annamatangela.files.wordpress.com · Web viewJika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un

Disusun oleh :

Anna Mariska Diana P, S.Pd

dan Tim MGMP

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa AngelaJl. Merdeka No. 24 Bandung

Barisan Dan DeretTak Hingga

Matematika WajibKelas XI

=====================================================Matematika XI Wajib

Pengantar:

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran :

1. Memahami notasi sigma dengan baik.2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada

pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan

deret dengan tekun.5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.

Peta Konsep :

.................... hal 2

Barisan dan deret Tak Hingga

Notasi Sigma

Konsep Barisan

Dan Deret

Menghitung Barisan

Dan Deret Tak Hingga

Konvergensi

Deret


A. Prasyarat 1. Misal diketahui pola :

B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :a. Suku ke – 15b. Suku ke – 18c. Suku ke – 20 d. Suku ke – 1.000e. Suku ke – 1.009

2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus : . Tentukan :a. Suku ke – 100b. Jumlah 100 suku pertama

3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah .

Tentukan suku ke – 200.Ingat : Barisan Aritmatika :

1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika Un

- Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut

disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

2. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka

dengan beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari

barisan itu adalah Un = a + (n - 1)b

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka,

maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmatika. Un disebut

suku ke n dari deret itu.

.................... hal 3


4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a

adalah Sn = atau Sn = .

Barisan Geometri :

1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika konstandengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U1 = a dan rasio r adalah: Un = arn-1

3. Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan

unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan

Un = arn-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

untuk r < 1 atau untuk r > 1

Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen.

5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r

adalah Sn =

.................... hal 4


B. Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini :

1 + 2 + 3 + 4 + ....... + 50

Penulisan notasi sigma :

Bentuk umum :

Keterangan : 1 = batas bawah

n = batas atas

k = indeks

= suku umum

Contoh :

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

Jawab :

= ....................................... .................... hal 5


Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :

a. 2 + 4 + 6 + 8 + 102 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5

= 2 (1+2+3+4+5)

Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :

a. 4 + 8 + 12 + 16 + .... + 40b. 3 + 4+ 5 + 6 + ... +100c. 3 + 6 + 9 + ... + 24

d.

e.

2. Tentukan apakah hasilnya sama dengan ( 7-3 +1) x 5

3. Apakah sama dengan

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3. .

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi (dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan

.................... hal 6


diatas dapat ditulis kembali :

1.

2.

3.

4.

Beberapa sifat notasi sigma

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c ,maka berlaku:

1.

2.

3.

4. , c Є R, c = konstanta

5. atau

.................... hal 7


6.

Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:

a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10

= 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5

=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)

=

b.

c.

.................... hal 8


Ex. 3 Tentukan nilai dari :

a.

b.

c.

d.

e.

Ex. 4 Buktikan :

Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:

a.

b.

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma

Deret Bilangan Asli .................... hal 9


Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}

Suku ke- n adalah

, sehingga dapat ditulis :

Deret Kuadrat Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli

Suku ke-n adalah

,sehingga dapat ditulis :

Deret Kubik Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli

Suku ke-n adalah

, sehingga dapat ditulis :

.................... hal 10


Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2. Tentukan jumlah dari suku ke-50 sampai suku ke-60.

Ex. 7 Berapakan nilai dari

Jawab :

=

=

=

=

=

D. Barisan dan Deret Tak Hingga

Misal :

Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.

.................... hal 11


Barisan bilangan dinamakan barisan tak hingga.

Bagaimana dengan deret??

Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.

Misal : barisan

Deret :

Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui

E. Limit dari Suatu Barisan

Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak berhingga apabila untuk setiap bilangan Є > 0 yang diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditrmukan sebuah bilangan N sedemikian sehingga ,untuk semua bilangan bulat n > N.

Misalnya : . Barisannya adalah 4.

Teorema Limit Pusat

Jika diketahui ada maka :

1.

2.

.................... hal 12


3.

4.

Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah

. Tentukan nilai limitnya.

Jawab :

F. Barisan Konvergen dan Divergen

1. Konvergen

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....

b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....

c.

d.

Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2, jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan .

.................... hal 13


Dalam contoh c dan d rasionya , dapat dihitung

jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan .

Karena deret konvergen ,untuk n → ∞ maka ,sehingga :

Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :

Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut :

a.

Deret ini konvergen,

Dengan a = 1 dan r =

b.

Deret ini konvergen,

Dengan a = 2 dan r = ,

.................... hal 14


Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali

dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya.pemantulan berlangsung

terus menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola.

Cara lain :

Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul

ke atas dengan tinggi pantulan kali dari ketinggian semulamaka

panjang lintasan pantulan hingga berhenti adalah :

Uji Rasio untuk Konvergensi Suatu Deret

Misal diketahui deret dengan tanda yang sama

atau campuran (berselang-seling antara + dan -) kita dapat menunjukkan

konvergensinya dengan menggunakan uji rasio, yaitu dengan

.................... hal 15


Deret akan konvergen jika r < 1 dan divergen jika r > 1. Jika r = 1 maka uji

rasio gagal

.................... hal 16

annamatangela.files.wordpress.com · Web viewJika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un

Documents