© T Madas. Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by fractions Add imaginary numbers Real Numbers ( ) Integers.

© T Madas

© T Madas

Add zero and negative integers

Add fractions and decimals which can be represented by fractions

Addimaginary numbers

Real Numbers ( )

Integers ( )E.g. … -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 …

Rational Numbers ( )E.g. 17, -10, -½, -0.65, 0.333 etc

Natural Numbers ( )E.g. 1, 2, 3 …

Complex Numbers ( )

¥

¢

¤

¡

£

Addirrational numbers such as the square

roots and π

© T Madas

Add zero and negative integers

Add fractions and decimals which can be represented by fractions

Addimaginary numbers

Real Numbers ( )

Integers ( )E.g. … -3, -2, -1, 0,1, 2, 3 …

Rational Numbers ( )E.g. 17, -10, -½, -0.65, 0.333 etc

Natural Numbers ( )E.g. 1, 2, 3 …

Complex Numbers ( )

¥

¢

¤

¡

£

Addirrational numbers such as the square

roots and π

© T Madas

Rational or Irrational?

It doesn’t quite work like this with numbers

© T Madas

Rational or Irrational?

It doesn’t quite work like this with numbers

© T Madas

What is an irrational number?

It is a number which when written in decimal form:

it has an infinite number of decimal digits which appear with no pattern whatsoever

The formal definition of an irrational number:

It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominatorThe constant ratio of a circle’s circumference is an irrational number, which is given approximately by:

3.141592653589793238462643383279502884197 [40

d.p.]

We know this irrational number as πInfinite decimal places, no pattern, there is no fraction

equal to π

© T Madas

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198

π ≈ 1000 decimal places

© T Madas

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472

π ≈ 5000 decimal places

© T Madas

π ≈ 10000 decimal places3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174

50284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888963995879475729174642635745525407909145135711136941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784408745196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734072396103685406643193950979019069963955245300545058068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635833005940873068121602876496286744604774649159950549737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201629515413371424892830722012690147546684765357616477379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953591946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914043027253860764823634143346235189757664521641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415420516184163484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253256753286129104248776182582976515795984703562226293486003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506526530537182941270336931378517860904070866711496558343434769338578171138645587367812301458768712660348913909562009939361031029161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039107225383742182140883508657391771509682887478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200659755851276178583829204197484423608007193045761893234922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646925650493681836090032380929345958897069536534940603402166544375589004563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589638140918390367367222088832151375560037279839400415297002878307667094447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302763478708108175450119307141223390866393833952942578690507643100638351983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001

Never endsIt has no pattern

No fraction can be found equal to

π

π is the most famous irrational number

© T Madas

All non exact rootsare

irrational numbersFACT[it can be proven using more advanced maths]

=9 rational

=5 irrational

=310 irrational

=3125 rational

=14

rational Why?

=2536

rational

© T Madas

2 ≈ 1000 decimal places

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847

© T Madas

2 ≈ 5000 decimal places1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024

9248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765952635140542267653239694617511291602408715510135150455381287560052631468017127402653969470240300517495318862925631385188163478001569369176881852378684052287837629389214300655869568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113206052433629485317049915771756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839599926521176252698917540988159348640083457085181472231814204070426509056532333398436457865796796519267292399875366617215982578860263363617827495994219403777753681426217738799194551397231274066898329989895386728822856378697749662519966583525776198939322845344735694794962952168891485492538904755828834526096524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540575867999670121372239475821426306585132217408832382947287617393647467837431960001592188807347857617252211867490424977366929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644710757848602463600834449114818587655554286455123314219926311332517970608436559704352856410087918500760361009159465670676883605571740076756905096136719401324935605240185999105062108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934984451126922780344913506637568747760283162829605532422426957534529028838768446429173282770888318087025339852338122749990812371892540726475367850304821591801886167108972869229201197599880703818543332536460211082299279293072871780799888099176741774108983060800326311816427988231171543638696617029999341616148786860180455055539869131151860103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396189314549999906107587049090260883517636224749757858858368037457931157339802099986622186949922595913276423619410592100328026149874566599688874067956167391859572888642473463585886864496822386006983352642799056283165613913942557649062065186021647263033362975075697870606606856498160092718709292153132368281356988937097416504474590960537472796524477094099241238710614470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179833981083788278153065562315810360648675873036014502273208829351341387227684176678436905294286984908384557445794095986260742499549168028530773989382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276364507163279154701597733548638939423257277540038260274785674172580951416307159597849818009443560379390985590168272154034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297823192986064679789864092085609558142614363631004615594332550474493975933999125419532300932175304476533964706627611661753518754646209676345587386164880198848497479264045065444896910040794211816925796857563784881498986416854994916357614484047021033989215342377037233353115645944389703653166721949049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392324370474115331872531906019165996455381157888413808433232105337674618121780142960928324113627525408873729051294073394794330619439569367020794295158782283493219316664111301549594698378977674344435393377099571349884078908508158923660700886581054709497904657229888808924612828160131337010290802909997456478495815456146487155163905024198579061310934587833062002622073724716766854554999049940857108099257599288932366154382719550057816251330381531465779079268685008069844284791524242754410268057563215653220618857512251130639370253629271619682512591920252160587011895967322442392674237344907646467273753479645988191498079317180024238554538860383683108007791824664627541174442500187277795181643834514634612990207633430179685543856316677235183893366670422221109391449302879638128398893117313084300421255501854985065294556377660314612559091046113847682823595924772286290426427361632645854433928772638603431498048963973633297548859256811492968361267258985738332164366634870234773026101061305072986115341299488087744731112295426527516536659117301423606265

© T Madas

2 ≈ 10000 decimal places1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314

13222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847208969463386289156288276595263514054226765323969461751129160240871551013515045538128756005263146801712740265396947024030051749531886292563138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104088391429233811320605243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421182731672625753959471725593463723863226148274262220867115583959992652117625269891754098815934864008345708518147223181420407042650905653233339843645786579679651926729239987536661721598257886026336361782749599421940377775368142621773879919455139723127406689832998989538672882285637869774966251996658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582883452609652409654288939453864662574492755638196441031697983306185201937938494005715633372054806854057586799967012137223947582142630658513221740883238294728761739364746783743196000159218880734785761725221186749042497736692920731109636972160893370866115673458533483329525467585164471075784860246360083444911481858765555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850076036100915946567067688360557174007675690509613671940132493560524018599910506210816359772643138060546701029356997104242510578174953105725593498445112692278034491350663756874776028316282960553242242695753452902883876844642917328277088831808702533985233812274999081237189254072647536785030482159180188616710897286922920119759988070381854333253646021108229927929307287178079988809917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934161614878686018045505553986913115186010386375325004558186044804075024119518430567453368361367459737442398855328517930896037389891517319587413442881784212502191695187559344438739618931454999990610758704909026088351763622474975785885836803745793115733980209998662218694992259591327642361941059210032802614987456659968887406795616739185957288864247346358588686449682238600698335264279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787060660685649816009271870929215313236828135698893709741650447459096053747279652447709409924123871061447054398674364733847745481910087288622214958952959118789214917983398108378827815306556231581036064867587303601450227320882935134138722768417667843690529428698490838455744579409598626074249954916802853077398938296036213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630715959784981800944356037939098559016827215403458158152100493666295344882710729239660232163823826661262683050257278116945103537937156882336593229782319298606467978986409208560955814261436363100461559433255047449397593399912541953230093217530447653396470662761166175351875464620967634558738616488019884849747926404506544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761448404702103398921534237703723335311564594438970365316672194904935188290580630740134686264167247011065346349391640714628556798017793381442404526913706660977763878486623800339232437047411533187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887372905129407339479433061943956936702079429515878228349321931666411130154959469837897767434443539337709957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892461282816013133701029080290999745647849581545614648715516390502419857906131093458783306200262207372471676685455499904994085710809925759928893236615438271955005781625133038153146577907926868500806984428479152424275441026805756321565322061885751225113063937025362927161968251259192025216058701189596732244239267423734490764646727375347964598819149807931718002423855453886038368310800779182466462754117444250018727779518164383451463461299020763343017968554385631667723518389336667042222110939144930287963812839889311731308430042125550185498506529455637766031461255909104611384768282359592477228629042642736163264585443392877263860343149804896397363329754885925681149296836126725898573833216436663487023477302610106130507298611534129948808774473111229542652751653665911730142360626525869077198217037098104644360477226739282987415259306956206384710827408218490673723305874302970924289948173924407869375284401044399048520878851914193541512900681735170306938697059004742515765524807844736214410501620084544412225595620298472594035280190679806809830039645398568593045862526063779745355992774729906488874545124249607637801086390019105809287476472075110923860595019543228160208879621516233852161287522851802529287618325703717285740676394490982546442218465430880661058020158472840671263025459379890650816857137165668594130053319703659640337667414610495637651030836613489310947802681293557331890551970520184515039969098663152512411611192594055280856498931958983456233198368349488080617156243911286631279784837197895336901527760054980551663501978555711014055529763384127504468604647663183266116518206750120476699109872191044474403268943641595942792199442355371870429955924031409171284815854386600538571358363981630945240755700932516824344168240836197927337282521546224696153321702682995097908903459485887834943961620435842249739718711395892730509219705491717696160044558089942787888036916943289459514722672292612485069617316380941082186004528610269654757630431025602715231396948213551982140971654909731999283492567409749039229712634869341457493319804171807611196390227866407592243416776246623623891311027034330457636814112832132630858223945621959808661293999620123415617631817431242008901498384856048087986460839359649236651429681257731432291456871682762199611827826953157498380262465175905410397618128760421638613450221326272775661244113361077519555774950865636067378665062318564069912280187574178549466125327599769796059776059075648910666101583841720281853043211904465775255427754379872605488173619826758168628329526078993222668360283851351228105931859102864150815705631971731518313625024359041463212239217663398268936825315053005989154702909537193266207341123494743367884690201390497842852163414429214589558287847669394646426781221904978563635526336827805186009869924893778600239876916980765662194389854437080594643336233381058745816235475600136592435242657143083465545768002370814675732525470255074763747163506785159917369379325103268276062864591461820472148637037077192692682362333472037924596469181052613915308628029144096548256387309273042654466292904589606375191871146934536197332478957270703153093090192119919999361576500350398405406742538792752792272473356677060783791138448893626136765706026360031513295209539520285489738448625613492441470860708660267634997879342087583612194711699422384848259591430452810706260150896913530301772006271705440209066951491527459771970594769547409521028787255785688002219371774355811079393088338455864827729100862955456614130672123084874022712105868632338823741388442893815544464710575565146843570294663506289387356986868837648032651952841465351739530273612013742030098673983851432190043602898269829352939941412923058038456502270721681516194101144982630136490087704839848838609065336859905458389520318564804149327214239086516499943165920796595356943072311291162928679751715668890543932203569129332457020806719444049730494398140822782960279942454108316667592142483518272381720504103927428880155622338079614751243351473102128454594489944499600075243751957011668341744749079588209951783676802323651767497230148745774272599476096219843271483529861119027287358490521797590837419748602670605374623153003937521236786775284869219585713755426968482783631786110993368014391590597484285805451613023014397905701610889862777961075067333267604865492925139978139053588227689373220494148394013556035656044214017612060513180689198996260618483185340183623782172663758045524719626617492542285280457144204857834211322800852870420548899234127855481236761537707104254469868521991122835426634999712748366076246241820736466617128394748473280474430403344107200428727127567027956758242926271945458053002666489965079569778178621942172005237165369467704195111912704624836051130289046437751148694887849615118841471910001255883836660677208411235153558811267789571558590412576261601067513153580212427331871000635824954504099579407254798900316826512373119055668291519430537084893078691974282904903860372311609928342431712225099454715019286664878710795199518005463388384431548172463548024451803084527343100062137103462573306001234973744355818096567846464153390514656919324562353140577919369898842364718352537580525771331120079710406831549266540202604680681839143782721476906324246951712863673844313983337117615941869993466262345373452356794012416809229116360956372167452839170990914664850739205151605604737871061547021699607465693097944261214692561593425649401912298951473254471518126325836889728226283329524035970072786336460459470712417472946877570595815734996284809956783925547424044899188707106967524250774520122936081057414265323472406416214103335334055110452126175035902840374545918645047276243420717709297935401021409646450283683418040758608100140721619247717980985968111540446443728568959286831977797786934641598469745133917741537904877880830022058335046746555323028587325835

Never endsIt has no pattern

No fraction can be found equal to

2

All non exact roots are

irrational numbers

© T Madas

All non exact trigonometric ratiosare

irrational numbersFACT[it can be proven using more advanced maths]

sin 30° =rational

irrationaltan 60° =

cos 71° =irrational

rationaltan 45° =

sin 10° =irrational

irrationalcos 120° =

© T Madas

sin45° ≈ 1000 decimal places

0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220607485499679157066113329637527963778999752505763910302857350547799858029851372672984310073642587093204445993047761646152421543571607254198813018139976257039948436266982731659044148203103076291761975273728751438799808649177876101687659285056771873017042494235801934499853495024075152720138951582271239115342464684593107902892315557983343565065078092844936186176442546324306247488577109167102142843030073412360385717927437077828534838826860113242723507929400810379237461328613001042792233260729199446972185463295900155694123234078541315050297429352001593240171097448639145320522536318440656869927628058661020122545613850113470563786813640247869054483752009184934184225362899682364530381498470690237827411864498590163401237210314634562429526090502229921075295560124720670864265739052901801685538654591434657355085555841958290863444709879358291076064114759244236

© T Madas

0.70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986899536623923105351942519376716382078636750692311545614851246241802792536860632206074854996791570661133296375279637789997525057639103028573505477998580298513726729843100736425870932044459930477616461524215435716072541988130181399762570399484362669827316590441482031030762917619752737287514387998086491778761016876592850567718730170424942358019344998534950240751527201389515822712391153424646845931079028923155579833435650650780928449361861764425463243062474885771091671021428430300734123603857179274370778285348388268601132427235079294008103792374613286130010427922332607291994469721854632959001556941232340785413150502974293520015932401710974486391453205225363184406568699276280586610201225456138501134705637868136402478690544837520091849341842253628996823645303814984706902378274118644985901634012372103146345624295260905022299210752955601247206708642657390529018016855386545914346573550855558419582908634447098793582910760641147592442360448473169314457814413829763175702711338266198473087556458012043577550675752276906437800263157340085637013269847351201502587476594314628156925940817390007846845884409261893420261439188146946071503279347843429822975777508223622549184480184436615571947077883255204419571461690566030262168147426585249578858781142748707194995940108812154826032821059136583631287697973586279673186193161307413713111043355779197999632605881263494587704940796743200417285425907361159071020352132545282661666992182289328983982596336461999376833086079912894301316818089137479971097018888768407131088693995972756986156370334491649949476933644114281893488748312599832917628880994696614226723678473974814760844457427462694523779144172630482620482714446972693233128724637781909822051584899165309260096896924700285781668602740342702879339998350606861197379107131532925661087044161914736438086968237339187159800007960944036739288086261059337452124886834646036555481848608044668543305783672926674166476273379258223553789243012318004172245574092938277771432275616571099631556662589853042182798521764282050439592503801805045797328353384418027858700383784525480683597006624678026200929995525310540817988632156903027335051467849855212125528908747655286279674922255634613901724567533187843738801415814148027662112134787672645144193842232145866413854441590435126699261690613749954061859462703632376839251524107959009430835544864346146005987999403519092716662682301055411496396465364358903999440495883708870544915304001631559082139941155857718193483085149996708080743934300902275277699345655759300519318766250227909302240203751205975921528372668418068372986872119942766425896544801869494575865979370672144089210625109584759377967221936980946572749999530537935245451304417588181123748789294291840187289655786699010499933110934749612979566382118097052960501640130749372832998444370339780836959297864443212367317929434322484111930034916763213995281415828069569712788245310325930108236315166814875378489353033034282490800463593546460765661841406784944685487082522372954802687363982622385470496206193553072352719933718236692387274095504364431110747947647955939460745899169905418941390765327811579051803243379365180072511366044146756706936138420883392184526471434924541922787228970479931303712497745840142653869946914801810667699376602545999468037569532222478842284967356381822535816395773507988667743194697116286387700191301373928370862904757081535797989249090047217801896954927950841360770172907907605024683314767244135536461983011608191191333063134152512863905847255176896857844116829661489115964930323398949320460428047790713071818155023077971662752372469879669995627097661504660876522382669823533138058308767593773231048381727936930824400994242487396320225327224484550203971059084628984287818924407494932084274974581788072420235105169946076711885186166765578229721948518265833609745246759414529031537006734313208362350553267317469582035731427839900889669072120226345685333048888193924331190016961621852370576659362659530095829982276905789442069042166160526688373090608900714804641620568137627044368645256470366973971653097197846835103971475793911417466096583320556507747973491894888371722176966885497856749420394542540794618303504432905273547489523286149444044623064140800656685051454014549987282392479077280732435775819525120992895306554672939165310013110368623583834272774995249704285540496287996444661830771913597750289081256651907657328895396343425040349221423957621213772051340287816078266103094287561255653196851268146358098412562959601260802935059479836612211963371186724538232336368767398229940957490396585900121192772694301918415540038959123323137705872212500936388975908219172573173064951038167150898427719281583386175919466833352111105546957246514398190641994465586565421502106277509274925326472781888301573062795455230569238414117979623861431452132136808163229272169643863193017157490244819868166487744296284057464841806336294928691660821833174351173865130505306525364930576706497440438723655561477132637582683295586507118031326

sin45° ≈ 5000 decimal places

© T Madas

0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207863675069231154561485124624180279253686063220607485499679157066113329637527963778999752505763910302857350547799858029851372672984310073642587093204445993047761646152421543571607254198813018139976257039948436266982731659044148203103076291761975273728751438799808649177876101687659285056771873017042494235801934499853495024075152720138951582271239115342464684593107902892315557983343565065078092844936186176442546324306247488577109167102142843030073412360385717927437077828534838826860113242723507929400810379237461328613001042792233260729199446972185463295900155694123234078541315050297429352001593240171097448639145320522536318440656869927628058661020122545613850113470563786813640247869054483752009184934184225362899682364530381498470690237827411864498590163401237210314634562429526090502229921075295560124720670864265739052901801685538654591434657355085555841958290863444709879358291076064114759244236044847316931445781441382976317570271133826619847308755645801204357755067575227690643780026315734008563701326984735120150258747659431462815692594081739000784684588440926189342026143918814694607150327934784342982297577750822362254918448018443661557194707788325520441957146169056603026216814742658524957885878114274870719499594010881215482603282105913658363128769797358627967318619316130741371311104335577919799963260588126349458770494079674320041728542590736115907102035213254528266166699218228932898398259633646199937683308607991289430131681808913747997109701888876840713108869399597275698615637033449164994947693364411428189348874831259983291762888099469661422672367847397481476084445742746269452377914417263048262048271444697269323312872463778190982205158489916530926009689692470028578166860274034270287933999835060686119737910713153292566108704416191473643808696823733918715980000796094403673928808626105933745212488683464603655548184860804466854330578367292667416647627337925822355378924301231800417224557409293827777143227561657109963155666258985304218279852176428205043959250380180504579732835338441802785870038378452548068359700662467802620092999552531054081798863215690302733505146784985521212552890874765528627967492225563461390172456753318784373880141581414802766211213478767264514419384223214586641385444159043512669926169061374995406185946270363237683925152410795900943083554486434614600598799940351909271666268230105541149639646536435890399944049588370887054491530400163155908213994115585771819348308514999670808074393430090227527769934565575930051931876625022790930224020375120597592152837266841806837298687211994276642589654480186949457586597937067214408921062510958475937796722193698094657274999953053793524545130441758818112374878929429184018728965578669901049993311093474961297956638211809705296050164013074937283299844437033978083695929786444321236731792943432248411193003491676321399528141582806956971278824531032593010823631516681487537848935303303428249080046359354646076566184140678494468548708252237295480268736398262238547049620619355307235271993371823669238727409550436443111074794764795593946074589916990541894139076532781157905180324337936518007251136604414675670693613842088339218452647143492454192278722897047993130371249774584014265386994691480181066769937660254599946803756953222247884228496735638182253581639577350798866774319469711628638770019130137392837086290475708153579798924909004721780189695492795084136077017290790760502468331476724413553646198301160819119133306313415251286390584725517689685784411682966148911596493032339894932046042804779071307181815502307797166275237246987966999562709766150466087652238266982353313805830876759377323104838172793693082440099424248739632022532722448455020397105908462898428781892440749493208427497458178807242023510516994607671188518616676557822972194851826583360974524675941452903153700673431320836235055326731746958203573142783990088966907212022634568533304888819392433119001696162185237057665936265953009582998227690578944206904216616052668837309060890071480464162056813762704436864525647036697397165309719784683510397147579391141746609658332055650774797349189488837172217696688549785674942039454254079461830350443290527354748952328614944404462306414080065668505145401454998728239247907728073243577581952512099289530655467293916531001311036862358383427277499524970428554049628799644466183077191359775028908125665190765732889539634342504034922142395762121377205134028781607826610309428756125565319685126814635809841256295960126080293505947983661221196337118672453823233636876739822994095749039658590012119277269430191841554003895912332313770587221250093638897590821917257317306495103816715089842771928158338617591946683335211110554695724651439819064199446558656542150210627750927492532647278188830157306279545523056923841411797962386143145213213680816322927216964386319301715749024481986816648774429628405746484180633629492869166082183317435117386513050530652536493057670649744043872365556147713263758268329558650711803132629345385991085185490523221802386133696414937076296534781031923554137041092453368616529371514854621449740869622039346876422005221995242604394259570967707564503408675851534693485295023712578827624039223681072052508100422722061127978101492362970176400953399034049150198226992842965229312630318898726779963873649532444372725621248038189005431950095529046437382360375554619302975097716140801044398107581169260806437614259012646438091628518586428703381972454912732211092327154403305290100792364203356315127296899453254084285685828342970650266598518298201688337073052478188255154183067446554739013406467786659452759852600922575199845493315762562058055962970276404282494659794917281165991841747440403085781219556433156398924185989476684507638800274902758317509892778555070277648816920637522343023238315916330582591033750602383495549360955222372016344718207979713960997211776859352149779620157045856424079271933002692856791819908154726203778504662584121720841204180989636686412607731123480766608513414975489544517297429439174719808102179211248698593556979463652546098527458588480800222790449713939440184584716447297573613361463062425348086581904705410930022643051348273788152155128013576156984741067759910704858274548659996417462837048745196148563174346707287466599020859038055981951139332037961217083881233118119456555135171652288184070564160663154291119728109799043306469998100617078088159087156210044507491924280240439932304196798246183257148406288657161457284358413810998059139134765787491901312325879527051988090643802108193067251106631363878306220566805387597778874754328180336893325311592820349561400937870892747330626637998848980298880295378244553330507919208601409265216059522328876277138771899363027440868099133790843141647630394966113341801419256756140529659295514320754078528159858657591568125121795207316061196088316991344684126575265029945773514547685966331036705617473716839423451006952489214260817072146072947791439238346973232133906109524892818177631684139025930049349624468893001199384584903828310971949272185402973216681166905293729081177378000682962176213285715417327728840011854073378662627351275373818735817533925799586846896625516341380314322957309102360743185185385963463411811667360189622982345905263069576543140145720482741281936546365213272331464522948031875959355734672680986662394786353515765465450960599599996807882501751992027033712693963763961362366783385303918955692244468130683828530131800157566476047697601427448692243128067462207354303543301338174989396710437918060973558497111924241297957152264053531300754484567651508860031358527201045334757457637298859852973847737047605143936278928440011096858871779055396965441692279324138645504314777283070653360615424370113560529343161694118706942214469077722323552877825734217851473317531446936784934344188240163259764207326758697651368060068710150493369919257160950218014491349146764699707064615290192282511353608407580970505724913150682450438524199244193045326684299527291947601592824020746636071195432582499715829603982976784715361556455814643398758578344452719661017845646662285104033597220248652471990704113914801399712270541583337960712417591361908602520519637144400778111690398073756216757365510642272972449722498000376218759785058341708723745397941049758918384011618258837486150743728871362997380481099216357417649305595136436792452608987954187098743013353026873115765019687606183933876424346097928568777134842413918158930554966840071957952987421429027258065115071989528508054449313889805375336666338024327464625699890695267941138446866102470741970067780178280221070088060302565903445994981303092415926700918118910863318790227623598133087462711426402285721024289171056614004264352102744496170639277406183807688535521272349342609955614177133174998563741830381231209103682333085641973742366402372152016720536002143635637835139783791214631359727290265013332449825397848890893109710860026185826847338520975559563523124180255651445232188755743474439248075594207359550006279419183303386042056175767794056338947857792952062881308005337565767901062136659355003179124772520497897036273994501584132561865595278341457597152685424465393459871414524519301861558049641712158561125497273575096433324393553975997590027316941922157740862317740122259015422636715500310685517312866530006174868721779090482839232320766952573284596622811765702889596849494211823591762687902628856655600398552034157746332701013023403409195718913607384531621234758564318369221569916685588079709349967331311726867261783970062084046145581804781860837264195854954573324253696025758028023689355307735108498037328465489721306073462807967128247009561494757366272357590631629184448641131416647620179850363931682302297353562087364734387852979078674981424049783919627737120224495943535534837621253872600614680405287071326617362032081070516676670275552260630875179514201872729593225236381217103588546489677005107048232251418417090203793040500703608096238589904929840557702232218642844796434159888988934673207992348725669588707689524389404150110291675233732776615142936629175

Never endsIt has no pattern

No fraction can be found equal to sin 45°

All non exact trigonometric ratios

are

irrational numbers

sin45° ≈ 1000 decimal places

© T Madas

0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672

Look at the 500 decimal places of this number

Is it rational or irrational?

© T Madas

0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672

Look at the 500 decimal places of this number

Is it rational or irrational?

© T Madas

0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672

Look at the 500 decimal places of this number

Is it rational or irrational?

© T Madas

0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672

Look at the 500 decimal places of this number

Is it rational or irrational?

© T Madas

0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459016393442622950819672

Look at the 500 decimal places of this number

Is it rational or irrational?

This decimal has a 60 digit recurring patternRecurring decimals are not irrational numbersRecurring decimals can always be written as fractions

161

© T Madas

An irrational number, when written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever.

or more formally:It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominator

Summary on Irrational Numbers

Examples of irrational numbers:• π• all non exact roots• all non exact trigonometric ratios

NOTERecurring decimals are rational numbers

© T Madas

An irrational number, is a number that cannot be expressed as a fraction with integer numerator and denominatorLoosely this means:when an irrational number is written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever.

Summary on Irrational Numbers

Examples of irrational numbers are:• π• non exact roots• non exact trigonometric ratios or inverse

trigonometric ratios• e (and most exponentials involving e )• Non exact logarithms to any base• Definite integrals which cannot be integrated in terms

of known functions

© T Madas

© T Madas

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational.

Their sum/difference will be irrationalTheir product/quotient will be irrational

Then:

E.g.

2 3+2 -

5 2´

2

5 2=

© T Madas

the irrational number with zero whole part and decimal part such that when it is added to 2, it gives 1.999…

When both numbers are irrational, things are not always straightforward.

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational.

Their sum/difference will be irrationalTheir product/quotient will be irrational

Then:

2 3+ is irrational

BUT2+

is rational

© T Madas

When both numbers are irrational, things are not always straightforward.

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational.

Their sum/difference will be irrationalTheir product/quotient will be irrational

Then:

2 3´ is irrational

BUT5 5´ is rational

© T Madas

22 I=

2é ùê úë û

2é ùê úë û

It gets even more complicated with irrational powers

Is π π rational or irrational?

It is almost certain to be irrational.

Today’s mathematical software running on super-fast computers can calculate billions of decimal places, but no one has actually proved this fact to this date.

Here is an interesting example of an irrational number raised to an irrational power being rational!

22 is either rational (R ) or irrational (I )

if it is rational (R ) we found our number !!!

if not:2

2 I= Û 22 I=

2é ùê úë ûÛ Û

2 I=2é ù

ê úë û !!!!

© T Madas