ר ר 'פרפ ¢§¢¤ רשק - Habervintage.fh.huji.ac.il/~roib/LectureNotes/ChemBond/LN_06... · 2018. 5. 7. · ר ר 'פרפ ¢§¢¤ רשק § hcl לש היצאטור םורטקפס

1 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

1

HCL של רוטאציה ספקטרום: בדידות רמות .6

הקדמה

חוקרים ניצבו בפניהן הבעיות אחת

של היכולת חוסר הייתה המאה בתחילת

את להסביר הקלאסית המכאניקה

. אטומים של הבדיד הבליעה ספקטרום

אור יםלעוב האטומים מדוע, כלומר

. בלבד ספציפיים גל אורכי או בתדירויות

האור, ואינשטיין פלאנק של המודלים לפי

אלה ותדירויות, ספציפיות בתדירויות בליעה נצפית אם. תדירותו לפי הנקבעת אנרגיה בעלי פוטונים מורכב

בבליעת. מסויימות באנרגיות פוטונים רק בולעים אטומים: היא שהמסקנה הרי, הפוטון לאנרגיית פרופורציוניות

אלא ניתן לא לכן, הנבלעת האנרגיה בשיעור בדיוק באנרגיה עשיר נהיה האטום, מסויימת אנרגיה עם פוטון

הדעת את מניחים הסברים אין זו נמנעת בלתי למסקנה. רציפות לא, בדידות אנרגיה רמות יש אטוםשל להסיק

.הקלאסית בפיזיקה

שמאל בצד המצוייר HCl של הרוטאציוני הבליעה בספקטרום למצוא ניתן בדידות לרמות דוגמה1

בספקטרום.

מודל נפתח הבה .אחיד מרווח בעלת אחת כל, קבוצות שתי יש. בדידים בליעה קווי של רב מספר בברור רואים

הנחות. אחיד במרווח הבדידות הרמות קיום את להסביר שינסה פשוט

:הם המודל

כי נניח, כן-על. המימן אטוםמ מונים עשרות פי כבד כלורה אטום .1

. סביבו נע, המימן בעוד נייח הכלור אטום

אטום סיבוב בזמן משתנה אינו האטומים שני בין המרחק כי נניח .2

על לנוע מאולץ המימן אטום, כלומר. הכלור אטום סביב המימן

. הכלור אטום סביב קבוע ברדיוס טבעת

כמוכן, נניח שהמטען האלקטרוני איננו מתחלק שווה בשווה כך שאטום המימן מעט טעון במטען חיובי .3

עם אור.בעוד שהכלור במטען עודף שלילי. כך יש לנו דיפול חשמלי מסתובב שיכול להגיב

התייחסות דורש, יותר מציאותי טיפול .הדיון את מפשטת זו הנחה. בלבד מישורית שהתנועה נניח .4

.השלישי למימד

אלה, הספקטרום של מהמאפיינים מחלק נתעלים אנו. רוטאציה-ויברציה ספקטרום מתואר באיור, למעשה 1

הבליעה קווי בין השווה המרווח – ספיציפי באספקט ונתמקד, ויברציוני מעבר גם פה שיש בעובדה הקשורים

.הרוטאציונים

Δ𝜙

ℓ = 𝑟Δ𝜙 𝑟

𝑥

𝑦

2 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

2

. HCl של הבליעה ספקטרוםשל " הוא מאפשר "ניבוי כיצד נראה הבה, המודל הנחות את משתיארנו, עתה

המכניקה את נלמד הבה, לכן(. 3 -ו 2 הנחה) קשיחה טבעת על המימן אטום תנועת את מדמה המודל בעיקרו

".בטבעת חלקיק" של נטיתוהקו

בטבעת קלאסי חלקיק

במישור המונחת טבעת על ,𝜇-ב נסמן תומס שאת ,חלקיק תנועת הוא הכלור סביב המימן לתנועת פשוט מודל

x-y רדיוס בעלת 𝑟 . זווית ידי-על נקבע החלקיק מקום 𝜙 היא החלקיק מהירות. בטבעת כלשהי לנקודה ביחס

Δ𝑙 בזוית השינוי ידי-על נקבע ההעתק. זמן ליחידת ההעתק = 𝑟Δ𝜙:

Δ𝑙

Δ𝑡= 𝑟

Δ𝜙

Δ𝑡 ⇒ 𝑣 = 𝑟�̇�

𝑥 היא x בכיוון הקואורדינטה. זאת לראות יותר סיסטמטית, אחרת דרך = 𝑟 cos 𝜙 בכיווןזו שו y איה

𝑦 = 𝑟 sin 𝜙 ,ולכן:

𝑣𝑥 =𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜙) = −𝑟 sin 𝜙 �̇� = −𝑦�̇�

𝑣𝑦 =𝑑

𝑑𝑡(𝑟 sin 𝜙) = 𝑟 cos 𝜙 �̇� = 𝑥�̇�

:ולכן

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 = 𝑟�̇�

𝑳 זוויתי תנע להגדיר מקובל במכאניקה = 𝒑 × 𝒓 ,ברכיבים או:

𝐿𝑥 = 𝑝𝑦𝑧 − 𝑝𝑧𝑦 𝐿𝑦 = 𝑝𝑧𝑥 − 𝑝𝑥𝑧 𝐿𝑧 = 𝑝𝑥𝑦 − 𝑝𝑦𝑥

:וקיים z בכיוון הינו הזוויתי התנע x-y במישור כולה מתבצעת הסיבובית שהתנועה מכיוון

𝐿𝑧 = 𝜇(𝑣𝑦𝑥 − 𝑣𝑥𝑦) = 𝜇(𝑥2�̇� + 𝑦2�̇�) = 𝜇𝑟2�̇�

𝐸𝑘 :היא הקינטית האנרגיה =1

2𝜇𝑣2 =

1

2𝜇𝑟2�̇�2 =

𝐿𝑧2

2𝜇𝑟2=

𝐿𝑧2

2𝐼

𝐼 באשר = 𝜇𝑟2 בטבעת החלקיק של" האינרציה מומנט" הוא.

בטבעת קוואנטי חלקיק

Ω זוויתית מהירות נגדיר = �̇� חופשי חלקיק של למכאניקה אנלוגיה בבירור נראהו :

3 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

3

תנועה סיבובית תנועה קווית

𝜙 זווית 𝑥 מקום

𝑣 מהירות קווית = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 מהירות זוויתית Ω = 𝑑𝜙/𝑑𝑡

𝐼 מומנט אינרציה 𝜇 מסה = 𝜇𝑟2

𝑝 תנע קווי = 𝜇𝑣 תנע זוויתי 𝐿𝑧 = 𝐼Ω

𝑝 דה ברוי = ℏ𝑘 דה ברוי? 𝐿 = ℏ𝑚

𝐸 אנרגיה קינטית = 𝑝2/2𝜇 סיבובאנרגיית 𝐸 = 𝐿𝑧2/2𝐼

𝐸 איינשטיין = ℏ𝜔 איינשטיין 𝐸 = ℏ𝜔

:החופשי לחלקיק שעשינו כפי" מונוכרומטים" גלים כאן גם לבנות ננסה

𝜑𝑚(𝜙, 𝑡) = 𝑁𝑚𝑒𝑖(𝑚𝜙−𝜔𝑡)

𝜙 -ו 𝜙 שהזוויות ,הוא ההבדל + 2𝜋 לדרוש יש לכן, המצב אותו את מציינות:

𝜑𝑚(𝜙 + 2𝜋, 𝑡) = 𝜑𝑚(𝜙, 𝑡)

:מתנאי זה מקבלים

𝑁𝑚𝑒𝑖(𝑚𝜙−𝜔𝑡) = 𝜑𝑚(𝜙, 𝑡) = 𝜑𝑚(𝜙 + 2𝜋, 𝑡) = 𝑁𝑚𝑒

𝑖(𝑚(𝜙+2𝜋)−𝜔𝑡) = 𝑁𝑚𝑒𝑖(𝑚𝜙−𝜔𝑡)𝑒𝑖𝑚2𝜋

:לכן

𝑒𝑖𝑚2𝜋 = 1

𝑚 :כלומר, שלם הוא 𝑚 המספר אם רק מתקיים זה תנאי = 0, ±1, ±2, … .

קווי תנע של ערך כל ולכן שהוא ערך כל לקבל יכול 𝑘 הגל מספר. חופשי חלקיק של מונוכרומטי בגל נזכר

𝑝 = ℏ𝑘 .של( רציף לא) בדיד מספר יש. שונה המצב בטבעת חלקיק של מונוכרומטי גל עבור, זאת לעומת

:בדידים ערכים רק לקבל יכול בטבעת חלקיק של הזוויתי התנע גם ולכן מותרים גלים

𝐿𝑧 = ℏ𝑚, 𝑚 = 0, ±1, ±2, …

!בדידים ערכים בעל – מקוונטט הזוויתי התנע כי אומרים. ℏ של שלימה כפולה היינו

:כך מחושב המונוכרומטים הגלים לש 𝑁𝑚 לונרמה מקדם

𝜑𝑚(𝜙, 𝑡) = 𝑁𝑚𝑒𝑖(𝑚𝜙−𝜔𝑡)

1 = ∫ |𝜑(𝜙, 𝑡)|2𝑑𝜙2𝜋

0

= 2𝜋𝑁𝑚2

𝑁𝑚 כלומר = 1/√2𝜋 .

מונוכרומטים גלים חיבור כלומר, סופרפוזיציה ידי על גלים חבילות לבנות כאן גם נוכל, חופשי בחלקיק כמו

:שונים

4 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

4

𝜓(𝜙, 𝑡) = ∑ 𝑔𝑚𝜑𝑚(𝜙, 𝑡)

∞

𝑚=−∞

𝑝 התנע כי אינטגרל עשינו חופשי שבחלקיק שבעוד, לב שימו = ℏ𝑘 התנע הזוויתי כי סכום עושים כאן, רציף

𝐿𝑧מקבל ערכים בדידים = 𝑚ℏ .יברו-דה חוק שיתקיים מנת שעל להראות ניתן החופשי לחלקיק באנלוגיה

: היא מונוכרומטי גל כל של התדירות, לטבעת

ℏ𝜔𝑚 = 𝐸𝑚 =𝐿𝑧

2

2𝜇𝑟2=

ℏ2𝑚2

2𝜇𝑟2

𝐿𝑧:בטבעת לחלקיק יברו-דה עיקרון הוא כאן המנחה הקו כאשר = ℏ𝑚 . המספרים𝐸𝑚 הם בעצם רמות

האנרגיה של החלקיק על הטבעת ונדון בהם יותר למטה.

:התלות בזמן של גל הטבעת היא

𝜓(𝜙, 𝑡) =1

√2𝜋∑ 𝑔𝑚𝑒

−𝑖𝐸𝑚𝑡

ℏ 𝑒𝑖𝑚𝜙∞

𝑚=−∞

ברי מניה" או "בדידים" בעוד " מצביםה שכאן הוא היחיד ההבדל. החופשי לחלקיק יםיאנלוג לגמרי הפיתוחים

מספרים שלמים כפי שהראה המתמטיקאי קאנטור, בעוד ששבחלקיק חופשי הם מהווים רצף שאינו בר מניה )

טבעת על האלקטרון. , אין דרך לדקלם, בזה אחר זה, את כל המספרים הממשיים(ניתנים למניה או רציונלים

.בדידים ערכים מתוך ערך רק אלא, אנרגיה של ערך כל קבלל יכול אינו

עצמיים מצביםבדידות ו

(𝜑𝑚(𝜙 הפונקציות =1

√2𝜋𝑒𝑖𝑚𝜙 להצגה ניתן החלקיק של מצב כל". בזמן הקידום של העצמיות הפונקציות" הן

ניתן הללו המקדמים את שיודעים ברגע 𝑔𝑚 מקדמים עם, כאלה עצמיים מצבים של ליניארית כקומבינציה

𝑒"גורם פאזה תלוי בזמן" ב מוכפל פשוט 𝑔𝑚 המקדם שכן בזמן המצב של השינוי את לרשום מיידית−

𝑖𝐸𝑚ℏ

𝑡 כאן.

𝐸𝑚 = ℏ2𝑚2/2𝜇𝑟2 ה העצמי המצב של האנרגיה היא-𝑚בעל טבעת על חלקיק של האנרגיה אל קשור, ה

𝐿 הזוויתי התנע = ℏ𝑚. אנו גם מכנים את𝐸𝑚 ."בשם "רמות האנרגיה

הבה נקבע את אינטגרל החפיפה של שני מצבים עצמיים מונוכרומטיים:

⟨𝜑𝑚|𝜑𝑚′⟩ = ∫ 𝜑𝑚∗ (𝜙)𝜑𝑚′(𝜙)𝑑𝜙

2𝜋

0

=1

2𝜋∫ 𝑒−𝑖𝑚𝜙𝑒𝑖𝑚

′𝜙𝑑𝜙2𝜋

0

=1

2𝜋∫ 𝑒𝑖(𝑚

′−𝑚)𝜙𝑑𝜙2𝜋

0

𝑚כאשר = 𝑚′ אבל מה קורה כאשר 1ברור שצד שמאל יוצא שווה .𝑚 ≠ 𝑚′ ? :הבה נראה

⟨𝜑𝑚|𝜑𝑚′⟩ =1

2𝜋∫ 𝑒𝑖(𝑚

′−𝑚)𝜙𝑑𝜙2𝜋

0

=1

2𝜋

𝑒𝑖(𝑚′−𝑚)𝜙

𝑖(𝑚′ − 𝑚)|

0

2𝜋

=1

2𝜋

(1 − 1)

𝑖(𝑚′ − 𝑚)= 0

מכאן נובע:

⟨𝜑𝑚|𝜑𝑚′⟩ = {1 𝑚 = 𝑚′

0 𝑚 ≠ 𝑚′≡ 𝛿𝑚𝑚′

5 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

5

𝑚וכאשר 0 -השווה בדרך כלל ל ′𝛿𝑚𝑚שימו לב להגדרת הסימול של דיראק = 𝑚′ כאשר 1 -ואז שווה ל .

הן "אורתונורמליות" או "מאונכות". החפיפה בין שתי פונקציות מונוכרומטיות על טבעת מתאפסת אומרים שש

:שבפיתוח שלה לגלים מונוכרומטים 𝑔𝑚המקדמים את לקבוע נוכל , (𝜓(𝜙 בהנתן פונקציית גל כלשהי

𝜓(𝜙) = ∑ 𝑔𝑚𝜑𝑚(𝜙)

∞

𝑚=−∞

:אם נשתמש באורתוגונליות שלהן

⟨𝜑𝑚′|𝜓⟩ = ⟨𝜑𝑚′| ∑ 𝑔𝑚𝜑𝑚

∞

𝑚=−∞

⟩ = ∑ 𝑔𝑚⟨𝜑𝑚′|𝜑𝑚⟩

∞

𝑚=−∞

= 𝑔𝑚′

דוגמה:

(𝜓(𝜙נתונה הפונקציה = cos2 𝜙 .מצא את הפירוק שלה לגלים מונוכרומטים

פתרון:

שיטה א':

:מהשוויון הטריגונומטרי הבא

cos2 𝜙 =1

2(1 + cos 2𝜙)

-מכיוון שו

1 = 𝑒𝑖0 = √2𝜋𝑒𝑖0

√2𝜋= √2𝜋𝜑0(𝜙)

cos 2𝜙 =1

2(𝑒2𝑖𝜙 + 𝑒−2𝑖𝜙) =

√2𝜋

2(

𝑒2𝑖𝜙

√2𝜋+

𝑒−2𝑖𝜙

√2𝜋) =

√2𝜋

2(𝜑2(𝜙) + 𝜑−2(𝜙))

:נקבל לבסוף

cos2 𝜙 =√2𝜋

2𝜑0(𝜙) +

√2𝜋

4𝜑2(𝜙) +

√2𝜋

4𝜑−2(𝜙)

𝑔0כלומר: =√2𝜋

2= √

𝜋

2 ,𝑔2 = 𝑔−2 =

√2𝜋

4= √

𝜋

8 הם אפס. 𝑔𝑚 -כל שאר ה

שימוש בטבלת אינטגרלים: :שיטה ב'

𝑥לכל ≠ 0, קיים ±2

∫ cos 𝑥𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

=(𝑥2 − 2) sin 2𝑥𝜋

𝑥(𝑥2 − 4)

6 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

6

∫ sin 𝑥𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

=2(𝑥2 − 2) sin2 𝑥𝜋

𝑥(𝑥2 − 4)

𝑥כן לכל ל = 𝑚 = 𝑚כאשר שלם ≠ 0, ±2:

∫ cos 𝑚𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= 0

∫ sin 𝑚𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= 0

𝑥ולגבי = 0, :הופיטלל'לפי כלל , ±2

limx→0

sin 2𝑥𝜋

𝑥= lim

x→2

sin 2𝑥𝜋

𝑥 − 2= lim

x→−2

sin 2𝑥𝜋

𝑥 + 2= 2𝜋

limx→0,±2

sin2 𝑥𝜋

𝑥= 0

-תמיד נותן אפס ועם הקוסינוס תמיד אפס חוץ מלכן האינטגרל עם הסינוס

מכאן:

𝑥 = 0 → ∫ cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

=−2 × 2π

(−4)= π

𝑥 = ±2 → ∫ cos 2𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

=2 × 2π

±2(±2 ± 2)=

π

2

מכאן:

𝑔𝑚 = 0 (𝑚 ≠ 0, ±2)

𝑔0 = ⟨𝜑0|𝜓⟩ =1

√2𝜋∫ cos2 𝜙 𝑑𝜙

2𝜋

0

=𝜋

√2𝜋= √

𝜋

2

𝑔±2 = ⟨𝜑±2|𝜓⟩ =1

√2𝜋∫ 𝑒±2𝑖𝜙 cos2 𝜙 𝑑𝜙

2𝜋

0

=1

√2𝜋∫ (cos 2𝜙 ± 𝑖 sin 2𝜙) cos2 𝜙 𝑑𝜙

2𝜋

0

=1

√2𝜋

𝜋

2

= √𝜋

8

האנרגיהרמות ומבנה ניוון

𝐸𝑚כפי שציינו למעלה = ℏ2𝑚2/2𝜇𝑟2 היא האנרגיה של המצב העצמי ה-𝑚 , אנרגיה של חלקיק על או רמת

𝐿טבעת בעל התנע הזוויתי = ℏ𝑚 .

𝑚, אחד יסוד מצב שיש רואים האנרגיה ברמות מעיון = מנוון מעורר מצב כל. אפס שווה האנרגיה בו, 0

. האנרגיה אותה עם( שונה זוויתי תנע בעלי) שונים עצמיים מצבים שני יש כלומר, פעמיים

7 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

7

-ו,(φ1(𝜙 העצמיים המצבים לשני, לדוגמה. סימטריות שאינן עצמיות פונקציות לבנות ניתן הניוון בזכות

φ−1(𝜙) אנרגיה אותה יש 𝐸1 =ℏ2

2𝐼 :עצמי מצב הוא שלהם וההפרש הסכום גם לכן.

𝑃𝑥(𝜙) =𝜑1(𝜙) + 𝜑−1(𝜙)

√2=

𝑐𝑜𝑠 𝜙

√𝜋

𝑃𝑦(𝜙) =𝜑1(𝜙) − 𝜑−1(𝜙)

√2𝑖=

𝑠𝑖𝑛 𝜙

√𝜋

אי אבל הזוויתי בתנע מלאה וודאות יש (φ−1(𝜙 -ו,(φ1(𝜙 במצבים: הייזנברג עיקרון את רואים אנו שוב

.הזוויתי בתנע וודאות באי מלווה זו אך בזוית מסוימת וודאות יש (𝑃𝑦(𝜙 -ו (𝑃𝑥(𝜙 יםבמצב. הזווית לגבי וודאות

HCL של רוטאציה ספקטרום

ממעבר נוצרת שהבליעה חשובנ, שלנו במודל. מרחק שווי בליעה קווי רואים אנו. HCl של לספקטרום נחזור

𝑚 רמה אל 𝑚 מרמה + 𝑚− -ל 𝑚− -מ או, חיובי 𝑚 כאשר 1 − :אנרגיה במעברשומר נבלעה הפוטון. 1

𝜔𝑚+1←𝑚 =𝐸𝑚+1 − 𝐸𝑚

ℏ=

ℏ

2𝜇𝑟2[(𝑚 + 1)2 − 𝑚2] =

ℏ

2𝜇𝑟2[2𝑚 + 1]

:הוא קווים שני בין והמרחק

Δ𝜔 = 𝜔𝑚+1←𝑚 − 𝜔𝑚←𝑚−1 =ℏ

𝜇𝑟2

להמצא עליה 𝜔𝑚+1←𝑚 בתדר פוטון לבלוע תוכל שהמולקולה מנת על. קבוע הבליעה קווי בין המרווח, כלומר

התנגשויות אלה .המולקולות בין התנגשויות בגלל מעורר במצב מצוייה המולקולה. מעורר מצב זהו. 𝑚-ה במצב

מצויבה בטמפרטורה. איכלוס זה תלוי HCl אחראיות ל"איכלוס" ממוצע של מצבי הרוטאציה )והויבראציה( של

. הגז

בקורס מפורט באופן יילמד הנושא. יותר מורכב המדוייק המצב למעשה, מהתצפיות לחלק רק מתאים זה מודל

.לספקטרוסקופיה

m = 1

m = 2

m = 3

m = -1

m = -2

m = -3

m = 0 E = 0

E1

E2 = 4E1

E3 = 9E1

8 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

8

נתון כי מסת המימן היא ומתוך ידיעת מסת המימן ) הפרק בתחילת והאיור המודל סמך-על: חישובי תרגיל

HCl -כלור והמימן ב -בין אטום ה 𝑟 המרחק את קבע. (פעמים מסת האלקטרון 1836

𝑚𝑒, כאשר 𝑚𝑒 "מסת האלקטרוןיחידת המסה היא "נעבוד ביחידות אטומיות, = 9.1094 × 10−31𝑘𝑔 , יחידת

𝑎0 כאשר 𝑎0"רדיוס בוהר" אורך היאה = 0.529177Å אנרגיית הרטרי" דת הארגיה היאייח"𝐸ℎ ,כאשר

𝐸ℎ = 4.35974 × 10−18Joul𝑒.

ℏביחידות אטומיות גם = ℏ𝐸ℎ)זה מגדיר את יחידת הזמן 1

−1) .

ℏΔ𝜔בספקטרום רואים שהמרווח בין הקווים הוא = 20𝑐𝑚−1 .אנרגיה יחידת 𝑐𝑚−1 1 -כ מוגדרת 𝑐𝑚−1 =

4.5563 × 10−6𝐸ℎ. היאאטום המימן מסת:𝑚𝐻 = 1836 𝑚𝑒. לכן:

ℏ2

𝑚𝐻𝑟2

= ℏΔ𝜔 → 𝑟 = √ℏ2

𝑚𝐻 ℏΔω= √

1

1836 × (20 × 4.5563 × 10−6)𝑎0 = 2.44𝑎0 = 1.294Å

וסטאציונריות בזמן קידום .7

בפרקים שראינו הדוגמאות של הכללה תוך, הגל פונקציית של בזמן הקידום בנושא הרחבה ביתר נדון זה בפרק

.האנרגיה של" עצמי ערך"ו" העצמי מצב"ה מושג את נגדיר, ראשית. הקודמים

גורם ב הכפלה כלומר", פשוט" הנו בזמן שלה שהקידום גל פונקצית שברשותנו נניח :(עצמי וערך מצב) הגדרה

,𝜓(𝑥: מרוכב, שהוא מספר 𝑒−𝑖𝐸𝑡/ℏפאזה 𝑡) = 𝑒−𝑖𝐸𝑡/ℏ𝜑(𝑥) .כי אומרים זה במקרה 𝜑(𝑥) של עצמי מצב הוא

. עצמי ערך עם האנרגיה 𝐸

:כך בזמן מתקדם המונוכרומטי הגל חופשי חלקיק עבור כי ראינו. I דוגמה

𝜓𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡) = 𝑒−𝑖𝐸(𝑘)𝑡/ℏ𝑒𝑖𝑘𝑥

(𝐸(𝑘: כאשר = ℏ𝜔(𝑘) =ℏ2𝑘2

2𝜇(𝜑𝑘(𝑥. מסקנה: = 𝑒

𝑖𝑘𝑥 הינו מצב עצמי של𝐸(𝑘).

II דוגמה

: 𝑚 -ה האנרגיה רמת של עצמיות פונקציות הן (𝜑𝑚(𝑥 תהפונקציו. 𝑟סברדיו בטבעת 𝜇 מסה בעל חלקיק

𝐸𝑚 =ℏ2𝑚2

2𝜇𝑟2 :פשוט באופן בזמן משתנות אלה פונקציות.

𝜑𝑚(𝜙, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝐸𝑚𝑡/ℏ𝜑𝑚(𝜙) = 𝑒

−𝑖𝐸𝑚𝑡/ℏ𝑒𝑖𝑚𝜙

סטאציונרית סיכויים-צפיפות

:בזמן תלויה בלתי היא מכתיבות שהן הסיכויים שהתפלגות הוא האנרגיה של העצמיות פונקציות את המאפיין

𝑃(𝑥, 𝑡) = |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 = |𝜑(𝑥)|2 = 𝑃(𝑥, 0)

:עצמי מצב היא שלהם ליניארית קומבינציה כל גם אז אנרגיה אותה שונים עצמיים מצבים לשני םא

𝜓1(𝑥, 𝑡) + 𝜓2(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝐸𝑡/ℏ(𝜑1(𝑥) + 𝜑2(𝑥))

9 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

9

בזמן הקידום

:עצמיות פונקציות של ליניארית קומבינציה שהיא יודעים אם כלשהי גל פונקצית בזמן לקדם ניתן

𝜓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑥)

𝑘

הוא: (𝜓(𝑥הקידם בזמן של ואזקבועים. 𝑎𝑘 -ו 𝐸𝑘 עצמי ערך עם עצמית פונקציה (𝜓𝑘(𝑥 כאשר

𝜓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑘𝑒−𝑖𝐸𝑘𝑡/ℏ𝜓𝑘(𝑥)

𝑘

במצב מצוי 𝑟 ברדיוס טבעת על נע 𝜇 מסה בעל חלקיק: 1 דוגמה

𝜓(𝜙) = 1 − sin 𝜙

.החלקיק של המסתבר מקומו מהו במילים הסבר. שלו הזווית של הסיכויים-צפיפות את שרטט .א

?𝑡 זמן כעבור מצבו יהיה מה .ב

.𝑡 זמן כעבור שלו הזווית של הסיכויים-צפיפות את שרטט .ג

?זמןב החלקיק מיקום של התצפית ערך משתנה כיצד .ד

.הגל' פונ את ננרמל ,ראשית: פתרון

𝜓(𝜙) = 𝑁[1 − sin 𝜙]

(:שלם' מס m) באינטגרלים נשתמש

∫ cos 𝑚𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= {0 𝑚 ≠ 0

2𝜋 𝑚 = 0= 2𝜋𝛿𝑚0

∫ sin 𝑚𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= 0

∫ sin 𝜙 cos 𝑚𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= ∫sin(𝑚 + 1)𝜙 − sin(𝑚 − 1)𝜙

2𝑑𝜙

2𝜋

0

= 0

∫ sin 𝜙 sin 𝑚𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= ∫cos(𝑚 − 1)𝜙 − cos(𝑚 + 1)𝜙

2𝑑𝜙

2𝜋

0

=𝛿𝑚,1 − 𝛿𝑚,−1

22𝜋

:ונקבל

1 = 𝑁2 ∫(1 − sin 𝜙)2𝑑𝜙 = 𝑁2 ∫(1 − 2 sin 𝜙 + sin2 𝜙)𝑑𝜙

𝑁:מכאן =1

√3𝜋 :היא הסיכויים-צפיפות.

10 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

10

P(𝜙) = |𝜓(𝜙)|2 =(1 − sin 𝜙)2

3𝜋

𝑥 עם) הטבעת בתחתית כלומר 3𝜋/2 בזווית להיות הסיכויים מירב = 0, 𝑦 = −𝑟 .)

עצמיים מצבים של לינארית כקומבינציה (𝜓(𝜙 את להציג עלינו, 𝑡 בזמןשל החלקיק מצבו את לחשב מנת על

:טבעת על חלקיק של האנרגיה של

sin 𝜙 =𝑒𝑖𝜙 − 𝑒−𝑖𝜙

2𝑖∝

√2𝜋(𝜑1(𝜙) − 𝜑−1(𝜙))

2𝑖 1 = √2𝜋𝜑0(𝜙)

מכאןו

𝜓(𝜙) = 𝑁 [1 −𝑒𝑖𝜙 − 𝑒−𝑖𝜙

2𝑖] = √2𝜋𝑁 [𝜑0(𝜙) −

𝜑1(𝜙) − 𝜑−1(𝜙)

2𝑖 ]

𝐸𝑚נזכור שהאנרגיות של חלקיק על טבעת הן: =ℏ2𝑚2

2𝐼𝐸1 , ולכן = 𝐸−1 (מכאן(ניוון .:

𝜓(𝜙, 𝑡) = √2𝜋𝑁 [𝑒−𝑖𝐸0𝑡/ℏ − 𝑒−𝑖𝐸1𝑡/ℏ𝜑1(𝜙) − 𝜑−1(𝜙)

2𝑖] = 𝑁[1 − 𝑒−𝑖𝐸1𝑡/ℏ sin 𝜙]

(𝜓(𝜙קציית הגל פונשל ןהקידום בזמ 1 = 1 − sin 𝜙 טבעת. של חלקיק על

:היא 𝑡 בזמן הסיכויים-צפיפות

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.424

0

P 0( )

P 2( )

P 4( )

P 6( )

1.9990

11 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

11

𝑃(𝜙, 𝑡) = |𝜓(𝜙, 𝑡)|2 = 𝑁2[(1 − cos 𝐸1𝑡/ℏ sin 𝜙)2 + (sin 𝐸1𝑡/ℏ sin 𝜙)

2]

=1

3𝜋[1 + sin2 𝜙 − 2 cos 𝐸1𝑡/ℏ sin 𝜙]

,𝑃(𝜙 הסיכויים-צפיפות מתוארת לעיל בגרף 𝑡) זמן-ערכי מספר עבור.

𝑥 קואורדינטת של התצפית-ערך את נחשב, כעת = 𝑟 cos 𝜙 ו- 𝑦 = 𝑟 sin 𝜙 .קייםתצפית, -לפי הגדרת ערך:

⟨𝑦⟩𝑡 = 𝑟 ∫ 𝑃(𝜙, 𝑡) sin 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

=1

3𝜋𝑟 ∫ [1 + sin2 𝜙 − 2 cos 𝐸1𝑡/ℏ sin 𝜙] sin 𝜙 𝑑𝜙

2𝜋

0

= −2𝑟1

3𝜋cos 𝐸1𝑡/ℏ ∫ sin

2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= −2

3𝑟 cos 𝐸1𝑡/ℏ

:אינטגרלכאן השתמשנו ב

∫ sin2 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= 𝜋 ∫ sin 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= ∫ sin3 𝜙 𝑑𝜙2𝜋

0

= 0

𝑥⟩𝑡⟩ -שניתן להראות בנוסף, = מתנדד החלקיקמיקום התצפית של -ערךלסיכום, ו. משיקולי סימטריה 0

.𝐸1/ℏ תדירותב פשוטה-הרמונית תנועהומתאים לתנועה 2𝑟/3במשרעת של (𝑦בכיוון מטה )-מעלה