00 Kuliah 03 01 Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

5/12/2018 00 Kuliah 03 01 Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/00-kuliah-03-01-distribusi-probabilitas-diskret-teoritis 1/25

1DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis


Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret

Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution)

Distribusi hipergeometris (hypergeometricdistribution)

Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)

Distribusi binomial (Binomial distribution)

Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative binomial or Pascal distribution)

Distribusi geometris (geometric distribution) Distribusi Poisson (Poisson distribution)




Distribusi Seragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b) Parameter:

a, b bulat; b ≥ a

Rataan:

Variansi:

Fungsi distribusi probabilitas:

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧−+=

+−=

lainnya;0

,1,,1, ;1

1

x

bbaa x ab

x f

L

2

ba X

+=μ

( )12

112

2 −+−=

ab X σ

a : batas bawah

b : batas atas


Contoh Histogram Distribusi Seragam

Diskret

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

1 2 3 4 5 6

x

f ( x )

a = 1,

b =

6




Probabilitas Variabel Random Berdistribusi

Seragam Diskret

( )1

1

+−==

ab x X P

( ) ∑= +−

=≤r

a x abr X P

1

1


Contoh Perhitungan

Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusi

seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum

0 dan maksimum 10.

Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 atau

kurang?

Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?

( ) 4545,011

1

11

1

11

1

11

1

11

1

1010

14

4

0

=++++=+−

=≤ ∑= x

X P

5,52

110

=

+

= X μ




Distribusi Hipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, N, S)

Parameter:

Rataan:

Variansi:

( )

{ }

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧=

=

−−

lainnya;0

,min,,1,0 ;C

CC

x

Sn x

x f

N

n

SN

x n

S

x L

n, S, N bulat > 0n ≤ N; S ≤ N

N

Sn

X =μ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

N

S

N

Sn

N

nN X 1

1

2σ



Rumus Kombinasi

( )!!!Cr nr

nr nn

r −=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ =




Percobaan Hipergeometris

Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S obyek yang

dikategorikan sukses S,

dan

sisanya N – S dikategorikan gagal

Suatu sampel random berukuran n diambil

dari populasi

Variabel random yang menyatakan banyaknya

obyek berkategori sukses yang terpilih

merupakan variabel random hipergeometris


Contoh Histogram Distribusi

Hipergeometris

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1 2 3 4

x

f ( x )

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4

x

f ( x )

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4

x

f ( x )

N = 10, S = 2, n = 4

N = 10,

S =

4, n =

4

N = 10, S = 6, n = 4





Hipergeometris

( )N

n

SN x n

S x x X PC

CC −−==

( ) ∑=

−−=≤

r

x N

n

SN

x n

S

x r X P0 C

CC


Contoh Perhitungan

Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4

komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.

Jika 3 komponen diambil secara random

dari kotak,

probabilitas

bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil:

( )

5143,0

3!4!

7!

1!2!

3!

2!1!

4!

C

CC

C

CC2

7

3

3

1

4

2

7

3

47

23

4

2 =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

====−− X P




Distribusi Bernoulli

X ∼ Bernoulli ( p) Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:


p X =μ ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

=

lainnya

;0

gagal ;1

sukses ;

x

x p

x p

x f

( ) p p X −= 12σ


Percobaan Bernoulli

Percobaan hanya menghasilkan dua kejadian

yang mungkin, sukses atau gagal

Probabilitas sukses adalah p (probabilitas

gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan munculnya

sukses atau gagal merupakan variabel random

Bernoulli




Contoh Histogram Distribusi Bernoulli

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1

x

f ( x )

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

0 1

x

f ( x )

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

0 1

x

f ( x )

p = 0,2

p = 0,5

p = 0,8

X = sukses = 1

= gagal =

0


Hubungan Distribusi Bernoulli dan

Seragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1

X ∼ Bernoulli ( p); p = 0,5




Distribusi Binomial

X ∼ binomial (n,

p) Parameter:

n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:


np X =μ

( ) pnp X −= 12σ

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−

=

−

lainnya ;0

,,1,0 ;1C

x

n x p p

x f

x n x n

x L


Percobaan Binomial

Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang

mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalahtetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknyasukses dalam n usaha independen merupakanvariabel random binomial

Percobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli yang

independen yang

dilakukan sebanyak n kali




Contoh Histogram Distribusi Binomial

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f ( x )

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0 1 2 3 4 5

x

f ( x )

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f ( x )

n= 5; p = 0,2

n= 5; p = 0,5

n= 5; p = 0,8



Binomial

( ) ( )

x n x n

x p pr X P

−

−== 1C

( ) ( )∑=

−−=≤r

x

x n x n

x p pr X P0

1C




Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalam

suatu pengujian adalah 0,75.

Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalami

kerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusak

jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2109,025,075,02!2!

!475,0175,0C2

222424

2 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−== −

X P

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9492,0

0508,01

25,075,01!1!

!425,075,0

0!2!

!41

75,0175,0C1112

3140

1

0x

44

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

−−=≤−=≥ ∑=

− x x x X P X P


Hubungan Distribusi Binomial dan

Bernoulli

Y ∼ binomial (n,

p)

X i ∼ Bernoulli ( p)

∑=

=n

i

i X Y 1

X i independen dan identik




Hampiran Distribusi Binomial terhadap

Hipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, S,

N);

n/N → 0

X ∼ binomial (n, p); p = S/N


Contoh Perhitungan

Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit

dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A. Jika 10

unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit

material jenis A yang terpilih:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2013,0

8,02,03!7!

0!1

1C3

73

310

500010003

5000100010

3

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

−==−

X P




Distribusi Binomial Negatif (Pascal)

X ∼ binomial negatif (k , p)Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +=−

=

−−−

lainnya ;0

,1, ;1C1

1

x

k k x p p

x f

k x k x

k L

p

k X =μ

( )2

2 1

p

pk X

−=σ



Percobaan Binomial Negatif


Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses ke‐k merupakanvariabel random

binomial

negatif





Negatif

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

x

f ( x )

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

x

f ( x )

k = 2; p = 0,2

k = 2; p = 0,5

Variabel random X

banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses



Binomial Negatif

( ) ( )k x k x

k p p x X P−−

− −== 1C1

1

( ) ( )∑=

−−− −=≤

r

k x

k x k x

k p pr X P 1C1

1




Contoh Perhitungan

Probabilitas produk cacat adalah 0,1.

Jika produk diambil satu per satu,

probabilitas ditemukannya

produk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!

4!1,011,0C5

2335315

13==−== −−

− X P


Definisi Lain dari Variabel Random

Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob.

Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal sebelum

memperoleh k sukses

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−

=

−+

lainnya ;0

,2,1,0 ;1C1

x

x p p

x f

x k k x

x L

Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi: p

pk X

)1( −=μ

( )2

2 1

p

pk X

−=σ


( ) ( ) x k k x

x

p p x X P −== −+1C

1

( ) ( )∑=

−+ −=≤r

x

x k k x

x p pr X P0

11C





Negatif

k = 2; p = 0,2

Variabel random X

banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses


Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnya

produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkan

produk cacat ketiga?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!

4!1,011,0C2

2323132

2 ==−== −+ X P




Distribusi Geometris

X ∼ geometris ( p)Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:

( )

( )

⎪

⎩

⎪⎨

⎧ =−

=

−

lainnya ;0

,2,1 ;11

x

x p p

x f

x L

p X

1=μ

2

2 1

p

p X

−=σ



Percobaan Geometris


Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses pertamamerupakan variabel random

geometris




Contoh Histogram Distribusi Geometris

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

x

f ( x )

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0

x

f ( x )

p = 0,5

p = 0,2

Variabel random X

banyaknya usaha untuk memperoleh sukses

pertama



Geometris

( ) ( ) 11−

−== x p p x X P

( ) ( )∑=

−−=≤r

x

x p pr X P

1

11




Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu,

probabilitas ditemukannya

produk yang cacat pada pengambilan ketiga?

Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produk

cacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,03213 ==−== −

X P

101,0

1 == X μ


Definisi Lain dari Variabel Random Geometris

dan Fungsi Distribusi Probabilitas

Variabel random geometris X dapat juga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal untuk

memperoleh sukses pertama


( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−

=

lainnya ;0

,2,1,0 ;1

x

x p p

x f

x L

Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi: p

p X

−=

1μ

22 1

p p X −=σ ( ) ( )

x

p p x X P −== 1( ) ( )∑

=

−=≤r

x

x p pr X P

0

1




Contoh Histogram Distribusi Geometris

p = 0,2

Variabel random X

banyaknya gagal sebelum memperoleh sukses

pertama


Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh dua

produk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat?

Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperoleh

sebelum menemukan produk cacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,0222 ==−== X P

9

1,0

9,0

1,0

1,01==

−= X μ




Hubungan Distribusi Binomial Negatif dan

Geometris

X ∼ binomial negatif (k ,

p);

k =

1

X ∼ geometris ( p)


Distribusi Poisson

X ∼ Poisson (λ ) Parameter:

λ > 0

Rataan:

Variansi:

( )

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧=

=

−

lainnya ;0

,2,1,0 ;!

x

x x

e

x f

x

L

λ λ

λ μ = X

λ σ =2

X

Fungsi distribusi probabilitas:λ rata‐rata kejadian

per interval waktu atau

daerah tertentu




Ciri‐Ciri Proses Poisson

Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu atau

daerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadiandalam interval waktu atau daerah yang lain.

Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktuatau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadappanjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantungpada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu ataudaerah ini.

Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktu

atau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan


Contoh Histogram Distribusi Poisson

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

0.2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

f ( x )

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

f ( x )

λ = 2

λ = 5





Poisson

( )! x

e x X P

x λ λ −

==

( ) ∑=

−

=≤r

x

x

x

er X P

0 !

λ λ


Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui

berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.

Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan

per hari?( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

02925,0

01892,000045,000005,0

!4

10

!1

10

!0

10

!

10

415

410110010

4

0

10

=

+++=

+++=

=

≤−=≥

−−−

=

−

∑

L

L

eee

x

e

X P X P

x

x




Hampiran Distribusi Poisson terhadap

Binomial

X ∼ binomial (n,

p);

n → ∞;

p → 0

X ∼ Poisson (λ ); λ = np


Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak

adalah 0,01.

Jika terdapat sebanyak 1000 produk,

probabilitas terdapat 10

produk yang dibuang karena rusak?

( )( )

( )( )( )

0,0378

!5

105

1001,01000

510

=

==

==

−e X P

λ




Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson

X i ∼ Poisson (λ i )

∑=

=n

i

i X Y 1

Y ∼ Poisson (λ ), λ = λ 1 + λ 2 + ... + λ n

X i saling independen


Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahui


Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahui


Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:

( )( )

00194,0

!5

155

15510

515

21

=

==

=+=+=

−e X P

λ λ λ

00 Kuliah 03 01 Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

Documents