Единая теория структуры, структурный синтез и анализ … Теория Механизмов и Машин. 2013. №2. Том 11. 15 УДК 621.01 В.И.ПОЖБЕЛКО ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ, СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ И АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ НОВОЙ ФОРМУЛЫ ПОДВИЖНОСТИ 1. Постановка задачи и предлагаемый путь её решения Применяемые в машиностроении механические системы представляют собой системы звеньев, взаимодействующих посредством кинематических, гибких и динамических связей. Из многолетней практики конструирования [1] установлено, что наиболее перспек- тивными в современном машиностроении и различных областях техники являются стати- чески определимые механические системы, которые обладают свойством самоустанавли- ваемости звеньев (что снижает их нагруженность при температурных и силовых деформа- циях, а также при погрешностях изготовления и сборки), отличаются уменьшенным трением и износом, более равномерным распределением нагрузок и увеличенным в несколько раз сроком службы [2–10]. Именно статически определимые механизмы и фермы являются оп- тимальными структурами [11–20], так как имеют правильное строение [3, 21, 22, 23, 24] с “нормальным” [21] соотношением между числом звеньев, числом связей и числом степеней подвижности, а их создание и представляет (согласно [3]) оптимальный структурный син- тез. Структурный синтез и анализ являются [1] первичными и наиболее ответственными этапами создания надёжно работающих механических систем различного назначения (при- воды машин, фермы, роботы, манипуляторы) для разных областей техники – по критерию отсутствия в них избыточных связей (получаются статически определимые системы). Ос- новной исходной отличительной характеристикой различных механических систем является число их степеней свободы W (DOF [15]) после сборки, которое равно: 0 W – фермы; 1 W , 2 W , 3 W – соответственно одно- , двух- и трёхподвижные механизмы. Анали- тическая зависимость между W и структурными параметрами проектируемой системы – в виде «структурной формулы подвижности» является обязательным компонентом любого структурного анализа и синтеза [14, 15, 21], а степень охвата ею всего возможного многооб- разия строения многозвенных систем с заданным W и определяет результативность данной процедуры. В теории механизмов и механике машин при структурном анализе и синтезе много- звенных механизмов для определения числа их степеней свободы (DOF [15]) – с 1869 года применяются структурная формула плоских механизмов П.Л. Чебышева [3, 21, 22, 23] и то- ждественные ей критерии А. Клейна [14] и М. Грюблера [15], которые не отражают всех структурных особенностей плоских и пространственных многозвенных статически опреде- лимых кинематических цепей и являются неинформативными о требуемом выполнении от- дельных звеньев статически определимых систем, из-за чего структурный синтез перспек- тивных самоустанавливающихся механизмов становится неопределённым и непредсказуе- мым. Рассмотрим возможности устранения указанных недостатков (препятствующих разра- ботке рациональных алгоритмов структурного анализа и синтеза различных механических систем) – за счёт применения предложенной автором в разных равнозначных вариантах [5, 6, 10] новой структурной формулы подвижности для решения прикладных задач механики. В связи с этим на основе структурных математических моделей [5, 10, 11, 12] предла- гается перейти к более наглядному геометрическому и топологическому представлению ме- ханической системы – в виде расчётного конечного набора (assortment) одно- и многовер- шинных (многошарнирных) звеньев и многократных шарниров, гарантированно образую- щих (после их сборки между собой) статически определимую многозвенную систему задан-
23
Embed
ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ, СТРУКТУРНЫЙ …tmm.spbstu.ru/22/pozhbelko.pdfструктурного анализа и синтеза [14, 15, 21], а степень
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Единая теория структуры, структурный синтез и анализ …
Теория Механизмов и Машин. 2013. №2. Том 11. 15
УДК 621.01
В.И.ПОЖБЕЛКО
ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ, СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ
И АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ НА ОСНОВЕ НОВОЙ ФОРМУЛЫ ПОДВИЖНОСТИ
1. Постановка задачи и предлагаемый путь её решения
Применяемые в машиностроении механические системы представляют собой системы
звеньев, взаимодействующих посредством кинематических, гибких и динамических связей.
Из многолетней практики конструирования [1] установлено, что наиболее перспек-
тивными в современном машиностроении и различных областях техники являются стати-
чески определимые механические системы, которые обладают свойством самоустанавли-
ваемости звеньев (что снижает их нагруженность при температурных и силовых деформа-
циях, а также при погрешностях изготовления и сборки), отличаются уменьшенным трением
и износом, более равномерным распределением нагрузок и увеличенным в несколько раз
сроком службы [2–10]. Именно статически определимые механизмы и фермы являются оп-
тимальными структурами [11–20], так как имеют правильное строение [3, 21, 22, 23, 24] с
“нормальным” [21] соотношением между числом звеньев, числом связей и числом степеней
подвижности, а их создание и представляет (согласно [3]) оптимальный структурный син-
тез.
Структурный синтез и анализ являются [1] первичными и наиболее ответственными
этапами создания надёжно работающих механических систем различного назначения (при-
воды машин, фермы, роботы, манипуляторы) для разных областей техники – по критерию
отсутствия в них избыточных связей (получаются статически определимые системы). Ос-
новной исходной отличительной характеристикой различных механических систем является
число их степеней свободы W (DOF [15]) после сборки, которое равно: 0W – фермы;
1W , 2W , 3W – соответственно одно- , двух- и трёхподвижные механизмы. Анали-
тическая зависимость между W и структурными параметрами проектируемой системы – в
виде «структурной формулы подвижности» является обязательным компонентом любого
структурного анализа и синтеза [14, 15, 21], а степень охвата ею всего возможного многооб-
разия строения многозвенных систем с заданным W и определяет результативность данной
процедуры.
В теории механизмов и механике машин при структурном анализе и синтезе много-
звенных механизмов для определения числа их степеней свободы (DOF [15]) – с 1869 года
применяются структурная формула плоских механизмов П.Л. Чебышева [3, 21, 22, 23] и то-
ждественные ей критерии А. Клейна [14] и М. Грюблера [15], которые не отражают всех
структурных особенностей плоских и пространственных многозвенных статически опреде-
лимых кинематических цепей и являются неинформативными о требуемом выполнении от-
дельных звеньев статически определимых систем, из-за чего структурный синтез перспек-
тивных самоустанавливающихся механизмов становится неопределённым и непредсказуе-
мым.
Рассмотрим возможности устранения указанных недостатков (препятствующих разра-
ботке рациональных алгоритмов структурного анализа и синтеза различных механических
систем) – за счёт применения предложенной автором в разных равнозначных вариантах [5,
6, 10] новой структурной формулы подвижности для решения прикладных задач механики.
В связи с этим на основе структурных математических моделей [5, 10, 11, 12] предла-
гается перейти к более наглядному геометрическому и топологическому представлению ме-
ханической системы – в виде расчётного конечного набора (assortment) одно- и многовер-
шинных (многошарнирных) звеньев и многократных шарниров, гарантированно образую-
щих (после их сборки между собой) статически определимую многозвенную систему задан-
Структура механизмов
http://tmm.spbstu.ru 16
ной подвижности (DOF), содержащую [11]: «заданное число независимых замкнутых конту-
ров K , требуемый набор многократных шарниров и требуемый состав многовершинных
звеньев с заданным ограничением их наибольшей сложности (например, по числу осей шар-
ниров на одном звене) в пределах допустимого их общего числа в проектируемой механиче-
ской системе». Согласно фундаментальному словарю по механике (искусству построения) машин [1]
и справочнику конструктора [16] наиболее востребованными и перспективными для разных
областей техники являются системы с многократными шарнирами, применение которых в
проектируемой структуре [11], [12] обеспечивает упрощение конструкции, снижение габа-
ритов и веса приводов, а также расширение их функциональных возможностей. В связи с
этим возникает актуальная задача [10] “направленного структурного синтеза оптимальных
механических систем с многократными шарнирами” – которая ставится и полностью реша-
ется в данной работе.
2. Общие структурные формулы и математические модели
строения статически определимых механических систем
Условные обозначения и термины:
Вершиной звена – называется сопрягаемый элемент звена, это место на одном звене
механической системы, конструктивно подготовленное для подвижного присоединения к
нему другого звена системы посредством кинематических пар, гибких и динамических свя-
зей [8].
1n – число одновершинных (одношарнирных) звеньев; 2n – число двухвершинных
(двухшарнирных) звеньев; 3n – число трёхвершинных (трехшарнирных) звеньев; 4n – число
четырёхвершинных (четырёхшарнирных) звеньев; 5n – число пятивершинных (пятишар-
нирных) звеньев; … ; in – число наиболее сложных i -вершинных звеньев (с учётом всех
видов кинематических пар, гибких и динамических связей); WKi max – предельное
число соединений наиболее сложного звена с другими звеньями (см. ниже теорему II в п.3).
K – число образуемых звеньями данной системы взаимно независимых замкнутых
контуров; – приведенное число многократных шарниров, учитывающее число всех двой-
ных шарниров ( 2 ), тройных ( 3 ) и т.д. j кратных шарниров [8] (см. ниже теорему IV в
п.3):
Представленные на основе общей структурной теории [6] – [12] универсальные анали-
тические зависимости отражают особенности возможного строении открытых ( 0K ) и
замкнутых ( 1K ) статически определимых механических систем разного уровня сложно-
сти ( 11 KY ) – неоднородных ( varh ) и однородных ( 1...6 consth ); одно- и
многоподвижных, плоских и пространственных механизмов и ферм. Выполненная формали-
зация структуры и методика направленного структурного синтеза и анализа строения много-
звенных механических систем заключается в их топологическом представлении – в виде за-
данной совокупности K замкнутых контуров, составленных из строго определённых рас-
чётных наборов (assortments) взаимосвязанных одно- и многошарнирных звеньев
( WKnnnnn ,...,,,, 4321 ), замыкаемых между собой посредством однократных и многократ-
ных шарниров и различных геометрических, гибких и динамических связей.
1. Классификация замкнутых контуров и семейств механических систем. В качестве
первоочередной оценочной количественной характеристики строения замкнутых контуров
многозвенных механических систем примем безразмерное целое число h , изменяющееся в
интервале значений:
Единая теория структуры, структурный синтез и анализ …
Теория Механизмов и Машин. 2013. №2. Том 11. 17
6...11 dgHh , (1)
и равное количеству элементарных (вращательных, поступательных) перемещений звеньев,
требуемых для полного замыкания в процессе сборки данного открытого контура в его по-
следней кинематической паре. Слагаемые в зависимости (1) учитывают: 5...1H – воз-
можную подвижность кинематических пар (геометрических связей); величина 1 dg –
задаётся в случае замыкания данного контура гибкими ( 0g ) или динамическими связями
( 0d ) [6, 17]. При отсутствии указанных связей 0,0 dg в данном контуре (где зве-
нья взаимодействуют только через кинематические пары) – в выражение (1) подставляется
0 dg . Для всей механической системы (с общим числом контуров 1K ) сумма
dg будет равна числу контуров, замыкаемых гибкими и динамическими связями
( Kdg 0 ) и затем входит в выражение (8).
С физической точки зрения величина h , 61 h – это число степеней свободы того
пространства, в пределах которого могут происходить перемещения звеньев данной системы
(т. е. пространства движений, в котором существует и работает данный механизм или про-
странства, в котором происходят деформации звеньев данной фермы).
По величине безразмерного целого числа 6...1h разные замкнутые контуры разде-
лим на шесть классов: I ( 1h ), II ( 2h ), III ( 3h ), IV ( 4h ), V ( 5h ) и VI ( 6h ), а
однородные механические системы I типа (содержащие замкнутые контуры одного класса) –
разделим соответственно на шесть семейств (номер семейства равен величине h ). Неодно-
родные механические системы II типа (содержащие замкнутые контуры разных классов) –
объединим в особое седьмое семейство (и условно его обозначим 70 h ).
В данной работе в диапазоне 2 6h существование различных механических сис-
тем рассматривается (см. п.п. 4, 5 и 6) в предлагаемой новой области – многократном под-
вижном пространстве, где вдоль хотя бы одной из осей координат zyx ,, в процессе сборки
и работы происходит два и более повторяющихся элементарных перемещений звеньев, реа-
лизующих заданное безразмерное число 6...2h (в отличие от традиционно рассматривае-
мого пространства неповторяющихся движений [3, 15, 20]).
2. Универсальная структурная формула (уравнение подвижности DOF) статически
определимых неоднородных (случай «а») и однородных (случай «б») механических систем с
любыми видами связей [6, 8] примет вид:
а) fKhnWh
h
h
6
1
11~ , (2)
б) fKhnW 11~ (2а)
и устанавливает следующую общую зависимость подвижности W от величины h (про-
странства, в котором существует данная механическая система) и от применяемых в данной
структуре ассортимента многошарнирных звеньев ( inn ...1 ) и набора ( ) многократных
шарниров:
)(2
1...2
2
3
2
14321 hfnhi
hnhn
hnn
hW i
. (2б)
Структура механизмов
http://tmm.spbstu.ru 18
Зависимость (2б) в виде суммы имеет более краткую равнозначную форму записи:
hfnih
hWi
i
i
1 2
1. (2в)
Универсальная структурная формула подвижности (2в) для отдельных семейств ста-
тически определимых механических систем (после подстановки в зависимость (2в) целых
значений h во всём диапазоне 61 h ) примет следующий краткий вид:
1) 11
1
fnWi
i
ih ;
2) 242
1
1
2
fniWi
i
ih ;
3) 331
3
fniWi
i
ih ;
4) 4382
1
1
4
fniWi
i
ih ;
5) 5251
5
fniWi
i
ih ;
6) 65122
1
1
6
fniWi
i
ih .
* В структурных формулах (2), (2а), (2б), (2в) величина f – это число дополнительных
степеней свободы механической системы от применения в ней вместо низших пар высших,
например, двухподвижных (числом 2p ), трёхподвижных (числом 3p ), четырёхподвижных
(числом 4p ) и пятиподвижных (числом 5p ) кинематических пар:
5
2
5432 1432H
H
HpHppppf .
Применительно к наиболее распространенным плоским и пространственным механи-
ческим системам третьего семейства ( 3h ) из универсальной формулы W (2б) получаем
следующую новую структурную формулу подвижности (в разной форме записи):
ji jninnpnnW 1...23...232 3254221 , (2г)
i
i
j
j
ji jnipnnW4 2
221 1332 (2д)
Влияние jin , на W : число 1n и 2n увеличивает, 3n – не влияет, а 4in и 2j – увеличивает
W .
3. Приведённое число многократных шарниров ( ) [10] определяется по теореме IV
(п.3):
Единая теория структуры, структурный синтез и анализ …
Теория Механизмов и Машин. 2013. №2. Том 11. 19
121...432 15432 Knj j . (3)
4. Общее число звеньев любой механической системы ( n~ ) и общее число соединяющих
их кинематических пар ( p ) (геометрических связей с любым числом накладываемых ими
ограничений) можно представить [10] в виде следующих универсальных зависимостей
взаимосвязанных между собой одношарнирных и многошарнирных звеньев, образующих с
учётом соотношения многократных шарниров (3) следующие конечные арифметические ря-
ды:
WK
WK
nWKnnnnnnp
nnnnnnnn
...654325,0
;...~
654321
654321, (4)
однозначно ограниченные заданным числом замкнутых контуров K (т.е. уровнем сложно-
сти 1 KY синтезируемой системы), где в пределе WKi max (см. теорему II в п.3).
5. Определитель D целевой функции структурного синтеза статически определимых
механических систем получается преобразованием новой универсальной структурной фор-
мулы подвижности (2) к общему виду (5) – для синтеза неоднородных систем, или аналогич-
ной формулы (2а) к общему виду (5а) – для синтеза однородных систем:
а) 011~6
1
fWKhnDh
h
h , (5)
б) 011~ fWKhnD , (5а)
где слагаемое f – учитывает дополнительное число степеней свободы механической сис-
темы от применения в ней многоподвижных кинематических пар ( 1H ) (вместо однопод-
вижных пар).
Аналогичным преобразованием (перенос всех слагаемых в левую часть уравнения)
новой структурной формулы подвижности (2б) – получаем аналитическую зависимость оп-
ределителя целевой функции структурного синтеза оптимальных структур 0D :
а) в общем виде для любого из семейств однородных статически определимых меха-
нических систем ( 6...1h ):
02
1...
2
3
2
1321
fhWnhi
hn
hnn
hD i , (5б)
б) для плоских и пространственных механизмов и ферм третьего семейства ( 3h ):
033...322 265421 pWninnnnnD i , (5в)
* При анализе правильности строения данной механической системы целевая функция
0D указывает на отсутствие дефектов структуры исследуемого механизма ( 1W ) или
фермы ( 0W ), а величина 0D указывает на наличие и точно определяет число избы-
точных связей (случай 0D ) или лишних неуправляемых подвижностей (случай 0D ).
6. Структурная математическая «VIP-модель» в общем виде для любого из семейств
статически определимых механических систем представляет совместную систему линейных