02 a -kuliah math diskrit

Jl. Jati V Blok H/96 Rt 10/12 Perum Jatimulya, Bekasi Phone : 021-82405667 Mobile : 081317222010 ; 081283624343

E-mail : [email protected] E-mail : [email protected]

,

ح�يم ر�� اا ح ر ح� ر�� اهللاحال حم ح�ــــــــــــــــ ح�

Pengantar Matematika Diskrit

U.DARMANTO SOER Lab Ilmu dan Rekayasa Komputasi Kelompok Keahlian Informatika

Institut Teknologi Bandung

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKASekolah Teknik Elrektro dan Informatika

Bahan Kuliah IF2091 Matemati Diksrit

3

Selamat Datangdi

Matematika Diskrit

Semester III 2014/2015U.DARMANTO SOER Lab Ilmu dan Rekayasa Komputasi Kelompok Keahlian Informatika


Salah satu mata kuliahnya….

Math.Diskrit

5

Referensi

PustakaKenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, 5th edition.

On the Webhttp://www.math.itb.ac.id/~diskrit/(berisi informasi perkuliahan dan slide dalam .ppt file)

6

Evaluasi

Test regular: 2 kali 80%

Diskusi kelompok: 2 kali 20%

7

Matematika Diskrit ?

Cabang matematika yang mempelajari tentang obyek-obyek diskrit.

Berbagai masalah dapat dipecahkan dengan menggunakan matematika diskrit: 1. Ada berapa cara untuk menentukan password yang valid untuk suatu

sistem komputer?2. Ada berapa alamat internet yang valid?3. Bagaimana memetakan genetik manusia? (Genome project)4. Berapa peluang untuk menang dalam suatu undian?5. Apakah ada link antara dua komputer dalam suatu jaringan komputer?6. Bagaimana mengatur jadwal take-off/landing/parkir pesawat-pesawat di

bandara?7. Bagaimana menentukan lintasan terpendek antara dua kota dengan

menggunakan sistem angkutan umum?8. Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan data, dll ?

8

Mengapa belajar Matematika Diskrit ?

1. Landasan berbagai bidang matematika : logika, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak, kombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit).

2. Landasan ilmu komputer : struktur data, algoritma, teori database, bahasa formal, teori automata, teori compiler, sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).

3. Mempelajari latar belakang matematis yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit), kimia, ilmu-ilmu teknik, biologi, telekomunikasi, dsb.

9

Silabus

1. Logika2. Mathematical reasoning3. Induksi dan rekursi4. Pencacahan (Counting)

Prinsip dasar Prinsip sarang merpati Permutasi dan kombinasi Koefisien binomial

5. Peluang diskrit6. Teknik pencacahan7. Relasi

.

10

Silabus

1. Teori Himpunan (set)

2. Relasi dan Fungsi

3. Matriks

4. Barisan dan Deret (Bilangan dan Geometri)

5. Logika Matematika

6. Teori Bilangan Bulat (Integers)

.11

7. Aljabar Boolean (Boolean algebra)8. Kombinatorial (combinatorics)9. Teori Peluang Diskrit (discrete probability)10. Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens11. Pohon (Tree)12. Teori Graf (graph)13. Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)14. Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal

language theory)

Silabus

12

Logika

1. Penting untuk bernalar matematis2. Logika: sistem yang didasarkan atas proposisi.3. Proposisi : pernyataan yang bernilai benar atau

salah, tapi tidak kedua-duanya. 4. Kita katakan bahwa nilai kebenaran dari suatu

proposisi adalah benar (T) atau salah (F). 5. Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia

digital.

13

Contoh Proposisi - 1

”Gajah lebih besar daripada kucing.”

Ini suatu pernyataan ?Ini suatu pernyataan ?yesyes

Ini suatu proposisi ?Ini suatu proposisi ?yesyes

Apa nilai kebenaran dariApa nilai kebenaran dari proposisi proposisi ini ?ini ?

truetrue

14

Contoh Proposisi (2)

“1089 < 108.9

Ini pernyataan ?Ini pernyataan ?yesyes

Ini proposisi ?Ini proposisi ?yesyes

Apa nilai kebenaran dariApa nilai kebenaran dari proposisi proposisi ini ?ini ?

falsefalse

15

Contoh proposisi (3)

”x > 22.5”


Ini proposisi ?Ini proposisi ?nono

Nilai kebenarannya bergantung pada nilai Nilai kebenarannya bergantung pada nilai xx, , tapi nilai ini tidak spesifik. tapi nilai ini tidak spesifik.

Kita katakan tipe pernyataan ini adalah Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsifungsi proposisi atau proposisi atau kalimat terbukakalimat terbuka. .

16


“Bulan ini Februari dan 24 < 5.”



Nilai kebenaran dari Nilai kebenaran dari proposisi tersebut ?proposisi tersebut ?

falsefalse

17


“Jangan tidur di kelas.”

Ini pernyataan ?Ini pernyataan ?nono

Ini proposisi ?Ini proposisi ?nono

Hanya pernyataan yang dapat menjadi Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.proposisi.

Ini permintaan.Ini permintaan.

18


”Jika gajah berwarna merah,mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe.”



Apa nilai kebenaran proposisi Apa nilai kebenaran proposisi tersebut ?tersebut ?

probably falseprobably false

19


”x < y jika dan hanya jika y > x.”



Apa nilai kebenaran dari proposisi Apa nilai kebenaran dari proposisi tsb ?tsb ?

truetrue

… … sebab nilai kebenarannya sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai tidak bergantung pada nilai x dan y. x dan y.

SoalLatihan/PR

KULIAH MATEMATIKA DISKRITProgram Studi Teknik

Elektro

1. Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

2. 2 + 2 = 4.3. Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.4. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir5. Serahkan uangmu sekarang 6. Kemarin hari hujan.7. Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat

Celcius.Nyataakan apakah ini merupakan pernyataan,

proposisi dan apa nilai kebenarannya

KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

1. Diketahui proposisi berikut ini :p : Pemuda itu tinggiq : Pemuda itu tampan

Nyatakan proposisi berikut (asumsikan “Pemuda itu pendek” berarti “Pemuda itu tidak tinggi”) ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik):

(a) Pemuda itu tinggi dan tampan(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak

tampan(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun

tampan

SoalLatihan/PR

KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

2. Jika Diketahui x : Anda berusia 17 tahuny : Anda dapat memperoleh SIMNyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi:(a) Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM.(b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun.(c) Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun.(d) Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun.(e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun.

SoalLatihan/PR

23

Menggabungkan Proposisi

Seperti dalam contoh sebelumnya, satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk sebuah proposisi majemuk (compound proposition).

Selanjutnya, notasi proposisi diformalkan dengan menggunakan alfabet seperti p, q, r, s, dan dengan memperkenalkan beberapa operator logika.

24

Operator Logika

1. Negasi (NOT)

2. Konjungsi - Conjunction (AND)

3. Disjungsi - Disjunction (OR)

4. Eksklusif Or (XOR)

5. Implikasi (JIKA – MAKA)

6. Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb menggabungkan proposisi-proposisi.

25

1. Negasi (NOT)

Operator Biner, Simbol:

P P

true false

false true

26

2. Conjunction (AND)


P Q PQ

true true true

true false false

false true false

false false false

27

3. Disjunction (OR)


P Q PQ

True true true

true false true

false true true

false false false

28

4. Exclusive Or (XOR)


P Q PQ

true true false

true false true

false true true

false false false

29

5. Implikasi (JIKA - MAKA)

Implikasi p q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.

falsefalsetrue

truetruefalse

truefalsefalse

truetruetrue

PQQP

30

Implikasi p q

Jika p, maka q Jika p, qp mengakibatkan qp hanya jika qp cukup untuk qSyarat perlu untuk p

adalah q

q jika pq ketika pq diakibatkan pq setiap kali pq perlu untuk pSyarat cukup untuk q

adalah p

31

Contoh Implikasi

Implikasi ”Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.”

bernilai benar untuk semua hari kecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7 bernilai salah.

Kapan pernyataan berikut bernilai benar, mohon diskusikan dengan rekan mahasiswa lain ?

”Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi ke Lembang.”

32

6. Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)


P Q PQ

true true true

true false false

false true false

false false true

33

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dapat digabungkan dengan operasi untuk membentuk pernyataan baru.

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

true true true false false

true false false true true

false true false true true

false false false true true

34

Pernyataan yang Ekivalen

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

true true false false true

true false true true true

false true true true true

false false true true true

Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalen secara logika, karena

(PQ)(P)(Q) selalu benar.

35

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar.

Contoh:

1. R(R)

2. (PQ)(P)(Q)

Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.

Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.

36

Tautologi dan Kontradiksi (2)

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh: 1. R(R)2. ((PQ)(P)(Q))

Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.

37

Konversi, Kontrapositif, & Invers

1. q p disebut konversi dari p q

2. q p disebut kontrapositif dari p q

3. p q disebut invers dari p q

Matematika Diskrit - Logika

U.DARMANTO SOER Lab Ilmu dan Rekayasa Komputasi Kelompok Keahlian Informatika


INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKASekolah Teknik Elrektro dan Informatika

Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diksrit

.

TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA. KERJAKAN TUGAS YANG DIBERIKAN DENGAN

BAIK DAN BENAR, MUNGKIN BISA MENJADI SOAL UTS !

.

.40

41

02 a -kuliah math diskrit

News & Politics