2 Matrix Jacobian
2. MATRIKS JACOBIAN4.1 PengantarDalam aplikasinya, salah satu
robot yang banyak digunakan untuk memudahkan pekerjaan manusia
adalah Welding Robot. Fungsi robot tersebut adalah melakukan
pengelasan pada objek dengan kondisi tertentu. Kelebihan robot ini
adalah mampu bekerja secara terus-menerus dalam rentang waktu yang
cukup lama serta bisa memberikan hasil pengelasan yang teliti dan
presisi. Salah satu contoh Welding Robot dapat dilihat pada gambar
2.1 berikut
Gambar 2.1Welding Robot
Untuk memanipulasi pergerakan robot ada dua hal yang harus
didefinisikan yaitu joint space dan end effektor. Joint space
adalah joint manipulator robot tempat memberikan input agar dapat
memanipulasi pergerakan robot. Sedangkan end effektor adalah bagian
akhir dari robot yang berfungsi menjalakan perintah sesaui dengan
yang diinginkan. Untuk membedakan joint space dan end effektor
dapat dilihat ilustrasi pada gambar 2.1
Gambar 2.2 Joint space dan end effektor robot
Hal yang sangat penting diperhatikan pada Welding Robot adalah
bagaimana cara menggerakkan semua joint manipulator agar end
effecktor mampu mencapai setiap titik atau lintasan pengelasan yang
telah didisain. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk
memanipulasi pergerakan end effektor, yang pertama adalah dengan
cara memberikan input pada setiap joint manipulator sehingga
didapatkan posisi akhir end efektor, metode ini dikenal dengan nama
forward kinematik. Yang kedua adalah inverse kinematik, metode ini
adalah kebalikan dari fordward kinematik yaitu posisi end effektor
lah yang terlebih dahulu didefinisikan, selanjutnya dimanipulasikan
sehingga didapatkan nilai input pada setiap joint manipulator.Pada
permasalahan ini forward kinematik bisa diselesaikan dengan metode
Denavit-Hartenberg Parameters (DH-Parameter) dan metode screw.
Sedangkan untuk inverse kinematik, salah satu cara untuk
menyelesaikannya adalah dengan menggunakan matriks Jacobi atau yang
lebih dikenal dengan Jacobian.4.2 Denavit-Hartenberg Parameters
(DH-Parameter)
Dalam membangun sebuah matrik Jacobi, awalnya tetap akan
berhubungan dengan DH-Parameter. Hasil akhir DH-Parameter merupakan
matrik 4x4 dimana dalam matriks tersebut terdapat matrik 3x3 yang
merupakan orientasi end effektor dan matrik 3x1 yang merupakan
vektor posisi posisi dari end efektor. Untuk lebih jelas dapat kita
lihat contoh berikut ini
Gambar 2.3 3DOF Serial manipulatorTabel DH-Parameter
NoAd
0-1 l1 0 1 0
1-2 l2 0 2 0
2-3 l3 0 3 0
Matriks Transformasi DH-Parameter
.2.1
Dari hasil akhir DH-Parameter serial manipulator diatas dapat
terlihat bahwa matrik 3x3 yang berada dalam kotak berwarna merah
adalah orientasi end effektor, sedangkan matrik 3x1 yang berada
dalam kotak berwarna biru adalah vector posisi end effektor.
4.3 Metode Yau Pitc RollMatrik orientasi end effektor ukuran 3x3
tidak bisa didefinisikan secara langsung dalam matrik jacobi, namun
harus disederhanakan dahulu. Salah satu cara menyederhanakan matrik
orientasi end effektor tersebut adalah dengan metode
Yaw-Pitch-Roll, dimana metode ini adalah merubah matrix orientasi
end effektor 3x3 menjadi euler angle dalam bentuk (, , ).definisi
(, , ) dapat dilihat pada gambar 2.4 berikut ini
Gambar 2.4 Rotasi Yau Pitch RollPerputaran x pada sumbunya
disebut dengan Yaw dilambangkan dengan , Perputaran y pada sumbunya
disebut dengan Pitch dilambangkan dengan , sedangkan Perputaran z
pada sumbunya disebut dengan Roll dilambangkan dengan . Dengan
penjelasan diatas, maka terbentuk lah Yau Pitch Roll.Untuk
menjabarkan metode Yaw-Pitch-Roll, matrik trasformasi DH-Parameter
terlebih dahulu dihubungkan dengan matrik transformasi Homogeneous
Representation
Gambar 2.5 Rotasi Yau Pitch Roll
Dari gambar diatas, bisa dijelaskan tentang matriks transformasi
Homogeneous Representation. Titik P yang berasal dari orientasi
koordinat (x, y, z) pada posisi 0,0,0 ditransformasikan menuju
titik baru dengan orientasi koordinat baru n, s, a. maka matrik
transformasi dari perpindahan tersebut dapat dibuat sebagai matrik
berikut
.2.2
Masing-masing orientasi koordinat baru ini harus dijabarkan
kembali terhadap koordinat awalnya, dimana orientasi n nantinya
akan terdiri dari nx ny nz, orientasi s akan menjadi sx sy sz dan
orientasi a menjadi ax by cz Maka dari itu matrik trasformasi
Homogeneous Representation diatas bisa dikembangkan menjadi matrik
transformasi berikut ini.
.2.3
Dalam metode Yau Ptich Roll, matrik transformasi Homogeneous
Representation bernilai sama dengan matrik transformasi
DH-Parameter.
.2.4
Dari persamaan ini dua matrik diatas maka dapat diterapkan
metode Yau Pitch Roll untuk merubah orientasi end effektor 3x3
menjadi euler angle (, , ). Misalkan sebuah matrik transformasi
DH-Parameter
Dari dua matrik diats, dapat ditentukan nilai euler angle (, , )
seperti persamaan berikut ini. .2.5
.2.6
.2.7
Nilai (, , ) ini lah yang nantinya akan digunakan dalam
membangun matrik Jacobi, khususnya untuk kasus robot dengan
koordinat ruang (6 koordinat).4.4 Matrik JacobiDari forward
kinematik didapatkan hasil Y = ( x, y, z, , , ), dimana Y ini
berasal dari perkalian matrik f (6x1) dengan q
.2.8Apabila Y ini diturunkan, maka didapatkan
..2.9Apabila disederhanakan maka persamaan matrik diatas
menjadi
.2.10
Dalam hal ini J adalah matrik jacobi atau lebih dikenal dengan
jacobian. Matrik jacobi adalah matrik tnasformasi linear yang
menggambarkan n-dimensional kecepatan vector didalam m-dimensional
matrik kecepatan vector . Elemen matrik J ini mempengaruhi
koofisien vector matrik Y. Secara umum vector Y adalah fungsi non
linear dari q, sementara itu matrik Jacobi juga merupakan fungsi
dari q. maka dalam hal ini konfigurasi matrik Jacobi bersifat
dependent.
Untuk serial manipulator robot, matrik Jacobi didefinisikan
sebagai koofisien matrik kecepatan pada end effektor dan kecepatan
pada joint space.
Conventional JacobianSeperti penjelasan sebelumnya bahwa setiap
titik pada end effektor dapat digunakan sebagai acuan untuk
menentukan kecepatan pada end effektor tersebut. Dengan mengambil
titik On sebagai titik referensi, maka dapat didefinisikan
kecepatan end effektor seperti persamaan berikut ini.
.2.11
.2.12
Dimana Vn adalah kecepatn linear end effektor, n adalah kecepatn
sudut end effektor, sedangkan dan adalah pergerakan rotasi dan
traslasi pada joint axis yang ke i. sementara adalah unit vector
sepanjang joint axis yang ke i. kemudian adalah vector yang
didefinisikan dari titik referensi batang yang ke ( i - 1) menuju
batang end effektor seperti yang digambarkan oleh gambar 2.6. semua
vector yang terdapat pada persamaan 2.11 dan 2.12 ditampilkan pada
pada koordinat frame yang tetap (X0 , Y0 , Z0). Bila dituliskan
dalam bentuk matrik, maka persamaan 2.11 dan 2.12 dapat ditulis
menjadi
.2.13Dimana
Gambar 2.6 Parameter link serial manipulator
Persamaan 6.42 berpengaruh pada komputasi matrik Jacobi, dimana
terlebih dahulu harus ditentukan arah dan posisi masing-masing
joint. Hal ini dapat dapat dijabarkan dengan matrik berikut
ini.
.2.14
.2.15
Dimana
Contoh penerapan matrik Jacobi pada 3 DOF serial munipulator
Gambar 2.7 3 DOF serial manipulator
Pertama harus ditentukan dulu nilai vector Zi-1 dan i-1p3*
berdasarkan rumus pada persamaan 2.14 dan 2.15 untuk i = 1, 2,
3sehingga
Subsitusikan hasil persamaan diatas kedalam persamaan 2.13, maka
didapatkan hasil seperti berikut
Dimana
Jika point referensi yang diambil menjadi (x2, y2), maka bentuk
matrik jacobinya akan berubah menjadi
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
_1400938654.unknown
_1401784492.unknown
_1401787422.unknown
_1401794507.unknown
_1401795200.unknown
_1401795199.unknown
_1401794097.unknown
_1401787435.unknown
_1401784912.unknown
_1401786161.unknown
_1401786269.unknown
_1401785271.unknown
_1401786041.unknown
_1401784619.unknown
_1401782670.unknown
_1401784479.unknown
_1401782606.unknown
_1401782584.unknown
_1400931188.unknown
_1400935454.unknown
_1400936822.unknown
_1400937856.unknown
_1400936962.unknown
_1400932558.unknown
_1400932481.unknown
_1400930148.unknown
_1400930239.unknown
_1400929521.unknown
_1400930086.unknown
_1400928832.unknown