Formato Lectura LECTURA 1: Repaso de Probabilidad y Estadística En esta primera parte del curso y a manera de introducción se espera que el estudiante realice un repaso, con el cual se pueda crear una visión general de los aspectos básicos de probabilidad, específicamente en los temas relacionados con variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, las cuales serán base fundamental para la construcción del conocimiento de modelos estocásticos. De igual manera se espera que el estudiante por medio de la siguiente lectura tenga claras las diferencias entre un espacio muestral discreto con sus respectivas distribuciones y un espacio muestral continuo con sus respectivas distribuciones. VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Diferentes ciencias y disciplinas han querido hacer inferencias acerca de comportamientos en la población y el mundo en general. En el caso de los inventarios, es importante estar en capacidad de hacer inferencias del comportamiento de la demanda. Para tener noción de ese comportamiento, debemos conocer básicamente dos cosas: el conjunto de valores que puede tomar la demanda y la probabilidad asociada a cada uno de esos valores. A dicho conjunto de valores se le conoce como el espacio muestral. De esta manera, se va a definir una variable aleatoria como la función que asocia un número real (probabilidad) con cada uno de los valores del espacio muestral. Un ejemplo de definición de una variable aleatoria (“X”) relacionada con la demanda sería: X: Número de unidades a vender en el mes de enero. La siguiente tabla representa la distribución de probabilidades según el espacio muestral.
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01 - Repaso de Probabilidad y Estad-stica Semana 1
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LECTURA 1: Repaso de Probabilidad y Estadística
En esta primera parte del curso y a manera de introducción se espera
que el estudiante realice un repaso, con el cual se pueda crear una
visión general de los aspectos básicos de probabilidad,
específicamente en los temas relacionados con variables aleatorias y
distribuciones de probabilidad, las cuales serán base fundamental para
la construcción del conocimiento de modelos estocásticos. De igual
manera se espera que el estudiante por medio de la siguiente lectura
tenga claras las diferencias entre un espacio muestral discreto con sus
respectivas distribuciones y un espacio muestral continuo con sus
respectivas distribuciones.
VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Diferentes ciencias y disciplinas han querido hacer inferencias acerca
de comportamientos en la población y el mundo en general. En el caso
de los inventarios, es importante estar en capacidad de hacer
inferencias del comportamiento de la demanda. Para tener noción de
ese comportamiento, debemos conocer básicamente dos cosas: el
conjunto de valores que puede tomar la demanda y la probabilidad
asociada a cada uno de esos valores. A dicho conjunto de valores se le
conoce como el espacio muestral. De esta manera, se va a definir una
variable aleatoria como la función que asocia un número real
(probabilidad) con cada uno de los valores del espacio muestral.
Un ejemplo de definición de una variable aleatoria (“X”) relacionada
con la demanda sería:
X: Número de unidades a vender en el mes de enero.
La siguiente tabla representa la distribución de probabilidades según el
espacio muestral.
Tabla 1: distribución de probabilidades según el espacio muestral
Espacio Muestral Probabilidad
100 35%
80 55%
60 10% Fuente: elaboración propia
Para definir de manera más fácil las variables aleatorias, se crearon
distribuciones de probabilidad, las cuales pueden describir el
comportamiento de una serie de valores determinados de forma clara y
resumida. Estos permiten calcular de manera más eficiente las
probabilidades asociadas a los diferentes valores y para fines de esta
lectura, se explicarán las tres distribuciones de probabilidad más usadas
en el campo de la administración de inventarios.
Antes de proceder con los tipos de distribuciones se debe aclarar la
diferencia fundamental entre un espacio muestral discreto, un espacio
muestral continuo y el respectivo comportamiento de las variables
aleatorias. Un espacio muestral discreto es aquel que contiene un
número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos
elementos como números enteros existen, de acuerdo a lo anterior si en
la distribución se puede contar el conjunto de resultados posibles se le
conoce como variable aleatoria discreta. Un espacio muestral continuo
es aquel que contiene un número infinito de posibilidades igual al
número de puntos en un segmento de línea, es decir que cuando una
variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le
conoce como variable aleatoria continua, en pocas palabras las
variables aleatorias continuas representan datos medidos, como lo
pueden ser todos los posibles pesos, temperaturas, distancias, etc.,
mientras que las variables aleatorias discretas representan datos
contados, como lo son el número de artículos defectuosos en una
muestra de n artículos, la cantidad de accidentes de autopista en cierto
estado, etc.
Con esta breve explicación, veremos a continuación los diferentes tipos
de distribuciones más utilizadas.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Distribución Binomial
Está distribución se caracteriza por manejar los conocidos experimentos
de Bernoulli, en donde cada experimento de Bernoulli debe tener las
siguientes propiedades:
El experimento consiste en N pruebas que se repiten.
Cada prueba produce un resultado que se puede clasificar como
éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito, que se denota con la letra p,
permanece constante en cada prueba.
Las pruebas que se repiten son independientes.
Entonces, si se hacen N experimentos independientes cuyo resultado en
cada ensayo puede ser únicamente Éxito (con probabilidad p) o
Fracaso (con probabilidad q = 1‐ p), a la Variable Aleatoria X: número
de éxitos en los N ensayos, se le conoce como la Variable Aleatoria
Binomial y su Función de Probabilidad es conocida como la Distribución
Binomial de parámetros N, p:
𝒈𝑿𝑩
= (𝒌; 𝑵, 𝒑) = 𝑷(𝑿𝑩 = 𝒌)
𝒈𝑿𝑩= (𝒌; 𝑵, 𝒑) = (
𝑵𝒌
) (𝒑)𝒌(𝟏 − 𝒑)𝑵−𝒌 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑵
𝑬(𝑿𝑩; 𝑵, 𝒑) = 𝑵𝒑
𝑽𝒂𝒓(𝑿𝑩; 𝑵, 𝒑) = 𝑵𝒑𝒒
Ejemplo:
La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una
prueba de choque dada es de ¾. Encuentre la probabilidad de que
sobrevivan exactamente dos de los siguientes cuatro componentes que
se prueben.
Lo primero que debemos suponer es que las pruebas son
independientes y como 𝑝 = 3 4⁄ para cada una de las cuatro
pruebas obtenemos:
𝑉𝑎𝑟 (2; 4; 3 4⁄ ) = (4
2) (
3
4)
2
(1 −3
4)
4−2
= 4!
2! 2!∗
32
44=
27
128= 𝟎. 𝟐𝟏𝟎𝟗
La probabilidad de que sobrevivan exactamente dos de los
siguientes cuatro componentes que se prueben es del 21%.
En algunos casos, nos interesaremos por solucionar problemas donde
conocer 𝑃(𝑋 < 𝑟) o 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) sea necesario. Para solucionar este tipo
de problemas disponemos de las sumas binomiales:
𝑩(𝒓; 𝒏, 𝒑) = ∑ 𝒃(𝒙; 𝒏, 𝒑)
𝒓
𝒙=𝟎
Las cuales pueden ser consultadas en tablas para solucionar los
problemas o con la herramienta de Excel, la cual directamente calcula
la probabilidad introduciendo previamente los datos pertinentes y el
tipo de distribución. Las tablas mencionadas anteriormente pueden ser
consultadas en el libro “Probabilidad y estadística para ingenieros-
Ronald Walpole – 6 Ed.” en la tabla A.1 del apéndice.
Ejemplo:
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara
enfermedad sanguínea es del 0.4 si se sabe que 15 personas contraen
esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que (a) sobrevivan al
menos 10, (b) sobrevivan de 3 a 8 y (c) sobrevivan exactamente 5?