ardiansyahmatc.files.wordpress.com€¦ · Web viewInvers. Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan ( disebut juga negatif ) –x, yang memenuhi x + - x =0. juga setiap bilangan

1

A. Sistem bilangan real

1. Himpunan bilangan asli

N = {1,2,..., }

2. Himpunan bilangan bulat

Z = { ..., 1, 0, 1,...,}

3. Himpunan bilangan rasional

Q = { 12

, 14

, 18

,…,}

Bilangan yang dapat di tulis dengan nm dengan n dan m adalah bilangan bulat

dan n ≠ 0. Bilangan rasional adalah bilangan yang desimalnya berulang-ulang.

Contoh : 125999

=0,125125 …

4. Himpunan bilangan irasional

I = { √2 ,√3 ,…, }

Bilangan yang tidak dapat di tulis dalam bentuk nm . dengan n dan m adalah

bilangan bulat. Bilangan irasional adalah bilangan yang desimalnya tidak

berulang-ulang.

Contoh : √2=1,41421356

Disimpulkan bahwa: N⊆Z⊆Q⊆R

SIFAT-SIFAT MEDAN:

1. Komutatif : a+b=b+adana× b=b× a

2. Asosiatif :a+ (b+c )= (a+b )+cdana (b . c )= (a .b ) c

3. Distributif: x ( y+z )=xy+ xz

2

4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1

yang memenuhi x+0=x dan x .1=x untuk setiap bilangan real x.

5. Invers. Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan ( disebut juga

negatif ) –x, yang memenuhi x+(−x )=0.juga setiap bilangan x kecuali 0

mempunyai balikan perkalian ( disebut juga kebalikan), x-1 yang mempunyai

x . x−1=0

SIFAT-SIFAT URUTAN

1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan maka pasti salah satu diantara

yang berikut ini berlaku : x< y atau x> y atau x= y

2. Ketransitifan. x< y dan y>z⟹ x<z

3. Penambahan. x< y⇔ x+z< y+z

4. Perkalian. Bilangan z fositif , x< y⇔ xz< yz .bilamana z negatif x< y⇔ xz> yz.

B. KETAKSAMAAN

Simbol < dan > dinamakan simbol ketaksamaan yang memiliki sifat-sifat sebagai

berikut:

1. a≠ b⇒a<batau a>b

2. a<cdanb<c⇒ a<c

3. a<bdanc adalahbilangan realmaka a+b<b+c

4. a<bdanc<d⇒ a+c<b+d

5. a<bdanc>0⇒a . c<b . c

6. a<bdanc<0⇒a . c>b . c

7. a<b⇒dana .bbertanda sama⇒ 1a> 1

b

3

8. a>0 , b>0⇒a<b⟷a2<b2

9. a<0 , b<0⇒a<b⟷a2>b2

C. INTERVAL

Interval adalah himpunan semua bilangan real diantara dua bilangan real tertentu.

a. Interval terbuka (a,b)

Adalah himpunan bilangan real X yang memenuhi a< x<b

Contoh:

b. Interval tertutup [a,b]

Interval tertutup adalah himpunan bilangan real x yang memenuhi a≤ x≤b

c. Interval setengah terbuka [a,b)

a b

d. Interval tak hingga terbuka setengah (-~,a)

4

e. Interval tak hingga tertutup sebelah [a,~)

NILAI MUTLAK, AKAR KUADRAT, KUADRAT

5

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus dan anda diharapkan dapat

menggunakannya dengan terampil.

NILAI MUTLAK

Nilai mutlak suatu bilangan x dinyatakan dengan|x|, di definisikan sebagai:

|x|= x jika x ≥0dan|x|=−x jika x<0

Sifat-sifat nilai mutlak adalah sebagai berikut:

1. |ab|=|a||b|

2. |ab|=|a||b|

3. |a+b|≤|a|+|b| ( ketaksamaan segitiga)

4. |a−b|≥||a|−|b||

Ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak jika|x|<3 ,maka jarak antara x dan titik asal harus

lebih kecil dari 3. Dengan kata lain x harus secara simultan lebih kecil dari 3 dan lebih besar

dari -3; yaitu −3<x<3. Berlawanan jika |x|>3 , maka jarak antara x dan titik asal harus lebih

kecil dari 3. Ini bisa terjadi ketika x>3atau x←3. Ini adalah kasus-kasus dari pernyataan

berikut:

1. |x|a⇔−a<x<a

2. |x|>a⇔ x←aatau x>a

Kita dapat menggunakan fakta-fakta ini untuk menyelesaikan ketaksamaan yang melibatkan

nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangkan tanda nilai mutlak.

6

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan |3 x−5|≥ 1 dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya

pada garis real.

Penyelesaian: ketaksamaan ini dapat ditulis secara beruntun sebagai berikut:

3 x−5≤−1atau3 x−5≥ 1

3 x≤ 4 atau3 x≥ 6

x≤ 43

atau x ≥2

Himpunan penyelesaiannya berupa gabungan dua selang yaitu himpunan ¿∪¿

AKAR KUADARAT

Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadarat. Misalnya dua akar kuadrat dari 9

adalah -3 dan 3. Kadang-kadang kita menyatakan dua buah bilangan ini sebagai ± 3.

Untuk a≥ 0 , lambang√a, disebut akar kuadrat utama dari a. Yang menyatkan akar

kuadrat tak negatif dari a, jadi √9=3 dan√121=11 . tidak benar jika kita menuliskannya

seperti √16=± 4 karena √16 berarti akar kuadrat tak negatif 16 adalah 4. Bilangan real

7 bmempunyai dua akar kuadrat, yang dituliskan sebagai ±√7, tapi √7 menyatkan

bilangan real tunggal. Berikut ini adalah fakta penting yang harus di ingat. √ x2=|x|

Rumus kuadrat untuk a2+bx+c=0 adalah x=−b±√b2−4ac2a

Bilangan d=b2−4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat. Persamaan ini

mempunyai dua jawaban real jika d > 0 , satu jawaban real jika d = 0 dan tidak memiliki

jawaban real jika d < 0.

7

Contoh: selesaikanlah x2−2 x−4≤ 0

Penyelesaian:

x1=−(−1 )−√4+6

2=1−√5=−1,24

x2=−(−1 )+√4+6

2=1+√5=3,24

Sehingga x2−2 x−4=( x− x1 ) ( x−x2 )=( x−1+√5 )√(¿x−1−√5)¿

Titik-titik pemecah 1−√5 dan 1+√5 mempunyai garis real menjadi tiga selang.

Bilamana kita mengujinya dengan titik uji -2, 0, dan 4 disimpulkan bahwa himpunan

penyelesaiannya untukx2−2 x−4≤ 0 adalah [1−√5 ,1+√5]

KUADRAT

Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa |x|2=x2

Ini berasal dari sifat |ab|=|a||b|

Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan ? secara umum tidak. Misalnya

−3<2 , tetapi (−3)2>2. sebaliknya 2<3dan 22<32 . jika kita bekerja denga bilangan-bilangan

tak negatif, maka a<b⇔a2<b2. Salah satu varian dari bentuk ini adalah |x|<|y|⇔ x2< y2

Contoh: selesaikan ketaksamaan |3 x+1|<2|x−6|

Penyelesaian:

|3 x+1|<2|x−6|⇔|3 x+1|<|2 x−12|

(3 x+1)2<(2x−12)2

9 x2+6 x+1<4 x2−48 x+144

8

5 x2+54 x−143<0

( x+13 ) (5x−11 )<0

Titik pemecah untuk ketaksamaan ini adalah -13 dan −11

5 .

FUNGSI DAN LIMIT

Definisi: fungsi adalah suatu aturan koresfondensi ( padanan ) yang menghubungkan setiap

elemen x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai f(x) dari

himpunan ke dua. A B

f ( x )=4 x2−3

f (1 )=…

f (−1 )=…

f ( a+b )=…

f (2−a )=…

1.

2.

3.

4.

a.

b.

c.

d.

R = {a,b,c}

9

Daerah asal dan daerah hasil

Contoh: f ( x )= 1x−1

=f (1 )= 11−1

=10

Kerena nilai 10tidak ada, maka fungsi f (x) dikatakan tidak terdefinisi pada x=1

1. .f ( x )=x4+5x−3

.Df ={ x|x∈R }

.Df ={− , }

.Rf ={ y|y∈R }

2. f ( x )= 53x−3

.Df ={x|x∈R , x≠ 3 }

.Df ={− ,3 )∪ (3 , )

3. f ( x )=√x+7

.x+7≥ 0→ x≥−7

.Df ={x|x≥−7 , x∈R }

.Df =[−7 , )

.Rf ={ y|y ≥ 0 , y∈R

.Rf =¿

4. f ( x )=√x2+4

.x2+4 ≥ 0

.Df ={x|x , x∈ R }

.Df =(− , )

.Rf ={ y|y , y∈R }

.Rf =¿

5. f ( x )=√25−x2

.25−x2 ≥ 0

Fungsi genap dan ganjil

misalf (x) suatu fungsi maka dikatakan genap jika f ( x )=f ( x ) . Dan dikatakan ganjil jika

f (−x )=−f ( x ) .

Contoh :

10

1. f ( x )=5 x

.f (−x )=5 (− x )=−(5 x )=−f ( x ) bearti ganjil

2. f ( x )=10 x2

.f (−x )=10¿

3. f ( x )=x3+10 x

f (−x )=¿

Kontraposisi

.( f ∘ g ) (x )=f ( g ( x ) )

.f ( x )=4+3x2 , g ( x )=x−4

Contoh:

1. ( f ∘ g)( x )=f (g (1 ))

¿4+3¿

¿4+3(x2−8x+16)

¿4+3 x2−24 x+48

¿3 x2−24 x+52

2. ( g∘ f ) (x )=g ( f (x ))

¿ ( 4+3 x2 )−4

¿3 x2

Contoh lagi:

11

f ( x )=x3+2 , g ( x )= 2(x−7)

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari

1. ( f ∘ g ) (x )

2. ( g∘ f ) (x )

Penyelesaiannya:

1. ( f ∘ g ) (x )=f ( g(x ))

¿¿

Df ={x|x∈R , x≠ 7

Rf ={|y∈R , x≠ ≠ 0 }

Limit fingsi

lim f ( x )=l ,jika untuk sembarang x→abilangan kec il ε ,terdapat bilangan positif S

sedemikian sehingga untuk x yang memenuhi |x−a|<S yaitu |f (x )−l|<ε

limit fungsi aljabar

contoh :

1. limx →2

2 x2+4 x+43 x−2

=2 (2 )2+2 (2 )+4

3 (2 )−2

¿8+8+4

6−2

limh →c

f (x )

12

¿204

=5

2. limx →1

x2+4 x−5x−1

tidak dapat disubsitusikan

limx →1

x2+4 x−5x−1

=limx→ 1

( x+5 )(x−1)(x−1)

limx →1

x+5=1+5=6

Limit fungsi trigonometri

Contoh:

limx →0

sin 3 x3x

=sin 3 x3x

=32

¿23

. limx→ 0

. sin 3x3 x

¿23

×1=23

Turunan

Definisi: f ( x )=x

f ( x )= limh→0

f(a+h )−f (x)

h

Contoh : f ( x )=5 x2−3

f ' ( x )=limh→ 0

( 5(x+h)2−3 )−(5 x2−3 )

h

13

f ' ( x )=limh→ 0

5 ( x2+2xh+h2 )−3−5 x2+3

h

f ' ( x )=limh→ 0

10 xh+5h2

h

f ' ( x )=limh→ 0

h (10x+5h)

h

f' ( x )=lim

h→010x+5h

¿10 x

Teorema turunan

Konstanta: f ( x )=c→f ' ( x )=0

Fungsi identitas: f ( x )=x →f ' ( x )=1

Pangkat : f ( x )=xn →f ' ( x )=nxn−1

Kelipatan konstanta: f ( x )=c . g ( x) →f ' (x )=c . g' (x )

Aturan jumlah: f ( x )=g ( x )+h ( x )→f ' ( x )=g' ( x )+h' (x)

Aturan selisih: f ( x )=g ( x )−h ( x ) →f ' ( x )=g' ( x )−h' (x)

Hasil kali: f ( x )=g ( x ) . h ( x ) →f ' ( x )=g' ( x ) . h ( x )+g ( x ) . h' (x)

Hasil bagi: f ( x )= g(x )h(x)

→f ' (x )= g' ( x ) . H ( x )−g ( x ) . h'(x )(h ( x ))2

Turunan rumus dan cosinus

∂ x ( sinus x )=limh→ 0

sin ( x+h )−sinx

14

¿limh → 0

sin x .cos h+cos x . sin h−sinx

h

¿ limh→ 0

sin x (1−coshh )+cos x ( sin h

h )

¿−sin x limh→ 0

( 1−cosh

+cos xlimh→ 0

sin h

h ) ¿−sin x (0 )+cos x (1 )=cos x

Aturan rantai

f ( x )= (g (x))n →f ' ( g ( x ) )n−1 . g' (x )

Turunan tingkat tinggi

Contoh:

1. Turunan ketiga dari f ( x )=(3 x−5)7

y '=7 (3x−5)6 (3 )=21(3 x−5)6

y ' '=6.21(3 x−5)5 (3 )=378(3 x−5)5

y ' ' '=5.378 (3x−5)4 (3 )=5670(3 x−5)4

2. Turunan ketiga dari f ( x )=sin (4 x)

y '=cos (4 x ) .4=4 cos (4 x )

y ' '=4−sin ( 4 x ) .4=−16 sin (4 x )

y ' ' '=−16 cos (4 x ) .4=−64 cos (4 x)

15

Diferensiasi implisit

Dalam persamaan y3+7 y=x3

Kita tidak dapat menyelesaikan y dalam x. Mungkin masih berupa kasus bahwa hanya terdapat

satu y yang berpadanan dengan x. Contohnya, kita dapat menanyakan beberapa nilai yang

berpadanan dengan x=2 . untuk menjawab perasamaan ini kita harus menyelesaikan

x3+7 y=8.

Tentu saja y=1adalah solusinya, dan hanya y=1adalah satu-satunya solusi real. Di berikan

x=2, persamaan y3+7 y=x3 menentukan nilai yang berpadanan. Kita mengatkan bahwa

persamaan itu mendefinisikan y sebagai fungsi imflisit dari x. Grafik persamaan ini di kerjakan

dalam gambar 1. Tentu saja terlihat seperti grafik fungsi yang terdiferensiasiakan. Elemen baru

ini tidak dalam bentuk y=f (x ). Berdasarkan grafik kita menganggap bahwa y adalah fungsi x

yang tidak di ketahui. Kita menyatakan fungsi ini y (x ), kita dapat menuliskan persamaan ini

sebagai ¿

Meskipun kita tidak memiliki rumus untuk y (x ),kita tidak akan memperoleh hubungan antara

x , y ( x ) dan y ' (x ). Dengan mendeferensiasikan kedua sisi persamaan terhadap x. Dengan

menggunakan aturan rantai kita peroleh:

ddx

( y3 )+ ddx

(7 y )= ddx

x3

3 y2 dydx

+7 dydx

=3 x2

dydx

(3 x2+7 )=3 x2

16

dydx

= 3x2

3 y2+7

Perhatikan bahwa turunan dydx

melibatkan x dan y , sebuah fakta yang cukup mengganggu.

Tapi, jika kita hanya ingin mengetahui kemiringannya pada titik dimana kita mengetahui

koordinatnya, tidak ada yang sukar, yaiut:

dydx

=3 (2)2

3 (1)2 =1210

=65

jadi kemiringannya adalah 65

Metode yang baru saja di ilustrasikan untuk menjcari dydx tanpa terlebih dahulu

menyelesaikan secara gamblang persamaan yang di berikan untuk

y dalam xdi sebut diferensiasi implisit .

Sebuah contoh yang dapat diperiksa untuk memberikan bukti untuk menguji

kebenaran metode tersebut, perhatikan contoh berikut yang dapat di kerjakan dalam

dua cara.

Contoh 1. Carilah dydx

jika 4 x2 y−3 y=x3−1!!!!!!!!!!!

Penyelesaian:

Metode 1. Kita dapat menyelsaikan persamaan yang di berikan secara implisit untuk y sebagai berikut:

y (4 x2−3 )=x3−1

y= x3−14 x2−3

jadi dydx

=(4 x2−3 ) ( 3x2 )−(x3−1 ) (8 x )

( 4 x2−3 )2=4 x2−9 x2+8 x

(4 x2−3 )2

17

Metode 2. Diferensiasi implisit kita menyatakan turunan-turuna kedua ruas dari:

dydx

( 4 x2 y−3 y )=dydx

( x2−1 )

Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama, kita peroleh:

4 x2 . dydx

+ y .8x−3 dydx

=3 x2

dydx

( 4 x2−3 )=3x2−8xy

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

Kedua jawaban ini terlihat berbeda. Untuk satu hal, jawaban di peroleh dari metode 1 hanya

melibatkan x, sedangkan dari metode 2 melibatkan x dan y. Ingatlah meskipun demikian,

( 4 x2−3 ). Ketikan mensubsitusikan y=( x3−1 )

( 4 x2−3 ) kedalam persamaan untuk mendapatkan

dydx

kita memperoleh hasil berikut:

dydx

=3 x2−8 xy4 x2−3

=3x2−8x x2−1

4 x2−34 x2−3

¿12x4−9 x2−8 x2+8 x

(4 x2−3 )2=4 x4−9 x2+8 x

(4 x2−3 )2