02 demonstracoes

Em Lógica, estudamos como demonstrar a validade de argumentos formais na forma P → Q.

Neste contexto, a validade do argumento é absoluta (depende apenas da forma ou estrutura do argumento e não do conteúdo ou significado

das proposições).

No entanto, muitas vezes queremos provar argumentos que são verdadeiros em um determinado

contexto (para uma interpretação particular).

Queremos provar que P → Q é verdadeiro para um contexto específico. Podemos usar fatos que

dependem do contexto como hipóteses e então provar que o argumento é verdadeiro (Teorema).

Não existe uma receita para demonstração de Teoremas. Muitas vezes, é muito difícil demonstrar

teoremas utilizando Lógica Formal.

Existem técnicas de demonstração “menos formais”:‣ não usam elementos das lógicas proposicional e de

predicados;‣ não são escritas passo a passo, com justificativas formais a

cada passo.‣ os passos de dedução e raciocínio são explicados em

linguagem natural.

Entretanto, essas demonstrações podem ser descritas com Lógica Formal.

Conjectura

• Podemos formular uma conjectura por meio de raciocínio indutivo

‣ concluir algo baseado na experiência

• Podemos entender uma conjectura como um argumento que não se sabe se é verdadeiro ou não.

Teorema

• Se provamos que uma conjectura é verdadeira, então ela se torna um Teorema.

‣ Para isso podemos usar raciocínio dedutivo (técnicas de demonstração)

• Podemos provar que uma conjectura é falsa encontrando um contra-exemplo (um caso em que P é verdadeiro e Q é falso)

Exemplo

• Prove ou encontre um contra-exemplo para a seguinte conjectura:

‣ “Para todo número inteiro positivo n, n! ≤ n2”.

Técnicas de Demonstração

Sumário

• Técnicas básicas de demonstração

• Primeiro Princípio da Indução

• Segundo Princípio da Indução

Técnicas Básicas de Demonstração

• Demonstração por Exaustão

• Demonstração Direta

• Demonstração por Contraposição

• Demonstração por Absurdo

Demonstração Exaustiva

• Se uma conjectura é uma asserção sobre uma coleção finita de elementos, sua validade pode ser provada verificando-se se ela é verdadeira para cada elemento coleção.

‣ consiste em exaurir todos os casos possíveis.

Exemplo

• Prove a conjectura:

‣ “Se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6, então ele é também divisível por 3”

Demonstração Direta

• Consiste em supor que a hipótese P é verdadeira e então deduzir a conclusão Q

Exemplo

• Prove a conjectura:

‣ Se x e y são números inteiros pares, então o produto xy é um número inteiro par.

Sabemos que se z é um número inteiro par, então existe um número inteiro k,

tal que z = 2k. (definição de um número par).

Sejam x = 2m e y = 2n,onde m e n são inteiros.

Então xy = (2m)(2n) = 2(2mn),onde 2mn é um inteiro.

Logo o produto xy tem a forma 2k,onde k = 2mn é um inteiro,

e, portanto, é par, como queríamos demonstrar

Contraposição

• Demonstração por contraposição consiste na técnica de provar P → Q através da demonstração direta de Q′ → P′.‣ Sabemos que (Q′ → P′) → (P → Q)

‣ Q′ → P′ é a contrapositiva de (P → Q)

Exemplo

• Prove que a seguinte conjectura:

‣ Se n2 é ímpar, então n é ímpar.

n2 é ímpar → n é ímpar

A contrapositiva é:n é par → n2 é par

Temos que n2 = nn

Como n é par, n = 2k. Assim, n2 = 2k 2k = 2(k+k).

Portanto, n2 é par.

Demonstração por Absurdo

• (P ∧ Q′ → 0) → (P → Q) é uma tautologia

• Assim, para provar a conjectura P → Q, basta provar que P ∧ Q′ → 0

• Ou seja, em uma demonstração por absurdo, supomos que a hipótese e a negação da conclusão são ambas verdadeiras e tentamos deduzir uma contradição.

Exemplo

• Prove por absurdo a proposição:

‣ “Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.”

‣ Se x+x=x, então x=0.

‣ x+x=x → x=0

Proposição: x+x=x → x=0

Suponhamos P ∧ Q′ → 0: (x+x=x) ∧ (x≠0) → 0

Ou seja, x+x=x e x é diferente de zero.Assim, 2x=x e x≠0.

Como x≠0, podemos dividir ambos os lados da primeira equação por x. Logo,

2x/x = x/x2 = 1

O que é uma contradição, portando x+x=x → x=0.

TécnicaAbordagem para provar

P → QObservações

Exaustão Demonstrar P → Q para todos os casos.

É viável apenas para um número finito de

casos.

Direta Suponha P, deduza Q.

Contraposição Suponha Q′, deduza P′.

AbsurdoSuponha P ∧ Q′,

chegue a uma contradição.

Indicada para os casos em que Q diz

que algo não é verdade.

Exercício

• Prove as seguintes conjecturas:

‣ “Para todo inteiro positivo n, n2+n+1 é primo”;

‣ “Se n=25, 100 ou 169, então n é um quadrado perfeito e também é uma soma de dois quadrados perfeitos”;

‣ “a soma de dois inteiros ímpares é par”.

Exercício

• Demonstre que, dados dois números inteiros positivos x e y,

‣ x < y se, e somente se, x2 < y2

Resumo

• O raciocínio indutivo é usado para formular uma conjectura baseada na experiência.

• O raciocínio dedutivo é usado para provar uma conjectura ou refutá-la através de um contra-exemplo.

• Ao provar uma conjectura sobre algum assunto, pode-se usar fatos sobre o assunto.

Problema?

• Demonstre que:

‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2

• Podemos usar demonstração exaustiva ou direta?

Sumário




Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!



a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.


b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo.





c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro.




c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro.

...





b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo.



b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo.


Portanto, eu consigo subir n degraus.

Primeiro Princípio de Indução Matemática

P(1) ∧ (∀k)[P(k)→P(k+1)] →(∀n)P(n),

k, n são inteiros positivos

P(1) é a base da indução;

(∀k)[P(k)→P(k+1)] é o passo indutivo,

onde P(k) é a hipótese de indução.

Passos para demonstração usando o primeiro princípio

indução

1. Prove a base da indução

2. Suponha P(k)

3. Prove P(k+1)

Exemplo

• Demonstre que:

‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2

Exercício

• Usando o primeiro princípio de indução, demonstre que:

‣ A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.

‣ Para qualquer inteiro positivo n, o número 22n-1 é divisível por 3.

Sumário




Segundo Princípio de Indução

Se P(1) é verdade e (∀k)[P(r) → P(k+1), 1≤ r ≤ k,então (∀n)P(n)

• Em geral, as propriedades podem ser demonstradas por ambas as formas de indução. Mas, para a maioria dos problemas, existe uma forma mais apropriada.

‣ A diferença entre as formas está apenas na hipótese de indução

• Usamos a segunda forma quando:

‣ o problema se divide no meio ao invés de crescer em um dos lados.

‣ o caso k+1 depende de resultados anteriores a k

Exemplo

• Demonstre que para n ≥ 2, n é um número primo ou é um produto de números primos.

Exemplo 2

• Prove que qualquer franquia postal, maior ou igual a 8 centavos, pode ser obtida usando-se selos de 3 e 5 centavos.

‣ P(n): para se obter n centavos em selos precisa-se apenas de selos de 3 e 5 centavos (n ≥ 8)

Resumo

• A Indução Matemática é uma técnica para provar propriedades de números inteiros positivos

• Uma demonstração por indução não precisa começar com 1.

• As propriedades podem ser demonstradas por qualquer um dos princípios de indução, mas uma das formas pode ser mais apropriada em cada caso.

02 demonstracoes

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