]önú 3%õ�( �`ú�ô 7]óPõ¥óUú�ô¾Ö! �Þeì[÷]òoú]ô ��÷ 7]ñ#ô=*eû ñNön÷ òoñ¨øÄñ#õ=únù (eú]ö`ó �ú]ô:õ¥÷]òFøÄñ �]û ñ#ô:õPø� ��Ö��Tì�� 3C�� 3�(mñNönñ C�� " / & 6� ö{ú#únù 6 ��ànÓ ï é5Ó �5ÑRåeåTä9åTä �9é5Óå�ÑRÓÐ Û �5ç ï ÑRÓNà ï ÑnÔUü ï C ï å �:ÓLÏ_å]Õ5í ï å ï é5Ó ��ÔUàRüLÑjÓ ï Ó'ànÓ ï C��ê=éeÔUüjé�ß$�eè ï é5ÓWí]ÑRåTê ï é�üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ�Ô_Ð �:åeànÓ��3ß5Ð ç:à ï Î#î]åTÔ � ï é5Ó��¢åTÏ_ÓNà=åtäFý Ö��Tì '

Page 21: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �,-�qÕ �:ÎTÑ ï ÔlüLçeÏUÎTÑ�ö{ñ �7*eòo÷]öLò\��ø ��÷7�Lñ�7 ��ú]òoñYø'únù'ý Ö��Tì�÷]òoú]ô � ÷0�Nñ#ö`õ¥ó��`÷�òDòoóPô:ñ �`ú]öLönñø ��ú]ô 7¾õ¥ú ÷�ú7*eö`óPñNö øÄñ#ö`óPñø óPô Ï�å�í ÿ 6 %5å]Ñ Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß àqÔ_Ð �eÏ_Ó �¢åTÏ_ÓNà�åTä'ý Ö��tì�Î ï�ï é5Ó�� � � / D%� +�Ï_å]í /¹ê9ÔoÏoϯÎTÑ�Ôlà�Ó�ä¥ÑRå]РξüLå]Ð �¢å]Õ5ÓÕ ï åTä ï é5Ó�äæå�ÑRÐ(Ö`Ø[@�/ �+� ì ��� Ô_Õ ý Ö��Tì ' �9é5ÓüLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$��Ô�Õ5í�ÑRÓNàqÔ �eç5ÓNà7� � Ô�Õ$�eç:üLÓ�ä¥å]Ñ=ýhÖ{ÿ3ì ï é5Ó�Ô�Õ �:ÕeÔ ï Ó!ànç5Ð

� �� ��� � � ÿ � ' S ��ÿ �� �� ��� � � Ó��+�WÖ.@� �D%��Ï_å]í 0 ÿ¦ì=�ê=é5ÓÑjÓ ï é5Ó'àqÔ_í]Õ ÔUà�� / 4¦äæå�Ñ��:åTÏ_ÓNàbÏ_ÓLä ï åTä ï é5Ó ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï à ï ÑnÔ �×Ö.Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Î ï $eì`ß���@[4å ï é5ÓÑRê9ÔUànÓ Ö.Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�Î ï &×ì '

Þ+'�� �%ÆK�=Ç%Ã�ËPÊ��TÉ ����9éeÔUà ànÓNü ï Ô_å]Õ �5çeÔrÏ �5à ç+�¢å]Õ ï é5Ó ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï �5Ñjå,�:ÓÑ ï Ô�ÓNà�åTä ï é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ ÎTÕ$�

ï é5Ó�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï¡üLå]ÑRÑRÓNà �:å]Õ$�eÓÕ:üLÓ ï å �eÓî]ÓLÏ_å,��Îbä¥Ñ`ÎTÐ!Óê9å]Ñjë[Î,�5Î�� ï Ó�� ï å ï é5ÓWÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà9åTäé:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�à '� -�� &)$ � $ � & $ �`& � " � � &!$ ( / � � /�� 1 � ø *eû únù�õ�(mñ9ùú]öLû� Ö{ÿ3ì /� � � ��� Ö�� � ÿ3ìÖ! �Úeìólø �`÷]òPòoñ 7�÷!é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü!ànç5Ð 6 # (mñ � � ÷]önñ�õ�(mñ ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓNàB<�õ�(mñ � � ÷]önñ�õ�(mñbä¥ÑRÓ�9]ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNàB<÷]ô 7

�Ö{ÿ¦ì�ó_ø:�L÷]òPòoñ 7�õ�(mñ �:Î]ànÓ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ 6

# (eñ ��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï ànÓÑ�Ô�ÓNà ú�ù[õ�(mñ (m÷]öLû ú]ô:ó�� ø+*mû ó_ø�õ�(mñ�ø *eû��Ö��tì� � ��� � � �*�� �Ö! 6�eì

�qÕ ï éeÔUà �:Î��¢ÓÑNß ï é5Ó%ä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNà£ÓLÔ ï é5ÓÑ��eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓ ï å_hÓÑjå�å]ѦÔ�Õ:üLÑjÓNÎ]ànÓ ï å[& '0�è��:åmàjàqÔ �eÏ�èüLå]Õ:à{Ô �eÓÑ�Ô�Õ5í � Ö`Ø +8ÿ3ì[ÎtÕ$� üjé:ÎTÕ5íTÔ_Õ5í ï é5Ó��:Î]à�Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ Î]üüLå]Ñ���Ô�Õ5ítÏ�è]ß�ê9Ó�Ð'Î#è Î#Ï_ê=ÎNè5àÑRÓ��eç:üLÓ�å]ç5Ñ`ànÓLÏ_î]ÓNà ï å ï é5Ó�àqÔ_Õ5íTÏ_ÓþüÎ]ànÓ � � " / & ß9ê=éeÔUüRé ê9Ó�Î]àRànç5Ð!Ó�Ô_Õ ï éeÔUà'ànÓNü ï Ô�å�Õ�ßç5ÕeÏ_ÓNàRà�å ï é5ÓÑRê Ôlà�Ó[à ï Î ï Ó�� '�9é5Ó�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ åTäWÎ�é:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð ä.Î]ü ï å�Ñ`àß%Î]à Î#Ï_ÑRÓNÎ,�eè¾Ð¨ÓÕ ï Ô_å]Õ5Ó�� Ô_Õ ï é5ÓÔ_Õ ï ÑRå+�eç:ü ï Ô_å]Õ�ßTÔ_Õ ï å¯Î �5Ñjå*�eç:ü ï åTä ï é5Ó ��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ��Ö��Tì�ÎTÕ$��åTä ï é5Ó ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ � Ö��Tì3åTäï é5Ó �:Î]ànÓ£ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '��9éeÔUà¦ÔUà ï Ñjç5Ó�ç5Õ:üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ:Î#ÏoÏ_è�äæå�Ñ �:ÕeÔ ï Ó9é:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð'à '��£Ï_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRèÎTÑjí]ç5Ð!ÓÕ ï à �5ÑRåTî]Ô �eÓ[Î �:Ñ`à ï Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_å]Õ ï å�Ô�Õ �:ÕeÔ ï Ó!ànç5Ð�à '� -�� � � ��1 � ø`ø+*mû ñ�õ�(m÷�õ � Ö{ÿ3ì ó_ø Rú6*mô 7]ñ 7�ú �#ñNö�÷]ô=��óPô:õ¥ñ#ö �#÷]ò�á � � �Lã�� ÖT$�� / &×ì�<W÷]ô 7õ�(m÷�õ=óUõ�ø÷]õ¥ólø�%9ñø � Ö{ÿ3ì 1 Önÿ " ì�3�(mñNô�ÿ#" $�÷]ô 7 � Ö{ÿ¦ì 1 Ö{ÿ 6 ì�3�(mñNô�ÿ " / &)<#3%óUõ�(8 ;: 6�� øLø+*mû ñ9õ�(m÷]õ3õ�(mñWóPö`ó��+(mòoñ#õ:øñNöLóPñø���Ö��Tì (m÷TøD÷ (e÷]ò ù � ��òo÷]ô:ñ=ú�ù�÷ Løú]ò�*mõ¥ñ��`ú]ô �Nñ#ö ��ñNô �`ñ��Ö��Tì ;� J õ�(m÷]õO(m÷tø[÷�ô:ú]ô �{ñNû���õK��óPô:õ¥ñNöjøñ��#õ¥óUú]ô�� 3%óPõ�(�õ�(mñ øõ¥ö`ó � � @�85��@�:7� 6# (eñNô�õ�(eñ:(e÷]ö`û ú]ô¢óe��ø *eû � Önÿ3ì�únùWÖT ]Úeì�ólø 7]ñ�%9ô:ñ�79ùú]öW÷]òPò:ÿ óUô�Ö!$�� / &×ì 6 # (mñ�õ¥ön÷]ô/ø �

ùú]öLû � Ö��tì¯ólø'3%ñNòPò � 7]ñ�%9ô:ñ�7'óPô � 3�(eñNönñ óUõ/ùÄ÷7�#õ¥ú]öjø[÷Tø� Ö��Tì ���Ö��Tì�� � Ö��tì �

Page 22: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�B� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DHg¾Ó�ÑRÓNüÎ#ÏoÏ ï é:Î ï�ï é5Ó ï é5Óå]ÑRè¾åtä í�ÓÕ5ÓÑ`Î#ÏoÔjhÓ��3��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà�á Û:ØLã9í]ç:ÎTÑ`ÎtÕ ï ÓÓNà ï é:Î ï Î��Ô_ÑnÔUüjéeÏ�Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ÏrÔ_ë]Ó!��Ö��tìDé:Î]à�Î!é:Î#Ïoä ) �eÏUÎTÕ5Ó!åTä�Î��:ànåTÏ_ç ï Ó!üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓÕ:üLÓ ��Ö��tì# � J ÎTÕ$��Îé:Î#Ïoä ) �eÏUÎTÕ5Ó åTäFà{Ô�Ð��eÏ�Ó üLå]Õeî]ÓÑRí]ÓÕ:üLÓ!��Ö��Tì ��ê=é5ÓÑRÓ

� J @ � � �3$+�� ö{ú#únù 6 %hÔ�ÑLà ï üLå]Õ:àqÔ �eÓÑ ï é5Ó¯à��¢ÓNüjÔUÎ#ÏFüÎ�ànÓWê=é5ÓÑRÓ � Ö{ÿ3ìhÔUà 1 Ö`ØTì�Î ï $5ßeÔUà 1 Ö{ÿ �$� ìDÎ ï & ߢÎTÕ$���Ö��tìFüLå�Õmî]ÓÑjí]ÓNà=Î��:ànåtÏ�ç ï ÓLÏ�è�ä¥å]Ñ �¯Ö��Tì @��bä¥å]Ñ�ànå�Ð!Ó �� $+'�9é5ÓÕ å8î�ÓÑ!Ö!$�� / &×ì`ß3ê9Ó!é:Î#î]Ó �:å ï é � � Ö{ÿ3ì�� ��� +8ÿ¾ÎTÕ$� � � Ö{ÿ3ì � ��� ßhä¥å]Ñ�ànå]Ð!Ó�üLå]Õ+)à ï ÎTÕ ï à � � � $+'��9éeç:àßeå]Õ5Ó�é:Î�à

� � Ö{ÿ3ì � ��� ���B� �\� � � � &3��eè ï é5ÓþÎ�àRànç5Ð � ï Ô_å]Õ ï é:Î ï ��Ö!$eì[üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓNà'Î��:à�åTÏ_ç ï ÓLÏ_è,' 8�å]Õ:ànÓ�9�ç5ÓÕ ï Ï_è]ß � Ö{ÿ¦ì 1 Ö`ØtìÓî]ÓÑjèmê=é5ÓÑjÓ¯ÎTÕ$��Ô_Õ �:ÎTÑ ï ÔUüLçeÏUÎTÑ=Î ï $+'0�è�ànç5Ð!Ð'Î ï Ô�å�Õ�ß � Ö{ÿ3ìhÔUàDÎ8Ïlà�å 1 Ö{ÿ �$� ì¡Óî]ÓÑjèmê=é5ÓÑjÓ]ßÎTÕ$� Ô_Õ �:ÎTÑ ï ÔUüLçeÏUÎTÑ�Î]à'ÿ " / & ' 0�è ï é5Ó �eå]Ð Ô_Õ:Î ï Ó��2üLå]Õeî]ÓÑRí]ÓÕ:üLÓ ï é5Óå�ÑRÓÐ�ß � YÖ��tìï é5ÓÑjÓLäæå]ÑjÓWÓ��mÔUà ï àDÔ�Õ ï é5Ó�à ï ÑnÔ � � $��#Ø@� '�9é5Ó�í]ÓÕ5ÓÑ`Î8ÏhüÎ�ànÓ�ÑjÓ��eç:üLÓNà ï å ï é5Ó¯à��¢ÓNüjÔUÎ#ϧüÎ]ànÓ �eè!Õ5å]ÑRÐ'Î8ÏrÔjhLÔ_Õ5í � Ö{ÿ3ì%ÎTÕ$��üLå]Õ:àqÔ �eÓÑnÔ_Õ5í

��Ö{ÿ¦ì� ÿ � "�R & 6 ��" + � Ö{ÿ � R & 6 ��" + ì �

f ç5Ñ ï ÑRÓNÎ ï Ð!ÓÕ ïhï é5ÑRå]ç5í]é5å�ç ï�ï éeÔUà �:Î �:ÓÑ%ÑRÓLÏoÔ_ÓNà£å]Õ ï é5ÓDÎ]àRà�ç5Ð � ï Ô_å]Õ ï é:Î ï � LÖ��Tì�ÎTÕ$� ��Ö��TìÔ_Õ #3ÓÐ!Ð�Î �ÎTÑRÓ�üLå]Õ ï Ô_Õmç:Î��eÏ_Ó�Î]à�Ð!ÓÑjå]Ð!å]Ñ �5éeÔUü�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à�Ô_Õ ÑRÓítÔ�å�Õ:à åTä ï é5Ó�üLå]Ð �eÏ_Ó���eÏUÎTÕ5Ó¨ÏUÎTÑRí]ÓÑ ï é:ÎTÕ ê=é:Î ïWï é5ÓLÔ_Ñ �eÓ��:ÕeÔ ï Ô_å]Õ:à�Ô_Ð �eÏ_è]ß�ÎTÕ$� Î,�+��Ô ï Ô_å]Õ:Î#ÏoÏ_è àjÎ ï ÔUàqä¥è üLå�Õ ï ÑjåTÏoÏ�Ó��í]Ñjå8ê ï é­üLå�Õ$��Ô ï Ô�å�Õ:à ï åTê=ÎTÑ �5à � H& '� -�� &)$ � $ � &� 1bÖ- nì � ù+*mô �Nõ¥óPú]ô � Ö��Tì�ólø�ø÷]ó 7�õ¥ú�jñ[ú�ù�ä.Î]à ï �eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓ�óPô�õ�(mñ �NòoúTøñ 7¨øÄõ¥öLó �� � ����Ö��Tì �;� F ó ù%ùú]ö�÷�ô=� � 3$ <

� Ö��Tì� 1 Ö � ��� ��� ì��÷Tø � ���6" & óPôþõ�(eñ�øõ¥öLó � 6Ö- nì � ù *eô=�#õ¥óUú]ô�ó_ø�ø÷]ó+7�õ¥újñ�únù�à{Ï�åTê Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]ànÓ�óUô�õ�(mñY�NòoúTøñ 7�øõ¥ö`ó � � � �2��Ö��Tì � � F ó ùùú]öWøú]û ñ7�� $ <

� Ö��tì� 1 Ö�� ��� �ì��÷Tø � ���6" & óPôþõ�(eñ�øõ¥öLó � 6�9é5Ó��5ÑRå,�:ÓÑ ï è�åTä�ä�Î�à ï �eÓNüLÑRÓNÎ�ànÓ!Ð!ÓNÎTÕ:à ï é:Î ï � Ö��tì �eÓNüÎ#è�à¯ä�Î�à ï ÓÑ ï é:ÎTÕ ÎTÕmè�Õ5ÓímÎ ï Ô_î]Ó�¢å8ê9ÓÑ åTä � ��� ' %/å]Ñ�Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß ï é5Ó!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�� +%àqÔ_Õ ���¨Ôlà�åTä=ä.Î]à ï �eÓNüLÑjÓNÎ]ànÓ¨Ô�Õ ÎtÕmè��:ÕeÔ ï Ó

üjÏ_åmànÓ���à ï ÑnÔ ��àqÔ_Õ:üLÓ ï é5Ó�üLå]Ð��eÏ�Ó���Ó��+�:å�Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï%ÑRÓ �5ÑRÓNà�ÓÕ ï Î ï Ô_å]Õ�è]Ô_ÓLÏ �5à�

à{Ô�Õ � � 1 Ö�!�� ��� ��� ì�� �� � / ����ê=éeÔUüjé¾Ó��5éeÔ �eÔ ï à ÎTÕ�Ó��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï �eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓ'Î8Ï�å�Õ5í�î]ÓÑ ï ÔUüÎ#Ï%ÏoÔ_Õ5ÓNà ' � àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ�Ó��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï�eÓNüÎ#è�é5åTÏ �5à9ä¥å]Ñ �£Ö��Tì��eè ï é5Ó�üLå]Ð �eÏ_Ó��þî]ÓÑLàqÔ_å]Õ�åTä d ï Ô_ÑnÏoÔ�Õ5í 4âà9ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ�á_ØTß+� ' ]Ú��Nã��

� �£Ö � / ��Rì � X � � � � � �$��R F ! � ��� ��� R F Ö��" / &×ì �Ö! 0�]ì

Page 23: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � ��9é5Ó �5ÑRå,�¢ÓÑ ï è'åTä�àqÏ_åTê2Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]ànÓ�é5åTÏ �5à�äæå�ÑDÐ�ÎTÕmè ��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑ�Ô�ÓNà�ÎTÕ$�­äæå]Ñ>� � Ø7�/å]Õ5Ó

é:Î]àbáâÙ]Þeß+� ':ÝTÛ�ã�eÖ � / ��Rì� 1 Ö�� ��� ���� �ì �Ö! �Ùeì

Ö���ÕeÔoäæå�ÑRÐ î]ÓÑ`à{Ô�å�Õ:à=åTä�Ö! ��]ìRß3Ö! �Ùeì�Î#ÏUànå!Ó��eÔlà ï ß:ànÓÓ ï é5Ó�üjÔ ï Ó���ÑRÓLä¥ÓÑRÓÕ:üLÓNà '�ì�9é5Ó �5ÑRå �:ÓÑ ï è�åtä¦àqÏ_åTê Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]ànÓ�ÔUà�Î#ÏUànå�üÎ#ÏoÏ_Ó��#, �:ÕeÔ ï Ó=å]Ñ �eÓÑ�-+')� ï Ð!ÓNÎTÕ:à ï é:Î ï � Ö��tì3ÔUà%åTäÎ ï Ð!åmà ï �:åTÏ_èeÕ5å]Ð ÔUÎ#Ï�í]ÑRåTê ï é�Ô_Õ ï é5Ó�à ï ÑnÔ � '��9é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ��Ö��TìhÔlà �¢å]ç5Õ$�eÓ��¨Ô_Õ�ÎTÕmè!üjÏ_åmànÓ��à ï ÑnÔ ��åTä ï é5Ó�äæå]ÑjÐ álØ /�� ��* ã�ÎTÕ$� ï éeç:à9åTä%àqÏ_å8ê Ô�Õ:üLÑjÓNÎ]ànÓ ï é5ÓÑRÓ,' 8%ÏUÎ]àRà{ÔlüÎ8Ï ï é5Óå]ÑRÓÐ�à�á�Ù]Þ#ãï é:Î ï Ó�� ï ÓÕ$��Ö! �Ùeì¡Õ5ÓNÎTÑ#��Ö��Tì� دà�é5å8ê ï é:Î ï Ô ï ÔUà9åTä§à{Ï�åTê Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]ànÓbÔ_Õ�ÎTÕmè �:ÕeÔ ï Ó[à ï Ñ�Ô ��åTäï é5Ó�üLå�Ð �eÏ_Ó��(�eÏlÎtÕ5Ó,'�9é5Ó ï é5Óå]ÑRÓÐ �:ÓLÏ_åTê ÑjÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï à ï é5Ó��:Î]àqÔUü �:ÎTÑ`Î ��Ô�í�Ð ä¥å]Ñ ï é5Ó�ÎTÕ:Î#Ï_è�à{Ôlà�åTä9é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlüànç5Ð�à ' � ï �5ÑRÓNànç+�+�:åeànÓNà ï é:Î ï õ�(mñ ðþñ#òUòoóPô õ¥ön÷]ô5øPùÄú�ö`û únù õ�(mñ j÷TøÄñ�ù *eô=�#õ¥óUú]ô ólø ú�ù[ù÷Tøõ7]ñ��NönñL÷Tøñ[÷�ô 7�õ�(mñ�WóPö`ó��+(mòoñ#õ�øñNöLóPñø�únù õ�(mñ (e÷]ö`û ú]ô¢óe��ø *eû ólø[ú�ù[û ú 7]ñ#ön÷]õ¥ñ��]önú 3%õ�(�óUô�÷]ôñ658õ¥ñNô 7]ñ�7'önñ �]óPú]ô�únù�õ�(eñM�Lú]û���òoñ�5 ��òo÷]ô¢ñ 6 �qÕ ï é5Ó�à ï Î ï ÓÐ!ÓÕ ï ß�å]ÕeÏ_è ï é5Ó�Î��:àRüjÔUàRàRÎ�åTä§àqÔ_Ð �eÏ_ÓüLå]Õeî]ÓÑRí�ÓÕ:üLÓ�Ôlà�Õ5ÓÓ��eÓ��3ß3Î é:ÎTÕ$�eè�Ô_Ð �5ÑRåTî]ÓÐ!ÓÕ ï ä¥å]Ñ9Ð'ÎTÕeè­Î �+�eÏrÔUüÎ ï Ô�å�Õ:à '� - � "�- ��� �`& � " � � &!$ ( / � � /�� 1���ú]ô/øÄó 7]ñ#ö!õ�(mñ��ñNô¢ñNön÷]ò(e÷]ö`û ú]ô¢óe� ø *eû � Ö{ÿ¦ì 6 �ñNõõ�(mñ�õ¥ön÷]ô/øUùú]öLû únù�õ�(mñ j÷Tøñ=ù+*mô �Nõ¥óPú]ô � LÖ��TìY(m÷��Nñ�÷�ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò%øõ¥öLó � ��� ���'� 6 �ñ#õ�õ�(mñWóUöLó��+(mòoñNõ£øñNöLóPñø ��Ö��Tì=÷�7]û óPõ%õ�(mñ (m÷]ò ù��j��òo÷]ô¢ñ�únù�øÄóPû���òoñ[�`ú]ô �Nñ#ö ��ñNô �`ñ �¯Ö��Tì ;�

�6$� ø`ø+*eû[ñ

õ�(m÷�õ� õ�(mñ)(m÷]ò ù � ��òo÷]ô:ñ únù �Lú]ô��#ñNö��]ñ#ô=�Lñþú�ù ��Ö��tìþóPô:õ¥ñ#öRøñ��#õPø�õ�(mñ�ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò�øÄõ¥öLó ��únù� Ö��Tì � �

�� � ÷]ô 7�òoñNõ � � Ð'Î �3Ö � � �

��

� õ�(mñ�ù *eô=�#õ¥óUú]ô/ø � Ö��Tì[÷�ô 74��Ö��tì�÷�7]û óPõ�÷�û ñNönú]û ú]ö �=(mó�� �`ú�ô:õ¥óPô=*e÷]õ¥óUú�ô óPô¾÷�øÄõ¥öLó �� 0���'�=÷]ô 7'÷�ö{ñ ÷]ô¢÷]ò��Tõ¥óe� ú]ô ��Ö��tì� �0 <mùú]öbøÄú]û ñ 0 �;� ?

� ú]ô2õ�(mñ �#òrútøÄñ�7¾øõ¥öLó � 0 � ��Ö��Tì � Ö � � / �%ì + < õ�(mñ ù+*mô �Nõ¥óPú]ô � LÖ��tì­ólø�únù�ù÷Tøõ7]ñ��Nönñ`÷tøÄñ�÷]ô 7�õ�(mñ9ù+*mô �Nõ¥óPú]ô4��Ö��tì¯ólø�únùWøòoú 3 óPô=�#ö{ñL÷Tøñ 6

# (eñNô�õ�(mñ[(m÷�ö`û ú]ô¢óe��ø+*mû � Ö{ÿ¦ì��`ú]ô �Nñ#ö ��ñø¢ùÄú]ö�÷]òPò]ÿ $'ú�ô�Ö!$�� / &×ì 6�� ô�÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó��ñ65.��÷�ô5øóUú]ô2únù � Ö{ÿ3ì�÷Tø'ÿ " $ õ¥óPòUò�÷]ô ñNöLönú]ö�õ¥ñ#ö`û 1 Önÿ � - ì�ó_ø�ú õ¥÷]óPô:ñ�7 � õ¥ñ#ö`û!3%óløÄñõ¥ön÷]ô/øÄòo÷]õ¥óPú]ô�ú�ù[õ�(mñ�øóUô �7*eòr÷�öWñ�5.�5÷]ô5øóPú]ô�únù � Ö��Tì� 2��Ö��Tì � Ö��TìW÷7���`ú]ö 7]óPô ��õ¥ú�õ�(mñ!ö�*mòoñ

+Ö���@/eì � � � &" + Ö�@WØTì �D�� ÿ � ' Ö¥Ï_å]íDÿ¦ì � �

� ö{ú#únù 6 %hÔ�ÑLà ï ànÓLÏ_ÓNü ï ÎTÕ¾ÎTÑ �eÔ ï Ñ`ÎTÑRè Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ ï Ô_å]Õ Î��:àjüjÔlàjàRÎ9� Ô_Õ Ö � � � �%ì�ÎTÕ$� ï ÎTë�Ó�à�å]Ð!Ó � �ànç:üjé ï é:Î ï � � � � � � � ' � é5ÓWÔ_Õmî�ÓÑ`àqÔ_å]Õ ï é5Óå]ÑRÓÐ �5ÑRåTî�Ô �eÓNà��< > � � < � Ö�� < ÿ3ì� � � 4 � � 4 �

��< > � � <� �< � Ö��Tì{ÿ �*�+� �,�Ö! �Ýeì�9é5ÓÑjÓ9ÔUà�ÎWê9ÓLÏoÏ )¥ëmÕ5åTê=Õ��:å]ç5Õ$�¨å]Õ ï é5Ó9í]Ñjå8ê ï é åTä¦Î�Ö.í�ÓÕ5ÓÑ`Î#ÏoÔjhÓ��¢ì ��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï à�ÓÑnÔ_ÓNà%Ô_Õ'ÎtÕmè�+�5Ó���é:Î#Ïoä ) �eÏUÎTÕ5Ó!à ï ÑnÔUü ï Ï_è¨Ô�Õ ï ÓÑnÔ_å]Ñ ï å Ô ï à�àqÔ_Ð �eÏ_Ó�üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ:üLÓ&�eå]Ð'Î#Ô_Õ ï é:Î ï ÑRÓNÎ,�5à

� ��Ö��Tì�� � � Ö�� ��� / ØTì��

Page 24: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�6� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ä¥å]Ñ�ànå�Ð!Ó�üLå]Õ:à ï ÎtÕ ï � ß5ànÓÓ�á Û:ØTß+� ':Þ )¥Û]ã '�%5ÑRå�Ð ï éeÔlàYß:ê9Ó�é:ÎNî�Ó�����

��< > � � <� �< � Ö��Tì{ÿ �*� ����� � � Ö � ��� / ØTì � � � Ö��tì��,�Nÿ �� Q�Ö{Þ6$eìê=éeÔUüjé �:ÓÑRÐ Ô ï à ï å Î��+�eÏ_è ï é5Ó��eå]Ð Ô_Õ:Î ï Ó��2üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓÕ:üLÓ ï é5Óå]ÑjÓÐ ÎTÕ$� ÓNà ï Î��eÏoÔUàné5ÓNà ï é5ÓüLå]Õeî]ÓÑRí�ÓÕ:üLÓWåTä � Ö{ÿ3ì%Ó��+�5ÑRÓNàRànÓ���Î]à=ÎTÕ�Ô_Õeî]ÓÑ`ànÓ Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ�Ô_Õ ï Óí�Ñ`Î#Ï��

� Ö{ÿ¦ì� Ø � � � 4 � � 4 �

��Ö��Tì � Ö��Tì{ÿ �*� � �,�Ö{Þ/ØTì

�qÕ Î,�+��Ô ï Ô_å]Õ�ß ï é5Ó �¢å]ç5Õ$�2ÖnÞ7$eì�àné5åTê�à ï é:Î ï � Önÿ3ì�ÔUà 1 Ö{ÿ �� ì�ê=é5ÓÑRÓ � ê Î�à[üjé5åmànÓÕ ÎtÑ )�eÔ ï Ñ`ÎtÑnÔoÏ�è Ô�Õ Ö � � � �%ì ' �9émç:àYß ï é5Ó'à ï ÑnÔ � ��� � ���'��ÔUàWÔ_Õ:üjÏ_ç$�eÓ�� Ô_Õ ï é5Ó ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#ÏDà ï ÑnÔ �¾åTä� Ö{ÿ3ì '�9é5Ó¨ç+�+�:ÓÑ �:å]ç5Õ$� åTä 1 Ö{ÿ � ì¯Î#ÏUànå�é5åTÏ �5àWä¥å]Ñ�Î#ÏoÏ ï é5Ó �:ÎtÑ ï ÔUÎ#ÏDànç5Ð'à�� �< > � � < � Ö � < ÿ¦ìê=éeÔUüjé ÎTÑRÓ ï é5ÓÑjÓLäæå]ÑjÓ �eå�Ð Ô_Õ:Î ï Ó����eèþÎTÕ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î��eÏ_Ó ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ¾åTî]ÓÑ�Ö!$�� / &×ì '&�9éeç:àß ï é5Ó�eå]Ð�Ô�Õ:Î ï Ó���üLå]Õeî]ÓÑRí�ÓÕ:üLÓ ï é5Óå]ÑRÓÐ Î �+�eÏrÔ_ÓNà�å]Õ:üLÓWШå]ÑRÓ�ÎTÕ$� è]Ô_ÓLÏ �5à� Ö��Tì� ÏoÔ_Ð

� 1 ��(��

��< > � � < � � Ö�� < ÿ3ì5ÿ ����� �mÿ +*�ÏoÔ_Ð� 1 �

��< > � � <� �< , � � Ö��Tì��ï é:Î ï ÔUà ï å'àRÎ#è ï é5ÓWä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�ÑRÓLÏUÎ ï Ô_å]Õ � Ö��Tì� ���Ö��tì � Ö��Tì�'�9é5Ó �5ÑRåeåTä�Ôlà�Õ5åTê üLå]Ð��eÏ�Ó ï Ó����mè�Î�à ï Ñ`Î#Ô_í]é ï Î �+�eÏrÔUüÎ ï Ô�å�Õ åTä ï é5Ó ��ú]ô��#ñNöjøÄñ ð�÷��7��óPô �# (eñ`ú]önñ#û Ö��9é5Óå]ÑRÓÐ Û5ì '� ànèeÐ!Ð!Ó ï ÑnÔUü%ÑRÓNànçeÏ ï é5åTÏ �5à£Õ5ÓNÎTÑ¡ÿ " & ß]Î]àRà�ç5Ð Ô_Õ5í�Õ5åTê ï é5Ó�Ð!ÓÑRå]Шå]Ñ �5éeÔUü%Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_å]Õ:à

ï å�é5åTÏ � ï å ï é5Ó%Ï_ÓLä ï åtä ï é5Ó£äæç5Õ$�5ÎtÐ!ÓÕ ï Î#Ï/à ï ÑnÔ �5a ï é5ÓDà{Ô�í�ÕWÔUà�ÑjÓî]ÓÑ`ànÓ�� �eç5Ó ï å ï é5Ó�å�ÑnÔ_ÓÕ ï Î ï Ô_å]ÕåTä ï é5Ó�üLå]Õ ï å]ç5Ñ�'��9éeÔUà ��ÔUàRüLç:àRà{Ô�å�Õ�ÔUà=ànç5Ð!Ð�ÎTÑnÔjhÓ�� �mè ï é5Ó�äæåtÏrÏ_åTê9Ô_Õ5í Ô_Õeä¥å]ÑRÐ'Î#Ï¡à ï Î ï ÓÐ!ÓÕ ï '

� -0, , $ & /�� � � � � $ � & � " � �), � '��£ô 7�ñNö�õ�(mñY�`ú]ô 7]óPõ¥óUú]ô/ø¯ú�ù # (mñLú]önñNû�Ú <� � � ��� Ö�� � ÿ¦ì X � �� ��� ÓNà E � Ö��Tì���Ö��tì{ÿ �+� G �� 3�(mñNönñ <�ùú]ö!÷�ô ñ65.��÷�ô5øóUú]ô ô:ñL÷]ö_$ <=õ�(mñ�ø+*eû ó_ø!ú �#ñNö õ�(mñ¨øÄñ#õ V ú�ù��ú]òoñYø¯õ¥ú�õ�(mñ¨òrñ�ùÄõ%ú�ù[õ�(mñ�ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]ò3øõ¥ö`ó � <D÷�ô 7�õ�(mñ�øÄó��]ô�ólø�� / � ?� ùÄú�öW÷]ô�ñ�5.�5÷]ô5øóPú]ô�ô¢ñ`÷]ö &)<�õ�(eñ ø *eû ólø¯ú��NñNö ��ú]òoñYø¯õ¥ú�õ�(mñ öLó � (mõ�ú�ùõ�(mñ�ù *eô 7�÷]û ñNô:õ¥÷�ò�øõ¥ö`ó � <�÷]ô 7'õ�(eñ øÄó��]ô�ó_ø�� @ � 6

�qÕ Î,�+��Ô ï Ô_å]Õ�ß ï é5Ó[ÑjÓLÏlÎ ï Ô_å]Õ Ö{Þ5ØTì=àné5åTê�à ï é:Î ï � Önÿ3ì%ÔUàWåtä � � üjÏUÎ]àRà�à{Ô�Õ:üLÓ ��Ö��Tì � jÖ��Tì9ÔUà�åTää.Î]à ï �eÓNüLÑRÓNÎ]à�Ó[ànå ï é:Î ï �eÓÑnÔ_î8Î ï Ô_å]Õ�ç5Õ$�eÓÑ ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#ϧà{Ô�í�Õ�Ôlà �:ÓÑjÐ Ô ïRï Ó�� '*,+ �5¼$-]»#¿�� / 8 �=9 D:>5BE? >5<)9�� 4 ���=F ;%�]� �U�]�m�n�q�o�N�

J R NKP ����> � ? - � - � R

A P ����> � - P �-�� P � U�n��.�o���m�R� J�� N P�� < «%�]�R�q��� < �o�£�.�]���m��q���N�����¦�8��� ¤ �R� � JP,¥�¡�o�¡���r�#�.�R�o�W�q�R�_��.�L�W�.� �� P �o�N  IKJ R N � N,¥�q��G �R�o�o�r���.�n��]���U�N�q� �o�

JMLON P�� ��.�o� � L�5J�- � L N U

Page 25: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H ���«%�o�.���U�]�e�]����R�T�{��T�q�.�.�o� � � - U � � ��m���.�o�] #�]�_��3�n¬]�m����.�o�N���.�9�.�����.�o #�8�3�Y���q�]�o�:�P�]�m�]�Y���R�T�{�Y�T�.�.�q�o�

JCL N�� ? -L F � � L A � ����> � J�� -ON

� �5J�-�� NL � �

;%�T�]�JP«%�r�q�!�����o�T�]���.�o #�[�n�#�.�.�j�.�e�N�m�T�o�] ��.�W�q�]�9�n¬]�m��]�q�o�N�!�� � N� < � �o�N  � � � � -� � � �� � F

J�� -ON � � �

-��� �o�N  � � � �

-� � � --�� � F � --�� � � � � � � �A9�j�]�R�{�Y�o� j�`�W�m�Y�.���N�]�_�h�8��� ¤ �R�q�¡�R�Y� ¤ �D��e��o� R�`���o�W�.�]���{�Y���%«%�L�8<�q�R��� � �T<T� � � � ���]�U�N�£�9�{� ¤ �o� #�r�T�o�]  � & F +< � #

*,+ �5¼$-]»#¿�� /��5@CB � $ B > �� � ;OD �=9�<�$ 8 F 1��.�N� �.�]�%���.�]�T�m�n�%�T�`���N���e�N�q�o�.�o�N����5�.�]�9A=������h�U�]�m���.�o�N�:<�#�]�9�m��

J R N�� P �r�#  IKJ R � - N � � R P ��< > � N R� �'�o�# 5J�-�� R� N U U JCL ��� � � U � � � N �

;%�]�o�%�n¬m�Y���]�o�%�o�%�.�o���o�_��h�r���.�]�o�q�r�%�q���q�]�=�]�q�R�T�o�N�]�%�#�]� � ;%�]��G��R�o�r�o���.�{�Y�]�¥�P�N�.� �o� JMLONQP � �5J��$LON �L5�.�o� � L

U«%�o�.���P�]�m�]�Y���R�T�{�Y�]�.�q�.�o� � � � U � - � � ;%�]�R�q�D��q�D�T�#� ¤ �o�%�e�N�o�R�%�� L P � -N<)L$P �=�Y�m�W�q�r���]�o�¡�e�N�o�R��Y�%�.�]�9�e�N�.�o�q�r�#�9�r�T�q�R N�R�q�`<

JCL N�� ? -JML�� -ON F � -�� �JCL�� - N A � ( -� L F � �o�N �� � �L ) � ��< > � J�� - N

< ��� � J�� � N�3JCL ��� N �

+F�R�m�n��Ht�.�o�.�o�o�] � �h�U�N�q�W�]�_��o�# 5J R � N � �o�N �� R6P G � P � � � R�� � ��< > � � F <� �3JK� � � - N -

R F < �$� �#

*,+ �5¼$-]»#¿�� /�� D�$���$ D �:8 �=B @ 2 9 �=F ;%�]���U�]�e�n�.�o�N����,J R N P ��< > � G �

< P� � U

�o���q�R�_��q�`�!�q���e�N�o�T�o�N 8�Y�.�o�.�������q�m��=��q���T�n�e�]�`�¨�U�#�%�r�T�q�R N�R��� ¤ �!-/���,J � N�P � �< > � � < � � � � 1��N�� ����<�N���D�e��!���,J R N P -5��� JMG �QP N � � �Y�.�q�]���F�m�.�q���.�e��!� �o�§���e�N�q�o�.�o�N�9�o�T�.�R #�R�`<"��P 5�;%�]���U���m�n�.�o�#�#� � J R N£�r�����¥�T�]�_�R�Y�5�m��q���#�]�_�£�.�]� «%�o�.���q�{�Y�]�¥�U�#�.�� � JMLON P �5JML�� N IKJMLON U

�N�Y�r�_�b�r��� JMLON � -=��%�o�`�Y�.� � ;%�]���.�o�] N�����Y�¡��¬t�e��]�q�r�#� � ¤ �n��o�]�%�P�.�N� �.�]�=�q�o�] N�]�_�Y�%�n¬]�m��]�q�o�N�]�%�Y�� JCL NJU�q�]���U�.�L�5N%��m�HI JCL N �� � JCL N�� �� $&%

&$�'% S)(+*J�� -ON < �5J ��� N� �

-L���� �

J�� - N � �$�J � - N,� ? -

JCL�� � -ON F � �

� �$�L�� � - A U JCL ��� � � U � � � N �

Page 26: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

;%�]�=�T�#� ¤ �o�9�m�#�o� �Y�$L$P � -9�o�m�T�m���R�D���o�N 8�Y�.�o�.�����_�3�¥�N�n�q�N����e�� � J R N P J�� -ON � �$�

J � - N,� R� ��� � � �r�#  R ��� � ��� � � �� $&%

&$�'% S)(+*J�� -ON < �5J ��� N� � R < �

;%�]�9�q�r #�T�%�m��m���q���t�D�o� 8 #%�=BED �=B �N���r���Y�!��.�T���]�.�#�.�_�£�.�R���.�R�q�R�T�{��q�o�N���N��o�_�W�� R�� ��< ¤ �]�%���R�.��q�]�=�.�j�]�.�R�q�R�T�{�Y�.�o�N�!�o�%�n¬m�#�n�D�Y�%�.�R�R���U�.�#� �]�]���U�#�.� ¤ �N�]�e�T���T�R�q�r�T�o�] ��U�q�N�  #�.�«%�q���P�N�.�W�����­�U�N��q�]�[A=�Y�����W�Y�m� R�R�n���U�]�m���.�o�N�]� J � ��< � � N �� �W�m�L�#�W� ¤ �n��o�]�`�¨�o���.�]�o�=«%�L�!�.��� �£�N���R�T���5� N�o�R��q�R�]�.�j�.�R�T�{�Y�.�o�N�¨�U�#�.�W�]�_�F�U�N�£�e�N�o�T�r�# 8�Y�.�o�.�]��� � � �T<]� � � � ��� � ���R� �2�o���]�N������o�T�.�j N�R�L<3�.�]�R�q� �r���]�'���N���m���R�m�n�!�Y���.�o�] #�]�_��.�o�q�r�j����m���#�R�n�#�{�T�o�] #�r�T<¢�.�]��o�N T��q�r�q�]���_�h�.�R�q� �T�o�{�Y�]�m�L��.� � 1]�#�%�o�]�.�n��m�n���

� ��R F J R N � ��< > � G �< P� � P � � R � ��< > � J�� -ON < �5J��F ��� N� � R <

#

*,+ �5¼$-]»#¿�.�� /�� D �:B 4 � @E254 @ 8�; < >�? @MBED >!�AF ;%�]�=�q�]� � J R NKP ��< > � G �

< W P W� �

�o�=�q�R�_��.�L���.�!�q�]�R�{�[�U�]�m�n�q�o�N�]� � ;%�]�W #�R�]�R�n��%�R��q�[�R�Y� ¤ ���.�q�`��q�`���o�(�N� ¤ ���U�N�q� ¤ �]�=«£�W�.�R�q�.�q������Y�.�.�j�8�q�o�N� �.� ��P � U - � ;%�]�=�R��q����P -=�Y�.�o�.�R���o���.������m�Y�o�8�q�o�%�� ¤ � ¤]¤ �o�=�q�N�.�L<]�q�R� � �� ��<T� � -�� ��Y�m� 0¢¬ � � � � � �L���,- � 7��]�=�m�Y�

� JCL N P -� IKJ L� N�� JCL�� -ON �;%�]�j�.�W�o�=�[�t�N� ¤ �o���m�#�o�¯�Y� L7P �[�Y�m�¨�m�#�r�j�D�Y��I JCL���� ND�Y�.�W�q�]���j�N�R���]�j 8��q�o�N���r�T�q�R N�R�q� � ;%���r� #�r�#�R�%�.���D��¬t�e��]�q�r�#�!�� R�� �2�

� JCL N �? -L F � �� L A � --�� -

L��#� � -�6� � -L�� � � � �

� J R N P � �r�#  R � � � � --�� R F � -�6� � R � � � � �;%�]���.�o�.�e��.�o�#���U�#� � J R N��o�¯�T�� 5�R�.�j�8�W�q�o�m�n���q�]� �m�#�o�R���Y� I JCL���� N�����.�����R�#�R���r�T�q�R N�R�q�¯�Y�.��R�Y�m�n�R�o�o�`� ¤ �W�q�]�=�N��o�]�j�¡�Y�¦�q�]�� R�R�n���U�]�e�n�.�o�N� � �5J�� � N P�5J�� � N,P � � P � � ;%�T�]�

� J R N�P -� � �R � -� � * J R . N U J R�� � N�U�#����T� ��� � ;%��� �t�R N�R���R�{�Y�.�W��.�T���]�.�#�.�_�£�.�R�q�o�R�=�R�� �N���r� ¤ �=��q�8���]�.�#�.�_� � #�9éeÔUà�ÏUÎ]à ï Ó��/ÎtÐ �eÏ_Ó�ÔUà!ÑjÓLÏlÎ ï Ó�� ï å ï é5Ó�Шå*�eçeÏUÎTÑ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'Î ï Ô_å]Õ åtä ï é5Ó ï Î�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:àÖ{à�ÓÓ Î8Ïlà�å £åTÔUàRànå]Õ54âà�à�ç5Ð!Ð'Î ï Ô_å]Õ ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ Ô_Õ d]ÓNü ï Ô_å]Õ Û5ìLß�ÎTÕ$� î8ÎtÑnÔ_å]ç:à�ÑRÓLÏUÎ ï Ó�� äæå�ÑRÐ'àé:Î#î]Ó��:ÓÓÕ Ô�Õeî]ÓNà ï Ô�íeÎ ï Ó�� äæÑjå]Ð ï é5Ó¾Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�à ï ÎTÕ$� �¢åTÔ_Õ ï �mè�=ÎTÐ'ÎtÕmçTÍRÎTÕ�ß_0�ÓÑRÕ$� ï ß��Ó`0�ÑRçeÔ ÍnÕ�ß2�Õmç ï é�ß%ÎTÕ$� ��å]Õ5Õ5Ó ï ß�à�ÓÓþáâÙ#ã.ß�á_ØNÚeß � 'hÛmÞTã.ß%á�Þ7�#ã.ß�áâÚ6�mß�� '%Ø� ]ÝTã ' =ÎTÐ'ÎTÕeçTÍRÎTÕ��ÔUàRüLç:àRà�ÓNà�ànå]ШÓ�üLÑnÔ ï ÓÑnÔUÎ ï é:Î ï ÓÕ ï Î#ÔoÏ ï é5Ó�Ó��mÔUà ï ÓÕ:üLÓ!åTä��:ÕeÔ ï Ó Ó��*�:ÎtÕ:àqÔ_å]Õ:à áâÙeß58�é:Î�� '�����ãä¥å]Ñ�àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à '

Page 27: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � ��qÕ'í]ÓÕ5ÓÑLÎ#Ï.ß ï é5Ó�Î��:ànÓÕ:üLÓ�åTä¡àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNà�Ô_Õ�Î�Ï_ÓLä ï é:Î#Ïoä �eÏUÎTÕ5Ó�Ô_Õ$��ÔUüÎ ï ÓNà9Î ï ÓÑRÐ Ô_Õ:Î ï Ô_Õ5í

Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�ê9Ô ï é�Ó��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏoÏ_è ànÐ'Î#ÏoÏ%ÓÑRÑRå]Ñ ï ÓÑRÐ 'WÖ��qÕþÐ�ÎTÕmè �5ÑLÎ]ü ï ÔUüÎ#Ï�àqÔ ï ç:Î ï Ô_å]Õ:à�ÓNà ï Ô )Ð'Î ï ÓNà�åTä ï é5Ó�ÓÑjÑRå]Ñ ï ÓÑRÐ�ÑRÓNànçeÏ ï ä¥ÑRå]Ð Î �+�eÏ�è�Ô_Õ5í ï é5Ó¯àRÎ �+��Ï�Ó��¢åTÔ_Õ ï Ð!Ó ï é5å*� ï å�ÑRÓÐ'Î#Ô_Õ$�eÓÑÔ_Õ ï Óí]Ñ`Î#ÏUà '�ì�9é5Ó ï ê9å Ó��/ÎtÐ �eÏ_ÓNà ï é:Î ï äæåtÏrÏ_åTê�ÎTÑRÓWÐ!å ï Ô�îTÎ ï Ó�� �eè ï é5Ó ï ê9å ï è �:ÓNà9åtä§é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�à

Ð!ÓÕ ï Ô_å]Õ5Ó���Ô_Õ ï é5Ó Ô�Õ ï ÑRå+�eç:ü ï Ô_å]Õ ' f Õ5Ó�Ô_Õmî�åTÏ_î]ÓNà�à ï ÑRå]Õ5íTÏ_è ^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_Õ5í!ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓNà�ÑRÓNànçeÏ ï )Ô_Õ5í ï é5å]ç5í]é�Ô_Õ Î�ànШåmå ï éþítÏ�å �:Î#Ï��:Óé:Î#î�Ô�å�ç5Ñ�' �9é5Ó¨å ï é5ÓÑWé:Î]à�í]Óå�Ð!Ó ï ÑnÔUüÎ#ÏoÏ_è�Ô_Õ:üLÑRÓNÎ]àqÔ_Õ5íä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ�ÓNàWà�å ï é:Î ï=ï é5Ó:��Ô_ÑnÔUüjéeÏ�Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà�é:Î]à=Î�ÏoÔ_Õ5Ó�åtä �¢åTÏ_ÓNà=ÑRÓNà�çeÏ ï Ô�Õ5í¢ß$�eè18�å]ÑRåTÏoÏUÎTÑRè�Ø]ßÔ_ÕþÎtÕ�åmàRüjÔoÏoÏlÎ ï Ô_Õ5í�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü �¢Óé:ÎNî�Ô_å]ç5Ñ�Ó��*�5ÑRÓNàjànÓ�� �eè­Î�%5å]ç5ÑnÔ_ÓÑ�à�ÓÑnÔ_ÓNà '*,+ �5¼$-]»#¿ . .�/ � � B �OB �OD ���=<)9�F ;%�]�W��e��o�T�.�o���Y�¡�.�]�W���R�o N�T���Y�¡�.�q�R�R��JU�.�j�W�.�]���o�8�q�.�]�T�m���.�o�N��N�q�] N #�R�.�q�D�n�#�]�.�_�T�R�q�o�] W�.�]���.�]�

��J R N,P ����> � S J N G �� P5U

«%�o�.� S J N ¤ �R�o�] W�.���=�T�]� ¤ �j�¡�Y�¦�T�o�T�o�.�N�q�%�� 5� A9�o�N�R���.�]��� A#�m��o�o�¥�����> � S J N � P � F JMLON U

�q�]��G �R�o�o�o���q�{����¥�U�#�.� �Y����J R N£�o�� JMLON,P�IKJMLON � F JMLON U

«%�o�.���P�]�m�]�Y���R�T�{�Y�]�.�q�.�o� � - U � � � � ;%�]�R�q�=��.���.�o�] #�]�_��.�o�q�r�j�¦�Y� L P -N<)L$P �]<#�.���R�[�Y�§�Y�r���.�]���t����]�j 8��q�o�N�9�o�8�q�R N�j�.�`<��.�W�q�m��

� JCL N�� ? -JML � -ON F � �L � - A � ? -

� LA� > � � ����> � J �5J�� � � -ON N FJK� � - N,� -

L��1� � - �;%�]�o�%�q�{����.�_��q�R���o�T�.���.�]�=�Y�.�T���]�q�N�q���F�n¬]�m����.�o�N� �����J R N%�� R�� �2�

��J R N�� -R J�� �o�N  R � � N � -� � ����> � J � J�� � ��-ON N FJ � � -ON,� R F � � � ��£�o�`�Y�.�o�=�.�������Y�/�T�o�T�o�.�#�.�¡�R�Y� ¤ ���.�q�`��q�`�W�o�����.�o���o�_��¢«§�L������q�]�R�o�§C��o�.�_�q�]�o�R�3�.�j�.�o�R����q�%�n¬]�]�.�j�.�¥�� ¤ �o���o���q�R�.�����Y���.�]�!@%�o�R� ��]� R�R�n� �P�]�m�n�q�r�#� � @��Y�[��T���j��'�T�o�n�n��N�R�q�`���!�T�]� ¤ �R�=�Y���.�R�_�Y�.�`��U�#�.�W�]� ���_��q�R�%�.�q�`��q�`� ¤ � ���j�.�m�T�=�Y�m��03�N�Y�]�%�]�q�r�� �G �R�o�o�r���.�n��]���U�N�q��� � � � � #%/ÑRå]Ð ï é5Ó �5ÑRåmåtä¯åTä��9é5Óå]ÑRÓÐ Ú�ê=é:Î ï ÓNàjànÓÕ ï ÔlÎ8ÏrÏ_è×Ð'Î ïRï ÓÑ`à¯Ôlà ï é5Ó�R÷�òr÷�ô=�Lñ �:Ó ï ê9ÓÓÕï é5Ó¨í]ÑRåTê ï é�åTä ��Ö��tì�ÎTÕ$� ï é5Ó �eÓNüLÑjÓNÎ]ànÓ!åTä � YÖ��tì ' �9é5Ó'Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUü�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ ÑRÓÐ�Î#Ô_Õ:àîTÎ#ÏoÔ � Î]à�Ï_å]Õ5í�Î]à � Ö��tì�ÔUà�íTÏ_å,�:Î#ÏoÏ_è 1 Ö�� ��� ì�ä¥å]Ñ�ànå]Ð¨Ó �4 ØWÔ_Õ ï é5Ó�Ó�� ï ÓÕ$�eÓ���à ï ÑnÔ �¾Ö ï é5Ó� � üjé:ÎTÑ`Î]ü ï ÓÑ[ШÓÕ ï Ô_å]Õ5Ó�� Î��:åTî]Ó�Ð'Î#è�í]Ó ï Ï_åmà ï ß ï é5å]ç5í]é3ì�' � ÏUànå:ߧÔ�Õ2Î]üüLå]Ñ �5ÎtÕ:üLÓ�ê9Ô ï é8�å�ÑRåTÏoÏUÎTÑRè×Ø]ß3Ô ï Ôlà�ànçQ�­üjÔ_ÓÕ ï[ï é:Î ïWï é5Ó �eÓNüLÑRÓNÎ�ànÓ!åTä � Ö��Tì�é5åTÏ � Î#Ï_å]Õ5í�Î ��ÔUàRüLÑRÓ ï Ó�ànÓ ï åTäé5å]Ñ�Ôihå�Õ ï Î8ϦànÓí]ШÓÕ ï à ' � éeÔlà �¢ÓÑRÐ Ô ï à ï å[üLå �:Ó�ê9Ô ï é­à{Ô ï ç:Î ï Ô_å]Õ:àFÔ_Õmî]åtÏ�î�Ô_Õ5í�Ô�Õ �:ÕeÔ ï ÓLÏ_è�Ð'ÎtÕmèÔ_Ð'ÎTítÔ�Õ:ÎtÑRè �:åTÏ_ÓNà�üLå]ÑRÑRÓNà �:å]Õ$��Ô_Õ5í ï å!ÎTÕ�åmàjüjÔrÏoÏUÎ ï å�ÑRè �¢Óé:Î#î]Ô_å]ç5Ñ�'

Page 28: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

*,+ �5¼$-]»#¿ . / � � D < � $�� 4 "�#TD:>�4=>T@CBE8 $ �=< 9 8 > � #54 �=BED � BE? B @MBE4��=F ;%�]�W�]�q�N�.�#�¥�T�m�W�Y�§�m�Y�.���N�]�_��q�]���£«%�o�.�!� �e�m�n�.�e��.�o�]  ¤ �R�m�L�T�o�N���%�r�%�q�]���U�]�m���.�o�N�

� J R NKP ����> � G �QP F S U«%�]�#�.� ¤ �R�m�L�T�o�N���¡�o�%�.�#�] N�T���Y� R�� � � ;%�]�=G �j�r�o�o���q�{�Y�]�¥�U�#�.� �o�

� JCL N,P I JCL N * ����> � JK��N �*� , P I JCL N-�� � �+� �

;%�]�j�.���Y�.�9�o�T�m�]�o�.�j�r�W� ��T���m�#�r�j������$JMLON%�Y�%�.�]�9�e�N�o�T�.��� P � � ��o�N 5� �

;%�]�%A=�Y���[�¦�U�]�e�n�.�o�N���T�`�n�q�`��q�R�£�æ��q������ JCL N ��� � � ;%���§C��o�.�_�q�]�o�R�3�.�R�q�o�R��� JCL N P J�- �_� �*� N �$��q�{�L�T� ¤ �N�]�e�T�`�¾�Y�r�#�] ��]�#�.� R�N�T�n����q�R N���R�T�.�W�q�m����m��q���o�T� ¤ �R�¥«£�R�R� �e�N�o�R�[�Y�� � JCL N��P J � �- N � � �3�o�N  ��<#�U�N� �� �o�8�q�R N�j� � ;%�T�]�`<��£�N�q�N�o�_��.� -9�.�W;%���R�N�q�R� ���Y�]�]�o�o�R�£�]�R�.� �;%�]�9�q�R�.�_�T�]������$JMLON£�o� -��)JU�o�#  � N ¤ �W�8�o�q�.�]�9����e�R�.�o�]�T�_�n�o�¥� � ;%�T�]�L<

--�� � �+� � �� ��� -�r�#  � -

L � �� U JCL �"�KN �J ��� N

A9�o� ¤ ��o�o�8<L�q�]���e�N�o�R�£�� � JCL N%��.���.�T�]�%�=�T�#� ¤ �o�%�m�#�o�D�� �]<#�.�o�] N�o�%�e�N�o�R�£�o�m�T�m�n�L� ¤ ���$JMLON£��h�.�]���<m��e���e�N�o�R���Y�¡�q�]�=�]�j 8��q�o�N�9�o�8�q�R N�j�.� � ;3�{����.�_��q�r�� =�.� � J R Nh�T�o�R�_�T�

� J R N P � �o�N  F J R N � �

�o�N 5� � -� � ��JP�r�#  F R N�� ��< > � --��1� < J�� R N <� � U�Y 8��o�'�Y�!�n¬m�N���=�.�R���.�R�q�R�T�{��q�o�N� � ;%���R�.����JP�o�N  F R N9�n�N�e�T�R�]�q�R���q�]�W�n�N�T�.�q� ¤ �]�.�o�#�!�U�q�N���q�]�����N�T� R�j�.���o� � N�o�m�Y�.�=�e�N�o�R�%�q�m��%�q� �m�`���.��J �B� N �

��JP�r�#  F R N P -�r�# 5� �� ������� ��� I J � � N R ��� S P -

�o�N  � �� � ����� ��� IKJ � � N G � F 4�� � ��

W P �;%�T�]�L<��L�U�q�R�=�.���W�r�# 8�Y�.�o�.�]���_���q�R�.��< � J R ND���N�T�{�Y�r����� �m�m���.�m�Y�.�o�] !�q�R�.� ��%�N�n�T�R��*7J�-ON9�q�m����r��n¬]�]�q�R�.�q�`������W1��N�]�q�r�j�%�.�R�q�r�j���o���o�N  F R «%�o�.� �n¬]�]�o�_�n�o�§���8���[�n�o�R�T�.���Y�¦�WA=�Y��� �%�¥�T�m� �4��[�j�8�q�o�.�R�o���q�o���o�_��3���R�q�]�]�W�e�R�.���o�.�%�.�W��¬t�q�{�#�n� �m�m�n�q�m��q�o�N�]����¦���q�]� �o�(�N�

��J R NQP ����> � ��-�� G � P+R F S � U«%�]�j� R � � � <T�.�R��*¦�.�N� � � ¤ �R�o�« � #g¾Ó å,�:à�ÓÑRî]Ó ï é:Î ï � �£Ö �_ � �� +hÏ�å�í eì�� � $+��ÚTÛmÚ7 5Ø �mØ�$ � ' ß�ÎTÕ$���eç5Ó ï å ï é5Ó�ä.Î]à ï �eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓåTä �£Ö��tì'Î#Ï_å]Õ5í×Ô_Ð'ÎTítÔ�Õ:ÎtÑRè×ÏoÔ_Õ5ÓNàß ï é5Ó ^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_Õ5í×ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ���Ö¥Ï_å]í F ÿ3ì'à ï Î#è5à �¢å]ç5Õ$�eÓ���eè ØB$ � ' ' d]ç:üjé Ð Ô_Õeç ï Ó ^:ç:ü ï ç:Î ï Ô�å�Õ:à'üLå]Õ:à ï Ô ï ç ï Ó�ξüLå]ШÐ!å]Õ äæÓNÎ ï ç5ÑRÓ�åTä�Ð'ÎtÕmè×Ò�ÓLÏrÏoÔ_ÕÎTÕ:Î8Ï�è5ànÓNà '� üjÏ_åmà�ÓLÏ�è�ÑRÓLÏUÎ ï Ó��¨Ó��:ÎTÐ �eÏ_Ó=ÔUà=ÎtÕ:Î#Ï_è�ànÓ����eè'Ì�ÎtÑ �eè�Ö.éeÔUà%ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ � F Ö{ÿ¦ì�Ô_Õ¾á Û $eß � 'mÞ0�Nã¥ìê=é5å�Õ5å ï ÓNà ï é:Î ï =ÎTÐ'ÎTÕeçTÍRÎTÕ�ä�Î8ÔrÏ_Ó�� ï å=å,� ï Î#Ô_Õ ÎTÕ�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRè��5ÑjåmåTä5åTä ï é5Ó �5ÑnÔ_Ð!Ó9Õmç5Ð �¢ÓÑ

Page 29: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �ï é5Óå�ÑRÓÐ �:ÓNüÎTç:à�Ó!éeÔUà�ÎTÑRí�ç5Ð!ÓÕ ï Õ5ÓítÏ�ÓNü ï Ó�� ï é5ÓNànÓ ï Ô�Õeè ,ÄêDå �+�eÏ�ÓNà�-�ÎTÑnÔUàqÔ_Õ5í äæÑRå�Ð Ô_Ð'ÎTítÔ )Õ:ÎTÑjè �¢åTÏ_ÓNà '

Û$'��3É ��� �5Å�ÇFÆ��%�8ÇFÆK��ÉQ���g2é:Î ï ê9Ó�üÎ#ÏoÏ¡é5ÓÑRÓ�ÎTÕ¾÷tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó���ànç5Ð!Ð�Î ï å]ÑRè�äæå]ÑjÐ[çeÏUÎbÔUà�Îbä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ ï é:Î ï íTÔ_î]ÓNà ï é5ÓÎ]à�èmÐ � ï å ï ÔUü�ä¥å]ÑRÐ åtäDÎ!üjÏUÎ]àRà�åTä�é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�à=ê=é5ÓÕ�ÓLÔ ï é5ÓÑ ï é5Ó[ÎtÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ )PäæÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üLè�:Î#Ô_ÑWà ï Î#è5à��+�5Ó�� Ö{ÎTÕ$� ï é5Ó �:Î]ànÓ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ÔUà ï Îtë]ÓÕ�Ô_ÕþÎ ê9Ô �eÓ!üjÏUÎ]àRà�åTä£äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:àÄìDå]Ñ ï é5Ó�:Î]à�Ó=ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�à ï Î#è5à �+��Ó�� Ö{ÎTÕ$� ï é5Ó�ÎTÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ )Pä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üLè �:Î#Ô_Ñ=î8ÎTÑ�Ô�ÓNàÄì '��9é5Ó�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#ÏoÔ ï èÎ��å]Ñ��eÓ�� �eè �9é5Óå]ÑRÓÐ Ú �:ÓÑRÐ�Ô ï à ï å �eÓ��eç:üLÓ�ÎbÏUÎTÑRí�Ó�Õeç5Ð �:ÓÑ9åTä§ànç5ШÐ'Î ï å]Ñjè�ä¥å]ÑRÐ çeÏ��WßeÎï è �eÔlüÎ8ϧüÎ]ànÓ��¢ÓLÔ�Õ5í�í�ÓÕ5ÓÑ`Î#ÏoÔjhNÎ ï Ô_å]Õ:à�åTä ï é5Ó �%çeÏ_ÓÑ ).Ò�Î]üjÏUÎTç5ÑnÔ_Õ�äæå�ÑRÐ çeÏlÎ '� �!,.-�"��R� � (�, � �)"%$'& /�� � � � � $ �)& 1��9é5ÓþüjÏUÎ]àRà{ÔlüÎ8Ï �%çeÏ_ÓÑ ).Ò�Î]üjÏUÎTç5ÑnÔ_Õ ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ��5ÑRåTî]Ô �eÓNàέäæçeÏoÏ Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUü Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Ó��*�5ÑjÓNàRàqÔ_Õ5í ï é5Ó­üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ:üLÓ!åTä�Î1DÔ�ÓÐ�ÎTÕ5Õ à�ç5Ð ï å ï é5ÓüLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$��Ô�Õ5í Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ#Ï ' �9é5Ó�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ Î]àjànç5Ð!ÓNà ï é5Ó �:Î]ànÓ¨ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ï å �:Ó � � ÎTÕ$�ï é5ÓÕ�Ô_Õeî]åTÏ_î]ÓNà ï é5Ó:0�ÓÑRÕ5å]çeÏoÏoÔ¡Õeç5Ð �:ÓÑ`à ' �9é5Ó�äæå�ÑRÐ çeÏlÎ�é:Î]à �¢ÓÓÕ�Ó�� ï ÓÕ$�eÓ�� �eè 0DÎtÑRÕ5ÓNà�á��#ãÎTÕ$�þÏlÎ ï ÓÑ�ÑRÓî�ÔUàqÔ ï Ó�� �mè ��å�Õ5Õ5Ó ï áâÞ7�Tã£Ô_Õ ï é5Ó'üÎ]ànÓ åTä�üLÓÑ ï Î#Ô_Õ�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à[à{Ô�Õ5í�çeÏlÎtÑ�Î ïWï é5Óå]Ñ�Ô�ítÔ�Õ '�#" ��* � /�$ � $ �)&�� ��� - & -�"� ,+$�- � � �),.-0"��R� � (�, � �!" $'& / � � � � � $ �)&$� 1 �ñ#õ � Ö{ÿ3ì jñ9ø+* � (õ�(m÷�õ �

Önÿ3ì XP21 � ����> � � � ÿ � S �ùú]ö�øÄú�û[ñ óUô �Nönñ`÷tøÄóPô � øñ �B*mñ#ô=�Lñ & � � (�3%óPõ�( � � @WØ 6 � ø`ø+*mû ñ¾õ�(e÷]õ � Ö��tì�ñ�5Tó_øõPø�óUô� @ � � ���'�%ùú]ö�øÄú�û[ñ�� Ø�÷�ô 7�ólø[û ñ#ö{ú�û[ú�öK�=(eóe�L÷]òPò\� �`ú�ô:õ¥óPô=*e÷ òoñ!õ¥ú�÷Wù+*mô �Nõ¥óPú]ô ú�ùDù÷Tøõ7]ñ��NönñL÷Tøñ�óPôþ÷�ô=� %9ô:óPõ¥ñWøõ¥ö`ó � únù � @ &3� �'� 6 # (mñNô� Ö{ÿ¦ì � ����> � � Ö!D5ÿ3ì XP51 � Øÿ � �� �

Ö{ÿ¦ì*�eÿ / ����> � � � �eÖ�@ � � ì{ÿ � S �� ö{ú#únù 6 �9é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ � Ö��tì=ÔUà � LÖ��tì��eÖ��tì�ê9Ô ï é×ÑRÓNà{Ô �eç5Ó�Î ï � Ø ï é:Î ï Ó�9]ç:Î8Ïlà � LÖLØTì`ßÔ ï ànÓLÏoä ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#Ï3åTä

�Ö{ÿ3ì '�0�è �9é5Óå�ÑRÓÐ Þ5ß ï é5ÓÑRÓWÎTÑRÓWÎ#ÏUànå �:åtÏ�ÓNà åTä � LÖ��Tì�ÎTÕ$� � Ö��Tì�Î ï

ÓNÎ]üjé#@ � � '��9é5Ó�ÑRÓNànçeÏ ï=ï é5ÓÕ¨äæåtÏrÏ_åTê�à �eè �9é5Óå�ÑRÓÐ Ú[Î8ä ï ÓÑ ï ÎTë�Ô_Õ5í Ô_Õ ï å!Î]üüLå�ç5Õ ï9ï é5ÓWàqÏ_åTêÔ_Õ:üLÑRÓNÎ]à�Ó�åTä �eÖ��tì%Ô_Õ �:ÕeÔ ï Ó[à ï ÑnÔ �:à '*,+ �5¼$-]»#¿�.�� / � �=<)9 � B @ 272T8�$ ;� B >)@ 4�:4 ��4�"�#5D >�4 >)@ �AF ;%�]���.�]�

� < P ����> � - � R F J�� � N � R F

�o���� 03�]�o�R����G!�#�n�_��]�q�o�[�q�]� �.�o�m�n�

� < P -� F � J -� N «%�]�R�q� � J R N P ����> � � J R N U � J R N P -

R ��R F J�-�� R N � R F �;%�]�9�n¬]�m�Y�]�.�o�#�[�Y� � J R N%�]�`�Y� R P ���o�T�N�#�o�N�R�£�m����_�¥�o�T�.�R #�R�¡��¬t�e�N���R�T�.� �

� J R N�� ����> � � � R� ��� R F U �

� P J�� - N � J � -ON � � F � ! � � - # �

Page 30: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

,¥�W�N�]�t�r�q�o�N�:< � JCL N¢�m��¢�U���m�]����R�T�{�Y�N�.�q�.�o� � - �B� U � �B� � <L��m������n¬]�]�o�����r�¢�.�n��]���U�N�q�%Jæ�T�R�q�o�8�o�] ��U�q�N��q�]��03�]�o�R�q�_����h�R�n�W�o�T�.�R #�{��5�#�£�U�.�#� �� �`�Y�.�o�o�R�%�n¬m����]�o�ON

� JCL N P � JCL � -� U � � L N P IKJML�� - ��� N I J � � L NI J � ��� N U

«%�]�_�q�  N�m�Y�{�Y�8�q�R�R���r�q���¥��.���t�`�n�.�L��.� � ;%�T�]�L<m���q�r���]�o���n�N���]�]�n��.�o�#�W�8�o�R�_�T�

� < � �� �

����> � � � � J�� � -� N -��� � R F �

#9ÓLÏUÎ ï Ó���Ó��:ÎTÐ �eÏ_ÓNà9ÏoÔ_ë]Ó < �$����> � Ø& D¢ÖTZ`@ D¢ì �

Ð!å ï Ô_î8Î ï Ó�� �eè ï é5Ó'ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà åTä�Ô_Õ ï ÓÑ �¢åTÏUÎ ï Ô_å]Õ ànÓ�9�ç5ÓÕ ï ÔlÎ8Ï ànÓNÎTÑLüRé�ß%ÎTÑRÓ ��ÔlàjüLç:àRànÓ�� Ô_Õ á�Þ7�#ãÎTÕ$� ï Î��5çeÏUÎ ï Ó���Ô_Õ áâÞ0�tß � '� ]Ý]ÙTã ' Ö��9é5Ó'ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàbÔUà�é5å8ê9Óî]ÓÑWШå]ÑRÓ �eÓLÏoÔUüÎ ï Ó]ß%ê Ô ï é � LÖ��tìå]ÕeÏ_è(�eÓNüLÑRÓNÎ�àqÔ_Õ5í!ÏoÔ_ë]Ó � �$��R F '�ì*,+ �5¼$-]»#¿�. � / �> 4 " #5D >�4=>)@MBE8 $ �=<)9 � B @ 2���� <58�� 4�� DOD @ �=F ;%�]�9�P�]�m�n�q�r�#�

� J R N�P ��< > � G ��� < P�#�T���o�.�h�.�]�=��¬t�e��]�q�r�#�

� J R N �P21 � �R F � -� � ����> � J�� -ON�

� �5J�� � N R � U�q�r�e�n�=�o�.��G �j�r�o�o���q�{�Y�]�¥�U�#�.� �o�$I JCL N��5JML �B� N � #Ò�ÎTÕeè�àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑDànç5ШÐ'Î ï å]Ñjè�äæå]ÑjÐ[çeÏ�� üÎTÕ �:Ó=ítÔ�î�ÓÕ[ç5Õ$�eÓÑ ï é5Ó=Î]àRànç5Ð�� ï Ô_å]Õ:à£åTä %Ñjå,� '5Ø]ß

ÏoÔ_ë]Ó ����> � Ö�@WØTì� �$� � Ö!D5ÿ3ì X ����> � � � Ö`Ø�@ � � � S ì��eÖ�@ � � ì{ÿ � S����> � Ö¥Ï_å]í D¢ì � ÖTD5ÿ3ì X Ø

ÿ Ï_å]íØÿ � ��

�Ö{ÿ¦ì*�eÿ / Øÿ � ��

�Ö{ÿ¦ìRÖ¥Ï_å]í�ÿ¦ì*�eÿ

/ ����> � � � � �UÖ�@ � � ì{ÿ � S �%/å]Ñ9Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß =ÎTÐ'ÎTÕeçTÍRÎTÕ�íTÔ_î]ÓNà�áâÙ#ã��� � !��

� P¦Ï�å�í D Øÿ Ö¥Ï_å]í Øÿ @ 0£ì / Ï_å]í � �� /21 Ö{ÿ3ì �d]Óî]ÓÑLÎ#ϯÓ��:ÎTÐ �eÏ_ÓNà�åTä:=ÎTÐ�ÎTÕmçTÍRÎTÕ é:ÎNî�Ó(�:ÓÓÕ ï ÑjÓNÎ ï Ó�� à�è ï ÓÐ�Î ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è �eè30�ÓÑjÕ$� ï ÎTÕ$��Fî8ÎTÕ:àFç:àqÔ_Õ5í�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à9áâÝ#ã '�%5ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�ê9Ô ï é Ï_å]íeÎTÑnÔ ï é5Ð ÔUü�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNà=Î ï $�üÎTÕÎ#ÏUànå �¢Ó&�eÓNÎ#Ï ï ê9Ô ï é�Ô_Õ ï éeÔUà9ê=Î#è]ßmànÓÓ ï é5Ó �:Î��¢ÓÑ`à �eè`09ÎTÑRÕ5ÓNà9ÎTÕ$� ��å�Õ5Õ5Ó ï ä¥å]Ñ=Î#Ï ï ÓÑRÕ:Î ï Ô_î]ÓÎ��+�5ÑjåmÎ]üjé5ÓNàWá��eß:Þ7�Tã '

Page 31: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �,-�Wú]õ¥ñ�ú�ô�ùÄú]öLû ÷]ò�ðþñ#òUòoóPô ÷]ô¢÷]ò��#øÄñYø 6 �qÕ ï éeÔUà�Ñ`ÎTÕ5í�Ó'åTä �5ÑRå �eÏ�ÓÐ�àß%Ô ï ÔUà�åTä=Ô_Õ ï ÓÑRÓNà ï ï å

å,�:à�ÓÑRî]Ó ï é:Î ï Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�ànÓÑnÔ_ÓNà¨ä¥åTÏoÏ_å8ê�ùú]ö`û ÷]òPò�� äæÑRå�Ð ÎTÕ Ó��:üjé:ÎTÕ5í]Ó�åtä[ànç5Ð!Ð'Î ï Ô�å�Õ:àÔ_Õ ï é5Ó'é:ÎTÑjÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð�ß�ê9Ô ï é ï é5Ó1��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà!üLå]Ð Ô_Õ5í¾å�ç ï Î]à Î �5ç5ÑRÓLÏ_è ��Ô�î�ÓÑRí]ÓÕ ïànÓÑ�Ô�ÓNà�Ö �oì ' �9éeÔUàWå �:ànÓÑRî8Î ï Ô_å]Õ¾åTä ï ÓÕ¾üLå]Õ:à ï Ô ï ç ï ÓNà�Î�ç:ànÓLä¥çeÏDé5Óç5ÑnÔUà ï Ôlü�Ô_Õ ï é5Ó ��ÔUàRüLåTî]ÓÑjè�åTä�¢åmàRàqÔ �eÏ_Ó'ànç5Ð!Ð�Î ï Ô_å]Õ�ä¥å]ÑRÐ çeÏ�� ï é5ÓÕ�ÑnÔ_í]å]ÑRå�ç:àqÏ_è�ÓNà ï Î��eÏoÔUàné5Ó�� �mè�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à ' � ÕÔoÏoÏ_ç:à ï Ñ`Î ï Ô�å�Õ�ÔUà �5Ñjå8î�Ô �eÓ�� �eè ï é5Ó�ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ� Ö{ÿ3ì � ����> � Ö�@WØTì

� �ÖRÖ! 7D / ØTì{ÿ¦ì X ����> � � � �¢Ö�@ � � ì{ÿ � S � ê�é5ÓÑRÓ �¢Ö��tì ��< > � Ö�@WØTì �

Ö! 7D / ØTì �ÔUàWÎTÕ�ÓÕ ï Ô_ÑRÓ1,�� )Päæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ=-�Î]àRànå5üjÔUÎ ï Ó���ê Ô ï é Î�üjé:ÎTÑ`Î]ü ï ÓÑ�Ð!å*�eçeÏ_å�Û:ß3ànÓÓ�á_Ø� #ã ' �.Õ�Ó��¦ÓNü ï ßå]Õ5ÓWé:Î�à�äæå�ÑRÐ'Î#ÏoÏ_è

� Ö{ÿ3ì � �$Ö�@WØTì $ * � � � � ÿ � S Ö! " / ØTì � S ,

� �+� � � ÿ � S * ��$ > � Ö�@WØTì�Ö! �" / ØTì�� S ,

� ����> � � � �¢Ö�@ � � ìnÿ � S ��9é5Ó�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ Í{ç:à ï Ô �:ÓNà'ànç:üjé×ä¥å]ÑRÐ�Î#Ï=Ð'ÎTÕeÔ �5çeÏUÎ ï Ô_å]Õ:à�ê=éeÔoÏ_Ó3,LÓ��*�eÏUÎ#Ô_ÕeÔ_Õ5í - ï é5Óå5üüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓ�åTä§Î,�+��Ô ï Ô_å]Õ:Î#Ï ï ÓÑRÐ'à�ÏoÔ_ë]Ó ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8Ï�Ô_Õ ï é5Ó �%çeÏ_ÓÑ ).Ò�Î]üjÏUÎTç5ÑnÔ_Õ�ànç5Ð!Ð'Î ï Ô�å�Õ '� ������$+( /�� � /21[d]ç5Ð'à�Ô_Õeî]åTÏ_î�Ô�Õ5í �¢åTêDÓÑLà9åTäI 5ß/åTä ï é5Ó ï è �:Ó� � Ö{ÿ3ì� ���

� � �� � � Ö ÿ � ì��

ÎTÑjÓ��:ÎTÑ ï ÔlüLçeÏUÎTÑ�Ï�è�ä¥ÑRÓ�9�ç5ÓÕ ï Ô_Õ ï é5Ó=ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà£åTä¦Î#Ï_í]å�ÑnÔ ï é5Ð'à£ÎTÕ$��êDÓ9üÎ#ÏoÏ ï é5ÓÐ 77�T÷�7]ó��=ànç5Ð'à '�qÕþÎ��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:àWÿ ç:ànç:Î#ÏoÏ_è�ÑRÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï à�ÎWÏUÎTÑjí]Ó&�:ÎTÑLÎTÐ!Ó ï ÓÑ�'�#" ��* � /�$ � $ �)& � �`� � ����$ ( /�� � /�� 1> �ñNõ � Ö{ÿ3ì'Rñ�ø+* � (­õ�(m÷�õ�

Ö{ÿ3ì XP51 � ����> � ��ÿ ��� S �

ùú]öWøú]û ñ óUô �NönñL÷TøÄóPô ��øñ���*eñNô=�Lñ7& � � ( 3%óUõ�( � � 3$ 6� ø`ø+*mû ñ�õ�(m÷]õ � YÖ��tì¯ñ658óløÄõPøWóUô ��� ��� � �ùú]ö øú]û ñ ��� $ ÷]ô 7�ó_ø!û ñNönú]û ú]ö �=(mó��`÷�òUò��1�Lú]ô¢õ¥óUô *m÷ Yòoñ!õ¥ú�÷�ù+*eô=�Nõ¥óPú]ô¾ú�ù=ùÄ÷tøÄõ 7�ñ��#ö{ñL÷TøñóPô�÷]ô=� %9ô:óPõ¥ñWøõ¥ö`ó � únù ��� � / &)� 6 # (eñNô

� � Ö{ÿ¦ì � �� � � � Ö ÿ � ì XP21 �+� ØÏ_å]í� �� � � � Ö D%�Ï�å�í ì�!�� F 4 � � � �� W P / ����> � � �

Ø�@ � S ÿ ��� S �� ö{ú#únù 6 �9é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ åtä � � Ö{ÿ3ì£ÔUà � � Ö��tì� � Ö��tìØ�@ � �

ÎTÕ$�¨Ô ï ÔUà=ÑRÓNÎ ��ÔrÏ_è�ànç+�/Í{ÓNü ï Ó�� ï å �9é5Óå]ÑRÓÐ Ú!ÎTÕ$� 8�å]ÑjåTÏoÏlÎtÑRèþØ '

Page 32: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�B� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

FÑRå,�:åeàqÔ ï Ô_å]Õ �ÔUàWüRé:ÎTÑLÎ]ü ï ÓÑnÔUà ï ÔUübåTäDÎ�ÏUÎTÑRí]Ó�Õmç5Ð �¢ÓÑWåTäFà{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ ànç5Ð!Ð'Î ï Ô_å]Õ�ä¥å]ÑRÐ çeÏ���'8�å�ÕQ^:ç5ÓÕ:üLÓ�åTä�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNà�ê9ÔoÏoÏ¡Ô_Õ�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï�Ô_Õ$�eç:üLÓ�Ï_å]ímÎTÑ�Ô ï é5Ð ÔUü�ä.Î]ü ï å]Ñ`à '*,+ �5¼$-]»#¿ . � / 03254 � @ 8 > � 8�� ��� � 8 � B ? �A<)9�� �£�N���.�_�T�R� �.���'��m�Y�o�8�q�o�W�� � � J R NW«%�]�R� �]�«� J � N��P ���Y�m�

� J R N �P21 �+� ����> � S� R � � �

JP;%�8��� S � P � J � N��P � � N!;%�]�j�.���r���]�« ���t�N� ¤ �o�=�e�N�o���� � � JCL N9�� L�P �b�.���.�m�Y� �b�¥«¡�W�q�R�.��n¬]�m�Y�]�.�o�#�[�o�%�q� A#�]�o�.�`�b�U�#� � JCL N%�.���R�.� � �����.�]� �U�]�m�]�Y���R�T�n��e�.�]�o�o�.�q�r�� m<#�N�]�9�m�Y�

� JMLON P � J � NL � � �� � J R N R ���$��S)R � � �� J � J R N � � J � N N R�� �$��S)R U�q�W�.�m�Y�

� JMLON,P � J � NL � � � � � ��* JCL N «%�]�j�.� � � � � P � �� � J R N S)RR � ���� J � J R N � � J � N N S)RR �;%�]�=�n�#�]�.�n��T� � � � ���o���R�Y�r�o�`�b�.�]��� <�$ 4 � ? D:>�� @ 8:>)@ �� � �.�o�m�n� � � G �QP � -)� P�� � � ;%�T�]�`<

� J R N � � J � NT�o�N  F R � -� � J � N � � � � ��o�N  � ����JU�o�N  F R N�� ����> � S �-�� � � R � � U

�U�#������n¬]�]�o�����r�q�o���T�R�.�j�.���o�]�L���e�R�q�r�]�T�_�F�U�]�e�n�.�o�N����J � N �;%�]�o�=��¬��Y���]�o�=�o�o�o�]�.�q�{�Y�.�R�=�o���m��q�.�o�] !�q�]�W N�j�]�R�{�Y�¡�q�`�q�]�]� A#�]�W�P�N�=�T�R�q�R�.���r���r�� [�q�R�.���9��%�.�]��q�R�.�o�R� �n¬]�m�Y�]�.�o�N� �����G �R�o�o�o�þ�q�{�Y�]�¥�U�#�.� �#�]�.�q���t�!��=�o�.� �n�N�T�N�j�. N�j�m�n���.�.�q�o� ¤ �þ�N����]�q�r�� ��.�]��q�`�q�]�]� A#�]�=��3�.� ¤ �.�{�#�n�.�L�!�q�r�� N�]�_��q�o�.�o�R�£���;%���R�N�q�R� � � #

� ��$+/�/��)&� / /�� � � � � $ � & ��" � �!, �)1��9é5ÓÑRÓ�ÔUàWÎ ä¥ÑRçeÔ ï ä¥çeÏDüLå]Õ5Õ5Ó��eÔ�å�Õ �:Ó ï ê9ÓÓÕ ï é5Ó[üjÏUÎ]à�)àqÔUüÎ#Ï £åTÔUàRànå]Õ�ànç5ШÐ'Î ï Ô_å]Õ�ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ�á ÛmÞeß5î�åTÏ '= 5ß � ' 0�mØã

�+����> � � ý�ÖTD5ÿ3ì� Øÿ �+����> � � �ýhÖ �ÿ ì�� �ýhÖ 8¦ì� � �+�� �

ýhÖ��Rì�! � F 4���� " ��8 �Ö{Þ�Þeì

ï é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï9Ó�9]ç:Î ï Ô�å�Õþåtä ï é5Ó �Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ)hÓ ï Ψäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ�ß¡ÎTÕ$��å ï é5ÓÑ�ä¥å]ÑRÐ çeÏ�� åTäDÎTÕ:Î8Ï )è5àqÔUà�ÏoÔ�ë�Ó ï é5Ó�Шå*�eçeÏUÎTÑ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'Î ï Ô�å�Õ�åTä ï é5Ó ï Î�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à�Ö ï éeÔUà�ê=Î]à �:Ñ`à ï å,�:ànÓÑjî]Ó�� �mè�Ô_ÓÐ'ÎtÕ5Õ�Ô�Õ�éeÔUà9å�ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#Ï�Ð!ÓÐ!åTÔ_Ñì%å]Ñ ï é5Ó �:ÎtÑ ï ÔUÎ#Ï3äæÑLÎ]ü ï Ô_å]Õ�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ'åTä ï é5Ó¯üLå ï ÎTÕ5í]ÓÕ ï '�9é:Î ï üLå]Õ5Õ5Ó��eÔ_å]Õ!üÎTÕ �:Ó �:Î]ànÓ���å]Õ ï é5ÓDÒ�ÓLÏoÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä:ê9ÓLÏoÏ ).üRé5åeànÓÕ!é:ÎTÑRШå]ÕeÔUü�ànç5Ð'à 'g¾Ó�å]ÕeÏ_è �5ÑRåTî]Ô �eÓ é5ÓÑRÓ �5ÑnÔ_ÓLä%Ô�Õ$��ÔUüÎ ï Ô�å�Õ:à�ÎTÕ$� ÑRÓLäæÓÑ�ä¥å]Ñ �eÓ ï Î#ÔoÏUà ï å�á�Ú]Ú#ã¡ÎTÕ$��ê9å]Ñjë�à=üjÔ ï Ó��ï é5ÓÑjÓLÔ�Õ '�9é5Ó�émè �:ÓÑ �¢åTÏoÔUü�üLå ï ÎTÕ5í]ÓÕ ï Î,�eÐ Ô ï à ï ê9å�Ó�9�çeÔ_î8Î#Ï_ÓÕ ï Ó��+�5ÑRÓNàRà{Ô�å�Õ:àßeå]Õ5Ó=Î]à%Î�Ö.é:ÎTÑRШå]ÕeÔUü#ìànç5Ð åTä£Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï ÔlÎ8ÏlàYß ï é5Ó�å ï é5ÓÑ=Î]à9ΨÖ.é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð�ì��:ÎTÑ ï ÔUÎ#Ï:ä¥Ñ`Î]ü ï Ô_å]Õ �eÓNüLå]Ð �¢åmàqÔ ï Ô_å]Õ)�

�WüLå ï é3Ö-�hÿ3ì Ø / ! � F � PØ / ! � F � P Ø / �< � � ! � F < � P Øÿ / ��< > � ÿ

ÿ F / Z F �Ö{ÞtÛ5ì

Page 33: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �

�9é5Óbäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:Î#Ï¡Ó�9�ç:Î ï Ô_å]Õ�åtä ï é5ÓMDÔ�ÓÐ�ÎTÕ5Õ1hÓ ï Î[äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ß�eÖ��Tì� � ,� � � �$�màqÔ_Õ � � �£Ö`Ø�@ �Tì���Ö`Ø @ �Tì��Ö{Þ�Úeì

Î��+�¢ÓNÎTÑ`à ï å �:Ó ï é5Ó ,jÔ_Ð'ÎTí�Ó�-!ç5Õ$�eÓÑ ï é5Ó Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä ï é5ÓbÔ �eÓÕ ï Ô ï è �:Ó ï ê9ÓÓÕ ï é5Óï ê9å�äæå]ÑjÐ'à�åTäDÖnÞTÛ5ìRß:ànÓÓ!áâÙ�Þmß � '= TÛ]ã '�9é5Ó��5ÑRåmåtä åtä £åtÔlàjànå]Õ54âà�ànç5Ð!Ð'Î ï Ô�å�Õ�äæå�ÑRÐ çeÏlÎ ï é5ÓÕ ÑRÓNànçeÏ ï àbäæÑjå]Ð ï ÎTë�Ô_Õ5í ï é5Ó�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä��:å ï é¾àqÔ �eÓNà�åTäDÖnÞ]ÞeìDÎTÕ$�­Ô_Õ:ànÓÑ ï Ô_Õ5í ï é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï%Ó�9]ç:Î ï Ô�å�Õ�åTä��eÖ��Tì ' �9éeÔUàÎ��+�5ÑjåmÎ]üjé é:Î]à ï é5Ó�Ð!ÓÑnÔ ï åTä=ÓNà ï Î �eÏrÔUànéeÔ_Õ5í×Î�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï9Ó�9]çeÔ_î8Î8Ï�ÓÕ:üLÓ��¢Ó ï ê9ÓÓÕ×ànç5Ð!Ð'Î ï Ô_å]Õä¥å]ÑRÐ çeÏ�� åTä ï é5Ó £åtÔlàjànå]Õ ï è��¢Ó ÎtÕ$�×ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:Î#Ï�Ó�9�ç:Î ï Ô_å]Õ:à åTä ��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà á��]ß9Û eßÚ]Útã ' �WÎ#î�Ô_ÓNà+4 �:åeå]ë üLå�Õ ï Î8Ô�Õ:à Î���Ô_ÑRÓNü ï ÔoÏoÏ_ç:à ï Ñ`Î ï Ô�å�Õ á_ØNÞ#ã9ê9Ô ï é Î �5ÑRåeåTä�åTä ï é5Ó'Шå*�eçeÏUÎTÑï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'Î ï Ô�å�Õ'åTä ï é5Ó:��Ó��eÓë�Ô_Õ$� ��ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '� -�" " � & � / � " � �), �)1 � üLåTÏoÏ_ÓNü ï Ô_å]Õ åTä'ànç5Ð!Ð'Î ï å]ÑRè ä¥å]ÑRÐ çeÏ��Wß�ç:ànç:Î#ÏoÏ_è ÑRÓLä¥ÓÑRÑRÓ�� ï å Î�à£ÓÑRÑjå]Õ54âà£ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎWÓ��+�5ÑRÓNàRà �:ÎTÑ ï ÔUÎ#Ï�ànç5Ð'à�åTä¡üLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï à�åTä¡Î ��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà9Î]à�üLå]Ð �eÏ_Ó��Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î#ÏUà9åtä ï é5Ó�Ô_Õeî]ÓÑ`ànÓ Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï è��¢Ó�Î��+�eÏoÔ�Ó�� ï å ï é5ÓY��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà9Ô ï à�ÓLÏrä�á Û:ØLã '��.Õ�å�ç5Ñ�¢ÓÑ`à��:ÓNü ï Ô�î�Ó]ß £ÓÑRÑjå]Õ54âàFäæå�ÑRÐ çeÏlÎ�ÑRÓNànçeÏ ï à�ä¥ÑRå]Ð ï ÎTë�Ô_Õ5í ï é5Ó�à ï Ó ��äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ1V Ö{ÿ¦ì%åTäDÖLØNÞeì§Î�àï é5Ó �:Î]ànÓ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ' �9é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä V¾Önÿ3ì��:ÓLÔ_Õ5í1V Ö��tì� Ø,+��]ß5å]Õ5Ó�é:Î]à�ä¥å]ÑRÐ'Î8ÏrÏ_è�ä¥å]ÑÎ ��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ��Ö��Tì� � � � � � �*�� ��

� S P � �� � � � � � � V Ö�� � ÿ3ì� Ø �� �)��� 4 �

� � 4 ���Ö��Tì{ÿ �*� ���� �

£ÓÑRÑjå]Õ54âàFäæå�ÑRÐ çeÏlÎbÔUà�ÓNàRànÓÕ ï ÔUÎ#Ï3Ô�Õ�ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUüWÕeç5Ð �¢ÓÑ ï é5Óå]Ñjè]ßeäæå�Ñ�Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓWÔ_Õ ï é5Ó��5ÑRåeåTäåTä ï é5Ó �5ÑnÔ_Ð!Ó�Õmç5Ð �:ÓÑ ï é5Óå]ÑRÓÐ ' � ï é:Î]à �¢ÓÓÕ'ÑjÓNüLÓÕ ï Ï_è ÓÐ �eÏ_åTè]Ó���ä¥å]Ñ ï é5Ó�ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàFåTä¦üLåmà ïä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à9åTä�, ��Ô_î]Ô �eÓ ).ÎTÕ$� ).üLå]Õ=9�ç5ÓÑ�-�Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð�à '��9é5ÓÑRÓ�Ô ï �:ÓÑjÐ Ô ï à ï å üÎ�� ï ç5ÑRÓ��¢ÓÑnÔ_å*��ÔUü^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_å]Õ:à ï é:Î ï ÎTÑRÓ¨åTä ï ÓÕþåtä�έäæÑLÎ]ü ï Î#Ï%Õ:Î ï ç5ÑRÓ,' %5å]Ñ Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:à ï å�ШÓÑRí]ÓNànå]Ñ ï ÎTÕ$�Ð'Î �mÔ_Ð'Î �:Õ$��Ô_Õ5í�Ô�Õ�üLå�Ð �5ç ï Î ï Ô_å]Õ:Î8Ï�í]Óå]Ð¨Ó ï ÑRè]ßmà�ÓÓ[á� tÛ�ßQ ]ÚTã�atäæå�Ñ ��Ô_íTÔ ï Î#Ï¡ànç5Ð'à ï é:Î ï å�üüLç5ÑÔ_Õ ï é5Ó�ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà9åtähà�Óî]ÓÑ`Î#Ï�Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð'à�Ö{à�å]Ñ ï Ô_Õ5í�Õ5Ó ï ê9å]ÑRë5àßTÑRÓítÔlà ï ÓÑ=Î#ÏoÏ�å5üÎ ï Ô_å]Õ3ìLß5ê9Ó=ÑRÓLä¥ÓÑï å!á 7�#ã ' � ÑRÓLÏUÎ ï Ó��!üjÏUÎ]àRàFåTä��Ô_î]Ô �eÓ ).ÎTÕ$� ).üLå�Õ=9]ç5Ó#Ñ=ÑRÓNüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓNà Ö.ê9Ô ï é Ð'Î �eÔ_Ð ç5Ð�ì�é:Î]à �:ÓÓÕï ÑjÓNÎ ï Ó���î�ÔUÎ �£ÎTç+�¢ÓÑnÔUÎTÕ Ð¨Ó ï é5å*�5à �mè %5ÑRÓ��eÐ'ÎtÕ ÎTÕ$� 2�Õeç ï é2áâÞ]Ú#ã.ß%ÎTÕ$��ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑnÔoÏ_è �mè§Ô �+�¢ÓÕ5í]ÓÑ�á��]Ý#ã '��=å ï Ó ï é:Î ï�ï é5Ó�ç:ànÓ�åTä £ÓÑjÑRå]Õ54âà¯äæå]ÑjÐ[çeÏUέÔlà�åTä ï ÓÕ �eÓLÏoÔUüÎ ï Ó�àqÔ_Õ:üLÓ ï é5Óï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ V�LÖ��Tì �eåmÓNà�Õ5å ï é:Î#î]Ó�í]åeå*� �eÓNüÎNè �5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNà ï åTê ÎtÑ �5à � H& '

�N� 1�" ����� $'& � ����" $ � ,9 �*�* , $+( � � $ � &!/�qÕ ï éeÔUà �:ÎTÑ ï ß�ê9Óþà�ç5ÑRî]Óè×ànå]Ð!Ó�åTä ï é5Ó�Ð'ÎtÍ{å]Ñ�Î��+�eÏoÔlüÎ ï Ô_å]Õ:à�åTä�Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUüà

ï å�üLå�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï��5ÑRå,�eÏ_ÓÐ'à ' d]ç5Ð'àWÑjÓLÏlÎ ï Ó�� ï å#8DÎ ï Î8ÏlÎtÕ�Õeç5Ð �¢ÓÑ`à�ä¥å]ÑRÐ ï é5Ó!ànç+�5ÍnÓNü ï åTäd]ÓNü ï Ô_å]Õ Ú�ÎTÕ$� d]ÓNü ï Ô_å]Õ � �eÓî�ÓLÏ�å �:à ï é5Ó�Ô_Ð �:å�Ñ ï ÎTÕ ï ,+0�ÓÑRÕ5å]çeÏoÏoÔ�à��eÏoÔ ïjï Ô_Õ5í(�5ÑRå5üLÓNàRà.- ï é:Î ïÏ_ÓNÎ,�5à ï å �eèeÎ,��ÔUü�ànç5Ð'à ' � �+��Ô ï Ô�å�Õ:Î#ϯüLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï å]Ñ�ÔlÎ8Ï�Î �+�eÏrÔUüÎ ï Ô�å�Õ:à ä¥å]ÑRÐ ï é5Ó�ànç+�/Í{ÓNü ï åTäd]ÓNü ï Ô_å]Õ ��'

Ú+'����5Å ��� �%à �tÉ �,�8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�ànç5Ð'à é:ÎNî�Ó ï é5Ó�äæå�ÑRÐ ;=< <���> � � � E F<< � �HGE F << G1�Ö{Þ6�eì

Page 34: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�6� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ê=é5ÓÑjÓ ï é5Ó`� � ÎTÑRÓ åTäDÎtÕ ÎtÑnÔ ï é5Ð!Ó ï ÔUüÎ#ÏDüjé:ÎTÑ`Î]ü ï ÓÑ�' d]ç:üRé �eÔ_Õ5å]Ð�ÔlÎ8Ï ànç5Ð'à�å5üüLç5ÑWÔ_Õ Î#î]ÓÑ )ÎTí�Ó�îTÎ#Ï_ç5ÓNà=åTä%üRé:ÎTÑLÎ]ü ï ÓÑnÔUà ï ÔUü �:ÎTÑLÎTÐ!Ó ï ÓÑ`à�åTä%üLå]Ð �eÔ�Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï�å,�5ÍnÓNü ï à�ÓÕeç5Ð!ÓÑ`Î ï Ó�� �eè ï é5Ó8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�Õeç5Ð �¢ÓÑ`àß

� < ØZ / Ø * 7ZZ , �Ö{Þ0�]ì

ÏoÔ_ë]Ó&�eÏUÎTÕ5Ó ï ÑjÓÓNàß �eÔ�Õ:ÎtÑRè ï ÑRÓÓNàß/å]Ñ �:Î#ÏoÏ�å ï ànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓNà�á_Ø]ØTß:Þ]ÙTã '�9é5Ó�éeÔUà ï å]Ñ�Ôlü �:Î �:ÓÑ=åTä��Ó 0�ÑRçeÔ ÍnÕ�ß=2�Õmç ï é�ß:ÎTÕ$� �ÔUüLÓ'á_Ø��#ã �5ÑRåTî�Ô �eÓ�� ï é5Ó �:Ñ`à ï ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàåTä ï éeÔUà ï è��¢Ó,' � ï üLå]Õ:üLÓÑRÕ:à ï é5Ó[Ó��+�:ÓNü ï Ó��¾é5ÓLÔ_í]é ï V < åTä�ÑRåeå ï Ó�� �eÏUÎTÕ5Ó ï ÑRÓÓNà�åtä Z Õ5å*�eÓNàç5Õ$�eÓÑ ï é5Ó�ç5ÕeÔoä¥å]ÑRÐ ��ÔUà ï ÑnÔ �5ç ï Ô_å]Õ ' �9é5Ó[ànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓ � � Ôlà ï é5ÓÕ ï é5Ó ��Ô_î�Ôlà�å]Ñ�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ �/Ö!D¢ì 'g¾Ó��5ÑnÔ_Ó�^:èþÓ��+�eÏUÎ#Ô_Õ é5ÓÑjÓ ï é5Ó!üLå]Õ5Õ5ÓNü ï Ô_å]Õ �:Ó ï ê9ÓÓÕ ï éeÔUà�üLå�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï��5ÑRå,�eÏ_ÓÐ ÎTÕ$��Î8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�ànç5Ð ÏoÔ_ë]Ó¨Ö{Þ7�eì '9Ö.d]ÓÓ�Î8Ïlà�åþáâÚ/Ø8ß � '£ØNÞ]ÚTã/äæå�Ñ �eÓ ï Î#ÔoÏUà 'oì� �eÏUÎTÕ5Ó ï ÑjÓÓ��eÓNüLå]Ð �:åeànÓNà�ÑjÓNüLç5Ñ`àqÔ_î]ÓLÏ_è[Î]àhÎ�Ñjåmå ï Õ5å*�eÓ ï å9ê=éeÔUüRébÔlà£Î ïRï Î]üRé5Ó��WÎ�ànÓ�9]ç5ÓÕ:üLÓ

åTä ï ÑRÓÓNà '�#3Ó ï + < �¢Ó ï é5Ó�Õmç5Ð �:ÓÑ�åTä ï ÑRÓÓNà¨ê9Ô ï é/Z Õ5å+�eÓNà+a ï é5Ó�å�Ñ ��Ô_Õ:ÎTÑRè×í]ÓÕ5ÓÑ`Î ï Ô_Õ5íä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�åtä ï é5Ó�à�Ó�9]ç5ÓÕ:üLÓ�& + < (WÔUà �eÓ��:Õ5Ó�� �mè

+bÖ��eì� ��< > � + < � < ��9é5ÓÕ�ß �mè ï é5Ó¯üjÏUÎ]àRà{ÔlüÎ8Ï�ÏUÎNê�à�åtähüLå�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï¡ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà�Ö{ànÓÓ]ß3ñ 6 � 6 ß3áâÞ]Þeß5Þ]Ùeß �8Ùeß�Ù0�Nã¥ì`ß ï é5Ó�eÓNüLå]Ð��:åmàqÔ ï Ô_å]Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqÏUÎ ï ÓNàhÔ_Õ ï å[ίäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:Î#Ï�Ó�9�ç:Î ï Ô_å]Õ ï é:Î ï Î,�eÐ Ô ï à�ÎtÕ!Ó��*�eÏoÔUüjÔ ï ànåTÏ_ç ï Ô_å]Õ+bÖ��eì� �

Ø�@ +WÖ���ì ÎTÕ$� +bÖ��eì� Ø�@ � Ø�@ Û�� �g¾ÓWé:Î#î]Ó + <� � � < ê Ô ï é � < ï é5Ó 8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�Õmç5Ð �:ÓÑ�åTä9Ö{Þ��]ì '#3Ó ï à{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ�Ï�è�+���Ö��eì �:Ó ï é5Ó í]ÓÕ5ÓÑ`Î ï Ô_Õ5í�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ¾åTä ï ÑRÓÓNà�åTäDé5ÓLÔ_í]é ï Î ï Ð!åmà ï�� ' � à

é5ÓLÔ_í]é ï ÔUà�Ô_Õ5é5ÓÑnÔ ï Ó�� ä¥ÑRå]Ð à�ç+� ï ÑRÓÓNàß5å�Õ5ÓWé:Î]à ï é5ÓÕ ï é5Ó��:Î]àqÔUüWÑjÓNüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓ+��� � Ö��eì�

�Ø�@ +���Ö���ì ê9Ô ï é + � Ö���ì� ��+�

�9éeç:àß ï é5Ó"+���Ö���ì[ÎTÑRÓ�Ñ`Î ï Ô_å]Õ:Î#Ï=ä¥Ñ`Î]ü ï Ô_å]Õ:à ï é:Î ï ÎTÑRÓþÎ8Ïlà�å Î��+�5Ñjå��eÔ_Ð'ÎTÕ ï à ï å ÎTÕ×Ô_Õ �:ÕeÔ ï ÓüLå]Õ ï Ô_Õeç5Ó�� äæÑLÎ]ü ï Ô_å]Õ2ÑRÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï Ô_Õ5í +bÖ��eì�' d]åtÏ�î�Ô_Õ5í ï é5Ó�Ô�Ð��eÏrÔ_Ó�� ÑRÓNüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓ è]Ô_ÓLÏ �5à ï é5ÓüjÏ_åmànÓ��­äæå�ÑRÐ

+���Ö��eì� / � Ö`Ø / � Ø�@�Û�eì � @ Ö`Ø @ � Ø @ Û��eì �Ö`Ø / � Ø�@�Û��eì � � � @ Ö`Ø @ � Ø @ Û��eì � � � ��9é5ÓÑjÓ�ÑRÓNànçeÏ ï à ï é:Î ï=ï é5Ó +��[üÎtÕ �¢Ó Ó��*�5ÑRÓNàjànÓ�� Ô�Õ ï ÓÑjÐ'à9åTä +bÖ��eì=Î#Ï_å]Õ5Ó7a ï é5ÓLÔ_Ñ��¡Î#è�Ï�å�Ñ

Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ ï é5ÓÕ �eÓÑnÔ_î]ÓNà �eè ï é5Ó(#�ÎTí]Ñ`ÎtÕ5í]Ó )�0��ç5ÑRÐ'ÎTÕ5Õ Ô_Õeî]ÓÑ`àqÔ_å]Õ ï é5Óå�ÑRÓÐ ä¥å]Ñ!ÎTÕ:Î#Ï_è ï Ôlüä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à��

+ <� � ) ��@ + < � � ) � ��� �

� � � � � �TÖTZ�ì��Ö{Þ�Ùeì

ê=é5ÓÑjÓ

� $ ÖTZ�ì � F * 7ZZ`@ " , +* 7ZZ / Ø�@0" , @ * 7ZZ @�" , / * 7ZZ @ Ø�@0" , �

Page 35: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H ����9éeç:àß ï é5Ó Õeç5Ð �:ÓÑWåTä ï ÑRÓÓNà�åTäDé5ÓLÔ_í]é ï � � Î �+�:ÓNÎTÑ`àWÎ�àWÎ ,àjÎTÐ �eÏ_Ó���-�ànç5Ð åTä ï é5Ó 7Z ï éÏoÔ_Õ5Ó åTä %Î�àRüÎ#Ï�4âà ï ÑnÔUÎTÕ5íTÏ_Ó¨Ö.ç+�:å]Õ ï ÎTë�Ô_Õ5í'ànÓNüLå]Õ$� å]Ñ �eÓÑ ��Ô �¦ÓÑjÓÕ:üLÓNàLì '0�è!ÎWê9ÓLÏoÏ )¥ëmÕ5åTê=Õ¨äæå�ÑRÐ åTä ï é5Ó�Ó��*�¢ÓNü ï Î ï Ô_å]Õ:à�åTä ��ÔUàRüLÑRÓ ï Ó�Ñ`ÎTÕ$�eå�Ð î8ÎtÑnÔUÎ��eÏ_ÓNàß ï é5Ó=ШÓNÎTÕé5ÓLÔ_í]é ï V <

� � àRÎ ï ÔUà �:ÓNà V <� �

Ø+ <� �

����� � � Ö!Zhì ���ÑRå]ç+�eÔ_Õ5í ï ÓÑRÐ'à£Î]üüLå]Ñ���Ô�Õ5í ï å ï é5Ó9îTÎ#Ï_ç5Ó=åTä�� � ï é5ÓÕ ÑRÓ��eç:üLÓNà ï éeÔUà£Ó��+�5ÑRÓNàRàqÔ_å]Õ ï å¯Î�àqÔ_Ð �eÏ_Ó

ànç5Ð � V <� �

Ø+ <� �

� ���/Ö!D¢ì � � Ö!Zhì �Ö{Þ�Ýeì

g¾Ó�ÎtÑRÓ ï é5ÓÑRÓLä¥å]ÑRÓ�Ï_ÓNÎ,� ï å!üLå]Õ:àqÔ �eÓÑnÔ_Õ5í�ànç5Ð'à9åtäFÎ �:Î ïRï ÓÑRÕ�àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ ï å�Ö{Þ6�eì{ß; & J +< <���> � �/Ö!D¢ì=E F << � � � J GE F << G �

àqÔ_Õ:üLÓØZ / Ø V < � � ; & � +< @ ; & � +< / ; & �$� +< �Ö.ÛQ$eì

ï é5Ó ï ÑRÓNÎ ï Ð!ÓÕ ï åTä ï é5Ó�üLÓÕ ï Ñ`Î#Ï�ànç5Ð �:ÓLÔ_Õ5í ï è��eÔUüÎ#Ï 'Od ï Ô_ÑnÏoÔ_Õ5í=4âà¦äæå]ÑjÐ[çeÏUÎ9è�Ô_ÓLÏ �5à ï é5Ó �¯ÎTç:àjàqÔUÎTÕÎ��+�5Ñjå��eÔ_Ð'Î ï Ô_å]Õ�åtä �eÔ_Õ5å]Ð ÔUÎ#Ï%Õeç5Ð �¢ÓÑ`à��£ä¥å]Ñ_D� � � Z£ß:ÎTÕ$��ê Ô ï é D ���Ö!Z � R � ì`ßeå]Õ5Ó�é:Î]à

* 7ZZ @ D ,* 7ZZ , X ! � � W ! �@ �

� / Þ � F�7Z / Ú � ( / � � ' @�ÛmÚ � � @ �6$Þ7�7$7Z F / � � � # �

�9éeÔUà Ï_ÓNÎ,�5à ï å�Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üjÔ_Õ5í ï é5Ó�üLå]Õ ï Ô_Õmç5å]ç:à�é:ÎTÑRШå]ÕeÔUüWànç5Ð� Önÿ3ì � � �/Ö!D¢ì�! � � W P W �ÎTÕ$��ÎTÕ�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRèþÎtÑRí]ç5Ð!ÓÕ ï Ö��eå]Ð�Ô�Õ:Î ï Ô_å]Õ�åTä ï é5Ó!üLÓÕ ï Ñ`Î#Ï ï ÓÑjÐ'àLì£Í{ç:à ï Ô �:ÓNà ï é5Ó[ç:à�Ó�åTäï é5ÓY�WÎTç:àRàqÔUÎTÕ�Î��+�5ÑRå �eÔ�Ð�Î ï Ô_å]Õ�Ô_Õ:àqÔ �eÓ ; & � +< �; & � +< � Ö Ø� Z ì / ��Ö`ØTì �Ö.Û¢ØTì

�9é5Ó Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà�åTä � Ö{ÿ3ìFäæå]ÑWànÐ'Î8ÏrÏ%ÿ¾ÖqÕ5å8ê�ß:ÿ Z ��� R F ì%ÔUà ï é5ÓÕþà{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ ï å� �/ÎTÐ��eÏ�Ó�Ø]ØWÎ��:åTî]Ó,' %5ÑRå]Ð �& Ö��Tì� Ø �£Ö � ì�� F Ö��Tì��å]Õ5ÓWí�Ó ï à � Ö{ÿ3ì X ØÛ � � ÿ Ö�@� £Ï_å]í/Ö! ]ÿ3ì / Þ 0£ì / ØÛ / � � �Ö.ÛQ eì

Page 36: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

�9é5Ó¨å ï é5ÓÑ�ànç5Ð'à ; & 3 � +< ÎTÑRÓ ï ÑjÓNÎ ï Ó���àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑnÏ_è,' %5ÑRå]Ð ÖqÛ $eì{ßFÖ.Û:ØTìRߣÖ.ÛQ eìWÖ{ÎTÕ$� ï é5ÓLÔ_Ñ[ÎtÕ:Î�)Ï_å]í]ç5ÓNàÄì`ßTÔ ï ÔUà£ä¥å]ç5Õ$� ï é:Î ï õ�(mñWñ�5���ñ��Nõ¥ñ�7 (mñNó�� (mõ%ú�ù�÷ ö{÷�ô 7]ú]û���òo÷]ô¢ñWönúNú]õ¥ñ�7 õ¥ö{ñLñWúnù Z ô¢ú 7]ñYøólø

� �5Z @ Ø / ��Ö`ØTì �%/çeÏrÏ�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü=Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:à�üLå]çeÏ ��Î#ÏUànå �:Ó �eÓ ï ÓÑRÐ Ô_Õ5Ó�� �mè ï éeÔUà ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5Ó,'�9é5Ó �:Î]àqÔUü9Ð!Ó ï é5å+�¨é5ÓÑRÓ�üLå]Õ:àqÔUà ï à£Ô_Õ­Î �+�5ÑRå �mÔ_Ð'Î ï Ô�Õ5íY89Î ï Î#ÏUÎTÕ'à�ç5Ð'à�Ö{Þ7�eì �eè �¯ÎTç:àjàqÔUÎTÕànç5Ð�à9åTä ï é5Ó�äæå�ÑRÐ � Ö{ÿ3ì� ����> � � � ! �

��W P W �ÎTÕ$� ï ÑRÓNÎ ï Ô�Õ5í ï é5ÓbÏlÎ ïRï ÓÑ �mè�Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�à ' 9ÓLÏUÎ ï Ó�� 8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�à�ç5Ð'à�à�ç5Ñnä�Î�üLÓWÔ_Õ ï é5ÓÎTÕ:Î8Ï�è5àqÔUà åTä:09Î ï üjé5ÓÑ�4âà�å+�+� )¥Óî]ÓÕ×Ð!ÓÑRí]Ó�à�å]Ñ ï Ô_Õ5í�Õ5Ó ï êDå�ÑRë á��8Ú#ã=ÎTÕ$� Ô_Õ×ÑRÓíTÔUà ï ÓÑ'Î#ÏoÏ_å�üÎ�)ï Ô_å]Õ áâÞ7$eß:Ú7$tã.ß5ê=é5ÓÑRÓ ï é5Ó�ÎTÑnÔ ï é5Ð¨Ó ï ÔUüWä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ)� � Ô_Õmî]åtÏ�î�Ó���Ô_Õ Ö{Þ7�eì£ÔUà=ÓLÔ ï é5ÓÑ�Î[äæç5Õ:ü ï Ô_å]ÕåTä ï é5Ó ��Ñ`Î#è�üLå+�eÓ=ÑRÓ �5ÑRÓNà�ÓÕ ï Î ï Ô_å]Õ!åTä D å�Ñ ï é5Ó äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ : F Ö!D¢ì�ÑRÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï Ô_Õ5í ï é5ÓDÓ��+�:å�Õ5ÓÕ ïåTä �Ô_Õ ï é5Ó��5ÑnÔ_Ð!Ó�Õeç5Ð �:ÓÑ �eÓNüLå]Ð��:åmàqÔ ï Ô_å]Õ�åTä D '

�+'���� � � �5Æ3Ã�ÇFÉ �5�8Ë �@ �TË_Å3Å�˥à � 5Æ�Ç£Ê ��� � �FÃ�È×È � �%È�ËPÊ)�TÉ ����9é5Ó 0�ÓÑRÕ5å]çeÏoÏoÔbà �eÏrÔ ïRï Ô�Õ5í �5ÑRå5üLÓNàRàbÔUà!Î�í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï=Ð!å+�eÓLÏ=åTä ï é5Ó�Ñ`ÎTÕ$�eå]Ð Î#ÏoÏ_å5üÎ ï Ô_å]Õ×åTä

ÑRÓNà�å]ç5Ñ`üLÓ�ÓLÔ ï é5ÓÑ9Ô_Õ ï é5Ó ï Ô_Ð!Ó��eå]Ð'Î#Ô_Õ�Ö¥ÏoÔ_ë]Ó�à ï Î ï Ô_å]Õ:à9àné:ÎTÑnÔ_Õ5í!Î üLå]Ð!Ð!å]Õ�üLå]Ð!Ð ç5ÕeÔUüÎ ï Ô_å]Õüjé:ÎTÕ5Õ5ÓLÏ¥ì�å]Ñ�Ô_Õ ï é5Ó�à��:Î]üLÓ��eå]Ð'Î#Ô_Õ�Ö¥ÏoÔ�ë�ÓWë]Óè�à9àné:ÎtÑnÔ_Õ5í�à�å]Ð!Ó �5ÑnÔ_Ð'ÎTÑRè!å�Ñ à�ÓNüLå]Õ$�5ÎTÑRè'à ï å]Ñ )ÎTí�ÓTì�ê=é5åmànÓ ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà=ç:ànç:Î8ÏrÏ_è Ï�ÓNÎ �5à ï å'Î îTÎTÑnÔ_Ó ï è�åTä �eèeÎ,��ÔUü[à�ç5Ð'à ' �9é5Ó&�5ÑRå5üLÓNàRà ï ÎTë]ÓNà�ÎànÓ ï � åTä£Ô_Õ$��Ô�î�Ô �eç:Î#ÏUà�ÎTÕ$��à �eÏrÔ ï à ï é5ÓÐ ÑRÓNüLç5Ñ`àqÔ_î]ÓLÏ_è�Î]àDäæåTÏoÏ_åTê�à��� �¥ä�üÎTÑ �¢Ö � ì � Ø ï é5ÓÕ ï é5Ó��5ÑRå�üLÓNàjà�à ï å,�:à=ÎTÕ$��Õ5å'à �eÏrÔ ïRï Ô�Õ5í�å5üüLç5Ñ`à '� f ï é5ÓÑRê9ÔUànÓ�üÎtÑ �¢Ö � ì � 5ß%ÎTÕ$� ÓNÎ�üRé � � � ^5Ô �:à!Î�üLåTÔ_Õ ' #3Ó ï � � ÎTÕ$� � � �:Óï é5Ó ï ê9å'ànç+�:ànÓ ï à åTä � üLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$��Ô�Õ5í ï å ï é5Ó ï é5ÓWí]ÑRå]ç+�:à�åTä£Ô�Õ$��Ô_î�Ô �eç:Î#ÏUà�é:Î#î�Ô_Õ5í^5Ô �+�:Ó�� é5ÓNÎ,�5à�Ö!$eì�ÎTÕ$� ï Î#ÔoÏlà¨Ö`Øtì ' �9é5ÓÕ ï é5Ó �5ÑRå5üLÓNàRàbÔUàWÑRÓNüLç5Ñ`à{Ô�î�ÓLÏ�è×Î��+�eÏoÔ_Ó�� ï åï é5Ó ï ê9å�à�ç+�:ànÓ ï à � � ÎTÕ$� � � '

� ÑRÓNÎ#ÏoÔUàRÎ ï Ô_å]Õ�åtä ï é5Ó��5ÑRå5üLÓNàRà9Ð'Î#è �¢Ó&�eÓNàRüLÑnÔ �:Ó�� �mè�Î ï ÑRÓÓ��¢Ö � ì¡ê=é5åeànÓ�Ô_Õ ï ÓÑjÕ:Î#Ï �eÔ�Õ:ÎtÑRèÕ5å+�eÓNà!üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$� ï å�à��eÏoÔ ïjï Ô_Õ5ímà åTä�Шå]ÑRÓ ï é:ÎtÕ Ø¨ÓLÏ�ÓШÓÕ ï a ï é5Ó�Ó�� ï ÓÑRÕ:Î#Ï=Õ5å*�eÓNà�ÓLÔ ï é5ÓÑüLå]Õ ï Î#Ô_Õ�Î!à{Ô�Õ5ítÏ�Ó�Ô_Õ$��Ô_î]Ô �eç:Î#Ï�å�Ñ ï é5ÓWÓÐ � ï è�ànÓ ï '��ä å�Õ5Ó[î�Ô_Óê�à ï é5Ó!ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï àWåTä � Î]à�é:Î#î�Ô_Õ5í(�5ÑRÓ��eÓ ï ÓÑjÐ Ô_Õ5Ó�� ÎTÕ�Ô_Õ �:ÕeÔ ï Ó�ànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓ!åTä�eÔ ï àß ï é5Ó ï ÑRÓÓ��¢Ö � ìhÔUà9Õ5å ï éeÔ_Õ5í �5ç ï=ï é5Ó 7]ó ��óUõ¥÷�ò�õ¥öLóPñ[Î]àjànå�üjÔUÎ ï Ó�� ï å � î]Ô_Óê9Ó���Î]à9Î ànÓ ï åTä,Lë�Óè�à.-/ß8ànÓÓWáâÞ0�tßTÚ7�eß �7 eß�� �tã ' 9Ó ï ÑnÔ_Óî8Î#Ï:åTä�ÎtÕ�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï � Ô_Õ��¢Ö � ì5ÔUà%Î]üjéeÔ�Óî�Ó��&�eè�ä¥åTÏoÏ�åTê9Ô_Õ5í

ÎTÕ Î]üüLÓNàRà �:Î ï é ��Ôlü ï Î ï Ó����eè � ' � ànÓ�9�ç5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏDÓ��5ÓNüLç ï Ô_å]Õ¾åTä ï é5Ó!à��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5í��5ÑRå5üLÓNàRà�Î8Ïlà�åüLå]Õ:à ï Ô ï ç ï ÓNà�Îbê=ÎNè ï å�ÑjÓí]çeÏUÎ ï Ó�Î]üüLÓNàjà ï å ÎWüLå]Ð!Ð!å]Õ�àné:ÎTÑRÓ��!üjé:ÎTÕ5Õ5ÓLÏ%Ö.í]Ñjå]ç+�:à%üLå]Õ:àqÔUà ï Ô_Õ5íåTä�àqÔ_Õ5íTÏ_Ó=Ô_Õ$��Ô_î�Ô �eç:Î8Ïæà9Ð'Î#è �eÓLÏoÔ_î]ÓÑ ï é5ÓLÔ�Ñ�Ð!ÓNàRàRÎtí]Ó9ê9Ô ï é5å]ç ï Ô_Õ ï ÓÑnä¥ÓÑRÓÕ:üLÓTì � ï éeÔUà£ÔUà ï é5ÓWõ¥önñ`ñ�Lú]û ûY*mô¢óe�L÷]õ¥óPú]ô ��önú]õ¥ú��Lú]òeåTä 8DÎ��:Ó ï ÎTÕ:ÎTë�Ôlà{Ü*�=ànè �:ÎTë]åTî3ßmànÓÓ�á��7$eß=�]Þ#ã '��Ô�î�ÓÕ ï é:Î ï£ï é5Ó9üÎTÑ ��Ô_Õ:Î#ÏoÔ ï è�åTä ï é5Ó�å]ÑnÔ_íTÔ_Õ:Î#Ï:í]ÑRå�ç+� � ÔUàZ£ß ï é5ÓÑRÓ9ÎTÑRÓ ï ê9å �:Î]àqÔUü�Ñ`ÎTÕ$�eå�ÐîTÎTÑnÔUÎ��eÏ_ÓNà�� ï é5ÓWÕmç5Ð �¢ÓÑ�� < åTä¡Õ5å]Õ ï ÑnÔ_î�ÔlÎ8ϧànÓ �:ÎTÑ`Î ï Ô_å]Õ­à ï ÎTí]ÓNà9üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$��Ô_Õ5í ï å ï é5ÓWÕeç5Ð )�¢ÓÑWåTä¡Ô_Õ ï ÓÑRÕ:Î#Ï%Õ5å+�eÓNà�Ô�Õ��¢Ö � ì�a ï é5Ó ï å ï Î8Ï¡Õmç5Ð �¢ÓÑ � < åTäDüLåTÔ_Õ ^5Ô �+�eÔ�Õ5íeà�üLå]ÑRÑjÓNà��:å]Õ$��Ô_Õ5íï å�ÎTÕ Ô�Õ ï ÓÑRÕ:Î8Ï �:Î ï é�Ï_ÓÕ5í ï é�Ô_Õ��¢Ö � ì ' � é5Ó[Ó��+�:ÓNü ï Î ï Ô_å]Õ:à < �&�� < (!ÎTÕ$��� < �& � < (

Page 37: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �

àRÎ ï ÔUàqäæè�ÑRÓNüLç5ÑjÑRÓÕ:üLÓNà ï é:Î ï ÑjÓ�^:ÓNü ï�ï é5Ó�Õ:Î ï ç5ÑRÓ¨åTä ï é5Ó'à��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5í �5ÑRå5üLÓNàRà+ahä¥å]ÑMZ � 5ߣå]Õ5Óé:Î]à

< Ø / <���> � � < ) � Ö- � / < � � ì�� � < /Z / <���> � � < ) � Ö � � / � < � � ì�� � < ) � Ø < * Z D , �Ö.ÛeÞeì

ê9Ô ï é Ô_ÕeÔ ï ÔUÎ#Ï[üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ:à � � � � � � $+' �9é5Ó¾à��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5í �5ÑRå �:Î��eÔoÏrÔ ï Ô_ÓNà)� < ) �ÎTÑjÓ[à��¢ÓNüjÔ ��ü�åTä ï é5ÓM0�ÓÑRÕ5å�çeÏrÏoÔDà��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5í �5ÑRå�üLÓNàjà�ÎTÕ$� ï é5Óè�ÑjÓ �5ÑRÓNànÓÕ ï�ï é5Ó �5ÑRå,�:Î��eÔoÏoÔ ï è�åTäï ç5ÑjÕeÔ�Õ5í D�é5ÓNÎ,�5à�å]ç ï åTä Z¾üLåTÔ_Õ ^5Ô �:à '�9é5Ó �:Î]à{Ôlü ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5Ó ï å�ànåTÏ_î]Ó�Ö.ÛeÞeìDüLå]Õ:àqÔUà ï à9Ô_Õ�Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üjÔ�Õ5í ï é5Ó[Ó��+�:å�Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï�í�ÓÕ5ÓÑ )Î ï Ô�Õ5í�äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à

�¢Ö��eì� ��< > � < �<Z � � �9Ö��eì� ��< > � � < �

<Z � �Ö.Û�Û5ì

ê9Ô ï é�ê=éeÔUüRé Ö.ÛmÞeì ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'à§Ô�Õ ï å

�:Ö �eì� 3 ,! � R F �¢Ö � ì / Ö�! � @×Ø�@ �eì�� �9Ö���ì� / ,! � R F �9Ö � ì / �eÖ�! � @×ØTì �Ö.ÛeÚeì� äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:Î#ϧÓ�9�ç:Î ï Ô_å]Õ�åtä ï é5Ó�ä¥å]ÑRÐ

� Ö���ì� / ,! � R F � Ö � ì / �5Ö���ì��Ö.ÛQ�eìê9Ô ï é��5Ö �eì�Î ëmÕ5åTê=Õ�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ÎTÕ$� � Ö��eì ï é5Ó�ç5Õ5ëmÕ5åTê=Õ�ß�Ôlà�ànåTÏ_î]Ó�� �eè¨Ô ï ÓÑ`Î ï Ô_å]Õ)�

� Ö �eì �/Ö��eì / !�� R F � Ö � ì �/Ö��eì / ! � R F �5Ö � ì / Û ! � � R � �5Ö �Û ì � � � ����> �

� ! � & ��� F (�S + �/Ö � � ì �Ö.Û �]ì

�9éeÔUà �5Ñ�Ô�Õ:üjÔ �eÏ_Ó!Î��+�eÏoÔ_ÓNà ï å �:Ö �eì§ÎTÕ$� �9Ö �eì¡ê9Ô ï é �/Ö��eì� ! � @¾Ø @ �[ÎtÕ$� �5Ö���ì� ��eÖ�! � @ ØTì`ßÑRÓNà �:ÓNü ï Ô_î]ÓLÏ_è,'�� �:å]Õ�Ó��*�:ÎTÕ$��Ô_Õ5í ï é5ÓWÓ��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏUàß3å]Õ5Ó �:Õ$�5à ï é5ÓWÓ��+�eÏrÔUüjÔ ï ä¥å]ÑRÐ'à < ����> �

� ? Ø�@ Ö`Ø�@ Ø � ì < @ Z � Ö`Ø�@ Ø � ì < �$� A � � < /Z ����> � ? Ø�@×Ö`Ø @ Ø � ì < ��� A �Ö.ÛeÙeì

%/ÑRå]Ð ï é5ÓÑjÓ]ß ï é5Ó�Ð!åmà ï ��Ô_ÑRÓNü ï ÑRå]ç ï Ó�Ôlà ï é5ÓWÓ��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ϧΠ�+�5ÑRå �mÔ_Ð'Î ï Ô�å�ÕÖLØ @�5ì < �! � < � � & ��� J + �! � < J � � & < J W + ! � < J �

� ï ÔUàFÏ_ÓíTÔ ï Ô_Ð'Î ï Ó ï å�ç:ànÓ=Ô ï Ô_Õ�ÖqÛmÙeì%Ö{ànÓÓ áâÚ7�eß � '�Ø#Þ5Øãeä¥å]ÑDÎ Í{ç:à ï Ô ��üÎ ï Ô_å]Õ �:Î�ànÓ��!å�Õ­à��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5íï é5Ó�à�ç5Ð�ì 'g Ô ï é

��Ö{ÿ¦ì� ����> � � ? Ø�@ ÖLØ / ÿ � ì�! � P+R F S A � Ö{ÿ3ì� ÿ ����> � N Ø�@ ! �QP R F S�U �

Page 38: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

å]Õ5Ó �:Õ$�5à�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑnÔoÏ_è� < ��Ö!Zhì / 1 Ö � ZhìDÎTÕ$� � < � Ö!Zhì / 1 Ö � Zhì '��9é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à��Ö{ÿ¦ìDÎTÕ$� � Ö{ÿ3ìDÎtÑRÓ&�eèmÎ,��ÔUü�à�ç5Ð'à9åTä§Î ï è �:Ó Î#Ï_ÑRÓNÎ,�eè�üLå]Õ:àqÔ �eÓÑRÓ�� '9Ì=ÓÕ:üLÓ

��Ö{ÿ3ì ÿÏ_å]í� / ÿ���Ö¥Ï_å]í F ÿ¦ì / 1 Ö � ÿ¦ì� Ö{ÿ¦ì ÿ Ï_å]í F ÿ / ! 0

Ï_å]í / Ø # ÿ / ÿ ��Ö¥Ï_å]í F ÿ3ì /21 Ö � ÿ3ì.�ê=é5ÓÑjÓ���Ö 8¦ìDÎTÕ$� � Ö483ì�ÎTÑRÓ�Î��:à�åTÏ_ç ï ÓLÏ_è�üLå]Õmî�ÓÑRí]ÓÕ ï %5å]ç5Ñ�Ô�ÓÑ�ànÓÑnÔ_ÓNà '9Ó ï ç5ÑRÕeÔ_Õ5í ï å ï ÑnÔ_ÓNà'ÎTÕ$� Õ5ÓíTÏ_ÓNü ï Ô_Õ5í ï é5Ó �:ÓÑnÔ_å+��ÔUü#^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_å]Õ:à ï é:Î ï ÎtÑRÓ�åTä[ÎtÐ �eÏoÔ )ï ç$�eÓ�Ï_ÓNàRà ï é:ÎTÕ ØB$ �cb ß3ê9Ó �:Õ$� ï é:Î ï�ï é5Ó Õmç5Ð �¢ÓÑWåTä��eÔ_Õ:ÎTÑRè�Õ5å+�eÓNà�ÔUà�å]Õ�Î#î]ÓÑ`ÎTí]Ó Î��:å�ç ïØ,� Û]Û Z£ß:÷������ 3%÷tøÄõ¥ñ óPô�øõ¥ú]ön÷ �]ñeß5ê=éeÔoÏ_Ó ï é5Ó�Î#î]ÓÑ`ÎTí]Ó��eÓ � ï é � < + Z�åTä�Î Ñ`ÎTÕ$�eå�Ð Ó�� ï ÓÑRÕ:Î8ÏÕ5å+�eÓ!ÔUà Î��¢å]ç ï Ï�å�í F Z ê=éeÔUüRé�ߣÔ_Õ ï é5Ó¨Ô�Õeä¥å]ÑRÐ�Î ï Ô_å]Õ+) ï é5Óå]ÑjÓ ï ÔUü'ànÓÕ:à�Ó]ߧüLå�ÑRÑRÓNà��¢å]Õ$�5à ï å ÷]ô÷Tø+�Tû���õ¥ú]õ¥ó��`÷]òPò��!ú���õ¥óPû ÷]òhøÄñL÷]öT�+( �`útøÄõ�'�9é5Ó�îTÎTÑnÔUÎTÕ:üLÓNà åtä ï é5ÓNà�Ó �:ÎTÑ`ÎTÐ!Ó ï ÓÑ`à�é:ÎNî�Ó �¢ÓÓÕ Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_î]ÓLÏ_è à ï ç$��Ô_Ó�� �eè 2�Ô_Ñ`àRüjé5ÓÕ+)é5åTä¥ÓÑNß FÑRå+��Ô�Õ5í�ÓÑNß=ÎTÕ$� d7h �:ÎTÕ5ë]åTê�à�ë]ÔWáâÚ]Þ5ß%ÚTÛTã ' �9é5ÓNànÓ�Îtç ï é5å]Ñ`à�Õ5å ï Ó ï é:Î ï Ô ï Ôlà�Õ5å ï Îï Ñ�Ô�î�ÔUÎ#Ï��5ÑRå,�eÏ_ÓÐ ï å�å,� ï Î8Ô�Õ ï é5Ó Ó��:Î]ü ï å]Ñ �eÓÑ�åTä ï é5Ó �eå]Ð�Ô�Õ:ÎtÕ ïWï ÓÑjÐ'à�Î�à ï é5ÓÑjÓ�ÎtÑRÓ Õ5å]Õ+)ï Ñ�Ô�î�ÔUÎ#Ï�üÎTÕ:üLÓLÏoÏUÎ ï Ô_å]Õ:àFÓ�9]çeÔ_î8Î8Ï�ÓÕ ï�ï å�Ð!å+�eçeÏUÎTÑ ï è �:ÓFÔ �eÓÕ ï Ô ï Ô_ÓNà ��ÔUàRüLåTî]ÓÑRÓ�� �mè:�ÎTÐ'ÎTÕeçTÍ�ÎtÕ '�]Î�ü+9]ç5Ó ï ÎTÕ$� Óí�ÕeÔ�ÓÑ=á ÛmÚ#ãmé:Î#î]Ó�ÓNà ï Î��eÏoÔUàné5Ó�� ï é:Î ï �:Î ï é�Ï_ÓÕ5í ï é!ÎTÕ$�bÕ5å*�eÓ=àqÔjhÓ�ÎTÑjÓ��:å ï é

Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ_èþÕ5å�ÑRÐ'Î#ÏoÏ_è ��Ôlà ï ÑnÔ �5ç ï Ó�� ' �9é5Ó!ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà�Ô_Õeî]åTÏ_î]ÓNà ï é5Ó�à ï ç$�eè�åTä�Õ5å]ÕeÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑ�eÔ_î8ÎtÑnÔUÎ ï Ó ��Ô ��ÓÑRÓÕ:üLÓ Ó�9�ç:Î ï Ô_å]Õ:à9åTä%ê=éeÔUüjé ï é5Ó�ä¥åTÏoÏ_å8ê Ô�Õ5í¨ÔUà ï è �eÔUüÎ#ÏCWÖ 85� �eì� 8 C F Ö 8 � � ì / Ö`Ø�@ 8¦ìRÖ`Ø / ��ì�! � � ��qÕeäæå]ÑjÐ'Î ï Ô_å]Õ�ä¥å]Ñ�ÏUÎTÑRí�Ó'üLå]Ð �eÏ_Ó�� ��ê9Ô ï é)8 ï Îtë]ÓÕ Î]àWÎ �:ÎTÑ`ÎTÐ!Ó ï ÓÑ�üÎTÕ �:Ó¨ímÎ ï é5ÓÑRÓ�� �mèÎ 9�ç:Î]àqÔ )PÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑnÔjhNÎ ï Ô_å]Õ �5ÑRå5üLÓNàRà �:Î]ànÓ���å�Õ�üLå]Õ:àqÔ �eÓÑnÔ_Õ5í�Ï_å]íOCWÖ 85� �eì%ê=éeÔUüRé�ÔUà�ÎTÐ!ÓÕ:Î��eÏ_Ó ï åÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ ï ÓNüjé5ÕeÔ 9�ç5ÓNà ' f Õ:üLÓ ï éeÔUà£ÔUà �eå]Õ5Ó]ß ï é5Ó=üLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï á � < ã CWÖ 85� �eì�üÎTÕ �:Ó�ÑRÓ )üLåTî]ÓÑRÓ��¨Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ_è]ßmÎtÕ$�!àqÔ_Õ:üLÓ=Ô ï Ôlà ��Ô_ÑRÓNü ï Ï_è!ÑRÓLÏUÎ ï Ó�� ï å�Î�üjé:ÎTÑ`Î]ü ï ÓÑnÔUà ï ÔUü�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ!åTäï é5Ó�Õmç5Ð �:ÓÑ9åTä�Õ5å+�eÓNàß ï é5Ó[�WÎTç:àRàqÔUÎTÕ!ÑjÓNànçeÏ ï ÔUà ï é5ÓÕ!ÓNà ï Î��eÏoÔUàné5Ó�� 'DÒ�ÎTé5Шå]ç$� 4âà��¢åmå�ë­á �7 #ãüLå]Õ ï Î#Ô_Õ:àWÎ �eÓ ï Î8ÔrÏ_Ó�� �eÓNàRüLÑnÔ � ï Ô_å]Õ åTä ï éeÔlà�Ô_Õ ï ÓÑRÓNà ï Ô�Õ5í�Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ åTä Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ'àï å�Õ5å]ÕeÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑ �eÔ_î8ÎTÑnÔUÎ ï Ó �5Ñjå,�eÏ_ÓÐ'à ' � ÑRÓNüLÓÕ ï Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_å]Õ�é:Î]à �:ÓÓÕ¾Ð�Î,�eÓ ï å­à�çQ� � ï ÑjÓÓNàÎTÕ$� ï é5Ó #3ÓÐ �¢ÓLÏ )��5Ô_î �5Î ï ΨüLå]Ð �5ÑRÓNàRà{Ô�å�Õ�àRüRé5ÓШÓ'á Û��ã '

��'� WÅ,� �5Æ Ê3Ç����5˥à �5Å�ÇFÆ:Ë ���9��� ��� �����8�å�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï�ànç5Ð'à¨Ð'Î#è×Õ5ÓNüLÓNàRàqÔ ï Î ï Ó¾Î×üLÓÑ ï Î#Ô_Õ ÎtÐ!å]ç5Õ ï åTä , �5ÑRÓ �5ÑRå5üLÓNàRàqÔ_Õ5í - �:Ó )ä¥å]ÑRÓ �:ÓLÔ_Õ5í�ÑRÓ��eç:üjÔ �eÏ_Ó ï å¨é:ÎTÑRÐ!å]ÕeÔUü�ànç5Ð'àß3Î]à�Î#Ï_ÑRÓNÎ,�eè�Ó��5ÓÐ �eÏoÔ �:Ó�� �eè#8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�à�ç5Ð'à=å�Ñànç5Ð�à�ÑjÓLÏlÎ ï Ó�� ï å ï ÑnÔ_ÓNà ' �9éeÔUàDà�ÓNü ï Ô_å]Õ(�eÓNàRüLÑnÔ �:ÓNàDÔ�Õ$��Ô_ÑRÓNü ï Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:à9åtä ï é5Ó¯Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUüÎTÕ:Î8Ï�è5àqÔUà�åTä§é:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUüWànç5Ð'à ï å ï ê9å[Õ5Óê ï è �:ÓNà�åTä§üLå�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï �5ÑRå �eÏ�ÓÐ�à '� - ��)( � $ � & ����/�����&���� " � �� " � � &!$ ( /�� � /21 #3å]Õ5í�ÓNà ï Ñjç5Õ:àhÔ�Õ Ñ`ÎtÕ$�eå]Ð �eÔ_Õ:ÎTÑjè[à ï Ñ�Ô�Õ5íeàÎTÑjÓ ï ÑRÓNÎ ï Ó�� �eè 2�Õeç ï é�á�Ú��ãeÔ�Õ�Î �:Î��:ÓÑ ï é:Î ï �eÓNÎ#ÏUà%ê Ô ï é ï é5Ó=Ó�9�çeÔ_î8Î#Ï_ÓÕ ï �5Ñjå,�eÏ_ÓÐ åTä�üÎTÑRÑRè�5ÑRå �:ÎTímÎ ï Ô_å]Õ Ô�Õ �:ÎTÑ`Î8ÏrÏ_ÓLÏ �eÔ_Õ:ÎTÑjè Î,�+�eÓÑ`à ' �9é5ÓÑRÓ ï é5Ó �5ÑRå,�eÏ_ÓÐ ÑRÓ�9�çeÔ_ÑRÓNà!ÎTÕ ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà�åTä�eå]Ð�Ô�Õ:ÎtÕ ï �¢åTÏ_ÓNà=åtä§Îbä�ÎTÐ�ÔrÏ_è�åTä£Ñ`Î ï Ô_å]Õ:Î#Ï3ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�Óî]ÓÕ ï ç:Î#ÏoÏ�è�Ï_ÓNÎ,��Ô_Õ5í ï å �eèmÎ,��ÔUüWànç5Ð'à '*,+ �5¼$-]»#¿ . � /�� D >�� 4�� @ �=<)>��$B > � @ � B >�� �AF �£�N���.�_�T�R���q�.�q�r�� N�3��N�R��� ¤ �o�m��q����o�]�m� ¤ �j��� P�� � U -�� �;%�]���]�q� ¤ �o�R���r�9�q�[�j�.�.�o� ��.���.�]�W�n¬]�e�`�n�q�`���o�R�] #�.� � < �Y�§�q�]���o�#�] N�R�q�9�.�]���� - ���o���W�n��m�T�#�

Page 39: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �

�q�.�.�o�] 9�Y���o�R�] #�.���3<L«%�]�R�.�9��o�N�q�]� � < �m�#�.�.� ¤ �o�%�q�.�.�o�] #����.�£�{� �N�R�W�BAN�e��o�o�D�o�(�N�j�r� � ;%�]�%�T�o�.�.�q� ¤ �]�.�o�#�«%��%�q�.�m�T�o�`� ¤ �[1��R�o�o�R��� �,- ���Y�m�����T�]�q��� � � � �;%�]�9�]�q� ¤ � ¤ �o�o�r�¥�W�q�m��%���{�Y�m�T�#� �.�q�.�o�] W����o�R�] #�.� �!�m�Y�%�]�W�.���[�Y� �n�#�]�.�`���]�.�o�N� - �%�o�

� < ) � P -� < � � < � -�� � �-�� � � ��� � � � �J � � N;%�]� �q�R���Y� �q�m�q���.�.�q�o�] N���r���t�R�{�n�q� ¤ �`� ¤ ���.�]�¨�.�R #�]�_��W�n¬]�]�q�R�.�q�r�#� - � � J �,- � � N <£«%�]�R�q�(- � ��T�j�]�N�q�R�D���q� A#�]�R�m�n����3�o�R�.�%�q�m�� - �%��m� J N �T�R�]�#�.�R�9�� ¤ �o�.�{�Y�.�W�q�R�m�j�.�o�.�o�N� �Y�h���m�Y�.�.�j�.� ���.�]� #�R�]�R�n��]�]�q�o�m�n�o�]�o�R�3������N� ¤ �o�m�Y�.�N�q�_��N��e��o�T�.�o�:�e�R�.���o�:�.��«%�.�o�.�%�q�]�£�N�{�t�r�e��.�9 #�R�]�R�n��.�o�] ��U���m�n�.�o�#��Y���.���=�.�R����3�.�.�q�o�] N�%�]�e�T�R�D���N�]�q���t�R�{�Y�.�o�N�!��

-���� �-���� --���� ��� � S��� � U«%�]�_�q� �n�]�q�.���m�R�J � � N �-/�R���

�¤ �%�.�]�%�q�[�Y�r�o�R�q�3�m�#�.�o�.�o�N�£�.�T�#���Y���q�]���T�R���N���o�m�Y�.�#�:���J � � N¦�.�m�Y���o�o�R� ¤ �R�¥«¡�j�R� �F �Y�m� - �4��­�Y�]�]�o�_�R��q�r�#�!��£�.�]�W�]�q�o�m�n�o�]�o���Y�§�q�]�W��. #�]���j�8���.�]�«%���.�m�q�����q�T�N�9�.� �n¬]�o�.�=«%�o�q�'��o�3�N�q�]�R�

�q�8�#�.�%�q�m����Y�.�=�Y�¦�����Y�. #�R�%���]�T�]�o�]� � �h�[�t�N���o�m�Y�T���m�#�o�D��e��o�T�.�o�`<T�q�]� � < ) � �n��.�o���U�� < ) � � �

� JK��� � N � < «%�o�.� �� P -���� ��

�� JK� ��J � - N�� �� N UJ � � N

�U�#�%�_��. #� � ¤ �]�£�]¬]�`� 5�;%�]�W�T�R���N���o�m�Y�.�#�%��¡�q�]�=�P�{�N���.�o�N���o�"J � � N ¤ �R�m�L�#�R�=�]�L���� P - ���b�o� �#����©.�e�R�.�q�]� ¤ ��.�o�#�]ª��Y�- � � �=�q�=�.�e����#�]�%�n¬]�m�L�n�.��� � �.� ¤ �D�Y�]�]�q�L¬t�o� ��.�L� ¤ � �F �Y� � � � 4����R�o�R���R�T�{��q����q N�]���R�T�

�T�j�{��o�o�`���o� � � � �3�.�]�«%�%�q�m��%�o�b�æ�N�n��� P -� E -�� � � � ��� � * J � � F � N G �J �,-ON

49�R�n�N�n�T�o�] N�o� �� P -��+*7J � � � N �

�h�!���L��]�9��%�n�N�T�.�#�]�=�o�T�.�R #�{�Y�.�o�N�:<���T�]�.� ���]�.�q�â�e�R�9�.�]�W�]�q�W��$J �,- N��o�]�q�_�T� J � � N%�P�N�=��«%���t��n��] #�D�Y���N�Y�r���R�%�� �Y�m� �3<T«%�]�_�q�[�q�R�.���r�q���o���q�]���Y�]�]�.�L¬]�o�[�Y�.�£�U�#�.�W�]�_�2�

� < ) � J�-��1� � � �$� N < G � < F ( S)( * �-/�R� �� < ) � �t�R�]�N�q�9�.�]���Y�]�]�q�L¬t�o� ��.�o�#� G � < F (�S)(+* �q� � < ) � � 1��N�o�o�«%�o�]  � � � �.<#�N�]�9�e�m�T�

� < � ����> � � -�� � < ) � � P ����> � � -�� �� < ) � � ��* J -� � NKP ����> � N -�� G � < F ( S)( * U � * J -� � N �;%�]�o�%�o�����¥�8�����j��:�R�Y�.�=�Y�¦�W�T�T�N�T�_�%�q�]� �.�.�e�T�o�`� �.�j�m�`�Y�.�`�t�r� �o�����.�R�T�o�N�]���.�`���.�o�N�]�9��m�

� < P¾�o�#  F � � �

�o�#  � � -� � -�r�#  � �� ������� � � IKJ � � ��o�N 5� N G � F 4 � � � �� W P � * J -� � N �

;%�T�]�L<]�.���=�n¬]�m�L�n�.�`�¨�o�R�] #�.�!�Y���.���=�o�N�] #�R�.�%�q�]� � < �m�m���.�m�Y�.�R�=��q�N�]�e���o�#  F � � � � � ��� ���=«%�o�q������r�T�]�q�D�Y���]�o�o�.�m�t� � #� Õ'ÓÕ ï Ô_ÑRÓLÏ_è'àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ�ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUà �5ÑRåTî�Ô �eÓNà ï é5Ó�Ó��+�:ÓNü ï Ó���àqÔjhÓWåTä ï é5Ó9ÏUÎTÑRí�ÓNà ï ànç5ШÐ'ÎTÕ$��Ô�Õ

Î ÑLÎTÕ$�eå]Ð üLå]Ð��:åmàqÔ ï Ô_å]Õ�åTä�ÎTÕ�Ô_Õ ï Óí�ÓÑ_Z '

Page 40: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

� �)&)/�����&���� " � ��$+" $ ( !,.- � /�-�"%$.-�/�1 � é5Ó�Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð åTä � önú R÷ óPòróløõ¥óe� ��ú6*mô¢õ¥óUô ��Ô_Õ ï Ñjå,)�eç:üLÓ�� Ô_Õ�á� ��ã��¢ÓÑRÐ Ô ï à ï å ÓNà ï Ô_Ð'Î ï Óþê Ô ï éeÔ�Õ Î�ä¥Óê �¢ÓÑ`üLÓÕ ï à ï é5Ó�Õmç5Ð �¢ÓÑ�åTä ��ÔUà ï Ô_Õ:ü ïÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï à�åTäDÎ�ÏUÎTÑRí]Ó �5Ï_Ó�ç:àqÔ_Õ5í�å]ÕeÏ_è�Î î]ÓÑjè�ànÐ'Î#ÏoϧÎTШå]ç5Õ ï åTäFÎtç �mÔoÏoÔUÎTÑRè�ШÓÐ!å]ÑRè�ÎTÕ$�¨ÔUàåTähÔ�Õ ï ÓÑRÓNà ï Ô_Õ ï é5ÓWüLå]Õ ï Ó�� ï åtä 9�ç5ÓÑRè�å,� ï Ô_Ð ÔjhNÎ ï Ô_å]Õ�Ô_Õ(�5Î ï Î��:Î]ànÓNà '��9é5ÓWÎTÕ:Î#Ï_è�à{Ôlà�Î��+�:ÓNÎ#ÏUàï å ï é5ÓWÕ5å]Õ:à ï ÎtÕ$�5ÎTÑ � ��Ô_ÑnÔUüRéeÏ_Ó ï ànÓÑ�Ô�ÓNà

� Ö��tì� ���> � Ö�@WØTì � &

� +� � �

ê=é5ÓÑjÓ �¢Ö �¢ì£ÔUà ï é5Ó[à�ç5Ð åTä ï é5Ó&��Ô_íTÔ ï à9Ô_Õ ï é5Ó��eÔ_Õ:ÎTÑRè�ÑRÓ �5ÑRÓNà�ÓÕ ï Î ï Ô_å]Õ�åTä �'*,+ �5¼$-]»#¿ . � / �� D � 8 � B $ B � @CBE? ? D <)>)@MB >�� F ;%�]���N�R�q���T�R�.�o #����:�q�]�D�Y�o N�N�q�o�.�]� ���� � � �����`�n�R�q�.�o�{�Y�.�R��q�]����e��o�T�.�o�¡�Y�¡���m��n����j�.�R�%�Y��� < «%�]�R�q��� P�� � U -�� � �o�%�q�]�=�.�j����¡�Y�r�5�o�T�e�]�o�.�R�o�W�o�N�]  ¤ �o�m�Y�.��q�.�.�o�] #� � -/�R��� P J�� � U ����� U � < N ¤ ���Y���R�o�R���j�8�9�Y��� < �3�.���W�m��n����j�.�R��� P�� < �r���T�n�m�]�L���.��n� �N���.�]�=�N�Y�o�]� �����.���=�.� A#�]�j�m�n�R�&- U � - U � F - U ����� U � � �$� -=�Y�r�¢�]�R�n�]�9����o�]�o�q���Y�m�q�R N���R�T�.������.�#����Y�¦�q�]�� � � ¤ �����]�� � �.�n��q�.�9«%�o�.�!�q�]�=�m�Y�.�.�j�.� � � - � 4 �]�_����.� ¤ �o�9�.�`�Y�.�N���r�� ��.�� N N�j�.�.�9�q�m����.�]��n¬]�e�`�n�n��.�o�#� � < ���� ��#�R��� < �{� �N�R��«%�o�.�����]���U�N�q� ���L��.���.�W�.���N�]�_� ¤ ���n�o�N�.���.�!�o�#  F �3< ¤ �]��]�o #�]�R�%�N�n�T�R�9��.�T���]�.�#�.�_�£�o�T�U�N�q�[�Y�.�o�N���o�%�.� A#�]�o�.�L� �]�R�q� �1¢�o�.�q�`<m�Y���o�m�n�o�]�q�o�N�T�¥�n¬m�n�o�]�.�o�#�[��q N�]���R�T�¡�Y�!� � � �:�.�]�«%�%�q�m��

� < ) � � *¦� ��� <� ��P F S��> � J�� - N � & � + ! -����� � # < �J ��� N

,¥�£�o�¡�]�q��N�`�b�o� � � � ���q�m��L<T�o�����n�j�8�q�{�Y�5�.�R #�r�#���]�L��£�r�#  F � �#�]�D�j������.�9�.�]���n¬]�m�#�]�R�T�.�_�Y���Y�]�]�.�L¬T��o�[�Y�.�o�N� J�- ���)N < G � < J «%�]�o�o�%�.�o�W�]�o�n��]�R�#�]�.�o�=��¬t�q�R�m�T�o�] ��.�����{�Y�] N�9�Y�:�N��o�]�R���Y� � �.���o�T�m�]�o�¥� �;%�]�o� �n���.�.���m�j�%�.�]���Y�]�]�q�L¬t�o� ��.�o�#�

� < ) � �� < ) � «%�]�j�.� �� < ) � P ���> � J�� - N � & � + G � � < R F S P ��� > � J�-�� G � F�� & < R F S + N �J � � N

C��n�m���=�.�]���U���m�n�.�o�#�� J R NQP �

� � � J�� - N � & � + G � � P P �� � � J�-�� G � P F � N �J ��� N0 A � J ��� NF���`�Y�]�%�.�m�Y���q�]���n�]�W�����Y�.�o�N�=�T�o�q�.�.� ¤ ���.�o�N� � < ) � �r��«¡�j�r���Y�]�]�.�L¬]�o�[�Y�.�`� ¤ � � J�� ��� � N � ,¥��æ�#�n�`<]�Y� �R�o�R���R�T�n��.���Y�. #�]���R�T�£�� � � � ���R�q�{� ¤ �o�r�q�]�R���.�m�Y�

� < � ����> � � < ) � P J�� N ��� J�- N «%���R�.� J R NQP ����> � � J R� � N UJ ��� N�Y�m���.�]�=��q�T���]�q�N�.�_�§�U�N�q� �� J R Nh�P�N�%�_��q N� R �r�%�q� A#�]�o�.�`� �;%�]���U���m�n�.�o�#�]� � J R N��Y�m� J R N��Y�.� ¤ �N�.� �m�Y�.���N�]�_�£�.����� � 1��.�#� J �6� N£��m� J ��� Nj<T�N�]���m�e�T�

� JCL N P���JCL N� IKJMLON U JCL N P � � � JMLON-�� � � P � �-�� � � � JCL N IKJMLON �J � � N,¥� �m�Y�.�.�_�n�����Y�`<]�����N�.�9�T�R�n��o�o�`�W�o�T�N�R�q�.�o 8�Y�.�o�N�������JCL N%�o�£�]�R�`�T�L� �A9�q�N�]���r�� !�.�R�q��� ¤ � � $ �o���.�]� �T�n�m�]�o�q�r�#���Y����JCL N��Y�m���]�q�r�� '�q�]� ¤ �o�]�#���_��¢�.�]�j�N�.�j� JP�.�R�

�Y�r�q��*3�q�N� � � ¤ �R�o�«$Nh�.�]�«%�£�.�m�Y��� JCL N��o�%����j�8�q�o�.�%�P�]�m�n�q�r�#�[�Y�m���o�¡�Y�:���]�T�R�n��.�% #�.�«%�q���o����T��q�r #�T�=�m����_�¥�]�_����N<e�«%�r�� [�q�'�R�Y�m�n�R�o�_��q�r�#�]��� ��#�{�T�`� ¤ ���.�]���.�o N����o�q�R�.�m�Y�.�o�N�����.�N�e�R�q�.�o�R����%�.�]�

Page 41: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H ��-�q� A#�]�R�m�n� J�� -ON � & � + � ;%���r�h�m�R�q���o�.�h�.� �n���.�.���U��J � � N��Y�m���]�R�e�n� ¤ ��� �.�R�q���t�]�D�n�#���]���{��q�o�N���r�h N�o�N�R��q�]����q�T���]�q�N�.�_�h�U�#�.� �Y� J R N �

J R N PP51 �+� �o�N  F R � �

�o�N �� � � � J � N�o�#  � � -� � ��JP�r�#  F R N�� � J�-ON UJ � � N�U�#�%�.�#�����#�{�n�o�o�_��q�r�� 9�U�]�m���.�o�N� ��J���N£�N�m���D���N�q�%�U�#�]�m���.� ¤ ������q�[�Y�r�5����]�o�o�.�m�T� �;%�]�� N�q�N�]�]�o�] ��.�`�q�]�]� A#�]���8�o�R�_�T� ��J � NKP � - JU�]�q�`���o�HJ � � N N��Y�m�W�o���e�R�q���o�.���q����¬t���.�R�q��� � J � N

�Y����!��o�.�j�.�m�Y�.�o�] ��.�]� ��3�r�# 8�Y�.�o�.�]��� � ;%�T�]�L<T�U�q�N� J ��� Nn< J � � Nj<T�N�]�9 N�j�.�� < P �r�#  F J � � N � � JU�o�N  F � N�� � J�-ON U«%�]�j�.�

� P � �$��R F G - ��$ > � ! � � -� # & ��� +������� �P�� � � ����� - �;%�]�j�.���q�R�.���r�q�¯�Y�­�Y�o N�N�q�o�.�]� ¤ �Y�.�`� �N���.�]�W�_�T�L� �.�m�Y� �

��� $

�j�� ¤ ���.���.�]�`���o�T�.�!�Y���]� ¤ �_��.�L��q�{��q�o�.�.�_�R�Y�]�R�q�.�o�[�Y�.�N�¢��m�q�]� 8 # �=BED�� B ��� �T�]�«%���T�]� ¤ �R� �W��:�T�o�.�q�o�m�n� ¤ �o�m��q�9�.�.�q�o�] N�¡���N�]�q���t�R�.�`� �# �9é5Ó�ànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓ� �Ö �¢ì Ö�@WØTì � & � + ÔUà ï é5Ó�üjÏUÎ]àRà{ÔlüÎ8Ï �9émç5Ó ).Ò�å]ÑLànÓ�ànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓ,' ��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ïànÓÑ�Ô�ÓNà�ÑjÓLÏlÎ ï Ó�� ï å�� Ö��Tì9é:Î#î]Ó&�¢ÓÓÓÕ¾üLå]Õ:àqÔ �eÓÑRÓ���Ô_Õ×á� #ã '[dTÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5ÓNàWÎTÑRÓ�ç:ànÓ�� Ô�Õå ï é5ÓÑ&�5ÑRå,�:Î �eÔrÏoÔUà ï ÔUü ÓNà ï Ô_Ð'Î ï Ô_å]Õ Î#Ï_í]å]ÑnÔ ï é5Ð'à¯ÏoÔ�ë�Ó � �7�3ö{ú 58óPû[÷�õ¥ñ ��ú7*eô:õ¥óPô � á� 6 Nã9ÎTÕ$� ï é5ÓüLåTÏoÏoÔUàqÔ_å]Õ¾ÑRÓNà�åTÏ_ç ï Ô_å]Õ�Ð!Ó ï é5å*�5à9åtä áâÞ�ÝNã '

�N�#� 1 � - & -�"� ,D� -�, ,+$'& �/�� � *������ $ (�/�9é5ÓbÏUÎ]à ï ànÓNü ï Ô_å]Õ:à�é:Î#î]Ó[à�é5å8ê�Õ ï é:Î ï Ò�ÓLÏoÏoÔ_Õ Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUüà�ÔUàWÎ��+�eÏoÔUüÎ��eÏ_Ó ï å!é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü

ànç5Ð�à��5Ñjå8î�Ô �eÓ�� ï é5Ó[��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNàFÔUà9åTä�Ð!å+�eÓÑ`Î ï Ó�í]ÑRåTê ï é[ê�éeÔrÏ_Ó ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ�åTä ï é5Ó�:Î]à�Ó!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ Ôlà�åTä9ä.Î]à ï �eÓNüLÑRÓNÎ]ànÓ,'(� é5Ó­Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ:à�ÓÕ:üLå]ç5Õ ï ÓÑRÓ�� à�å�ä.ÎTÑ�é:Î#î]Ó!Ð�Î,�eÓÎTÕ�ÓNàjànÓÕ ï ÔlÎ8Ϧç:à�ÓWåTä �5Ñjå,�:ÓÑ ï Ô�ÓNà�à��:ÓNüjÔ ��ü ï å ï é5Ó[�Ô_ÓÐ'ÎTÕ5Õ1hÓ ï Î�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ�ß ï å ï é5ÓY�¯ÎtÐ!Ð'Îä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ߢå]Ñ ï å ï é5Ó�àqÔ_Õ5Óbäæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '�9éeÔUà �:ÎTÑ ï à�é5å8ê�à ï é:Î ï ß ï é:ÎtÕ5ë�à ï å!í]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï ï é5Óå]ÑRÓÐ'à �5ÑRÓNànÓÕ ï Ó���Ô_Õ d]ÓNü ï Ô_å]ÕþÙ/ß:Ò�ÓLÏrÏoÔ_ÕÎ]à�èmÐ � ï å ï ÔUüà%Ð'Î#è!Î#ÏUànå �:ÓWÎ��+�eÏoÔ_Ó�� ï å ,jÔ_Ð �eÏoÔUüjÔ ï - é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð'àYßmê�é5ÓÑRÓ=Ô ï ÔUà�Õ5å�Ï_å]Õ5í�ÓÑÑRÓ�9�çeÔ_ÑRÓ�� ï å!é:Î#î]Ó�üjÏ_åmànÓ���ä¥å]ÑRÐ�à�äæå�Ñ=ÓLÔ ï é5ÓÑ ï é5Ó:��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà�å]Ñ ï é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ åTä ï é5Ó�:Î]à�Ó�äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '

Ù '�� �5à �5Æ ���­Ê3Ç%ÃhÈ�Ë_Å�ËPÇ%à � �TÇ%Æ��)� �5�TË¥Ã��������>]Å�Ç�Å�ËPÊ ��qÕ ï éeÔUà=ànÓNü ï Ô_å]Õ�ß5ê9Ó��5ÑRåTî�Ô �eÓWí]ÓÕ5ÓÑ`Î#Ï¡üLå]Õ$��Ô ï Ô_å]Õ:à�ç5Õ$�eÓÑ�ê�éeÔlüjé�Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎtÕ:àqäæå�ÑRÐ'à�ÎtÑRÓ

ànÐ�Î#ÏoÏ ï å8ê=ÎTÑ��5à � T& ÎtÕ$� �eÓNàRüLÑ�Ô �¢Ó[Î�í]ÓÕ5ÓÑ`Î8ÏhüjÏUÎ]àjà9åTäI��Ô_ÑnÔUüjéeÏ�Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ï é:Î ï ÎTÑRÓ�åTä¡Ð!å+� )ÓÑ`Î ï Ó�í�ÑRåTê ï é '��9é5ÓNànÓ�ÑRÓNànçeÏ ï à9Ó�� ï ÓÕ$� ï é5ÓWÑLÎTÕ5í]Ó�åTä§Î��+�eÏoÔUüÎ��eÔoÏoÔ ï è�åTä§Ò�ÓLÏoÏoÔ_ÕþÎ]ànèeÐ � ï å ï ÔUüàï å�Î Ð ç:üRé�ÏUÎTÑRí�ÓÑ�üjÏUÎ]àRà9åTä%é:ÎTÑRШå]ÕeÔUü�ànç5Ð'à '� � � , ,'& -�/ / ���� -�,+, $ & � "��&)/� � " � /21 �9é5Ó=ànÐ�Î#ÏoÏ�Õ5ÓNàjà�åtä¦ÎWÒ�ÓLÏoÏrÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ Ôlà ��Ô_ÑRÓNü ï Ï_èÑRÓLÏUÎ ï Ó�� ï å ï é5Ó �eÓí�ÑRÓÓ åTä ,ànÐ!åeå ï é5Õ5ÓNàjà.-�Ö���Ô ��ÓÑRÓÕ ï ÔUÎ��eÔoÏrÔ ï è]ß¡ÎtÕ:Î#Ï_è ï ÔUüjÔ ï è:ì=åtä ï é5Ó�å]Ñ�Ô�ítÔ�Õ:Î8Ïä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ '

Page 42: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

�#" ��* � /�$ � $ �)& $ �� � � ,+,'&�-0/�/ $'& �� - ��&������ - & ��� , /�� " $+*� 1WÖ- �ì ¦ñ#õ=ýhÖ{ÿ3ìjñ�òoú��L÷]òPò\�óPô:õ¥ñ �]ön÷ Yòrñ!3%óPõ�(�ù+*mô 7]÷]û ñNô¢õ¥÷]òhøÄõ¥öLó � � � � �'� 6 # (mñ#ô < *eô:ó ùú]ö`û ò�� 3%óPõ�(�ö{ñYø��5ñ��#õ9õ¥ú �2óUô¾÷�ô=��#òrútøÄñ�7!ø+*%óPô:õ¥ñNö��N÷�ò�ú�ù�Ö � ���%ì <§ú]ô¢ñ (m÷Tø

ý Ö � / ��Rì� ���Ö`ØTì ÷tø�� " �[& �Ö- nì �lù[óPôþ÷27�7]óPõ¥óUú]ô�ý�Önÿ3ìWó_ø únùM�#òr÷tø`ø � � ÷]ô 7�õ�(mñ ù *eô 7]÷�û[ñ#ô:õ¥÷]òhøõ¥ö`ó � únù � � ý3�Lú]ô:õ¥÷�óUô/ø

��� ������<§õ�(eñNôý Ö � / ��Rì� ���Ö�� ��� ��� ì ÷Tø��O" �[& �

� ö{ú#únù 6 Ö.d]ë]Ó ï üjé3ì9Ö- nì�%5Ñjå]Ð ï é5Ó�ä¥å]ÑRÐý Ö � / ��Rì� � �� ýhÖ{ÿ3ì�! �� �P ! 4���� � P �mÿ �

ï é5Ó�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ý YÖ��Tì�ÔUà�ÎTÕ�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î��eÏ_Ó�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ¾é:Î]àné5Ó�� �eèþÎ�üLå]Ð �eÏ_Ó���Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï ÔlÎ8Ï ' 0�èï é5Ó:DÔ�ÓÐ�ÎTÕ5Õ+) #3Ó �:ÓNà�í]ç5Ó!Ï_ÓÐ!Ð�Î�á ÛmÞeß:Ù5ØLã.ߢý Ö��tì ï ÓÕ$�5à ï å $!Î]à � " �[& 'Ö- nì��9é5Ó�ànÓNüLå�Õ$��ä¥å]ÑRÐ ÑRÓNànçeÏ ï à äæÑjå]Ð ï é5ÓWä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ & á � � ýhÖ{ÿ3ì�a �ã Ö�@WØTì � � � ý Ö��Tì '�9é5Ó�Õ5Ó�� ï �5ÑRå �:åmàqÔ ï Ô_å]Õ�àné5åTê�à ï é:Î ï ànÐ'Î#ÏoÏ_Õ5ÓNàRà�Ó�� ï ÓÕ$�5à��:Óè�å]Õ$� ï é5Ó9ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�à ï ÑnÔ �

ä¥å]Ñ�ànШåmå ï é!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�ê9Ô ï éþànШåmå ï é �eÓÑnÔ_îTÎ ï Ô_î]ÓNà '�#" ��* � /�$ � $ �)&� �� � � ,+,'&�-0/�/ ��- ���)&�� ���- %� &�������- &���� , /�� "%$ *� 1> ¦ñ#õmýhÖ{ÿ¦ì jñ9únù �#òr÷tø`ø� � 3%óPõ�(9ù *eô 7�÷]û ñNô:õ¥÷�òeøÄõ¥öLó � ��� ���'� 6�� øLø *eû ñ=õ�(m÷]õ3ýhÖ{ÿ3ì9÷�7]û óPõPø ÷�ô'÷Tø+�Tû���õ¥ú]õ¥ó��Wñ�5.�5÷]ô5øóPú]ô÷Tø�ÿ " $ ��� önñø � 6 ÿ " / &��­únù�õ�(mñ ùÄú]öLû

ýhÖ{ÿ3ì� �&1',)�+ � - � '*)

�ÿ ' Ö¥Ï_å]íDÿ¦ì

�/�1 Ö{ÿ - ìÖ{Ú�Ùeì

3�(mñ#önñ¾õ�(mñ / ø÷]õ¥óløUù+� @ � � / � 0 � önñø � 6 0 � / � @ ��� 6'� ø`ø+*mû ñ�÷]ò�øú õ�(m÷�õ[ñL÷7� (7]ñ#ö`ó �N÷�õ¥ó �#ñ � �� P � ýhÖ{ÿ3ì=ùú]ö � Ø7� ��� ���O��ø÷]õ¥ólø�%9ñø!÷]ô ÷Tø �Tû���õ¥ú]õ¥ó���ñ�5���÷]ô/øÄóPú]ô×ú Yõ¥÷]óUô¢ñ 7 +�õ¥ñ#ö`û!3%óløÄñ 7]ó ��ñNönñ#ô:õ¥óP÷]õ¥óUú�ôþú�ùWÖ{Ú]Ùeì 6 # (mñ#ô�õ�(mñY�`ú]ô¢õ¥óUô *m÷�õ¥óUú]ô�únù�ý Ö��Tì�ø÷]õ¥ó_ø %DñYø

ý Ö � / ��jì� ���Ö�� ��� ��� ì ÷tø � ���6" &Ö{Ú�Ýeì*eô:ó ùÄú�ö`û ò��9ùú]ö � óUô�÷]ô � �NòoúTøñ�7 ø *%óPô:õ¥ñ#ö �#÷]ò�únùWÖ�@!0I� �%ì � önñø � 6 ú�ùWÖ � �B@!0£ì�� 6� ö{ú#únù 6 � ï à�çQ�­üLÓNà ï å�üLå�Õ:àqÔ �eÓÑ[Ó�� ï ÓÕ:àqÔ_å]Õ ï å ï é5Ó Ï_ÓLä ï åTä�ý Ö��tì ' 8�é5åmåmà�Ó'ànå]Ð!Ó��:åmàqÔ ï Ô_î]ÓÕeç5Ð �:ÓÑ�� 0þÎTÕ$� �eÓ��:Õ5Ó

�5Önÿ3ì� �� �&('*)�+ � - � ',)

�ÿ ' Ö¥Ï_å]í9ÿ3ì

� ��Ó��+�3Ö�@=ÿ��ì �

�9é5Óbäæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ � Ö{ÿ¦ì� ýhÖ{ÿ¦ì @�5Önÿ3ìDàRÎ ï ÔUà �:ÓNà ï é5Ó[Î]àRà�ç5Ð � ï Ô_å]Õ:à�åTä FÑRå,�¢åmàqÔ ï Ô_å]ÕþÞ�ÎTÕ$�­Ô ï àï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ

� ÄÖ��TìWÔUà ï émç:à ��Ö�� ��� ��� ìbÔ�Õ Ô ï à�ä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#Ï�à ï ÑnÔ � � @!0� �'� ' �9é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ� Ö��Tì9ÔUà�Ô ï ànÓLÏoä=Ó��+�:å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏoÏ_è ànÐ�Î#ÏoÏ�íTÔ_î]ÓÕ¾í]ÑRåTê ï é(�5ÑRå,�¢ÓÑ ï Ô_ÓNàWåtä ï é5Ó �¯ÎtÐ!Ð'Î�äæç5Õ:ü ï Ô_å]ÕÎTÕ$�¨Ô ï à �eÓÑnÔ_î8Î ï Ô_î]ÓNà ' �9émç:à�ýYÖ��tì� � Ö��Tì / � LÖ��tìDàRÎ ï ÔUà �:ÓNà ï é5Ó�à ï Î ï Ó����:å]ç5Õ$�5à '� Õ:Î#Ï_è ï ÔlüjÔ ï è�ÔUà ï é5Ó!à ï Ñjå]Õ5í]ÓNà ï �¢åmàRàqÔ �eÏ_Ó!ä¥å]ÑRÐ åTä=ànÐ!åeå ï é5Õ5ÓNàRà�ä¥å]Ñ�Ψä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ýhÖ{ÿ3ì�a¢Ô�Õ

ï é:Î ï üÎ]ànÓ ï é5Ó ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ ý Ö��Tì �eÓNüÎ#è5à9Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏoÏ�è Ô_ÕþÎ 9�ç:ÎTÕ ï Ô ��Î��eÏ_Ó[ê=Î#è,'

Page 43: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �%�

�#" ��* � /�$ � $ �)& � �`��� * � & - &�� $ � , / � � , ,'& -�/ / $'& �� - ��&�� , ��� $+( ( � /-�� 1! ¦ñ#õmýhÖ{ÿ¦ì jñ9÷]ô%�÷]ò��Tõ¥ó��[óPô ;�� 3�(mñ#ö{ñ ;�� ólø�õ�(mñ�øñ��#õ¥ú]ö;�� '& � � � �=$ � � � � � / & ÷]ô 7 �RÎTÑjímÖ �eì������ ( 3%óPõ�( $ � � � ���� ø`ø+*eû[ñ õ�(m÷�õ§ýhÖ{ÿ¦ì� 1 Ö{ÿ ��� ì¯÷tø¯ÿ " $�óUô ;�� <D÷]ô 7[ýhÖ{ÿ¦ì� 1 Önÿ ��� ìW÷Tø¯ÿ " & óPô ;�� 6# (eñNô <

ý Ö � / ��Rì� � � ! � � � ��� �*eô:ó ùÄú�ö`û ò��9ùú]ö � óUô�ñ �NñNö�� �#òrútøÄñ�7 ø+* YóUô¢õ¥ñNö��N÷]ò�ú�ùWÖ � � �%ì 6� ö{ú#únù 6 Ö.d]ë]Ó ï üjé3ì �9é5Ó�Ô�Õ ï Óí]ÑLÎ#Ï �eÓ��:ÕeÔ_Õ5í'Ò�ÓLÏoÏoÔ�Õ ï Ñ`ÎTÕ:àqä¥å]ÑRÐ'àhÔUàFÔ_Õ ï éeÔlà9üÎ]à�Ó¯Î��+�eÏoÔ_Ó�� ï å ÎTÕÎTÕ:Î8Ï�è ï ÔUü�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ ':0�è 89ÎTç:üRéeè 4âà ï é5Óå]ÑRÓÐ�ß ï é5ÓbÔ_Õ ï Óí�Ñ`Î ï Ô_å]Õ¾üLå]Õ ï å]ç5Ñ�Ð'Î#è �:Ó ï ÎTë]ÓÕþÎ�àï é5ÓWé:Î8Ïrä )PÏoÔ_Õ5Ó!åTä�àqÏ_å,�:Ó����

ý Ö��tì� ��� � �� ýhÖ��jì���� �$�*��� ��9é5Ó üRé:ÎtÕ5í]ÓWåTä%î8ÎTÑnÔUÎ��eÏ_Ó��� �+! 4 � ítÔ�î�ÓNà

ý Ö��Tì� ! 4 � � �(�� ýhÖ �+! 4 � ì��*� �$��� ���9é5Ó�ÑRÓNànçeÏ ï ä¥åTÏoÏ_å8ê�à=Î]à ï é5Ó�Ô_Õ ï Óí]Ñ`Î8ϧüLå]Õeî]ÓÑRí]ÓNà 'd]Ð'Î8ÏrÏ_Õ5ÓNàRà¨Ó�� ï ÓÕ$�5à�å]ç ï àqÔ �eÓ�åTä ï é5Ó�äæç5Õ$�5ÎTШÓÕ ï Î8Ï à ï Ñ�Ô � �eè ÎTÕ×ÎTÑRí�ç5Ð!ÓÕ ï àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ ï åï é:Î ï åTä FÑRå,� '5Û'ÎtÕ$� �:Î]ànÓ���å�Õ�ànç+� ï Ñ`Î]ü ï Ô�Õ5í�ànçeÔ ï Î��eÏ_Ó[üLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï Ô_å]Õ:à�åTä%Ó��*�¢å]Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#ÏUà '*,+ �5¼$-]»#¿�. � / � �=<)9 � B @ 2 8 > B 9 #%$ BE? B @ @�� 8 >!� ; D��=9�F ;%�]�=�m�Y�.���N�]�_�£�.���

� J R NKP ��< > � S J � N� ���N�.� � R U«%�o�.� S J � N£�.��� �t�r�T�o�.�#�§�t�]�m�n�q�r�#�:<]�N�t���o�.���q�]�9�.�n��]���U�N�q� � F JCL N � JMLON£«%�]�j�.� � JMLON£�o�£�.�]�9�.�n��]����U�#�.� �� � J R N P Jæ�n�#�.� R N ����R F � ;%�]�¨�U�]�m�n�q�o�N� � JMLON��o���]�#���q�r���]�o���n¬]�]�.�j�.�.� ¤ �o���o�¾�.�R�q���W�Y��q�{��e�]��n���U�]�m���.�o�N�]� JU�o���o��©.�o���]�o�_�n�o�.���Tª��T�n�m���`�'�Y���q�]�=�.�n��]���U�N�q���� � J R N N � +%�«£�R�N�j�`<e�.�]� �U�]�T��]�Y���R�T�n����n�N�q�.�R�q�m�#�m�T�R�e�n� �]�.��T�_�T�R�=�o�q� ���N�����r�j�.���.�o�] N�����Y���n¬]�m�Y�]�.�o�#��JU�.�j��0¢¬m������r� � N�«%�]�o�o�*3�q�N�e�N�q�r�q�o�N�]� �=��m� ���q�]�«��q�m�� � JMLON3�o�3����æ��q�¦�t�`�n�.�L��.���o�¯�Y�8�9�q�r #�T���e����_�¥�]�_��]� � ;%�T�]�L<8G �j�r�o�o��Y�m��o�T�.�o����]���r�o�R�£��m���q�]�D�Y�.�T���]�q�N�q�������Y� � J R N��� R�� �9� ¤ �n��o�]�¢�U�q�N�2�.�]�%�q�o�] N�]�_�Y���n¬]�m����.�o�N�]��Y� � JMLON%�Y�m� � F JCL N � 7����D #�R�.���

� J R N �P51 � � � J�-ON �o�N  RR � J � N � J�- N��1� � � J�- NR � -� ��* J R . N U�U�#�¡��T� � � � ;%���R�.� � J�-ONQP ( �� � J R N S)R ��m� J � N � J�- N:�o�¡�Y��©{03���r�j�¡�n�N���.�{�Y�T�.ª=�Y� � J R N3«%�]�_�q��o�%�n¬]�]�q�R�.�q� ¤ �r������� �o�T�.�R #�{�Y�:����T�o�{���]�.�q�`� �o�!0¢¬m������r� - � � #

*,+ �5¼$-]»#¿ . � / � $ 8 @E@MBE? 4 �=<)9�F ;%�]�� N�8�Y�:�]�j�.���r�%�q�[�T�o�n�n�]�.�=�n�j�.�{�Y�o�"J �Ä���T�o���R�]�.�o�#�m�� N9©q���Y�.�q������q�]���qª��Y���.���9�U�N�q�

�J R NKP ��$> � ��< > � � J J F �+� F N R F N �J � � N

Page 44: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

J¥HT�R�D�Y�o�.� � - � ���U�N���q�R�_��q�`���T�j�N�R�o�N�����R�T�.� � N=HT�m�q���9�q�]�2�[�L� ¤ ���.�R«%�q�o�.�.�j�[�� � �� ��� J N � J R F N U«%�]�j�.�

�J N:�o�¢�.�]�£�T�]� ¤ �j�:��e�.�R�]�q�R�.�j�8�n��q�r�#�]�£�� ��3���q�]�×��5�¥«£��� A#�m�Y�.�R� � ;%�]�%�n�N�q�.�R�q�m�#�m�T�o�] 

C��o�.�_�q�]�o�R�£�.�R�q�r�j� � �r�%�q�]�R��5JMLON,P ����> � � J N � P �

$ ) < � � -J F �+� F N � U

�Y�m���R�N�R�q�T�.�]�o�] W�q�R�.�q���N� �o�.� ¤ �R�m�L�T�o�N������ � � � �Y�m���o�.�%�.�e�`�n�_�Y�:�N��o�]�j� �-/�R� J R N P � �$ > � G � $ W P W � ;%�]��G �R�o�o�r���.�n��]���U�N�q� �� F J R N£�o�

� J F J R N U LONKP �5JCL N� -� I J L� N �4����Y�o�.�`�#�T�[�T�o�n�n�]�.�q�`�!G �j�r�o�o�[�Y�m��o�T�.�o�£�� J R N£�T�r�j���t�¡�o�.���Y�.�T�����.�N�q�_�%�n¬]�m�Y�]�.�o�N� �]�L�� R P ���

J R N P � �� R � -� ��� J R NJ �,-ON�q�]�%�.�R� ��o�m�T�j�:�.�j�.� � J R N ¤ �R�o�] ��n¬]�e�N�]�j�8�q�_��o�o�D�q�[�Y�r� JU�q�]�o�¦�Y�o�.�R�q�m��q�r�#�R�o�9�.�R�q�]�o�.�3�U�q�N� *¢�N�o�q�.�N� ��U�#�.�W�]�_� N � ;%�T�]�L< F J R N%�N�t���o�.�¡�Y� �n¬]�]�o�����r�%�q�]�.�j�n�æ�q�R�.� �Y�.�T�����.�N�q�_�%�n¬]�m�Y�]�.�o�N�¢<

F J R N P �� R � � �� R � -� ��� F J R N U«%�o�.�!�Y 8��o� � F J R N£�n¬]�e�N�]�j�8�q�_��o�o�W�.�[�Y�o� ��£�#�]�.� A#�]�j�8�q�o�8< � JCL N=�o�����R�q�N���#�.�]����� �r���q�]��«%���N�o�W�� � «%�o�.���e�N�o�R�W���LHP � U -��N���r����e��q�r�� N�]�_��£�n¬]�m�Y�]�.�o�N�

�5JMLON � ��TJCL � � N � -L � - � ? -

�,LA� > � � � ��� � > � F � � ��� � > � � � � � �

,¥�¾�N���T�o�.�o�N�:<%*3�q�N�e�N�q�r�q�o�N���9A#�m��T�.���m�j�W�.�]�! #�.�«%�q�¾��9�.�]�!�q�{�Y�]�¥�U�#�.� �Y� F J R Nb�o�þ�q�]� �U�#�.�G � & � R � ��� + � ��� � ;%�T�]�`< �5JMLON �r���o�.�.�j�â�£��¡ #�.�«%�.��������N�q�$G � � � � �U�#�D��T��� � �W�o�!��T���m�]�o�.���.�q�.�o�!�Y��q�]���n�#���]�o�n¬W�]�_��]�;%�]�o� �T�]�«%�o�`�T #���e�R�.���o�.�%�.�W��e��o�T�.�9�_��.�q�_�n�9�.�]���¡�Y���.���9�U�N�q� J � � N � 1]�#�¡�o�]�q�{��e�n�N<

�,J���N P �$ ) < � � -

J F � � F �� F N ��n��.�o���m�R� � J���NQP� � ' �J�- ����Nh�]�.��T�_�T�`���N���D�n� �#�R� � J R N,P J�-�� R N � �8� 7��]�9�m�Y�%�o��� � U � �

� JCL N P ��.�o� � LJML � - N JCL � � N� �

;%�]�j�.�=�q�R�.�]�o�q�D��!�Y�.�T���]�q�N�q���h�P�N�.� �� �J R Nh�.�m�Y�%�r�e�T�m�n�R�9�����N�.�q�R�.�e�N�e�T�o�] ��R�q�.�o�[�Y�.�9����,J���N �� J���N � ���� � � � �- ��� b � � � �� � ' U

�q�]�=�R�q�.�N�9�q�R�.� ¤ �R�o�] ���¬t�e�N���R�T�.�_��o�o���q�[��o�e�.�o�m�n� �5JMLON��N�Y�]�o�.�]�R�9��%�q�]���j�N�R�!���R 8�Y�.�o�N�=�o�T�.�j N�R�q� �;%�]�9���R�.�]�]���n�o�`��q�r���n¬]�.�R�e�T���q�W�]�o N�]�R���t�r���R�]�q�r�#�m��e�.����� � #

� ,¥���#�{�T�R�%�q�¯�Y�o�r�« �U�N�£�n¬]�.�j�]�.�o�N���%�.���]�o N�]�R�%�T�o���j�]�.�o�N�����N�£�]�o N�]�j�%�m�«£�R�.�L<T«¡�9�T���]�N�£�[� �N��]�q�=�]�R�q�=��3�.�e�`�n�_��¢�]�.�#�m�j�.�.�o�R�9�Y� �5JMLON � HT�j� � � �T<��£� � ,¥> �5�U�#���=�T�o�T�����N�R���N�]�T�%����q�]�R�.����.�e�`�n�q� �

Page 45: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �����" ��� �� �����$+" $ ( ),.- � /-0" $.-0/21_��Ô_ÑnÔUüjéeÏ�Ó ï à�ÓÑnÔ_ÓNà9ê=é5åmànÓ�üLå�Ð �:å]Õ5ÓÕ ï à � � ��� � Î,�eÐ Ô ï �eÓ )àRüLÓÕ$��Ô_Õ5í Î�ànèmÐ�� ï å ï ÔUü¨Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ:àWÔ_Õ �¢å8ê9ÓÑ`àbåTä D é:Î#î]Ó ï é5Ó �5ÑRå,�¢ÓÑ ï è¾åTä �:ÓLÔ_Õ5í¾Ð!ÓÑjå,)Ð!å�Ñ �5éeÔUüÎ#ÏoÏ�è�üLå]Õ ï Ô_Õmç:Î��eÏ_Ó�ê9Ô ï é�ê9ÓLÏoÏ�Ô_Õ$��Ô_î]Ô �eç:Î ï Ó�� �:åTÏ_ÓNà '�#" ��* � /�$ � $ �)&�� ��� "��� �� � /�*�-0(2$ � ,=��$ " $+( ), - ��/�-�"%$.-�/�� 1> �ñNõQ� � ÷]ô 7 � � ÷�7]û óPõ3÷Tø �Tû����õ¥ú]õ¥ó��!ñ65.��÷�ô5øóUú]ô/ø�óPô�7�ñø+�`ñ#ô 7]óPô � ��ú 3%ñ#öRø�únù[D¾÷Tø_D " & �

� � X ���> � � �D ��� � � � X D � *3Ø / ��

�> � � �D ��� , �

# (eñNô õ�(eñ WóPö`ó��+(mòoñ#õWøñNöLóUñYø�� � � � � �*�� �`÷]ô Rñ �`ú�ô:õ¥óPô=*eñ 7¾õ¥ú ÷ û[ñ#önú]û ú]öK� (móe��ù *eô=�#õ¥óUú]ô��Ö��tì óPô�õ�(eñ�3�(mú]òoñ únùWõ�(mñ:�Lú]û���òoñ�5���òo÷]ô:ñ 6 # (mñ%ù+*mô �Nõ¥óPú]ô4��Ö��tì=ó_øWúnùWû[ú�7]ñNön÷]õ¥ñ'��ö{ú�3%õ�('óUô÷]ô �!öLó � (mõO(m÷]ò ù ��òo÷]ô:ñ únù�õ�(eñ �`ú�û��3òrñ65 ��òo÷]ô:ñ 6� ö{ú#únù 6 Ö.d]ë]Ó ï üjé3ì �9é5Ó��:ÎTÑ ï ÔlüLçeÏUÎTÑ�üÎ�ànÓ � � � � � íTÔ_î]ÓNà ï é5Ó�ÓNàRànÓÕ ï ÔUÎ#Ï�Ô �eÓNÎ+' �9é5Ó�eÔ_Õ5å]Ð ÔUÎ#Ï ï é5Óå]ÑjÓÐ è]Ô_ÓLÏ �5à� <� �< ØZ � � ? � � / � �Z / � � � A ( Ø�@ �Ø�� ! � �Z / � � � # / �tÖ�� / ØTì � ! � �Z / � � � # F / � � � )

� �Z � � / ��� ���Ö��TìZ � � �� �

Ö!�6 eì

ä¥å]Ñ�Î�ä.ÎTÐ ÔoÏ_è!åTä�¢åTÏ_èmÕ5å�Ð ÔUÎ#ÏUà � � '0�è[à�ç5Ð!Ð'Î ï Ô_å]Õ�ß�å]Õ5Ó �:Õ$�5à ï é:Î ï ��Ö��Tì�é:Î�àß#Ô_Õ­ÎTÕeè��:ÕeÔ ï Óà ï ÑnÔ ��ß ï é5Ó�àRÎTШÓ�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï Ô_ÓNàWÎ]à=Î �:ÎtÑ ï ÔUÎ#ϧànç5Ð åTä

�eÖ�� �Tì / ��� � �

�Ö��Tì �eÖ�� � / D¢ì �

Ö�� éeÔlà¯ÔUà�ÓNÎ]àqÔoÏ_è'Ínç:à ï Ô �:Ó�� ÑnÔ_í]å]ÑRå�ç:àqÏ_è(�eè ï ÓÑRÐ�Ô�Õ:Î ï Ô_Õ5í�ä¥å]ÑRÐ'à�åTä ï é5Ó �eÔ_Õ5å]Ð�ÔlÎ8Ï ï é5Óå]ÑjÓÐ('oì� ÏUànå:ß ��Ö��tì=ÔUà�åTä=Ð!å*�eÓÑLÎ ï Ó�í]ÑRåTê ï é¾àqÔ_Õ:üLÓ�ÓNÎ]üjé üLå�Ð �:å]Õ5ÓÕ ï hÓ ï Î�ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ àné:ÎtÑRÓNà ï éeÔUàüjé:ÎTÑ`Î]ü ï ÓÑnÔUà ï ÔUü�'�qÕ ï é5ÓWí]ÓÕ5ÓÑLÎ#ϧüÎ]ànÓ]ß/å]Õ5Ó �:Õ$�5à�à{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ�Ï�è Ö.ê9Ô ï é�Î!à{ÏrÔ_í]é ï Î��5ç:à�Ó�åTä%Õ5å ï Î ï Ô�å�Õ:àLì

��Ö��tì�#��eÖ�� � / � � ì / �' ��� � ' Ö��tì��eÖ�� � / /eì��Ö!��Þeì

ê=é5ÓÑjÓ /WÑ`ÎtÕ5í]ÓNà%åTî]ÓÑ ï é5ÓWànÓ ï åTä¡Î#ÏoÏ:ÏoÔ_Õ5ÓNÎTÑ�üLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï Ô_å]Õ:à�åTä ï é5Ó�äæå]ÑjÐ � ��& / � � */ � � � /

� ��'%/å]Ñ�Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß/äæÑRå�Ð ï é5ÓWÓ��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ

ØÛ < * 7ZZ , Ø� �5Z ? Ø�@ Ø

Ù7Z / ØØ� ]Ù7Z F / 1 Ö ØZ � ì A �

å]Õ5Ó �:Õ$�5à �eè­ànç5ШÐ'Î ï Ô_å]Õ ï é:Î ï��Ö��Tì � ��< > � ØÛ < * 7ZZ , ØZ � Ø� � ? �eÖ�� / Ø ì @ ØÙ �eÖ�� / Þ ì / Ø

Ø� �Ù ��Ö�� / Ú ì / ��Ö��Tì A �Ö!�tÛ5ì

Page 46: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

ê=é5ÓÑjÓ ��Ö��tìFüLå�Õmî]ÓÑjí]ÓNà�Ô_Õ ï é5Ó�àjÎTÐ!ÓWé:Î#Ïoä��eÏUÎTÕ5Ó[Î�à �eÖ�� /��F ìLßmÕ:ÎtÐ!ÓLÏ_è�Ô�Õ � @ bF � / &)� '�qÕ Î�àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ�î]ÓLÔ_Õ�ߣÔoä ��Ö 83ì�Ôlà¨Î(�¢åTÏ_èmÕ5å�Ð ÔUÎ#Ï ï é:Î ï �eåmÓNà�Õ5å ï îTÎTÕeÔUàné Î ï ï é5Ó �:åmàqÔ ï Ô_î]ÓÔ_Õ ï Óí]ÓÑ`àߢÎTÕ$� ��Ö 83ìFÔlà�ÎTÕ�ÎTÑ �eÔ ï Ñ`ÎTÑRè �:åTÏ_èeÕ5å]Ð ÔUÎ#Ï.ß ï é5ÓÕ

��Ö��Tì� ��< > � ��Ö!ZhìÖ � Ö!ZhìRì �

é:Î]à �¢åTÏ_ÓNà=å]ÕeÏ_è�Î ï Î ��ÔlàjüLÑRÓ ï Ó�ànÓ ï åTä¡ÑLÎ ï Ô_å]Õ:Î#Ï�Õeç5Ð �¢ÓÑ`à ï é:Î ï ÔUà �:å�ç5Õ$�eÓ���ä¥ÑRå]Ð ï é5Ó�ÑnÔ_í]é ï '� Ð �eÏoÔ ï ç$�eÓNà�Ô_Õmî�åTÏ_î]Ô_Õ5í ï é5Ó�é:ÎTÑRШå]ÕeÔUü�Õmç5Ð �:ÓÑLà V < Ø / �F / � � � / �< üÎTÕ �:Ó ï ÑRÓNÎ ï Ó��Ô_Õ ï éeÔlà�ê=Î#è �mè�üLå]Õ:àqÔ �eÓÑnÔ_Õ5í �V < �V < @�Ï_å]í Z '�%/ÑRå]ÐV < Ï�å�í Z / 0 / Ø Z @ Ø

Ø� OZ F / ØØ� 7$OZ � /�1 Ö!Z�� 'Yì��

å]Õ5Ó&�eÓ��eç:üLÓNà��Ö��Tì � � �< > � � $<�� # ��lÖ��Tì / 0 �eÖ��Tì / Ø ��Ö�� / ØTì5@ Ø

Ø� �eÖ�� / eì / ØØ� 7$ �eÖ�� / Û5ì Ö�� � � @=Ú�� &)�Rì

# ? @ ØÖ��_@×Øtì F / 0��@ Ø A � > � / Ø ,� @ Ø

Ø� eÖ�� / ØTì / ØØ� 6$eÖ�� / Þ�ì �

%/å]Ñ3Ô_Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß���Ö��Tì:é:Î�à�Î�à{Ô�Ð��eÏ�Ó �¢åTÏ_ÓDê Ô ï é�ÑRÓNàqÔ �eç5ÓWØ,+mØB 7$=Î ï � @=Þ+'%Ò�å]ÑRÓ£Ô_Õeä¥å]ÑRÐ'Î ï Ô_å]Õå]Õ ï éeÔlà ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�Ð'Î#è �¢ÓWä¥å]ç5Õ$��Ô_Õ áâÚ#ã '*,+ �5¼$-]»#¿ � / � �=<)9 � B @ 2 �=B >�D 9�BE8�$K8 9 #%$ B @C< � 4 �=F ;%�]���U���m�n�.�o�#�

� J R N P ! -� # --�� R � ! - ��! � # --��1� R � ! - �! ��! � � # --�� � R � � � �m�Y�%�.�]�9�q�{����¥�U�#�.� �$JMLON � �3�.�o� � L�«%�]�R�.� �$JMLON P � �< > � � � < E F << G � �*� � ;%�]�9�q�r�� N�]�_��q�o�.�o�R�£�� � JCL N�Y�.�9 N�o�N�j� ¤ ��0 A � J ���)NR<T�]�j�m�n�

� J R N PP51 � � � R � � J � N�� -� � � R �+*7J R N U«%�]�j�.� � J � N£�r�%� ¤ �{�Y�o�]�`� ¤ ���.�]�=��e��o�T�.�_���n�#�T�.�o�T�m��q�r�#���q�`�q�]�]� A#�]�=���*3�.�#�m�#�.�o�.�o�#� �2�

�$J � NKP ��< > � ? -� < ! � �� # � -� � �A � -� � �5J

-� N �4 �U���r�:�Y�.�T�����.�N�q�_�£�n¬]�m��]�q�o�N� �o���e�«¡�R�q���Y� R � R F �R�Y� ¤ ���T�j�.�R�q���o�]�`���o���q�]�o�%«§�L� � #

*,+ �5¼$-]»#¿�.�/��5@CB � $ B > �� �K;OD�� 9�<�$ 8,; D��9 D � B 4 �H6$8 9�9 8�;=<)>�?A@CBED:>��=F �£�#�]�.�_�T�R�%�q�]�9�]�.� ¤ �o�R� �Y��R�N�Y�o�m��q�r�� ¯�Y�.�T���]�q�N�q���j��o�o���� R�� � �

��J R NQP ��< > � ! -�� R�3J � � - N # �

7��]� �R�q�.�o�[�Y�.�R�=�o�]�q�.�`�#���q�]� �m��q���N�������.��� � J R N�P �o�N  ��J R N9�.�e����r�W� �m�Y�.���N�]�_���.�]� «%�o�q��q�{����¥�U�#�.� �N��o�_���r��� � - U � �F � �

� JMLONQP � J��$L N� � �L5�q�o� � L� «%�]�R�q� � JCL N P ��< > � -

J � F ��� N � �

Page 47: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �

1��.�#� *3�q�N�e�N�.�o�q�r�#� ��< � JCL N3�m��£���q�o�] N�]�_�Y����¬t�e��]�q�r�#���o�m�t�m�n�`� ¤ ���.�]�%�n¬]�m�Y�]�.�o�#���Y��J�- � � �$� N �*� �7��]�=�e��

� JCL N P � J � LON � L - � J � L�� -ON���� JCL N«%�]�j�.��� JCL N����N�T�N�R�q N�R���o� �#� � J � L � � N£�o� � JCL N�� � �F �;%�]��G��R�o�r�o���.�n��]���U�N�q� � JMLON9�q�T�]���e������.�o���]�o���e�N�o�����L�P � �F ��m�����.�q�o�]�o�W�m�#�r���Y� � �;%�]�o�%�]�q��T���t�R�W©{HT�q�o�.�o�o�] � �3�U�#�.�W�]�_�Yª��P�N� ��J R N �

��J R N��P21 � G � � P � R«%�]�j�.�!©nHT�.�o�.�o�o�]  �£�n�N�]�q�{�Y�8�qª � �r�%���R�.� � P - � � �,¥���.�]�o�%�m�Y�.�.�_�n�����Y�§�j��.�#< � J R N��o�%�n¬]�]�o�_�n�o�.�o���n¬]�]�.�R�q�.� ¤ �o�=�o���q�R�.���%��3�.�.�o #�N�]�#���R�q�.�_�h�U�]�m���.�o�N�]�J ¤ �W�q�]�=�o�T�m���r�q���]�q�]�T�m�n�£�U�#�.�W�]�_�F�U�#�§�n�#� J R N N �T�q�]�9�n¬m����]�o�%�r�%�#�]�o�����`��T���q���T�R���N�]�q�.�{�Y�.���.�]� #�R�]�R�n����Y�]�]�q�8�N�q� �.�W�q�]�=��m�Y�o�8�q�o�¡�Y�¦�q�m�q� ���]�T���m�`��A=������%�P�]�m�n�q�r�#�]� � #� àqÔ_Ð ÔoÏUÎTÑ ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5Ó!ê9å]ÑRë5à�ä¥å]Ñ ��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà ��Ö��tì�ê=é5åmànÓ�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï à � � ��� � Î �eÐ Ô ï

Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:à Ô_Õ(�:åTê9ÓÑ`à9åtä � ' � àRà�ç5Ð!Ó ï é:Î ï� � X Ø / ��

�> � � �� �

�� � � � X � �� Ø / ��

�> � � � *�

���� �

� ï ÓNüjé5ÕeÔ 9�ç5Ó ÓÕ ï Ô�ÑjÓLÏ�è�à{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ ï å ï é:Î ï åTä FÑRå,�¢åmàqÔ ï Ô_å]Õ �¨Î��+�eÏoÔ�ÓNà ' %/ÑRå]Ð� � Ö�� � ì �*� X � � � � ! Ø / Ö � � @ � � �tì! � � / Ö�� F / Ø Ö � F � @ � � � � @ � F ì�� / Ø � F � � F ìT � F�/ � � � # �

å]Õ5ÓWí�Ó ï à �eè­ànç5ШÐ'Î ï Ô_å]Õ��Ö��Tì� �+�

Ø�@ �*� / Ö�� � @ � � �Tì �+�����Ø�@ �+����� / � � �$��9éeç:àß%��Ö��tì�Î,�eÐ Ô ï à=Î �¢åTÏ_Ó!Î ï Î#ÏoÏ �:åTÔ_Õ ï à�åTäFÎ�é:Î#Ïoä )PÏUÎ ïRï ÔlüLÓ

� & $ +� @#" / � �D%�Ï_å]í � ä¥å]Ñ#" �3$5ß�D ���Wß

ÎTÕ$�¨ÔUà Ô_ÕþÎ,�+��Ô ï Ô_å]Õ�åTäFüLå�Õ ï ÑjåTÏoÏ�Ó�� í]ÑRåTê ï é�Î#ê=ÎNè�äæÑRå�Ð �¢åTÏ_ÓNà9Ô_Õ�ÎTÕmè��:ÕeÔ ï Ó[à ï ÑnÔ ��åTä � '� Õ�Ô�ШÐ!Ó���ÔUÎ ï Ó=üÎ]ànÓ�åTä�Î��+�eÏoÔUüÎ ï Ô_å]Õ ÔUà ï å�Ð!å+��Ô �:Ó�� �eèmÎ ��Ôlü�ànç5Ð'à¦Ô�Õeî]åTÏ_î�Ô_Õ5í�äæÑRÓ�9�ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNà

åTä ï é5Ó!ä¥å]ÑRÐ � � Ø ' �9éeÔUà ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5ÓþÎ#ÏUànå¾Î��+�eÏoÔ_ÓNà ï åþànç5Ð'à�ÑRÓLÏUÎ ï Ó�� ï å ï é5Ó10�ÓÑRÕ5å�çeÏrÏoÔà��eÏoÔ ïRï Ô_Õ5í�Ð!å+�eÓLÏ¡åTäOd]ÓNü ï Ô_å]Õ ��a�äæå]Ñ Ô�Õ:à ï ÎTÕ:üLÓ]ß ï é5Ó Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ ï Ñ`ÎTÕ:à{äæå]ÑjÐ åtä

��Ö{ÿ¦ì� ����> � ? Ø�@ ! Ø�@ Ø � # P AÔUà

� Ö��tì� ���Ö��Tì����£Ö��Tì ê=é5ÓÑjÓ ��Ö��Tì� ����> � E Ï_å]í¢Ö`Ø @ *� � ì ��� G �+� �0�è ï é5Ó ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5Ó Î��:åTî]ÓWå�Õ5Ó �:Õ$�5à��Ö��Tì�# �

Ø @ � @ � �����Ø @ ���$� Ö�� � � @ &3�� �jì �

Page 48: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

��� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

�9éeÔUà��:ÓÑRÐ�Ô ï à ï å üLå]Ð �5ç ï Ó�üLå]Ð �eÏ_Ó ï Ó¾Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlü�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ:à�ê Ô ï é5å]ç ï Î ÑRÓNüLå]ç5Ñ`ànÓ ï åï é5Ó�Ó��+�:å�Õ5ÓÕ ï ÔUÎ#Ï�Î��+�5ÑRå �eÔ_Ð'Î ï Ô_å]Õ ' � é5Ó�é:Î#Ïoä )PÏlÎ ïRï ÔUüLÓ�åTä��:åtÏ�ÓNà�Ô_Ð �eÏoÔ_ÓNà ï é5Ó �5ÑRÓNà�ÓÕ:üLÓ�åTä^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_Õ5í!ä¥ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à�Î ï ÓNÎ]üRé Ï_Óî]ÓLÏ¡åTä ï é5Ó�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUü�Ó��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ�åTä ��Ö{ÿ3ì�'� - � "��&)/��-�" ��-�( &)$�� � -�1 f ç5Ñ��:Õ:Î8ϦÓ��:ÎTÐ �eÏ_Ó�ÔoÏoÏ_ç:à ï Ñ`Î ï ÓNà ï é5Ó=í]ÓÕ5ÓÑLÎ#Ï¡Î��+�5ÑRåmÎ]üjé'ànÓÓÕànå ä�ÎtÑWÔ_Õ üLå�ÕTÍ{ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ×ê Ô ï é ÎTÕ Ô�Ð��:å]Ñ ï ÎTÕ ï�ï Ñ`ÎTÕ:à{äæÓÑ ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5Ó ï é:Î ï üLå]Õ:àqÔUà ï àbÔ_Õ í�åTÔ_Õ5í�:Î]üjë!ÎTÕ$��ä¥å]Ñ ï é �¢Ó ï ê9ÓÓÕ�î8ÎTÑ�Ô�å�ç:à%é:ÎTÑRШå]ÕeÔUü�ànç5Ð�à£Ô_Õmî�åTÏ_î]Ô_Õ5í ÑRÓLÏUÎ ï Ó��!ÎtÐ �eÏoÔ ï ç$�eÓ�ÎTÕ$��ä¥ÑRÓ )9�ç5ÓÕ:üjÔ_ÓNà��5ç ï ��Ô �¦ÓÑjÓÕ ï �:Î]à�Ó9äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ:à '��9éeÔUà_,�hLÔ_í7hNÎTíQ-�Ð!Ó ï é5å+�!Î��+�:ÓNÎ8Ïlà ï å ï é5Ó=üLå]Ð!Шå]Õå5üüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓ�åTäFÎ ��Ô�Ñ�ÔlüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà�Ô_Õ ï ê9å é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð'à� �

�ýhÖ!D5ÿ¦ì ÎTÕ$� � �

���Ö!D5ÿ3ì��

ê9Ô ï é�Ö{ÿ3ì� ! �QP �eÏlÎ#è�Ô_Õ5í Î�à��¢ÓNüjÔUÎ#Ï=Ñ��åTÏ_Ó �¢ÓNüÎTç:ànÓ�åTä ï é5Ó�ÑRÓLÏUÎ ï Ô_å]Õ Ô ï ÓNà ï Î �eÏrÔUàné5ÓNà�ê9Ô ï é

å]Ñ���Ô�Õ:ÎtÑRè'í�ÓÕ5ÓÑ`Î ï Ô_Õ5í¨äæç5Õ:ü ï Ô_å]Õ:à '�9é5Ó ï ÑLÎTÕ:àqä¥ÓÑ ï ÓNüRé5ÕeÔe9�ç5Ó�é:Î�à%Î#Ï_ÑRÓNÎ,�eè �:ÓÓÕ!ç:à�Ó���Ô_Ð �eÏoÔlüjÔ ï Ï_è���äæå�Ñ�Ô_Õ:à ï ÎtÕ:üLÓ ï é5Ó�à ï ç$�eè�åTäï é5ÓWé:ÎtÑRÐ!å]ÕeÔUüWànç5Ð ! �QP Ö`Ø @�! �QP ì ��� è]Ô_ÓLÏ �5à �5ÑRå,�:ÓÑ ï Ô_ÓNà9åTä �eÖ��Tì=Ö�� �/ÎtÐ �eÏ_Ó: eì ï é:Î ï üÎtÕ�Ô�Õï ç5ÑjÕ �:Ó ç:ànÓ�� ï å�ÎtÕ:Î#Ï_è hÓ ï é5Ó ï é5Ó ï Î�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ � � ! � � W P W Ö � �:ÎTÐ �eÏ_Ó'Ø�$�ìFÎtÕ$��Óî]ÓÕ ï ç:Î#ÏoÏ_èÏUÎ ïRï ÔlüLÓ ànç5Ð'à�Ö � �:ÎTÐ �eÏ_Ó'ØNÝ�ì '�9é5Ó��5Ñ�Ô�Õ:üjÔ �eÏ_Ó ÔUà�Î]à�ä¥åTÏoÏ�åTê�à ' � àjànç5Ð!Ó ï é:Î ï�ï é5Ó��:Óé:Î#î�Ô�å�ç5Ñ�åTä

��Ö{ÿ¦ì� ����> � � � ýhÖ!D5ÿ¦ìÔUà�ànå]ç5í]é ï '��9éeÔUà=ÑjÓ�9]çeÔ_ÑRÓNà�ëmÕ5åTê9Ï_Ó��eí]ÓWåtä ï é5Ó:��Ô_ÑnÔUüjéeÏ_Ó ï ànÓÑnÔ_ÓNà

� Ö��tì� ����> � ��D � �

��ä ï é5ÓWå]Ñ ��Ô_Õ:ÎTÑRè�í]ÓÕ5ÓÑ`Î ï Ô_Õ5í äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ+bÖ{ÿ3ì� ����> � � � ÿ

�ÔUàhëmÕ5åTê=Õ ÎTÕ$��Ô_Õ[Î �+��Ô ï Ô�å�Õ +bÖ{ÿ¦ì5ÔUà%ÎTÕ:Î#Ï_è ï Ôlü�Î ï ÿ Ø9Ö ï éeÔlàhåTä ï ÓÕ�é:Î �+�:ÓÕ:à¦äæå]Ñ%Î#Ï ï ÓÑRÕ:Î ï Ô_Õ5íànÓÑ�Ô�ÓNà�ê9Ô ï é�ÓLÏ_ÓÐ!ÓÕ ï ÎTÑRè�üLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï àLì`ß ï é5ÓÕ

+bÖ�! � P ì� ��$> � � $ ÿ $ �

ê=éeÔUüjéþüLå]ÑjÑRÓNà��:å�Õ$�5à ï å!Î!à{Ô�Õ5í�çeÏlÎtÑ�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ& Ö +bÖ�!��QPTì�� �tì� � Ö��Tì��£Ö��Tì�# ��

$> � � $" / � Ö���� �Fì �

8�å�Ð �:ÎTÑnÔUànå]Õ�ê Ô ï é ï é5Ó�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑ�Ó��+�:ÎTÕ:àqÔ_å]Õ�åtä ï é5Ó��5Ñjå*�eç:ü ï � Ö��Tì��£Ö��Tì`ßeÕ:ÎTÐ!ÓLÏ_è� Ö��tì$# ��

$> � Ö�@WØTì $ � Ö�@#"�ì" � Ø� / "

Page 49: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H � �àné5åTê�à �mè¨Ô �eÓÕ ï Ô ��üÎ ï Ô�å�Õ ï é:Î ï

� Ö�@#"�ì� 2Ö�@WØTì $ " ��� $ Ö�@WØTì $ " �_áâÿ $ ã�+bÖ�!��QP]ì �Ö!��Úeì�qÕ ï éeÔlà£ê=Î#è]ßTüLåmÓ��­üjÔ_ÓÕ ï àhÔ_Õ Ð'ÎTÕeèWÓ��*�:ÎTÕ:à{Ô�å�Õ:à%üÎTÕ �:Ó �eÓ ï ÓÑRÐ Ô_Õ5Ó���Ó��+�eÏrÔUüjÔ ï Ï_è,' �.Õ í]ÓÕ5ÓÑLÎ#Ï.ßï é5Ó�ä¥å]ÑRÐ çeÏ���å,� ï Î#Ô_Õ5Ó�� ÎTÑRÓ�Õ5å]Õ ï ÑnÔ_î]ÔUÎ#Ï � àqÔ_Õ:üLÓ ï é5Ó�å]Ñ�Ô�ítÔ�Õ:Î8ϯànÓÑnÔ_ÓNà �eÓ��:ÕeÔ�Õ5í � Ö��Tì�à ï å �:à�¢ÓLÔ�Õ5í�üLå�Õmî]ÓÑjí]ÓÕ ï Î ï Õ5ÓímÎ ï Ô_î]Ó�Ô_Õ ï Óí]ÓÑ`à '*,+ �5¼$-]»#¿ / �> 8 $ @ 4 �=>�8 @MB >�� �A<)9 � B @ 272T8 �=9 D:>5BE? >5<)9�� 4 ���=F C��n�m���

� J R NKP ����> � J�� - N��

� G � � W P W U�q�m����Y�.�o�.�R�9����Y�[����]�.�L¬]�o�[�Y�.�o�N���.�W�q�]�=�n�N� ¤ �o�m�Y�.�#�.�_��]�q�]�<���> � J�� -ON

��

� ! � ���� # �

;%�]�=G �j�r�o�o���q�{�Y�]�¥�U�#�.� �� � J R N£�o�

� JMLON,P JCL N� -� IKJ L� N¹«%�]�R�q� JCL N P ����> � J�� -ON��

� � �

;%�T�]�L< � JCL N%�m�Y�%�m�#�o�R�D�Y�$L P � U � � U � � U ����� ��m� �T�j�.�R�q���o�]�o�] ��.�]�=�q�R�.�_�T���R�9�� � JCL N%�.�BAN���r�q�R��q�]� � 8�$ <54 � �Y� JCL N��Y�%�.�]�9�]�R T��q�r�#�9�R�N�R� �o�T�.�R #�R�.� �;%�]�WC��o�.�_�q�]�o�R�9�.�R�q�r�j� JCL N��r�=�Y�'�R�T�q�r�q���U�]�m���.�o�N� � ;%�]�o�9�.�j�.�]�o�.� �U�.�#� ���q�o���]�o�=�n¬]�q�R�]�.�o�#�'�Y�

*3�q�N�e�N�q�r�q�o�N� �¨�.����o�q�R�.�m�Y�.�o�] !�q�R�.�o�R�L<���W��o�q�R�.�m�Y�.�o�] � j�R�{�¨�U���m�n�.�o�#�]����q���R�T�.�o�q� � ;%���[�q�m�L�n�_���N�Y�r���R�%�� JMLON%�Y�.�=�q�]�R� � ¤ �n��o�]�`�b�U�q�N� �q�]�=�n¬]�m�Y�]�.�o�#�����> � J�� -ON

��

� G � � P P --�� G � P �r�#  --�� G � PP � �o�N  �� � ! -� � �o�#  �� # R � -- � R F � ! � -�B� � �r�# 5�� � # R � � --�� � R � � � � U

�q�W�.�m�Y� J � NQP � -� �o�N 5� U J�� � N P -� U J�� �)N P�� �-�� U ����� �

;%�T�]�£�m�e��o�o�� J R N �P21 � � -� �o�N �� � -� R F � ���� R � � � � �

#

� ;%�]���q�{�Y�]�¥�U�j�¡�]�q�]�n�R�.����U�q�R�W�]�q��8�_�T�j�§���.�o N�#�.�#�]�¡�n�#�]�T�.�R�q�m��q�%��5�U�#�.�[�Y�]�n�N���]�]�{�Y�.�o�N����«%�o�q��]���.�R�o�=�T�o�N�R�q N�R�T�¢�.�R�q�r�j� � HT�R�h�.�]���q�R�[�Y���T�5�.�j���Y�.�o�N�h�.��03�]�o�R����G¨�N�n�_����.�o�9�.�]���[��q�o�N�]�]�o�=HT�`���.�o�N�#��Y�m���.�]�9�.���R�N�q�[�Y�D©q�.�R #�]�_��.� R�L�TªW�.�]���§�Y�m���]�.�]�T�e�n�.���r� � � � � �

Page 50: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

� � * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

Ý+' ��ÇFÃ�ÊQ�]É �NËPÇFà ��9éeÔUà �:Î��:ÓÑ�é:Î]à �eÓÐ!å]Õ:à ï Ñ`Î ï Ó�� ï é5Ó��:Î]àqÔUü ï ÓNüjé5Õ5åTÏ_å]í]è�åtä§Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ¾Î]ànèeÐ � ï å ï Ôlüà åTä§é:ÎtÑ )

Ð!å�ÕeÔlü�ànç5Ð'à ' �9é5ÓÑjÓ]ßDξüLÑjç:üjÔlÎ8Ï�Ñ��åTÏ_Ó�ÔUà �eÏUÎ#è]Ó�� �mè ï é5Ó�ànÓ �:ÎTÑLÎ ï Ô_å]Õ �5ÑRå,�¢ÓÑ ï è ÎtÕ$� ï é5Óä¥ç5Õ$�5ÎTÐ!ÓÕ ï Î#ϧüLå�ÑRÑRÓNà��¢å]Õ$�eÓÕ:üLÓ,'��9é5Ó�Ð!Ó ï é5å*�­Ôlà ÏoÔ_ë]ÓLÏ_è ï å �:Ó!Î��+�eÏoÔUüÎ��eÏ_Ó'Î]à�ànåeå]Õ�Î]à ï é5ÓÓ��+�5ÑRÓNàRàqÔ_å]Õ:àhÔ_Õeî]åTÏ_î]Ó���ÎTÑRÓ�åtä/ÎTÕ ÎTÕ:Î#Ï_è ï ÔUüDüjé:ÎTÑ`Î�ü ï ÓÑ%Ö¥Ô_Õ ï é5Ó�åTÏ ��à�ÓÕ:ànÓ�åTä ï é5Ó ï ÓÑRÐ ì�Î��å]Ñ � )Ô_Õ5í�ÎTÕ:Î#Ï_è ï Ôlü üLå]Õ ï Ô_Õeç:Î ï Ô_å]Õ�ê�éeÔlüjé�ÔUà ï é5Ó�Ð!åmà ï Ô�Ð��:å]Ñ ï ÎTÕ ï ÑRÓ�9]çeÔ_ÑRÓШÓÕ ï åTä ï é5Ó�Ð!Ó ï é5å+� '8�å�Ð �eÔ_Õ:Î ï å]ÑnÔUÎ#Ï�Ó��+�5ÑRÓNàRà{Ô�å�Õ:à=ÎTÑRÓ ï éeç:à%î]ÓÑRè¨Õ:Î ï ç5Ñ`Î#Ï�üÎTÕ$��Ô �5Î ï ÓNà�ä¥å]Ñ9Ò�ÓLÏoÏoÔ_ÕþÎ]à�èmÐ � ï å ï ÔUüà '9ÓLÏUÎ ï Ó�� ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5ÓNà�Ô_ÕþüLå�Õ5Õ5ÓNü ï Ô_å]Õ�ê9Ô ï é �:ÕeÔ ï Ó ��Ô ��ÓÑRÓÕ:üLÓNà�ÎTÑRÓWÓ��+�eÏ�å�ÑRÓ���Ô_Õ á�ÞTÛTã '� à=ШÓÕ ï Ô_å]Õ5Ó�� Ô_Õ d]ÓNü ï Ô_å]Õ�Û:ß £ÓÑRÑjå]Õ54âà�ä¥å]ÑRÐ çeÏUÎ �¢ÓLÏ_å]Õ5ímà ï å ï é5Ó�ímÎ#ÏUÎ �5è�åTäDÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ ÑRÓ )

ÏUÎ ï Ó�� ï ÓNüjé5ÕeÔe9]ç5ÓNà ' g Ó�é:Î#î]Ó�Õ5å ï �eÓî]ÓLÏ_å,�¢Ó�� ï éeÔUà%üjÏlÎ�àRàqÔUüÎ#Ï:Î]à��:ÓNü ï é5ÓÑjÓDÎ]à¦Ô ï ÔUàhÓ�� ï ÓÕ:à{Ô�î�ÓLÏ�è��ÔUàRüLç:àRà�Ó���ÓLÏUànÓê=é5ÓÑRÓ,' �.Õ¾á ]Ú#ã:Ô ï ÔUà=àné5åTê=Õ�é5åTê ��Ô_î�Ô �eÓ ).ÎTÕ$� ).üLå]Õ=9�ç5ÓÑWÑRÓNüLç5ÑRÑRÓÕ:üLÓNà�Ï_ÓNÎ,� ï å^:ç:ü ï ç:Î ï Ô_å]Õ:à=åtäFÎ�ä¥Ñ`Î]ü ï Î#Ï�Õ:Î ï ç5ÑRÓ ï é:Î ï üÎtÕ(�:ÓY9]ç:ÎtÕ ï Ô �:Ó�� î]ÔUÎ�Î!Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ¾ÎTÕ:Î#Ï_è5àqÔUà+a��Ô_íTÔ ï Î8ÏànÓ�9�ç5ÓÕ:üLÓNà�ÎTÑRÓ�à ï ç$��Ô_Ó���Î#Ï_å]Õ5í'à{Ô�Ð�ÔrÏUÎTÑ�ÏoÔ_Õ5ÓNà�Ô�Õ á� 7�#ã '� Õ�Ô_Õ ï ÓÑRÓNà ï Ô_Õ5í�å �¡à��5ÑnÔ_Õ5í�åtä Ò�ÓLÏoÏrÔ_Õ Î]à�èmÐ � ï å ï ÔUüàWåTä9é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü�ànç5Ð'à�ÔUà ï é5Ó'üjÏUÎ]àjàWåTä

õ�3%ú,�qøÄõ¥÷ �]ñ�Ð!Ó ï é5å+�5à ' �.Õ�Ð'ÎTÕeè�üÎ]ànÓNàYß�Î!í]ÓÕ5ÓÑLÎ ï Ô_Õ5í�äæç5Õ:ü ï Ô�å�Õ üÎtÕ �¢Ó!ÎTÕ:Î#Ï_è hÓ�� Î]ànèeÐ �+)ï å ï ÔUüÎ#ÏoÏ�è¾Î]à�Î�é:ÎTÑRÐ!å�ÕeÔlü¨ànç5Ð Ô_Õ ï é5Ó�üLå]Ð �eÏ_Ó��¾ÑRÓNÎ#Ï_Ð�ß�Õ5ÓNÎtÑ�Î�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï è�å]Ñ�Î�üLÑnÔ ï ÔUüÎ#Ï�¢åTÔ_Õ ï ' � ï�ï é5ÓÕ �:ÓNüLå]Ð!ÓNà �:åeàRàqÔ �eÏ_Ó ï å!ÓNà ï Ô_Ð'Î ï Ó ï é5Ó�üLåeÓ��­üjÔ_ÓÕ ï à�åTä ï é5ÓWí]ÓÕ5ÓÑ`Î ï Ô_Õ5í¨äæç5Õ:ü�)ï Ô_å]Õ �eè!ÓLÔ ï é5ÓÑ�àqÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï è'ÎTÕ:Î8Ï�è5àqÔUà9å]Ñ ï é5ÓWàRÎ,�+��Ï_Ó ) �:åTÔ_Õ ï Ð¨Ó ï é5å*� ' %5å]Ñ9Î�üLå]ÕTÍnç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�åTäÒ�ÓLÏoÏoÔ�Õ×ÎTÕ$�¾àjÎ,�+��Ï_Ó ) �:åTÔ_Õ ï Ð¨Ó ï é5å*�5àYß ï é5Ó!à ï ÎtÕ$�5ÎTÑ ��Ó��/ÎtÐ �eÏ_Ó ÔUà:��Ó 0�ÑRçeÔ Í{Õ54âà �eÔ_å]Õ5ÓÓÑnÔ_Õ5íê9å]ÑRë�å]Õ ï é5Ó=ÓÕeç5Ð!ÓÑ`Î ï Ô�å�Õ!åTä�eÔ_Õ:ÎTÑjè �:ÎtÑ ï Ô ï Ô_å]Õ:à=álØÛTã5ê=éeÔUüRé�ê=Î]à3ä¥åTÏoÏ_åTêDÓ�� �mè ï é5Ó9í]ÓÕ5ÓÑ`Î8ÏÎ��+�5ÑjåmÎ]üjé�åTä=Ò�ÓLÔ_Õ:ÎTÑ��eç:à�Ô�Õ ï é5Ó ï é5Óå�ÑRè�åTä%Ô_Õ ï Óí]ÓÑ��:ÎTÑ ï Ô ï Ô_å]Õ:à áâÞ#ã ' dTÔ_Õ5í]çeÏUÎTÑnÔ ï è ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàç:ànÓ���Ô_Õ­üLå�ÕTÍ{ç5Õ:ü ï Ô_å]Õ�ê9Ô ï é�Ò�ÓLÏrÏoÔ_Õ�Î]ànèeÐ � ï å ï ÔUüà%Ð'Î#è&�¢Ó�ç:à�Ó��'Î]à�Î��:Î]à{Ôlà§äæå�Ñ ï é5Ó�ÎtÕ:Î#Ï_è�àqÔUàåTäO8DÎ ï Î#ÏUÎTÕ�ànç5Ð'à�á� �ÙNã�Î]à�ê9ÓLÏoÏ¡Î]à�Ð'ÎTÕeè!å ï é5ÓÑ=üLå]Ð �eÔ_Õ:Î ï å]Ñ�ÔlÎ8Ϧànç5Ð'à 'g¾Ó�é5å,�:Ó ï å ÑRÓ ï ç5ÑRÕï å ï é5ÓNànÓ:9�ç5ÓNà ï Ô_å]Õ:à Ô�Õ�Î�ä¥ç ï ç5ÑRÓ��:Î��¢ÓÑ�' �(���&���� ,.- �Q� - ��- &���1 �9éeÔUà ê9å]ÑRë�ê=Î]à �:ÎTÑ ï Ï_è ànç+�+�¢å]Ñ ï Ó�� �eè ï é5Ó����@5Æ:ËlÅ/09Î]àqÔUü 9Ó )ànÓNÎtÑ`üRé � ü ï Ô_å]Õ�åTä ï é5Ó � ' 8 ' ��å$' �mØYÛ:Ø�Ö��H�8Ê3Ç���Â`ÂLì�'�9é5Ó�ÎTç ï é5å]ÑLà!ê9å]çeÏ � ÏoÔ�ë�Ó ï å ï é:ÎtÕ5ë3=Î#Ô_Õ5ÓÑ12�ÓÐ � Ö.ê=é5å�Ô_Õ ï ÑRå+�eç:üLÓ��2å]Õ5Ó�åTä�ç:à ï åï é5Ó�à�ç+�5Í{ÓNü ï Ô_Õ¾ØNÝ��TÙeì`ß å,�:ÓÑ ï d]Ó��eí]Óê9ÔUüRë�Ö�äæå]Ñ9ÎbÏ�å�Õ5í ÏUÎ]à ï Ô_Õ5í Ô_Õ ï ÓÑ`Î]ü ï Ô_å]Õ3ìLß$#3Óå ��çeÔ �:Î]àÎTÕ$� � Õ$�eÑRÓê f ��Ï_èQhë]å¾Ö�äæå]Ñ�Õeç5Ð!ÓÑRå]ç:à���ÔUàRüLç:àRà{Ô�å�Õ:àLì`ß��å]Õ 2�Õmç ï é ÎTÕ$���&'�� '�eÓ 0�ÑjçeÔ�ÕÖ¥ä¥å]Ñ ï é5ÓLÔ_Ñ[ànç+�+�¢å]Ñ ï ì�'�Ì=ÓLÏ_Ð ç ï %Ñjå*��Ô_Õ5í]ÓÑ ï å]í]Ó ï é5ÓÑ�ê9Ô ï é¾éeÔUà�í]Ñjå]ç+��åTä üLåTÏoÏUÎ��¢å]Ñ`Î ï å�Ñ`àWÎ ïï é5Ó��hÓNüRé5ÕeÔUüÎ#Ï ��ÕeÔ�î�ÓÑ`àqÔ ï è!åTä �=Ô_ÓÕ5Õ:Î5ߢÒ�Ô_ÑRÓLÔoÏoÏ_ÓMÓí]ÕeÔ_ÓÑNß�%éeÔoÏoÔ �+�:Ó���Î]ü+9]ç5Ó ï ß�ÎtÕ$� g¾å�Í ï Óëd7h �:ÎTÕ5ë�å8ê�ànë]ÔWÎ#ÏoϯüLå]Õ ï ÑnÔ �5ç ï Ó��×îTÎ#Ï_ç:Î��eÏ_Ó�äæÓÓ�� �:Î]üjë Î ï îTÎTÑnÔ_å]ç:à�à ï ÎTí�ÓNà ']g¾Ó�ÎTÑjÓ(�eÓÓ �eÏ�èí]ÑLÎ ï ÓLä¥çeÏ ï å ï é5ÓÐ ä¥å]Ñ ï é5ÓLÔ_ѯüLåeå,�¢ÓÑ`Î ï Ô_å]Õ '

Page 51: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

G!0�-:-/,.E ;�@F4DE�H]1:79@�G¨H�4DE�C 4DH��=G!*3;�7�;%,��%H���+F4D@�G¨7DEF,�� H�B�G!H �,-� ¿��T¿]�5¿]Á:�e¿m�

- �%}=~e�5�5¼����WÀl���¦½ /�¢�5Á ���]�5¿����5Á���O/:}H/ 8:> � � D D�� D ; � 8 @ 2T4 9 8 @CBE? 8 $�� <)>�?A@CBED:>��R� C���#�R�`<- � � � � 4×�.�j�]�.�o�T���Y���.���D�q�R�T�.�'E���q�r�#�m�� �h�]�.�`�Y�!��¡HT�n��m����{�t�%�`�T�o�.�o�N�¢<+- � �6� �� �%}=»#»����:���5¿��� / � � /�e�5Á �"!����5¿]Á� ¸ / C��o�q���q�]�o�R�£�.�j�.�o�R����e���n�]�q�o�N�]�£�o�T�m�]�o�.���]�.�]�T�e�n�.� � #�< $ $ 4A@CB > D ;@ 2T4 � D:> � D:> � 8 @ 2T4 978 @MBE? 8�$ � DO? BE4A@ �%$�& J�- � � � NR<����,-(' � � � �� �%}=Á �¢�5¿����)+* / * / 03254�032T4 D�� �7DM; � 8��A@CB @MBED:>�� <N�#�N� � �9�Y� � >�? � ? $ D�#54 �:BE87DM; � 8 @ 2T4 9 8 @CBE? � 8:> �B @ � �# #%$ BE? 8 @MBED >��R� 49�]�T�o�.�#�)' �R�q�o�R�8<+- � �� �

� �%}�-��:�j���5»,.- /¦½ /�/=>T@ � D �:<T?A@MBED >H@ D��>�8�$�� @MBE?10 <)9 � 4 �7032T4 D�� �� HT�]�.�o�] #�R�¥�¥?��R�q�_� m<+- � �� �� �%}�-��:�j���5»,,- /�½ /2]�5Á �435���- / ¸ / C��o�.�_�q�]�o�R�5�.�R�q�o�R���.�j���Y�.�`���.���.�]�%@%�o�R� ��]�� R�j�{�F�U�]�m���.�o�N� �6 D <��=>�8 $�DM;70< 9 � 4 ��032T4 D�� �%$)8 J�- � �6� Nj< � ��'*-���� �� �79%�5�5Á5¿m�� * /�: / ;%�]�DG¨�N�n�_����.�o���q�]�2�U�#�.�W�]�_� � �� DO? 4 4 � B > � ��DM; @E254 � D > � D > � 8 @E254=978 @MBE? 8�$� D ?=BE4A@ �%; <�� J�- � � � NR<7� � �<' � �B� �

� �79%¿]»N»#¼��5Á� � / �>�8 $�� @MBE?70 <)9 � 4 � 03254 D�� ��= �>>/ >)@ � D �:<5? @MBED >�� ���R� �R����r�t�'�£�]�����o�] #�`<@%�L�N�#��o�] m<+- � � � �� �79%¿]�5Á �:��.9�/�! /�? 8:9 8:>5<A@O8 > � �B0 D @ 4 � DOD<� �A=���8�� @C/D/j� HT�]�.�o�] #�R�%?��R�q�_� m<+- � � � �

� �79%¿]�5Á �:���9�/E! /���5Á � *�F �5Á:�) � /�� / 0¢¬]�.�j�]�.�o�N������:��q�8���]�.�#�.�_�3�n¬]�m�Y�]�.�o�#�]�¢�U�.�#� �£�m��]�q�R�- �����@��� ��T���R�Y� �¢�.�`�n�#�m�W���N�.� ¤ �T� � � 6 D:< � >�8�$ ;�G<�� �:BE4 � 4 B >�4 <)> �78 >�� 4 � 8 > � @ 4 � 8 @E254=978 @MBH�I�J $ J�- � � � NR<+- - �<'*- �6� �-�� �79K�5�L�W¿�À_Á�M� /h½ /��9K�5�L�W¿�À_Á�M��/N9 /23�5Á �O���5�5À_», � / 4��m��o�T�.�o����¡�n�R�q�{��o���_��.�q�_�n�=�.����� �6 D <��=>�8 $�DM; � 8 @ 2T4 978 @MBE? 8�$%�>�8�$�� �=B ��8:> � �# # $ BE? 8 @CBED:>���$�P I#<$-�J�- � � � NR<+-�� �<'*- � � �- - �7!��5¼��5¿]��+Q / � � � 8:>�? 4 �SR D 9 �=B >�8 @ D��=B ?��R� @%�j���t�R�¥<]C��#�{�T�q�`�q�T�`<$- � �6� �-�� �7T�� F ¿�Á -�5�T�� ¸ / � <�$ @MB # $ BE? 8 @MB�� 4U0<)9�� 4 � 032T4 D�� � <¡�q�R�T�o�.�`� ¤ � + � - � G��N�T�. #�N���j�.�T<��.�L�q��N�m���`� � HT�]�.�o�] #�R�¥�¥?��R�q�_� m<eE%�R« �¡�#���5<+- � � � �-�� �7T�� F Àl¿m��N9�/�/=>T@ 4��� 8�$ 0 � 8 >�� ;OD �=9���8 > ��03254=B �� # #%$ BE? 8 @MBED >!��� Ht�]�.�o�] #�R�¥�¥?��R�q���Y m<+- � � � �- � �7TD¿V9%���5À º Á�XW /Y* / 7�� G!�Y�]�o�R� �W�m�Y�.�q�r�q�o�N���]�.� ¤ �o�R� �C/ > � 8 �:8 @CB D >�4 � � 8 @E2)F5$�Z J�- ����� NR<�,-���' �B� � � @F�R�]�.�o�T�.�L�W�P�.�N� ���#�]�o� �T� � EF�`�T�R�q� � 4 �N�N�T�R���o� �R�.�R���{�q�m����m�R�¢<�Ht�R� � 4 �- � �7TD¿[9%��5À º Á� W /�* /�� � � 9 # @ D @CBE? � 4 @ 2TD � �$B >��>�8�$�� �=B �R� C���#�R�`<,- � � - � 4 �.�R�]�q�o�8�3�Y���q�]�%�.�]�o�n�E%�#�.�.�!+F�N�o�_��m�b�`�T�o�.�o�N�¢<+- � � ��J_�e�.�.���`�T�o�.�o�#�:<+- � � � N �-�� �7TD¿\9%���5À º Á�NW /N* /�M]=Á �5� ���T / * /�3�5Á � � ÀU�e¿�N��/N^ / ;%�����L�N�R�n� #�=�]�R�o N�T������]�_��T�.�L��]�_��]�%�q�.�R�j� � ,¥� 6� 8 #52 032T4 D�� ��8 > �_R D:9 #�< @MB >�� J�- � ��� Nj<N@ � � � @F�`�N�5<T0�� � <49�R�N�t�R���_�%*3�q�R�.�L<�]� � - ��' �B� �-B� �7TDÀlÁ��:»#¿� � /E9 / � � � 9 # @ D @CB ? � " #58 >!�AB D >��a`�03254=B �Cb�4 �=B � 8 @CBED:> 8:> �c/ >)@ 4 ��# � 4A@ 8 @CBED:>]� 49�R�N�t�R���_�*3�.�j�.�`<5-/�N�m�T�#�:<+- � � � �-�� �7T1�/¿]�:�L����_* / 8:> � � <5? 2 � 4 � � 8�#%$ 8 ? 4�0 � 8 >�� ;OD �=9 8 @CB D >)=ed�D $ F5$gf I � ���o���8�+h��]�q�R�!?��R�q�_� m<�¡�Y�.�R�¥<�- ��� � �- � � * � �%i¿]»Aj:Àk%}H/��½��,�¢Á �:�)c: /27^=~m¿�� �5¿]�5�5À_Á��¢¿]��ml /�£�5Á �V-��5ÀP� �5¼�ÀAMl /m* /0 8 � $ 4 � D ;/=>)@ 4� � 8�$ 0 � 8:>�� ;OD�� 9��R� G!�RA9�n�L«£��+F�r�o�¥< - ���6� �� � �7l]�gj��5»N»#¿�X* /�Yl�»N� º �5»N¿���Y� /���5Á � ¸ � �T�5Àk�½ / 7��þ���U�]�e�n�.�o�N�e��%� A#�m�Y�.�o�N����.�o�q�r�� !�o��.�]����m�Y�r�T�q�r����=���]�.�#�.�]�n�#�%�U�#�����W�]�o�.�_�N�R���R�.� ¤ �q�8�#�]�R��q���q�m��]���R� �� � � 8 >�? 4 � B >��# #%$ B 4 ��� D � 8 � B $ B @ �n$Lo J�- � � � Nj< � ��-(' � �B� �� - �7l�¿]»N»#¿]��n: /�>\/=>T@ � D �:<T?A@MBED >�@ D �� D � 8 � B $ B @ ��032T4 D�� ��8 > � B @ � �# #%$ B ? 8 @CB D >�� <£�.�]�o�n���`� � <�N�#� � - � 6#�N�]� �o�o�R�T<�- � � � ��B� �7l�»N� º �/»N¿]��.� / 4��]�]�.�L¬]�o�[�Y�.���n�#�]�T�.�o�] ��34 �T�R�{�Y�o�r�L�[�Y�m��o�T�.�o� ��#C/ 0\;gp J�- � � � NR<+- - �<'*- �6� ���� �7l�»N� º �/»N¿]��.� / 7��!�N�]�Y�]�.�o�#�D�n����]�o�r��  � R D:9 #�< @MB >�� I P J�- � � � NR< � � -A' � � � ��6� �7l�»N� º �/»N¿]�����/�e�5Á �\*q�5»#À_Á�¢½�/ 0¢¬m�N���¡��q�8���]�.�#�.�_�n�3��:�T�o�T�_�T�A't�Y�m�g']�n�N��A#�]�j���.�`���]�.�q�R�m�n�R� �,¥� �< @ D 978 @ 8�= � 8:>�� <58 �:4 �A=�8:> � �� D � � 8 9�9�B >�� J�- � ��� Nj<]H � � � 4 � -5�o�] 8�Y�`<]@ � �9��q�r�q�.�#�:<m0�� � <�]� � � � ���o��-5�`�n�q�]�.� E%�#�.�R�=�o���£�N���]�]�.�j� H��n�o�R�m�n�N<3��� � -�� �<'*- � � � *3�.�]�n�R�L�T�o�] N����%�.�]�:� ��q�

Page 52: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

�B� * � 13-54�6879-:03;=<3> � A=79B�@�CD79E�<:49E�C�* � CDB�G 4DH

,��£4D-¢*��£�#�T�U�R�q�R�m�n�#<�-/�]�m�5<T6#�]�o� - � � � �� � �7l�»N� º �/»N¿]��1� /2%�5Á � *q�5»NÀlÁ�9½�/ G �R�o�o�o���.�n��]���U�N�q���=��m����q�8���]�.�#�.�_�n���=;%�]�����R�q N�R�q�N�.��.�`���]�.�q�R�m�n� � � ?A@ 8Y/=>=; D��=978 @MBE? 8 I $ J�- � ���)NR<�� ����'�� � � ��� �7l�»N� º �/»N¿]��m��/�m*=�5�5~mÁ5¿]��1� /2c]=Àl�:�`���5¿]Á �����T¿]��B��/�m�¡� � �¢À_Á��¢¿]�� ¸ /�h�5Á �V-�ÀP����j�� / G �j�r�o�o���q�{�Y�]�¥�U�#�.������m����q�T���]�q�N�.�_�n���!C��r #�o�{��£�.����� ��03254 D�� 4A@MBE? 8�$BR D 9 #�< @ 4 � � ? BE4 >�? 4$L; IN< � J�- � �6� NR<7� �,-('��,- � �� � �7l�»N� º �/»N¿]��m��/�h�5Á �2½'�5�T�5À_Á�m* /MW / *¦�.� ¤ � ¤ �o�o�o�.�.�_�=���N�]�T�.�o�] !�Y�r #�N�q�r�q�]���£�P�N�=�]��n� ¤ �Y�.���]���r�_�R�Y�.�o�N��� � 6 D:<��=>�8�$KDM;%R D:9 #�< @ 4 ��8 > � ��� � @ 4=9�� ? BE4=>�? 4 � I $ < � Jæ79�n� � - � � � Nj<�-�����'7� � � �� � �7l�»N� º �/»N¿]���� /�e�5Á � �¡� � �¢À_Á��¢¿]�� ¸ / @%�R #�r�q�.�R�£��o�o�t�j��.�o�#�=�U�#���]�m�Y�.�g' ¤ �r�e��.���.�q�R�R� � ��/ � �6 D <��=>�8 $�D > R D 9 #�< @CB >�� $gp <���JU4���  � - � � � NR<���� ��'���� � �� � �7l�»N� º �/»N¿]�����/�T�5Á � ���5¿m�����! / *��Y�.�q���Y�T�[��n�q�=�.�R�q�.�o�R�N�Y�8�Y�m�W�]�o�.�_�T�o�W�R���.�o�N�m�Y�Ä����{� � 6 D:<��� >�8�$KDM;@ 2T4 �nR � IgIN<Q��J�- � � � NR< � �,-(' � � � �

� � �7l�»N� º �/»N¿]��.� /2 � � � �5»R��N� / �a!7/�e�5Á � 35�5Àl»N»N¿�¼�À_Á�.� / ;%�]�9�T�]� ¤ �j����3�.�R #�r�q�.�R�q���q� A#�]�o�.�`��.�W�R�N�Y�o�m��q�D��q�o�.�]���R�.�_�%��¬t���.�R�q�.�o�N�]� ��032T4 D�� 4 @MBE? 8�$�R D:9 #�< @ 4 �!� ?=BE4 >�? 4%8 J�- � � � NR< � ��'+-���� �

� - �7l�»N� º �/»N¿]��N��/� � i¿�¢Á5À_¿���h½ /�¦�5Á ���]¿����¢¿��WÀP� � � / HT�#���9�]�.�j�D�Y���.�]��G��R�o�r�o� �o�T�.�R #�{���.�n��]���U�N�q� �o�W�q�]�D�Y�m��o�T�.�o�3����Y�r #�N�q�r�q�]��� � ,¥� R D:9�� B >�8 @ D �=BE8�$�� $ � D�� B @E2)9��$D >��HD�� � � J�- � � � N������� ������������������� � � ��� �!���"� �$# �%�&� �(' ���)�(*,+-��.B0 ��00/ � � � 8:>�? 4 � ?=B 4=>�? 4%/ >�� @CB @C< @ 4�� 4 �=BE4 �=F� 4 �=BE4 �K�C`cR D 9 #�< @ 4 ��8:> � ��� � @ 4 9�� � ? BE4 >�? 4�� � 1 32����3465�28795�2�����4 � :;�3+ � * ' + ��� � J=< � ' ����5,�?>$5&��@��A32�5 N �

B +3�7l9C�D$E �FC�G3H�X��/�ID$J � ��KML �$N��$J �cX9 /O�P5��35�2������ 5,�Q�%��4����R�!�8��2�5�5������S�T��U35���2?�%� 5�2�5��S��5 '�%� 5V2�5��%�����!�;5 A AS�!�������3�&��? 8 > � D 9 � @ �=<5?A@C<�� 4���8 > � � $ � D�� B @E2)9�� I��3B�J * � � + NV�WB ����'3B + � �

B6B �7l9C�D$E �FC�G3H�m��/�7�3D$C F j�B9�/�XD$J �ZY K N�N[G3\$N�D$J$J��� /��A:����]?�����^�P� ' 5�2R�!4�5 ' ������5_��� ����`%�������.9����4��62�����U3]a�,� 03254 D�� 4A@MBE? 8�$�R D 9 #�< @ 4 � � ?=B 4=>�? 4_& 8 � * Jcb 5�d;�$* � � * N��3B ��' * � � �

B!e �7l9C�D$E �FC�G3H�1� /28D$J � �3G����;GE� K=L � � /9f?5��������g��2����3�h.=��2�]i���!�S�g����`W]a3���6�������&j k �3����5_�l�m.n@.=5�2�5��S��5����!�S��o8����5 �p�"�%��5�4�2������,�9oO5���5,�!2R��UqoO5�S�62��i+ ��B * �9< �3��������A:�ir����������S�!���%5�o85,��U35�2���U355�� < �%.M��2�]?����� A A35s5V�i5�����A:����]?����� A A35 � f��!2,��* � �!e �(+3*?S�!4�5��&�9t(�u��3 5,�!2s�"�'03254 D � 4A@CB ? 8 $R D 9 #�< @ 4 � � ? BE4 >�? 4��

B6v �7l9\$G��;N[D$J�[w /�Q /�0D$J �V] J �$H ���T / * /(oO5,��A32�2�5�� ��5i2�5����������6�3� dS�!��5,�x�6�y]a�"�:�"]s� �!�������;�6 D <��=>�8 $�DM; � 8 @ 2T4 978 @MBE? 8�$%�>�8�$�� �=B ��8:> � �# # $ BE? 8 @CBED:>���PEo J * � �!e NV�3v�B�e 'lv6v � �

B6z �7*q�$J$J$G3H��* /0{ / r8����5��P������U35��%5V2�� ' �����"�6�?��.|����`W]a3���6�����[5�}332�5V�������6�3�[.=2��6]~��A3]i]?�������6�3�,�/=>=; D��=978 @MBED >#�� D ? 4����=B >�� � 4A@E@ 4 � � & �:eHJ * � � � N�� * z6v�' * z � �

B � �7*q�$J$J$G3H��* / { /�%D$J � 98D$G��D ���0DWH$G �� � / �8 > � � D D���D ; � $ � D��=B @ 2 9 � 8:> �Bb�8 @ 8 � @ �=<5?A@C<�� 4��a`B > � 8 �O? 8 $�8:> �UR � ��5,����� �?5,�$�:���3�%������� ' g5�����5�` � * � � *��

B � �7*q� �$Cg�;G3J�.�O/�� /23D$J �\�%D L � ���$J��T /Fw�/+R D 9 �=B >�8 @ D��=BE8 $ � >5<)9 4 � 8 @CB D >3�6���6U3� ��"��5�` � r85��� ��2 �$� * � �6B �

B � �7* \$G3G3J$� G3\ �� �H/E* /��l9C�D$E �FC�G3H����/�%D$J � Q;D �;J$G:\� � / * / # ������]_�!�����340��U358]sA3�����":�"����������5����.X����� � ������� ���a�� 5�5,����U35���2P2�5V������A3�������x�"��]sA3������3��5 ������5V������US�!�3�35����,� 6 D:<��=>�8�$,DM; @E254��nR �I P � + J ��:2,�;* ���6� N�� + � �<'lB + v �

e � �[{�D$\ ��j� * /I{ /m? 8:9 8:>5<A@O8 >E` 0 �,4 $ � 4 � 4 ? @M<�� 4 � D:>���< ��@ 4 ?A@ � ��< � � 4�� @ 4 � � ��2)B � �KB ;O4 8:> �� D �A� � ��U3��2R�g5&�$�|�0U35V�"��5,�u��A3d3������U3���34g�0��]aS���%` � rO5��0@ � ��2 �$� * ���6� �(o85�:2����%��5,����� ���0�62)@2�5,����5,�-.=2��6]���U:5 b ��2���� # �%�������6� � �8��]sd32����%4�5 � * �!e � �

e *��[{�D$\ ��j�m* /O{ /��D$J � ��K GS���Ow / 032T4 6$4=>�4 � 8 $$032T4 D � � D ;nb B �=B ? 2�$ 4A@�� � � 4 � BE4����$r8� �9* � ���t(2R�������8����f�����U35�]_�!�������&�W�8�!]sd32����%465��8�3� ' 5V2������)`?�(2�5���� � * � * v �

e +3�[{�G L � G� * / � 4 ?A@M< � 4��"D > b B �=B ? 2�$ 4A@�� 4 �=BE4 �A= � D �:< $ 8��4� <)>�? @MBED:>�� 8 > �Q��<T8 ��� 8 @MBE?[� D �=9 ���7|��� �%5��3U3�%5,� � ���S�?o8A:332�5&��U%� � � h�6�������3465�� � * ����B � Jc# �l�"��5,�ad%` � 2�A3�3� 1 ��U:�W5V�Wd 5�2�4S� N �

e%B �[{�G:J$\ K=L K 1� / � # # $ BE4 �"8 > �\R D 9 #�< @ 8 @MBED >�8�$BR D 9 #%$ 4�" �>�8�$�� �AB ���(�6��U3� �����5�` � rO5�� � ��2 ���* �6��� � Bp' �6��A3]i5��&�

e6e �[{1���%\ K (w�/ �� D � 8 �=B $ B � @MBE? �>�8�$�� �AB � D ; � $ � D�� B @E2)9���� 1 32��"�:4�5�2h@c795V2�����4 � * ���6� �

Page 53: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

f # >;> < r�t�oO��r 13b�� o�f 1 ��r�� � 16� f��(t � t < � 1 j��O��o�f � r < � 1 ��f 1 v�B

e%v �7�WD L�� �$G:H����/�$D$J � � iG��;J K G3\��w /:t(2���5� ��2������������3���34p32��l��5����&jX>F��]i�������34 �%������2���d3A3�������3�&� < �R � � ��� o J J * �6��z N�� �(� b 2R�!�S��U3� @ � �!�35���������U3� �9# �$� �' �6�c�$+:* e ��. � 4 ?A@C<�� 4n0 D @ 4 � B >\R D:9 #�< @ 4 �� ? BE4=>�? 4 � 3;�[* ��z<' +:* � �(�(2��l��5�5,�%���346�i��. ��U35g*�*���U��0��������6A3��A3] �6��t(2�5�5��i��� ����4�5�d:2R�g��� ��(2��64�2���]i]a���34 � r8����5 b 2R�!�S��5 � f���2���Ug* ����z �

e%z �7�WD L�� �$G:H�Y� /� D$J � �� -�D$J � ���i� � K n: /|�O������]_�!��5i��US��2�������5�2�� �!�������:�i��.P��U35?d32�A32����i2�5�@�� ���3��5���.��!�����%��5V2 ' ���[��5,�!2R��U3���34u�!�"46��2��"��U3]yja� ����AS�%`���.���.=A:�S�������6�S���85�6AS�!�������� ��/ � �6 D <��=>�8 $�D > R D 9 #�< @CB >�� $go �:eHJ * �6� � N��%�����<'l� � *��

e%� �7�WD L�� �$G:H� ��/�:D$J �\�� -�D$J � ���i� � K +: /!����`%]i3����������dS5VUS� ' �"�62(��.$��U35�>F5�]i 5�� @ � � ' S�!2������34�R��U35�]a5 ���S�?�%��4�������� ��5,�!2R��U���2�5�5��&�S:2�5�32����W� � * � � *6�

e%� �7�WD L�� �$G:H����/� D$J �"�� -�D$J � ���i� � K N: /:��A:���3����2�2�5����!�������a���?�|�62R�%���!�S�s�����X�!33�����������"�6�3�,j���S�!��`W�����i��.p��A � }q��2�5�5V�yd%`�����2����34�@)2�A:�"5V2-�!332��W����U;� 6 D:<��=>�8�$�D ;eR D:9�� B >�8 @ D �=BE8�$�032T4 D�� ��=� 4 �=BE4 � � JgJ�� + J * � ��e)N�� + B��<' + z � �

e � �7� �F\,�G3J;���$J�.� /$� /2$D$J � Q;D$J��cN��/ #$8 �=BE? �>�8�$�� �AB � DM;7? 4� <�$ 8�� B �O4 � � 4 �=B 4���8 > � �� D � <5?A@ � �' �6�c� * v6z�e ��. � 4 ?A@C<�� 410 D @ 4 ��B > � 8 @ 2T4 978 @MBE?���� 1 :2����34�5V28795�2����!4 � * � ��B �

v � �7] G3N$-� � /lt8U35 � ' 5�2���465��%A3]sd 5�2|�!.;2�5�46������5V2����:5�5,�%5,�-���p5 ' ����AS�!��5��Id3���S�!2�`s��2�5�5P��3����]_������`��� ?A@ 85/=> ;OD��=978 @MBE? 8n$L$ �3e�J * ��� � N��3B6z�B�'3B�� +3�

v *��7] G3N$-� � /)� <)> � 8:9 4 >)@ 8�$ � D ;,@E254 � � 4 � 8 � 4BR 8 � 4 �>�8�$�� �=B ��D ; � 8��A@CBE? <�$ 8 � � $ �:D �=B @ 2 9 ��� �����5�`6@t(5�A3d3�35V2 �S1 ��A3����4W�!2�� � * �6��e �

v +3�7] K \;� L �$G3J ��� �%G3\��� /��wyD$\%H K J$G��N! /�D$J ���0\,��� K J��G3\��{ / ���S�!��`W�����|�!.��!�?��3���"]a� 5,���5,�!2R��Uy�!�"46��2��"��U3] .=��28� � �"a���"����� � * � ��e �W+:*�S�!4�5��&�

v6B �7] K \;� L �$G3J ��� �%G3\�7��/��D$J �V�|\ � � K J��G3\�O{ / � �x����]a5���:3���^�V�������6�3�P��.9.=�62�]sA3� � ��.�o�� @]_�!�WA � ���s���i��U35 ���S�!��`W�����8��.��!��4���2�����U3]a�,��� 8 @ 2T4 978 @MBH�:8 I o J * � � * N�� * e 'lB6B �

v!e �7] K \;� L �$G3J ��� �%G3\�Y��/�7�|\ � � K J��G3\�[{ /�0D$J � �� -�D$J � ���i� � K Y: / � �u��U35 ' ��2��^�!�S��5s�!.��U35I5�}3��5�2��S���9 ����U��"5V�34���U����-� ��`%]i]a5���2������%��4��������$��2���5��+b B �O? � 4A@ 4 � # #%$ BE4 ��� 8 @ 2T4 978 @MBE?��n;LpJ * ��� � N�� *&+ ��' * e%B �

v6v �7] CL�;� L ���T /%t8U:5��R�!]i3�����34[��U35��62�5�] � �[��2�����U3��5��9��5�2���5����!�S���[��� � 5�� ��2R�!�3�).M��2�]a�,� 6 D:< � >�8�$ D ;R D 9 #�< @ 8 @MBED >�8 $�8:> � �# # $ BE4 � � 8 @ 2T4 978 @MBE?��KPgP J * � � + N�� + z * ' + �6B �

v6z �7] J �$H ��XT / * /�03254 � �A@ DM; R D:9 #�< @ 4 � �� D ��� 8:9�9�B >�� �9' ���)� B j 1 ��2������34u��� � 1 5,��2���U:�"�:4S����3�l�"�����%@� g5����"5V` � * ����B �

v6� �7] J �$H ���T / * /%t8U35P� ' 5�2���4�5[����]i50.M��2|���!2�2�`i32���S�!4W���������;�L/ > � 8 �:8 @CB D >�4 � � 8 @E254=978 @MBE? 8 4mPZJ * ����� N�� + B���' + e +3�

v6� �7Q;G�� K J�.Q / � # �$� �5@ � <T?A@M< � 8�$ �� D�#54 �A@CBE4 � D ; � D�$���$ D �:8 �=B @ 2 9 ���%�[]i5�2��������?f�����U35�]_�!�������!� 1 �3��� @5��)` � * � � *��

v � �7Q K J �G3C������ * / oO��d 5�2�� � � ����]?��2�f?5��������;� � � � 8 >�? 4 ��B > � 8 @E254=978 @MBE? � J $ J * ��B�B N�� � 'W' �)�J �I�Sf?5�������� �9�3�6������5��!�S�sd3��d3������462R�!3U%`W� N �

z � �7Q��$J����M7* / �;# �F� � <�$ @MB�f�� �O4 �_R D 9�9�< > BE? 8 @MBED > ��� � @ 4=9 � �$' �6�)��+ z�v ��.qR�/)� � R D:<����O4�� 8:> �� 4 ?A@C<�� 470 D @ 4 ��� 1 32����34�5�287�5�2�����4 � * �6� *��

z *��[wyD L ��D$\$C�D$J$G�N* /+* /%t8U35P��3:�"�����!�������p��.;f?5��������s��2����3�h.=��2�]i�9��� ��U35[��A3]a]_�!�������P��.;�������8�"`����� ' 5�2�46�"�:4���5�2���5��&� �Q2 B $ D �OD�# 2 BE? 8�$ � 8 � 8��=B >�4BP�Z J * ��e � N�� * �6��' * ��� �

z +3�[wyD �$NB� � ��X{ / � � D�$ < @MBED >"DM;1? 8 > � D 9�� 4 8�� ? 2 0 � 4 4 ���6���6U3� �����5�` � r85V� � �62 �$� * � � +:�z6B �[wyD%H ��j��)U��/�ID$J � l9C�D$E �FC�G3H�X� /�� ' �!2�`�������������������2�5����6�"A:�������q�!��4���2�����U3]a������2����S�%�6]

������5����[��`%����5�]i�8�8����U .=2�5V5��62|d:�"�3����5&�_��US�!�3�35��;�6����5����,� / � � ��� �������������� �����!���>/"�$#���"%&�'�(� �����)* �,+ ��/ ��-DI $ � +&.)f���2&�;*'/ ��v10�� +:* ��' + e%B �

z!e �[wyG3C6C K J�I{�23�[��54�[��2�����U3��5�� �R��U35V��o85V�"U:5�� � �%��5 �!U3��5��%��U35��62�5������R��U35�� b A3�5�W�������35�� A3�S� �%��55��S�%������U35����(2��l�lA6�%��5 ' ���?5��S�%������U35�]~� 5��R��U3��5,��U%�,��78�9�:���;�'� )* %&�'�(� �9�%;Lo<.R*'/�= e>0��%B��<'lz�e �

z6v �[wyG3C6C K J�F{�2��[d32��@?[5����35�295����3U:5�����������U:5�� t8U35��62���5��%5�29� �!]i]i� @lA:�S���l5�2(UW`% 5�2�465���]a5���2����R��U35��b A3�6�%�������:5��;� �;�'� )* %A�B���DC$� )* 78�5�E�,F * � J oG.�*/3*'= 0V�3B = v<'lB6B�� �

z6z �7^ �SG:\ �$G3H$H K J��G3\�.lH2 � � �$F * CI�(# � * FJFK�J� � +����>CJ#�,+$%LC�� 1 32����3465�2 � */ ��e �%+ �6v ��4�5V�,�

Page 54: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

v!e �(� b >$�[� � > # t ��� �9� � ��o�� � r � �Pr � �(�3���[f?� 1

z6� �7^ �SG:\ �$G3H$H K J��G3\�+lH2 � ���"F * CL�(#7� ���>+"� * + � +��,�CD#'�,+"% CH�,��� � ���>+"� * + � +9�,�>CJ#��+"% CH�(#7bH�@C9�(+"� -���1�(� �,�C�� 1 32��"�:4�5�28795V2�����4 � */�/1=3�

z6� �7^5�;CAj�� � ����42 w 2 # �%A3]a5�2R�!�������Q��.s����2����34��&� < � R �,%�$�J�E�'�:�,+$� �,F 78F���,+$�@� ) %LCG�,� � �,+��'C.R*'/ ��v10�� �p�$�� �������6�"�����x���S� � �;� �!�"��� �$# �%�&� �' �6�)��*&+?��.B0 7 � / 7 ���B���E� *�� �"� * �E� * /"�C��(�@���1� *� * +"� * C�� � * +"� * CB�C`�R ��%����1� * +I�,��� ��� C�� * %LC � �$� * �E� * C �S1 32����3465�28795�2��^�!4 � 3�3+�= v<' +6+ � �

z /3�7� K���� G3J��G3\�+W�2:���i5V�"5V]i5��%�R�!2�`i�!332��%����Ui��������]a5����S�!�"`%���^�8�!��`%]i:�����������,� � /:7�� 6 ���>+"�E�,F�,���;�B� )6* %&�'�(� �9�,F 78�E�,F � C��DC1;�P � v .�*/�/ B�0V� * B�z * ' * B��6� �

� =3�7�|\ � � K J��G3\�({�2 �8�������s��5���5,�����p������5�2,��b8�@C�"+ * � * �;�B� )6* %&�'�(� ��C1$g;�Z .R*/1/ B10�� * e / ' * v /:�� *��7�|\ � � K J��G3\�O{ 23�O`W ����U35����^�V���8���S�!�"`%��5��,jp��332��&}3�"]?����5 ����A3�%�����34��"�x��U:5s���)`%��5s��. � �%A3��U �

S����U���5��346��U?������U35I���)`%��5 ��. b ����������5��&� ��)6* ��+ * ��� ����FCR ��%������ * + � �$� * � � * $)ZLZ � * .R*'/�/ B10�� + eWB<'+ v *��

� +3� � iG�J K G3\��w 2 #(' ����AS�!�������?�%5��� 5�2h.=��2�]_��� ��5����%A?US�6��U ��4�5p�%`%�S��]a�D�6A35 � *'/ ��B �%t8U! 5���5��%5 B 5��`3����5 � �O�3� ' 5�2������#"5p���!2���� '31 AS�$�

�6B � � iG�J K G3\��w 2:�[�S����`%�����8��.(4�2��^� kS��5 ����4��62�����U3]a�,�)#C/ � ;gpG.�*/ �6v�0V�3B�B�v<'lB6v�� ��!e � � G K J����FCL��%$!2Fw 2��D$J � ��� � ��� K H��]42���2%�(2��6dS��d3�����������^�8�!�S����`%�����(��. �[� ' ���%5�@����S�6@��0��� ��A:5�2

U35�A32������������O.=��20]i���3��]sA3] �05���4�U%��5,� # AS�������%5,�!�_]?������U:�"�:4S�E0 * � � ��+A�'C � * B .R*'/ �6B�0��%e / '3z�z ��6v �7�3G����G�� KML � � 2>�P�����P]i� ' 5�]i5��%�$���s�3�3�6@)5 ' 5V�i]i5V2�4����34 � � /:7�� 6 ���>+"�E��F ���4R �,%&���1��� �'>& �

B .�*/ ����0V� + B / ' + � +:��6z �7�3G����G�� KML � � 2 78F(���+"�@� ) % C � ��5,���6�S�?5,�$�:���3�l�"����� '') 5�����5�` � o85,�6�%���34 � f��!���&� � *'/ �6� ��6� �7�3J$G������$J�N�2.W 2 ��)* ��C * �(#K/$�>� * ,+���F � +��,�CD#'�,+"% C��Wf��V�P2R�&� ' �8����� < �S�!� � */ � +3��6� �7�3H%D$J$C�G)j� � 2��!2�* �#�>% * +��B����� * R ��%+�$�J�E�B� ��+"� ��C �6' �6�)� < � ) ���%���|�62���U-,/.�2��%���%�106�0����5 � */ ��z �� /3�&2�3 � D$J54!6�7i�84 K19&: 2 1 �6]i5 2�5���A3����� ���<;�@���2�`y����`%]i]i5V��2����[��2���5��,�>=>��� +$�E�,F � #L78F���,+"�D� ) %LC+?

.R*'/ ���10�� +6+ e�@ + e6e �� =3�&2�3 � D$J54!6�7i�84 K19A: 29�9�!��2�����������2��"5V�_��4%�����g2�5 ' �����"��5,�$�B= ���>+"�E�,F � # � )6* 7AC��ED�F �|e .R*'/�/1= 0��

z /:* @l� *�*6�� *��&G K H L�H N[D$\;� H>9 $!2�IA2 ��)6*G��)* ��+ � �(#KJ5�>�E�9�(� ���>C � ��5,���6�S� 5,�$� � }%.=��2��u�8�:� ' 5�2������)`��(2�5���� �

*/ B /3�� +3�&G K H L�H N[D$\;� H>9 $L2'IA2ML$�>��+9�N���6�9�(� �,� �:� � )*8��)6* �,+ � �(#OJ ���>+"� * +!L"�>� * B+9�,F C��&�0U35�����5&���(A3d:�"����U3���34

�0��]aS���%` � */ ��z �%o85V32����%��5,� .=2���] ��U35P��5,����� �?5,�%�������6� �6� }W.M��2R�x*'/ eW� ��6B �&G K H L�H N[D$\;� H>9 $L2�IA2 9 D$J5P {PG3D%H H5Q�R \56�7sJ 9TS 2OUA2 ��)* ��)6* �,+ � � #L� )*WV � * %&�,�6�YX * � � -

#��>�E����� ��� � ��5,���6�S�?5,�$� � }W.M��2R� 1 ����5��S��5 �(A:d3���^�V�������6�3� � *'/ ��z ��!e �[Z K H$H$G3\ 9B\ 2W2 2 9 D$J5P^]9C�D$EN6FC�G3H 9�_ 29�[�S����`%�����s�!.I�!��4���2�����U3]a�����S���3�!�R�x����2�A ����A32�5��,� < �

` �����a�9�'�Mb � # ��)* ��+ * ��� �9��F>C ��%����1� * + � �$� * �E� *�� � � ' �!�u>$5�5VAW�05�� �9# �$� �;' ���)�$��j����46��2�����U3]i����S�?�0�6]i3��5�}3���)`W��rO��2���U �8��������� � � */1/�= � ��U;�E/ � 3;� e%B * @3v + e �

�6v � :/H$K H$H%D54G3\ 9 $L2TGA2 9 D$J5P : D%H;�M6$J 9dc 2de 2�7fC ���>+9C * �(#A�;�M� * +"� 78�E�,F � C"�@C � .M��A32���Ux5,�$��8��]sd32����%4�5��O�3� ' 5�2������)`_�(2�5���� � */�+ � �%o85�:2����%��5,�g*'/ �6B �

�6z � : K PgP;G3\ 9%S 2�Z 2 ��)6*Bh ��� F ��� * � +��,�CD#'�,+"%p�3�(2����S��5����6�-�O�3� ' 5�2������)`_��2�5���� � */ e *���6� � : K C�i 9 {�2�2 2Oj * � * +9�'�(�J�'(#��>�E����� ���E�,F@�� � �3�P�����l5�]i������2�5���� � *'/�/�=:��6� � : 6$J!k 9 UA2 78C � %��5� �B��� � 7d�a�E+9�Ml,�J%&�'�(� �,�>CI� #�L"�>� * B+9�,F C��6���V���%5�]a������2�5���� � */ � /3�

Page 55: 0213-546879-:03;=<3>4:?,.0 @A=79B@CD79E <:49EC* +F,.algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf · 13-546879-:03;=<3> a=79b@cd79e <:49ec* cdbg 4dh ê9Ô

f # >;> < r�t�oO��r 13b�� o�f 1 ��r�� � 16� f��(t � t < � 1 j��O��o�f � r < � 1 ��f 1 v�v

�������������

�� ������������������� ������ ��!"� #%$'&�(*)

�,+ -/.�0��1�324���52�67������670 89;:��!=<�� >?��@�$A#�B>?#,&C�B<�� &�(C)DE�GFH&C�I(E� >?��)

J + KML56ON"�4 ��P.5QO6, ��C.�RS���T����60�2��� ��P6� ���6 � JUV� �B&�!=<XWY@�##%� �Z�)[ >?�GFH&C�I(�&\WY@�##%� �Z�)��&C�]�'>^H�1!"� <�� &�(C)

_ + `a.��HQO�P ��b�c0d�4Qe0 J �

f + g4��QhQi.�C�T��jkNE�T�HQe��R1l J7mn�:%$ &C�Boqpi@?!"$1@�:��� �e(�:WrWY@�<]�'>H��)UXs%@?^H�1!/(�:WY(*)��>d��("(�>?��tu(v(]:WrWY@�<�� >?�xwy>?�BWM:%$1@)��&C�"�B>?��tu(�wy>?�BWM:%$1@)

z + {/.�C.�R .5 |0���Q}0 _�_

~ + KML56}-�6�H T�P��RbR1�V0�2�R1���C���y 5��2�������60�0�.5 ��|�PjT.����b�c0���Qe0 _�~85+ ����L567�a�d��QO���y 5.�C�T����.�RS6%��.5Q}2�R�670 _��

��&�^%:�!=<�� >?�i<B>Y(�<I@d��^@��I^���@��BWr>?�%�1!�(�:WY(C)�V>?��(�<=@���^@��I^aUV� ���1!"�%$'&C</(]&C��� &�(C)

� + �Y6, T6��.�R��d�� ��4����� �P �0xNE�T�x��67RbRb�y �.�0*jAQe2��C�,���1�?0 f �� Wx@�$�$'�&�("(X>�w�p3&=$�$�� �O<"�I@���(Ewy>?�BWY(*)� �B>��v<B�x>�w�UV�'�]��!"�%$ &C<�(]&C��� &�(C)���&/<B�I@d��(Ew�&C�S<B&�!"��%�1�?:&?)

m + {/�� ��?R���0�� �P �0 z7���6GNE67��6, ��d670 z �

�[�"46��2��"��U3]i�0�(2��N��5,��� � < r[o < � � oO�3�"�6A35��S���6A32�� �Sb @l�6� * v�B >$5 �0U35����S�&` �Sb 2R��� ��5��* - %&�,� F �a���,+ * C9C�j;�(U:�"����3 5�� b �^�8������5��������32����3� .=2 � � � ' ��5�2&� � ��A32��%���G�[���32��^�:� .=2 � �(U:�"����3 5�� �[A3]_�!���[���32����3� .=2