This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Die Vereinigungsmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören.
BxAxxBA
Durchschnitts- menge
Die Durchschnittsmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
BxAxxBA
Differenz- menge
Die Differenzmenge B\A zweier Mengen A und B ist die Menge
aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.
BxAxxB\A
Produkt- menge
Die Produktmenge BA zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element von A ist und deren zweite Komponente ein Element von B ist.
BxAxy/xBA
Komplementär- menge (Ergänzungs- menge)
Wenn A eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge G ist, dann
ist die Komplementärmenge A die Menge aller Elemente von G, die nicht zu A gehören.
Auftreten Aus einer Gesamtheit von N Elementen, unter denen sich M besondere befinden, werden n Elemente ohne Zurücklegen gezogen. Es interessiert die Wahrscheinlichkeit für k gezogene besondere Elemente.
Funktionswert
n
N
kn
MN
k
M
kXP
Erwartungswert
N
MnXE
Varianz
1N
nN
N
M1
N
Mnς2
Normalverteilung
Auftreten Wenn bei einem Experiment mit Binomialverteilung die Anzahl n der durchgeführten Versuche erhöht wird, kann die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden.
Funktionswert
0
2
2x
ς2
μx
0 dxeπ2ς
1xxP
WS, dass das Ereignis E höchstens 0x -mal eintritt.
Erwartungswert pnXEμ
Varianz p1pnς2
Praktische Vorgangsweise zur Berechnung
Transformation in die standardisierte Normalverteilung
Zufallsvariable X Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes (= jedem Element der Ergebnismenge) eine reelle Zahl zuordnet.
diskret, kontinuierlich Eine diskrete Zufallsvariable kann nur endlich viele Werte annehmen, eine kontinuierliche beliebig viele.
Wahrscheinlichkeits- verteilung
Funktion f, die jedem Wert x einer Zufallsvariable seine Wahrscheinlichkeit zuordnet:
ii xXP)x(f
Maße
Erwartungswert
n
1iiinn2211 xf.xxf.x...........xf.xxf.xXEμ
Varianz 2
n
1i
n
1ii
2ii
2i
2 μxf.xxf.μxς
Standardabweichung ς
12.5 Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
Auftreten Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, wird n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt. Wir beobachten, wie oft das Ereignis E eintritt.
Funktionswert knk p1p.
k
nkXP
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E k-mal eintritt.
Erwartungswert pnXEμ
Varianz p1pnς2
Es gilt:
k
n
!kn!k
!n
123........knk.........321
123..........kn1kn...1nn
Rechenregeln, Terme 3 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.3 Zahlenmengen
Natürliche Zahlen ,...4,3,2,1N Zahlen, die beim Zählen entstehen
Ganze Zahlen ,...4,3,2,1,0,1,2,3...,Z Natürl. Zahlen plus negative Zahlen plus Null
12.3 Wahrscheinlichkeitsbaum Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist es meist besser, die Lösung mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes zu berechnen.
Pfadregeln Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die dieses Ereignis darstellen.
( I ) BPBAPBPBAPBAPBAPAP
( II ) BPBAPBPBAPBAPBAPAP
12.4 Kombinatorik - Auswahlprobleme
Auswählen „k aus n“
Reihenfolge
wesentlich („Variationen“)
unwesentlich („Kombinationen“)
Dürfen Elemente mehrmals (mehrfach) ausgewählt werden?
(wenn alle Elementarereignisse die gleiche WS haben)
Statistische Wahrscheinlichkeit
)E(h)E(P n bei einer hinreichend großen Anzahl von
Versuchen
Summenregel für Elementarereignisse
k
1iik21 xP)A(PΩx,...,x,xA
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
)E(P1)E(P
Verknüpfung von Ereignissen
BABA A oder B (oder beide) treten ein BABA A und B treten ein
Additionsregel BAPBPAPBAP
Unvereinbarkeit A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Es gilt dann: 0BAP und somit BPAPBAP
Bedingte Wahrscheinlichkeit
BP
BAPBAP
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A, wenn B sicher eintritt oder bereits eingetreten ist.
Multiplikationsregel APABPBPBAPBAP
Unabhängigkeit A und B heißen unabhängig (d.h. dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst), wenn gilt:
Lineare Regression zur Abschätzung der linearen Abhängigkeit:
des Merkmals y vom Merkmal x bxay
2x
xy
s
sa x
s
syb
2x
xy
des Merkmals x vom Merkmal y dycx 2
y
xy
s
sc y
s
sxd
2y
xy
11.4 (Lineare) Korrelation
Definition Beurteilung
(Pearsonscher) Korrelations- koeffizient yx
xy
ss
sc.ar
1 | r | 7,0 starke lineare Korrelation
7,0 |r| 4,0 Korrelation mittlerer Stärke
0,4 |r| 0 schwache Korrelation
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
12.1 Grundlegende Begriffe
Zufallsexperiment Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen n21 x,...,x,x
Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse n21 x,...,x,xΩ
Ereignis E Teilmenge der Ergebnismenge
Gegenereignis E Komplementärmenge von E. (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt)
absolute Häufigkeit
)x(H in , )E(Hn Anzahl des Eintretens von ix bzw. von E bei n Versuchen..
relative Häufigkeit
)x(h in , )E(hn n
)x(H)x(h in
in bzw. n
)E(H)E(h n
n
14 Statistik _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10.4 Anwendungen der Integralrechnung
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse zwischen zwei Graphen
b
a
dx )x(fA
b
a
dx )x(g)x(fA
Rauminhalt Rotation um x-Achse Rotation um y-Achse
b
a
b
a
22x dxyπdx)]x(f[πV
2
1
2
1
y
y
y
y
22y dyxπdy)]y(f[πV
11 Statistik 11.1 Zentralmaße
Definition Verwendung
Arithmetisches Mittel
n
1ii
n21 x.n
1
n
x.....xxx
für (fast alle) metrisch skalierten Daten
Median (Zentralwert) z := nach Ordnung einer Liste der Größe nach der in der Mitte stehende Wert
für ordinalskalierte Daten
Modus (Modalwert) m := Wert, der mit der höchsten Häufigkeit auftritt
11.2 Streumaße
Spannweite minmax xxsp
Differenz zwischen größtem und kleinstem Messwert
Quartilsabstand nach Ordnung einer Liste der Größe nach: Differenz zwischen dem Median der linken Datenhälfte und dem Median der rechten Datenhälfte