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Teoria dos grupos
Prof. Dr. Ricardo L. VianaDepartamento de Fsica
Universidade Federal do ParanaCuritiba - PR
17 de abril de 2014
1 Introducao
A teoria de grupos surgiu como um ramo da matem atica pura, ligado aoproblema de encontrar razes de equacoes algebricas, por E. Galois e outrosmatematicos. De modo bastante geral, a teoria de grupos e a linguagem ma-tematica adequada para a descricao das simetrias. Logo apos o surgimento daMecanica Quantica, E. Wigner aplicou as ideias da teoria de grupos para adescricao das simetrias dos sistemas quanticos. Alem disso, as ideias de teo-ria de grupos sao fundamentais para a classificacao de moleculas e estruturascristalinas.
A grosso modo podemos dividir os grupos em discretos e contnuos. Osprimeiros sao particularmente importantes no estudo da Mecanica Quantica, aopasso que os grupos contnuos tem aplicacoes tambem na teoria de partculaselementares. Neste curso deveremos abordar apenas as ideias basicas da teoriade grupos no esprito da referencia [2], sem entrar em detalhes tecnicos. Paramaior aprofundamento sugerimos obras especficas como [1] e [3], dentre outras.
2 Definicao de grupo
Um grupo G e um conjunto de elementos que podem ser combinados por umaoperacao que designaremos genericamente pelo smbolo (multiplicacao degrupo) e que satisfazem as seguintes propriedades:
1. Fechamento: seaebsao dois elementos quaisquer deG, entao seu produto
a btambem e um elemento de G;2. Associatividade: sea, b e c pertencem a G, entao
(a b) c= a (b c) =a b c; (1)
3. Elemento neutro: existe um elemento Ital que, para todo aGI a= a I=a; (2)
4. Elemento inverso: todo aG tem um elemento inverso a1 G tal quea a1 =a1 a= I . (3)
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Caso os elementosa e b do grupo satisfacam, ainda, a propriedade de comu-
tatividade, a b= b a, (4)o grupo e ditocomutativoouAbeliano. Se um subconjuntoG deGe fechado soba respectiva tabela de multiplicacao, ele e dito um subgrupo de G. O elementounidade Ide qualquer grupo sera sempre um sub-grupo (trivial).
O numero de elementos do grupoG e a sua ordem g , que pode ser finita ouinfinita. Quando os elementos do grupo podem ser contados, isto e, colocadosem correspondencia biunvoca com os numeros naturais, o grupo e ditodiscreto.Caso contrario, ou seja, quando os elementos do grupo nao sao enumeraveis, ogrupo e chamado contnuo. Alguns exemplos basicos sao:
O conjunto dos inteiros Z, com a adicao usual como a operacao que
chamamos de multiplicacao, e um grupo discreto com ordem infinita,chamado grupo aditivo de inteiros, e denotado por (Z, +). O elementoneutro e o inteiro 0, e o elemento inverso de um inteiron en. O con-junto dos inteiros pares{0, 2, 4, . . .}forma um sub-grupo de (Z, +). Jao conjunto dos inteiros positivos nao e um sub-grupo pois nao ha um ele-mento inverso a ele pertencente (nem todo sub-conjunto e um sub-grupo!)
O conjunto dos reais R, com a adicao usual x+y como operacao, e umgrupo contnuo. O elemento neutro e 0 e o inverso de x ex. O grupoaditivo de inteiros (Z, +) e um sub-grupo dele. O conjunto dos numerosracionais Q tambem e um sub-grupo, pois e fechado em relacao a adicao, jaque 0 continua sendo o elemento neutro, e o elemento inverso do racionalp/q (onde p e q sao inteiros) ep/q. Nao sao sub-grupos, porem, oconjunto dos irracionais (nao tem elemento neutro) e o conjunto dos reaispositivos (nao tem elemento inverso).
O conjunto dos reais nao-nulosR {0}, com a multiplicacao usual x.y , eum grupo contnuo; onde o elemento neutro e 1 e o inverso de x e 1/x.
O conjunto de elementos{I,a,b,c} e um grupo discreto de ordemg = 4,denominado grupo C4, onde a multiplicacao de grupo e definido a partirda seguinte tabela
* I a b cI I a b ca a b c I
b b c I ac c I a b
Para checar essa afirmacao, devemos conferir se todas as propriedadesque definem um grupo sao satisfeitas para todos os elementos do mesmo.Por exemplo, como a multiplicacao de todos os elementos resulta noutroelemento do grupo, a propriedade de fechamento e automaticamente sa-tisfeita. Ja a associatividade (1) tem que ser checada caso a caso. Porexemplo:
(a b) c= c c= b, a (b c) =a a= b
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e assim por diante. O elemento neutro e obviamente I. O elemento inverso
de a e c, poisa a1 =a c= I , a1 a= c a= I
assim como b1 =b e c1 =a. Alem disso, podemos verificar facilmenteque esse grupo e comutativo. Ha dois sub-grupos: (i) o proprio elementoneutro{I} (ii) o sub-conjunto{I, b}. Qualquer sub-conjunto nao serafechado em relacao a tabela de multiplicacao e portanto nao podera serum sub-grupo.
O conjunto de elementos{E, V1, V2, V3}, e o chamado grupo quartico (ouvierergruppe)V, com a seguinte tabela de multiplicacao
* E V1 V2 V3E E V1 V2 V3V1 V1 E V3 V2V2 V2 V3 E V1V3 V3 V2 V1 E
Assim como para o grupo C4, tambem aqui a propriedade de fechamentoe imediatamente verificada. A associatividade e a comutatividade sao che-cadas pela inspecao da tabela (2). O elemento unidade eI, e os elementosinversos sao eles proprios, ou seja
V11 =V1, V12 =V2, V
13 =V3.
Podemos verificar que{E, V1},{E, V2}, e{E, V3}sao sub-grupos deC4.
3 Representacoes de um grupo
Na definicao de grupo, seus elementos sao definidos de uma forma abstrata, comono exemplo do grupo quartico. Na pratica, os elementos de grupo podem serrepresentados por numeros reais ou complexos, vetores, matrizes, quaternions,operacoes de simetria, etc.
3.1 Grupo C4
3.1.1 Representacao com numeros complexos
Os elementos{I,a,b,c} do grupo C4 podem ser representados pelos seguintesnumeros complexos:
I1, ai, b 1, c i,sendo a multiplicacao usual. Que essa representacao e verdadeira podemosverificar checando os produtos da tabela (2), um a um:
I a1.i= ia, etc.,a bi.(1) =ic, etc.,
c a(i).i= 1I , etc.,
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Este grupo e tambem denominado cclico, pois o produto de seus elementos
exibe uma periodicidade, a saber
1 =i0, i= i1, 1 =i2, i= i3, 1 =i4, etc..
Por esse motivo, o grupo desse exemplo e denominadoC4 (cclico de ordem 4).
3.1.2 Representacao com matrizes de rotacao
Matrizes de rotacao constituem uma representacao muito importante de grupos,tanto discretos como contnuos. No apendice ao final desta apostila fazemos umarevisao breve de matrizes de rotacao, como e usualmente visto na disciplina deMecanica Classica. Recomendo dar uma olhada la ate para fixar a notacao queusaremos nestas notas de aula. Vamos considerar a rotacao de um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais. Designaremos por (x, y) as coordenadas deum ponto no sistema nao-rodado, e por (x, y) as coordenadas num sistemaque rodou de um angulo em relacao ao primeiro. Usando cossenos diretores,podemos escrever as seguintes relacoes entre as coordenadas [vide Eq. (157) doApendice]:
x = x cos +y sin , (5)
y = x sin +y cos , (6)
e que podem ser escritas na seguinte forma matricial x
y
=
cos sin sin cos
xy
. (7)
Em aplicacoes fsicas, costumamos imaginar que, ao inves de rodar as coor-denadas por um angulo (rotacao passiva), nos rodamos o vetor posicao doponto de um angulo (rotacao ativa). Nesse caso (x, y) e (x,y,z), queeram as coordenadas do ponto nos sistemas rodado e n ao-rodado, respectiva-mente, tornam-se dois vetores-posicao distintos r e r, e que foram girados deum angulo. A relacao entre os dois sera, portanto, dada por
x
y
=
cos sin
sin cos
xy
. (8)
ja que cos() = cos e sin() = sin . Podemos escrever essa relacao,simbolicamente, como
r
= R() r, (9)onde r e rsao as matrizes-coluna das coordenadas nos sistemas rodado e nao-rodado, respectivamente, e a matriz de rotacao e definida como
R() =
cos sin
sin cos
. (10)
As matrizes R(0), R(/2), R(), e R(3/2) formam uma representacao dogrupoC4, sendoa operacao de multiplicacao matricial, a partir das seguintes
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identificacoes
I R(0) = 1 00 1
= I, (matriz identidade), (11)
aR
2
=
0 11 0
= A, (12)
bR() =1 0
0 1
=IB, (13)
cR
3
2
=
0 11 0
=AC, (14)
o que pode ser verificado, tambem, caso a caso na tabela de multiplicacao (2):
a b AB= A(I) =A= Cc,c a CA=AA= 0 1
1 0 0 1
1 0
= 1 0
0 1 I
e assim por diante. Fica facil, tambem, ver que essa e a representacao de umgrupo cclico pois, ao executarmos quatro rotacoes, cada uma de /2 radia-nos, voltamos ao ponto de partida (a nao-rotacao caracterizada pela matrizidentidade).
3.2 Grupo quartico
3.2.1 Representacao por meio de operacoes de simetria no plano
Vamos considerar o seguinte conjunto de operacoes de simetria no plano xy :
E: nao ha alteracao das coordenadasxx, yy,
V1= I: inversao, ou troca de sinal das coordenadasx x, y y,
V2= Ry : reflexao em relacao ao eixo yx x, yy,
V3= Rx: reflexao em relacao ao eixo xxx, y y.
A multiplicacao de grupo, nesse caso, consiste em realizar consecutivamenteas operacoes de simetria, a segunda vindo sempreantesda primeira. Por exem-plo, a multiplicacao I Ry consiste primeiro numa reflexao em torno do eixo yseguida por uma inversao de coordenadas:
x x (x) =xy y yque resulta numa reflexao em relacao ao eixo x, ou seja, I Ry = Rx. Proce-dendo dessa forma podemos justificar a tabela de multiplicacao de grupo (1).Observe que o elemento neutro consiste de uma nao-alteracao das coordenadas,e o elemento inverso de cada operacao e ela propria. Por exemplo, duas inversoessucessivas nao alteram as coordenadas, assim como duas reflexoes sucessivas.
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Tabela 1: Tabela de multiplicacao de grupo para a representacao do grupo
quartico por meio de operacoes de simetria no plano
* E I Ry RxE E I Ry RxI I E Rx Ry
Ry Ry Rx E IRx Rx Ry I E
3.2.2 Representacao por meio de matrizes
Podemos usar matrizes para representar as operacoes de simetria anteriormente
definidas: EI: matriz identidade
xy
1 00 1
xy
V1=I: inversao xy
1 00 1
xy
V2: reflexao-y
xy
1 00 1
xy
V3= Rx: reflexao-x xy
1 00 1
xy
Dois grupos sao chamados homomorficos(assim como suas representacoes)se os seus elementos estiverem sujeitas a mesma tabela de multiplicacao. Alemdisso, se a correspondencia entre os elementos dos dois conjuntos for biunvoca(um-para-um), com a mesma tabela de multiplicacao, os grupos (e suas repre-sentacoes) sao chamadas isomorficas.
Naturalmente o isomorfismo implica no homomorfismo mas nao vice-versa,ou seja, nem todo homomorfismo implica num isomorfismo. Da discussao ante-
rior, concluimos que, para o grupo C4, as representacoes {1, i, 1, i} e {I,A,B,C}sao isomorficas, ja que em ambos os casos temos uma correspondencia biunvocacom os elementos{I,a,b,c}. Ja o grupo quartico nao e homomorfico ao grupoC4 pois tem tabelas de multiplicacao diferentes.
4 Representacoes redutveis e irredutveis
4.1 Definicoes basicas
Inicialmente vamos relembrar algumas definicoes basicas da algebra matricial.Seja uma matriz A, cujos elementos sao denotados Aij , com i, y = 1, . . . N .
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Uma matriz e diagonal se apenas os termos da diagonal principal sao nao-nulos:
Aij = 0, i= j. Uma matriz e diagonal por blocos se podemos escreve-la emtermos de sub-matrizes independentes ao longo da sua diagonal principal, comopor exemplo
a 0 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 c d 0 0 0 0 0 0 a b c 0 0 0 d e f 0 0 0 g h i ...
......
......
... . . .
(15)
onde identificamos blocos de ordem 1, 2, e 3.A matriz transposta AT e obtida permutando as linhas com as colunas, ou
seja, com elementos ATij =Aji . Uma propriedade importante e
(AB)T
= BTAT (16)
Uma matriz real O e ortogonal se
OTO= OOT = I, OT = O1 (17)
As matrizes de rotacao devem ser necessariamente ortogonais, como veremos noproximo captulo.
Se A for uma matriz complexa, a sua adjunta e a transposta da complexo-conjungada:
A = AT, Aij =Aji (18)
Uma matriz H e hermitiana se ela for auto-adjunta:
H = H, Hij =Hij , (19)
Uma matriz U e unitaria se
UU= UU =I, U = U1. (20)
Obviamente se uma matriz for real, os conceitos de matriz ortogonal e unitariasao identicos.
Seja A uma matriz real, e S uma matriz qualquer. Uma transformacao desimilaridade e tal que
AA = S1AS. (21)Nesse caso dizemos que as matrizes A e A sao semelhantes (em relacao a matrizS).
Uma matriz A e dita redutvel se existir uma transformacao de similaridadeS1AStal que a matriz transformada A seja diagonal ou, pelo menos, diagonalem blocos. As matrizes simetricas e as matrizes hermitianas, por exemplo, saodiagonalizaveis, isto e, existe uma transformacao de similaridade que as colocana forma diagonal por blocos. Caso a matriz nao seja diagonalizavel, ela eirredutvel.
No caso real, se A e uma matriz simetrica (isto e, se AT = A), entao a matrizS com a qual se efetua a transformacao de similaridade e ortogonal. No casocomplexo, se A e uma matriz hermitiana, entao a matriz S e unitaria. Em ambosos casos, temos casos particulares da transformacao de similaridade.
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4.2 Autovalores e autovetores
Seja a relacaoAu= u. (22)
Entao dizemos que u e o autovetor da matriz A, correspondente ao autovalor.No espaco RN, podemos escrever o autovetor u em componentes numa formamatricial:
u=
u1u2...
uN
(23)
de forma que a equacao (22), reescrita como (AI)u= 0, pode ser representadamatricialmente como
A11 A12 . . . A1N
A21 A22 . . . A2N...
... . . .
...AN1 AN2 . . . ANN
u1u2...
uN
=
00...0
, (24)
e que e, de fato, um sistema linear homogeneo.Uma solucao trivial para o sistema acima e u1 = u2 = = uN= 0 que,
evidentemente, nao nos interessa. So podem existir solucoes nao-triviais paraeste sistema se o determinante dos coeficientes for nulo:
A11 A12 . . . A1NA21 A22
. . . A2N
......
. . . ...AN1 AN2 . . . ANN
= 0, (25)
o que fornece uma equacao algebrica de grau N, cujas razes sao os autovaloresprocurados. Pelo teorema fundamental da algebra, uma equacao algebrica degrau N tem N raizes, reais ou complexas, de modo que a solucao de (25) nosforneceN autovalores 1, 2, . . . N, reais e/ou complexos.
Por simplicidade vamos considerar o caso quando os autovalores sao todosreais e distintos. Entao, a cada autovalor k, esta associado um autovetor ukpela equacao
(A kI)uk =0, (k= 1, 2, . . . N ) (26)
4.3 Transformacao unitaria que diagonaliza uma matrizredutvel
Se uma matriz A e diagonalizavel sabemos que, por meio de uma transformacaode similaridade
S1AS=
1 0 . . . 00 2 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . N
. (27)
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Pre-multiplicando os dois membros por S temos que
AS= S
1 0 . . . 00 2 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . N
. (28)
Agora vamos escrever a matriz S justapondo os autovetores de A, na formade N matrizes-coluna, dando uma matriz quadrada N N:
S= (u1|u2| . . . |uN) . (29)
Entao a equacao (28) forneceAu= u. (30)
que e a propria equacao de autovalores (22). Da a seguinte regra: para diago-nalizar a matrizA empregamos uma transformacao de similaridade construindoa matriz S pela justaposicao dos seus autovetores.
Como um exemplo simples, considere a matriz no R2:
A=
2 21 3
(31)
cujos autovalores sao 1 = 4 e 2 = 1, correspondendo respectivamente aosautovetores (nao-normalizados)
u1= 11 , u2=
2
1 . (32)
A matriz que diagonaliza Asera, pois
S=
1 21 1
(33)
cuja inversa e
S1 = 1
3
1 21 1
. (34)
Executando a transformacao de similaridade (21):
A = S1AS= (35)
= 13
1 21 1
2 21 3
1 21 1
= 4 0
0 1
que e diagonal, sendo os elementos iguais aos autovalores, como esperavamos.Note que, como neste caso a matriz A nao e simetrica, a matriz S que obti-vemos tambem nao devera ser ortogonal, o que pode ser facilmente verificadocomparando a inversa com a transposta (que sao diferentes!).
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4.4 Representacoes irredutveis
Vamos considerar, como um exemplo representativo, uma representacao A deum grupo na forma de uma matriz 44. Se esta for diagonalizavel, entaoexistira uma matriz de similaridade S que a torna diagonal em blocos 2 2, porexemplo:
A = S1AS=
a b 0 0c d 0 00 0 e f0 0 g h
(36)
As submatrizes
P=
a bc d
Q=
e fg h
(37)
sao chamadas representacoes irredutveis da matrizA. Costuma-se escrever essarelacao como uma soma direta:
A= R Q. (38)
Representacoes irredutveis nao podem ser escritas como decomposicoes (dotipo soma direta) de representacoes de menor dimensionalidade. Naturalmenterepresentacoes unidimensionais sao sempre irredutveis. As representacoes irre-dutveis na teoria de grupos desempenham um papel analogo ao dos versores(vetores unitarios) no calculo vetorial: elas sao as representacoes mais simples,e todas as outras podem ser construidas a partir delas.
Ha, na verdade, infinitas representacoes irredutveis para um mesmo grupo
ja que, dada uma representacao irredutvel, podemos fabricar inumeras outrassimplesmente aplicando transformacoes de similaridade a elas. Esse fato leva-nos a procurar alguma quantidade que seja igual para todas elas, e que vem aser o traco de uma matriz, que e a soma dos seus elementos diagonais:
Tr(A) =ni=1
Aii (39)
Uma propriedade importante do traco de um produto de matrizes e a suainvariancia sob uma permutacao cclica dos fatores. Por exemplo:
Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB) (40)
Usando esse resultado, podemos mostrar que o traco de uma matriz e invariantesob uma transformacao de similaridade:
Tr(A) = Tr(UAU1) = Tr(AU1U =I
) = Tr(A) (41)
Logo, se diagonalizarmos uma matriz, o traco da matriz redutvel sera igual aotraco da matriz diagonalizada em blocos que, por sua vez, e a soma dos tracosdas sub-matrizes irredutveis. Um exemplo e a matriz (36), cujo traco e a somados tracos de cada bloco irredutvel:
Tr(A) = Tr(S1AS) = Tr(ASS1) = Tr(A).
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Considerando a decomposicao (38) teremos portanto que
Tr(A) = Tr(PQ) = Tr(P) + Tr(Q) = (a + d) + (e + h).para qualquer transformacao de similaridade que facamos.
O traco da representacao matricial do elementoR de um grupo e chamado ocaraterRda representacao, e portanto e util para distinguirmos representacoesirredutveis verdadeiras (ou fidedignas) e representacoes fabricadas aplicando-se transformacoes de similaridade. Elementos com o mesmo carater pertencema uma dada classeda representacao.
Para sabermos quantas representacoes irredutveis fidedignas sao possveispara um dado grupo, usamos um importante teorema da teoria de grupos deno-minado teorema da dimensionalidade. Ele afirma que a ordemg de um grupo(ou seja, o numero dos seus elementos) e igual a soma dos quadrados das di-
mensoes das suas representacoes irredutveis. Se, por exemplo, conseguimosescrever uma matriz na forma de uma soma direta de N representacoes ir-redutveis A = A1 A2. . .AN, onde ni e a dimensao da representacaoirredutvel Ai, entao
g =
n2i . (42)
5 Grupos pontuais
Em varias aplicacoes praticas, como a espectroscopia, a cristalografia, etc. es-tamos interessados em conjuntos de operacoes geometricas (ou isometrias) quedeixam inalterado um determinado sistema. Elas sao chamadas operacoes desimetria, e os grupos correspondentes sao chamados grupos pontuais. Algumas
dessas operacoes de simetria foram vistas na secao anterior: rotacoes, reflexoese inversoes. Os grupos pontuais em duas dimensoes sao divididos em duas ca-tegorias: aqueles que consistem somente em rotacoes, e aqueles que incluemtambem reflexoes.
Osgrupos cclicosCn consistem no conjunto den Z rotacoes de um angulo2/n em relacao a um eixo de simetrica de ordem n. O elemento neutro I ea nao-rotacao, ou seja, por um angulo 2, e a rotacao inversa e feita por umangulo2/n. Sao grupos cclicos pois, apos n rotacoes de 2/n, voltamos aoponto de partida I. Vimos anteriormente as propriedades do grupo cclico C4.Esse e o grupo de operacoes de simetria de reflexao de um quadrado, pois ele,quando girado por um angulo /2 em torno de um eixo perpendicular ao seucentro, permanece inalterado. Esse e um eixo de simetria de ordem 4. Ja um
pentagono tera um grupo de simetria C5, e assim por diante.Para aplicacoes a fsica molecular, interessam-nos ainda as operacoes quecombinem rotacoes com reflexoes, e que formam os chamados grupos diedraisde ordem n, denotados por Dn. Nesse caso, teremos n eixos de rotacao comseparacao angular de 2/n, cada um deles sendo um eixo de simetria de ordemn. Sao estes grupos que iremos analisar com mais detalhes, nos casos n = 2 en= 3.
5.1 Grupo diedral D2
Vamos considerar, como um exemplo, uma molecula diatomica como N2, H2,O2, etc. onde cada atomo ocupa uma posicao x =1 sobre o eixo x [Fig. 1].
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0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
(1,0) (1,0)
y
x
Figura 1: Eixos de simetria de uma molecula diatomica
Podemos imaginar quatro operacoes que deixam uma tal molecula invariante noplano xy :
nao-rotacao, representada pela matriz identidade
I= Rz(0) =
1 0 00 1 0
0 0 1
(43)
rotacao de radianos em torno do eixo z : de (157) [vide Apendice] temosque, para uma rotacao ativa (isto e, trocando por), e substituindo= temos
Rz() =
1 0 00 1 0
0 0 1
(44)
rotacao de radianos em torno do eixo x: de (156), modificada para umarotacao ativa,
Rx() =
1 0 00 1 0
0 0 1
(45)
rotacao de radianos em torno do eixo y: de (158) para uma rotacaoativa,
Ry() = 1 0 00 1 0
0 0 1 (46)
E uma tarefa relativamente simples mostrar que o conjunto de matrizesde rotacao{Rz(0), Rx(), Ry(), Rz()} formam um grupo abeliano, chamadogrupo diedral e denotado por D2, com as seguinte tabela de multiplicacao
No caso da molecula diatomica, o eixo z e um eixo de simetria duplo (deordem 2), pois ha dois angulos de rotacao (0 e ) que tornam o sistema inva-riante. Se tivessemos uma molecula tridimensional como a mostrada na figura,cada um dos tres eixos seria um eixo de simetria dupla.
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* I Rx() Ry() Rz()
I I Rx() Ry() Rz()Rx() Rx() I Rz() Ry()Ry() Ry() Rz() I Rx()Rz() Rz() Ry() Rx() I
b (0,1)
E
ac
D
C
Figura 2: Eixos de simetria de um triangulo equilatero no plano.
O grupo diedral D2 e isomorfico ao grupo quartico, pois ambos tem tabelasde multiplicacao semelhantes, bem como ha uma correspondencia biunvocaentre os seus elementos:
EI , V1Rx(), V2Ry(), V3Rz().de modo que ha tres subgrupos, a saber,{I, Ri()}, com i = x,y, z.
5.2 Grupo diedral D3
E o conjunto de operacoes que tornam invariante um triangulo equilatero no
plano, como por exemplo uma molecula triatomica [Fig. 2]. As respectivasoperacoes de simetria sao:
nao-rotacao, representada pela matriz identidade
I= Rz(0) =
1 00 1
(47)
rotacao de 2/3 radianos em torno do eixo z : de (157), para uma rotacaoativa
A= Rz(2/3) =
1/2 3/23/2 1/2
(48)
13
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rotacao de 4/3 radianos em torno do eixo z :
B= Rz(4/3) = 1/2 3/2
3/2 1/2
(49)
rotacao de radianos em torno do eixoC, que passa pelo verticebindicadona Figura 2: e equivalente a uma reflexao do triangulo em relacao ao eixoC=y, de modo que x x e yy. Logo, a matriz que representa essarotacao e
C= RC() =
1 00 1
(50)
rotacao deradianos em torno do eixoD, que passa pelo verticeaindicadona Figura 2: e equivalente a uma rotacao do triangulo de 4/3 em torno de
um eixo perpendicular ao plano do triangulo e passando pelo seu centro,dada pela matrizB , seguida por uma reflexao do triangulo em relacao aoeixo y, fazendo x x e y y, dada pela matriz C acima. Logo, amatriz que representa essa rotacao e a combinacao dessas duas operacoes
D= RD() = CB =
1/2 3/23/2 1/2
(51)
rotacao deradianos em torno do eixoE, que passa pelo verticecindicadona Figura 2: e equivalente a uma rotacao de 2/3 em torno de um eixoperpendicular, dada pela matriz A, seguida por uma reflexao em relacaoao eixo y , dada pela matriz C; tal que sua combinacao seja
E= RE() = CA 1/2 3/2
3/2 1/2
(52)
O eixo perpendicular ao plano do triangulo e que passa pelo seu centro e umeixo de simetria tripla, pois ha tres angulos de rotacao em relacao a esse eixoe que tornam o triangulo invariante: 0, 2/3, e 4/3. Ja os eixos c, d e 3 saoduplos, pois ha apenas dois angulos de rotacao: 0 e . O conjunto de operacoes{I,A,B,C,D,E} forma o grupo diedral D3, cuja tabela de multiplicacao e
* I A B C D EI I A B C D E
A A B I D E CB B I A E C DC C E D I B AD D C E A I BE E D C B A I
O grupo D3 e nao-abeliano de ordem g = 6 (pois tem seis elementos). Oselementos{I , A , B} formam um sub-grupo cclico de ordem 3, relacionados aoeixo z, que e um eixo de simetria tripla. Ha outros tres subgrupos: {I, C},{I, D}, e{I, E}, todos de ordem 2, relacionados aos tres eixos de simetria duplaque passam pelos vertices. Contando, ainda, o subgrupo trivial{I}, de ordem
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1, concluimos que o grupo D3 so possui subgrupos de ordem 1, 2 e 3. De fato,
um teorema da teoria de grupos garante que a ordem de qualquer subgrupo eum divisor da ordem do grupo. Por isso, um grupo de ordem 6 nao pode tersubgrupos de ordem 4 ou 5, por exemplo.
A representacao matricial (47)-(52) e irredutvel, onde os elementos{I,A,B,C,D,E}sao matrizes bidimensionais, ou seja, a dimensao dessa repre-sentacao irredutvel en1= 2. Ha, ainda, outras duas representacoes irredutveisfidedignas (ou seja, nao apenas fruto de transformacoes unitarias aplicadas arepresentacao anterior) do grupo D3, a saber:
{I,A,B,C,D,E} = {1, 1, 1, 1, 1, 1}, (53){I,A,B,C,D,E} = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (54)
ambas com dimensao n2 = n3 = 1. Que sao essas as unicas representacoes
irredutveis fidedignas do grupo D3 decorre imediatamente do teorema da di-mensionalidade (42), pois
g=3
i=1
n2i = 22 + 12 + 12 = 6. (55)
Vamos agora determinar os caracteres de cada elemento das tres repre-sentacoes que vimos. Na representacao por matrizes bidimensionais, de (47)-(52)obtemos os caracteres de cada elemento:
I= 2, A= B =1, C=D =E= 0 (56)
e observamos a existencia de tres classes, ou seja, tres conjuntos de elementoscom o mesmo carater:{E},{A, B}, e{C,D,E}.Para representacao (53) todos os elementos tem o mesmo caracter, a saber,
I=A= B =C=D =E= 1 (57)
de modo que todos pertencem a mesma classe. Ja na representacao (54) ha duasclasses com tres elementos cada, com os respectivos caracteres
I=A = B = 1, C=D =E=1 (58)
de modo que, dependendo da representacao, um mesmo elemento do grupo podepertencer a classes diferentes.
6 Grupos contnuos
Sao grupos que tem um numero infinito nao-enumeravel de elementos, de talmodo que os elementos do grupo sao parametrizados por um numero real queassume valores dentro de um certo intervalo. Se este intervalo for fechado, ogrupo e dito compacto.
Os grupos contnuos sao tambem chamados grupos topologicos, ou aindagrupos de Lie, e tem uma grande importancia na Fsica Teorica. Na mecanicaquantica, a teoria do momentum angular utiliza bastante os grupos de rotacoes,
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que serao objeto principal deste captulo. Na relatividade especial as trans-
formacoes de Lorentz formam um grupo contnuo. Na fsica de partculas ele-mentares, a classificacao de grupos de partculas utiliza grupos contnuos desimetrias.
A teoria dos grupos contnuos e extensa e bastante avancada. No nvel denosso curso, vamos nos limitar aos dois grupos contnuos mais importantes nadescricao de rotacoes tanto na Mecanica Classica como na Mecanica Quantica,e que sao os grupos ortogonal e unitario especial.
6.1 O grupo ortogonal especial
O grupo ortogonal O(N) e formado pelas matrizes reais e ortogonais de ordemN, ou seja, pelas matrizes que satisfazem
OT
O= OOT
= I, (59)
com a multiplicacao matricial. O elemento neutro e a matriz identidade I, que etrivialmente ortogonal. A associatividade e uma propriedade geral do produtomatricial.
Para checar a propriedade de fechamento, precisamos mostrar que o produtode duas matrizes ortogonais ABtambem e ortogonal
(AB)TAB= BT ATA =I
B= BTB= I (60)
Para provar a existencia de um elemento inverso, precisamos provar que a inversade uma matriz ortogonal tambem e ortogonal: se A e ortogonal, entao A1 =
AT
, logo B = A1
e tal que
BTB= (A1)TA1 = (AT)
TAT = AAT = I. (61)
Como a multiplicacao de matrizes nao e comutativa, de forma geral, assimtambem o grupo O(N) nao e, em geral, abeliano.
Usando as propriedades dos determinantes temos que, para uma matriz or-togonal
det(OTO) = det(OT)det(O) = det(O)det(O) = [det(O)]2 = det I= 1, (62)
donde det(O) =1. O grupo de matrizes ortogonais de ordemNe determinanteigual a +1, que denotaremos SO(N), e denominado grupo ortogonal especial.
Ele e um grupo de Lie simples, ou seja, o seu unico subgrupo e aquele trivialformado unicamente pelo elemento neutro{I}.
Estamos particularmente interessados no grupo das matrizes ortogonais deordem 3 e determinante igual a +1, ou o chamado grupo ortogonal especialSO(3). Elas sao importantes pois matrizes de rotacao sao necessariamente or-togonais. Para mostrar este fato consideramos a rotacao (ativa) de um vetorpor um angulo, e que pode ser representada matricialmente como
w= Rv, (63)
onde w e v representam os vetores rodado e nao-rodado, respectivamente, e Re a matriz de rotacao. Como o modulo do vetor nao muda devido a rotacao
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impomos que
|w|2 = |v|2wT w = (Rv)T Rv= vTRTRv= vT v
o que e verdade se e so se RTR= I, ou seja, R deve ser ortogonal. As matrizesque representam rotacoes devem ter determinante +1, ao passo que reflexoes,que sao rotacoes improprias, tem determinante1.
Uma matriz 3 3 tem nove elementos ao todo. Mas, devido a condicao deortogonalidade
OTO= I, (64)
podemos mostrar que apenas 3 elementos sao independentes. Para tal, lembra-mos que uma matriz e simetrica se ela e igual a sua transposta: AT =A. Uma
matriz de ordem 3 tem 3 elementos na sua diagonal principal, e 9 3 = 6 ele-mentos fora da diagonal. Mas, se a matriz for simetrica, os elementos abaixo dadiagonal principal sao identicos aos elementos acima dela, de modo que 6/2 = 3independentes. No todo, ha 3 + 3 = 6 elementos independentes. Como a ma-triz OTO = I e simetrica, isso implica em seis condicoes de vnculo impostassobre os elementos de uma matriz ortogonal. Entao, dos 9 elementos de O,seis estao amarrados pelas condicoes de vnculo, e so ha 9 6 = 3 elementosindependentes.
Na linguagem das matrizes de rotacao, esse resultado implica em que bastaespecificar 3 elementos para caracterizar uma rotacao geral (quer dizer, emtorno de um ponto). Das infinitas escolhas possveis, a mais utilizada tantoem Mecanica Classica como em Mecanica Quantica sao tres angulos de Euler,denotados (,,), e que sao definidos a partir de tres rotacoes em relacao aeixos diferentes, tambem chamadas rotacoes de Euler. No formalismo Lagran-geano, por exemplo, a rotacao de um corpo rgido emprega estes angulos comocoordenadas generalizadas.
6.2 O grupo unitario especial
O grupoU(N) consiste das matrizes complexas e unitarias de ordemN, ou seja,das matrizes que satisfazem
UU= UU = I, (65)
com a multiplicacao usual. O elemento neutro e a matriz identidade que etrivialmente ortogonal, e a propriedade de fechamento e verificada provando-seque o produto de duas matrizes unitarias e tambem unitaria. Alem disso, oelemento inverso e uma matriz unitaria tambem. O grupo U(1) e o grupo desimetria do eletromagnetismo, como se demonstra em teoria classica de campos.
As matrizes unitarias com determinante +1 pertencem a um grupo denomi-nado unitario especial, com smbolo S U(N). O grupo unitario especial tambemdescreve rotacoes, mas rotacoes internas, que nao estao necessariamente asso-ciadas ao conceito intuitivo, como o spin de uma partcula quanto-mecanica.O grupo SU(2), por exemplo, descreve o comportamento do spin do eletron(que tem dois estados, up e down), e tambem o das interacoes nuclearesfracas, responsaveis pelo decaimento beta. Ja o grupo SU(3), por exemplo, e
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utilizado para classificar as partculas envolvidas nas chamadas interacoes nucle-
ares fortes, como quarks e gluons. O chamado modelo padrao das partculaselementares tem S U(3) SU(2) U(1) como grupo de simetria.Vamos estudar, aqui, apenas as propriedades do grupo SU(2) pela conexao
que existe entre ele e o grupo SO(3), das rotacoes no espaco. As matrizesdesse grupo tem quatro elementos que, por serem complexos, equivalem a oitoparametros reais. No entanto, a condicao de unitariedade reduz o numero deparametros independentes para apenas 3, tal qual para o grupoSO(3). A matrizmais geral do grupo S U(2) pode ser escrita na forma
U(a, b) =
a bb a
. (66)
onde a e b sao dois numeros complexos tais que
|a|2 + |b|2 =aa+bb= 1. (67)
Na Mecanica Classica, a e b sao chamados parametros de Cayley-Klein, tendosido introduzidos originalmente em fins do Seculo XIX para o estudo de rotacoesem giroscopios.
Para verificar que (66) e, de fato um elemento de SU(2), fazemos a multi-plicacao explicitamente
UU = UTU=
a b
b a
a bb a
=
|a|2 + |b|2 00
|a|2 +
|b|2
=
1 00 1
= I,
em vista de (67), que tambem fornece imediatamente detU =|a|2 + |b|2 = 1.Em geral, podemos dizer que
U(a1, b1)U(a2, b2) = U(a1a2 b1b2, a1b2+a2b1), (68)U1(a, b) = U(a, b). (69)
A relacao de vnculo (67) faz com que, dos quatro parametros reais embutidosem a e b, apenas tres sejam independentes, como e necessario. Para mostraresse fato, escrevemos
a= x+iy, b= u+iv
tal que (67) forneca
1 =|a|2 + |b|2 = (x iy)(x+iy) + (u iv)(u+iv) =x2 +y2 +u2 +v2,
que pode ser usada para exprimir qualquer um dos quatro parametros reais emfuncao dos outros tres como, por exemplo
v2 =x2 y2 u2.
Como o grupo SU(2) tem tres parametros reais independentes, e possvelescrevermos os seus parametros complexos na forma
a= ei cos , b= ei sin , (70)
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em termos de ( , , ). A propriedade (67) e identicamente satisfeita, pois
|a|2 + |b|2 = cos2 + sin2 = 1.
Logo o elemento mais geral de S U(2) tem a seguinte representacao matricial
U( , , ) =
ei cos ei sin ei sin ei cos
. (71)
6.3 Geradores de grupos contnuos
Os elementos de um grupo contnuo sao funcoes de um ou mais parametros quepodem assumir qualquer valor real R(). O elemento neutro de um grupo etal que o parametro tem um certo valor nulo: I = R(= 0). Um elemento do
grupo proximos a identidade pode ser associado a um valor infinitesimal desteparametro.De forma geral, elementos de um grupo contnuo proximos a identidade
podem ser escritos na forma
R= eiS = I +iS +. . . , (72)
onde, para pequeno, nos desprezamos termos de ordem 2 ou superiores. Amatriz S e chamada gerador do grupo correspondente.
Se a matriz R e unitaria, entao o gerador S e uma matriz hermitiana. Defato, o adjunto da matriz (72) e
R = eiS
= I
iS +. . . , (73)
de modo que, usando (72) temos
RR=I iS +. . . (I +iS +. . .) = I
Abrindo esse produto e desprezando termos de ordem 2 temos
iS S = 0, SS,
como queramos demonstrar.Pela propriedade de fechamento do grupo, o produto de dois elementos
proximos a identidade, tambem sera um elemento proximo a identidade. Escre-vemos estes elementos como
Ri = eiiSi = I +iiSi 1
22i S
2i +. . . , (74)
Rj = eijSj = I +ijSj1
22jS
2j +. . . , (75)
Como estas matrizes sao unitarias, os geradores correspondentes sao matrizeshermitianas, de forma que
R1i = R
i = I iiSi
1
22i S
2i +. . . , (76)
R1j = Rj = I ijSj
1
22jS
2j +. . . . (77)
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Vamos considerar o seguinte produto de quatro elementos do grupo
Rij =R1i R1j RiRj , (78)
Usando (74)-(77) um calculo tedioso fornece
Rij = I +ij [Sj , Si] (79)
onde definimos o comutador das matrizes
[A, B] =AB BA. (80)Como o elemento Rij , por hipotese, deve ser tambem um elemento proximo
a identidade, podemos escreve-lo numa forma semelhante a (72):
Rij = I +ij k
c(k)
ji
Sk, (81)
onde Sk sao os geradores do grupo, e a soma e feita sobre todos eles. Os
elementos c(k)ji sao chamados constantes de estrutura do grupo. Comparando
(79) e (81) obtemos, apos trocar i por j e vice-versa a seguinte relacao decomutacao
[Si, Sj ] =k
c(k)ij Sk. (82)
Pela definicao (80), a identidade [Sj , Si] =[Si, Sj ] leva a seguinte relacaoentre as constantes de estrutura
c(k)ij =c(k)ji . (83)
Outra importante relacao envolvendo comutadores de geradores e a chamadaidentidade de Jacobi
[[Si, Sj ], Sk] + [[Sj, Sk], Si] + [[Sk, Si], Sj ] = 0. (84)
Substituindo a relacao de comutacao (82) na identidade de Jacobi, obtemosa seguinte relacao envolvendo as constantes de estrutura de um grupo:
m
c(m)ij c
(n)mk+c
(m)jk c
(n)mi +c
(m)ki c
(n)mj
= 0. (85)
6.4 Matrizes de Pauli
No estudo das propriedades dos gruposS O(3) eS U(2) sao importantes as cha-madas matrizes de Pauli
1=
0 11 0
, 2=
0 i
i 0
, 3=
1 00 1
, (86)
as quais sao hermitianas e unitarias, como pode ser verificado diretamente:
i =i, ii =
i i = I, (87)
alem de outras propriedades notaveis. As matrizes de Pauli foram introduzidasem 1927 como operadores de spin 1/2 de um eletron na teoria nao-relativsticade Schrodinger para a mecanica quantica.
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As tres matrizes de Pauli e a matriz identidade formam um conjunto com-
pleto, pois qualquer matriz complexa 2 2 pode ser escrita como uma com-binacao linear delas, na forma
M= m0I +m11+m22+m33=
m0+m3 m1 im2m1+im2 m0 m3
, (88)
onde m0,1,2,3 sao constantes.
Considerando o vetor constante m =3
i=1miei no espaco Euclidiano pode-mos expressar a matriz acima como
M= m0I + m a (89)
onde = (1, 2, 3, apesar das aparencias, nao e um vetor, apenas uma
notacao conveniente.Podemos definir a exponencial de uma matriz M arbitraria a partir de umaexpansao em serie de potencias:
eM = I + M + 1
2!M2 +
1
3!M3 +
1
4!M4 +. . .=
n=0
1
n!Mn. (90)
Seja a matriz complexa
M= ik, (k= 1, 2, 3) (91)
onde e um numero real. De (90) a exponencial desta matriz e
eik = I +ik+ 1
2! (ik)2 +
1
3! (ik)3 +. . .
Usando o fato que nk = I, se n e par, e nk =k, se n e mpar, fatoramos essa
expansao
eik = I
1 1
2!2 +
1
4!4 +. . .
=cos
+ik
1
3!3 +
1
5!5 +. . .
=sin
e obtemos a chamada identidade de Euler
eik = I cos +iksin . (92)
6.5 Geradores dos grupos SO(2) e SO(3)
Os elementos do grupo SO(2) sao matrizes ortogonais 2 2 com determinante+1, ou seja, matrizes de rotacao no plano. A matriz identidade I e o elementoneutro desse grupo, correspondente ao angulo = 0. Para rotacoes infinitesi-mais o angulo e tao pequeno quanto se queira, e vamos denota-lo .
Podemos expressar a matriz que corresponde a uma rotacao no plano de umangulo , usando a matriz identidade e as matrizes de Pauli:
R() =
cos sin sin cos
= I cos +i2sin = e
i2 (93)
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onde usamos a identidade de Euler. Para um angulo infinitesimal teremos um
elemento do grupo proximo a identidade. Comparando (93) e (72) concluimosque o gerador de rotacoes infinitesimais no plano e a matriz de Pauli: Sz =2(na verdade, e o unico gerador independente do SO(2)).
E possvel obter formalmente este resultado derivando a matriz de rotacao(93) em relacao ao parametro e calculando no ponto = 0. De fato, parauma rotacao infinitesimal
R() =ei2 =I +i2 (94)
Fazendo uma expansao em serie de Taylor em torno da origem = 0 teremos,a menos de termos de segunda ordem ou superiores em :
R() = R(0) +dR
d =0(95)
Comparando (94) e (95) obtemos
2=idRd
=0
(96)
o que pode ser verificado, tambem, efetuando diretamente a derivada da matriz(93).
Passamos, agora, para os elementos do grupo S O(3) que sao as matrizes derotacao no espaco. A matriz que efetua uma rotacao de um angulo em tornodo eixo z e dada por (157):
Rz() = cos sin 0 sin cos 0
0 0 1
(97)
Usando um raciocnio analogo ao que nos levou a (96), o gerador da rotacaoinfinitesimal correspondente sera
Sz =idRzd
=0
(98)
Derivando (97) em relacao a teremos
dRzd =
sin cos 0 cos sin 0
0 0 0
de modo que (98) nos fornece o gerador
Sz =
0 i 0i 0 0
0 0 0
(99)
Em outras palavras, escrevemos uma rotacao infinitesimal em torno do eixo zcomo
Rz() = I +iSz (100)
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Uma composicao de duas rotacoes infinitesimais e escrita, a menos de termos
de ordem superior, comoRz(1+2) = I +i(12)Sz
= (I +i1Sz)(I +i1Sz)
= Rz(1)Rz(2). (101)
Desta forma podemos obter uma rotacao finita, compondo N rotacoes infini-tesimais com = /N, onde Ntende ao infinito:
Rz() = Rz(N) =RNz ().
Usando (100) e tomando o limite
Rz() = limNI +i
N
SzN
=eiSz . (102)
Logo, Sz e tambem o gerador de rotacoes finitas em torno do eixo z .Analogamente, podemos obter os geradores de rotacoes em torno dos eixos
x e y, dadas por (156) e (158), respectivamente:
Rx() =
1 0 00 cos sin
0 sin cos
Sx =idRx
d
=0
=
0 0 00 0 i
0 i 0
(103)
Ry() =
cos 0 sin 0 1 0
sin 0 cos
Sy =idRy
d
=0
=
0 0 i0 0 0
i 0 0
.(104)
Verificamos, por calculo direto, os seguintes comutadores entre os tres gera-
dores do grupoS O(3):
[Sx, Sy ] = iSz, (105)
[Sy, Sz] = iSx, (106)
[Sz, Sx] = iSy, (107)
que podem ser escritas simbolicamente como (lembrando quei = 1 ex, i = 2 ey, e i = 3 ez )
[Si, Sj ] = iijkSk, (i,j,k= 1, 2, 3) (108)
onde introduzimos o smbolo de Levi-Civita (ou permutador), definido como
ijk =
+1 se (i,j,k)estao em permutacao cclica (par) de (1, 2, 3)
1 se (i,j,k)estao em permutacao anti-cclica (mpar) de (1, 2, 3)0 se ha ndices repetidos
(109)tal que, por exemplo
123 = 231= 312= +1,
132 = 321= 213=1, etc.Comparando (108) com a relacao geral de comutacao (82) obtemos as cons-
tantes de estrutura do grupo S O(3):
c(k)ij =iijk . (110)
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6.6 Geradores do grupo SU(2)
Vimos em (71) que o elemento mais geral do grupoSU(2) e uma matriz unitariacom tres parametros:
U( , , ) =
ei cos ei sin ei sin ei cos
. (111)
Podemos encontrar os geradores respectivos usando a mesma metodologiaempregada anteriormente para o SO(3), ou seja, adaptando (98) para nossocaso, com as modificacoes apropriadas:
S = iU
=0,=0
=i
iei cos 00 iei cos
==0
= 1 00 1 =3, (112)S = iU
=0,=/2
=i
0 iei sin iei sin 0
=0,=/2
=
0 11 0
=1, (113)
S = iU
=0,=0
=i ei sin ei cos
ei cos ei sin ==0
=
0 i
i 0
=2, (114)
ou seja, os geradores dos elementos infinitesimais do grupo SU(2) sao as matrizesde Pauli. Sabemos que as mesmas obedecem as seguintes relacoes de comutacao:
[i, j ] =iijkk, (115)
de modo que, comparando com a relacao geral (82), as constantes de estruturado S U(2) sao
c(k)ij =iijk (116)
ou seja, as mesmas do grupo SO(3). Esse fato sugere alguma forma de corres-pondencia entre os dois grupos, o que exploraremos na proxima secao.
Elementos finitos podem ser obtidos compondo elementos infinitesimais exa-tamente da mesma forma que fizemos anteriormente para as rota coes doSO(3).
Os elementos finitos deS U(2) sao, portanto
U1 = eia11 , (117)
U2 = eia22 , (118)
U3 = eia33 , (119)
onde (a1, a2, a3) sao tres parametros reais. Usando a identidade de Euler (92)podemos escrever estas matrizes unitarias na seguinte forma geral
Uj = I cos aj+ ijsin aj . (120)
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6.7 Transformacoes unitarias no S U(2)e rotacoes noS O(3)
A acao de uma matriz do SU(2) sobre uma matriz qualquer M e executadapor meio de uma transformacao unitaria (que, como vimos antes, e um casoparticular de uma transformacao de similaridade)
MM = UjMUj (121)
Vamos escrever a matriz Mna forma (122) com m0= 0, m1=x, m2=y em3= z :
M= r =
z x iyx+iy z
. (122)
Analogamente, a matriz transformada pode ser escrita do mesmo jeito:
M =r = z x iyx +iy z . (123)Assim como o traco, o determinante de uma matriz e invariante sob uma
transformacao unitaria:
detM = det(UjMUj) = detUjdetMdetU
j = detUjdetMdetU
1j = detM.
(124)ja que detUjdetU
1j = det I= 1. Aplicando esse resultado as matrizes (122) e
(123) resulta que
detM =(x2 +y2 +z2) = detM=(x2 +y2 +z2),
ou seja, r2
= r2
: os modulos dos vetor posicao original e transformado saoos mesmos. Esta e uma propriedade fundamental da rotacao, seja ativa oupassiva, de modo que concluimos que uma transformacao unitaria efetuada poruma matriz Uj do grupoSU(2) equivale a uma rotacao no espaco, que pode serexecutada por uma matriz ortogonal do grupo S O(3).
Para saber qual a rotacao no SO(3) que corresponde a uma dada trans-formacao unitaria no S U(2) vamos considerar casos particulares. Por exemplo,fazendo = 0 em (141) teremos a seguinte matriz unitaria
Uz() =
ei 0
0 ei
. (125)
Fazendo uma transformacao unitaria sobre a matriz (122) teremos
M = UzMUz = Uz(x1+y2+z3)U
z
= Uzx1Uz+ Uzy2U
z+ Uzz3U
z (126)
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onde
Uzx1Uz =
ei 00 ei
0 xx 0
ei 00 ei
= 0 xe2i
xe2i 0
= x cos2
0 11 0
x sin2
0 i
i 0
=x1cos 2 x2sin 2(127)
Uzy2Uz =
ei 0
0 ei
0 iyiy 0
ei 0
0 ei
=
0 iye2i
iye2i 0
= y cos2
0 i
i 0
+y sin2
0 11 0
=y2cos 2+y1sin 2(128)
Uzz3Uz =
ei 0
0 ei
z 00 z
ei 0
0 ei
=
z 00 z
=z3(129)
Substituindo (127), (128) e (129) em (126) temosM = (x1cos 2 x2sin 2) + (y2cos 2+y1sin 2) + (z3)
= 1(x cos2 y sin2) +2(x sin2+y cos2) +3z (130)Por outro lado, podemos reescrever (123) na forma
M =x1+y2+z
3. (131)
Comparando (130) e (131) obtemos as seguintes relacoes entre as coordenadasno sistema original e no sistema transformado
x = x cos2+y sin2 (132)
y =
x sin2+y cos2 (133)
z = z (134)
e que correspondem justamente a uma rotacao por um angulo = 2em tornodo eixo z , conforme a matriz de rotacao (93).
Usando o angulo ao inves de , por conveniencia, provamos entao a se-guinte correspondencia:
Uz
2
=
ei/2 0
0 ei/2
Rz() =
cos sin 0 sin cos 0
0 0 1
(135)
Analogamente, deixamos como exerccio a prova da correspondencia entreas demais matrizes de rotacao, a saber
Ux
2
=
cos
2
i sin
2
i sin
2
cos
2
Rx() = 1 0 00 cos sin
0 sin cos
(136)
Uy
2
=
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
Ry() =
cos 0 sin 0 1 0
sin 0 cos
(137)
Observe que as correspondencias acima nao saobiunvocas: ja que/2 vaiapenas de 0 a , quando varia de 0 a 2, podemos verificar diretamente que
Uz
2
+
=Uz
2
,
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ou seja, tanto Uz
2
como Uz
2 +
correspondem a mesma matriz de rotacao
R)z(), Logo, a correspondencia entre os grupos SU(2) e SO(3) nao e umisomorfismo, mas apenas um homomorfismo.No Apendice B nos mostramos que a rotacao mais geral no espaco e para-
metrizada pelos angulos de Euler, com a matriz dada por (160)
R(,,) = Rz()Ry()Rz() (138)
Efetuando a correspondencias (136)-(135) obtemos a seguinte transformacaounitaria
U(,,) = Uz
2
Uy
2
Uz
2
(139)
cuja representacao matricial e
U(,,) = cos2 ei(+)/2 sin2 ei(+)/2
sin2
ei()/2 cos
2
ei(+)/2
(140)
Comparando (140) com a forma geral de uma matriz do S U(2) (71)
U( , , ) =
ei cos ei sin ei sin ei cos
. (141)
temos as seguintes relacoes entre os parametros e os angulos de Euler:
= +
2 , (142)
=
2 , (143)
=
2, (144)
donde os parametros de Cayley-Klein (70) correspondentes sao
a = cos
2
ei(+)/2, (145)
b = sin
2
ei()/2. (146)
7 Exerccios
(os indicados com um asterisco sao mais difceis)
1. Mostre que o conjunto de numeros racionais nao-nulos, em relacao a multi-plicacao usual, formam um subgrupo deR {0}.
2. Mostre que o conjunto de numeros complexosC forma um grupo em relacao aadicao usual, e que C {0} forma um grupo em relacao a multiplicacao usual.
3. Ache a matriz adjunta Hermitiana de (a)
A=
35i 2 + 4i6 + 7i 1 + 8i
,
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(b)
B= 23i 5 + 8i4 37i
6 i 5i
,
4. Mostre que a matriz:
A=
3 12i 4 + 7i1 + 2i 4 2i
47i 2i 5
,
e Hermitiana.
5. Para as matrizes abaixo, determine os autovalores, autovetores e a matriz unitariaque as diagonaliza. (a)
A= 1 1 0
0 2 00 1 4
,
(b)
A=
0 0 23 1 6
0 0 1
,
6. Mostre as seguintes identidades matriciais:
(a) T r(AB) =T r(BA);
(b) T r(ABC) =T r(BC A) = T r(CAB );
(c) (AB)T =BTAT
(d) M =S+ A, onde S= (M+ MT)/2 (parte simetrica) eA= (M MT)/2
(parte anti-simetrica)
7. SejamA e B duas matrizes hermitianas que nao comutam, tal que [A, B] =iC.Mostre que a matrizC e hermitiana.
8. E dada uma matriz arbitraria 22. Mostre que os seus autovalores sao asrazes da equacao do segundo grau
2 (T ra) + (det A) = 0
9. Uma matriz quadrada A de ordem n tem autovalores i, onde i = 1, 2, . . . n.
(a) Mostre que os autovalores da matriz Am sao mi ;
(b) Mostre que os autovalores da matriz eA sao ei
10. Mostre que as rotacoes finitas em torno do eixo z formam um subgrupo doSO(3).
11. Mostre que a matriz de rotacao de Euler (161) e invariante sob as seguintestransformacoes:
+ , , .
12. O grupo especial linearS L(2) consiste de todas as matrizes complexas com de-terminante +1. Mostre que estas matrizes formam um grupo. Ele e comutativo?
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13. As transformacoes de Lorentz L(v) na relatividade correspondentes a boosts
ao longo do eixo x com velocidade V, sao
x =(x V t), y =y, z =z, t =
t
V
c2x
,
onde c e a velocidade da luz no vacuo e
= 1
1 V2
c2
.
Considere as transformacoes de LorentzL1(V1),L2(V2),L3(V3), correspondentesa boosts com velocidades Vi, i = 1, 2, 3. Mostre que essas transformacoesformam um grupo (chamado grupo de Lorentz).
14. Mostre que as matrizes de Pauli tem as seguintes propriedades
(a) i =i, com i = 1, 2, 3;
(b) det i = 1;
(c) Tri = 0;
(d) ij ji = 2i ijkk;
(e) ni = I se n e par;
(f) ni =i, se n e mpar;
(g) se a e b sao dois vetores reais entao
( a)( b) = a b + i(a b).
(h) se a= b( a)2 =|a|2
15. Mostre as equacoes (136) e (137)
16. Mostre as relacoes de comutacao dos geradores do S O(3): (105), (106), (107)
17. (a) Demonstre a identidade de Jacobi, Eq. (84);
(b) Usando a identidade de Jacobi, mostre que as constantes de estrutura deum grupo satisfazem a relacao (85).
18. * Demonstre a formula de Baker-Campbell-Hausdorff
eiAHeiG =H+ [iG,H] +1
2[iG, [iG,H]] + . . .
19. * Sabemos que, para uma matriz hermitiana A, existe uma matriz unitaria Uque diagonaliza A por meio de uma transformacao unitaria:
A A =U AU =
a1 0 . . . 00 a2 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . an
onde a1, a2, etc. sao os autovalores deA. Nessas condicoes, mostre a formulado traco
det(eA) =eTrA
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A Apendice: Matrizes de rotacao
Os conceitos vistos nesse Apendice destinam-se a refrescar a memoria dos alu-nos que fizeram Mecanica Classica I e/ou II ha muito tempo. Estes conceitossao fundamentais para entender boa parte das representacoes matriciais de gru-pos discretos e contnuos. Maiores detalhes podem ser vistos no livro-texto doGoldstein [4].
As matrizes de rotacao relacionam as coordenadas de um vetor de posi caoem dois sistemas de coordenadas S e S, o segundo tendo sido rodado em relacaoao primeiro. Essas rotacoes sao ditas passivas, pois o sistema em si nao gira,quem roda e o sistema. Ja nas operacoes de simetria estudadas na teoria degrupos e o proprio sistema (Ex.: molecula) quem gira, ao passo que o sistema(Ex: o laboratorio) fica estacionario, o que e chamado uma rotacao ativa. Adiferenca entre elas e somente o sinal num angulo de rotacao. Nesse apendice
apenas rotacoes passivas serao consideradas.A rotacao mais geral mantem apenas a origem invariante. Os versores (ve-
tores unitarios) destes sistemas serao denotados respectivamente por (i,j,k) e
(i,j, k). Sejam (x,y,z) e (x, y, z) as coordenadas de um vetor em S e S,respectivamente. A relacao mais geral entre elas e escrita como
x =x(i i) +y(j i) +z(k i) (147)y =x(i j) +y(j j) +z(k j) (148)z =x(i k) +y(j k) +z(k k) (149)
onde os produtos internos tambem sao chamados cossenos diretores, ja que(i
i) = cos , etc. onde e o angulo entre os versores i e i.
As relacoes (147)-(149) podem ser escritas na forma matricial: xy
z
=
i i j i k ii j j j k j
i k j k k k
xy
z
. (150)
onde a matriz 33 e dita matriz de rotacao. Trabalharemos com rotacoesem torno de um determinado eixo, que pode ser tanto do sistema fixo comodo sistema girante. Se o eixo de rotacao estiver orientado no espaco segundo oversorn, a matriz de rotacao em torno desse eixo por um angulo sera denotadaRn().
A.1 Rotacao em torno do eixo zVamos considerar uma rotacao em torno do eixo z = z de um angulo. Nessecaso os cossenos diretores sao:
i i = cos , j i = cos
2
= sin , k i = cos
2
= 0,
i j = cos
2 +
=sin , j j = cos , k j = cos
2
= 0,
i k =j k = cos
2
= 0, k k = cos 0 = 1
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de modo que a matriz de rotacao correspondente sera
Rz() =
cos sin 0 sin cos 00 0 1
(151)Naturalmente, a matriz de rotacao por um angulo igual a zero e uma nao-
rotacao, ou seja, e a matriz identidade. De fato, substituindo = 0 em (157)temos
Rz(0) =
1 0 00 1 0
0 0 1
(152)
Sabemos, da mecanica classica, que matrizes de rotacao (de um angulo finito)nao comutam, em geral, quando os eixos de rota cao sao diferentes. No entanto,quando o eixo de rotacao e o mesmo, e facil ver que as matrizes comutam, pois
nao importa a ordem com que fazemos as rotacoes. Por exemplo, sendo e dois angulos de rotacao temos que
Rz()Rz() =Rz()Rz() =Rz(+). (153)
Como consequencia, a matriz de rotacao inversa e obtida simplesmente trocandoo sinal dos angulo, ou seja
R1z () = Rz(). (154)ja que, de (152)
R1z ()Rz() =Rz()Rz() =Rz(+) =Rz(0) =I .
A.2 Rotacao em torno do eixo ySeja uma rotacao em torno do eixoy = y de um angulo os cossenos diretoressao:
i i = cos , j i = cos
2
= 0, k i = cos
2
+
=sin ,
i j = cos
2
= 0, j j = cos0 = 1, k j = cos
2
= 0,
i k = cos
2
= sin , j k = cos
2
= 0, k k = cos
de modo que a matriz de rotacao correspondente sera
Ry() =
cos 0 sin 0 1 0
sin 0 cos
(155)
A.3 Rotacao em torno do eixo x
Vamos considerar uma rotacao em torno do eixo z = z de um angulo, para aqual:
i i = cos 0 = 1, j i =k i = cos
2
= 0,
i j = cos
2
= 0, j j = cos , k j = cos
2
= sin ,
i k = cos
2
= 0, j k = cos
2
+
=sin , k k = cos
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Figura 3: Rotacoes de Euler
e a matriz de rotacao correspondente sera
Rx() =
1 0 00 cos sin 0
sin cos
(156)
B Apendice: Rotacoes de Euler
Uma rotacao generica em torno de um ponto (a origem) pode ser descrita usandotres parametros independentes: os chamados angulos de Euler (,,). Comeles descrevemos a orientacao de um sistema de eixos rodados{X , Y , Z } emtermos de um sistema original{x,y,z}em tres etapas, cada uma das quais de-finindo um angulo diferente. Ha varias convencoes possveis para estas rotacoesde Euler. Usaremos a do livro do Arfken e Weber [2] [veja a Figura 3]
1. Os eixos{x, y, z} sao girados em torno do eixo z por um angulo (nosentido anti-horario) em relacao aos eixos{x,y,z}. Os eixos z ez
coinci-dem;
2. Os eixos{x, y, z} sao girados em torno do eixo y por um angulo (no sentido anti-horario) em relacao aos eixos{x, y, z}. Os eixos y ey coincidem (e a chamada linha nodal);
3. Os eixos{X , Y , Z } sao girados em torno do eixo z por um angulo (nosentido anti-horario) em relacao aos eixos{x, y, z}. Os eixos z e Zcoincidem.
As tres matrizes descrevendo as rotacoes de Euler aimca sao:
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1. (a)
Rz() = cos sin 0 sin cos 0
0 0 1
. (157)
2. (b)
Ry() =
cos 0 sin 0 1 0
sin 0 cos
. (158)
3. (c)
Rz() =
cos sin 0 sin cos 0
0 0 1
. (159)
A rotacao resultante e o produto das tres matrizes de rotacao de Euler (notea ordem do produto: a ultima matriz e a primeira rotacao a ser efetuada!)
R(,,) = Rz()Ry()Rz() (160)
Substituindo as matrizes de rotacao (157), (158) e (159) em (160) obtemos
cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin + cos cos sin sin
cos sin sin sin cos
.
(161)
Referencias
[1] H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, (Dover, NewYork, 1931).
[2] G. B. Arfken e H. J. Weber,Mathematical Methods for Physicists, 5a. Ed.(Harcourt, San Diego, 2001).
[3] M. Tinkham,Group Theory and Quantum Mechanics
[4] H. Goldstein, C. Poole, e J. Safko,Classical Mechanics, 3rd. Ed. (AddisonWesley, San Francisco, 2000)
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