02 02 01 Derivada de Una Funcion en Un Punto

Diapositiva 1Sesión 2.2
La derivada como función.
Habilidades
Interpreta geométricamente la derivada.
Interpreta la derivada como una razón de cambio.
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La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
¿y cuál es esta recta?
Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva.
Introducción
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El problema de la recta tangente
y = f(x)
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
x
y
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
x
y
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
x
y
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
x
y
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
El problema de la recta tangente
a
x
y
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Definición:
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La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente:
siempre que exista este límite.
Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular cómo:
Observación:
El problema de la velocidad instantánea
Velocidad media en (a, a + h):
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o
s
s(a)
s(a)
s
o
12
s(a)
s
o
13
s(a)
s
o
14
s(a)
s
o
15
s(a)
s
o
t = a
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Definición:
La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias:
siempre que exista este límite.
17
Definición:
La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a), se define como:
si el límite existe.
18
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Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a.
2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a.
3. La derivada de una función es un límite.
4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto.
Observación:
Interpretaciones de la derivada
y = f(x) en el punto de abscisa a.
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Mecánica:
dada por y = s(t) en el instante t = a.
General:
respecto a x cuando x = a.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
Ejercicios: 4, 8, 17, 19, 24 y 28.
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