0.1.1. Dekarto koordinačių sistemainga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Studiju_medziaga/2008R/... · x= cx +Rcost, y= cy +Rsint, 0 6 t

0.1. KOORDINAČIŲ METODAS. VEKTORINĖ ALGEBRA 1

0.1. Koordinačių metodas. Vektorinė algebra

0.1.1. Dekarto koordinačių sistema

Dekarto stačiakampę (ortogonaliąją) koordinačių sistemą sudaro trysviena kitai statmenos ašys ir jų susikirtimo (koordinačių pradžios) taškas.

1 pav. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema

Taško A(

ax, ay, az

)

atstumas nuo koordinačių pradžios

|OA| =√

a2x + a2

y + a2z.

Atstumas tarp dviejų taškų A(

ax, ay, az

)

ir B(

bx, by, bz)

|AB| =

√

(bx − ax)2 +(

by − ay

)2+ (bz − az)

2.

2

0.1.2. Kreivės ir paviršiai

2 pav. Tiesės plokštumoje

Sfera – erdvės taškų S(x, y, z), kurių atstumas iki taško C(

cx, cy, cz)

(sferos centro) yra pastovus ir lygus teigiamam skaičiui R (sferos spinduliui).

|SC| =

√

(x− cx)2 +(

y − cy)2

+ (z − cz)2 = R.

Arba kitu pavidalu:

(x− cx)2 +(

y − cy)2

+ (z − cz)2 = R2.

0.1 pavyzdys. Parodykime, kad

x2 − 4x+ y2 + 2y + z2 + 3 = 0

yra sferos lygtis ir raskime jos centrą ir spindulį.


Perrašome lygį taip

(

x2 − 4x+ 4 − 4)

+(

y2 + 2y + 1 − 1)

+ z2 + 3 =

(

x2 − 4x+ 4)

+(

y2 + 2y + 1)

+ z2 − 4 − 1 + 3 = 0

Taigi

(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 2

ir gavome sferos centrą C(2,−1, 0) bei spindulį R =√

2.

Kreivės parametrinės lygtys

Tarkime, kad M(x, y, z) yra bet kuris kreivės γ taškas. Jei visiems kreivėsγ taškams M(t) = M(x(t), y(t), z(t)) galioja lygybės

x = ϕ(t),y = ψ(t),z = η(t),t0 6 t 6 t1,

tai jos vadinamos kreivės γ parametrinėmis lygtimis.

0.2 pavyzdys. Apskritimo, kurio centras C(

cx, cy)

ir spindulys R,taškai išreiškiami parametrinėmis lygtimis

x = cx +R cos t,y = cy +R sin t,

0 6 t < 2π.

0.1 pratimas. Raskime tiesės, einančios per koordinačių pradžią irper tašką A(1, 1, 1) susikirtimo su 0.1 pavyzdžio sfera taškus.

Sprendimas. Tiesės taškams galioja lygybės x = y = z = t, −∞ < t < +∞.Taigi turime

(

t2 − 4t)

+(

t2 + 2t)

+ t2 + 3 =

3t2 − 2t+ 3 = 0.

Matome, kad kvadratinė lygtis neturi realiųjų sprendinių ir todėl tiesė irsfera nesusikerta.

4

Kryptinės atkarpos ir vektoriai

Tarkime, kad A(

ax, ay

)

, B(

ax, ay

)

yra skirtingi plokštumos taškai.Nagrinėsime atkarpas AB. Pastebėkime, kad taškų eilės tvarka svarbi irtodėl AB 6= BA. Atkarpos AB ilgis lygus atstumui tarp taškų A ir B:

∣

∣AB∣

∣ = |AB| =

√

(bx − ax)2 +(

by − ay

)2.

Pastebėkime, kad∣

∣AB∣

∣ =∣

∣BA∣

∣.Kryptinės (orientuotosios) atkarpos kryptį apibrėžia kampas α, kurį ji

sudaro su abscisių ašies teigiama kryptimi.

3 pav. Kryptinės atkarpos

Tarkime, kad M(1, 1), N(2, 2), K(3, 1). Tada αMN = π4, αNM = 5π

4,

αNK = 7π4

, αKN = 3π4

, αMK = 0, αKM = π.Nagrinėsime visų kryptinių atkarpų aibę K = {AB}.


0.1 apibrėžimas. Dvi kryptines atkarpas A1B

1∈ K ir A

2B

2∈ K

vadinamos ekvipolenčiomis (rašome A1B

1∼= A

2B

2), jei

1)∣

∣A1B

1

∣

∣ =∣

∣A2B

2

∣

∣,2) αA

1B

1

= αA2B

2

.

Pastebėkime, kad kampo reikšmė αAA neapibrėžta. Susitarkime, kad(∀A,B ∈ K) AA ∼= BB.

0.1 teorema. Tarkime, kad turime taškų Dekarto koordinatesA1

(

a1x, a1y

)

, A2

(

a2x, a2y

)

, B1

(

b1x, b1y

)

, B2

(

b2x, b2y

)

. Atkarpos A1B

1

ir A2B

2ekvipolenčios:

A1B

1∼= A

2B

2

tada ir tik tada, kai

b1x − a1x = b2x − a2x & b1y − a1y = b2y − a2y.

0.2 apibrėžimas. Dvimačiu vektoriumi vadiname dviejų realiųjų skai-čių porą: ~v =

(

vx, vy

)

. Vektorių ~0 = (0, 0) vadiname nuliniu. Visųdvimačių vektorių aibę {~v} žymėsime R2, o trimačių – R3.

Pažymėkime vektorius−→A1B1=

(

b1x − a1x, b1y − a1y

)

,−→A2B2=

(

b2x − a2x, b2y − a2y

)

. Tada 0.1 teo-remą galima perrašyti taip:

A1B

1∼= A

2B

2⇔

−→A1B1=

−→A2B2 .

0.1.3. Vektorių algebra

Tarkime, kad ~a =(

ax, ay, az

)

∈ R3, ~b =(

bx, by, bz)

∈ R3. Apibrėžkimevektoriaus daugybą iš skaičiaus (skaliaro) α ∈ R ir vektorių sudėtį:

α · ~a =(

α · ax, α · ay, α · az

)

,

~a+~b =(

ax + bx, ay + by, az + bz)

Operacijų (veiksmų) savybės

1) 0 · ~v = ~0;2) α ·~0 = ~0;3) ~a+~b = ~b+ ~a (komutatyvumo savybė);

6

4)(

~a+~b)

+ ~c = ~a+(

~b+ ~c)

(asociatyvumo savybė);

5) ~0 + ~v = ~v +~0 = ~v;

6) α ·(

~a+~b)

= α · ~a+ α ·~b (distributyvumo savybė).

0.1 pastaba. Skaičių lentelė (m eilučių ir n sulpelių)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

vadinama matrica ir žymima∥

∥

∥aij

∥

∥

∥

m×n. Matricos daugybos iš skai-

čiaus ir matricų sudėties operacijos apibrėžiamos taip:

α ·∥

∥aij

∥

∥

m×n=

∥

∥α · aij

∥

∥

m×n,

∥

∥aij

∥

∥

m×n+

∥

∥bij∥

∥

m×n=

∥

∥aij + bij∥

∥

m×n.

Tarkime, kad αAB = αCD. Tada sakome, kad vektoriai−→AB ir

−→CD

yra vienakrypčiai ir žymime−→AB↑↑

−→CD. Jei αAB − αCD = ±π vektoriai

vadinami priešpriešiniais (žymime−→AB↑↓

−→CD). Nenuliniai vektoriai, kurie

yra vienakrypčiai arba priešpriešiniai, vadinami kolineariaisiais

Nenuliniai vektoriai ~u =(

ux, uy, uz

)

ir ~v =(

vx, vy, vz

)

yra kolineariejitada ir tik tada, kai egzistuoja toks skaičius λ, kad

~u = λ · ~v.

Arbaux = λ · vx, uy = λ · vy, uz = λ · vz.

Turime{

~u ↑↑ ~v , kai λ > 0,

~u ↑↓ ~v , kai λ < 0.

Pastebėkime, kad kolineariųjų vektorių koordinatės yra proporcingos:

ux

vx

=uy

vy

=uz

vz

= λ.


Vektoriaus ilgis

|~u| =√

u2x + u2

y + u2z.

Kai ~u ir ~y yra koliniearieji vektoriai, tai

|~u| = |λ| · |~v| .

Du nenuliniai vektoriai ~u ir ~y yra lygūs tada ir tik tada, kai

|~u| = |~v| & ~u ↑↑ ~y.

Vektorius yra nulinis (~v = ~0) tada ir tik tada, kai |~v| = 0.

0.1.4. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu

Tarkime, kad A(

ax, ay, az

)

6= B(

bx, by, bz)

. Raskime tokį atkarpos ABtašką Mλ (xλ, yλ, zλ), kad galiotų lygybė

|AM ||AB| = λ.

Vektoriai−→AM ir

−→AB yra kolinearūs. Todėl

−→AM= λ

−→AB .

Iš čia gauname

xλ − ax = λ (bx − ax) , yλ − ay = λ(

by − ay

)

, zλ − az = λ (bz − az) .

Arba

xλ = ax + λ (bx − ax) , yλ = ay + λ(

by − ay

)

, zλ = az + λ (bz − az) .

Kai 0 < λ < 1 gauname vidinius atkarpos AB taškus. Pavyzdžiui,

M 1

2

(

ax+bx

2,

ay+by

2,

az+bz

2

)

– atkarpos vidurinis taškas. Ribiniai atvejai: M0 =

A, M1 = B. Kai λ > 1, turime−→AM↑↑

−→AB. Pavyzdžiui, taškas M2 yra toks

taškas, kad B bus atkarpos AM2 vidurio taškas. Kai λ < 0, gauname−→AM↑↓

−→AB. Atkarpos M−1

B vidurio taškas yra A.

8

0.2 pastaba. Tarkime, kad parametras λ įgyja visas realiąsias reikš-mes (rašome ∀λ ∈ R). Tada taškai Mλ yra visi tiesės AB (ir tik šiostiesės) taškai. Taigi bet kurį tiesės AB tašką M atitinka viena para-metro λ reikšmė ir atvirkščiai. Todėl gauname tiesės AB parametrineslygtis (žr. 0.1 pratimą)

x = ax + (bx − ax) t,y = ay +

(

by − ay

)

t,

z = az + (bz − az) t,−∞ < t < +∞.

0.2 pratimas. Raskite trikampio A(1, 2, 3), B(2, 7, 9), C(4, 1, 0) pu-siaukraštinių (medianų) susikirtimo tašką.

Sprendimas. Raskime atkarpos BC vidurio tašką M .Turime M

(

2+4

2, 7+1

2, 9+0

2

)

. Pusiaukraštinių susikirtimo taškas S(

sx, sy, sz

)

bus toks atkarpos AM taškas, kad |AS||AM | = 2

3.

Todėl

sx = 1+ (3 − 1)2

3=

7

3, sy = 2+ (4 − 2)

2

3=

10

3, sz = 3+

(

9

2− 3

)

2

3= 4.

Taigi S(

7

3, 10

3, 4

)

.

0.1.5. Vektorių tiesinė priklausomybė

Tarkime, kad ~v =(

vx, vy

)

, ~u =(

ux, uy

)

, ~w =(

wx, wy

)

ir

~w = µ~v + ν ~u.

Tada sakome, kad vektorius ~w yra vektorių ~v ir ~u tiesinė kombinacija (da-rinys). Realieji skaičiai µ ir ν vadinami tiesinės kombinacijos koeficientais.Raskime juos, kai žinomi trys vektoriai ~v, ~u ir ~w. Turime

{

µ vx + ν ux = wx,

µ vy + ν uy = wy.

Antrosios eilės determinantai

Reiškinys

detA =

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11a22 − a12a21

vadinamas antrosios eilės determinantu.


0.2 teorema. Vektoriai ~v ir ~u nėra kolinearūs tada ir tik tada, kai∣

∣

∣

∣

vx ux

vy uy

∣

∣

∣

∣

6= 0.

0.3 teorema. Tarkime, kad vektoriai ~v ir ~u nėra kolinearūs. Tadatiesinės kombinacijos koeficientai yra tokie (Kramerio formulės)

µ =

∣

∣

∣

∣

wx ux

wy uy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vx ux

vy uy

∣

∣

∣

∣

,

ν =

∣

∣

∣

∣

vx wx

vy wy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vx ux

vy uy

∣

∣

∣

∣

0.3 apibrėžimas. Vektoriai ~v1, ~v2, . . ., ~vn vadinami tiesiškai nepri-klausomais, kai lygtis

λ1~v1 + λ2~v2 + · · · + λn~vn = ~0

turi tik vieną nulinį (trivialų) sprendinį λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Vektoriai {~vj , j = 1, 2, . . . , n} bus tiesiškai priklausomi, jei tarp jų yranulinis vektorius. Iš 0.3 teoremos gauname, kad bet kurie trys dvimačiaivektoriai yra tiesiškai priklausomi. Du vektoriai yra tiesiškai nepriklausomitada ir tik tada, kai jie nėra kolinearūs.

0.4 apibrėžimas. Trys trimačiai tiesiškai nepriklausomi vektoriai v1 =(

v1x, v1y, v1z

)

, v2 =(

v2x, v2y , v2z

)

, v3 =(

v3x, v3y, v3z

)

vadinami ne-komplanariais.

Trečiosios eilės determinantai

Reiškinys

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

vadinamas trečiosios eilės determinantu.

10

0.4 teorema. Vektoriai ~v1, ~v2 ir ~v3 yra nekomplanarūs tada ir tiktada, kai

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v1x v1y v1z

v2x v2y v2z

v3x v3y v3z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0

Bet kurie trys nekomplanarūs vektoriai ~v1, ~v2 ir ~v3

sudaro erdvės R3

bazę. Skaičiai λ1, λ2, λ3, kai

~w = λ1 ~v1 + λ2 ~v2 + λ3 ~v3

vadinami vektoriaus ~w =(

wx, wy, wz

)

koordinatėmis bazėje {~vj , j = 1, 2, 3}.Koordinatėms λj rasti sudarome tiesinių lygčių sistemą

v1xλ1 + v2xλ2 + v3xλ3 = wx,

v1yλ1 + v2yλ2 + v3yλ3 = wy,

v1zλ1 + v2zλ2 + v3zλ3 = wz.

Sistemą galima išspręsti taip (Kramerio formulės):

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v1x v2x v3x

v1y v2y v3y

v1z v2z v3z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

wx v2x v3x

wy v2y v3y

wz v2z v3z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v1x wx v3x

v1y wy v3y

v1z wz v3z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v1x v2x wx

v1y v2y wy

v1z v2z wz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

λ1 =D1

D, λ2 =

D2

D, λ3 =

D3

D.

0.1.6. Vektorių skaliarinė sandauga

Susitarkime, kad kampas ϕ tarp vektorių−→AB ir

−→AC yra intervale 0 ≤ ϕ ≤ π.

0.5 apibrėžimas. Dviejų vektorių−→AB ir

−→AC skaliarine sandauga

vadinamas skaičius

(−→AB,

−→AC) =

∣

∣

∣

∣

−→AB

∣

∣

∣

∣

·∣

∣

∣

∣

−→AC

∣

∣

∣

∣

· cosϕ


Skaliarinės sandaugos savybės

1. (~a,~b) = (~b,~a) (komutatyvumas).2. (~a,~a) = |~a|2.3. (~a,~b) = 0 tada ir tik tada, kai ~a⊥~b arba ~a = ~0, arba ~b = ~0.4. Jei ~e1, ~e2, ~e3 yra ortonormuotoji bazė, tai (~ei, ~ej) = δij .1

5. (α~a,~b) = α(~a,~b).6. (~a+~b,~c) = (~a,~c) + (~b,~c).7. Jei ~a = α1~e1 + α2~e2 + α3~e3, ~b = β1~e1 + β2~e2 + β3~e3 ir ~e1, ~e2, ~e3 yraortonormuotoji bazė, tai (~a,~b) = α1β1 + α2β2 + α3β3.

Taigi, kai ~a = (α1, α2, α3) – vektoriaus koordinatės ortonormuotoje ba-zėje, jo ilgis

|~a| =√

α21+ α2

2+ α2

3.

Kampo tarp vektorių kosinusas šiuo atveju išreiškiamas taip:

cosϕ =(~a,~b)

|~a| ·∣

∣

∣

~b∣

∣

∣

.

Atstumas tarp taškų X(x1, x2, x3) ir Y (y1, y2, y3) Dekarto stačiakampėjekoordinačių sistemoje lygus

∣

∣

∣

∣

−→XY

∣

∣

∣

∣

=√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2.

Krypties kosinusai

Tarkime, kad ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) – Dekarto stačiakampiųkoordinačių sistemos koordinatiniai vektoriai (ortai). Tada

(~i,~i) = (~j,~j) = (~k, ~k) = 1,

(~i,~j) = (~i, ~k) = (~j, ~k) = 0.

Kai

∣

∣

∣

∣

−→XY

0∣

∣

∣

∣

= 1, turime

(

−→XY

0

,~i

)

= cosα,

(

−→XY

0

,~j

)

= cos β,

(

−→XY

0

, ~k

)

=

cos γ. Taigi−→XY

0

= (cosα, cos β, cos γ).

1Reiškinys δij =

(

1, kai i = j

0, kai i 6= jvadinamas Kronekerio simboliu.

12

0.1.7. Vektorių vektorinė sandauga

0.6 apibrėžimas. Vektorių ~x ir ~y vektorine sandauga vadinamastoks vektorius [~x, ~y] = ~z, kad1) |~z| = |~x| · |~y| · sinϕ, ϕ – kampas tarp vektorių ~x ir ~y;2) ~z⊥~x ir ~z⊥~y;3) vektoriaus ~z kryptį parinkime taip, kad žiūrint iš ~z galo, vektorius~x sutaps su vektoriumi ~y, pasukus jį kampu ϕ prieš laikrodžio rodyklę.

4 pav. Vektorių vektorinė sandauga

Pastebėkime, kad vektorinė sandauga yra antikomutatyvi: [~y, ~x] = − [~x, ~y].Jos geometrinė prasmė: vektoriaus ~z = [~x, ~y] ilgis |~z| = |~x| · |~y| · sinϕ lyguslygiagretainio, sudaromo vektoriais ~x ir ~y, plotui.

Vektorinė sandauga kartais žymima ~x× ~y, o skaliarinė – ~x · ~y.Iš vektorinės sandaugos apibrėžimo gauname:

~i×~i =~j ×~j = ~k × ~k = ~0,

~i×~j = ~k, ~j × ~k =~i, ~k×~i =~j,

~j ×~i = −~k, ~k ×~j = −~i, ~i× ~k = −~j.


Vektorinės sandugos reiškimas koordinatėmis

~a×~b = (ax~i + ay

~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k) =

= axbx(~i×~i) + axby(~i ×~j) + axbz(~i× ~k) +

+aybx(~j ×~i) + ayby(~j ×~j) + aybz(~j × ~k) +

azbx(~k×~i) + azby(~k ×~j) + azbz(~k× ~k) =

=~i(aybz − azby) +~j(azbx − axbz) + ~k(axby − aybx) =

=~i

∣

∣

∣

∣

ay az

by bz

∣

∣

∣

∣

−~j∣

∣

∣

∣

ax az

bx bz

∣

∣

∣

∣

+ ~k

∣

∣

∣

∣

ax ay

bx by

∣

∣

∣

∣

.

Taigi

~a×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

ax ay az

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

0.1.8. Vektorių mišrioji sandauga

0.7 apibrėžimas. Trijų vektorių ~a, ~b ir ~c mišriąja sandauga vadi-namas skaičius (~a, [~b,~c]), kurį žymėsime ir taip (~a,~b,~c).

Skaičiaus (~a,~b,~c) modulis lygus gretasienio, sudaryto vektoriais ~a, ~b ir ~ctūriui. Mišrioji nenulinių vektorių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kaivektoriai yra komplanarūs.

(~a,~b,~c) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ax ay az

bx by bzcx cy cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

14

0.2. Tiesės ir plokštumos

0.2.1. Lygtys ir taškų aibės

Sferos lygtis

Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema(O,~i,~j,~k). Sfera su centru taške C(x0, y0, z0) ir spinduliu r yra aibė erdvėstaškų, kurių atstumas nuo taško C lygus r. Pažymėkime bet kurio tokiotaško M koordinates x, y, z. Taigi

∣

∣

∣

∣

−→CM

∣

∣

∣

∣

= r.

Arba√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r.

Iš čia gauname sferos lygtį duotoje koordinačių sistemoje

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2.

Tarkime, kad z = c. Tada turime apskritimo lygtį

(x− a)2 + (y − b)2 = r2.

Bendru atveju linijos lygtis plokštumoje užrašoma taip:

F (x, y) = 0.

Pastebėkime, kad atvejį z = c reikia skirti nuo atvejo z - bet kuris realusisskaičius, kai turime cilindro lygtį:

F (x, y) = 0, x, y, z ∈ R

Erdvės taškų aibės gali būti išreikštos lygtimis ir nelygybėmis

F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) > 0.

Pavyzdžiui, rutulio su centru taške C(x0, y0, z0) ir spinduliu r taškaitenkina nelygybę

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 6 r2.

Pastebėkime, dar, kad lygtis

F (x, y, z) − |F (x, y, z)| = 0

ekvivalenti nelygybei F (x, y, z) > 0.

0.2. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 15

Algebrinės lygtys ir paviršiai

ApibrėžimasAlgebrinis paviršius – taškų, apibrėžtų lygtimi

A1xk1yl1zm1 +A2x

k2yl2zm2 + · · · +Asxksylszms = 0.

Skaičius n = maxj=1,2,...,s

kj + lj + mj vadinamas šios algebrinės lygties eile ir

algebrinio paviršiaus laipsniu. Kai į lygtį neįeina kintamasis z, turime n -tosios eilės (laipsnio) linija:

A1xk1yl1 +A2x

k2yl2 + · · · +Asxksyls = 0. (∗)

Teorema (eilės invariantiškumas)Jei linija (paviršius) kurioje nors Dekarto koordinačių sistemoje aprašoma(*) lygtimi, tai bet kurioje kitoje Dekarto koordinačių sistemoje ji išreiškia-ma to pačio pavidalo ir tos pačios eilės lygtimi.Įrodymas. Koordinačių sistemos pakeitimas reiškia naujų koordinačių įvedi-mą:

x = a11x

′ + a12y

′ + a10,

y = a21x

′ + a22y

′ + a20.

Įstačius šiuos reiškinius į (*) lygtį, gausime to pačio laipsnio polinomą.

0.2.2. Parametrinės kreivės ir paviršiaus lygtys

Tarkime, kad kreivė yra judančio taški trajektorija. Jei kiekvienu laiko t

momentu yra žinoma taško (x, y, z) padėtis, tai jo koordinatės yra parametrot funkcijos

x = ϕ(t),

y = ψ(t),

z = χ(t), t ∈ R.

Šios lygtys yra vadinamos kreivės erdvėje parametrinėmis lygtimis. Kai nėrakoordinatės z, turime kreivę plokštumoje. Parametro t fizikinė prasmė nėrasvarbi.PavyzdžiaiParametrinės lygtys

x = r cos t, y = r sin t

apibrėžia apskritimą plokštumoje su centru koordinačių pradžioje ir spindu-liu r.

16

Tarkime, kad turime dar ir tokį kintamąjį z:

x = r cos t, y = r sin t, z = at.

Tai yra vadinamos sraigtinės kreivės parametrinės lygtys. Ji priklauso spin-

dulio r cilindrui.

Apibendrinkime parametrines lygtis ir įveskime du parametrus:

x = ϕ(u, v),

y = ψ(u, v),

z = χ(u, v), (u, v) ∈ R×R.

Šios lygtys vadinamos paviršiaus parametinėmis lygtimis.

Kūgio parametrinės lygtys

x = vf(u),

y = vg(u),

z = vh(u), (u, v) ∈ R×R.


0.2.3. Tiesių ir plokštumų lygtys

Pirmosios eilės linijos ir paviršiai

Pirmosios eilės arba tiesine lygtimi vadinama

Ax+By + Cz +D = 0.

Reikalaujama dar A2 + B2 + C2 6= 0. Kai į lygtį neįeina z, turime tašką(x, y) plokštumoje.

Teorema. Pirmosios eilės lygtimi išreiškima tam tikra plokštuma (tie-sė). Bet kurios plokštumos (tiesės) taškai yra pirmosios eilės lygties spren-diniai.

Tiesės parametrinės lygtys

Tarkime, kad tiesė l eina per tašką A(ax, ay, az) lygiagrečiai vektoriui ~r =

(rx, ry, rz). Tada bet kuriam tiesės l taškui M(x, y, z) turime−→AM ||~r. Arba

−→AM= t~r, t ∈ R.

18

Taigi turime tiesės l parametrines lygtis:

x− ax = trx,

y − ay = try,

z − az = trz, t ∈ R

.

Tarkime, kad nagrinėjama tiesė plokštumoje z = az. Tada tiesės lygtį per-tvarkome taip:

x− ax

ry=x− ay

rx= t.

Pažymėję A = 1

ry, B = − 1

rx, gauname tiesės lygtį

A(x− ax) +B(y − ay) = 0

arbaAx+By + C = 0, C = −Aax −Bay.

Tarkime, kad B 6= 0. Tada tiesės lygtį galima išspręsti ordinatės atžvilgiu:

y = kx+ b, k = −AB, b = −C

B.


Koeficientas k = tgϕ yra vadinamas tiesės krypties koeficientu. Kampastarp dviejų plokštumoje tiesių y = k1x+ b1 ir y = k2x+ b2 yra γ = ϕ2 − ϕ1

ir gali būti apskaičiuotas taip:

tg γ =tgϕ2 − tgϕ1

1 + tgϕ1tgϕ2

=k2 − k1

1 + k1k2

.

Tiesės yra statmenos, kai γ = π2

arba tg γ = ∞. Taigi turime 1+k1k2 = 0arba

k1 = − 1

k2

. Tiesės yra lygiagrečios, kai γ = 0 t. y.

k1 = k2

Plokštumos parametrinės lygtys

Tarkime, kad plokštuma α eina per tašką A(ax, ay, az) lygiagrečiai nekoli-nieariems vektoriams ~r1 = (r1x, r

1y , r

1z) ir ~r2 = (r2x, r

2y, r

2z). Tada bet kuriam

plokštumos α taškui M(x, y, z) vektorius−→AM yra plokštumoje α ir gali būti

išreikštas nekolinieariais vektoriais ~r1, ~r2:−→AM= t1 ~r1 + t2 ~r2.

20

Taigi gauname plokštumos α parametrines lygtis:

x− ax = t1r1x + t2r2x,

y − ay = t1r1y + t2r2y,

z − az = t1r1z + t2r2z , t ∈ R

.

Tiesės ir plokštumos vektorinės lygtys

Tarkime, kad plokštuma α eina per taška R0(x0, y0, z0) ir yra statmenavektoriui ~n = (A,B,C), kuris vadinamas plokštumos α normaliuoju vek-

toriumi. Pažymėkime vektorių spindulį−→OR0= ~r0 = (x0, y0, z0). Esant bet

kuriam plokštumos taškui R(x, y, z), vektorius−→R0R yra statmenas plokštu-

mai α. Jei ~r =−→OR= (x, y, z), gauname plokštumos α vektorinę lygtį:

(~r − ~r0, ~n) = 0.

Perrašome šią lygtį koordinatėmis:

(x− x0)A+ (y − y0)B + (z − z0)C = 0

arbaAx+By + Cz +D = 0, D = −Ax0 −By0 − Cz0.

Tarkime, kad į visus reiškinius neįeina koordinatė z. Tada turime vektorius~r, ~r0, ~n plokštumoje ir lygtimi Ax + By + C̃ = 0 išreiškiama tiesė, einantiper plokštumos tašką R0(x0, y0) statmenai vektoriui ~n = (A,B).

Tiesių ir plokštumų statmenumas

Dvi plokštumos (tiesės) α1 ir α2 yra statmenos, kai jų normalieji vektoriai~n1 ir ~n2 yra statmeni. Kai plokštumos (tiesės) α1 ir α2 išreiškiamos lygtimis

A1x+B1y + C1z +D1 = 0, (α1)

A2x+B2y + C2z +D2 = 0, (α2)

normalųjų vektorių ~n1 = (A1, B1, C1), ~n2 = (A2, B2, C2) statmenumo sąly-ga:

(~n1, ~n2) = A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0

Plokštumos (tiesės) yra lygiagrečios, kai jų normalieji vektoriai yra koline-arūs: ~n1 = α~n2. Arba lygiagretumo sąlygos koordinatėmis:

A1

A2

=B1

B2

=C1

C2


PavyzdysRaskime plokštumos, einančios per tašką M(1, 1, 1) lygiagrečiai plokštumaiOyz, lygtį.Sprendimas. Plokštumos Oyz normalusis vektorius yra ~i = (1, 0, 0). TaigiA = 1, B = C = 0 ir ieškomos plokštumos lygtis yra x+D = 0. Kai D = −1plokštuma eina per tašką M .

Tiesės erdvėje lygtys

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų plokštumų susikirtimas:

{

A1x+B1y + C1z +D1 = 0,

A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

Tiesė apibrėžta, kai šios dvi plokštumos nėra lygiagrečios. Tai reiškia, kad

rang

(

A1 B1 C1

A2 B2 C2

)

= 2.

Ši lygybė galioja tada ir tik tada, kai bent vienas iš trijų determinantųnelygus nuliui

∣

∣

∣

∣

A1 B1

A2 B2

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

A1 C1

A2 C2

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

B1 C1

B2 C2

∣

∣

∣

∣

Tarkime, kad į šią sistemą neįeina kintamasis z. Tada sistemos sprendi-nys yra tiesių susikirtimo taškas. Šis taškas yra vienintelis, kai pirmasisdeterminantas nelygus nuliui.

0.2.4. Tiesių ir plokštumų pagrindinai uždaviniai

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis

Tarkime, kad tiesė eina per du erdvės taškus M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2).

Tada bet kuriam tiesės taškui M(x, y, z) turime−→M1M ||

−→M1M2. Arba

x− x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

=z − z1

z2 − z1.

22

Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis

Tarkime, kad plokštuma eina per tris taškus M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),M3(x3, y3, z3), kurie nepriklauso vienai tiesei. Tada, esant bet kuriam plokš-

tumos taškui M(x, y, z), vektoriai−→M1M ,

−→M1M2 ir

−→M1M3 yra komplanarūs.

Taigi

(

−→M1M,

−→M1M2,

−→M1M3

)

= 0. Arba koordinatėmis:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x− x1 y − y1 z − z1x− x2 y − y2 z − z2x− x3 y − y3 z − z3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Pastebėkime, kad jei vektoriai−→

M1M2 ir−→

M1M3 yra kolinearūs, šis determi-nantas tapačiai lygus nuliui.

Tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygos

Tiesė ~r−~r0 = t~a yra lygiagreti plokštumai (arba yra šioje plokštumoje) Ax+By + Cz +D = 0, kai vektorius ~a yra statmenas plokštumos normaliajamvektoriui ~n = (A,B,C). Arba

(~a, ~n) = 0.

Tarkime, kad tiesė apibrėžta tiesinėmis lygtimis

{

A1x+B1y + C1z +D1 = 0,

A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

Tada vektorių ~a galima rasti, kaip šių plokštumų normaliųjų vektorių ~n1 =(A1, B1, C1) ir ~n2 = (A2, B2, C2) vektorinę sandaugą

~a = ~n1 × ~n2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

A1 B1 C1

A2 B2 C2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


Todėl tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą galima užrašyti taip:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A B C

A1 B1 C1

A2 B2 C2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Lygtys atkarpomis

Plokštumos atkarpomis lygtis

x

a+y

b+z

c= 1

Skaičių a, b, c geometrinė prasmė parodyta paveiksle

24

Tiesės lygtis atkarpomis

x

a+y

b= 1

Taško atstumas nuo plokštumos

Tarkime, kad plokštumos lygtis yra

(~r − ~r0, ~p, ~q) = 0, ~r = (x, y, z), ~r0 = (x0, y0, z0)

Raskime taško M1(x1, y1, z1) atstumą nuo šios plokštumos. Plokštuma ei-

na per tašką M0(x0, y0, z0) (−→OM0= ~r0). Gretasienio, sudaromo vektoriais

−→M0M , ~p, ~q tūris lygus V =

∣

∣

∣

∣

(

−→M0M, ~p, ~q

)∣

∣

∣

∣

. Taško M0 atstumas h nuo plokš-

tumos yra šito gretasienio aukštinė. Kadangi V = Sh, turime h =V

S. Čia

S = |~p× ~q| – gretasienio pagrindo plotas. Taigi

h =|(~r1 − ~r0, ~p, ~q)|

|~p× ~q| .


Vektorių ~p, ~q vektorinę sandaugą galima pakeisti plokštumos normaliuojuvektoriumi ~n = (A,B,C). Tada

h =|(~r1 − ~r0, ~n)|

|~n| .

Pažymėję D = −Ax0 − By0 − Cz0, (tai reiškia, kad taškas M0 prikausoplokštumai Ax+By + Cz +D = 0) gauname(~r1 − ~r0, ~n) = (x1 −x0)A+(y1 − y0)B+(z1 − z0)C = Ax1 +By1 +Cz1 +D.Taigi taško M1(x1, y1, z1) atstumas nuo plokštumos Ax+By+Cz+D = 0lygus

h =|Ax1 +By1 + Cz1 +D|√

A2 +B2 + C2.

Taško atstumas nuo tiesės

Plokštumos taško M1(x1, y1) atstumas nuo tiesės Ax+By + C = 0 lygus

h =|Ax1 +By1 + C|√

A2 +B2.

Atstumas tarp nelygiagrečių tiesių erdvėje

Tiesių einančių per taškus M1(x1, y1, z1) ir M2(x2, y2, z2) lygiagrečiai vekto-riams ~a1 = (a1x, a1y, a1z) ir ~a2 = (a2x, a2y, a2z) lygtys yra

~r − ~r1 = t~a1, ~r − ~r2 = t~a2, ~r = (x, y, z), t ∈ R.

Atstumas tarp šių tiesių

h =|(~r2 − ~r1,~a1,~a2)|

|~a1 × ~a2|

0.1.1. Dekarto koordinačių sistemainga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Studiju_medziaga/2008R/... · x= cx +Rcost, y= cy +Rsint, 0 6 t

Documents