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Transcript
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Ringe1
Definition:Ring
Algebra
Ringe2
Definition:kommutativer Ring
Algebra
Ringe3
Definition:Unterring
Algebra
Ringe4
Unterringkriterium
Algebra
Ringe5
Definition:Ringhomomorphismus
Algebra
Ringe6
Kern/Bild einesRinghomomorphismus
Algebra
Ringe7
Charakterisierunginjektiver Ringhomomorphismus
Algebra
Ringe8
Definition:Ropp
Algebra
Ringe9
Faktorring
Algebra
Ringe10
kanonischer Epimorphismus
Algebra
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Ein Ring (R,+, ·) heißt kommutativ, wenn seinemultiplikative Halbgruppe kommutativ ist, d.h.wenn gilt:
x · y = y · x ∀x, y ∈ R
Ein Tripel (R,+, ·) mit R 6= ∅ und inneren Verknupfungen+, · heißt (assoziativer) Ring, wenn gilt:
• (R,+) ist eine abelsche Gruppe
• (R, ·) ist eine Halbgruppe
• fur +, · und x, y, z ∈ R gelten die Distributivgesetze
x · (y + z) = x · y + x · z
(x+ y) · z = x · z + y · z
Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) ist Unterring von R
⇔
∀x, y ∈ U gilt: x− y ∈ U und xy ∈ U .
Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) heißt Unterring von R, wenn sich dieOperationen +, · auf U einschranken lassen,so daß (U,+, ·) zu einem Ring mit deneingeschrankten Operationen wird.
Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus.
• ker(ϕ) = {r ∈ R | ϕ(r) = 0} ist ein Unterringvon R,
• ϕ(R) ist ein Untermodul von S.
Seien (R,+, ·), (S,+, ·) Ringe.
Eine Abbildung ϕ : R→ S heißt ein
Ringhomomorphismus
wenn fur alle x, y ∈ R gilt:
• ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y)
• ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)
Ropp ist ein Ring uber der gleichen Menge wie
R, mit der Verknupfung
a ◦ b := ba
Sei ϕ ein Ringhomomorphismus.
ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}
Der kanonischer Epimorphismus ist die Abb.
π : R → R/Ix 7→ x+ I
Sei I ein Ideal in (R,+, ·). (R,+) ist kommutativ,I ist Normalteiler in (R,+), es existiertFaktorgruppe R/I.
Definieren Produkt: (x+ I)(y + I) := xy + I
Wohldefiniertheit folgt aus Idealeigenschaft.
(R/I,+, ·) ist ein Ring, der Faktorring.
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Ringe11
Homomorphiesatz fur Ringe
Algebra
Ringe12
Isomorphiesatz fur Ringe
Algebra
Ringe13
Isomorphiesatz fur Ringe, Kurzen
Algebra
Ringe14
Einheitengruppe
Algebra
Ringe15
Definition:Schiefkorper
Algebra
Ringe16
Definition:einfacher Ring
Algebra
Ringe17
Definition:lokaler Ring
Algebra
Ringe18
Definition:Integritatsring
Algebra
Ringe19
Z(p)
Algebra
Ringe20
CharakterisierungRing ist lokal . . .
Algebra
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Isomorphiesatz:
Fur Unterring U und Ideal I eines Ringes R gilt
U ∩ I ist Ideal von U ,
(U + I)/I ∼= U/(U ∩ I)
Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:
R/ker(ϕ) ∼= ϕ(R)
Haben Gruppenisomorphismus
Φ�x+ ker(ϕ)
�:= ϕ(x),
Φ ist sogar Ringhomomorphismus.
a ∈ R heißt Einheit in R, wenn es x, y ∈ R gibt mitxa = 1 und ay = 1, also wenn es invertierbar ist.
R∗ = {a ∈ R | ∃x, y ∈ R : xa = 1 ∧ ay = 1}
ist die Einheitengruppe von R.
Isomorphiesatz/Kurzen:
Fur Ideale I ⊂ J eines Ringes R gilt
(R/I)/(J/I) ∼= R/J
R heißt einfach, wenn R 6= {0} und die einzigenzweiseitigen Ideale nur {0} und R sind.
R heißt Schiefkorper, wenn
R∗ = R \ {0}
R heißt Integritatsring, wenn R
– kommutativ ist
– ein Einselement besitzt
– nullteilerfrei ist:
ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
R sei kommutativ mit Eins. R heißt lokal, wenn
es genau ein einziges maximales Ideal in R gibt.
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Dann ist R lokal
⇔R \R∗ ist ein Ideal
Lokalisierung am Primideal (p):
Z(p) =
�a
b| a, b ∈ Z, p - b
�
Z(p) ist lokaler Ring, Z(p) ist Hauptidealring.
(kommutativ mit 1)
Einziges maximales Ideal: (p)
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Ringe21
Beispiel fur einen faktoriellen Ring,der kein Hauptidealring ist
Algebra
Ringe22
Beispiel fur einen Integritatsring,der nicht faktoriell ist
Algebra
Ringe23
Kurzungsregel
Algebra
Ringe24
Definition: Hauptidealring
Algebra
Ringe25
Definition:faktorieller Ring
Algebra
Ringe26
Charakterisierungfaktorieller Ring
Algebra
Ringe27
Definitioneuklidischer Ring
Algebra
Ringe28
Implikationskette Ringe
Algebra
Ideale1
Definition:Linksideal
Algebra
Ideale2
Ideale unterHomomorphismen
Algebra
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Z[√−5] ⊂ C
Einheiten: ±1 = N(z) = a2 + 5b2 ⇒ z = ±1
a2 + 5b2 6= 3 ⇒ z mit N(z) = 9 ist unzerlegbar
N(3) = N(2 ±√−5) = 3, 3 und 2 ±
√−5 sind
unzerlegbar,
9 = 3·3 = (2+√−5)(2−
√−5) sind zwei verschiedene
Zerlegungen als Produkt unzerlegbarer Elemente
Z ist faktoriell ⇒ Z[X] ist faktoriell
aber:
Z ist kein Korper ⇒ Z[X] ist kein Hauptidealring
R heißt Hauptidealring, wenn
• R ist Integritatsring
• jedes Ideal in R ist Hauptideal
In Integritatsringen R gibt es keine Nullteiler,daher ist dort fur Nichtnullteiler x:
ax = bx ⇒ ax− bx = 0 ⇒ (a− b)x = 0
⇒ a− b = 0 ⇒ a = b,
denn x ist kein Nullteiler.
Sei R ein Integritatsring.
R ist faktoriell
⇔Jedes unzerlegbare Element ist prim und jedesa 6∈ R∗ ∪ {0} ist Produkt von unzerlegbarenElementen
⇔Jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} ist endliches Produkt vonPrimelementen
Ein Ring R heißt faktorieller Ring, wenn gilt:
• R ist Integritatsring
• jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} laßt sich eindeutig alsendliches Produkt von unzerlegbarenElementen darstellen.
R euklidisch ⇒ R ist Hauptidealring ⇒R ist faktoriell ⇒ R ist Integritatsbereich
Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht!
Ein Integritatsring R heißt euklidisch, wenn eseine Abbildung
δ : R \ {0} → N ∪ {0}
gibt mit der Eigenschaft:
zu a, b ∈ R existieren q, r ∈ R mit
a = qb+ r und r = 0 oder δ(r) < δ(b)
Seien ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, I einIdeal in R, J ein Ideal in S. Dann gilt:
• ϕ−1(J) ist ein Ideal in R
• ist ϕ surjektiv, so ist ϕ(I) ein Ideal in S
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißtLinksideal, wenn
• 0 ∈ I (aq. I 6= ∅)• a− b ∈ I fur alle a, b ∈ I• ra ∈ I fur alle r ∈ R, a ∈ I
erstere beide bedeuten: Untergruppe von (R,+)
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Ideale3
Durchschnitt von Idealen
Algebra
Ideale4
erzeugtes Ideal (A)
Algebra
Ideale5
(A) =?
Algebra
Ideale6
Definition:Hauptideal
Algebra
Ideale7
Produkt von Idealen
Algebra
Ideale8
Summe von Idealen
Algebra
Ideale9
Definition:Maximales Ideal
Algebra
Ideale10
Definition:Primideal
Algebra
Ideale11
Existenzmaximaler Ideale
Algebra
Ideale12
R/I Korper ⇔ . . .
Algebra
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Sei A ⊂ R Teilmenge des Ringes R. Dann heißt
\{I | I ist Ideal von R mit A ⊂ I} =: (A)
das von A erzeugte Ideal in R.
Sei (Iµ)µ∈M eine Familie von Idealen in R. Dann ist
\µ∈M
Iµ
wieder ein Ideal in R.
Ein Hauptideal wird von einem Element erzeugt:
(a) =
�Xendl.
xiayi +Xendl.
ax′i +Xendl.
x′ia+ na
�
wenn R kommutativ:
(a) = {ra+ na} = Ra+ Za
wenn R kommutativ mit Eins:
(a) = Ra
A ⊂ R dann
(A) =
�Xendl.
xiaiyi+Xendl.
a′ix′i+Xendl.
x′ia′′i +Xendl.
n′ia′′′i
�
das von A erzeugte Ideal in R.
Summe von Idealen:
Xµ∈M
Iµ =
�Xendl.
aµ | µ ∈M,aµ ∈ Iµ�
Ist wieder ein Ideal von R.
Produkt von Idealen:
IJ =�{ab | a ∈ I, b ∈ J}
�ist das von allen Produkten ab erzeugte Ideal.
IJ =
�Xendl.
aibi | ai ∈ I, bi ∈ J�
R sei kommutativ mit Eins.
Ein Ideal I heißt Primideal, wenn gilt:
ab ∈ I ⇒ a ∈ I oder b ∈ I
Ein Ideal I 6= R heißt maximal, wenn es
kein großeres echtes Ideal gibt:
J �R ∧ I ⊂ J ⇒ I = J ∨ J = R
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Ideal I ist maximal
⇔R/I ist ein Korper
Sei R ein Ring mit Eins. Dann besitzt R
maximale Ideale.
X := {I �R, I 6= R} ist induktiv geordet
Folgerung: Jedes Ideal 6= R liegt in einem
maximalen Ideal.
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Ideale13
R/I Integritatsring ⇔ . . .
Algebra
Ideale14
Wann sind maximale Idealeprim?
Algebra
Ideale15
Ideale in Z
Algebra
Ideale16
prime/maximale Ideale imHauptidealring
Algebra
Ideale17
Satz: Ideale imPolynomring uber Korper
Algebra
Ideale18
Lemma:Primideale in R[X]
Algebra
Teilbarkeit in IR1
DefinitionTeilbarkeit
Algebra
Teilbarkeit in IR2
EigenschaftenTeilbarkeit
Algebra
Teilbarkeit in IR3
Definition: assoziiert
Algebra
Teilbarkeit in IR4
Definition: prim
Algebra
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Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Dann sind maximale Ideale prim in R.
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins, I ein Ideal.
Ideal I ist Primideal
⇔R \ I ist multiplikativ abgeschlossen
⇔R/I ist ein Integritatsring
Im Hauptidealring, sind Primelemente genau dieunzerlegbaren Eemente, d.h.
• p prim ⇔ p unzerlegbar
• Ist a 6= 0, dann ist (a) Primideal ⇔ (a) istmaximales Ideal
• Ideale in Z sind genau die mZ
• maximale Ideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl
• Primideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl oderp = 0 (0) ist Primideal
R sei kommutativer Ring mit Eins.
Ist P Primideal von R
⇒
P [X] = {PaiX
i | ai ∈ P} ist Primideal in R[X]
Beweis: uber universelle Eigenschaft.
Der Polynomring uber einem Korper ist ein
Hauptidealring.
Folgt, weil er euklidischer Ring ist.
• 1 | a, a | a• a | 1 ⇔ a ∈ R∗
• a | b ⇒ ar | br ∀r ∈ R• a | bi, i = 1, . . . , n ⇒ a |
Pni=1 ribi ∀r1, . . . rm ∈ R
• a | b ∧ b | c ⇒ a | c• a | b ⇔ (a) ⊃ (b)
• (a) = (b) ⇔ ∃u ∈ R∗ : a = bu
a | b in R, wenn es ein c ∈ R gibt mit b = ac
Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt prim, wenn
p | ab ⇒ p | a oder p | b
a, b ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit
u ∈ R∗ gibt mit a = bu.
Schreibweise: a ∼ b
ist Aquivalenzrelation
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Teilbarkeit in IR5
Definition: unzerlegbar
Algebra
Teilbarkeit in IR6
Charakterisierungprim, unzerlegbar
Algebra
Teilbarkeit in IR7
gemeinsamer Teiler,ggT
Algebra
Teilbarkeit in IR8
ggT im Hauptidealring
Algebra
Teilbarkeit in IR9
Darstellung ggT imHauptidealring
Algebra
Teilbarkeit in IR10
Korollar im HIR,wenn ggT(a, b) = 1
Algebra
Teilbarkeit in IR11
Primfaktorzerlegung inHauptidealringen
Algebra
Mengen1
Definition:Halbordnung
Algebra
Mengen2
Definition:vollstandig geordnet
Algebra
Mengen3
Definition:obere Schranke
Algebra
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Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}.
• p prim ⇔ (p) Primideal
• p unzerlegbar ⇔ (p) maximal unter allenHauptidealen
• p prim ⇒ p unzerlegbar
Maximalideale sind prim.
Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt unzerlegbar, wenn
p = ab ⇒ a ∈ R∗ oder b ∈ R∗
Sei R ein Hauptidealring.
d ist ggT von a1, . . . , an
⇔(d) = (a1, . . . , an)
Sei R ein Integritatsring.
d ∈ R heißt gemeinsamer Teiler von r1, . . . , rn ∈R, wenn d | r1, . . . , d | rn
d ∈ R heißt großter gemeinsamer Teilervon r1, . . . , rn ∈ R, wenn d ein gemeinsamerTeiler ist und jeder gemeinsame Teiler d′ d teilt.
ggT existieren nicht immer, d′ ∼ d
Sei R ein Hauptidealring, ggT(a, b) = 1.
• a | bc ⇒ a | c• a | c ∧ b | c ⇒ ab | c
Sei R ein Hauptidealring.
Satz von Bezout:
Zu a1, . . . , an ∈ R existiert ein ggT und er laßtsich darstellen als
d = r1a1 + . . .+ rnan
mit r1, . . . , rn ∈ R.
Eine Relation”≤“ auf X 6= ∅ heißt Halbordnung,
wenn gilt
• x ≤ x ∀x ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ∀x, y ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z ∀x, y, z ∈ X
(ohne daß je zwei Elemente x, y vergleichbar seinmussen)
Sei R ein Hauptidealring, a 6∈ R∗ ∪ {0}.
Dann gibt es Primelemente p1, . . . , pr mit
a = p1 · · · pr.
Wenn a = q1 · · · qt eine weitere Darstellung alsProdukt von Primelementen ist, dann gilt r = tund es gibt eine Permutation σ der Indizes,so daß qi ∼ pσ(i) ∀ i.
Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. q ∈ X heißt obere Schranke fur B,wenn
b ≤ q ∀ b ∈ B
(q muß mit allen Elementen aus B vergleichbar sein.)
Eine nichtleere Teilmenge A einer halbgeordnetenMenge heißt vollstandig geordnet, wenn je
zwei Elemente aus A vergleichbar sind.
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Mengen4
Definition:maximales Element
Algebra
Mengen5
Definition:induktiv geordnet
Algebra
Mengen6
Beispiele induktiver Ordnung
Algebra
Mengen7
Lemma von Zorn,starke Version
Algebra
Mengen8
Lemma von Zorn,schwache Version
Algebra
Mengen9
Auswahlaxiom
Algebra
Quadratische Zahlkorper1
Definition:Quadratischer Zahlkorper
Algebra
Quadratische Zahlkorper2
Definition:Norm-Abbildung
Algebra
Quadratische Zahlkorper3
Eigenschaftender Norm-Abbildung N
Algebra
Quadratische Zahlkorper4
Definition: Z[√
n]
Algebra
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Eine Menge X mit Halbordnung”≤“ heißt
induktiv geordnet, wenn jede vollstandig
geordnete Teilmenge eine
obere Schranke in X besitzt.
Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. m ∈ B heißt maximales Element vonB, wenn es keine großeren Elemente in B gibt:
b ∈ B ∧ m ≤ q ⇒ m = b
(m braucht nicht mit allen Elementen aus B
vergleichbar sein.)
Sei X eine nichtleere induktiv geordnete Menge.
Dann gibt es zu jedem Element a ∈ X ein maximalesElement m ∈ X mit a ≤ m.
Folgt aus schwacher Version mit
Xa := {x ∈ X | a ≤ x}
• R mit ≤ oder ≥• Potenzmenge P(M) einer Menge M mit Inklusion⊂ oder ⊃Bei M vollstandig geordnet sind
Sbzw.
Tobere Schranken
• C mit lexikographischer Ordnung
a+ bi ≤ c+ di ⇔ a < c oder a = c, b ≤ d
• C mit Ordnung auf Geraden durch Nullpunkt
Auswahlaxiom:
Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann
gibt es eine Funktion F mit Definitionsbereich A,genannt Auswahlfunktion, so daß gilt:
∀X ∈ A : F (X) ∈ X
F wahlt also aus jeder Menge X in A genau einElement aus.
Jede nichtleere induktiv geordnete Menge besitzt
ein maximales Element.
Definition Normabbildung
N : Q(√n) → Q
x+ y√n 7→ x2 − ny2
Sei n ∈ Z, n quadratfrei, n 6= 0, 1. Betrachte
Q(√n) := {x+ y
√n | x, y ∈ Q}
Q(√n) ist ein Korper.
(Inverses: Nenner rational machen)
Z[√n] = {a+ b
√n | a, b ∈ Z}
ist Integritatsring mit Eins
• N(x+ y√n) = 0 ⇔ x = y = 0
• N(z1z2) = N(z1)N(z2) ∀ z1, z2 ∈ Q[√n]
⇒ N ist injektiver Hom., da ker(N) = {0}Q[√n] ↪→ EndQQ[
√n]
• N(z) = zz
• z−1 = zN(z)
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Quadratische Zahlkorper5
Einheiten in Z[√
n]
Algebra
Quadratische Zahlkorper6
Wann ist Z[√
n] euklidisch?
Algebra
Quadratische Zahlkorper7
Ist Z[i] euklidisch?
Algebra
Quadratische Zahlkorper8
Primelemente in Z[i]
Algebra
Quadratische Zahlkorper9
Satz von Fermat
Algebra
Lokalisierung1
Voraussetzungen
Algebra
Lokalisierung2
Relation
Algebra
Lokalisierung3
Addition
Algebra
Lokalisierung4
Multiplikation
Algebra
Lokalisierung5
α : R→ RH−1
(I)
Algebra
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Z[√n] ist euklidisch fur
n = −2,−1, 2, 3
Setze dafur δ(z) := |N(z)| = |zz|
Einheiten in Z[√n]:
z ∈ Z[√n]∗ ⇔ N(z) = ±1
Es gibt 2 Arten von Primelementen in Z[i]:
• ±p,±ip p ∈ Z Primzahl, nicht Summe
zweier Quadrate
• a+ bi, a, b 6= 0, a2 + b2 ist prim in Z
Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] isteuklidisch.
Voraussetzungen fur Lokalisierung:
• R ein kommutativer Ring
• H ⊂ R multiplikativ abgeschlossene Teilmenge,
• H enthalt keine Nullteiler von R
Betrachte R×H =�(r, h) | r ∈ R, h ∈ H
Satz von Fermat:
Sei p ∈ Z Primzahl, p ≡ 1(4). Dann gibt esa, b ∈ Z mit p2 = a2 + b2.
Definition der Addition:
r1//h1 + r2//h2 = (r1h2 + r2h1)//(h1h2)
ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig
(R × H/ ∼,+) ist abelsche Gruppe, neutrales Ele-ment 0//h
inverses Element zu r//h ist (−r)//h
Definition der Relation:
(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ r1h2 = r2h1
ist Aquivalenzrelation (benutze Nullteilerfreiheit)
Schreibweise: r//h fur die Aquivalenzklasse, die (r, h)enthalt
Sei R kommutativ, H ⊂ R multiplikativabgeschlossen ohne Nullteiler
Die Abbildung
α : R → RH−1
x 7→ xu//u
ist von u unabhangig und ist ein injektiverRinghomomorphismus.
(Kern ist {0} wegen Nullteilerfreiheit)
Definition der Multiplikation:
r1//h1 · r2//h2 = (r1r2)//(h1h2)
ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig
(R×H/ ∼,+, ·) ist abelsche Gruppe, neutralesElement h//h
Distributiv, also ist R×H/ ∼ ein kommutativerRing mit Eins,
Schreibweise: RH−1
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Lokalisierung6
α : R→ RH−1
(II)
Algebra
Lokalisierung7
α : R→ RH−1
(III)universelle Eigenschaft
Algebra
Lokalisierung8
Sinn der Lokalisierung
Algebra
Lokalisierung9
Nullteiler zugelassen
Algebra
Polynomringe1
Definition:Ring der formalen Potenzreihen
Algebra
Polynomringe2
Definition:Ring der Polynome
Algebra
Polynomringe3
Definition:Grad eines Polynoms
Algebra
Polynomringe4
Definition:Leitkoeffizient
Algebra
Polynomringe5
Definition:normiertes Polynom
Algebra
Polynomringe6
Definition:irreduzibles Polynom
Algebra
18 http://algebra1.de
Sei S kommutativer Ring, ϕ : R→ S ein Homomor-phismus und ϕ(h) fur h ∈ H invertierbar in S.
Dann existiert genau ein Homomorphismus ψ :RH−1 → S mit ψ ◦ α = ϕ.
Rα //
ϕ��?
????
??? RH−1
∃!ψ||yy
yyyy
yyy
S
Jedes α(h) mit h ∈ H ist invertierbar in RH−1,das Inverse ist h//h2.
Ausrechnen, Kurzen
Bei Nichtnullteilern: Definition der Relation:
(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ ∃h ∈ H : (r1h2 − r2h1)h = 0
Kommutativitat ist wesentlich
h ist fur Wohldefiniertheit notig, und erlaubt, Bruchezu kurzen
Lokalisierung:
Einem Ring R werden neue multiplikative Inversehinzugefugt.
Elemente einer Teilmenge H werden invertierbargemacht.
Man konstruiert einen Ring RH−1 und einen Ring-homomorphismus α : R→ RH−1, der H aufEinheiten in RH−1 abbildet.
Die Lokalisierung ist die”beste Wahl“ nach der
universellen Eigenschaft.
R[X] := {f ∈ R[[X]] | f ist fast uberall 0}
R ↪→ R[X] ↪→ R[[X]]
R[[X]] ist kommutativer Ring mit Eins, derRing der Polynome uber R.
Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N einR-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe M ⊗R Ndefiniert als der Quotient der freien abelschen GruppeF = {
Pzm,n(m,n) | zm,n ∈ Z} in den Erzeugern m ⊗ n
(als Symbole) fur alle m ∈M,n ∈ N nach der UntergruppeH, die von
• (m1 +m2)⊗ n−m1 ⊗ n−m2 ⊗ n
• m⊗ (n1 + n2)−m⊗ n1 −m⊗ n2
• mr ⊗ n−m⊗ rn
erzeugt wird. T = F/H, t(m,n) = (m,n) +H.
Sei M ∈ ModR, N ∈ RMod, eine Abbildung
f : M ×N → P
heißt balanciert, wenn
• f(m1 +m2, n) = f(m1, n) + f(m2, n)
• f(m,n1 + n2) = f(m,n1) + f(m,n2)
• f(mr, n) = f(m, rn)
∀ r ∈ R,m,m1,m2 ∈M,n, n1, n2 ∈ N .
M ×Nt //
f##G
GGGG
GGGG
M ⊗R N
∃!f∗zzvvvvvvvvv
P
Fur beliebige abelsche Gruppe P und beliebigeR-balancierte Abbildung f existiert genau einHomomorphismus f∗ mit f∗ ◦ t = f .
D.h. jede R-balancierte Abbildung auf M ×Nfaktorisiert durch M ⊗R N .
• Das Tensorprodukt M ⊗N ist universell furalle bilinearen Abbildungen auf M ×N
• Die Homomorphismen auf M ⊗N klassifizierendie bilinearen Abbildungen auf M ×N
• bilineare Abbildungen auf M ×N werden alsHomomorphismen aufgefaßt